CHAPITRE XV.
AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
Problème du no 125.
158.Reprenons les équations
(1)
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et
(2)
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Nous nous proposons de satisfaire à ces équations à l’aide des
séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples des
arguments,
séries dont nous avons démontré l’existence au no 125.
Je rappelle d’ailleurs que l’on a
et, par conséquent,
(3)
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Au no 127, nous nous sommes servi pour déterminer ces séries
des équations (1) et (2) ; mais on peut opérer autrement.
Nous avons d’abord l’intégrale des forces vives
(4)
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D’autre part, l’expression
(5)
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doit être une différentielle exacte et, comme les sont des constantes,
il doit en être de même de
ce qui donne
(6)
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Je dis maintenant que les équations (2) sont une conséquence
des équations (1), (3), (4) et (6). En effet, les équations (6) signifient
que l’expression (5) est une différentielle exacte et les conditions
d’intégrabilité de cette expression peuvent s’écrire
(7)
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Multiplions cette équation par puis, conservant à une
valeur constante, faisons successivement
Enfin ajoutons les équations ainsi obtenues ; il viendra, en
tenant compte de (3),
ou, en tenant compte de (1),
(8)
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Différentions maintenant (4) par rapport à il viendra
ou, en rapprochant de (8),
d’où
C.Q.F.D.
Nous pouvons donc déterminer nos séries à l’aide des équations
suivantes
(4), (6)
et
(1 bis)
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Dans ces diverses équations remplaçons les les les et
par leurs développements suivant les puissances de
Égalons ensuite dans les deux membres les coefficients des
puissances semblables de
Nous obtiendrons ainsi une série d’équations qui nous permettront
de déterminer par récurrence les coefficients des séries.
Imaginons en effet qu’on ait calculé
et qu’on se propose de déterminer
Dans l’équation (4) égalons les coefficients de il viendra
(9)
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Je désigne par ainsi que je le ferai dans tout ce Chapitre, une
fonction quelconque, entièrement connue et périodique des
Inutile d’ajouter que les diverses fonctions que je désigne ainsi
par ne sont pas identiques. Quant à la constante du second
membre de (9), elle est arbitraire comme la constante du second
membre de (4).
Égalons maintenant dans les deux membres de (6) les coefficients
de il viendra
(10)
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d’où, tenant compte de (9),
(11)
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La fonction doit avoir toutes ses dérivées périodiques par
rapport aux c’est-à-dire qu’elle doit être de la forme
les étant des constantes et une fonction périodique.
L’équation (11), par un calcul tout semblable à l’intégration de
l’équation (6) du no 125, nous fera connaître J’ajoute que les
constantes peuvent être choisies arbitrairement en fonctions
des constantes puisque la constante du second membre de (11)
est elle-même arbitraire.
étant déterminé, les équations (10) nous donneront les
dont la valeur moyenne peut, comme nous venons de le voir,
être choisie arbitrairement.
Les étant connus, égalons dans les deux membres de (1 bis)
les coefficients de Il viendra
(12)
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On commencera par déterminer la constante de façon à
annuler la valeur moyenne du deuxième membre de (12). L’équation (12)
nous donnera ensuite par un calcul tout semblable
à celui du no 127. Observons en passant que la valeur moyenne
de peut être choisie arbitrairement en fonction des
Autre exemple.
159.Soient
nos paires de variables conjuguées.
Supposons que soit développable suivant les puissances croissantes
des et des que dans ce développement il n’y ait pas de terme de degré 0, ni de degré 1, et que les termes du deuxième
degré s’écrivent
J’écris avec des parenthèses pour le carré de afin de ne
pas confondre avec la notation que nous emploierons plus loin,
et où le 2 sera un indice et non un exposant.
Soient alors
(1)
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nos équations différentielles.
Je suppose que l’on veuille développer les et les suivant
les puissances de certaines constantes d’intégration et j’écris
Les et les représenteront les termes du développement qui
sont d’ordre par rapport aux Ce devront être des fonctions
périodiques par rapport à arguments
On devra avoir d’ailleurs
On aura, d’autre part,
étant développé suivant les puissances des et représentant
l’ensemble des termes d’ordre par rapport aux Nos équations
différentielles deviennent
(2)
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D’autre part,
doit être une différentielle exacte et il en sera naturellement de même de
Je remarque enfin que doit être aussi développé selon les
puissances des et je désigne par l’ensemble des termes de
degré
Je pose aussi
et
d’où
On trouve d’abord aisément
Observons ensuite que les équations (2) nous donnent
(3)
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(4)
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Nous allons calculer nos séries à l’aide de l’équation (4), de l’équation
(5)
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et de
(6)
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Les équations (3) et par conséquent les équations (2) et (1)
s’en déduisent, en effet, très aisément.
Supposons donc que l’on ait déterminé
et que l’on se propose de déterminer
Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre et
dans les deux membres de (5) et de (6) les termes d’ordre
Je poserai pour abréger, comme dans le Chapitre précédent,
Il viendra alors
(7)
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(8)
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Si nous remarquons que
nous pourrons écrire
(9)
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Si nous combinons (8) et (9), nous aurons
(10)
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d’autre part, (9) pourra s’écrire
(11)
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et (7) s’écrira
(12)
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Alors l’équation (10) nous fera connaître l’équation (11)
nous donnera les en écrivant que la valeur moyenne du second
membre de (12) est nulle, nous obtiendrons et l’équation (12)
nous donnera ensuite Connaissant ainsi et
nous aurons et
On aurait pu, pour déterminer ces quantités, se servir des équations
suivantes, déduites de (2) en égalant les termes d’ordre
dans les deux membres, et analogues aux équations (9) du no 152 :
(13)
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(14)
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On aurait vu alors, par un raisonnement tout pareil à celui du
no 153, que les sont développables suivant les
puissances des
et qu’il en est de même des (c’est-à-dire que ces quantités qui
ne dépendent pas des seront développables suivant les puissances
paires des ).
Il en est d’ailleurs évidemment de même des termes périodiques
de en vertu de l’équation (10).
On sait que
les étant des constantes et étant périodique.
Pour l’équation (10) et un raisonnement analogue à celui
du no 153 nous apprennent que la condition est remplie. Quant
aux on peut les choisir arbitrairement ; nous pouvons donc
supposer que est développable suivant les puissances paires
des et divisible par
Il est inutile de répéter ici ce raisonnement du no 153.
Indiquons seulement en passant ce qui se passe quand on traite
l’équation (11). Cette équation nous donne la valeur de et cette valeur doit, bien entendu, être divisible par et, en effet,
je dis que et sont divisibles par
J’observe que si est une fonction développable suivant les
puissances des et et qu’on développe cette fonction
en série trigonométrique, le coefficient du cosinus ou du sinus de
dans ce développement, sera divisible par
Donc, les coefficients des termes dépendant de sont divisibles
par donc est divisible par
Or
et a été choisi divisible par et doit l’être aussi d’après
ce que nous venons de voir. Donc il en est de même de
D’autre part, est une somme de termes ; chacun de ces termes
est le produit de facteurs dont l’un est de la forme
ou
et est par conséquent divisible par
Donc est également divisible par
C.Q.F.D.
160.Supposons que dépende d’un paramètre très petit et soit
Je suppose toujours que est développable suivant les puissances
des et des que le développement de commence par
des termes du deuxième degré et que ces termes s’écrivent
Mais je suppose que le développement de commence
par des termes du premier degré.
Je me propose de développer
non plus seulement suivant les puissances des constantes mais
suivant les puissances de ces constantes et celles de
Je désigne par
les termes de ces développements qui sont de degré par rapport
aux et de degré par rapport à
J’aurai d’ailleurs
On aura d’ailleurs
d’où
Supposons alors que l’on ait calculé
à l’exception de la combinaison et qu’on se propose
de calculer
Reprenons les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6). Égalons
dans les deux membres de (4) les termes d’ordre par rapport
aux et d’ordre par rapport à Égalons de même dans (5)
et (6) les termes d’ordre par rapport aux et par rapport
à
Soit
Nous retrouverons alors les équations (7), (8), (9), (10), (11),
(12), (13), (14) avec cette différence que les indices simples (supérieurs
ou inférieurs) ou seront remplacés par des
indices doubles ou et que les indices
simples 1 ou 0 seront remplacés par des indices doubles 1.0
ou 0.0
On se servira de ces équations comme dans le numéro précédent
pour déterminer successivement et
par conséquent et
On verrait, comme au no 153, que et sont développables
suivant les puissances de
et
Il en résulte que et sont des constantes.
D’autre part, il convient d’observer que la remarque du no 126,
en vertu de laquelle les valeurs moyennes de et peuvent
être choisies arbitrairement n’est applicable ici qu’avec certaines
restrictions.
Reprenons en effet le raisonnement du no 126 ; considérons le
développement de et de selon les puissances de et des
Changeons-y et en
et étant deux fonctions développables suivant les puissances
de et des et se réduisant à 0 quand ces quantités s’annulent.
Les valeurs des ne seront pas modifiées par ce changement.
Il en résulte que les valeurs moyennes des
peuvent être choisies arbitrairement, mais qu’il n’en est pas de
même de celles des
On voit d’ailleurs aisément que ces dernières valeurs moyennes
doivent être nulles.
Supposons maintenant qu’on revienne aux équations numérotées
(1) à (6) et que l’on envisage dans les équations (1) à (4)
les termes de degré 0 par rapport aux et dans les équations (5)
et (6) les termes de degré 0 ou 1 par rapport aux on obtiendra
des équations dont la forme différera un peu de celle des équations
numérotées (7) à (14) sur lesquelles par conséquent il
est nécessaire de revenir.
Cette différence de forme provient d’abord de ce que est
nul si et, d’autre part, de ce que, et
étant des constantes,
Il nous suffira d’ailleurs de considérer les équations (1), (2),
(5) et (6) dont (3) et (4) se déduisent immédiatement. Posons,
pour abréger,
Définissons de même et et soit le résultat de la substitution
de et de dans à la place de et
Les termes de degré 0 de (1) et (2) nous donneront
Ces deux équations nous permettront de déterminer par récurrence
les et
Les termes de degré 0 et 1 de (5) nous donneront
La première de ces deux équations nous permet de déterminer
la constante du deuxième membre [qui ne peut pas être choisie
arbitrairement comme pouvait l’être la constante de l’équation (8)
quand on supposait ].
La seconde équation est satisfaite d’elle-même et la constante
du deuxième membre doit être nulle, puisque les deux dérivées
de sont nulles.
Reste l’équation (6) ; les termes du degré 0 nous donnent
en remarquant que, les étant des constantes, est nul. Il
suffit, pour satisfaire à cette équation, de supposer que les sont
des constantes.
Les termes de degré 1 nous donnent
Il suffit, pour y satisfaire, de supposer
Les termes de degré 0 et 1 n’engendreront donc pas de difficultés,
ainsi qu’on aurait pu le craindre.
Problème du no 134.
161.La même méthode est évidemment applicable au problème
du no 134. Reprenons les notations du no 151.
Reprenons les équations (1) à (6) du no 158, en convenant que
les signes porteront non seulement sur tous les (ou sur tous
les ou sur tous les etc.), mais à la fois sur les et les (ou
sur les et les ou sur les et les etc.).
On verrait alors, comme au no 158, que les' équations (2) sont
des conséquences des équations (1), (3), (4) et (6). Nous conserverons
donc les équations (4), (6) et (1 bis) qui vont nous servir
à la détermination de nos inconnues.
Nous allons, comme au no 158, remplacer dans ces diverses
équations les les les et par leurs développements suivant
les puissances de et égaler ensuite dans les deux membres
les coefficients des puissances semblables de
Mais les équations ainsi obtenues ne sont pas les seules dont
j’aurai à faire usage : je me servirai également de celles que l’on en
déduit en égalant dans les deux membres les valeurs moyennes
prises par rapport aux seulement (et non par rapport aux )
Soit une fonction quelconque périodique par rapport aux et aux Je désignerai, comme au no 151, par sa valeur
moyenne prise par rapport aux seulement et par sa valeur
moyenne prise à la fois par rapport aux et aux
On aura alors
mais en général
Quant à ce n’est pas une fonction périodique, mais seulement
une fonction dont les dérivées sont périodiques.
On aura donc seulement
Imaginons maintenant que l’on ait calculé complètement
ainsi que et à une fonction arbitraire près des
et qu’on se propose d’achever la détermination de et et de calculer complètement ainsi que et
à une fonction arbitraire près des
L’équation (9) du no 158, obtenue en égalant dans l’équation (4)
les termes en prendra une forme un peu différente, parce que
le second membre ne sera plus entièrement connu. Elle s’écrira
(9 bis)
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Dans le cas de on a simplement
(9 ter)
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Il va sans dire que, dans est supposé remplacé par
et par
Le second membre de (9 bis) n’est pas entièrement connu parce que et ne sont connus qu’à une fonction arbitraire près
des
Prenons maintenant l’équation (10) ; ici encore, le second
membre n’étant plus entièrement connu, la forme s’en trouve un
peu changée et nous devons écrire
(10 bis)
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Si nous observons maintenant que
et
sont connus, nos équations (9 bis) et (10 bis) pourront s’écrire
(9 a)
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(10 a)
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On voit le rôle que joue c’est ce qui m’engage à déterminer
d’abord cette quantité en m’occupant en détail de la première
approximation. Pour cela nous avons l’équation (9 ter) écrite
plus haut et l’équation
(10 ter)
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de sorte que (9 ter) devient
J’observe d’abord que les sont nuls et que je puis, par conséquent écrire,
(9 b)
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en convenant de désigner par une sommation portant sur les
seulement ou sur les seulement, tandis que désigne, comme
nous l’avons vu plus haut, une sommation portant à la fois sur les et les Si nous prenons les valeurs moyennes des deux
membres, il viendra, puisque
il viendra, dis-je,
Mais c’est qui ne dépend que des et des comme
ce sont là des constantes arbitraires, la constante du second
membre est également arbitraire et l’équation (9 b) s’intégrera
sans difficulté.
Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes
du premier degré, il viendra
Le second membre est entièrement connu ; en effet, le second
terme ne dépend que des et des le premier dépend en
outre des (et non des puisque par hypothèse ne dépend
pas des ) ; mais ces quantités sont égales aux qui sont connues,
puisque a été déterminée à une fonction arbitraire près
des
En outre, la valeur moyenne de ce second membre, prise par
rapport aux seulement, est une constante.
En effet, cette valeur moyenne est égale à
Or
puisque ne dépend que des et des qui sont, des constantes,
Donc la valeur moyenne de ce second membre étant une constante,
nous pourrons y égaler On calculerait de même seulement dans ce cas le premier terme manque et il reste simplement
L’équation s’intégrera alors sans difficulté et nous donnera
à une fonction arbitraire près des
Ce que je dis de s’applique sans changement à Quant
à il est égal à et est par conséquent connu, à une fonction
arbitraire près des
Revenons aux équations (9 a) et (10 a).
Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport
aux seulement, faisons d’abord cette opération pour (10 a), en
supposant que la dérivée est prise par rapport à une des quantités
et non par rapport à une des quantités Nous aurons
d’où enfin
(10 c)
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Opérons de même pour (9 a), il viendra (puisque ),
Nous aurons donc
(9 c)
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d’où, en rapprochant de (10 c),
ou
Mais est connu à une constante près ; nous avons, en effet,
une équation analogue à (10 c), en changeant en
En tenant compte de l’égalité
nous pouvons donc écrire
Revenons maintenant à l’équation (10 a), mais en y changeant
en et en
Si nous observons que et sont connus, cette équation
pourra s’écrire
(10 d)
|
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|
est une somme de termes dont les uns sont périodiques par
rapport aux et aux tandis que les autres se réduisent à une
constante multipliée par l’un des ou l’un des c’est ce qui
résulte de l’hypothèse faite plus haut que les dérivées de
sont périodiques.
Si dans cette somme de termes nous supprimons tous ceux qui
dépendent des il nous restera une fonction des que nous
pourrons appeler et, comme nous avons supposé la fonction
connue à une fonction arbitraire près des nous pourrons
dire que nous connaissons mais non
Nous avons alors
et, par conséquent,
équation qui donne et achève ainsi la détermination de
L’équation (10 d) et l’équation analogue
achèvent alors la détermination de et
Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes
de degré il viendra
(12 bis)
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|
représentant le coefficient de dans
et celui de dans
ne dépend que des qui sont maintenant entièrement connus
jusqu’aux inclusivement. Nous pourrons donc écrire
De même les étant entièrement connus, nous aurons
ou même, puisque nous connaissons
D’autre part, les sont nuls, et comme est connu à une
fonction arbitraire près des on a
d’où
(12 a)
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Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres, en
observant que
il vient
(12 b)
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Nous avons trouvé plus haut
(10 c)
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ce qui signifie que, la constante du second membre pouvant être
choisie arbitrairement, est connue. On a donc
(12 c)
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|
On profitera de pour annuler la valeur moyenne du deuxième
membre et cette équation (12 c) s’intégrera sans peine et nous
donnera
On calculerait de même et de sorte que
sont maintenant entièrement connus.
Les équations (9 bis) et (10 bis) peuvent alors s’écrire
(9 e)
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(10 e)
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(10 f)
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d’où l’équation
qui détermine à une fonction inconnue près des (car nous
avons plus haut choisi de façon que la valeur moyenne du
deuxième membre se réduise à une constante) ; ou, en d’autres
termes, qui détermine
Les équations (10 e) et (10 f) nous donneront ensuite et
à des fonctions près de c’est-à-dire qu’elles détermineront
Je dois ajouter que, (10 c) nous donnant déjà nous connaissons
complètement mais non
L’équation (12 a) devient alors
(12 c)
|
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|
La valeur moyenne du deuxième membre est nulle en vertu de
(12 b) ; nous tirerons donc de là
et l’on trouverait de même
Problème des trois Corps.
162.Nous prendrons pour variables indépendantes
et comme au no 152, supprimant des indices devenus inutiles,
nous écrirons et au lieu de et
Nous allons chercher à satisfaire aux équations du problème en
remplaçant chacune de ces variables par les développements (4) du no 152
et (17) du no 155 ; procédant suivant les puissances
de et de certaines constantes que j’ai appelées et dans les
nos 152 et 155 et que j’appellerai ici par analogie avec les notations
du no 159 et pour éviter certaines confusions.
On aura d’ailleurs
Nous avons d’abord à former l’équation qui doit être analogue
à l’équation (6) du no 158 et à l’équation (6) du numéro suivant.
Cette équation sera
(6 bis)
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avec une équation analogue où est remplacé par
À cette équation (6 bis) et à l’équation des forces vives
(4 bis)
|
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|
nous adjoindrons les suivantes. En premier lieu,
(1 bis)
|
|
|
à laquelle il convient d’ajouter une autre équation de même forme
où et sont remplacés par et D’ailleurs disons une fois
pour toutes que, sans qu’il soit nécessaire de le répéter, il sera convenu
qu’à toute équation non symétrique en et et etc.,
il faut en adjoindre une autre où ces lettres sont permutées. Les
signes et conservent le même sens que dans le numéro précédent.
En second lieu, nous aurons encore des équations analogues
aux équations (4) du no 159.
Pour cela posons, comme dans ce numéro,
d’où
Nous aurons alors
(7)
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|
(8)
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|
On verrait, comme dans les numéros précédents, que l’équation
et les équations (7) sont une conséquence nécessaire des équations (6 bis),
(4 bis), (1 bis) et (8). Ces dernières suffisent donc
pour résoudre le problème.
Le problème ainsi posé présente, combinées entre elles, toutes
les difficultés que nous avons résolues séparément dans les premiers
numéros de ce Chapitre ; les mêmes procédés sont applicables.
J’emploierai la notation suivante, pour abréger certaines écritures ;
j’écrirai
[Cf développements (17) page 145] ; je ferai usage de notations
analogues pour les lettres autres que
Cela posé, commençons par annuler dans toutes nos équations ;
(4 bis) nous donnera
(4 a)
|
|
|
Comme la constante du second membre est arbitraire, nous satisferons
à cette équation en donnant à et des valeurs constantes
arbitraires. Nous pourrons supposer, comme nous l’avons
fait plus haut, que ces constantes sont indépendantes des c’est-à-dire que
pour
Nous aurons ensuite, en partant de (6 bis),
(6 a)
|
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|
Quant à (1 bis), il se réduira à
et de même
Les équations (7) et (8) nous donnent
(7 a)
|
|
|
(8 a)
|
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|
On satisfera à ces équations en supposant que les sont nuls et
que les les les les
ne dépendent pas des mais seulement des
Déterminons maintenant ou plutôt
Comme les et les ne dépendent pas des l’équation (6 a)
nous donne
ce qui signifie que ne dépend pas des mais seulement des
Considérons maintenant dans nos équations les termes du premier
degré en L’équation (4 bis) va nous donner
(4 b)
|
|
|
L’équation (6 bis) nous donnera
(6 b)
|
|
|
Le premier terme du second membre se réduit évidemment
à pour et à pour car nous savons que
Pour la même raison, quand on change on il vient
(6 b’)
|
|
|
Nous avons vu plus haut que ne dépend ni de ni de et il en est de même de il vient donc
Si donc, dans (6 b), nous prenons les valeurs moyennes des deux
membres, nous aurons, en faisant successivement 1 ou 2,
En prenant alors dans (4 b) les valeurs moyennes des deux
membres, le premier membre devient une constante arbitraire
avec laquelle la constante du second membre peut se confondre,
de sorte qu’il restera
(4 c)
|
|
|
Dans les variables et sont supposées remplacées
par et comme dans les variables et ont disparu,
reste une fonction des et cette fonction est
développable suivant les puissances des et des les termes
du degré le moins élevé sont du deuxième degré et s’écrivent
Passons maintenant à l’équation (1 bis) ; les termes du premier
degré en donneront
(1 b)
|
|
|
En prenant les valeurs moyennes des deux membres, il vient
(1 c)
|
|
|
Cette équation nous servira tout à l’heure à déterminer
Venons maintenant aux équations (7) et (8) ; elles nous donneront
(7 b)
|
|
|
(8 b)
|
|
|
ou, en prenant les valeurs moyennes des deux membres et remarquant que
ne dépendent que des
(7 c)
|
|
|
(8 c)
|
|
|
Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les
les les et les
l’analogie avec le problème du no 159 est en effet évidente.
On passe du problème actuel à celui du no 159, en changeant
respectivement
en
Les équations (4 c), (7 c), (8 c) sont alors respectivement équivalentes
aux équations (5), (3) et (4) du no 159. De même l’équation
(6 a′) obtenue en changeant dans (6 a) en est équivalente
à l’équation (6) du no 159.
Il est vrai que dépend non seulement des et des mais
encore de et Mais ces quantités, comme nous l’avons vu,
doivent se réduire à des constantes.
Les procédés du no 159 sont donc applicables et nous donneront
D’après l’équation (4 e), se réduit à une constante et cette
constante devra dépendre des des et des qui sont nos
constantes d’intégration.
Il en résulte que est encore une constante. Comme
et les dérivées de sont encore des constantes, le second
membre de (1 c) sera donc aussi une constante, ce qui nous permettra
d’y égaler
On calculerait de même
Le second membre de (7 b) et de (8 b) est maintenant entièrement
connu, ce qui fait que ces équations peuvent s’écrire
La valeur moyenne du second membre est nulle, en vertu
de (7 c) et (8 c) ; ces équations nous permettront donc de calculer
et par conséquent
Mais il vaut mieux opérer autrement.
En égalant dans les deux membres de
(A)
|
|
|
les termes en il vient
(B)
|
|
|
qui nous fera connaître
L’équation (6 b) pour nous donne alors
d’où
Alors, comme est connu, et que la constante du second
membre de (4 b) a été choisie plus haut d’une manière arbitraire,
(4 b) devient
équation qui détermine
eu, par conséquent,
Comme et sont, comme je l’ai dit plus haut, des constantes
que l’on peut choisir arbitrairement, et sont connus.
L’équation (6 b′) nous donne alors
(C)
|
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ou, en prenant les valeurs moyennes et remarquant que ne
dépend pas des
ou, en retranchant et remarquant que est connu,
(D)
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Nous avons ainsi une suite d’équations linéaires d’où nous tirerons
Observons que l’équation
(E)
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déduite de
(F)
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en égalant les termes en est une conséquence de (A), (B), (D) et des équations précédemment satisfaites
(4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).
Cela est presque évident et J’y reviendrai plus loin. On en
déduirait ensuite sans peine (7 b) et (8 b).
Comme, d’autre part,
est connu par (1 c), l’équation (1 b) peut s’écrire
La valeur moyenne de étant nulle d’après (1 c), cette équation
nous donnera
On obtiendrait de même
Considérons maintenant dans nos équations les termes du
second degré en D’abord, l’équation (4 bis) donnera
(4 d)
|
|
|
De même, l’équation (6 bis) donnera
(6 d)
|
|
|
Prenons les valeurs moyennes des deux membres. Je dis que la
valeur moyenne du second membre se réduira à
En effet, nous connaissons et et par conséquent
on verrait, comme quand nous avons traité l’équation (6 b), que
D’autre part,
Le premier terme du second membre est connu, puisque nous
connaissons et à une fonction près des Le second terme
est nul, car
Il vient donc finalement
Nous allons prendre maintenant la valeur moyenne des deux
membres dans (4 d) ; nous venons de trouver la valeur moyenne
de considérons un terme du second membre, par exemple
Il vient
En opérant de même sur les autres termes de (4 d), confondant
en une seule les fonctions connues et les constantes arbitraires,
on trouve
(4 e)
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On sait en effet que
Passons maintenant à l’équation (7) et voyons ce qu’elle nous
donnera. D’abord le premier membre donnera
Si nous en prenons la valeur moyenne en nous rappelant que est nul ainsi que la valeur moyenne d’une dérivée prise par rapport
à ou nous trouverons
Dans le second membre, considérons d’abord le terme en
il nous donnera
ou bien
et la valeur moyenne sera
On opérerait de même pour Cela va nous permettre d’écrire
ce que deviennent les équations (7) et (8) quand on y prend dans
les deux membres des termes du second degré en On trouve
(7 e)
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(8 e)
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et étant les seconds membres des équations (22) du no 155
(p. 148), d’où les équations (7 e) et (8 e) se déduisent d’ailleurs
aisément. Aux équations (7 e) et (8 e) nous adjoindrons la suivante,
obtenue en prenant les valeurs moyennes dans (6 b′),
(6 c′)
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Nous allons maintenant, à l’aide des équations (4 e), (7 e), (8 e),
(6 c′), déterminer
Ces équations ne sont d’ailleurs pas distinctes, et au Chapitre XIV nous avons vu qu’on pouvait déterminer ces quantités par les
seules équations (22) du no 155, équivalentes à (7 e) et (8 e).
Mais je veux indiquer un autre procédé où l’on se sert seulement
de (4 e), (6 c′) et(8 e) et qui se rapproche davantage de la méthode
que j’ai toujours suivie dans le présent Chapitre.
Il pourrait donc y avoir intérêt à démontrer que (7 e) peut se
déduire de (4 e), (6 c′) et (8 e) ; mais pour cela il est nécessaire
d’examiner avec plus de détail comment (7) peut se déduire de
(4 bis), (6 bis) et (8) et par conséquent de faire une digression
qui va occuper les numéros suivants.
163.Reprenons le problème et les notations du no 158 ; les
renvois se rapporteront tous, sauf avis contraire, à ce numéro.
Nous avons démontré, au début de ce numéro, que les équations (2)
sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6).
Mais on peut se poser la question suivante : Supposons que l’on
ait satisfait à toutes les équations, déduites de (1), (3), (4) et (6)
en égalant dans les deux membres les termes indépendants de
les termes en en et ainsi de suite jusqu’aux termes en
inclusivement. S’ensuivra-t-il qu’on aura satisfait du même coup
aux équations déduites de (2) en égalant dans les deux membres
les termes tout connus, les termes en en en En
d’autres termes, je suppose qu’on ait satisfait aux équations (1),
(3), (4) et (6) aux termes en près, c’est-à-dire de telle façon
qu’après la substitution de notre solution approchée la différence
des deux membres soit divisible par s’ensuit-il que les
équations (2) seront également satisfaites aux termes en près ?
Si les équations (1), (3), (4) et (6) sont satisfaites aux termes en
près, il en sera de même des équations que l’on en déduit
par voie de différentiation, d’addition ou de multiplication, telles
par exemple que les équations (7) et (8). Les équations (7) et (8)
seront donc encore vraies, avec cette différence que dans le second
membre 0 devra être remplacé par une fonction développable
suivant les puissances de et divisible par
Nous aurons donc
étant divisible par et il sera permis d’en conclure que
est égal à une fonction de même forme pourvu que le déterminant
des ne soit pas divisible par Or c’est précisément ce qui
arrive, car il se réduit à 1 pour
Donc les équations (2) sont satisfaites aux termes en près.
C.Q.F.D.
Arrivons maintenant au problème du no 161 ; le raisonnement
qui précède s’y appliquera sans changement, mais nous devons
encore nous poser une autre question.
Outre les équations déduites de (1 bis), (2), (4), (6) en égalant
dans les deux membres les coefficients de nous avons encore
à envisager celles que l’on peut obtenir en égalant les valeurs
moyennes des deux membres.
Je suppose que les équations (1 bis), (4) et (6) soient satisfaites
aux termes près en Il en résultera, ainsi que nous venons
de le voir, qu’il en sera de même de l’équation (2).
Je suppose de plus que l’on ait satisfait aux équations obtenues
de la manière suivante : dans les équations (1 bis), (4) et (6) égalons
les coefficients de et prenons ensuite les valeurs moyennes
des deux membres. S’ensuivra-t-il que L’équation tirée de (2)
par le même procédé sera également satisfaite ?
Nous pouvons exprimer nos hypothèses de la manière suivante :
les équations (1 bis), (4) et (6) ne sont pas satisfaites exactement,
mais la différence des deux membres est une fonction périodique
des et des développable suivant les puissances de
divisible par et dont la valeur moyenne prise par rapport aux
est divisible par
Je désignerai par toute fonction satisfaisant à ces conditions.
Il résulte de là que la somme de deux fonctions est une fonction
que la dérivée de par rapport à ou est une fonction
Si enfin nous multiplions par une fonction périodique
en et développable suivant les puissances de le
produit sera encore une fonction pourvu que, pour ne dépende pas des mais seulement des Nous aurons alors
et
puisque ou se réduit à zéro pour ,
et est par conséquent indépendant des
Il résulte de là que le second membre de (8) sera encore une
fonction Comme la différentiation de (4) donne
il vient
étant une fonction d’où
étant le déterminant des en y comprenant, bien entendu, les
les et les
Quant à c’est un des mineurs de
Pour se réduit à 1, à 1 ou à 0 :
est donc indépendant des On a par conséquent
C.Q.F.D.
164.Revenons maintenant aux hypothèses du no 159 ; adoptons-en
les notations et convenons que tous les renvois se rapportent
aux équations de ce no 159. Il s’agit d’établir :
1o Que les équations (3) peuvent se déduire des équations (4), (5) et (6) : c’est là un point que nous avons plus haut énoncé sans
démonstration, mais dont je vais donner maintenant une démonstration
qui me sera utile plus loin ;
2o Que si les équations (5) et (6) sont satisfaites aux termes
près d’ordre par rapport aux et les équations (4) aux
termes près d’ordre les équations (3) le seront aux termes
près d’ordre ou, en d’autres termes, que les équations (13)
et (14) sont une conséquence des équations (7), (8) et (9).
Les équations (6), exprimant que est une différentielle
exacte, nous donneront
(α)
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d’où l’on déduirait, comme au no 158,
(β)
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D’autre part, l’équation (5), différentiée par rapport à
nous donne
(γ)
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Posons maintenant
En effet, avec ces nouvelles notations, les équations (3) et (4) vont s’écrire respectivement
(δ)
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(ε)
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L’équation (β) deviendra
(β′)
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et l’équation (γ) deviendra
(γ′)
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Je dis que de (ε), (β′) et (γ′) on peut déduire (δ), et en effet
de (β′) et (ε) on déduit
(ζ)
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ou enfin
(θ)
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Comme le déterminant des n’est pas nul, on déduira de là
C.Q.F.D.
Supposons maintenant que les équations (4) soient vraies aux
termes près d’ordre par rapport aux et les équations (5)
et (6) aux termes près d’ordre
Alors les équations (α), (β), (γ), (β′) et (γ′) seront vraies aux
termes près d’ordre (ε) aux termes près d’ordre
Comme le développement de commence par des termes de
premier ordre, en multipliant (ε) par on obtiendra une équation
qui sera vraie aux termes près d’ordre
Il suit de là que (ζ) et (θ) seront satisfaites aux termes près
d’ordre Je dis qu’il en résulte que (δ) le sera aux termes
près de l’ordre
En effet, posons pour un instant
de telle façon que les termes d’ordre par rapport aux
deviennent divisibles par
Je poserai ensuite
Ce que je me propose d’établir, c’est que reste fini pour
L’équation (θ) étant satisfaite aux termes près de l’ordre
nous aurons
restant fini pour d’où
Il suit de là que reste fini pour pourvu que le déterminant
des ne s’annule pas pour
Or ce déterminant se réduit pour à
Il n’est donc pas nul.
C.Q.F.D.
165.Je reviens maintenant au problème du no 162. Je me propose
de démontrer que (7 e) est une conséquence de (4 e), (6 c′)
et (8 e), en supposant, bien entendu, comme nous l’avons fait plus
haut, qu’on ait préalablement satisfait aux équations (4 a), (4 b)
(6 a), (6 b), (8 a), (8 b), (1 a), (1 b).
Ces hypothèses peuvent se traduire de la manière suivante.
Dire que (4 a), (4 b) et (4 e) sont satisfaites, c’est dire que
l’on a
Je désigne par toute fonction développable suivant les puissances
croissantes de et périodique par rapport aux et aux
et par toute fonction dont la valeur moyenne s’annule
pour
On en déduit
(α)
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Dire que (1 a) et (1 b) sont satisfaites, c’est dire que
(β)
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d’où, puisque s’annule pour
(β′)
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|
Passons aux équations déduites de (6 bis).
Nous supposons que (6 a), (6 b), (6 b′) sont satisfaites, mais ce
n’est pas tout ; en effet, pour établir l’équation (4 e), nous nous
sommes servi de l’équation (6 d) ou plutôt de l’équation (6 e)
que l’on en déduit en égalant les valeurs moyennes de deux
membres.
Cette équation (6 e) est donc supposée satisfaite ; mais il n 'en
est pas de même de l’équation (6 e′) que l’on en déduirait en y
changeant en
Comment tout cela va-t-il s’exprimer dans notre nouveau langage ?
Comme (6 a), (6 b) et (6 e) sont satisfaites, nous aurons
désignant pour un moment le second membre de (6 bis). Si nous
changeons en il viendra, en désignant par
ce que devient
La valeur moyenne de ne s’annule pas pour parce que
(7 e′) n’est pas supposée satisfaite.
Si l’on différentie la première par rapport à la seconde par
rapport à et qu’on retranche, il vient
On aurait de même
mais on aurait seulement
sans que la valeur moyenne de s’annule pour Mais, si l’on
multiplie l’équation par qui s’annule pour il vient
Nous aurons donc
avec l’équation analogue qu’on en déduirait en changeant en
Cela nous permet d’écrire
(γ)
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|
avec l’équation qu’on peut en déduire en changeant en
Posons, comme au numéro précédent,
avec d’autres équations analogues où , sont remplacés
par les mêmes lettres accentuées.
Les équations (α) et (γ) deviennent alors
(α′)
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(γ′)
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avec d’autres équations analogues où sont remplacés
par les mêmes lettres accentuées.
D’autre part, (8 a), (8 b) et (8 c) étant supposées satisfaites, il vient
La combinaison de toutes nos équations nous donnera alors
avec une autre équation où et sont remplacés par les mêmes
lettres accentuées.
Nous avons là un système d’équations linéaires d’où l’on pourra tirer
et
Pour que deviennent les coefficients de ces équations et
leur déterminant ?
Les dérivées de s’annulent, sauf et qui se réduisent
à 1. Les s’annulent. Quant à
il est indépendant de et
Le déterminant et ses mineurs est donc indépendant des
pour de plus, ce déterminant ne s’annule pas.
Il vient donc
ce qui veut dire que (7 a), (7 b), (7 e) sont satisfaites.
C.Q.F.D.
Il me reste encore à établir, ainsi que je l’avais annoncé plus
haut, que l’équation E du no 162 est une conséquence de (A), (B),
(D), (4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).
De (4 a) et (4 b) on déduit
(α′′)
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étant le premier nombre de (α).
De (1 a) on déduit
et
(β′′)
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Passons aux équations dérivées de (6 bis). Comme (6 a) et (6 b)
sont satisfaites, il vient
De même, (6 a′) est satisfaite, mais (6 b′) ne l’est qu’à une fonction
près des et en effet nous avons déduit l’équation (D) de
l’équation (C) équivalente (6 b′) en en retranchant une autre équation
dont les deux membres sont des fonctions inconnues des
je puis donc écrire
étant indépendant des
On déduira de là
ou, puisque est divisible par
ou enfin
(γ′′)
|
|
|
étant le premier membre de (γ) ou bien encore ce premier
membre où est remplacé par
Les équations (7 a), (8 a) et (D) nous donnent
La combinaison de toutes nos équations nous donne alors
équations linéaires d’où nous tirerons, comme plus haut,
C.Q.F.D.
166.Après cette longue digression, je reprends le problème du
no 162 au point où je l’avais laissé. Il s’agissait de la détermination
de et à l’aide de (4 e), (8 e) et (6 c′).
Pour cela nous allons supposer les deux termes de nos équations
développées suivant les puissances de et égaler dans les deux
membres les termes de même degré.
L’équation (4 e) commencera par des termes du premier degré
et, égalant les termes du premier degré, on obtiendra
(4 b)
|
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Le second membre de (6 c′) commençant par des termes du
premier degré, nous trouverons d’abord
Il viendra ensuite, en égalant les termes du premier degré,
ou bien
(6 f)
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De sorte que l’équation (4 f) devient
ce qui nous donne et par conséquent les
Il reste à déterminer les et à satisfaire à l’équation (8 f)
obtenue en égalant dans (8 e) les termes de degré zéro par rapport
aux À la rigueur, l’équation (4 f) peut suffire pour cela, si nous
nous rappelons que les et les doivent être des constantes
parce que les et les étant développables suivant les
puissances des et des les termes de degré zéro
par rapport aux doivent être indépendants des
Qu’est-ce maintenant que la fonction du second membre
de (4 f) ? Pour obtenir cette fonction, il faut évidemment : prendre
la fonction y remplacer les les les les par les
les les les en prendre la valeur moyenne ; considérer
dans cette valeur moyenne les termes du premier degré par rapport
aux et aux y remplacer les et les par les et
les sera donc de la forme
les et les étant des constantes. L’équation (4 f) s’écrit alors
Si les et les doivent être des constantes, on ne pourra
y satisfaire qu’en annulant la constante et en faisant
Je dis de plus qu’on satisfera de la sorte à (8 f), car on satisfait ainsi aux équations (23) du no 155 (p. 149) dont (8 f) n’est
qu’une combinaison simple qui s’obtient en les ajoutant après les
avoir multipliées par et
Égalons maintenant les termes du second degré dans (4 e), il viendra
(4 g)
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Égalons de même les termes du second degré dans (6 c′), il
viendra
(6 g)
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L’équation (4 g) devient alors
ce qui nous donne et par conséquent les
Considérons maintenant l’équation (8 g) que l’on obtient en
égalant dans (8 e) les termes du premier degré. On pourra également
l’obtenir en faisant dans les équations (25) du no 155
(p. 149), multipliant la première par la seconde
par et ajoutant. Faisons cette opération, en nous rappelant
que la constante que nous désignions par dans le no 155
est maintenant représentée par il viendra
(8 g)
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|
Nous connaissons maintenant l’équation se réduit donc à
On déterminera de façon que la valeur moyenne du
second membre soit nulle et l’équation déterminera ensuite aisément
et par conséquent les et les
Poursuivant de la sorte, on déterminerait de même les
les les .
Les les et les étant ainsi déterminés, on calculerait
les autres quantités par les méthodes du no 162. Chaque quantité devrait être déterminée par le même procédé que celle qui
n’en diffère que parce que son indice (relatif au degré en ) est
moins élevé d’une unité.
Il faudrait, bien entendu, avoir soin d’observer le même ordre
qu’au no 162.
Les méthodes du Chapitre XV permettent donc d’atteindre le
même but que celles du Chapitre XIV. Quelques calculs sont un
peu simplifiés. De plus, ces méthodes nouvelles ont un avantage
qu’il importe de signaler et que ne possédaient pas celles du Chapitre
précédent : c’est qu’elles portent en elles-mêmes la démonstration
de leur propre possibilité. Elles pourraient donc être
exposées sans que l’on ait à passer par l’intermédiaire des Chapitres
IX à XIII, ni à parler des nombreux changements des
variables que nous avons dû faire dans ces Chapitres et qui ne
sont utiles que pour la démonstration, mais non pour les calculs.