Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.10

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 38-46).

CHAPITRE X.

APPLICATION À L’ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

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Exposé de la question.

130.On peut faire des principes du Chapitre précédent une application importante à l’étude de certaines équations que les astronomes ont souvent considérées.

Soient

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

nos équations canoniques, et soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots$

Supposons que nos variables conjuguées $x_{i}$ et $y_{i}$ soient les variables képlériennes du n^o 11, que $\mathrm {F} _{0}$ dépende seulement de $\beta \,\mathrm {L}$ et de $\beta '\,\mathrm {L} ',$ c’est-à-dire des deux grands axes, et qu’en négligeant $\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}$ et les termes suivants $\mu \,F_{1}$ représente la fonction perturbatrice.

Alors $\mathrm {F} _{1}$ est développable suivant les sinus et cosinus des multiples des deux anomalies moyennes $l$ et $l';$ j’appellerai $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction périodique de $l$ et de $l'.$

On a souvent, pour étudier les variations séculaires des éléments des deux planètes, négligé dans $\mathrm {F} _{1}$ les termes périodiques et réduit, par conséquent, cette fonction à sa valeur moyenne $\mathrm {R} .$ Nos équations deviennent alors

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}};&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Est-on certain, en opérant de la sorte, d’obtenir exactement les coefficients des termes séculaires de $x_{i}$ et de $y_{i},$ je veux dire les coefficients des termes dont la période croît indéfiniment quand les masses tendent vers 0 ? Il est évident que non ; mais l’approximation est généralement assez grande et les astronomes s’en sont, à juste titre, contentés jusqu’ici. De là l’intérêt qui s’attache à l’étude de ces équations (1 bis).

$\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {R}$ ne dépendant pas de $l$ et de $l',$ il vient d’abord

${\frac {d(\beta \,\mathrm {L} )}{dt}}={\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}=0,$

de sorte que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ peuvent être considérés comme des constantes. Nous pourrons donc nous contenter d’envisager les quatre paires de variables conjuguées,

${\begin{array}{cccc}\beta \,\mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\g,&\theta ,&g',&\theta '\end{array}}$

(notations du n^o 11), que nous appellerons pour un instant

${\begin{array}{rrrr}x_{1},&x_{2},&x_{3},&x_{4},\\y_{1},&y_{2},&y_{3},&y_{4},\end{array}}$

Alors $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend d’aucune de ces huit variables et nos équations (1 bis) deviennent

(1 ter)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{\mu \,dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{\mu \,dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,3,\,4).\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {R}$ ne dépend que de nos huit variables $x_{i}$ et $y_{i},$ puisqu’elle est indépendante de $l$ et de $l'$ et que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ sont désormais regardées comme des constantes. Nos équations (1 ter) ont donc la forme canonique.

Quand $x_{i}$ et $y_{i}$ auront été déterminés par les équations (1 ter), on calculera $l$ et $l'$ par les équations

${\begin{aligned}{\frac {dt}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dt'}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta '\,d\mathrm {L} }},\end{aligned}}$

qui s’intégreront par de simples quadratures, puisque $l$ et $l'$ n’entrent pas dans le second membre.

Les fondateurs de la Mécanique céleste ont envisagé ces équations en réduisant $\mathrm {R}$ à ses premiers termes, c’est-à-dire à ceux qui sont du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Les équations sont alors linéaires et à coefficients constants. Depuis, Le Verrier et Cellérier ont envisagé les termes du quatrième ordre et ont reconnu qu’ils n’altèrent pas la stabilité.

Mais les principes du Chapitre précédent permettent, comme nous allons le voir, de généraliser ce résultat et de montrer qu’il est encore vrai (au point de vue du calcul formel bien entendu) quelque loin que l’on pousse l’approximation.

Nouveau changement de variables.

131.Si l’on adopte les variables (4) du n^o 12, $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances de $\xi ,\,\xi ',$ $\eta ,\,\eta ',$ $p,\,p',$ $q$ et $q';$ il n’y a pas, comme nous l’avons vu, de termes de degré impair, par rapport à ces quantités

(2)

$\xi ,\quad \xi '\quad \eta ,\quad \eta ',\quad p,\quad p',\quad q,\quad q'.$

Nous pourrons donc écrire

$\mathrm {R} (\xi ,\xi ',\eta ,\eta ',p,p',q,q')=\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\mathrm {R} _{6}+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}$ comprenant l’ensemble des termes du $k$^ième degré par rapport aux quantités (2). Il s’agit d’intégrer les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }},&\cdots \end{aligned}}$

Mais nous avons encore un changement de variables à faire pour amener nos équations à la forme la plus commode.

Supposons d’abord que l’on néglige les termes d’ordre supérieur au deuxième par rapport aux quantités (2) et que l’on écrive

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}.$

$\mathrm {R} _{0}$ est une constante, $\mathrm {R} _{2}$ est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux variables (2). Si donc on forme les équations canoniques

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\eta }},&{\frac {d\xi '}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\eta '}},&{\frac {dp}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dq}},&{\frac {dp'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dq'}},\\{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\xi }},&{\frac {d\eta '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\xi '}},&{\frac {dq}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dp}},&{\frac {dq'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dp'}},\end{aligned}}\right.$

ces équations seront linéaires par rapport aux variables (2).

Supposons que, au lieu de développer $\mathrm {R}$ suivant les puissances des variables (2), nous développions suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons et qu’on obtienne ainsi le développement suivant

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}^{\star }+\mathrm {R} _{2}^{\star }+\mathrm {R} _{4}^{\star }+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}^{\star }$ représentant l’ensemble des termes du degré $k$ par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

D’après ce que nous avons vu au n^o 12, les variables (2) sont développables suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, de telle sorte qu’en arrêtant chacun de ces développements à son premier terme il vienne

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\xi &={\sqrt {\Lambda }}\,e\,\cos \varpi ,&\xi '&={\sqrt {\Lambda '}}\,e'\,\cos \varpi ',\\\eta &=-{\sqrt {\Lambda }}\,e\,\sin \varpi ,&\eta '&=-{\sqrt {\Lambda '}}\,e'\,\sin \varpi ',\\p&={\sqrt {\Lambda }}\,i\,\cos \theta ,&p'&={\sqrt {\Lambda '}}\,i'\,\cos \theta ',\\q&=-{\sqrt {\Lambda }}\,i\,\sin \theta ,&q'&=-{\sqrt {\Lambda '}}\,i'\,\sin \theta '\end{aligned}}\right.$

(j’ai posé pour abréger, comme au n^o 12, $\Lambda =\beta \,\mathrm {L} ,$ $\Lambda '=\beta '\mathrm {L} '$).

Il résulte de là que

$\mathrm {R} _{0}=\mathrm {R} _{0}^{\star }$

et que, pour obtenir $\mathrm {R} _{2}^{\star },$ il suffit de remplacer dans $\mathrm {R} _{2}$ les variables (2) par leur valeur approchée (4).

Inversement, on obtiendra $\mathrm {R} _{2},$ en remplaçant dans $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ les quantités

$e\cos \varpi ,\quad e'\cos \varpi ',\quad e\sin \varpi ,\quad e'\sin \varpi ',\quad i\cos \theta ,\quad i'\cos \theta ',\quad i\sin \theta ,\quad i'\sin \theta '$

par

${\frac {\xi }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {\xi '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-\eta }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-\eta '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {p}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {p'}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-q}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-q'}{\sqrt {\Lambda '}}}\cdot$

Mais le développement de $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ est bien connu ; $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ n’est autre chose, en effet, que l’ensemble des termes séculaires de la fonction perturbatrice qui sont du deuxième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Je puis en conclure deux choses :

1^o Que les équations linéaires (3) peuvent se déduire par un changement de variables très simple des équations (A) et (C) de la Mécanique céleste de Laplace (Livre II, Chap. VII, t. I^er, n^os 55 et 59, p. 321 et 334, édition de Gauthier-Villars, 1878) qui servent à calculer les variations séculaires des excentricités et des périhélies, des inclinaisons et des nœuds ;

2^o Que la fonction $\mathrm {R} _{2}$ est d’une forme particulière et peut s’écrire

$\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')+\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')+\mathrm {R} _{2}''(p,p')+\mathrm {R} _{2}''(q,q').$

Elle est ainsi la somme de quatre formes quadratiques, la première dépendant seulement de $\xi$ et de $\xi ',$la seconde formée avec $\eta$ et $\eta '$ comme la première avec $\xi$ et $\xi ',$ la troisième dépendant seulement de $p$ et de $p',$ la quatrième formée avec $q$ et $q'$ comme la troisième avec $p$ et $p'.$

Cela posé, nous allons faire un changement linéaire de variables en nous arrangeant de façon à ne pas altérer la forme canonique des équations.

Posons pour cela

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {V} =&+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\sin \varphi )&{}+{}&\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\sin \varphi ')&{}+{}&p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\cos \varphi '),\end{alignedat}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant deux angles dépendant de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

Posons ensuite

${\begin{aligned}{\begin{aligned}\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}=\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,&\eta '&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi '}}=-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi ,\\q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}}=\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ',&q'&={\frac {d\mathrm {V} }{dp'}}=-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi '.\end{aligned}}\end{aligned}}$

J’ai ainsi des relations qui définiront les variables nouvelles $\sigma _{i}$ en fonctions des variables anciennes.

J’introduis encore quatre nouvelles variables $\tau _{1},$ $\tau _{2},$ $\tau _{3},$ $\tau 4,$ définies par les relations

$\tau _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}},$

d’où

${\begin{alignedat}{5}\xi &=\tau _{1}\cos \varphi &{}+{}&\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \xi '&=-\tau _{1}\sin \varphi &{}+{}&\tau _{2}\cos \varphi ,\\\xi &=\tau _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\sin \varphi ',&\qquad \xi '&=-\tau _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\cos \varphi '.\end{alignedat}}$

D’après le théorème du n^o 4, la forme canonique des équations ne sera pas altérée si l’on remplace les variables anciennes

${\begin{array}{rrrl}\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\eta ,&\eta ',&q,&q'\end{array}}$

par les variables nouvelles

${\begin{array}{rrrl}\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}$

Il reste à montrer comment on choisira les angles $\varphi$ et $\varphi '$ en fonctions de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

On choisira l’angle $\varphi$ de telle façon que la forme quadratique

$\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')=\mathrm {R} '_{2}(\tau _{1}\cos \varphi +\tau _{2}\sin \varphi ,\,-\tau _{1}\sin \varphi +\tau _{2}\cos \varphi )$

se réduise à une somme de deux carrés

$\mathrm {A} _{1}\tau _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\tau _{2}^{2}.$

On aura de même

$\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')=\mathrm {R} '_{2}(\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,\,-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )=\mathrm {A} _{1}\sigma _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\sigma _{2}^{2}.$

On choisira de même l’angle $\varphi '$ de telle façon que

${\begin{aligned}\mathrm {R} ''_{2}(p,p')&=\mathrm {A} _{3}\tau _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\tau _{4}^{2},\\\mathrm {R} ''_{2}(q,q')&=\mathrm {A} _{3}\sigma _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\sigma _{4}^{2}\,;\end{aligned}}$

on aura alors

$\mathrm {R} _{2}=\mathrm {A} _{1}(\sigma _{1}^{2}+\tau _{1}^{2})+\mathrm {A} _{2}(\sigma _{2}^{2}+\tau _{2}^{2})+\mathrm {A} _{3}(\sigma _{3}^{2}+\tau _{3}^{2})+\mathrm {A} _{4}(\sigma _{4}^{2}+\tau _{4}^{2}).$

Remarquons que $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{4}$ dépendent de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

La relation entre les variables $\xi ,$ $\eta ,$ $\sigma$ et $\tau ,$ qui s’écrit

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi \,&=&&\tau _{1}\cos \varphi &&+\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \eta \,&=&&\sigma _{1}\cos \varphi &&+\sigma _{2}\sin \varphi ,\\\xi '&=-&&\tau _{1}\sin \varphi &&+\tau _{2}\cos \varphi ,&\qquad \eta '&=-&&\sigma _{1}\sin \varphi &&+\sigma _{2}\cos \varphi ,\end{alignedat}}\right.$

est une substitution linéaire orthogonale ; c’est grâce à cette circonstance, comme nous l’avons expliqué au n^o 5, que la forme canonique des équations n’est pas altérée. Le problème est donc ramené à la recherche des angles $\varphi$ et $\varphi ',$ c’est-à-dire au choix de la substitution orthogonale (5), mais cette recherche revient à l’intégration des équations (A) et (C) de Laplace citées plus haut ; le calcul numérique peut donc être long, mais il a déjà été fait en ce qui concerne le système solaire.

On obtiendra des résultats analogues dans le cas où, au lieu de trois corps, on en considérerait $n+1.$

La fonction $\mathrm {R} _{2}$ serait encore la somme de quatre formes quadratiques, mais chacune de ces quatre formes au lieu de dépendre seulement de deux variables en contiendrait $n.$

Nous aurons alors $n$ variables analogues aux $\xi ,$ $n$ analogues aux $\eta ,$ $n$ analogues aux $p,$ $n$ analogues aux $q.$ Tout se ramènera encore à déterminer une substitution linéaire orthogonale qui, appliquée aux variables $\xi ,$ transforme la première de ces quatre formes quadratiques en une somme de $n$ carrés.

Mais revenons au Problème des trois Corps.

Faisons un dernier changement de variables en posant

${\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}$

ce qui, d’après le n^o 6, n’altère pas la forme canonique des équations.

$\mathrm {R}$ est alors développable suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}}$ et périodique par rapport aux $\omega _{i}\,;$ on a d’ailleurs

$\mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},$

c’est-à-dire que $\mathrm {R} _{2}$ ne dépend pas des $\omega _{i}.$

Application de la méthode du Chapitre IX.

132.Après ces divers changements de variables, nos équations se présentent sous la forme suivante

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho _{i}}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{d\omega _{i}}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{d\rho _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Pour pouvoir appliquer à ces équations les méthodes du Chapitre précédent, il faudrait pouvoir développer $\mathrm {R}$ suivant les puissances croissantes d’un paramètre très petit. Nous ne pouvons plus pour cela nous servir de $\mu ,$ puisque tous les termes du second membre sont du même degré (de degré i), par rapport à $\mu \,;$ heureusement les quantités $\rho _{i}$ qui sont de l’ordre du carré des excentricités et des inclinaisons sont elles-mêmes très petites.

Nous n’avons donc, pour être ramené au cas traité dans le Chapitre précédent, qu’à poser

$\rho _{i}=\varepsilon \rho '_{i},$

$\varepsilon$étant une constante très petite, et les quantités $\rho '_{i}$ étant finies. Il vient alors

(2 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho '_{i}}{dt}}&=-{\frac {\mu }{\varepsilon }}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\omega _{i}}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&={\frac {\mu }{\varepsilon }}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\rho '_{i}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots$

$\mathrm {R} _{2p}$ sera homogène et du degré $p$ par rapport aux $\rho _{i},$ de sorte que, quand on remplacera $\rho _{i}$ par $\varepsilon \rho '_{i},$ il viendra

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon \mathrm {R} '_{2}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{4}+\ldots ,$

$\mathrm {R} '_{2p}$ s’obtenant en remplaçant $\rho _{i}$ par $\rho '_{i}$ dans $\mathrm {R} _{2p}.$

Nos équations deviennent alors, si l’on observe que $\mathrm {R} _{0}$ se réduit à une constante,

(3)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\frac {d\rho '_{i}}{dt}}&=-&&\mu \,{\frac {d\mathrm {R} '_{2}}{d\omega _{i}}}&&-\mu \varepsilon \,{\frac {d\mathrm {R} '_{4}}{d\omega _{i}}}&&-\mu \varepsilon ^{2}{\frac {d\mathrm {R} '_{6}}{d\omega _{i}}}-\ldots \\[0.5ex]{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=&&\mu \,{\frac {d\mathrm {R} '_{2}}{d\rho '_{i}}}&&+\mu \varepsilon \,{\frac {d\mathrm {R} '_{4}}{d\rho '_{i}}}&&+\mu \varepsilon ^{2}{\frac {d\mathrm {R} '_{6}}{d\rho '_{i}}}+\ldots \end{alignedat}}\right.$

On voit que les équations ont conservé la forme canonique ; la fonction $\mathrm {F}$ se réduit alors à

$\mu \left(\mathrm {R} '_{2}+\varepsilon \mathrm {R} '_{4}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{6}+\ldots \right).$

On voit qu’elle est développée suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ elle est périodique par rapport aux variables de la seconde série $\omega _{i}\,;$ enfin le premier terme $\mathrm {R} '_{2}$ ne dépend pas de ces variables $\omega _{i}.$ Nous nous trouvons donc dans les conditions où les résultats du Chapitre précédent sont applicables.

La seule hypothèse que nous devions faire, c’est qu’il n’y ait pas entre les quatre constantes $\mathrm {A} _{i},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{4}$ de relation linéaire à coefficients entiers. La probabilité pour que cette relation existe est nulle, mais on peut encore se demander s’il n’y a pas une relation simple de cette forme qui soit assez près d’être satisfaite pour que les séries ne convergent plus que très lentement. On sait que Le Verrier a discuté cette question, mais il a dû la laisser indécise en ce qui concerne les planètes inférieures, parce que les masses en sont mal connues et que les coefficients $\mathrm {A}$ dépendent de ces masses.

Il est clair que tout ce qui précède s’applique, sans qu’on ait rien à y changer, au cas où l’on aurait plus de trois corps.

Ainsi on peut satisfaire formellement aux équations qui définissent les variations séculaires par des séries trigonométriques de la forme de celles de MM. Newcomb et Lindstedt. Alors $e\cos \varpi ,$ $e\sin \varpi ,$ $i\cos \theta ,$ $i\sin \theta$ sont exprimés par des séries dont les termes sont périodiques par rapport à $t.$ Ce résultat aurait été envisagé par Laplace ou Lagrange comme établissant complètement la stabilité du système solaire. Nous sommes plus difficiles aujourd’hui parce que la convergence des développements n’est pas démontrée ; le résultat n’en est pas moins important.

Remarquons, en terminant, que, dans le cas où il n’y a que trois corps et où ils se meuvent dans un plan, nos équations canoniques (3) peuvent être ramenées à n’avoir plus qu’un seul degré de liberté ; on peut donc les intégrer par de simples quadratures.

Inutile de rappeler que l’intégration des équations (3) équivaut à celle de l’équation aux dérivées partielles

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},\omega _{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {T}$ est la fonction inconnue, les $\omega _{i}$ les variables indépendantes et dont le premier membre est la fonction $\mathrm {R}$ où $\rho _{i}$ a été remplacé par ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot$