Leçons sur les hypothèses cosmogoniques (Poincaré, 1911)

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COURS DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS
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LEÇONS


SUR LES


HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES


PROFESSÉES À LA SORBONNE


PAR


MEMBRE DE L’ACADÉMIE FRANÇAISE ET DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES


Rédigées par Henri VERGNE
Ingénieur des Arts et Manufactures, Docteur ès sciences mathématiques


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PARIS
LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN ET FILS
LIBRAIRIE DE S. M. LE ROI DE SUÈDE
6, RUE DE LA SORBONNE, 6
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1911




PRÉFACE


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Le problème de l’origine du Monde a de tout temps préoccupé tous les hommes qui réfléchissent ; il est impossible de contempler le spectacle de l’Univers étoilé sans se demander comment il s’est formé ; nous devrions peut-être attendre pour chercher une solution que nous en ayons patiemment rassemblé les éléments, et que nous ayons acquis par là quelque espoir sérieux de la trouver ; mais si nous étions si raisonnables, si nous étions curieux sans impatience, il est probable que nous n’aurions jamais créé la Science et que nous nous serions toujours contentés de vivre notre petite vie, Notre esprit a donc réclamé impérieusement cette solution, bien avant qu’elle fût mûre, et alors qu’il ne possédait que de vagues lueurs, lui permettant de la deviner plutôt que de l’atteindre. Et c’est pour cela que les hypothèses cosmogoniques sont si nombreuses, si variées, qu’il en naît chaque jour de nouvelles, tout aussi incertaines, mais tout aussi plausibles que les théories plus anciennes, au milieu desquelles elles viennent prendre place sans parvenir à les faire oublier. On pourrait penser que l’Univers a toujours été ce qu’il est aujourd hui, que les êtres minuscules qui rampent à la surface des astres sont périssables, mais que les astres eux-mêmes ne changent pas, et qu’ils poursuivent glorieusement leur vie éternelle, sans se soucier de leurs misérables et éphémères parasites. Mais il y a deux raisons de rejeter cette manière de voir.

Le système solaire nous présente le spectacle d’une parfaite harmonie ; les orbites des planètes sont toutes presque circulaires, toutes à peu près dans un même plan, toutes parcourues dans le même sens. Ce ne peut être l’effet du hasard ; on pourrait supposer qu’une intelligence infinie a établi cet ordre au début une fois pour toutes et pour toujours, et tout le monde se serait contenté autrefois de cette explication ; aujourd’hui on ne se satisfait plus à si bon marché ; certes il y a encore bien des gens qui tiennent un Dieu créateur pour une hypothèse nécessaire, mais ils ne conçoivent plus l’intervention divine comme le faisaient leurs devanciers ; leur Dieu est moins architecte et plus mécanicien ; et il reste alors à expliquer par quel mécanisme il a tiré l’ordre du chaos. Si l’ordre que nous constatons n’est pas dû au hasard, et si on renonce à l’attribuer à quelque décret divin immédiatement exécutoire, il faut qu’il ait succédé au chaos, il faut donc que les astres aient changé. Et c’est bien ainsi qu’a raisonné Laplace.

D’autre part, le second principe de la Thermodynamique, le principe de Carnot, nous apprend que le Monde tend vers un état final ; l’énergie « se dissipe », c’est-à-dire que le frottement tend constamment à transformer le mouvement en chaleur et que la température tend partout à s’uniformiser. L’état final du Monde est donc un état d’uniformité ; cet état, qu’il doit atteindre, n’est pas atteint encore ; donc le monde change et même il a toujours changé.

Et voilà le champ ouvert aux hypothèses ; la plus vieille est celle de Laplace ; mais sa vieillesse est vigoureuse, et, pour son âge, elle n’a pas trop de rides. Malgré les objections qu’on lui a opposées, malgré les découvertes que les astronomes ont faites et qui auraient bien étonné Laplace, elle est toujours debout, et c’est encore elle qui rend le mieux compte de bien des faits ; c’est elle qui répond le mieux à la question que s’était posée son auteur. Pourquoi l’ordre règne-t-il dans le système solaire, si cet ordre n’est pas dû au hasard ? De temps en temps une brèche s’ouvrait dans le vieil édifice ; mais elle était promptement réparée et l’édifice ne tombait pas.

On sait en quoi consiste cette hypothèse. Le système solaire est sorti d’une nébuleuse qui s’étendait autrefois au delà de l’orbite de Neptune ; cette nébuleuse était animée d’un mouvement de rotation uniforme ; elle ne pouvait être homogène, elle était condensée et même fortement condensée vers le centre ; elle était formée d’un noyau relativement dense qui est devenu le Soleil, entouré d’une atmosphère d’une ténuité extrême qui a donné naissance aux planètes. Elle se contractait par refroidissement, abandonnant de temps en temps à l’équateur des anneaux nébuleux ; ces anneaux étaient instables ou le devenaient promptement ; ils devaient donc se rompre et finalement se rassembler en une seule masse sphéroïdale.

Au moment où le système commence à se former, il y règne déjà un commencement d’ordre ; les mouvements internes de la nébuleuse ne sont pas capricieux et désordonnés ; ils se ramènent à une rotation uniforme ; c’est cette harmonie initiale qui a produit l’harmonie finale que nous admirons, mais cette harmonie initiale est aisée à expliquer. Les frottements internes de la masse ont dû promptement détruire les irrégularités de ses mouvements intestins et ne laisser subsister qu’une rotation d’ensemble parfaitement régulière. Promptement ? Cela dépend du sens que l’on attache à ce mot ; les inégalités disparaîtront promptement si l’on regarde quelques milliards d’années comme un délai très court. Quand on veut faire le calcul en attribuant à la matière de la nébuleuse la viscosité des gaz que nous connaissons, on arrive à des chiffres fantastiques, et ce n’est pas tout : le refroidissement même et la contraction qui en résulte tendent à troubler cette harmonie si lentement conquise, et, pour qu’elle se conserve, il faut que cette contraction et l’évolution entière du système soient aussi prodigieusement lentes. D’autant plus que l’on a établi qu’il faut des centaines de millions d’années pour que les diverses parties d’un même anneau, en se mouvant séparément suivant les lois de Képler, finissent par se choquer et se coller les unes aux autres ; phénomène qui ne doit être regardé pourtant que comme un court épisode dans l’évolution générale. Ces chiffres ne doivent pas nous effrayer : ils sont en désaccord avec l’âge que d’autres théories attribuent au Soleil et aux étoiles ; mais ces théories soulèvent de leur côté de grandes difficultés. Une réflexion toutefois s’impose : d’autres systèmes semblables au nôtre devaient subir en même temps la même évolution ; chacun d’eux occupait un espace considérable s’étendant bien au delà du rayon de notre Soleil actuel ; si cette évolution a duré trop longtemps, on est obligé de compter avec la probabilité d’un choc, venant tout détruire avant qu’elle soit terminée.

Pour Faye, l’origine des planètes est toute différente ; c’est à l’intérieur de la masse nébulaire elle-même que les planètes et le Soleil se sont différenciés ; dès qu’un commencement de condensation s’est produit en certains points, ces points sont devenus des centres d’attraction, ils ont attiré la matière environnante, s’en sont nourris pour ainsi dire, jusqu’à ce qu’ils aient fini par absorber toute l’atmosphère très ténue de la nébuleuse primitive et par se mouvoir dans le vide. Cette théorie conduit à de singulières conséquences : Mercure serait plus vieux que Neptune et la Terre elle-même plus vieille que le Soleil. Les planètes étaient autrefois beaucoup plus éloignées du Soleil, et Mercure par exemple était à la distance de Saturne ; elles se sont graduellement rapprochées de l’astre central en conservant des orbites circulaires. On ne peut pas dire que Faye ne rend pas compte de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons ; du moins il cherche à le faire et il est bien décidé à donner les coups de pouce nécessaires pour obtenir ce résultat ; mais l’explication qu’il donne est bien imprécise et bien moins satisfaisante pour l’esprit que celle de Laplace. Il avait cru devoir abandonner les idées de Laplace, incapables d’après lui d’expliquer le mouvement rétrograde du satellite de Neptune. Il croyait, comme Laplace lui-même, que le sens de la rotation d’une planète dépend de la distribution des vitesses dans l’anneau qui lui a donné naissance. Nous savons aujourd’hui que cette distribution ne peut être qu’éphémère, puisque l’anneau est instable, qu’elle ne peut donc avoir aucune influence sur le résultat final ; que les rotations de toutes les planètes ont dû être primitivement rétrogrades quelle que soit leur origine, et que l’influence des marées a pu seule les rendre directes. Dans ces conditions, nous n’avons plus aucune raison de préférer l’hypothèse de Faye à celle de Laplace.

La théorie de M. du Ligondès dérive à la fois de celle de Faye et de celle de Kant, Pour lui, le point de départ, n’est plus la nébuleuse de Laplace, dont les mouvements sont déjà régularisés par le frottement, c’est un chaos véritable. Au lieu d’une masse gazeuse dont les diverses parties sont rendues plus ou moins solidaires les unes des autres par l’effet de la viscosité, et qui forme en tout cas un continu, nous n’avons plus qu’un essaim de projectiles se croisant au hasard dans tous les sens. Que sont ces projectiles ? Ce peuvent être des météorites solides, ou d’énormes bulles de gaz, peu importe ; entre eux il n’y a que le vide ou une atmosphère assez ténue pour ne pas gêner la liberté de leurs mouvements. De temps en temps ces mouvements sont troublés, soit parce que ces corps approchent beaucoup les uns des autres, soit parce qu’ils se choquent physiquement. Et ce sont ces chocs qui produisent l’évolution ; s’il n’y avait ni choc, ni résistance passive, ou même si les corps qui se choquent étaient parfaitement élastiques, ces projectiles, malgré l’attraction qu’ils exercent les uns sur les autres, pourraient circuler indéfiniment sans montrer aucune tendance à la concentration ; de même que, dans le vide, les planètes tourneraient perpétuellement autour du Soleil, sans jamais tomber sur l’astre qui les attire. Supposons au contraire deux planètes circulant en sens contraire sur la même orbite circulaire ; avant d’avoir décrit une demi-circonférence, elles se rencontreront, leur vitesse sera détruite par le choc, si on les suppose dépourvues d’élasticité, et elles tomberont ensemble sur le Soleil, augmentant ainsi la masse de l’astre central. De pareils chocs peuvent devenir fréquents dans un milieu constitué comme l’imagine M. du Ligondès ; il y a donc une concentration progressive de la masse ; on la voit peu à peu s’organiser, les planètes et le Soleil se differentient, puis se nourrissent de la matière qui les entoure et finissent par tout absorber, On peut montrer que par le jeu même de ces chocs, on arrive à un système d’orbites peu excentriques et peu inclinées. Bien que se faisant au hasard et pour ainsi dire aveuglément, ces chocs transforment le chaos en un cosmos admirablement réglé, où l’uniformité primitive a fait place à la variété, mais à une variété harmonieuse.

La nébuleuse de M. du Ligondès, sillonnée en tous sens par des projectiles se mouvant au hasard, ressemble beaucoup au gaz de la théorie cinétique. Peu importe que les projectiles soient de taille très différente, puisque dans un cas ce sont des atomes et dans l’autre des météorites, ou de petits astres. Et cependant la Thermodynamique et la théorie cinétique nous enseignent que les gaz, comme le monde physique tout entier, tendent sans cesse vers l’uniformité. Les lois du hasard et celles des grands nombres tendent à niveler très rapidement les inégalités que le gaz peut présenter, jusqu’à ce que la température et les vitesses deviennent uniformes dans toute la masse. Prenons comme point de départ un système de molécules gazeuses dont les vitesses, au lieu d’être fortuitement réparties, seraient harmonieusement distribuées, de manière à faire une sorte de cosmos pareil au système solaire ; au bout de peu de temps, nous serons retombés dans le chaos, les masses primitivement différenciées se seront confondues en une seule, les vitesses seront de nouveau réparties suivant la loi de Maxwell, qui est celle du hasard. Comment deux mécanismes en apparence idendiques ont-ils pu produire deux effets opposés ? La réponse est aisée : dans la théorie cinétique des gaz, on regarde les molécules gazeuses comme parfaitement élastiques, il n’y a rien qui ressemble à une résistance passive, la force vive n’est jamais détruite ; dans l’hypothèse de M. du Ligondès, les corps en se choquant perdent leur force vive, au moins en partie, et la transforment en chaleur ; nous avons vu que c’était là l’origine d’une tendance à la concentration et par conséquent à la différentiation. Nos projectiles peuvent donc subir deux sortes de perturbations ; de brusques déviations causées par l’attraction newtonienne, quand deux masses viennent à se rapprocher sans se toucher, et des chocs physiques. Les premières perturbations, de beaucoup les plus fréquentes, se font sans perte de force vive, elles sont tout à fait assimilables aux chocs des molécules gazeuses dans la théorie cinétique ; elles tendent donc à maintenir le chaos, ou même à le rétablir, et à faire régner partout la loi de Maxwell. Les chocs physiques au contraire entraînent des résistances passives ; c’est à eux que nous devons l’organisation du cosmos.

Et alors une réflexion s’impose ; on admet en général que les atomes ne sont soumis à aucune résistance passive, de sorte qu’ils se comportent dans le choc comme des corps élastiques ; ils suivent ainsi sans restriction les lois de la Mécanique théorique. Si les corps de dimension sensible semblent s’en écarter à tel point que les phénomènes observés sont irréversibles, c’est qu’ils se composent d’atomes très nombreux et que la loi des grands nombres intervient. Cela va bien si les atomes sont eux-mêmes regardés comme des points matériels et si le mot « atome » doit être entendu au sens étymologique ; mais il est loin d’en être ainsi ; les éléments d’un gaz dans la théorie cinétique sont les « molécules » et chacune d’elles contient plusieurs atomes chimiques ; chaque atome à son tour est formé d’électrons, et il serait puéril de supposer qu’on n’ira jamais plus loin et que les électrons ne se résoudront pas un jour en éléments plus petits. Une molécule ou un mot est un édifice aussi compliqué que le système solaire ; ses éléments ultimes très nombreux doivent obéir à la loi des grands nombres, de sorte que dans l’intérieur de l’atome lui-même, il y aura des résistances passives. Ne pourrait-on concevoir que ces résistances jouent le même rôle que dans la théorie de M. du Ligondès et ne pourraient-elles tendre à produire la différenciation à l’encontre du principe de Carnot ?

Dans la théorie de M. See, les planètes ne se sont pas détachées du Soleil, non plus que la Lune de la Terre. Tous ces astres ont eu de tout temps une existence individuelle.

Les planètes ont été captées par le Soleil et la Lune par la Terre. Comment s’est faite cette capture ? Le Soleil était autrefois entouré d’une atmosphère ; dès qu’un astre vagabond y pénétrait, il éprouvait une résistance ; son orbite, d’abord hyperbolique devenait elliptique par suite de la diminution de vitesse ; puis elle se rapprochait de la forme circulaire, en même temps que son rayon décroissait. L’astre ainsi capté aurait fini par tomber sur le Soleil, s’il avait continué à subir la résistance de l’atmosphère solaire, mais cette atmosphère absorbée par le Soleil est devenue de plus en plus ténue et a fini un jour par disparaître ; à partir de ce moment les orbites des planètes n’ont plus varié. Cette théorie rend bien compte de la faiblesse des excentricités, mais elle n’explique pas celle des inclinaisons.

Il ne faudrait pas croire que si notre système solaire a évolué dans le passé, il a atteint aujourd’hui son état définitif ; que l’atmosphère plus ou moins ténue dans laquelle nageaient pour ainsi dire les corps célestes ayant été résorbée et ayant disparu, les planètes, désormais séparées les unes des autres par le vide, sont ainsi soustraites à une résistance passive. Même à distance, ces résistances peuvent entrer en jeu ; on sait qu’on a construit des moteurs qui utilisent la puissance des marées ; ces moteurs ne peuvent créer de l’énergie, il faut qu’ils l’empruntent à une source quelconque, et cette source ne peut être que la force vive des corps célestes. Si l’homme n’avait pas construit de moteurs, l’énergie ainsi empruntée n’aurait pas été utilisée, elle se serait perdue inutilement en frottements, en chocs des vagues sur les côtes ; mais dans un cas comme dans l’autre, la force vive des astres va sans cesse en diminuant ; la vitesse de rotation de la Terre diminue constamment, mais avec une extrême lenteur ; cela est arrivé beaucoup plus rapidement pour la Lune et le processus s’est poursuivi jusqu’à ce que la durée de sa rotation soit devenue exactement égale à celle de sa révolution ; de telle sorte que notre satellite nous présente toujours la même face.

Ce phénomène a joué dans l’évolution cosmogonique un rôle que Sir G. H. Darwin a bien mis en évidence. Deux causes tendaient à modifier la rotation des planètes ; l’action des marées dont nous venons de parler tendait à la ralentir et, plus exactement, à lui donner même sens et même durée qu’à la révolution de l’astre autour du Soleil ; d’autre part, le refroidissement et la contraction, en diminuant le moment d’inertie, tendait au contraire à l’accélérer. La première de ces deux causes a transformé la rotation des planètes primitivement rétrograde en une rotation directe de même durée que la révolution orbitale ; c’est ensuite que la seconde cause, devenue prépondérante, a donné à ces planètes une rotation qui est restée directe, mais qui est devenue beaucoup plus rapide.

La durée du jour va donc sans cesse en augmentant, mais, par une sorte de réaction, celle du mois augmente également, la Lune s’éloigne constamment de la Terre. Au moment de sa formation, notre satellite touchait presque la surface de notre globe ; le mois et le jour avaient même durée, cinq ou six de nos heures actuelles ; en revanche, quand de longs siècles seront écoulés, le mois et le jour redeviendront égaux entre eux, à peu près égaux à deux de nos mois actuels, et la Terre présentera toujours la même face à la Lune, comme la Lune à la Terre.

Toutes ces hypothèses, si divergentes d’ailleurs, ont un caractère commun ; ce sont des théories de Mécanique rationnelle, d’Astronomie mathématique ; elles font peu d’emprunts aux sciences physiques ; elles sont par là incomplètes. Les physiciens, dont l’intervention était aussi inévitable qu’elle était désirable, se sont surtout préoccupés de l’origine de la chaleur solaire. Des mesures précises nous ont montré l’étonnante dépense de chaleur que fait le Soleil à chaque seconde. Quelles ressources a-t-il qui lui permettent une telle prodigalité ? Où a-t-il pu emmagasiner une provision d’énergie suffisante pour des millions d’années ? Et quelle a pu être l’origine de cette provision ? On a pu penser d’abord que cette énergie était d’origine chimique, le Soleil brûlerait comme un gros morceau de charbon : cette hypothèse n’est pas tenable ; à ce compte, le Soleil n’aurait été qu’un feu de paille éphémère, à peine capable d’éclairer les hommes pendant la durée de l’histoire.

Et alors Lord Kelvin et Helmholtz ont pensé que l’énergie solaire pouvait être d’origine mécanique ; on a songé d’abord aux météorites qui tombent comme une pluie constante à sa surface, et dont la force vive est constamment détruite et transformée en chaleur. Cela ne suffisait pas encore ; mais si les divers matériaux dont est formé le Soleil ont été autrefois séparés par de grandes distances et se sont ensuite concentrés sous l’influence de l’attraction, le travail de cette attraction a dû être énorme ; s’il s’est transformé en force vive, puis en chaleur, nous avons une provision de chaleur dix mille fois plus grande que celle que donnerait la combustion d’un globe de charbon gros comme le Soleil.

La nébuleuse solaire a sans doute été froide au début et elle s’est échauffée parce qu’elle se contractait.

Nous voilà bien loin de la nébuleuse de Laplace, primitivement très étendue parce qu’elle était très chaude et qui se contractait parce qu’elle se refroidissait. On est ainsi amené à se demander comment va se comporter une masse gazeuse soumise à la gravitation ; elle ne peut perdre de la chaleur sans se refroidir, ni se refroidir sans se contracter, ni se contracter sans s’échauffer. Que va-t-il en résulter en somme ? Sa température va-t-elle s’élever bien qu’elle perde de la chaleur par rayonnement, comme si sa chaleur spécifique était négative ? Ou bien enfin allons-nous avoir à la fois contraction et refroidissement ? On peut donner une réponse à cette question s’il s’agit d’un gaz parfait : s’il est monoatomique ou diatomique, il se contractera quand il perdra de la chaleur par rayonnement, mais sa température augmentera, il se comportera comme si sa chaleur spécifique était négative ; au contraire, il se contractera en se refroidissant, s’il est polyatomique ou bien encore s’il est assez condensé pour s’écarter notablement des lois d’un gaz parfait.

Quoi qu’il en soit, on n’aura ainsi de chaleur que pour 50 millions d’années ; et alors les transformistes et les géologues ont jeté les hauts cris : « Cinquante millions d’années, qu’est-ce que c’est que cela ! Comment voulez-vous qu’en aussi peu de temps, nous fassions évoluer les espèces, que nous engloutissions des continents et que nous en fassions surgir de nouveaux, que nous élevions deux chaînes de montagnes pareilles aux Alpes, comme les chaînes calédonienne et hercynienne et que nous les rasions ensuite par le lent mécanisme de l’érosion ? » Ces plaintes paraissent légitimes, et il faut bien 200 millions d’années depuis le début du dévonien ; mais alors d’où vient la chaleur solaire, si son origine n’est ni mécanique, ni chimique au sens ordinaire du mot ? La question paraissait sans réponse quand on a découvert le radium. Lui seul paraissait capable de tout expliquer ; tout au moins il nous montrait qu’il reste bien des mystères à découvrir et qu’il ne faut pas se hâter d’affirmer qu’un phénomène est inexplicable.

La théorie de Laplace, comme toutes celles que nous venons d’exposer, ne sort pas des limites du système solaire. Laplace, sans aucun doute ne négligeait pas de propos délibéré les autres systèmes, mais il pensait qu’ils devaient tous être plus ou moins semblables au nôtre et que ce qui convenait à l’un convenait aux autres. D’ailleurs ils lui semblaient séparés par de trop grandes distances pour pouvoir réagir les uns sur les autres. Les progrès de l’astronomie stellaire ne nous permettent plus de nous attarder à ce point de vue ; le télescope nous révèle dans le ciel étoilé une variété beaucoup plus riche que tout ce qu’on aurait pu attendre. Nous avons d’abord les étoiles doubles, qui sont loin d’être des exceptions ; on peut estimer que sur trois étoiles il y a pour le moins une étoile double, Parfois les deux composantes sont faciles à séparer, parfois aussi elles se touchent presque et, si l’une d’elles est peu lumineuse, des éclipses périodiques se traduisent pour nous par des variations d’éclat. C’est alors la spectroscopie ou la photométrie qui nous apprennent que nous avons affaire à un système double et qui nous permettent d’en déterminer l’orbite. Est-il possible que le même mécanisme ait pu donner naissance à un système comme le nôtre où un corps central a absorbé la presque totalité de la masse et où des planètes minuscules sont séparées par des distances énormes ; et à un de ces systèmes singuliers où la masse est à peu près également partagée entre deux ou trois composantes et où, dans certains cas, les distances des astres sont comparables à leurs dimensions ?

À ces systèmes doubles, la théorie de Laplace n’est évidemment pas applicable (et d’ailleurs les excentricités ne sont généralement pas très petites) ; mais on peut imaginer d’autres hypothèses ; considérons une nébuleuse en rotation comme celle de Laplace, mais qui en diffère parce que sa masse, au lieu d’être concentrée presque tout entière dans un noyau central, est à peu près uniformément répartie. En se refroidissant, elle se contractera et sa rotation va s’accélérer ; elle s’aplatira de plus en plus ; quand l’aplatissement aura dépassé une certaine limite, elle s’allongera dans un sens de façon à présenter trois axes inégaux ; c’est la figure que, dans le cas d’homogénéité parfaite, on appelle un ellipsoïde de Jacobi ; plus tard encore cette figure s’étranglera dans sa partie médiane et finira par se diviser en deux masses, inégales sans doute, mais comparables. Il est possible que ce soit là l’origine des étoiles doubles ; mais sans sortir de notre système solaire, il est possible que ce soit également celle de la Lune. Ce satellite est plus petit que la Terre, mais le rapport des masses est loin d’être aussi faible que pour les satellites de Jupiter, de Saturne, ou même de Mars.

Ce n’est pas tout : les étoiles simples elles-mêmes ne sont pas toutes pareilles entre elles ; le spectroscope nous a montré combien elles diffèrent, et il est assez naturel de supposer qu’elles diffèrent surtout par l’âge et que les différents types spectraux correspondent à différents types de l’évolution. Si même elles se sont toutes formées en même temps, il peut y avoir bien des raisons pour lesquelles certaines d’entre elles ont vieilli plus vite que les autres. D’autres objets sollicitent encore l’attention de l’astronome : il y a d’abord les amas stellaires, puis les nébuleuses dont les unes sont résolubles, tandis que les autres montrent par leur spectre qu’elles sont entièrement formées d’un gaz très subtil. Ces nébuleuses présentent les formes les plus variées, disques, anneaux, spirales ou amas irréguliers. Les premiers qui les ont examinées avec quelque soin ont été naturellement conduits à les assimiler à la nébuleuse de Laplace, ou à celles des théories rivales qui admettent toutes le même point de départ. Ces nébuleuses sont-elles de futures étoiles ou de futurs amas d’étoiles ; on était d’abord invinciblement porté à le penser ; on en est bien moins sûr aujourd’hui.

Il semble que nous avons sous les yeux des objets qu’il suffit de comparer pour reconstruire tout le passé des astres, comme le naturaliste qui a dans le champ de son microscope des cellules présentant toutes les phases de la division cellulaire, et qui peut reconstituer à coup sûr toute l’histoire de cette division, bien que ces cellules soient désormais fixées et inertes.

La cosmogonie va-t-elle donc sortir de l’âge des hypothèses et de l’imagination pour devenir une science expérimentale, ou tout au moins une science d’observation ? Bien mieux, de temps en temps nous voyons naître une étoile, qui s’allume inopinément dans le Ciel, pour diminuer promptement d’éclat et prendre un spectre qui rappelle celui des nébuleuses planétaires ; de sorte qu’on n’a jamais vu une nébuleuse se transformer en étoile comme le voulait Laplace [1], et que, au contraire, on a vu souvent une étoile se transformer en nébuleuse. La nature n’est-elle pas là surprise en flagrant délit dans sa fonction créatrice ?

Il ne faut pas pourtant se leurrer de vaines illusions ; de trop grandes espérances seraient au moins prématurées, Et ce qui le prouve, c’est la diversité des opinions des astronomes sur l’évolution des étoiles, et en particulier sur l’origine des étoiles nouvelles. La première pensée, la plus naturelle, a été que les nébuleuses sont extrêmement chaudes et représentent la première phase de l’évolution, et pour ainsi dire l’enfance des astres, et qu’on rencontre ensuite les étoiles blanches, puis les étoiles jaunes et enfin les étoiles rouges de plus en plus vieilles et en même temps de plus en plus froides. Pour Sir N. Lockyer, l’histoire du monde stellaire a été plus compliquée ; les nébuleuses, sont au contraire très froides (et sur ce point je crois que tout le monde est aujourd’hui d’accord et qu’on regarde la lumière dont elles brillent comme d’origine électrique). Elles ne sont en réalité qu’un essaim de météorites ; par leurs chocs incessants, ces météorites s’échauffent, se vaporisent et forment finalement une masse gazeuse extrêmement chaude, en un mot une étoile ; les chocs ont alors cessé et le calme renaît ; par l’effet du rayonnement, l’étoile se refroidit peu à peu et finit par s’éteindre et s’encroûter ; elle repasse dans l’ordre inverse par les stades de température qu’elle a parcourus dans son ascension, de sorte que le cycle complet sera : nébuleuse, étoile rouge, étoile jaune, étoile blanche, étoile jaune, étoile rouge, étoile éteinte. Les étoiles de la série ascendante sont néanmoins bien différentes des étoiles correspondantes de la série descendante ; toute la masse des premières est brassée par de violents courants de convection ; les météorites n’ont pas encore entièrement disparu et leurs chocs entretiennent l’agitation ; les secondes jouissent d’un calme relatif ; Sir N. Lockyer croit pouvoir distinguer cette différence par l’étude de leurs spectres.

Les Novæ, depuis l’époque de Tycho-Brahé, ont surexcité l’imagination des astronomes. Leur apparition est brusque et a les allures d’un cataclysme. Est-ce une éruption qui serait en grand analogue à celles qui produisent les protubérances solaires ? On a mieux aimé recourir à l’hypothèse d’un choc, et c’est en effet l’idée que l’aspect de ces phénomènes nous suggère irrésistiblement. Mais il y a bien des façons de comprendre les circonstances et les effets d’un choc. Sont-ce deux corps solides qui s’échauffent subitement dès que leur rencontre a détruit leur force vive ? Est-ce un corps solide énorme, ou une étoile peu brillante, ou encore un essaim de météorites qui pénètre dans une nébuleuse et qui doit son incandescence au frottement ? Ou bien encore, comme le veut Arrhenius, les soleils encroûtés ne conservent-ils pas dans leurs flancs une provision d’énergie énorme, sous forme radioactive par exemple ? Cette provision qui demeure inutilisée et comme latente, tant qu’elle reste emprisonnée dans la croûte, ne peut-elle être libérée subitement, si un choc vient à briser cette croûte ? Elle se dépense alors en peu de temps ; de sorte que le choc produirait de la chaleur, non comme quand une balle a frappé une cuirasse qu’elle n’a pu traverser et qu’elle retombe toute rougie sur le sol ; mais comme quand la fusée d’un obus chargé de matières explosives détone à la rencontre d’un obstacle, il est certain que les Novæ se montrent souvent entourées de nébulosités ; mais ces nébulosités sont-elles la cause ou l’effet du phénomène ; est-ce parce que l’étoile les a rencontrées qu’elle est subitement devenue brillante ; ou est-ce quelque déchet qu’elle rejette de son sein et comme la fumée de l’explosion. De tout cela nous ne savons rien.

Le mystère s’accroît quand au lieu de considérer chaque étoile en particulier, on en envisage l’ensemble et qu’on réfléchit sur leurs mutuels rapports. Les étoiles ont-elles pris naissance en même temps, ou s’allument-elles successivement, pendant que d’autres s’éloignent ? Si elles ont même date de naissance, les unes ont-elles vieilli plus vite que les autres, et est-ce pour cette raison qu’elles sont aujourd’hui itinérantes ? Mais alors à coté des étoiles, brillantes, n’y a-t-il pas, en beaucoup plus grand nombre, des étoiles éteintes dont la masse inutile encombre les cieux ? Comment pouvons-nous le savoir ? Peut-être les considérations suivantes, dont la première idée est due à Lord Kelvin, peuvent-elles aider à résoudre la question. La Voie Lactée est formée d’étoiles fort nombreuses, s’attirant mutuellement et se mouvant dans tous les sens ; elle nous offre donc l’image d’un gaz, dont les molécules s’attirent et sont animées de vitesses dans les directions les plus diverses ; chaque étoile joue ainsi le rôle d’une molécule gazeuse. Cette assimilation semble légitime et l’on peut songer à étendre à l’univers stellaire les résultats de la théorie cinétique des gaz. Un gaz soumis à l’attraction newtonionne prendra au bout de peu de temps un état d’équilibre adiabatique où les vitesses moléculaires obéiront à la loi de Maxwell et où la température croîtra vers le centre ; la température centrale dépendra de la masse totale du gaz et de son volume total. Cette température est mesurée par les vitesses moléculaires. Appliquons ces principes à la Voie Lactée ; les vitesses stellaires que nous observons appartiennent aux astres voisins de nous et par conséquent du centre de la Voie Lactée ; elles correspondent donc à la « température centrale », et elles peuvent nous renseigner sur les dimensions et sur la masse totale de cette agglomération d’étoiles assimilée à une énorme bulle gazeuse. On trouve ainsi que le télescope en a presque atteint les limites, extrêmes, et qu’il doit y avoir peu d’étoiles obscures ; si en effet il y en avait beaucoup plus que d’astres brillants, elles concourraient à l’attraction totale et les mouvements propres des étoiles seraient beaucoup plus grands que ceux qu’on a observés.

Cela paraît reposer sur des raisonnements irréfutables ; si la Voie Lactée a atteint l’état stable vers lequel elle tend nécessairement, tout ce que nous venons de dire est vrai, et les mouvements propres doivent être répartis conformément à la loi de Maxwell. Le sont-ils ? l’observation seule peut répondre ; or il paraît bien qu’elle répond, non. D’après Kapteyn et d’autres astronomes tout se passe comme si on se trouvait en présence de deux essaims d’étoiles, obéissant séparément à la loi de Maxwell, mais avec des constantes différentes ; ces deux essaims se pénètrent d’ailleurs mutuellement et ne sont pas séparés. Il semble que deux voies lactées qui avaient atteint leur état d’équilibre final se sont un jour rencontrées, et n’ont pas encore exercé l’une sur l’autre une action assez prolongée pour que les différences qui les distinguent se soient entièrement nivelées. Elles sont semblables à deux bulles gazeuses qui se seraient rencontrées, mais n’auraient pas encore eu le temps de se mélanger. Nous retrouvons ainsi, sous une forme nouvelle et inattendue, cette intervention du choc, dont l’importance cosmogonique a été mise en évidence par l’étude des Novæ, et que nous retrouvons à la base de certaines théories, telles que celle de M. Belot.

Si néanmoins les conclusions de Lord Kelvin subsistent dans leurs traits généraux, et si le nombre des étoiles éteintes n’est pas énorme, nous devons penser que tous les flambeaux de notre ciel se sont allumés à peu près en même temps et que l’âge de la Voie Lactée ne dépasse pas un petit nombre de vies d’étoiles.

L’une des théories cosmogoniques les plus récentes, et à coup sûr l’une des plus originales, est celle de M. Svante Arrhenius. Pour lui, les astres ne sont pas, comme on le pense d’ordinaire, des individus à peu près étrangers les uns aux autres, séparés par des vides immenses et n’échangeant guère que leurs attractions et leur lumière : ils échangent bien d’autres choses, de l’électricité, de la matière et jusqu’à des germes vivants. La pression de radiation est une force qui émane des corps lumineux et qui repousse les corps légers, c’est elle qui forme les queues des comètes dont la matière très ténue est repoussée par la lumière du Soleil. C’est elle aussi qui, d’après M. Arrhenius, chasserait du Soleil de très petites particules, et les pousserait jusque sur la Terre, jusqu’aux planètes et jusqu’aux lointaines nébuleuses. Ces particules finiraient par s’agglutiner en formant les météorites ; et ces météorites, pénétrant dans la masse des nébuleuses, deviendraient des centres de condensation autour desquels la matière commencerait à se concentrer ; nous retrouvons ensuite toute l’histoire des étoiles, leur naissance presque obscure, leur splendeur, leur décadence aboutissant à l’encroûtement final. Cet encroûtement ne serait pas toutefois la mort définitive ; mais seulement le début d’une longue période de vie latente, obscure et silencieuse jusqu’au jour où un choc libérerait brusquement cette énergie endormie, l’explosion qui en résulterait donnerait naissance à une nébuleuse et le cycle recommencerait.

La vie latente doit être beaucoup plus longue que la vie brillante ; d’où il suit qu’il doit y avoir beaucoup plus d’étoiles obscures que d’étoiles visibles, contrairement aux vues de Lord Kelvin.

Pour M. Arrhenius, le monde est infini et les astres y sont distribués d’une façon sensiblement uniforme ; si nos télescopes semblent assigner des limites à l’Univers, c’est parce qu’ils sont trop faibles, et que la lumière qui nous vient des soleils les plus éloignés est absorbée en route. On a fait à cette hypothèse une double objection. D’une part, si la densité des étoiles est constante dans tout l’espace, leur lumière totalisée devrait donner au Ciel entier l’éclat même du Soleil. Cela serait vrai si le vide interstellaire laissait passer toute la lumière qui le traverse sans en rien garder, de sorte que l’éclat apparent d’un astre varierait en raison inverse du carré de la distance. Il suffit, pour échapper à cette difficulté, de supposer que le milieu qui sépare los étoiles est absorbant ; il peut d’ailleurs l’être très peu. L’autre objection, c’est que l’attraction newtonienne serait infinie ou indéterminée ; pour nous tirer d’affaire, il nous faut alors supposer que la loi de Newton n’est pas rigoureusement exacte, et que la gravitation subit une sorte d’absorption, se traduisant par un facteur exceptionnel, Si on consent à faire cette hypothèse, les conclusions de Lord Kelvin ne s’imposent plus, car nous les avons établies en partant de la loi de Newton ; la Voie Lactée ne serait plus assimilable à une bulle gazeuse dont la densité et la température augmentent vers le centre, mais à ce que nous pouvons voir d’une masse gazeuse indéfinie et homogène, de densité et de température uniforme,

Ce n’est pas tout : le monde de M. Arrhenius n’est pas seulement infini dans l’espace, mais il est éternel dans le temps ; c’est surtout ici que ses vues sont géniales et qu’elles nous apparaissent comme suggestives, quelques objections qu’elles soulèvent d’ailleurs. L’Univers est comme une vaste machine thermique, fonctionnant entre une source chaude et une source froide ; la source chaude est représentée par les Étoiles et la source froide par les nébuleuses. Mais nos machines thermiques ne tarderaient pas à s’arrêter, si on ne leur fournissait sans cesse de nouveaux combustibles ; abandonnées à elles-mêmes, les deux sources s’épuiseraient, c’est-à-dire que leurs températures s’égaliseraient et finiraient par se mettre en équilibre. C’est là ce qu’exige le principe de Carnot. Et ce principe lui-même est une conséquence des lois de la Mécanique statistique. C’est parce que les molécules sont très nombreuses qu’elles tendent à se mélanger et à ne plus obéir qu’aux lois du hasard. Pour revenir en arrière, il faudrait les démêler, détruire le mélange une fois fait ; et cela semble impossible ; il faudrait pour cela le démon de Maxwell, c’est-à-dire un être très délié et très intelligent, capable de trier des objets aussi petits.

Pour que le monde pût recommencer indéfiniment, il faudrait donc une sorte de démon de Maxwell automatique. Ce démon, M. Arrhenius croit l’avoir trouvé. Les nébuleuses sont très froides, mais très peu denses, très peu capables par conséquent de retenir par leur attraction les corps en mouvement qui tendent à en sortir. Les molécules gazeuses sont animées de vitesses diverses, et plus les vitesses sont grandes en moyenne plus le gaz est chaud. Le rôle du démon de Maxwell, s’il voulait refroidir une enceinte, serait de trier les molécules chaudes, c’est-à-dire celles dont la vitesse est grande et de les expulser de l’enceinte, où ne resteraient que les molécules froides. Or, les molécules qui ont le plus de chances de s’échapper de la nébuleuse, sans y être retenues par la gravitation, ce sont précisément les molécules à grande vitesse, les molécules chaudes ; les autres restant seules, la nébuleuse pourra rester froide tout en recevant de la chaleur.

On peut tenter de se placer à d’autres points de vue, de dire par exemple qu’ici la véritable source froide, c’est le vide avec la température du zéro absolu et qu’alors le rendement du cycle de Carnot est égal à 1. D’autre part, ce qui distingue la chaleur de la force vive mécanique, c’est que les corps chauds sont formés de molécules nombreuses dont les vitesses ont des directions diverses, tandis que les vitesses qui produisent la force vive mécanique ont une direction unique ; réunies, les molécules gazeuses forment un gaz qui peut être froid et dont le contact refroidit ; isolées, au contraire, elles seraient des projectiles dont le choc réchaufferait. Or, dans le vide interplanétaire, elles sont séparées par d’énormes distances et pour ainsi dire isolées ; leur énergie s’élèverait donc en dignité, elle cesserait d’être de la simple « Chaleur » pour être promue au rang de « Travail ».

Bien des doutes subsistent toutefois ; le vide ne va-t-il pas se combler, si le monde est infini ; et, s’il ne l’est pas, sa matière en s’échappant, ne va-t-elle pas s’évaporer jusqu’à ce qu’il ne reste rien ? De toutes manières, nous devrions renoncer au rêve du « Retour éternel « et de la perpétuelle renaissance des mondes ; il semble donc que la solution de M. Arrhenius est encore insuffisante ; ce n’est pas assez de mettre un démon dans la source froide, il en faudrait encore un dans la source chaude.

Après cet exposé, on attend sans doute de moi une conclusion, et c’est cela qui m’embarrasse. Plus on étudie cette question de l’origine des astres, moins on est pressé de conclure. Chacune des théories proposées est séduisante par certains côtés. Les unes donnent d’une façon très satisfaisante l’explication d’un certain nombre de faits ; les autres embrassent davantage, mais les explications perdent en précision ce qu’elles gagnent en étendue ; ou bien, au contraire, elles nous donnent une précision trop grande, mais qui n’est qu’illusoire et qui sent le coup de pouce.

S’il n’y avait que le système solaire, je n’hésiterais pas à préférer la vieille hypothèse de Laplace ; il y a très peu de choses à faire pour la remettre à neuf. Mais la variété des systèmes stellaires nous oblige à élargir nos cadres, de sorte que l’hypothèse de Laplace, si elle ne doit pas être entièrement abandonnée, devrait être modifiée de façon à n’être plus qu’une forme, adaptée spécialement au système solaire, d’une hypothèse plus générale qui conviendrait à l’Univers tout entier et qui nous expliquerait à la fois les destins divers des Étoiles, et comment chacune d’elles s’est fait sa place dans le grand tout.

Or, sur ce point, les données sont insuffisantes et nous avons encore beaucoup à attendre de l’observation. Les deux courants d’étoiles de Kapteyn existent-ils et y en a-t-il d’autres ? Que sont les nébuleuses et en particulier les nébuleuses spirales ? Sont-elles à des distances énormes, en dehors de la Voie Lactée, et sont-elles elles-mêmes des voies lactées vues de loin ? Ou bien, malgré la nature de leur spectre, sont-elles incapables d’être assimilées à des amas de vraies étoiles ; devons-nous accepter la mesure de Bohlin au sujet de la parallaxe de la nébuleuse d’Andromède et la conclusion que See en tire, et qui nous représenterait cet objet céleste comme formé de soleils sans doute, mais de soleils gros comme les astéroïdes qui circulent entre Mars et Jupiter ? Est-il possible d’admettre que notre système solaire soit sorti d’une des espèces de nébuleuses que nous connaissons, par exemple des nébuleuses spirales, ou planétaires, ou annulaires ? Voilà une question à laquelle on ne pourra tenter de répondre que quand on connaîtra mieux la nature, la distance et par conséquent les dimensions de ces corps.

Un fait qui frappe tout le monde, c’est la forme spirale de certaines nébuleuses ; elle se rencontre beaucoup trop souvent pour qu’on puisse penser qu’elle est due au hasard. On comprend combien est incomplète toute théorie cosmogonique qui en fait abstraction. Or aucune d’elles n’en rend compte d’une manière satisfaisante et l’implication que j’ai donnée moi-même un jour, par manière de passe-temps, ne vaut pas mieux que les autres. Nous ne pouvons donc terminer que par un point d’interrogation.

Henri Poincaré



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CHAPITRE i.

HYPOTHÈSE DE KANT.


1. Emmanuel Kant a exposé ses idées sur la constitution et l’origine de l’Univers dans un Ouvrage publié on 1755 sous le titre Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels [2], et il les a reproduites en 1763 dans un autre écrit : Der einzig mögliche Beweisgrund zu einer Demonstration des Daseins Gottes. Nous empruntons au Livre de H. Faye : Sur l’Origine du Monde (Paris, Gauthier-Villars, 4e édit., 1907, p. 131 et suiv.) la traduction de quelques passages du grand philosophe allemand.

« Les conditions mécaniques du système planétaire dont toutes les parties tournent dans le même sens autour du Soleil, dans des cercles couchés à peu près sur le même plan de son équateur, ont frappé tous les chercheurs. Tous se sont accordés à y voir l’effet d’un mouvement d’ensemble déterminé par quelque cause naturelle. De là, les tourbillons de Descartes qui ont conservé des adhérents longtemps après que Newton eut prouvé qu’il n’y avait au ciel rien de semblable, et que les queues des comètes traversaient ces prétendus tourbillons sans s’y laisser dévier. » (p. 132.)

Ainsi, Descartes avait rempli l’espace de ses tourbillons, tandis que Newton avait montré qu’il est vide de toute matière pondérable. Kant cherchera alors à expliquer les particularités du système planétaire, en supposant que l’espace, actuellement vide, ne l’a pas toujours été. Il admet qu’à l’origine la matière qui compose les astres était répandue dans tout l’espace, où elle formait une sorte de chaos nébulaire uniforme dont les particules s’attiraient mutuellement suivant la loi de Newton. Cet état d’uniformité serait instable, tout centre de condensation, si petit qu’il soit, devenant immédiatement centre d’attraction.

Donc, d’après Kant, l’uniformité doit engendrer la diversité, l’homogène doit produire l’hétérogène ; — c’est là un point que nous étudierons et discuterons plus loin en détail [3] — disons seulement dès maintenant qu’Emmanuel Kant n’est pas en contradiction, malgré les apparences, avec le second principe de la Thermodynamique, qu’on énonce parfois de cette façon un peu vague : l’état final des systèmes est l’homogénéité.

C’est un peu plus loin que Kant se met en opposition absolue avec les principes de la Mécanique :


« Admettons donc, dit-il, qu’à l’origine la matière du Soleil et des planètes ait été répandue dans tout cet espace, et qu’il se soit trouvé quelque part, là où le Soleil s’est effectivement formé, une légère prépondérance de densité et par suite d’attraction. Aussitôt une tendance générale s’est prononcée vers ce point, les matériaux y ont afflué et, peu à peu, cette masse première a grandi. Bien que des matériaux de densités différentes se trouvassent partout, cependant les plus lourds ont dû particulièrement sc presser dans cette région centrale ; car, seuls, ils ont réussi à pénétrer à travers ce chaos de matériaux plus légers, et à s’approcher du centre de la gravitation générale. Or, dans les mouvements qui devaient résulter de la chute inégale de ces corps, les résistances produites entre les particules se gênant les unes les autres n’ont pu être si parfaitement les mêmes en tout sens, qu’il n’en soit résulté, çà et là, des déviations latérales. En pareil cas s’applique une loi générale des réactions mutuelles des corps, à savoir que ces corps se détournent et tâtonnent, pour ainsi dire, jusqu’à ce qu’ils aient trouvé le chemin de la moindre résistance. Ces déviations latérales aboutissent donc forcément à une circulation commune, dans le même sens et dans la même région. Et même les particules dont le Soleil a été formé lui sont parvenues affectées déjà par ce genre de déviation, en sorte que le corps résultant, le Soleil, s’est trouvé animé d’une rotation dans le même sens. » (p. 132-133)


La pensée de Kant, à laquelle aucun mathématicien ne saurait se rallier, se comprend sans difficulté et il est aisé de voir quelle a été l’origine de l’erreur ; dans une foule la police impose parfois un sens déterminé de circulation afin d’éviter les heurts et les encombrements. Kant imagine qu’il s‘établit entre les particules en mouvement une sorte de police spontanée et automatique, pur l’effet des chocs eux-mêmes. Inutile d’ajouter que les affirmations de Kant sont en contradiction formelle avec le principe des aires, d’après lequel le moment de rotation d’un système soustrait à toute action extérieure est constant : ce moment de rotation doit rester toujours nul s’il l’est initialement. Il est donc impossible qu’un système partant du repos ait engendré le système solaire, pour lequel le moment de rotation n’est pas nul : or, Kant suppose explicitement que la matière primitive du Soleil part du repos. Pourquoi Kant n’a-t-il pas supposé, comme le fit plus tard Laplace, une rotation initiale ? C’est que Laplace se bornera à considérer la nébuleuse d’où est sorti le système solaire, tandis que Kant a voulu essayer d’expliquer la formation de la Voie lactée tout entière. Peut-être aussi Kant a-t-il trouvé plus philosophique de ne pas supposer un mouvement initial.

2. Quoi qu’il en soit, Kant pense que, vers le centre de sa nébuleuse, va se former une condensation prépondérante (Soleil), autour de laquelle les particules vont circuler, à peu près dans un même plan, suivant les lois de Képler ; ces particules donneront par la suite des condensations secondaires (planètes) :


« Ainsi l’équateur solaire n’est autre chose que le plan de cette circulation générale. Or, les particules qui se trouvaient hors de ce plan ont dû, en vertu des lois de la gravitation, aller le rencontrer quelque part dans leur mouvement de circulation et s’y accumuler, surtout vers la région centrale. D’ailleurs, au milieu de ces particules se poussant, se résistant l’une à l’autre, celles-là seules ont dû continuer à se mouvoir librement en cercles concentriques qui étaient arrivées à ces cercles juste avec la vitesse linéaire exigée par les lois des forces centrales. Cette vitesse résulte de la hauteur de chute ; la déviation latérale résulte de ces conflits incessants dont le résultat final est d’arriver à la direction de moindre résistance. Quant aux particules, en bien plus grand nombre, pour qui la vitesse n’était pas dans la proportion voulue, elles ont continué leur chemin en s’approchant de plus en plus du Soleil et ont contribué à le former.

« Ainsi le système premier se trouve transformé, par les lois combinées de l’attraction et de la résistance, en un autre système dans lequel tout l’espace compris entre deux plans parallèles, assez, rapprochés de part et d’autre du centre du Soleil, est parcouru librement par des particules se mouvant dans des cercles, chacune avec la vitesse qui répond à sa distance au centre. Comme leurs résistances mutuelles sont, là, aussi faibles que possible, cet état de choses durerait indéfiniment si leur attraction n’intervenait pour le modifier et y faire naître les germes de formations nouvelles, les planètes. En effet les particules voisines décrivant des cercles presque égaux et parallèles, elles se trouvent comme en repos les unes par rapport aux autres : alors, s’il se trouve quelque centre d’attraction prépondérante, les particules voisines tendront vers ce point et y formeront une masse dont l’attraction toujours croissante finira par s’étendre et ramasser au loin de nouveaux matériaux. Évidemment les corps ainsi formés seront animés, autour du Soleil, des mêmes mouvements circulaires que leurs éléments primitifs. » (p. 134-135.)


3. Kant essaie ensuite d’expliquer la rotation directe des planètes et la formation de leurs satellites :


« Tout ce qui s’est passé en grand autour du Soleil, se répétera en petit autour de toute planète, pourvu que sa sphère d’attraction ait acquis une extension suffisante » (p. 135.)


Pour expliquer ce sens direct de rotation des planètes et de révolution des satellites, Kant donne, il faut l’avouer, des raisons fort insuffisantes. Il semblerait même que les particules, se mouvant autour du Soleil selon la troisième loi de Képler, auraient tendance à engendrer des planètes à rotation rétrograde, puisque les particules ont une vitesse linéaire d’autant plus grande qu’elles sont plus proches du Soleil. — Nous discuterons plus loin les raisons que l’on peut invoquer pour expliquer les rotations directes.


4. Kant s’occupe aussi de la formation de l’anneau de Saturne :


« Pour montrer, par un autre exemple, que la simple action de la gravitation, en réunissant des éléments dispersés, produit nécessairement des effets d’une telle régularité, je vais dire comment l’anneau de Saturne a pu et dû se former par une voie entièrement mécanique. Que I’on veuille bien m’accorder seulement ceci : à l’origine, sous l’influence de la chaleur, l’atmosphère de Saturne s’est développée bien au delà de ses limites actuelles ; plus tard, elle s’est refroidie, et les particules atmosphériques qui s’étaient élevées ont commencé à retomber sur la planète. Cela posé, le reste suit avec une rigueur toute mécanique. Les particules de cette atmosphère, en s’élevant, ont emporté avec elles la vitesse de rotation qu’elles possédaient primitivement, selon la place qu’elles occupaient sur la planète. Elles ont donc dû, d’après les règles des forces centrales, décrire librement des cercles autour du centre. Mais il s’en est trouvé dont la vitesse était insuffisante pour que la force centrifuge fît exactement équilibre à leur pesanteur ; celles-là ont du s’entre-choquer, se ralentir et finalement retomber sur la planète, tandis que les autres, à vitesses plus grandes, continuaient à se mouvoir librement sur leurs orbites circulaires. Celles-ci devaient nécessairement traverser à chaque révolution le plan de l’équaleur de la planète, et s’y ramasser de manière à former une sorte de limbe dans le prolongement de ce plan. Ce limbe, formé ainsi de particules se mouvant librement autour de la planète, ne pouvait être qu’un anneau constitué principalement par les molécules équatoriales, puisque celles-ci possédaient, en s’élevant, la plus grande vitesse.

« Et comme il n’y a, entre toutes les distances au centre, qu’une seule distance pour laquelle cette vitesse équatoriale soit compatible avec le mouvement libre dans un cercle, ou pourra décrire dans le plan de ce limbe une circonférence concentrique à Saturne, au dedans de laquelle toutes les particules devront retomber sur la planète. Les autres particules comprises entre cette circonférence et le bord extérieur du limbe, sous forme d’anneau, continueront à circuler autour de la planète sans jamais retomber sur elle.

« Cette solution nous fournit immédiatement le moyen de déterminer la durée inconnue de la rotation de Saturne. En effet, la vitesse de circulation des particules situées au bord interne de l’anneau étant égale à celle que possède un point de l’équateur de Saturne en vertu de sa rotation, il suffira de calculer la durée de sa révolution au moyen de celle d’un des satellites, pour avoir la durée de la rotation de la planète. On trouve ainsi 6h 25m 52s. » (p. 143-144)


Sans nous arrêter à ce chiffre beaucoup trop faible, disons que Kant fait ensuite quelques réflexions intéressantes sur la stabilité de anneau de Saturne. Il le considère comme formé de particules tournant indépendamment les unes des autres autour de la planète, selon, la troisième loi de Képler ; et il pense que, dans l’anneau se produisent « des lignes de rupture qui le divisent en anneaux concentriques isolés l’un de l’autre. » (p. 154.) Cette idée est d’autant plus remarquable que Kant ne connaissait pas la grande division de Cassini.

Enfin, si, parmi les planètes, Saturne est la seule qui possède un anneau, c’est, d’après Kant, parce que sa densité est faible et sa rotation très rapide. Il s’ensuit que le rapport de la force centrifuge à la gravité est plus grand pour Saturne que pour les autres planètes.


5. Les comètes, selon Kant, ont une origine analogue à celle des planètes. Dans un chapitre assez confus, il s’efforce de montrer qu’elles ont dû se former à de grandes distances du Soleil, et, d’après ses idées, l’orbite d’un astre doit s’éloigner doutant plus de la forme circulaire que l’astre s’est formé plus loin du Soleil. Le sens du mouvement des comètes devrait être, en général, le même que celui des planètes, c’est-à-dire direct ; et si, de son temps, on connaissait dix-neuf comètes retrogrades, Kant fut porté à en attribuer au moins quelques-unes à une illusion d’optique.


6. Tels sont les traits principaux de la Cosmogonie de Kant. On voit qu’il eut l’idée d’attribuer une commune origine au Soleil et à toutes les planètes. Il fit même, à ce sujet, une curieuse remarque : si le Soleil et les planètes sont formés des mêmes éléments, la densité moyenne de celles-ci doit être égale à celle du Soleil ; or, adoptant les nombres de Buffon, Kant trouve que le rapport de ces densités est celui de 64 à 65, coïncidence assez curieuse. Malheureusement, ses affirmations sont trop souvent en contradiction avec les principes de la Mécanique.

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CHAPITRE ii.

HYPOTHÈSE DE LAPLACE.


7. Kant avait étendu ses conceptions à l’ensemble du monde stellaire, à toute la Voie Lactée. Laplace, dans sa célèbre hypothèse, se borne à envisager la formation du système solaire. La nébuleuse de Kant était une espèce de chaos : les matériaux, s’étant agglomérés autour de certains centres de condensation, formaient comme un essaim de météores indépendants, dont les mouvements, primitivement désordonnés, se seraient plus tard ordonnés, par suite des chocs et des frottements. La nébuleuse de Laplace, au contraire, est une véritable atmosphère gazeuse animée, dès l’origine, d’un mouvement de rotation bien uniforme. Au centre de cette atmosphère Laplace suppose une forte condensation. C’est donc une sorte d’étoile nébuleuse, constituée par une masse centrale fluide, Soleil déjà à demi formé, entouré d’une atmosphère extrêmement ténue s’étendant à une très grande distance, l’ensemble tournant d’un seul bloc. En se contractant, cette atmosphère abandonnera, dans le plan de l’équateur, une série d’anneaux successifs d’où naîtront les planètes.


8. Les premières idées de Laplace sur la formation du système solaire sont indiquées dès la première édition (1796) de l’Exposition du Système du Monde. Mais c’est seulement dans des éditions postérieures que l’exposé complet de la théorie de Laplace devient l’objet de la Note VII et dernière. Nous suivrons ici le texte du Tome VI des Œuvres Complètes de Laplace (Paris, (Gauthier-Villars, 1884, p. 498-509.)

« On a, dit l’Auteur, pour remonter à la cause des mouvements primitifs du système planétaire, les cinq phénomènes suivants : les mouvements des planètes dans le même sens et à peu près dans un même plan ; les mouvements des satellites dans le même sens que ceux des planètes ; les mouvements de rotation de ces différents corps et du Soleil, dans le même sens que leurs mouvements de projection et dans des plans peu différents ; le peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites ; enfin, la grande excentricité des orbes des comètes, quoique leurs inclinaisons aient été abandonnées au hasard.

« Buffon est le seul que je connaisse, qui, depuis la découverte du vrai système du monde, ait essayé de remonter à l’origine des planètes et des satellites. Il suppose qu’une comète, en tombant sur le Soleil, en a chassé un torrent de matière qui s’est réuni au loin, en divers globes plus ou moins grands et plus ou moins éloignés de cet astre : ces globes, devenus par leur refroidissement opaques et solides, sont les planètes et leurs satellites. » (p. 498.)


Laplace n’avait donc pas connaissance des travaux de Kant, puisqu’il ne cite que Buffon. Il n’a pas de peine à réfuter la théorie de ce dernier, car elle n’explique pas les cinq phénomènes qu’il a rappelés. Laplace se demande alors s’il est possible de s’élever à la véritable cause de ces phénomènes :


« Quelle que soit sa nature, puisqu’elle a produit ou dirigé les mouvements des planètes, il faut qu’elle ait embrassé tous ces corps, et, vu la distance prodigieuse qui les sépare, elle ne peut avoir été qu’un fluide d’une immense étendue. Pour leur avoir donné dans le même sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvements planétaires nous conduit donc à penser qu’en vertu d’une chaleur excessive, l’atmosphère du Soleil s’est primitivement étendue au delà des orbes de toutes les planètes, et qu’elle s’est resserrée successivement jusqu’à ses limites actuelles,

« Dans l’état primitif où nous supposons le Soleil, il ressemblait aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d’un noyau plus ou moins brillant, entouré d’une nébulosité qui, en se condensant à la surface du noyau, le transforme en étoile. Si l’on conçoit, par analogie, toutes les étoiles formées de cette manière, on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité précédé lui-même par d’autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse, le noyau étant de moins en moins lumineux, On arrive ainsi, en remontant aussi loin qu’il est possible, à une nébulosité tellement diffuse, que l’on pourrait à peine en soupçonner l’existence. » (p. 499-500)

L’étoile nébuleuse à forte condensation centrale n’est donc pas, pour Laplace, l’état tout à fait primordial, puisqu’il suppose un état antérieur. Mais il s’occupe seulement de la façon dont les planètes ont pu naître aux dépens de l’atmosphère qui entoure le noyau central de la nébuleuse. Il commence par rejeter l’hypothèse qui attribuerait aux planètes une origine extérieure à la nébuleuse, celle-ci les ayant captées ; puis il montre que l’atmosphère de la nébuleuse, en se contractant, abandonne une série d’anneaux :


« Mais comment l’atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites ? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère, sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on peut donc conjecturer que les planètes ont été formées à ses limites successives, par la condensation des zones de vapeurs, qu’elle a dû, en se refroidissant, abandonner dans le plan de son équateur.

« … L’atmosphère du Soleil ne peut pas s’étendre indéfiniment ; sa limite est le point où la force centrifuge due à son mouvement de rotation balance la pesanteur ; or, à mesure que le refroidissement resserre l’atmosphère et condense à la surface de l’astre les molécules qui en sont voisines, le mouvement de rotation augmente ; car, en vertu du principe des aires, la somme des aires décrites par le rayon vecteur de chaque molécule du Soleil et de son atmosphère et projetées sur le plan de son équateur étant toujours la même, la rotation doit être plus prompte quand ces molécules se rapprochent du centre du Soleil. La force centrifuge due à ce mouvement devenant ainsi plus grande, le point où la pesanteur lui est égale est plus près de ce centre. En supposant donc, ce qu’il est naturel d’admettre, que l’atmosphère s’est étendue à une époque quelconque jusqu’il sa limite, elle a dû, en se refroidissant, abandonner les molécules situées à cette limite et aux limites successives produites par l’accroissement de la rotation du Soleil. Ces molécules abandonnées ont continué de circuler autour de cet astre, puisque leur force centrifuge était balancée par leur pesanteur. Mais, cette égalité n’ayant point lieu par rapport aux molécules atmosphériques placées sur les parallèles à l’équateur solaire, celles-ci se sont rapprochées, par leur pesanteur, de l’atmosphère à mesure qu’elle se condensait, et elles n’ont cessé de lui appartenir, qu’autant que, par ce mouvement, elles se sont rapprochées de cet équateur. » (p. 500-501.)

Admettons donc, avec Laplace, un tel abandon, dans le plan de l’équateur, d’anneaux concentriques de vapeurs, — cette question sera soumise à l’analyse dans le Chapitre suivant, — et demandons-nous ce que deviennent ces anneaux. Chaque molécule, abandonnée à elle-même, décrira un cercle en obéissant à la troisième loi de Képler


désignant la vitesse angulaire et le rayon de l’orbite des différentes molécules ; d’où il suit que les molécules les plus éloignées du Soleil auront une vitesse angulaire, et même une vitesse linéaire, moindre que les molécules les plus rapprochées.

Si donc A et B sont les cercles qui limitent extérieurement et intérieurement un anneau dont C est la ligne moyenne (fig. 1), la vitesse

Figure 1
fig. 1


des molécules situées en A sera tout d’abord inférieure à celle des molécules situées en B. Mais Laplace invoque le frottement mutuel des molécules qui tend, dit-il, à égaliser toutes les vitesses angulaires, de telle façon qu’on ait finalement


par suite la vitesse linéaire des molécules telles que A deviendra supérieure celle des molécules telles que B. Une seconde cause, d’après Laplace, a dû agir dans le même sens. Par les effets du refroidissement et de la condensation, l’anneau a dû se rétrécir, si bien que A et B se seraient rapprochés de la ligne médiane C. En vertu de la loi des aires, B s’éloignant du centre a dû diminuer sa vitesse ; A s’en rapprochant a dû augmenter la sienne. Si Laplace insiste sur ce fait que, dans un même anneau, les vitesses linéaires des molécules les plus éloignées du centre ont dû finir par être plus grandes, c’est que ce sera là son principal argument pour expliquer les rotations directes des planètes. — Toutes ces questions seront discutées plus loin.

9. Voyons maintenant comment Laplace explique la manière dont les anneaux, instables en général par eux-mêmes, ont donné naissance aux planètes et celles-ci aux satellites.


« Si toutes les molécules d’un anneau de vapeurs continuaient de se condenser sans se désunir, elles formeraient à la longue un anneau liquide ou solide. Mais la régularité que cette formation exige dans toutes les parties de l’anneau et dans leur refroidissement a dû rendre ce phénomène extrêmement rare. Aussi le système solaire n’en offre-t-il qu’un seul exemple, celui des anneaux de Saturne. Presque toujours chaque anneau de vapeurs a dû se rompre en plusieurs masses qui, mues avec des vitesses très peu différentes, ont continué de circuler à la même distance autour du Soleil. Ces masses ont dû prendre une forme sphéroïdique, avec un mouvement de rotation dirigé dans le sens de leur révolution, puisque leurs molécules inférieures avaient moins de vitesse réelle que les supérieures ; elles ont donc formé autant de planètes à l’état de vapeurs. Mais si l’une d’elles a été assez puissante pour réunir successivement par son attraction toutes les autres autour de son centre, l’anneau de vapeurs aura été ainsi transformé dans une seule masse sphéroïdique de vapeurs, circulant autour du Soleil, avec une rotation dirigée dans le sens de sa révolution. Ce dernier cas a été le plus commun : cependant le système solaire nous offre le premier cas dans les quatre petites planètes qui se meuvent entre Jupiter et Mars, à moins qu’on ne suppose, avec M. Olbers, qu’elles formaient primitivement une seule planète qu’une forte explosion a divisée en plusieurs parties animées de vitesses différentes.

« Maintenant, si nous suivons les changements qu’un refroidissement ultérieur a dû produire dans les planètes en vapeurs dont nous venons de concevoir la formation, nous verrons naître nu centre de chacune d’elles un noyau s’accroissant sans cesse par la condensation de l’atmosphère qui l’environne. Dans cet état, la planète ressemblait parfaitement au Soleil à l’état de nébuleuse où nous venons de le considérer ; le refroidissement a donc dû produire, aux diverses limites de son atmosphère, des phénomènes semblables à ceux que nous avons décrits, c’est-à-dire des anneaux et des satellites circulant autour de son centre, dans le sens de son mouvement de rotation, et tournant dans le même sens sur eux-mêmes. La distribution régulière de la masse des anneaux de Saturne autour de son centre et dans le plan de son équateur résulte naturellement de cette hypothèse, et, sans elle devient inexplicable : ces anneaux me paraissent être des preuves toujours subsistantes de l’extension primitive de l’atmosphère de Saturne et de ses retraites successives. Ainsi les phénomènes singuliers du peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites, du peu d’inclinaison de ces orbes à l’équateur solaire, et de l’identité du sens des mouvements de rotation et de révolution de tous ces corps avec celui de la rotation du Soleil, découlent de l’hypothèse que nous proposons et lui donnent une grande vraisemblance. » (p. 502-503).


10. Pour Laplace, les comètes sont d’origine étrangère au système planétaire. Il les considère comme « de petites nébuleuses errantes de systèmes en systèmes solaires » (p. 504), ce qui expliquerait pourquoi les orbites des comètes sont aussi bien rétrogrades que directes et, de plus, pourquoi elles ont de fortes excentricités et inclinaisons. Mais cette manière de voir n’est plus adoptée en général, car aucune comète ne présente d’orbite franchement hyperbolique, ce qui ne manquerait sans doute pas d’arriver si ces astres étaient d’origine cosmique et nous arrivaient de l’infini avec des vitesses sensibles relativement à la vitesse de notre système solaire.

11. Laplace voit dons la lumière zodiacale une preuve nouvelle à l’appui de son hypothèse :


« Si, dans les zônes abandonnées par l’atmosphère du Soleil, il s’est trouvé des molécules trop volatiles pour s’unir entre elles ou aux planètes, elles doivent, en continuant de circuler autour de cet astre, offrir toutes les apparences de la lumière zodiacale. » (p. 506).


12. L’égalité rigoureuse entre la durée de révolution sidérale de la Lune et sa durée de rotation sur elle-même, égalité qui fait que la Lune tourne toujours vers nous un même hémisphère, a été expliquée par Laplace en supposant qu’à l’origine les deux mouvements angulaires de rotation et de révolution étaient peu différents :

« Alors, dit-il, l’attraction de la planète a établi entre eux une parfaite égalité ; mais en même temps elle a donné naissance à une oscillation périodique dans l’axe du satellite, dirigé vers la planète, oscillation dont l’étendue dépend de la différence primitive des deux mouvements. » (p. 507).

La Lune, encore fluide, a donc pris une forme allongée dans le sens de la Terre ; son grand axe tendait constamment à être ramené dans cette direction par l’attraction terrestre, tel un pendule écarté de la verticale ; les oscillations de cet axe produisaient une libration. Mais, dans un corps fluide, la libration est accompagnée de marées internes qui font naître des frottements ; ces frottements tendent à diminuer la libration qui deviendra plus petite et pourra finir par disparaître, même si elle était notable au début.


13. Une autre question tout à fait analogue, et c’est par elle que Laplace termine son Exposition, est la question relative à la particularité que présentent les trois premiers satellites de Jupiter. Appelant leurs moyens mouvements et leurs longitudes moyennes respectives, on a constamment, entre les trois longitudes moyennes, la relation

°


et entre les trois moyens mouvements, la relation


Or, Laplace a montré, dans sa Mécanique céleste, que, si les conditions initiales ont été telles que ces égalités soient approximativement satisfaites, l’action mutuelle des satellites a suffi pour les maintenir satisfaites en moyenne, avec une inégalité périodique d’autant plus faible que ces égalités étaient plus près d’être rigoureusement vérifiées initialement. Cette inégalité périodique est tout à fait comparable à la libration dont nous venons de parler. Or, Delambre n’a pu parvenir à la mettre en évidence au moyen d’observations. Comme il y a « l’infini contre un à parier » que les deux égalités écrites ci-dessus n’ont pas été rigoureusement vérifiées par les conditions initiales, Laplace conclut que cette inégalité périodique a dû exister au début, mais qu’une cause l’a fait disparaître : cette cause, c’est la résistance de milieu qu’opposait l’atmosphère primitive de la planète au mouvement de ses satellites :


« Dans notre hypothèse, les satellites de Jupiter, immédiatement après leur formation, ne se sont point mus dans un vide parfait ; les molécules les moins condensables des atmosphères primitives du Soleil et de la planète formaient alors un milieu rare, dont la résistance, différente pour chacun de ces astres, a pu approcher peu à peu leurs moyens mouvements du rapport dont il s’agit, et lorsque ces mouvements ont ainsi atteint les conditions requises pour que l’attraction mutuelle des trois satellites établisse ce rapport en rigueur, la même résistance a diminbé sans cesse l’inégalité que ce rapport a fait naître, et enfin l’a rendue insensible. On ne peut mieux comparer ces effets qu’au mouvement d’un pendule animé d’une grande vitesse, duns un milieu très peu résistant. Il décrira d’abord un grand nombre de circonférences ; mais, à la longue, son mouvement de circulation, toujours décroissant, se changera dans un mouvement d’oscillation, qui, diminuant lui-même de plus en plus par la résistance du milieu, finira par s’anéantir ; alors le pendule, arrivé à l’état du repos, y restera sans cesse. » (p. 508-509).

______________


CHAPITRE iii.

ANALYSE DE L’HYPOTHÈSE DE LAPLACE. TRAVAUX DE ROCHE. ÉTUDE DE LA STABILITÉ D’UN ANNEAU. FORMATION DES SATELLITES.


I. — Surfaces de niveau.

14. Nous allons maintenant entrer dans le détail de l’hypothèse de Laplace, et, comme l’a fait Roche [4], soumettre cette hypothèse au calcul.

Considérons la nébuleuse de Laplace, constituée, nous l’avons dit, par un noyau central condensé, entouré d’une atmosphère très ténue, dont la masse est supposée très petite par rapport à celle de la condensation centrale. Les couches atmosphériques sont supposées participer, en vertu des frottements, à la rotation du noyau qu’elles recouvrent, de sorte que l’ensemble est animé d’une vitesse angulaire uniforme . Désignons par la masse du noyau que nous supposons sphérique, et négligeons l’attraction mutuelle des molécules de l’atmosphère. Quelle sera, dans ces conditions, la forme des surfaces de niveau ?

Prenons pour axe des x l’axe de rotation de la nébuleuse, pour plan des yz le plan perpendiculaire à l’axe de rotation mené par le centre de gravité o ; et désignons par


la distance d’un point quelconque à l’origine.

Le potentiel dû à l’attraction du noyau central est

le potentiel dû à la force centrifuge est


L’équation générale des surfaces de niveau (surfaces équipotentielles) s’écrira donc


désignant une constante. Les surfaces de niveau sont donc, comme il était évident a priori, de révolution autour de ox et symétriques par rapport au plan yoz. Nous obtiendrons l’équation des méridiennes de ces surfaces en faisant dans l’équation précédente, ce qui donne

(1)

Lorsque la constante est très grande, chaque méridienne (fig. 2)

Figure 2
fig. 2


se compose d’une petite courbe entourant l’origine et de deux branches infinies très éloignées, coupant l’axe des y : l’ensemble de la méridienne est désigné par 1 dans la figure. Lorsque diminue, la courbe entourant l’origine se dilate, les deux branches infinies se rapprochent, et donnent l’ensemble de courbes 2. Si la constante diminue encore, on obtient la courbe 3 qui présente deux points doubles sur l’axe oy, puis enfin des courbes telles que 4 et 5 qui ne coupent plus l’axe des y.

15. Quels seront les points de ces courbes où la tangente sera parallèle à oy ? On obtiendra ces points en différentiant par rapport à l’équation (1) de ces courbes, ce qui donne


Cette équation est satisfaite pour les points de l’axe des x sont, en effet, des sommets pour nos courbes ; elle est satisfaite également pour


le lieu des points où la tangente sera parallèle à oy est donc (en dehors de l’axe des x) un cercle 1' de rayon


En chaque point de ce cercle, on a


c’est-à-dire que la force centrifuge est égale et opposée à la composante de la gravité parallèle à oy. En particulier, aux deux points doubles A et A’, la force centrifuge balance exactement la pesanteur.

16. Cela posé, reprenons notre nébuleuse qui tourne tout d’une pièce. Son atmosphère, qui est supposée s’étendre aussi loin que possible, se termine nécessairement à la plus grande des surfaces de niveau dont la méridienne ne dépasse pas le cercle 1' car, au delà de ce cercle la force centrifuge l’emporterait sur la pesanteur. En surface libre de l’atmosphère est donc engendrée par la révolution de la courbe à points doubles 3 autour de ox : cette surface présente une arête saillante tout le long de l’équateur. La surface de niveau qui vient immédiatement après n’enveloppe pas complètement les précédentes : elle s’ouvre à l’équateur, puis se développe en deux nappes infinies, comme le montre la figure 2.

Lorsque la nébuleuse se contractera par suite du refroidissement, la vitesse de rotation augmentera, d’après la loi des aires ; le rayon du cercle 1’, défini par

diminuera : la surface libre de l’atmosphère se contractera donc pour

ainsi dire, en restant semblable à elle-même. Par suite de cette contraction, la couche fluide qui se trouve en excès descend des pôles vers l’équateur en coulant le long des surfaces de niveau, puis elle s’échappe, comme par une ouverture, par l’arête saillante que nous avons signalée. Elle cesse dès lors de faire partie de l’atmosphère de la nébuleuse : elle forme une zone équatoriale dont les particules continueront à décrire des cercles autour du centre, dans le plan de l’équateur, puisqu’au moment de l’abandon la force centrifuge faisait équilibre à la pesanteur.

Nous comprenons donc maintenant la formation des anneaux de Laplace : elle est due à la présence, sur la méridienne de la surface libre, des deux points doubles A et A’, dont l’importance a été mise en évidence par Roche [5].

II. — Nécessité de l’hypothèse d’une condensation centrale.


17. Dans ce qui précède, nous avons, avec Laplace, supposé une très forte condensation centrale de notre nébuleuse. Aurions-nous pu nous dispenser de cette hypothèse ? Il est facile de voir que non.

Reprenons en effet, en abandonnant cette hypothèse, la détermination de nos surfaces de niveau. Le potentiel dû à la force centrifuge est toujours


Appelant le potentiel dû à l’attraction, nous aurons pour le potentiel total


L’équation des surfaces de niveau sera


et l’équation de leurs méridiennes, dans le plan des xy, sera


Pourrons-nous avoir, pour la surface libre de l’atmosphère une arête saillante, par où la condensation laissera s’échapper des molécules pour former un anneau ? Oui, s’il existe une méridienne présentant des points doubles, ce qui arrivera en général, car les trois équations


détermineront un point double situé sur l’axe des y. En effet, sur cet axe, on a


par raison de symétrie : les deux autres équations déterminent les valeurs de et de

Nous aurons donc bien une méridienne à point double, et de plus, comme nous l’apprend l’équation


en ce point double la force totale, résultante de la gravité et de la force centrifuge, sera nulle.

Donc il y aura, comme précédemment, abandon de molécules dans le plan de l’équateur. Ces molécules commenceront par décrire des cercles autour de la nébuleuse qu’elles viennent d’abandonner, puisqu’au moment de l’abandon la force centrifuge contrebalance la pesanteur. On pourrait croire, à première vue que rien n’est changé et que l’anneau ainsi formé continuera à se comporter comme un anneau de Laplace. Il n’en est rien. Représentons, en effet, un anneau AA’ (fig. 3) qui vient de se détacher de la nébuleuse. Ses molécules décrivent des cercles autour de l’axe ox sous l’action d’une attraction égale à la force centrifuge. Lorsque le refroidissement aura contracté la nébuleuse, la force centrifuge sera bien toujours la même, mais l’attraction, qui est celle d’un corps aplati, aura varié, (tandis que, dans l’hypothèse de Laplace, l’attraction du noyau sphérique ne variait pas avec la condensation). Il semble donc que les orbites des molécules ne pourront pas rester circulaires, et qu’elles deviendront excentriques. Mais nous verrons plus loin, à propos de la théorie de Faye, qu’une planète décrivant une orbite primitivement circulaire et soumise à une attraction lentement variable d’après une loi quelconque, conservera une orbite circulaire.

Figure 3
fig. 3


18. On peut encore mettre en évidence la nécessité de supposer une grande condensation à la nébuleuse de Laplace, par les calculs suivants dus à M. Fouché [6]. Nous connaissons le moment de rotation du système solaire : il est approximativement égal au moment de rotation du Soleil autour de son axe, augmenté du moment dû à la révolution de l’ensemble des planètes autour du Soleil, (le moment dû à la rotation de chaque planète autour de son axe étant négligeable). Prenant pour unités le rayon de l’orbite terrestre, la masse du Soleil et le jour moyen, M. Fouché donne les chiffres suivants :

Pour le moment dû à la rotation du Soleil

Pour le moment dû à la révolution des planètes


on voit donc que la plus grande partie du moment de rotation est dû aux planètes, et que le moment de rotation total est égal à


D’après le théorème des aires, ce moment n’a pas dû varier depuis l’origine. Supposons un instant qu’à l’époque où la nébuleuse a abandonné l’anneau qui a formé Neptune, cette nébuleuse était homogène. Son moment de rotation eût été alors comparable à celui d’une sphère homogène, de même masse que le Soleil, s’étendant jusqu’à l’orbite de Neptune et tournant avec la vitesse angulaire actuelle de cette planète. Ce moment de rotation égale

____ou____


chiffre plus de six cents fois plus grand que le précédent. On voit donc quelle énorme condensation il faut accepter pour réduire le moment de rotation à la six-centième partie de ce qu’il serait dans le cas d’homogénéité,

M. Fouché présente encore la chose d’autre manière. Imaginons, pour prendre un cas simple, la nébuleuse formée d’un noyau sphérique, entouré d’une atmosphère homogène s’étendant jusqu’à l’orbite de Neptune, le tout tournant avec la vitesse angulaire actuelle de cette planète. Le théorème des aires exige que la somme du moment de rotation du noyau et du moment de rotation de l’atmosphère soit égale a


par conséquent le moment de rotation de l’atmosphère est inférieur à


Or, si nous appelons m la masse de cette atmosphère, son moment de rotation est comparable à celui d’une sphère homogène de masse , c’est-à-dire à



ce moment devant être inférieur au précédent, il vient



chiffre à peine supérieur à la masse de toutes les planètes réunies. Il faudrait donc que l’atmosphère tout entière de la nébuleuse se fut réduite en planètes, si cette atmosphère avait été homogène.

Les calculs précédents ne sont relatifs qu’à des ordres de grandeur ; mais ils suffisent pour montrer combien est capital, dans la théorie de Laplace, le fait de la condensation centrale.

19. Sans cette condensation, il aurait fallu, dans le calcul des surfaces de niveau, tenir compte de l’attraction des molécules de l’atmosphère les unes sur les autres, ce qui nous aurait donné, pour leurs méridiennes, des courbes analogues à celles de la figure 4. L’anneau

Figure 4
fig. 4.


abandonné aurait eu un profil tel que ACD. Nous allons trouver facilement une limite inférieure à la densité d’un tel anneau. Appliquons au volume total de l’anneau, c’est-à-dire au volume engendré par la révolution de ACD autour de ox, la formule bien connue de Green


représente un élément du volume, un élément de la surface qui limite ce volume, la dérivée normale intérieure et le potentiel total


dont il a été question plus haut. La stabilité exige qu’à la surface ACD de l’anneau, la force totale soit dirigée vers l’intérieur, c’est-à-dire que


ce qui donne par conséquent

(2)


Or, si est la densité de l’anneau, nous avons, d’après la formule de Poisson,

d’ailleurs


par suite


Si nous admettons, pour simplifier, que la densité est uniforme dans tout l’anneau (ou plus généralement, si nous désignons par la densité moyenne de l’anneau), l’inégalité (2) exige que


d’où


nous avons ainsi une limite inférieure de la densité de l’anneau, et a fortiori de la nébuleuse. Lorsqu’on prend pour la vitesse angulaire de Neptune, on trouve pour un chiffre tellement grand que, d’après ce chiffre, la masse totale de la nébuleuse serait très supérieure à celle du Soleil.

III. — Formation successive des anneaux.


20. Revenons à l’hypothèse de Laplace d’une très forte condensation centrale, hypothèse où nous négligeons l’action mutuelle des molécules de l’atmosphère. L’équation des surfaces de niveau est alors, nous l’avons vu dans la Section I,


ces surfaces ont leurs méridiennes représentées sur la figure 2.

Si, dans cette équation, nous changeons



cette équation ne change pas, et la figure 2 est simplement remplacée par son homothétique, le rapport d’homothétie étant c’est un cas de similitude mécanique.

Dans ces conditions,

le volume se trouve multiplié par
le moment d'inertie se trouve multiplié par
le moment de rotation se trouve multiplié par


les deux expressions


ne changent pas. C’est dire que la forme des surfaces de niveau ne dépend que de


si l’on adopte comme variables définissant la nébuleuse  ; elle ne dépend que de


si l’on adopte comme variables et . À la surface lenticulaire à arête saillante (engendrée par la révolution de la méridienne à points doubles, correspondront toujours pour ces expressions deux valeurs bien déterminées et . Toutes les fois donc que nous aurons

____ ou ____


nous dépasserons cette surface lenticulaire et la surface libre s’ouvrira à l’équateur. Nous aurons donc abandon de molécules et formation d’un anneau de Laplace

21. Que se passera-t-il par suite du refroidissement de notre nébuleuse ? La masse du noyau et le moment de rotation resteront constants, tandis que diminuera ; donc


augmentera et dépassera la limite  : il se formera un anneau. Si le refroidissement restait uniforme, ce processus serait continu, et nous aurions une plage continue de vapeurs abandonnées dans tout le plan de l’équateur, et non pas une série discrète d’anneaux séparés les uns des autres.

Pour expliquer la formation successive des anneaux, il faut donc supposer, avec Roche, que le refroidissement n’est pas uniforme. Supposons d’abord le refroidissement purement superficiel. diminuera, mais ne variera pas sensiblement, le moment d’inertie n’ayant guère changé, car la densité de l’atmosphère est très faible. Quant à , il reste toujours constant. Donc


diminuant, il ne se formera pas d’anneau. Si, au contraire, le refroidissement est central, demeurera constant, tandis que ira en croissant par suite de la condensation du noyau qui diminue le moment d’inertie. Donc


ira en augmentant, dépassera la limite , et il y aura production d’un anneau.

Mais un refroidissement central ne sera pas suivi immédiatement de la formation d’un anneau. En effet, par suite d’une condensation centrale, la vitesse de rotation du noyau augmentera, celle de la partie superficielle demeurant la même au moins pendant un certain temps, car il faut un certain temps pour que le frottement parvienne à communiquer à la périphérie la vitesse angulaire que possède le noyau. Or, la vitesse angulaire , qui importe pour la formation d’un anneau, c’est celle de la superficie. Pendant un certain intervalle de temps, et restent donc constants, et il ne se forme pas d’anneau.

22. Comment expliquer ces alternances de refroidissement central et de refroidissement superficiel ? Supposons que notre nébuleuse ait


[——— fig. 5 à consulter sur fac-similé ———]


atteint la forme lenticulaire ABA'B' (fig. 5), puis, qu’elle se contracte et arrive à la nouvelle forme lenticulaire A1B1A'1B'1 : il se produit alors un anneau équatorial. En même temps une portion de fluide atmosphérique en excès descend des pôles vers l’équateur, mettant ainsi brusquement à nu une nouvelle couche A1B1A'1B'1, qui va se refroidir rapidement. Donc l’instant de l’abandon d’un anneau est immédiatement suivi d’une période de refroidissement superficiel, pendant laquelle il ne se formera pas d’anneau. Cette période durera jusqu’à ce que, le refroidissement ayant gagné les parties centrales, le même mécanisme puisse se renouveler. Nous comprenons ainsi que les anneaux aient pu se produire d’une manière discontinue.


23. D’après la loi de Bode, la planète de rang se trouve à une distance du Soleil donnée par la formule


et étant deux constantes. Donc, au moment de l’abandon des anneaux successifs, le rayon équatorial de la nébuleuse solaire devait être représenté par cette formule. D’autre part, en vertu de la loi exponentielle du refroidissement, ce rayon, variable avec le temps , devait être représenté par une expression telle que


étant trois constantes. Par suite, l’époque de l’abandon de l’anneau de rang est donnée par l’équation


Or, attiibuer à une suite de valeurs entières dans le premier membre de cette équation, revient à attribuer à , dans le second membre, des valeurs équidistantes. Donc les époques où la nébuleuse solaire a abandonné les anneaux successifs ont dû croître en progression arithmétique. Telle est, dans l’ordre d’idées qui nous occupe, la signification de la loi de Bode.


24. Revenons à notre nébuleuse qui abandonne un anneau en passant, par contraction, de la forme lenticulaire ABA'B' à la nouvelle forme lenticulaire A1B1A'1B'1 (fig. 5). Il y a lieu de remarquer que, seules, les molécules qui se trouvaient déjà au voisinage de l’équateur contribueront à former cet anneau, car les molécules de la portion de fluide atmosphérique en excès qui, des pôles descend vers l’équateur en s’écoulant sur la surface libre, possédaient primitivement une vitesse linéaire de circulation d’autant plus petite qu’elles étaient plus voisines du pôle. Cette vitesse linéaire tendra à diminuer (en vertu de la loi des aires) quand la molécule se rapprochera de l’équateur. Les molécules qui affluent ainsi vers l’équateur ne possèdent donc pas, en y arrivant, la vitesse nécessaire pour décrire un cercle, mais une vitesse moindre. Chaque particule A partira donc tangentiellement à l’équateur et décrira, dans le plan de cet équateur, une ellipse AA' (fig. 6), de foyer O, d’autant plus excentrique que sa vitesse à l’aphélie A est plus faible. Les particules qui partent ainsi successivement de A n’ont pas toutes la même vitesse tangentielle ; mais toutes celles qui sont animées d’une même vitesse tangentielle décrivent la même ellipse et donnent une traînée elliptique intérieure à l’atmosphère de la nébuleuse. Il y a ainsi dans le plan de l’équateur des


[——— fig. 6 à consulter sur fac-similé ———]


traînées elliptiques, de toutes orientations et de grandeurs diverses, qui se croisent entre elles. Les chocs résultant de la coexistence de toutes ces traînées finiront bientôt par détruire les vitesses radiales et par ne laisser subsister que la vitesse angulaire de circulation. L’ensemble des particules finira par constituer un système de cercles concentriques que Roche a appelé anneau intérieur, parce que ses particules se meuvent à l’intérieur de l’atmosphère et décrivent des cercles dont le rayon est plus petit que celui de l’équateur.

Suivant les circonstances, un tel anneau intérieur pourra, ou bien subsister, si la résistance qu’oppose l’atmosphère an mouvement circulaire de ses particules est faible ; ou bien se détruire, si la résistance du milieu atmosphérique est assez forte pour faire tomber ses particules vers le centre. C’est principalement pour expliquer la formation de certains satellites que Roche a fait jouer un rôle aux anneaux intérieurs. Remarquons que la formation des traînées elliptiques favorise les alternatives entre le refroidissement superficiel et le refroidissement central, des particules primitivement superficielles, et par suite froides, tombant vers le centre. Remarquons aussi qu’avec les anneaux intérieurs, Roche abandonne, au moins en partie, la conception primitive de Laplace, c’est-à-dire la conception d’une nébuleuse entièrement gazeuse. Si, en effet, un anneau intérieur était gazeux, il se mélangerait par diffusion au reste de l’atmosphère et ne pourrait jamais subsister. Il faut supposer que cet anneau est formé par des poussières météoriques tenues en suspension par le gaz de la nébuleuse.

IV. - Discussion de l’hypothèse d’une rotation uniforme.


25. La conception de Laplace repose sur le fait que la nébuleuse est animée d’une rotation uniforme, due au frottement des couches atmosphériques les unes sur les autres. C’est aussi le frottement qui, d’après Laplace, doit, dans les anneaux, augmenter la vitesse des molécules extérieures et diminuer celle des molécules intérieures, jusqu’à rendre uniforme la vitesse angulaire de l’anneau (fig. 1, p. 10).

Le frottement est-il vraiment capable de produire ces effets ? L’observation nous enseigne que, malgré les frottements, l’atmosphère du Soleil et les atmosphères des planètes ne possèdent pas une rotation uniforme. D’ailleurs, Helmholtz a montré combien, pour de grands volumes fluides, l’influence des frottements est longue à se faire sentir. Écrivons, en effet, les équations de l’hydrodynamique :


(3)________(3)________


les trois premières sont les équations de Navier, la dernière est l’équation de continuité.

Dans ces équations désigne le potentiel des forces extérieures, la pression, la densité, le coefficient de viscosité, les composantes de la vitesse.

Si, dans les équations (3), nous multiplions


par une même constante , et que nous ne changions pas


ces équations ne changent pas.

Si donc nous considérons deux volumes fluides et homothétiques l’un de l’autre dans un rapport , et qu’aux points homologues nous ayons les mêmes valeurs initiales de


si, en outre, le coefficient de viscosité est fois plus grand pour le second volume que pour le premier, les phénomènes produits au bout du temps pour le premier volume se produiront pour le second au bout du temps . Le frottement agira donc plus lentement sur le second volume que sur le premier, bien que la viscosité du second volume soit plus forte.

Helmholtz a reconnu que, pour une atmosphère de 8 kilomètres d’épaisseur, le temps nécessaire pour réduire par le frottement de moitié une différence de vitesse est de 42 747 ans, soit 4.104. Ici l’épaisseur de notre atmosphère est le rayon de l’orbite de Neptune, soit 4.109 kilomètres ; le temps nécessaire pour réduire les différences de vitesse de moitié serait donc


années, avec un coefficient de viscosité plus grand que celui de notre atmosphère ; avec le même coefficient de viscosité, cela ferait


années. Il faut donc, si l’on veut que la rotation ait pu se maintenir sensiblement uniforme, que le processus de refroidissement et de production des anneaux ait été excessivement lent.

26. Cette faiblesse de l’influence du frottement, quand il s’agit de grands volumes fluides, nous conduit à rechercher s’il ne serait pas possible d’abandonner l’hypothèse d’une rotation uniforme de la nébuleuse, et à étudier les diverses hypothèses que l’on pourrait faire sur la distribution des vitesses angulaires. Cette question présente beaucoup d’analogie avec le problème suivant : Quelle sera, dans une atmosphère (par exemple l’atmosphère terrestre), la distribution stationnaire des températures ? On pourrait dire, d’une part, que si la température initiale de l’atmosphère n’est pas uniforme, elle le deviendra bientôt par suite de la conductibilité : l’état d’équilibre des températures de l’atmosphère serait donc l’état isotherme. On pourrait penser, d’autre part, supposant la conductibilité négligeable, que les mouvements internes de l’atmosphère et les brassages qui s’y produisent finiront par déterminer, pour les températures, l’état d’équilibre dit adiabatique.

L’observation montre que dans les couches les plus basses de l’atmosphère, jusqu’à 10 kilomètres environ, on suit la loi adiabatique parce que ces couches sont brassées constamment par les grandes perturbations et les cyclones. Plus haut, on retrouve la loi isothermique ; plus haut encore, on ne sait rien. Quoique ni l’un ni l’autre


[——— fig. 7 à consulter sur fac-similé ———]


des deux états ne soit effectivement réalisé par l’atmosphère, nous pouvons essayer d’étendre ces considérations à la distribution des rotations dans une masse fluide tournant autour d’un axe de révolution x'x (/fig. 7), Décomposons par la pensée la masse fluide en une infinité d’anneaux très déliés, tels que AA', tournant indépendamment autour de x'x. Chaque anneau possédera une vitesse angulaire , et cette vitesse ω variera d’un anneau à l’autre. Si nous admettons qu’il y ait frottement des divers anneaux les uns sur les autres, il y aura tendance à l’uniformisation des vitesses angulaires, et deviendra bientôt le même pour toute la masse qui, finalement, tournera d’une seule pièce. Cet état final correspond à l’équilibre isotherme de l’atmosphère dont nous venons de parler, le frottement jouant ici le rôle que jouait plus haut la conductibilité thermique.

Supposons au contraire que, le frottement étant négligeable, notre masse fluide soit le siège de brassages intérieurs, (ces brassages étant supposés conserver, pour simplifier, la symétrie de révolution de notre masse autour de x'x). Dans ce cas le moment de rotation de chaque anneau demeurera constant ; et, si on appelle la distance de chaque molécule à l’axe de rotation, l’état permanent de distribution des vitesses angulaires sera défini par l’équation


Cet état (que nous pourrons encore appeler adiabatique) est analogue à l’équilibre adiabatique des températures : chaque anneau emportant avec lui, dans son déplacement, son moment de rotation, comme tout à l’heure chaque particule de l’atmosphère conservait la même quantité de chaleur.

Remarquons que, dans cette distribution adiabatique des rotations, on aurait sur l’axe de rotation. Cet état n’est donc qu’un état limite idéal, dont on pourra s’approcher plus ou moins ; il correspond au cas d’un tourbillon rectiligne dirigé suivant l’axe.

27. Étudions les conditions d’équilibre d’une telle masse fluide tournant d’un mouvement permanent autour d’un axe de révolution ox (fig. 7), la vitesse angulaire n’étant plus constante, mais variant d’un anneau AA’ à l’autre. Nous reprenons les équations (3) de l’hydrodynamique dans lesquelles nous faisons , car dorénavant nous négligerons le frottement. Les trois premières équations (3) deviennent alors les équations bien connues d’Euler. Chaque molécule tournant, par hypothèse, autour de ox avec une vitesse angulaire , nous devons faire


et les trois premières équations (3) deviennent

(4)——————— ———————————


Dans le cas d’isothermie, et sont reliés par la loi de Mariotte ; dans le cas d’adiabatie ils sont reliés par une autre formule ; mais, dans les deux cas, est fonction de et


est une différentielle exacte. Multipliant les équations (4) respectivement par et ajoutant les résultats obtenus, nous trouvons


qui s’écrit

(5) ,


en appelant


la distance d’un point à l’axe de révolution.

Le premier membre de l’équation (5) étant une différentielle exacte, il en est de même du second ; donc ne doit dépendre que de et nous pouvons poser


l’équation (5) s’écrit alors


ce qui nous donne l’intégrale


Les surfaces d’égale pression, qu’on peut encore appeler surfaces de niveau, s’obtiendront en donnant à une valeur constante ; elles auront donc pour équation


Dans l’hypothèse d’un noyau très condensé de masse , nous pouvons écrire


ce qui donne pour équation des surfaces d’égale pression


Les méridiennes de ces surfaces s’obtiendront en faisant dans cette équation, ce qui donne


Telle est donc l’équation des méridiennes des surfaces de niveau lorsque la vitesse angulaire n’est plus constante, mais varie avec la distance à l’axe de révolution suivant la loi représentée par


28. La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la fonction . Dans le cas adopté par Laplace et par Roche, est constant ; alors


Nous retombons sur l’équation


qui a donné les courbes représentées par la figure 2 (p. 16).

Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit la loi adiabatique, nous aurions, étant une constante, les équations


et


L’équation des méridiennes serait alors


ce qui donnerait les courbes représentées par la figure 8. Les surfaces de niveau auraient donc des formes toutes différentes ne se prêtant pas à la formation d’anneaux.

Rmarquons que, dans le cas de la figure 2, si l’on parcourt l’axe oy depuis o jusqu’à l’infini, la constante commence par décroître, puis elle passe pur un minimum au point double A et croît ensuite


[——— fig. 8 à consulter sur fac-similé ———]


indéfiniment. Au contraire, dans le cas de la figure 8, la constante part de passe par un maximum au point A, et ensuite décroît. Donc, lorsque la quantité

(6) ,


passera par un minimum, quand varie de 0 à , les méridiennes présenteront un point double et il y aura formation d’anneaux de Laplace. Lorsque cette quantité passera par un maximum, les méridiennes affecteront une forme analogue à celle de la figure 8, incompatible avec la production d’anneaux.

Dans les deux cas, qu’il y ait maximum ou minimum, la dérivée première de la quantité (6) s’annulera au point correspondant :


ce qui s’écrit


donc en ce point la force centrifuge fait équilibre à la pesanteur. Mais il n’y aura minimum, et par suite formation possible d’anneaux, que si la dérivée seconde est positive, c’est-à-dire si


ce qui s’écrit, en remplaçant par son égal ,


Cette condition exprime simplement que l’expression


croît avec y. Cette condition n’est pas réalisée dans la distribution dite adiabatique des vitesses, puisqu’alors on a


Nous voyons donc que, pour expliquer la formation des anneaux de Laplace, il est absolument nécessaire de supposer qu’on est très loin de l’adiabatie, et qu’on se rapproche d’une rotation uniforme de la nébuleuse.

V. — Étude de la stabilité d’un anneau. Anneaux de Saturne.


29. Quoi qu’il en soit des discussions précédentes, supposons qu’un anneau ait été formé et examinons les conditions de sa stabilité.

La question a été principalement étudiée pour la constitution et la stabilité des anneaux de Saturne. On peut faire sur la constitution de ces anneaux trois hypothèses : ils sont solides, ou fluides, ou formés d’astéroïdes indépendants très nombreux circulant autour de la planète. Nous allons voir qu’il faut rejeter les deux premières hvpothèses pour des raisons mécaniques. La troisième hypothèse, proposée déjà par Cassini en 1715 mais sans preuves à l’appui, semble confirmée par l’expérience : l’anneau intérieur de Saturne est en effet transparent et la lumière le traverse sans trace de réfraction ; ce n’est donc pas un milieu continu. Les observations spectroscopiques montrent, de plus, que la vitesse d’une molécule de l’anneau n’est pas la même sur le bord interne que sur le bord externe.

30. Travaux de Laplace et de Hirn. — Laplace, supposant les anneaux de Saturne solides, a fait remarquer que, si ces anneaux étaient parfaitement réguliers, ils seraient nécessairement instables, car un anneau solide régulier, sous l’influence du plus faible déplacement provoqué par la cause la plus légère, tendrait à tomber sur la surface de la planète.

Supposons, en effet, que le centre de Saturne soit en o, le centre de l’anneau déplacé étant en C (fig. 9). Soit ab la corde perpendiculaire en o à oC. Il est clair que l’attraction de la planète sur un arc tel que mn, l’emporte sur son attraction sur un arc tel que m'n’.


[——— fig. 9 à consulter sur fac-similé ———]


Donc le segment amnb de l’anneau est plus attiré par Saturne que le segment an’m’b. L’anneau tendra par conséquent à s’excentrer davantage et à se joindre à Saturne. Donc un anneau solide ne peut être stable que s’il est suffisamment irrégulier.

Hirn s’est demandé, d’une part [7], dans l’hypothèse d’anneaux solides, quelle résistance on devrait attribuer à ces anneaux pour qu’ils ne soient pas brisés par l’attraction des satellites. Il est arrivé à cette conclusion : aucun corps connu, si rigide ou si tenace qu’on le suppose, ne saurait résister, sans se rompre, aux efforts qu’il aurait à supporter.

31. Calculs de Maxwell. — J. Clerk Maxwell, avait aussi trouvé que les anneaux de Saturne ne pouvaient être solides, car leur stabilité exigerait alors des irrégularités si grandes qu’elles sont inadmissibles. Il examine donc l’hypothèse qui fait des anneaux de Saturne une multitude d’astéroïdes indépendants : il les assimile à des cordons de perles disposées circulairement autour de la planète et affectées de vagues régulières, soit dans le sens du rayon, soit dans le sens transversal ; chaque perle est un petit satellite. Puis il cherche les conditions pour que l’amplitude de ces vagues, nées des perturbations, ne croisse pas indéfiniment. Voici les grandes lignes de l’analyse de Maxwell [8].

32. Prenons d’abord p satellites P1, P2, … Pp, de même masse ( désignant la masse de Saturne), équidistants sur un même cercle


[——— fig. 10 à consulter sur fac-similé ———]


de rayon concentrique à Saturne (fig. 10). La distance de deux satellites voisins sur ce cercle est une constante :


Un mouvement possible est celui où chaque satellite parcourrait le cercle avec une même vitesse angulaire déterminée par l’attraction de la planète à laquelle s’ajoute la force centrale due à l’attraction de tous les autres satellites. Appelons ce mouvement mouvement normal et cherchons un mouvement plan peu différent de celui-là. Désignons par


le rayon vecteur du satellite Pi et par


son angle polaire. Dans le mouvement normal non troublé, on aurait


et dans un mouvement peu différent, et seront petits ; nous négligerons leurs carrés et produits.

Écrivons, en coordonnées polaires, les équations de mouvement de l’un quelconque des satellites, par exemple du satellite P1 :

(1)


désigne la masse de Saturne, et


est le potentiel perturbateur dû à l’attraction de tous les autres satellites sur le satellite P1. (Nous négligeons les attractions exercées sur Saturne par les satellites, attractions qui se compensent d’ailleurs presque exactement,)

Chaque satellite donne ainsi deux équations telles que les équations (1) : il y a donc en tout 2p équations entre les et les . Ces équations devant admettre la solution


les termes indépendants des et des dans ces équations se détruiront et disparaîtront d’eux-mêmes. Si, dans ces 2p équations (1) nous ne conservons que les termes du premier ordre par rapport aux et aux , nous obtenons les équations

(2)


où nous avons désigné par


les parties de


qui dépendent effectivement des et des . Les seconds membres des équations (2) sont des fonctions linéaires des et des , puisque nous nous en tenons aux termes du premier ordre. Les équations (2) forment un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. On pourrait, suivant la méthode classique, les intégrer par des exponentielles de la forme


(3)________(3)________


Substituant ces valeurs dans les équations (2), on aurait un ensemble de 2p équations linéaires homogènes, entre lesquelles on éliminerait les et les . On trouverait ainsi une équation de degré 4p en . À chaque racine correspondrait pour les équations (2) une solution de la forme (3). Pour que le mouvement normal soit stable, il est nécessaire que et restent toujours petits. Par suite, il faudrait écrire que toutes les valeurs de ont leur partie réelle négative ou nulle. Cette méthode serait longue, aussi Maxwell procède-t-il indirectement. Il cherche pour les équations (2) une solution particulière de la forme

(4)________(3)________


, et désignent des constantes et un entier positif. Il se trouve que, si l’on substitue à et à ces valeurs (4), les seconds membres des équations (2) prennent respectivement la forme


sont trois constantes dépendant de l’entier . La substitution des valeurs (4) dans les équations (2) conduit donc aux deux équations


homogènes en et en et propres à déterminer et le rapport , une fois choisi l’entier [9]. Par l’élimination de A et de B on obtient l’équation en

(5)


À chaque racine de cette équation du quatrième degré correspond pour les équations (2) une solution de la forme (4). Comme, dans ces formules (4), peut recevoir une série de valeurs entières [10], on conçoit la possibilité d’obtenir ainsi les intégrales générales des équations (2).

33. Remarquons que, pour une solution simple telle que la solution (4), la position et la vitesse du satellite Pi à l’époque sont les mêmes que la position et la vitesse du satellite Pi-1 à l’époque


On peut donc dire que le mouvement se communique d’un satellite à l’autre dans le temps


Chaque solution simple représente ainsi une onde ou vague élémentaire propogeant le mouvement avec une vitesse angulaire égale à . Le mouvement total est la superposition des mouvements qui correspondent à plusieurs ondes élémentaires. Les ondes les plus dangereuses pour la stabilité sont les ondes courtes, c’est-à-dire celles qui correspondent aux grandes valeurs de  ; pour de telles ondes, en effet, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d’une façon sensible, et leur action mutuelle ne serait plus très petite par rapport à l’action de Saturne.

34. Pour que le mouvement normal soit stable, il faut que toutes les valeurs de soient réelles : sinon les formules (4) donneraient pour et des exponentielles en croisant indéfiniment. Montrons tout d’abord que, si le nombre des satellites est fini, on peut prendre la masse de chacun deux, et par suite la masse totale de l’anneau, assez petite pour assurer la réalité de toutes les valeurs de . En effet, le premier membre de l’équation (5) en est de la forme


Ce premier membre sera donc négatif si, étant très petit, on attribue à la valeur par exemple. Si donc on substitue à dans le premier membre de l’équation (5) les valeurs


on trouvera que ce premier membre prend les signes


Ces quatre changements de signe prouvent que les quatre racines de l’équation (5) sont réelles. Il y a donc stabilité si est suffisamment petit, Bien entendu, si est nul il y aura instabilité, et pourra être d’autant plus grand que le sera lui-même : la stabilité croît avec la rotation, comme il arrive pour une toupie ou un gyroscope.

Si désigne le rapport de la masse de tous les satellites à la masse de Saturne. Maxwell a montré ainsi, qu’il faut, pour qu’il y ait stabilité, que


On voit que si le nombre des satellites augmente indéfiniment, leur masse totale (c’est-à-dire la masse de l’anneau) doit tendre vers zéro ; c’est là un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais c’est un inconvénient artificiel, car l’hypothèse d’un grand nombre de petits satellites répartis sur une seule circonférence est trop simple. Il faudrait supposer une distribution des satellites occupant un certain volume de l’espace ; alors la difficulté signalée disparaîtrait.

35. Limite supérieure de la densité d’un anneau fluide. — Maxwell étend son analyse au cas d’un anneau supposé fluide. Malheureusement, dans cette partie de son Mémoire, les raisonnements manquent parfois de rigueur et même de clarté, aussi faut-il les considérer seulement comme un aperçu, dont la conclusion semble néanmoins, devoir être acceptée.

Décomposons l’anneau supposé fluide en un grand nombre de tranches MNM’N' par des plans méridiens (fig. 11) et assimilons chaque


[——— fig. 11 à consulter sur fac-similé ———]


tranche à un des satellites précédents Pi. Il s’agit de calculer les seconds membres des équations (2), c’est-à-dire (en effaçant l’indice i)


On peut concevoir que la quantité


puisse être faite égale à zéro, car elle représente (à un facteur près) le travail élémentaire dû, dans un déplacement radial de la tranche, aux inégalités de l’anneau ; or, ce travail est très petit.

Calculons à présent la quantité


qui représente (à un facteur près) le travail élémentaire dû aux inégalités de l’anneau, dans un déplacement tangentiel de la tranche.

Appelons la densité du fluide dans le mouvement normal et sa densité dans le mouvement troublé. Le théorème de Poisson donne


c’est-à-dire

(5) ,


puisque dans le mouvement normal on a


Si nous adoptons, pour un instant, un axe des x tangent à la circonférence moyenne de l’anneau, nous reconnaissons que la dérivée


est bien plus grande que les deux autres, car c’est dans le sens des x que l’onde de condensation se propage, et nous choisissons les ondes les plus défavorables à la stabilité, c’est-à-dire les plus courtes ; l’onde étant très courte les variations dans le sens de la propagation, c’est-à-dire dans le sens de l’axe des x sont très rapides ; nous pouvons donc écrire, au lieu de l’équation (5),

(6)


La contraction a eu pour effet de multiplier la densité de la tranche par


elle a multiplié son épaisseur par


comme sa masse totale n’a pas changé, on doit avoir


c’est-à-dire


Alors l’équation (6) donne la suivante :


d’où l’on tire, en intégrant,

ou


Le second membre de la seconde équation (2) est donc


nous avons vu d’ailleurs que le second membre de la première équation (2) peut être pris égal à zéro.

Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs (4) de et de , nous obtenons


et l’élimination de et de entre ces équations conduit à l’équation en


ou


Cette équation bicarrée en doit, s’il y a stabilité, avoir ses racines réelles, ce qui exige que


cette inégalité peut s’écrire ainsi :


Nous savons déjà que la masse de l’anneau et, par suite, sa densité doivent être petites pour qu’il y ait stabilité. Négligeant donc , nous obtenons la condition


d’où nous tirons l’inégalité

(7) ,


qui fixe une limite supérieure à la densité de l’anneau. Maxwell conclut que si l’anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser de celle de la planète. Ce résultat est vrai pour un anneau de poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité ne peut exister que si la densité est suffisamment petite.

36. Limite inférieure de la densité d’un anneau fluide. — Un calcul que nous avons déjà fait à la fin de la Section II (p. 23), donne une limite inférieure pour la densité d’un anneau fluide homogène supposé tourner d’une seule pièce avec la vitesse angulaire  : l’anneau n’est stable que si sa densité satisfait à l’inégalité

(8)


Le même raisonnement nous permet même de dire que, pour une masse fluide homogène tournant autour d’un axe avec une vitesse angulaire constante ω et soumise à l’attraction mutuelle de ses molécules, aucune figure n’est stable si l‘inégalité (8) n’est pas satisfaite [11]. Si, dans cette inégalité, nous prenons pour la vitesse angulaire d’un satellite dont l’orbite coïnciderait avec l’anneau de Saturne, nous trouvons que la densité de l’anneau doit être supérieure à de celle de la planète. Cette condition est incompatible avec celle de Maxwell et elle nous force à rejeter l’hypothèse de la fluidité des anneaux de Saturne. Comme ces anneaux ne sont pas non plus solides, d’après Maxwell et d’après Hirn, nous sommes amené à les regarder comme formés d’un grand nombre de corpuscules indépendants : le calcul de Maxwell nous a appris qu’une telle constitution peut être stable si la masse totale de l’anneau est assez petite.

37. La limite inférieure de la densité, donnée par l’inégalité (8), a été trouvée en supposant que la vitesse angulaire est la même pour tout le fluide. Affranchissons-nous de cette hypothèse et considérons, comme dans la Section IV, une masse fluide tournant d’un mouvement permanent autour d’un axe de révolution x’x (fig. 7, p. 30), la vitesse annulaire variant d’un anneau élémentaire AA' à l’autre. Conservant les notations de la section IV, nous avons (p. 32) la relation


Or, la pression est nulle à la surface et positive à l’intérieur du fluide ; donc


présente un maximum à l’intérieur ; par conséquent il en est de même de l’expression



Il y a donc certainement, à l’intérieur de la masse fluide, un point (ou plusieurs) où l’on a

(9)



Or, rappelons-nous que ne dépend que de la distance



à l’axe de rotation ; on a



et comme on a (p. 32)



il vient



d’ailleurs, le théorème de Poisson donne



L’inégalité (9) montre donc qu’il existe à l’intérieur de la masse fluide des points satisfaisant à la condition

(10)


Si nous supposions que ne varie pas avec nous retrouverions la limite inférieure de la densité donnée par l’inégalité (8).

38. Nous pouvons même serrer davantage l’inégalité (10). Considérons un anneau fluide dont la méridienne est QQ’ et qui tourne


[——— fig. 12 à consulter sur fac-similé ———]



autour de son axe ox (fig. 12). Nous venons de dire qu’il existe à l’intérieur du fluide des points A où est maximum ; le lieu de ces points est ici un cercle d’axe x'x et du rayon oA. Or, en un point où est maximum, on a, non seulement


mais encore

(11)________(11)________


Pour l’anneau de Saturne nous pouvons poser


étant le potentiel dû à l’attraction de Saturne et étant le potentiel dû à l’attraction de l’anneau sur lui-même. Calculons séparément les trois dérivées secondes en x, y, z de


au point A de l’axe des y (fig. 12) où passe par un maximum. Nous trouvons qu’on a, en ce point A,

___ ___


et sont de petites quantités positives ; d’ailleurs, au point A considéré, diffère peu de (troisième loi de Képler), et l’on peut écrire approximativement


Il est aisé de se rendre compte de l’erreur commise en écrivant ces équations ; on a remplacé par  ; l’équation exacte s’obtient en écrivant


ou


ou


L’erreur commise est donc de l’ordre de  ; si les dimensions de la section méridienne de l’anneau sont très petites par rapport au rayon de l’anneau (c’est-à-dire par rapport à ou à ) sera de l’ordre de  ; étant l’une des dimensions de la section méridienne, il sera donc négligeable non seulement d’une manière absolue, mais devant , c’est-à-dire devant et qui sont du même ordre que .

Alors les trois inégalités (11) donnent les trois suivantes


La première et la troisième sont satisfaites d’elles-mêmes. De la seconde on tire, en remplaçant par , et se rappelant que et sont positifs, l’inégalité


donnant pour la densité une limite inférieure plus précise que la limite donnée par l’inégalité (10).

Si donc la distribution des vitesses angulaires dans l’anneau est telle que le premier membre de l’inégalité (12) soit positif, il existera une limite inférieure de la densité ; si, au contraire, ce premier membre est négatif il n’en existera pas : or, ce premier membre est positif ou négatif suivant que croît ou décroît quand augmente.

VI. — Rupture des anneaux de Laplace. Formation des planètes.


39. Revenons maintenant aux anneaux abandonnés par la nébuleuse de Laplace dans le plan de son équateur, et montrons qu’il arrivera un moment où ils seront nécessairement instables, Nous venons de trouver, dans la Section précédente, une limite supérieure et une limite inférieure pour la densité d’un anneau fluide. Pour qu’il y ait stabilité on doit avoir à la fois, d’après les inégalités (7) et (12),

(13)__________(3) __________


À l’instant où l’anneau est abandonné, sa densité est très petite, donc la première inégalité est vérifiée. De plus, les particules de l’anneau se mouvant selon la troisième loi de Képler, on a


et par suite, en différentiant et en divisant par R2,


la seconde inégalité est donc vérifiée aussi.

Donc l’anneau est stable au début. Mais cet état de choses ne peut pas durer. D’abord, par suite du refroidissement, la densité augmentera et la première inégalité pourra cesser d’être satisfaite. Ensuite, le frottement des couches les unes sur les autres tendra, d’après Laplace, à uniformiser la vitesse angulaire qui deviendra constante : la dérivée devenant nulle, les deux inégalités (13) deviennent incompatibles, et l’anneau ne peut pas subsister.

40. D’ailleurs, une cause autre que le frottement agit pour rendre uniforme et nul. Cette cause est celle qu’indique Laplace et que nous avons déjà signalée (Chap. I, p. 10, fig. 1). À l’instant où l’anneau est abandonné, la troisième loi de Képler donne, entre la vitesse angulaire d’une particule et sa distance au centre, la relation

(14)


À une époque ultérieure , l’anneau s’est rétréci et a diminué d’épaisseur par suite du refroidissement ; le moment de rotation de chaque particule étant demeuré constant, la nouvelle vitesse angulaire et la nouvelle distance au centre vérifient l’équation

(15)


Comparant l’équation (14) à l’équation (15) il vient

(16)


L’anneau étant très mince, nous prenons pour unité son rayon moyen et nous posons


et étant de petites quantités. La contraction étant mesurée par le rapport , on a


la vitesse angulaire à l’époque est donnée par l’égalité (16) qui s’écrit


Quand la contraction aura atteint la valeur aura atteint, on le voit, une valeur constante

Ce mécanisme concourt donc avec le frottement à uniformiser la vitesse de rotation de l’anneau et à la rendre constante, les particules les plus externes acquérant ainsi une vitesse linéaire plus grande que les plus internes, comme le voulait Laplace pour expliquer la rotation directe des planètes. Malheureusement l’anneau deviendra instable avant que cet état de rotation uniforme ne soit atteint, puisque les deux inégalités (13) seront devenues incompatibles.

41. L’anneau, n’étant plus stable, se rompra en plusieurs parties, qui ne seront encore que des masses gazeuses plus ou moins diffuses, décrivant chacune un cercle autour du Soleil, à la façon d’un satellite. Si toutes ces masses gazeuses étaient juste à la même distance du Soleil elles n’arriveraient pas à se rencontrer. Mais, si leurs distances au Soleil sont un peu différentes, leurs vitesses angulaires le seront aussi, et par suite l’une des masses rejoindra l’autre : si la différence de leurs distances au Soleil est plus petite que la somme des rayons des deux masses, celles-ci se choqueront et se réuniront en une seule. Nous comprenons ainsi comment les diverses masses en lesquelles s’est brisé l’anneau peuvent arriver à se réunir en une seule et à donner une planète unique.

42. Cause de la rotation directe. — Il s’agit maintenant d’expliquer pourquoi cette planète aura en général un mouvement de rotation direct, puisque l’explication de Laplace est insuflisante. Considérons deux masses gazeuses M et M’ provenant de la rupture de l’anneau et dont les distances au Soleil sont un peu différentes (fig. 13).


[——— fig. 13 à consulter sur fac-similé ———]


D’après la troisième loi de Képler la masse la plus éloignée M’ a une vitesse moindre que la plus rapprochée M : c’est donc M qui rejoindra M’, viendra la choquer et se coller à elle. Il semble, à première vue, que la planète résultant de ce choc aura un mouvement de rotation rétrograde, puisque ses parties internes auront des vitesses plus grandes que ses parties externes. Mais la masse gazeuse globuleuse, grossièrement ronde, résultant de la réunion de M et de M’, n’est pas soustraite à toute action extérieure. Elle subit l’attraction du Soleil ; cette attraction lui fera prendre une forme allongée vers cet astre, l’attraction solaire tendant toujours à ramener son grand axe dans cette direction. Il se produira donc dans la masse des marées internes considérables accompagnées de frottements, qui tendront à rendre égales la durée de rotation et la durée de révolution. Ce mécanisme ne diffère pas de celui qu’invoquait Laplace pour expliquer le fait que la Lune présente toujours à la Terre le même hémisphère (Chap. II, p. 13.)

La masse planétaire arrivera donc à présenter une durée de rotation égale à sa durée de révolution, et à ce moment sa rotation sera devenue directe. La condensation augmentant par suite du refroidissement, cette vitesse de rotation directe tend à augmenter ; mais les marées tendent à la maintenir égale à celle de révolution. Au déhut, l’influence des marées l’emportera et les deux vitesses seront égales ; puis, l’influence des marées diminuant, la masse planétaire commencera à présenter une libration ; enfin, la condensation se poursuivant, l’influence des marées cessera d’être prépondérante et il y aura une rotation directe plus rapide que la révolution (voir au Chap. VII ce que nous disons à propos de la théorie de Darwin). L’action des marées diminue, en effet, à mesure que la contraction se poursuit, car la marée sur un astre dépend de la différence entre l’attraction solaire à la surface de cet astre et l’attraction solaire en son centre ; cette différence est évidemment plus faible pour un petit astre que pour un gros.

Cette expliquation de la rotation directe de la plupart des planètes, fondée sur l’action des marées est, semble-t-il, la meilleure. Si les planètes les plus extérieures (Uranus et Neptune) ont une rotation rétrograde, c’est, sans doute, que leur très grand éloignement a rendu la marée solaire très faible et insuffisante à produire la rotation directe.

VII. — Formation des satellites.


43. Nous venons de nous rendre compte comment un anneau de Laplace, en se rompant, a pu se transformer en une masse sphéroïdale généralement animée d’un mouvement de rotation direct. Cette masse sphéroïdale, que nous appellerons nébuleuse planétaire, pourra à son tour engendrer une planète accompagnée de satellites. Cette nébuleuse planétaire, en effet, est comparable à la nébuleuse solaire, mais sous de moindres proportionne Elle pourra, par l’effet de la condensation, abandonner le long de son équateur des anneaux nébuleux qui finiront par engendrer des satellites.

Toutefois, tandis que la nébuleuse solaire, libre de toute action extérieure, présentait une figure de révolution autour de son axe de rotation, la nébuleuse planétaire est soumise à l’influence de l’attraction solaire qui y produit des marées ; sous cette influence la nébuleuse planétaire s’allonge dans le sens du Soleil et tend à tourner constamment vers cet astre les mêmes points de sa surface. Ainsi s’établit, comme nous l’avons dit, l’égalité entre les durées de rotation et de révolution de la nébuleuse planétaire. Cette égalité qui, pour une raison analogue, a lieu encore aujourd’hui pour la Lune et probablement pour plusieurs satellites, ainsi peut-être que pour les planètes Mercure et Vénus, a dû se rencontrer chez toutes les planètes dans la première phase de leur existence.

Tant que s’est maintenue cette égalité, la nébuleuse planétaire a dû rester dans des conditions impropres à la formation de satellites. En effet, son volume diminuait par suite de la contraction, mais la vitesse restait la même ; donc diminuait, condition incompatible avec la production d’anneaux, ainsi que nous l’avons vu dans la Section III. Si l’égalité entre les durées de rotation et de révolution a lieu encore actuellement pour tous les satellites, nous nous expliquons pourquoi il n’y a pas de satellites du second ordre.

44. Étudions de plus près et analytiquement les conditions où s’est trouvée la nébuleuse planétaire dans cette première phase où elle tournait sur elle-même dans un temps égal à celui de sa révolution. D’abord, on peut faire au sujet de sa constitution deux hypothèses très différentes : on peut la supposer à peu près homogène, ou bien avec une très forte condensation centrale. Pour la nébuleuse solaire, la seconde hypothèse s’imposait à l’exclusion de la première (Section II). Mais pour une nébuleuse planétaire elle ne s’impose pas autant, et il y a lieu d’examiner successivement les deux hypothèses.

45. Cas d’une masse homogène. — Étudions donc en premier lieu les conditions d’équilibre d’une masse fluide homogène animée d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe de direction fixe ox passant par son centre de gravité o ; cette masse est soumise à l’attraction mutuelle de ses parties, et aussi à l’attraction d’un astre éloigné C (Soleil) situé dans le plan de l’équateur. Nous supposerons que, en vertu de cette dernière force, le point o décrit un cercle ayant son centre en C, et que la durée de révolution est égale à la durée de la rotation de la masse fluide autour de ox [12], Ce sont bien là des conditions analogues à celles où se trouvait la nébuleuse planétaire que nous étudions.

Prenons pour axes rectangulaires mobiles (fig. 14) l’axe de rotation ox, l’axe oy dirigé vers le Soleil C et l’axe oz, perpendiculaire aux


[——— fig. 14 à consulter sur fac-similé ———]


deux précédents, Dans ces conditions, la théorie élémentaire des marées nous apprend que le potentiel perturbateur dû à l’attraction solaire est


désignant la masse du Soleil et sa distance au point o. Si est la masse du fluide en mouvement, la troisième loi de Képler donne l’équation


d’où nous tirons, en appelant


le rapport de la masse fluide à la masse solaire,


par suite nous pouvons écrire


Le potentiel dû à la force centrifuge est


Nous voulons prouver que la masse fluide homogène peut prendre, dans l’équilibre, la figure d’un ellipsoïde

(17)


dont les axes sont dirigés suivant ox, oy, oz. On sait que Ie potentiel d’attraction à l’intérieur d’un tel ellipsoïde homogène peut s’écrire


étant trois constantes. Si l’on désigne par

(18)


les carrés des rapports d’un des axes de l’ellipsoïde aux deux autres, ces trois constantes ont pour valeurs

(19)


où l’on a posé


Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l’ellipsoïde (17), le potentiel total a pour valeur


Pour montrer que l’ellipsoïde (17) est une figure d’équilibre, il suffit de faire voir qu’un peut l’identifier avec une surface équipotentielle


cette dernière équation s’écrit


et l’identification avec l’équation (17) donne


Avec la notation (18), ces deux dernières équations s’écrivent, on le voit de suite,


Ce sont deux équations aux deux inconnues et  : elles détermineront les rapports des axes de l’ellipsoïde qui est une figure d’équilibre. Si nous posons


ces deux équations s’écrivent, en remplaçant par leurs valeurs (19),

(20)


Puisque est essentiellement positif, et seront toujours plus petits que 1, c’est-à-dire que l’axe de rotation sera toujours le petit axe de l’ellipsoïde.

46. La seconde des équations (20) peut être considérée comme représentant une courbe dans le plan des . Si nous construisons la portion de cette courbe intérieure au carré


nous trouvons qu’elle a la forme représentée sur la figure (15) : elle se compose de deux branches AB et OD, Pour la branche AB, nous avons  : l’ellipsoïde a son grand axe dirigé vers le Soleil, ce qui


[——— fig. 15 à consulter sur fac-similé ———]


correspond à des formes stables. Au point A l’ellipsoïde se confond avec une sphère, au point B c’est une aiguille infiniment allongée, à section circulaire. La branche OD pour laquelle correspond à des ellipsoïdes allongés dans une direction perpendiculaire à celle du Soleil ; ces ellipsoïdes sont des figures toutes instables. Au point D l’ellipsoïde est une aiguille très allongée à section circulaire, au point O c’est une aiguille très allongée et à section aplatie.

Si l’on examine comment varie


lorsqu’on chemine sur ces deux branches de courbe, on reconnaît que V partant de 0 au point A, commence à croître, passe par un maximum, puis reprend en B la valeur 0. De même V part de 0 au point D, passe par un maximum et s’annule de nouveau au point O.

Si l’on considère le moment de rotation, on constate que, nul en A, il ne cesse de croître le long de la branche AB et devient infini en B (en ce point B, le moment de rotation est infini, bien que la vitesse angulaire soit nulle, car le moment d’inertie de i’aiguille infiniment allongée est infini).

47. Etudions spécialement deux cas particuliers. Soit d’abord , c’est-à-dire que la masse de l’astre perturbateur C est supposée négligeable par rapport à la masse liquide en rotation. La question revient alors à chercher les formes d’équilibre d’une masse fluide homogène animée d’une rotation uniforme et soustraite à toute action extérieure, problème connu : les deux branches de courbe AB et OD de notre représentation graphique se rejoignent alors en un point H, et la figure 15 se transforme en la figure 16 ; la ligne OA bissectrice des axes de coordonnées correspond à des ellipsoïdes de révolution (ellipsoïdes de Mac-Laurin) ; la ligne DB correspond a des ellipsoïdes à trois axes inégaux (ellipsoïdes de Jacobi).


[——— fig. 16 à consulter sur fac-similé ———]


48. Le second cas particulier que nous envisagerons est celui de La masse fluide en rotation est alors très petite par rapport à la masse de l’astre troublant C (c’est le cas d’une nébuleuse planétaire dont la masse est très petite par rapport à celle du Soleil). Dans ce cas, la branche OD de la figure 15 vient s’aplatir contre l’axe des t, tandis que la branche AB subsiste. Quand on parcourt cette branche AB, la quantité part de 0, passe par un maximum égal à 0,046 puis décroît jusqu’à 0. Pour qu’une forme ellipsoïdale d’équilibre soit possible, il est donc nécessaire que l’on ait


Cette inégalité va fournir une limite supérieure que n’a pas pu dépasser le diamètre d’une nébuleuse planétaire (supposée ellipsoïdale et homogène}. Prenons, par exemple, la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter. Si désigne un rayon moyen de l’ellipsoïde qu’était initialement cette nébuleuse, la masse de celle-ci ( est approximativement la masse de Jupiter) est égale à

(21)


d’ailleurs, désignant la distance de Jupiter au Soleil dont la masse est on a

(22)


La comparaison de l’égalité (21) et de l’égalité (22) donne


Puisqu’il faut que


et que


environ, on voit que le rayon moyen de la nébuleuse de Jupiter devait satisfaire à l’inégalité


d’où l’on tire


Or (le rayon de l’orbite terrestre étant pris pour unité) ; donc


Prenant pour unité le rayon de Jupiter, cette inégalité signifie que doit être inférieur à 440 rayons de Jupiter.

Ainsi la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter et son cortège de satellites n’a pas dû avoir initialement un rayon moyen supérieur à 440 rayons actuels de Jupiter. Les satellites n’ont donc pas dû se former à une distance plus grande. En effet, le plus éloigné des satellites actuellement connus est à une distance de la planète égale à 357 rayons. Mais, si l’on venait à découvrir un satellite à une distance notablement [13] supérieure à 440 rayons, il y aurait là un sérieux argument contre la théorie.

49. Cas d’une masse à forte condensation. — Envisageons à présent l’hypothèse où la nébuleuse planétaire, qui tourne autour du Soleil en un temps égal à celui de sa rotation, présenterait une très forte condensation centrale de masse et cherchons la figure d’équilibre relative de son atmosphère.

Adoptons les mêmes axes de coordonnées que précédemment (fig. 14). Le potentiel d’attraction dû à la condensation est (nous négligeons l’attraction mutuelle des molécules de l’atmosphère) ; le potentiel dû à la force centrifuge est


le potentiel total est


représentant le potentiel dû à l’action perturbatrice du Soleil, situé en C sur l’axe des y (potentiel que nous avons appelé plus haut ).

Les surfaces de niveau ont pour équation


Lorsque est nul, nous retrouvons l’équation déjà discutée (Section I), et les surfaces sont de révolution : l’une d’elles présente un cercle double équatorial formant arête saillante. Mais il n’en est plus de même lorsque n’est pas nul. Dans ce cas, l’une des surfaces acquerra un point double si l’on a à la fois


La première de ces équations est vérifiée dans le plan , par raison de symétrie ; les deux autres, en prenant des coordonnées polaires, c’est-à-dire en posant


sont équivalentes à


Ces deux dernières nous donneront les coordonnées polaires du point double ; on aura


étant très petit, cette équation donne approximativement


Ayant ainsi la distance , nous la portons dans l’équation


qui donnera l’azimut du point double, Comme


nous voyons qu’en ce point double la fonction passera (en tant que fonction de ), par un maximum ou par un minimum : on reconnaît aisément qu’elle passera par un maximum.

Dans le cas actuel, la fonction perturbatrice due à l’action solaire a pour expression


désignant comme plus haut la masse du Soleil et sa distance au centre. Elle présente, pour une valeur donnée de , deux maxima égaux, en deux points de l’axe des y.

Donc l’une de nos surfaces de niveau présente deux points doubles ou points coniques ; les surfaces de niveau extérieures à celle-là ne sont plus fermées.

50. Jusqu’ici la durée de rotation de la nébuleuse planétaire a été supposée égale à sa durée de révolution, et nous avons dit (n° 43) que, pendant toute la période où s’est maintenue cette égalité, la nébuleuse n’a pas dû former de satellites. Lorsque, par suite de la condensation, la marée solaire est devenue plus faible, la rotation s’est accélérée, et la nébuleuse planétaire a cessé de présenter constamment au Soleil les mêmes points de sa surface. Roche admet que, dans cette seconde période, l’atmosphère planétaire prend à chaque instant la figure avec laquelle elle pourrait être en équilibre sous l’action du Soleil : sa surface libre est allongée vers le Soleil, et peut acquérir, aux sommets du grand axe, deux points coniques comme ceux dont nous parlions plus haut. C’est par ces deux pointes opposées que la contraction laissera s’échapper l’excès de fluide atmosphérique, et non plus par toute une arête saillante équatoriale, comme il arrivait pour la nébuleuse solaire de révolution. Donc, au lieu d’un anneau régulièrement disposé autour de la planète, nous aurions une émission de matière s’effectuant par deux points opposés, Roche pense que les diverses masses ainsi délaissées ne présenteraient aucune condition de stabilité ni de durée, et qu’en réalité les satellites ne se sont pas formés dans cette seconde période : ils appartiendraient à une phase bien postérieure ou la durée de la rotation se trouvait déjà tellement réduite que l’allongement de la nébuleuse planétaire vers le Soleil était presque négligeable. La nébuleuse planétaire, devenue alors tout à fait comparable à la nébuleuse solaire, aurait abandonné des anneaux ordinaires de Laplace qui auraient engendré les satellites.

Dans ce cas, aucun satellite ne se serait formé avant que la nébuleuse planétaire ne soit assez contractée pour que la différence entre son plus grand et son plus petit rayon équatorial, soit descendue au dessous d’une certaine limite . Estimant assez arbitrairement cette limite à 4,5 rayons terrestres, Roche en conclut, pour le rayon des différentes nébuleuses planétaires, au moment où elles ont pu commencer à abandonner des anneaux équatoriaux, les valeurs suivantes (exprimées en rayons de la planète correspondante :

Jupiter ——e Saturne —— Uranus —— Neptune
48,6 64,4 155 200

C’est seulement en deçà de ces distances qu’on doit s’attendre à trouver des satellites. Les satellites anciennement connus satisfont bien à cette condition. Mais il n’en est plus de même pour certains satellites récemment découverts : pour Jupiter, par exemple, on connaît un satellite à une distance de la planète égale à 357 rayons. Il y a donc lieu de penser que contrairement à l’opinion de Roche, les masses gazeuses abandonnées par les deux points coniques de la nébuleuse dans la seconde phase de son existence ont pu concourir à la formation de satellites. Cela, en effet, ne paraît pas impossible à imaginer : les masses successivement abandonnées auraient pu se répartir sur un anneau ; mais si, ce qui est le plus probable, aucun anneau n’avait pu se former, on se serait précisément trouvé dans les mêmes conditions qu’après la rupture de l’anneau devenu instable. Que cet état ait été atteint en passant par une phase d’anneau stable, ou sans passer par cette phase, la formation d’un satellite aurait toujours pu en résulter par un mécanisme identique.

51. Cas de la LuneRoche estime que la Lune se présente, à divers points de vue, comme un satellite exceptionnel.


« Elle se distingue, dit-il, par la grandeur de ses dimensions et de sa masse comparées à celles de la terre, par l’excentricité de son orbite, surtout par sa distance à la Terre. Saturne et peut-être Uranus en ont un aussi éloigné comparativement au rayon de la planète, mais c’est alors le dernier d’une série de satellites. Ici le satellite est unique. » (Essai sur la constitution et l’origine du système solaire, n° 52.)


Ces raisons lui font attribuer à la Lune une origine spéciale :


« Il a pu arriver aussi exceptionnellement, et telle est l’origine probable de la Lune, qu’un amas de vapeurs déjà refroidies s’étant formé au dedans de la nébuleuse terrestre, dans la région équatoriale et à une certaine profondeur, cet amas soit devenu un centre de condensation autour duquel se sont groupés d’autres amas semblables. De cette agglomération est résultée, dans l’atmosphère même de la Terre, une nouvelle nébuleuse, origine de la Lune. » (loc. cit., n° 58.)


Le système Terre-Lune serait donc, comparable, dans cette manière de voir, à une sorte de planète double. Nous sommes donc très loin des idées de Laplace.

52. Anneau de Saturne. — Pourquoi le dernier anneau équatorial abandonné par la nébuleuse de Saturne est-il resté sous forme d’anneau et n’a-t-il pas donné un satellite ? C’est, d’après Roche, parce qu’à une aussi faible distance de la planète, une masse fluide ellipsoïdale n’aurait pas pu être en équilibre. Rappelons-nous en effet ce que nous avons dit relativement à une masse fluide homogène, soumise à l’attraction d’un astre central éloigné (ici Saturne) et animée d’une rotation uniforme d’une durée égale à celle de sa révolution. Lorsque la masse fluide est très petite par rapport à celle de l’astre central (cas de ) nous avons vu (n° 48) qu’il faut avoir


pour qu’une forme ellipsoïdale d’équilibre soit possible. Mais la troisième loi de Képler donne


désignant ici la masse de Saturne et sa distance à la masse fluide : il faut donc que


Remplaçons par et étant le rayon et la densité de Saturne, l’inégalité précédente devient


Si, pour fixer les idées, on suppose les deux densités égales, , la condition d’existence du satellite fluide est simplement


D’où cette conclusion : à une distance de la planète inférieure à deux fois et demie son rayon, un satellite de même densité à l’état fluide ne saurait se maintenir sous forme ellipsoïdale. Comme le rayon moyen de l’anneau de Saturne est inférieur à cette distance, sa matière n’a donc pas pu s’agglomérer en un corps unique. Cela appelle les observations suivantes : à cette distance une forme annulaire fluide ou solide est instable ; nous l’avons vu et nous en avons conclu que l’anneau se composait de satellites très petits et ellipsoïdaux. Mais d’après Roche, une figure ellipsoïdale (en supposant l’égalité des vitesses de révolution et de rotation) est également instable. Nous devons donc conclure que les petits satellites dont est composé l’anneau ne présentent pas toujours la même face à Saturne.

VIII. — Objections à la Théorie de Laplaoe.

53. Nous avons exposé en détail les développements théoriques auxquels ont donné lieu les idées de Laplace. Voyons maintenant les quelques objections que l’on peut faire et que l’on a faites en effet à cette théorie.

Le but de Laplace était de rendre compte de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons, et du sens direct de tous les mouvements connus de son temps. Son hypothèse explique fort bien les deux premiers de ces phénomènes ainsi que le sens direct de toutes les révolutions des planètes. Quant aux rotations directes, elles sont, ayons-nous dit, insuffisamment expliquées par Laplace ; mais nous avons pu en rendre compte d’une façon satisfaisante au moyen de l’effet produit par les marées solaires sur les nébuleuses planétaires (mécanisme qui n’avait pas échappé à Laplace en ce qui concerne la Lune). La marée solaire étant très faible pour les planètes les plus extérieures, nous répondons du même coup à l’objection qu’on pourrait tirer des mouvements rétrogrades des systèmes d’Uranus et de Neptune.

54. On a aussi objecté à la théorie de Laplace l’énormité du temps nécessaire à la transformation d’un anneau en une masse planétaire unique. Un anneau devenu instable s’est rompu en plusieurs masses sphéroïdiques qui, d’après Laplace, ont du se réunir en une seule. Or, M. Kirkwood a fait remarquer que cette réunion exigerait un temps considérable. Si les fragments de l’anneau étaient distribués à peu près régulièrement le long de l’orbite, leurs actions perturbatrices se détruiraient à très peu de chose près, et on ne pourrait invoquer en faveur de la réunion des morceaux un peu éloignés que la différence de leurs vitesses de révolution. Or, considérant deux fragments de l’anneau de Neptune distants de 180° en longitude, et dont les distances au Soleil différeraient de 1 000 milles, M. Kirkwood calcule que leur jonction ne se ferait qu’au bout de 150 millions d’années. Pendant ce temps les masses se seraient refroidies et encroûtées, et cette durée semble beaucoup trop considérable, étant donné l’âge que la Thermodynamique permet d’assigner au système planétaire. Pour échapper à cette grave difficulté, M. Kirkwood propose d’admettre que les planètes ont été projetées par des espèces d’éruptions solaires : elles seraient en quelque sorte assimilables à d’anciennes protubérances que le Soleil aurait comme oubliées en se contractant. Mais dans cette supposition, on ne trouve aucune raison pour expliquer la faible excentricité des orbites. D’ailleurs nous n’avons aucune espèce d’idée du temps qui a pu être nécessaire pour la formation du système solaire. Il est possible, il est probable même que 150 millions d’années ne représentent qu’une fraction très faible de ce temps. Il n’y a donc rien à retenir de l’objection de M. Kirkwood.

55. Une autre difficulté de l’hypothèse de Laplace provient de ce que plusieurs satellites sont à des distances de leur planète incompatibles avec cette hypothèse, On a dit, par exemple, que la distance de la Lune à la Terre est plus grande que n’a pu être le rayon de l’atmosphère terrestre à l’époque de la formation de la Lune, c’est-à-dire lorsque la nébuleuse terrestre tournait sur elle-même en 27jours,3, durée de la révolution de la Lune. La limite de l’atmosphère de cette nébuleuse était en effet le point où la force centrifuge jointe à l’attraction solaire contrebalançait l’attraction terrestre, et l’on a cru pouvoir en déduire que l’atmosphère terrestre ne s’étendait qu’aux trois quarts de la distance de la Lune à la Terre. Mais Roche a montré que cette affirmation est inexacte. Dans le calcul de cette limite de l’atmosphère, ce qui intervient, ce n’est pas l’attraction absolue du Soleil, mais, comme dans le calcul des marées, son attraction relative, c’est-à-dire la différence entre l’attraction exercée sur une molécule de l’atmosphère et l’attraction exercée sur le centre de la Terre. On trouve, avec cette rectification, qu’à l’époque indiquée l’atmosphère terrestre atteignait la distance de la Lune. La grande distance de la Lune n’est donc pas une objection à la théorie de Laplace.

Il n’en est pas de même pour les petites distances auxquelles se trouvent le premier satellite de Mars et l’anneau intérieur de Saturne. D’après l’hypothèse de Laplace, « tous les corps qui circulent autour d’une planète ayant été formés par les zones que son atmosphère a successivement abandonnées, et son mouvement de rotation étant devenu de plus en plus rapide, la durée de ce mouvement doit être moindre que celles de la révolution de ces différents corps. » (Exposition du Système du Monde, p. 503). Or, on sait que le satellite le plus voisin de Mars (Phobos) et l’anneau intérieur de Saturne ont une durée de révolution moindre que la durée actuelle de rotation de la planète. On peut, pour expliquer cette anomalie, avoir recours à la formation d’anneaux intérieurs par la rencontre de traînées elliptiques, telle qu’elle a été indiquée par Roche (n° 24). Le satellite de Mars se serait ainsi formé à l’intérieur même de l’atmosphère primitive de la planète, c’est-à-dire à une distance inférieure à celle que lui avait assignée Laplace. Ce satellite aurait ensuite subi la résistance de milieu de cette atmosphère, ce qui aurait pu contribuer à rétrécir son orbite et, par conséquent, à augmenter sa vitesse de révolution. L’hypothèse de Laplace est ainsi sauvée, mais au prix d’une modification profonde.

56. Enfin la découverte récente, autour de Jupiter et de Saturne, de satellites à révolution rétrograde, crée une nouvelle difficulté. On pourrait essayer de la lever en considérant, comme au n° 42 (p. 51), deux masses et provenant de la rupture de l’anneau (fig. 13) ; la masse sera supposée très petite, la masse , provenant de la réunion antérieure de plusieurs noyaux, sera supposée très grande. Lorsque la masse rejoindra et dépassera la masse , elle pourra ne pas la choquer, mais elle pourra la capter (si cette masse secondaire pénètre dans l’atmosphère de la masse principale, et si la résistance de cette atmosphère réduit la vitesse relative des deux masses) et s’en faire un satellite à révolution rétrograde. On pourrait supposer également que le satellite s’est formé par le mécanisme ordinaire à l’époque où la rotation de la nébuleuse planétaire était encore retrograde. Le mécanisme de la marée solaire continuant à agir sur la masse planétaire, celle-ci prendra un mouvement de rotation direct, et les satellites ultérieurement formés seront à révolution directe.

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CHAPITRE IV.
HYPOTHÈSE DE FAYE.
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57. Dans le système cosmogonique de Hervé Faye [14], l’espace est dès l’origine rempli par « un chaos général excessivement rare, formé de tous les éléments de la Chimie terrestre plus ou moins mêlés et confondus. Ces matériaux, soumis d’ailleurs à leurs attractions mutuelles, étaient dès le commencement animés de mouvements divers qui en ont provoqué la séparation en lambeaux ou nuées Ceux-ci ont conservé une translation rapide et des gyrations intestines plus ou moins lentes. Ces myriades de lambeaux chaotiques ont donné naissance, par voie de condensation progressive, aux divers mondes de l’univers. » (p. 258.)

Les gyrations intestines, placées par Faye dans ses lambeaux chaotiques, sont analogues aux mouvements tourbillonnaires que nous observons aujourd’hui dans les nébuleuses spirales.

Des résultats fort différents pourront se produire suivant l’intensité de ces mouvements giratoires, et suivant la forme des lambeaux.

Si le lambeau est un amas sphérique homogène, sans mouvements intérieurs d’aucune sorte, sa condensation donnera une étoile sans satellites et sans rotation. Si, étant sphérique et homogène, ce lambeau est le siège de mouvements de gyration se compensant réciproquement, il produira soit un amas sphérique d’étoiles décrivant toutes dans le même temps des ellipses ayant leur centre au centre de gravité et de figure de l’amas, soit une étoile centrale accompagnée d’une foule de petits corps rapidement éteints, la condensation centrale l’ayant considérablement emporté sur les condensations partielles. Dans les deux cas, les gyrations se compensant, le moment de rotation totale est nul ; les orbites sont orientées dans des directions diverses et décrites aussi bien dnns un sens que dans l’autre.

Un cas beaucoup plus général sera « celui d’un amas non sphérique, non homogène et animé de tourbillonnements susceptibles de se résoudre en une gyration unique. » (p. 262) La condensation s’opérant alors autour de quelques centres d’attraction, finira par former deux ou trois globes séparés : d’où la formation d’une étoile double ou multiple. « Et comme, dans la série des mouvements des corpuscules se précipitant vers des corps distincts, il n’a dû se présenter aucun moyen de régularisation capable d’imprimer la forme circulaire à leurs trajectoires, les étoiles finales, associées par couples, décriront des ellipses plus ou moins excentriques, ayant leur foyer commun au centre de gravité. » (p. 263).

Abordons maintenant la formation de notre système solaire. Ce système présente cette remarquable particularité que les orbites des planètes sont presque circulaires. « Il faut donc que, parmi les conditions initiales de notre lambeau chaotique, il s’en soit trouvé une qui ait empêché les gyrations de dégénérer en mouvements elliptiques, et qui ait rectifié d’abord et fermement conservé ensuite la forme à peu près circulaire à travers toutes les péripéties. » (p. 265). Faye suppose que le chaos partiel, le lambeau d’où est sorti le système solaire, était à l’origine une sorte de nébuleuse sphérique et homogène et que cette nébuleuse possédait un lent mouvement tourbillonnaire affectant une partie de ses matériaux. Il pense qu’à l’intérieur de cette nébuleuse se formeront des anneaux concentriques animés d’un mouvement de rotation commun, semblables à l’anneau dont la nébuleuse de la Lyre nous offre un exemple :


« Les mouvements tourbillonnaires que ce lambeau chaotique emporte dans son sein affectent une forme spiraloïde avec des vitesses dirigées à peu près perpendiculairement au rayon vecteur. Ces vitesses vont en croissant vers le centre. Il y aurait donc peu à faire pour transformer, en partie, un mouvement de ce genre en une véritable rotation, si cette dernière était compatible avec la loi de la pesanteur interne.

« Or, c’est précisément le propre de ce genre d’amas chaotique de ne permettre aux corps qui s’y meuvent que des révolutions elliptiques ou circulaires concentriques et de même durée. Des portions notables dos tourbillons intérieurs pourront donc y prendre l’allure d’un anneau plat, tournant autour du centre avec une même vitesse angulaire, exactement comme si cet anneau nébuleux était un cerceau solide, il n’y a à cela qu’une condition, c’est que la durée de la gyration de ces particules soit égale à la durée commune de tous les mouvements elliptiques ou circulaires qui se produisent sous l’influence de la force centrale.

« Ainsi toutes les particules qui auront la vitesse convenable, dans le plan des gyrations, s’arrangeront immédiatement sous l’influence de la gravité en anneau plat, animé, autour du centre, d’une véritable rotation. Les autres, à vitesses trop grandes ou trop petites, se mouvront dans le même plan, en décrivant des ellipses concentriques à l’anneau. Si ces ellipses sont très allongées, les matériaux qui les parcourent se rapprochent beaucoup du centre où s’opérera une condensation progressive ; ils finiront par y être englobés, tout en communiquant au globe central naissant une rotation dans le plan même de la gyration primitive. Si elles diffèrent peu d’un cercle, la faible résistance du milieu suffira pour uniformiser la vitesse et disposer les matériaux en anneaux tournant comme le premier. » (p. 366-367.)

58. Nous constatons ici une première différence essentielle entre la conception de Faye et celle de Laplace : les anneaux de Laplace se formaient à l’extérieur de la nébuleuse, ceux de Faye se forment à l’intérieur. Seulement, tandis que Laplace rendait parfaitement compte de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles de ces anneaux, Faye donne de ce phénomène une explication beaucoup moins nette. Le but principal que Laplace s’était proposé ne se trouve ainsi qu’imparfaitement atteint. Dans les deux théories, c’est la rupture des anneaux, devenus instables, qui donne naissance aux planètes.

59. Mais suivons l’évolution de la nébuleuse de Faye. Au début, elle était sphérique et homogène ; l’attraction à l’intérieur était proportionnelle à la distance au contre et pouvait être représentée par

,


désignant une constante. Plus tard, l’attraction mutuelle des parties, jointe aux chocs et aux frottements inévitables entre particules, produisit nécessairement une condensation centrale ; celle-ci s’est peu à peu nourrie aux dépens de l’atmosphère nébulaire qui se raréfiait de ce fait. C’est ainsi que le Soleil s’est finalement formé vers le centre par la réunion de tous les matériaux non engagés dans les anneaux, faisant ainsi le vide autour de lui. Dans cet état final, qui est l’état actuel, l’attraction est inversement proportionnelle au carré de la distance ou centre ; elle a pour expression


étant une nouvelle constante.

Dans la période intermédiaire, Faye admet que la loi d’attraction, en fonction de la distance r, peut se représenter par l’expression

(E)


va en diminuant de à 0 et en augmentant de 0 à .

Cette loi correspondrait exactement à une nébuleuse formée d’un noyau central d’une certaine masse qu’envelopperait une atmosphère parfaitement homogène. Il est peu vraisemblable que la nébuleuse solaire ait offert cette constitution dans la période intermédiaire. La loi d’attraction réelle avait sans doute une forme beaucoup plus compliquée ; la loi simple proposée par Faye nous donne donc simplement une idée approchée de la façon dont pouvait varier la pesanteur à l’intérieur de la nébuleuse primitive.

60. Étudions maintenant comment se comportent les anneaux de Faye au point de vue de leur rotation.

Considérons une molécule quelconque d’un anneau. Sa trajectoire est circulaire et sa force centrifuge fait équilibre à l’attraction. Si l’on appelle sa vitesse angulaire, on a, d’après l’expression (E)


d’où l’on tire


Or, est la vitesse linéaire de la molécule : si cette vitesse croît avec , les molécules externes auront une vitesse supérieure à celle des molécules internes, et l’anneau, après sa rupture, donnera une planète à rotation directe. Au contraire, si est une fonction décroissante de . la planète issue de l’anneau aura une rotation rétrograde.

Voyons donc dans quel sens varie , c’est-à-dire dans quel sens varie l’expression


Ce sens dépend du signe de la dérivée


Tant qu’on aura l’inégalité

(1)


l’anneau engendrera une planète à rotation directe. La rotation de la planète sera indirecte si cette inégalité n’est pas vérifiée. Or, au début, est nul, donc l’inégalité est satisfaite partout. Mais, avec le temps, croît et décroît, donc à chaque distance il arrivera un moment où l’inégalité cessera d’être vérifiée. Une planète formée après cette époque aura une rotation rétrograde.

Les rotations sont donc directes lorsque est grand et petit, c’est-à-dire au commencement. Ainsi, d’après Faye, les planètes à rotation directe sont les plus anciennement formées : l’âge relatif des différentes planètes est inverse de celui que leur assignait Laplace.

61. Dans cette hypothèse, la Terre serait non seulement plus vieille que Jupiter ou Neptune par exemple, mais beaucoup plus vieille même que le Soleil, puisqu’un moment où elle s’est formée, était grand et ' petit ; par suite, la condensation centrale de la nébuleuse était très faible.

Les géologues estiment que le dépôt des sédiments terrestres, depuis le début de l’ère primaire, a exigé un minimum d’une centaine de millions d’années. Or, nous verrons plus tard qu’Helmholtz et Lord Kelvin, au nom de la Thermodynamique, assignent au Soleil un âge qui ne dépasse pas une cinquantaine de millions d’années. Faye regardant la Terre comme beaucoup plus ancienne que le Soleil espère faire disparaître cette contradiction inquiétante. Mais observons que l’étude des fossiles de l’époque cambrienne nous invite à penser que les conditions générales de la vie n’étaient pas alors extrêmement différentes de ce qu’elles sont aujourd’hui, et il paraît assez difficile d’admettre que les êtres de cette époque aient vécu sans soleil, ou mieux encore, à l’intérieur de l’atmosphère solaire.

62. Les comètes, daprès Laplace, étaient des corps étrangers au système solaire, mais appelés dans ce système par l’attraction. D’après Faye, ces astres appartiennent originellement au système solaire : « Parmi les matériaux non engagés dans le tourbillon primitif, et décrivant en tous sens des ellipses allongées autour du centre, il a dû s’en trouver qui échappèrent à la condensation centrale. Ces matériaux, partis des limites du chaos primitif, ont continué à se mouvoir dans des courbes allongées. » (p. 273.) Ils ont donné les comètes dont les orbites sont devenues des ellipses presque paraboliques ayant leur foyer à l’endroit où les premières avaient leur centre.

63. Nous avons exposé les points essentiels de la théorie de Faye. Cette théorie fut imaginée principalement pour expliquer ce fait que les systèmes planétaires intérieurs sont directs tandis que les systèmes planétaires extérieurs sont rétrogrades. Faye croit ce fait absolument inconciliable avec l’hypothèse des anneaux de Laplace, car ces anneaux doivent, selon lui, donner des planètes toujours rétrogrades [15]. Les planètes se séparent donc ici en deux catégories très nettes : les planètes directes (les plus rapprochées) dont la formation est antérieure à celle du Soleil, et les planètes rétrogrades (les plus éloignées) dont la formation est postérieure à celle du Soleil [16].

Laplace, n’ayant connaissance que de mouvements directs, avait annonce que si l’on venait à découvrir une nouvelle planète ou un nouveau satellite, il y aurait des milliers de milliards à parier contre un que la circulation de ce satellite ou la rotation de cette planète serait directe. Personne ne tint le pari, mais Laplace l’aurait perdu : la découverte de Neptune et de son satellite lui ont donné un démenti. Aux yeux de Faye, c’était là la faillite de la théorie de Laplace et c’est ce qui l’engagea à en proposer une autre. Pour lui, les diverses planètes peuvent aussi bien tourner sur elles mêmes dans un sens que dans l’autre — cela dépend de l’époque de leur formation ; — mais il aurait volontiers parié à son tour que les satellites se mouvront toujours autour de leurs planètes respectives dans le sens de rotation de celles-ci. Lui aussi, il aurait perdu : on connait aujourd’hui des satellites qui circulent autour de Jupiter et de Saturne dans le sens rétrograde. Restant dans l’ordre d’idées de Faye, on pourrait essayer d’expliquer le mouvement rétrograde de ces satellites autour de leurs planètes par des considérations analogues à celles que nous avons données à la fin du Chapitre précédent. Les premiers satellites de Jupiter, par exemple auraient été formés pendant la période directe, c’est-à-dire quand l’inégalité (1) était encore vérifiée à la distance de Jupiter, le dernier aurait été capté plus tard, pendant la période rétrograde, comme nous l’expliquions au n° 56 (p. 67).

64. Examinons à présent un point capital pour la théorie. Au moment où chaque planète se forme, son orbite est circulaire, puisque, par hypothèse, la planète provient d’un anneau. Nous avons vu que sur ce point les explications de Faye ne sont pas entièrement satisfaisantes ; nous ne reviendrons pas là-dessus, et nous les admettrons provisoirement. Mais la loi d’attraction varie avec le temps. À supposer que l’orbite ait été initialement circulaire, a-t-elle pu rester circulaire ? Montrons qu’il en est bien ainsi.

Représentons par la loi d’attraction, variable avec la distance r de la planète au centre, et variable aussi, lentement, avec le temps . Le ravon vecteur r satisfait à l’équation


désigne la vitesse angulaire. La force étant centrale, nous avons l’équation des aires


étant une constante. L’équation précédente s’écrit alors

(2)


Introduisons une fonction définie par l’équation


(dans l’hypothèse de Faye, où nous avons


la fonction serait


mais nous restons ici dans le cas général où est une fonction quelconque connue de et de ). L’équation (2) s’écrit alors

(3)


Dans le cas où ne dépend pas de , cette équation, multipliée par , et intégrée, donne immédiatement l’équation des forces vives

(4)


est une constante.

Dans le cas actuel où dépend de , nous posons cette même équation (4) : elle servira de définition à , qui n’est plus une constante, mais une quantité qui dépend du temps. Calculant la dérivée de par rapport au temps, on trouve


La parenthèse du second membre étant nulle d’après l’équation (3), est égal à la dérivée partielle de par rapport au temps :


Dans le cas où l’attraction ne dépend pas du temps, nous obtenons la distance aphélie en écrivant que



Si nous appelons la valeur de pour , l’équation

(5)


définit alors la distance aphélie et aussi la distance périhélie.

Dans le cas où l’attraction varie lentement avec le temps, nous pouvons continuer à dire que cette même équation (5) définit, à chaque instant , la distance aphélie osculatrice, c’est-à-dire la distance aphélie de l’orbite que décrirait la planète si la loi d’attraction cessait de varier à cet instant .

Cette définition semblera justifiée si l’on remarque qu’à l’instant où la distance passe par un maximum on a et que par conséquent  ; à ce moment on a également et par conséquent

Ce qui caractérise un mouvement circulaire, c’est que la distance aphélie est égale à la distance périhélie, c’est-à-dire que l’équation


a une racine double  ; cette racine double satisfait aussi à l’équation


Inversement si la distance aphélie annule , l’équation précédente a une racine double et l’orbite est circulaire.

Supposons donc qu’à l’instant initial les deux équations


et


ont une racine commune , rayon de l’orbite circulaire de la planète. Si, à une époque un peu ultérieure , I’orbite a cessé d’être circulaire, sa distance aphélie sera donnée par l’équation


Étudions les variations de , et pour cela différentions la dernière équation par rapport à . Nous obtenons

(6)


Or, différant peu de nous avons


et


Portons ces valeurs dans l’équation (6) en nous souvenant que est nul ; nous trouvons l’équation


Comme diffère peu de , l’équation précédente s’écrit


Le premier membre est la dérivée totale de par rapport au temps. Cette dernière équation nous montre que , nul à l’époque , reste nul à l’époque . L’orbite initialement circulaire reste donc circulaire, mais son rayon varie avec le temps.

65. Il y a un cas où nous pouvons étudier la question de beaucoup plus près. Supposons que, dans la formule de Faye


soit nul : ce serait, par exemple, le cas où la nébuleuse de Faye posséderait un noyau déjà très condensé, avec une atmosphère de densité négligeable, mais de masse importante vu la grande distance où elle s’étend ; cette atmosphère tombe peu à peu sur le noyau central pour augmenter sa masse. En d’autres termes, nous allons étudier le mouvement d’une planète attirée suivant la loi de Newton par un soleil dont la masse (que nous désignerons par ) varie lentement avec le temps.

Dans ce cas, la fonction que nous appelons a pour expression


par suite


Or, est la constante des forces vives qui, dans le mouvement képlérien, a pour valeur étant le grand axe de l’orbite ; nous avons donc


ou

(7)


Nous pouvons admettre que, pendant le temps d’une révolution de la planète, reste sensiblement constant. Calculons ou plutôt sa valeur moyenne pendant une révolution. En désignant par et le moyen mouvement et l’anomalie excentrique de la planète, par l’excentricité de son orbite, nous avons


d’où nous tirons, et ne variant que très lentement,


d’ailleurs, une formule bien connue du mouvement elliptique donne


donc


Or, pendant une révolution, est une constante, et a pour valeur moyenne donc

moyenne de


La formule (7) donne par conséquent pour la variation séculaire du grand axe


ou


et par suite


Le grand axe varie donc inversement à la masse du Soleil,

D’ailleurs, si nous appelons le petit axe de l’orbite elliptique, la constante des aires a pour valeur


nous avons donc :


et


étant lui-même constant, l’est aussi. Les deux axes et de l’orbite de la planète varient donc proportionnellement l’un à l’autre, L’orbite de la planète — et ici nous n’avons pas eu besoin de supposer son excentricité très petite — reste donc constamment semblable à elle-même. Elle se rapetisse à mesure que la masse du Soleil augmente.

66. Ainsi, dans l’hypothèse de Faye, l’orbite d’une planète reste toujours quasi-circulaire, mais le rayon de cette orbite va en diminuant ; les planètes s’approchent de plus en plus du Soleil à mesure que celui-ci augmente de masse [17].

Demandons-nous quelles pouvaient être, à l’origine, les distances des diverses planètes au centre de la nébuleuse. Pour une planète dont est le rayon de l’orbite actuelle et dont est la vitesse angulaire, le moment de rotation est


ce moment de rotation n’ayant pas dû varier, si est la vitesse angulaire et le rayon de l’orbite de la planète à l’origine, on a

(8)


Or, à l’origine, la nébuleuse de Faye était sphérique et homogène, l’attraction était donc proportionnelle à la distance au centre, par suite était le même pour toutes les planètes. Supposons, par exemple, que la nébuleuse primitive homogène ait eu le rayon de l’orbite actuelle de Neptune (ce qui est un minimum) : alors son attraction sur Neptune aurait été la même que si toute sa masse avait été concentrée en son centre. Sa condensation ultérieure en un Soleil central n’a rien dû changer au mouvement de Neptune, qui lui restait toujours extérieur. La valeur de est donc, dans cette hypothèse, la vitesse angulaire actuelle de Neptune, et la formule (8) permet de calculer la distance initiale de chaque planète au centre de la nébuleuse. On peut ainsi former le Tableau suivant, où l’on a mis en regard la distance actuelle et la distance initiale des planètes au Soleil, le rayon actuel de l’orbite terrestre étant pris comme unité :

Planètes
_
Distance actuelle
Distance initiale

___________ ____________________ ____________________
Mercure……… 0,4 10
Vénus……… 0,7 11
la Terre……… 1 13
Mars……… 1,5 14
Jupiter……… 5,2 20
Saturne……… 9,5 22
Uranus……… 19,1 27
Neptune……… 30 30


Nous voyons, par exemple, que Mercure se serait formé à peu près à la distance où se trouve aujourd’hui Saturne. Si le rayon de la nébuleuse homogène primitive avait été encore plus grand, les distances se trouveraient encore augmentées. L’attraction est initialement représentée par , étant proportionnel à la densité de la nébuleuse, c’est-à-dire à  ; égal à est donc proportionnel à comme a une valeur constante, nous concluons que est proportionnel à

Donc, si la nébuleuse primitive a eu un rayon double de la distance actuelle de Neptune, c’est par qu’il faut multiplier les nombres de la dernière colonne du Tableau ci-dessus. Si l’on admet que la nébuleuse solaire touchait à l’origine celle de l’étoile la plus voisine ( du Centaure), qui se trouve éloignée à une distance de l’ordre de 200 000 rayons de l’orbite terrestre, c’est par un nombre de l’ordre de qu’il convient de multiplier les distances . Dans l’hypothèse de Faye c’est donc à d’énormes distances que les planètes se seraient formées.

L’hypothèse de Faye présente en résumé un caractère ingénieux ; mais elle rend moins facilement compte que celle de Laplace de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons. Elle a été imaginée à la suite de certaines objections qui avaient été opposées à la théorie de Laplace ; nous avons vu plus haut comment la plupart de ces objections avaient pu être écartées et avaient été victorieusement réfutées par les partisans des idées de Laplace. La principale difficulté, ignorée d’ailleurs de Faye, provient du mouvement rétrograde des satellites extérieurs de Jupiter et de Saturne ; mais elle n’est pas mieux expliquée par la nouvelle théorie que par l’ancienne.

___________


CHAPITRE V.
HYPOTHÈSE DE M. DU LIGONDÈS. [18]
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67. Le point très original de la théorie de M. du Ligondès consiste dans l’idée qu’il se fait du chaos primitif :

« À l’origine l’Univers se réduisait à un chaos général extrêmement rare, formé d’éléments divers mus en tous sens et soumis à leurs attractions mutuelles…

« Ce chaos s’est partagé en lambeaux qui ont donné naissance, par voie de condensation progressive, à tous les Mondes de l’Univers. » (Formation mécanique du système du Monde, p. 14.)


Nous sommes loin, on le voit, de la nébuleuse de Laplace : qui tournait tout d’une pièce avec une vitesse de rotation bien uniforme. Les tourbillons et gyrations intestines dont Faye dotait sa nébuleuse primitive sont aussi supprimés. Nous sommes, en quelque sorte, « revenus aux idées de Kant, avec le mouvement en plus, non pas le mouvement régulier de la rotation ou des tourbillons, mais le mouvement sans ordre apparent. » (p. 14.)

Nous devons donc nous représenter l’un quelconque des lambeaux nébuleux en lesquels le chaos initial s’est partagé, par suite de la tendance de toutes les molécules à se porter vers les régions les plus denses, comme formé par un très grand nombre de masses séparées, s’attirant les unes les autres, se mouvant en tous sens et pouvant arriver à se choquer de temps à autre. Les vitesses de tous ces projectiles ne sont soumises à aucune loi : la seule loi sera celle des grands nombres :

« Nous ne faisons aucune hypothèse sue la nature de ces mouvements ; nous les abandonnons entièrement à ce qu’on est convenu d’appeler le hasard. C’est en cela que l’hypothèse dont nous allons développer les conséquences diffère essentiellement de toutes celles qui ont été émises jusqu’ici ; c’est ce qui lui donne un caractère de vraisemblance et de généralité qui doit, a priori, la faire préférer à toute autre. L’hypothèse de Kant, malgré son apparente simplicité, est moins générale que la nôtre, puisque la matière y est primitivement en repos ; le repos n’est qu’un cas particulier du mouvement. » (p. 15.)

68. Examinons maintenant comment M. du Ligondès fait, d’un des lambeaux chaotiques, naître le système solaire. Observons tout de suite — c’est là un point capital — que M. du Ligondès n’est pas en contradiction avec le principe des aires, comme l’était M. Kant qui supposait sa nébuleuse initiale partant du repos. Les projectiles dont se compose le lambeau ont leurs vitesses distribuées au hasard. Considérons alors les vecteurs qui représentent le moment de la quantité de mouvement de chacun de ces projectiles par rapport au centre de gravite du lambeau : ces vecteurs seront orientés dans tous les sens et auront des grandeurs diverses ; et, puisque le mouvement est supposé complètement désordonné, la somme géométrique de tous ces vecteurs sera très petite par rapport à leur somme arithmétique, c’est-à-dire par rapport à ce qu’elle serait si tous ces vecteurs avaient même direction ; mais en général elle ne sera pas nulle. Or, cette somme géométrique, c’est précisément le moment de rotation total du système, moment qui doit demeurer constant à partir de l’instant où le lambeau considéré est suffisamment séparé des autres pour pouvoir être regardé comme isolé. Il n’y a donc, a priori, aucune contradiction à faire sortir le système solaire d’un pareil lambeau nébuleux chaotique.

69. Cherchons à nous faire une idée de la somme géométrique et de la somme arithmétique des vecteurs dont nous venons de parler, et du rapport de ces deux sommes. La somme géométrique, nous la connaissons, c’est le moment de rotation actuel du système solaire. Pour essayer d’évaluer grossièrement la somme arithmétique, assimilons la nébuleuse chaotique initiale à une sphère homogène ayant une masse égale à la masse totale du système solaire, et un rayon égal à 100 000 unités astronomiques [19]. À l’intérieur d’une telle sphère homogène, l’attraction est proportionnelle à la distance au centre et toutes les molécules décrivent des ellipses dans le même temps. Pour calculer ce temps, considérons une molécule décrivant une orbite circulaire ayant justement pour rayon 100 000 unités. Cette molécule se mouvant comme si toute la masse de la nébuleuse était concentrée au centre, sa duré de révolution se calculera suivant la troisième loi de Képler : elle aura pour valeur (100 000), soit environ 30 millions d’années. Une molécule m décrivant dans ce temps une ellipse d’axes et aura donc pour moment de rotation


et la somme arithmétique des moments de rotation de toutes les molécules sera


la somme étant étendue à toutes les molécules qui constituent la nébuleuse. Pour calculer cette somme nous aurions besoin de connaître l’ellipse décrite par chaque molécule. Or, nous n’avons pas la moindre idée de la façon dont varient ces ellipses d’une molécule à l’autre, et il semble difficile de faire à ce sujet une hypothèse qui puisse se justifier. Mais, cherchant ici seulement un ordre de grandeur, nous remarquons que, pour la plupart des molécules, et sont comparables au rayon de la nébuleuse sphérique et nous nous contentons d’écrire, avec une approximation grossière