CHAPITRE XV.
AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
Problème du no 125.
158.Reprenons les équations
(1)
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et
(2)
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Nous nous proposons de satisfaire à ces équations à l’aide des
séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples des
arguments,
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0d08a2b053a159ba382791dfb5deeb81663e74)
séries dont nous avons démontré l’existence au no 125.
Je rappelle d’ailleurs que l’on a
![{\displaystyle w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62410e7b31fa2007e012b8c73c0c87ceaef65a80)
et, par conséquent,
(3)
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Au no 127, nous nous sommes servi pour déterminer ces séries
des équations (1) et (2) ; mais on peut opérer autrement.
Nous avons d’abord l’intégrale des forces vives
(4)
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D’autre part, l’expression
(5)
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doit être une différentielle exacte et, comme les
sont des constantes,
il doit en être de même de
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)\,dy_{i}=d\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596286f0c50319c467f9ca7d6936c4c2e6e41d81)
ce qui donne
(6)
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Je dis maintenant que les équations (2) sont une conséquence
des équations (1), (3), (4) et (6). En effet, les équations (6) signifient
que l’expression (5) est une différentielle exacte et les conditions
d’intégrabilité de cette expression peuvent s’écrire
(7)
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Multiplions cette équation par
puis, conservant à
une
valeur constante, faisons successivement
Enfin ajoutons les
équations ainsi obtenues ; il viendra, en
tenant compte de (3),
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499540c21ddaf279665a11d82a3102d3033c40e9)
ou, en tenant compte de (1),
(8)
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Différentions maintenant (4) par rapport à
il viendra
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829dd95f0b437093f4197bb0c938ccbe2820c1b1)
ou, en rapprochant de (8),
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d2cfd4f12642a921daf469e06847c016933ea8)
d’où
C.Q.F.D.
Nous pouvons donc déterminer nos séries à l’aide des équations
suivantes
(4), (6)
et
(1 bis)
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Dans ces diverses équations remplaçons les
les
les
et
par leurs développements suivant les puissances de
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}x_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}y_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}n_{k}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7490776d619621f332de0c2fdbebf3f6587fae)
Égalons ensuite dans les deux membres les coefficients des
puissances semblables de
Nous obtiendrons ainsi une série d’équations qui nous permettront
de déterminer par récurrence les coefficients des séries.
Imaginons en effet qu’on ait calculé
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&n_{k}^{2},&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-1},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae18dae196b32bc177e311b22c3937c6af6e98a2)
et qu’on se propose de déterminer
![{\displaystyle x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p},\quad \mathrm {S} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2902903622e321f3f0be2a469f15545bac478a)
Dans l’équation (4) égalons les coefficients de
il viendra
(9)
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Je désigne par
ainsi que je le ferai dans tout ce Chapitre, une
fonction quelconque, entièrement connue et périodique des
Inutile d’ajouter que les diverses fonctions que je désigne ainsi
par
ne sont pas identiques. Quant à la constante du second
membre de (9), elle est arbitraire comme la constante du second
membre de (4).
Égalons maintenant dans les deux membres de (6) les coefficients
de
il viendra
(10)
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d’où, tenant compte de (9),
(11)
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La fonction
doit avoir toutes ses dérivées périodiques par
rapport aux
c’est-à-dire qu’elle doit être de la forme
![{\displaystyle \alpha _{1.p}w_{1}+\alpha _{2.p}w_{2}+\ldots +\alpha _{n.p}w_{n}+\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb8f38fe38a2bf0cff48b2692d9e371dd7d97a8)
les
étant des constantes et
une fonction périodique.
L’équation (11), par un calcul tout semblable à l’intégration de
l’équation (6) du no 125, nous fera connaître
J’ajoute que les
constantes
peuvent être choisies arbitrairement en fonctions
des constantes
puisque la constante du second membre de (11)
est elle-même arbitraire.
étant déterminé, les équations (10) nous donneront les
dont la valeur moyenne
peut, comme nous venons de le voir,
être choisie arbitrairement.
Les
étant connus, égalons dans les deux membres de (1 bis)
les coefficients de
Il viendra
(12)
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On commencera par déterminer la constante
de façon à
annuler la valeur moyenne du deuxième membre de (12). L’équation (12)
nous donnera ensuite
par un calcul tout semblable
à celui du no 127. Observons en passant que la valeur moyenne
de
peut être choisie arbitrairement en fonction des
Autre exemple.
159.Soient
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\xi _{1},&\xi _{2},&\ldots ,&\xi _{n},\\\eta _{1},&\eta _{2},&\ldots ,&\eta _{n}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2236c97000739d13d4ef3164ad87cca1db270d03)
nos
paires de variables conjuguées.
Supposons que
soit développable suivant les puissances croissantes
des
et des
que dans ce développement il n’y ait pas de terme de degré 0, ni de degré 1, et que les termes du deuxième
degré s’écrivent
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb744b6b58c3069c33e5d256385f44ee8bf2b6c0)
J’écris avec des parenthèses
pour le carré de
afin de ne
pas confondre avec la notation
que nous emploierons plus loin,
et où le 2 sera un indice et non un exposant.
Soient alors
(1)
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nos équations différentielles.
Je suppose que l’on veuille développer les
et les
suivant
les puissances de certaines constantes d’intégration
et j’écris
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{1}&{}+{}&\xi _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=\eta _{i}^{1}&{}+{}&\eta _{i}^{2}&{}+{}&\ldots +\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d8a8dc69aae385df05c8da37ae034fa1caa32f)
Les
et les
représenteront les termes du développement qui
sont d’ordre
par rapport aux
Ce devront être des fonctions
périodiques par rapport à
arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0864e1a2f47e4cb7b8f9bd2fb0af19dcefd1e9d5)
On devra avoir d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{1}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1}&=\alpha _{i}\sin w_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbdcb618f8060aad3c35fbdeb5291a4cdad59a0b)
On aura, d’autre part,
![{\displaystyle n_{k}=n_{k}^{0}+n_{k}^{1}+\ldots +n_{k}^{p}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c200e273d0a426341271ad420ac622325470ae)
étant développé suivant les puissances des
et
représentant
l’ensemble des termes d’ordre
par rapport aux
Nos équations
différentielles deviennent
(2)
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D’autre part,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8577a0d4a7a2d792a7c9a7318d8b61fe627e09)
doit être une différentielle exacte et il en sera naturellement de même de
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1}\eta _{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4738da9e8d35a02ceb1d3ea6c1f58d4ac6cbf881)
Je remarque enfin que
doit être aussi développé selon les
puissances des
et je désigne par
l’ensemble des termes de
degré
Je pose aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\xi _{i}\cos w_{i}+\eta _{i}\sin w_{i},\\y_{i}&=\xi _{i}\sin w_{i}-\eta _{i}\cos w_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64d6174c66fbd0ff7f6a10df7c76e27b17342fe)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\textstyle \sum }\,x_{i}^{p},&y_{i}&={\textstyle \sum }\,y_{i}^{p},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfdbe90b0b4ccb6c9c49dc639e5633f0d48abcb)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\cos w_{i}+\eta _{i}^{p}\sin w_{i},\\y_{i}^{p}&=\xi _{i}^{p}\sin w_{i}+\eta _{i}^{p}\cos w_{i},\\x_{i}^{1}&=\xi _{i}^{0}\cos w_{i}+\eta _{i}^{0}\sin w_{i}=\alpha _{i},\\y_{i}^{1}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57b5d17b398a86f20304fe0352847eaa4973dcd)
On trouve d’abord aisément
![{\displaystyle n_{k}^{0}=-2\mathrm {A} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07291402d2ac7191bd318ff26da4038ee62fca00)
Observons ensuite que les équations (2) nous donnent
(3)
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(4)
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Nous allons calculer nos séries à l’aide de l’équation (4), de l’équation
(5)
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et de
(6)
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Les équations (3) et par conséquent les équations (2) et (1)
s’en déduisent, en effet, très aisément.
Supposons donc que l’on ait déterminé
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\xi _{i}^{1},&\xi _{i}^{2},&\ldots ,&\xi _{i}^{p-1};\\\eta _{i}^{1},&\eta _{i}^{2},&\ldots ,&\eta _{i}^{p-1};\\x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1};\\y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1};\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&\ldots ,&n_{k}^{p-2};\\\mathrm {S} _{1},&\mathrm {S} _{2},&\ldots ,&\mathrm {S} _{p},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843295eec78375bc80cf64bf3a5d3dd331321ff0)
et que l’on se propose de déterminer
![{\displaystyle \xi _{i}^{p},\quad \eta _{i}^{p},\quad x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p-1},\quad \mathrm {S} _{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab91e61e4782f7279491e6d2e998da1416fae42)
Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre
et
dans les deux membres de (5) et de (6) les termes d’ordre
Je poserai pour abréger, comme dans le Chapitre précédent,
![{\displaystyle \Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1346c1702c27c529775acb4b5c0aabf58bb3deba)
Il viendra alors
(7)
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(8)
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![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{p}\,{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,\eta _{i}^{p}\,{\frac {d\xi _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5990158f250617f92d7d1c0402a830e0eb7112b3)
Si nous remarquons que
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi _{i}^{1}&=-\eta _{i}^{1}\,dw_{i},&d\eta _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1}\,dw_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b756ef4e390b0c761c3663b4d008da4ed0ba5)
nous pourrons écrire
(9)
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Si nous combinons (8) et (9), nous aurons
(10)
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d’autre part, (9) pourra s’écrire
(11)
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et (7) s’écrira
(12)
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Alors l’équation (10) nous fera connaître
l’équation (11)
nous donnera les
en écrivant que la valeur moyenne du second
membre de (12) est nulle, nous obtiendrons
et l’équation (12)
nous donnera ensuite
Connaissant ainsi
et
nous aurons
et
On aurait pu, pour déterminer ces quantités, se servir des équations
suivantes, déduites de (2) en égalant les termes d’ordre
dans les deux membres, et analogues aux équations (9) du no 152 :
(13)
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(14)
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On aurait vu alors, par un raisonnement tout pareil à celui du
no 153, que les
sont développables suivant les
puissances des
![{\displaystyle \alpha _{i}\cos w_{i},\quad \alpha _{i}\sin w_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb9a26bde6b953a256920426ff46ba9405f5906)
et qu’il en est de même des
(c’est-à-dire que ces quantités qui
ne dépendent pas des
seront développables suivant les puissances
paires des
).
Il en est d’ailleurs évidemment de même des termes périodiques
de
en vertu de l’équation (10).
On sait que
![{\displaystyle \mathrm {S} _{p+1}=\beta _{1}w_{1}+\beta _{2}w_{2}+\ldots +\beta _{n}w_{n}+\mathrm {S} _{p+1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabe7e11de7f766eeceeb64ae05df03c3c314e79)
les
étant des constantes et
étant périodique.
Pour
l’équation (10) et un raisonnement analogue à celui
du no 153 nous apprennent que la condition est remplie. Quant
aux
on peut les choisir arbitrairement ; nous pouvons donc
supposer que
est développable suivant les puissances paires
des
et divisible par
Il est inutile de répéter ici ce raisonnement du no 153.
Indiquons seulement en passant ce qui se passe quand on traite
l’équation (11). Cette équation nous donne la valeur de
et cette valeur doit, bien entendu, être divisible par
et, en effet,
je dis que
et
sont divisibles par
J’observe que si
est une fonction développable suivant les
puissances des
et
et qu’on développe cette fonction
en série trigonométrique, le coefficient du cosinus ou du sinus de
![{\displaystyle m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddc12ea079ae400f8aaa61e7c9c8fd85d609f8c)
dans ce développement, sera divisible par
![{\displaystyle \alpha _{1}^{|m_{1}|}.\alpha _{2}^{|m_{2}|}.\ldots .\alpha _{n}^{|m_{n}|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a6f1165bd20ac1e34a6c2b36c2341c8ad0a9c9)
Donc, les coefficients des termes dépendant de
sont divisibles
par
donc
est divisible par ![{\displaystyle \alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e7709314b2ed3056096cc8e9fddce153d1dc53)
Or
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\beta _{k}+{\frac {d\mathrm {S} _{p+1}'}{dw_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa3f5ab1df29f46311a85bb5fa237014863f067)
et
a été choisi divisible par
et
doit l’être aussi d’après
ce que nous venons de voir. Donc il en est de même de ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a75bb01231897170140690a1569ff1ef3cb7690)
D’autre part,
est une somme de termes ; chacun de ces termes
est le produit de facteurs dont l’un est de la forme
![{\displaystyle {\frac {d\xi _{i}^{p}}{dw_{k}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b89921307e80debfb4ecbd0f2e1ab0631eb800)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {d\eta _{i}^{p}}{dw_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fad72e57e3911cb747d8b609269b839b70890d2)
et est par conséquent divisible par ![{\displaystyle \alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e7709314b2ed3056096cc8e9fddce153d1dc53)
Donc
est également divisible par
C.Q.F.D.
160.Supposons que
dépende d’un paramètre très petit
et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba0fecdd2b21820ccca2a9236ab3da991993012)
Je suppose toujours que
est développable suivant les puissances
des
et des
que le développement de
commence par
des termes du deuxième degré et que ces termes s’écrivent
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\eta _{i}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb744b6b58c3069c33e5d256385f44ee8bf2b6c0)
Mais je suppose que le développement de
commence
par des termes du premier degré.
Je me propose de développer
![{\displaystyle \xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21353bb2a627da561091cc4924a4f6a9fd7bbe8)
non plus seulement suivant les puissances des constantes
mais
suivant les puissances de ces constantes et celles de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Je désigne par
![{\displaystyle \xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p.q},\quad \mathrm {S} _{p.q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860bb6c6678e628934801b65a5799f759c2afaf9)
les termes de ces développements qui sont de degré
par rapport
aux
et de degré
par rapport à ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
J’aurai d’ailleurs
![{\displaystyle \xi _{i}^{0.0}=\eta _{i}^{0.0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594c54515f894e7509a67a916952da4110a40993)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\cos w_{i},&\eta _{i}^{1.0}&=\alpha _{i}\sin w_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbefc106baa159e5fb11be07094e6693f63ebd35)
![{\displaystyle n_{k}^{0.0}=-2\mathrm {A} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3311fd76f11954160d72a89e356b654e1f1ec5)
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\xi _{i}\,d\eta _{i}-{\textstyle \sum }\,d\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd4dbe2495fa08b3ff045404f792013fe702db2)
d’où
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {S} _{0.0}=\mathrm {S} _{1.0}=0,\\[1em]\mathrm {S} _{2.0}=-{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}w_{i}-{\frac {3}{4}}{\textstyle \sum }\,\left(\alpha _{i}\right)^{2}\sin 2w_{i}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dc8071fe9895123d485ccd49e90812b63f80c8)
Supposons alors que l’on ait calculé
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\xi _{i}^{a.b},\quad \eta _{i}^{a.b},\quad x_{i}^{a.b},\quad y_{i}^{a.b},\quad n_{k}^{a-1.b},\quad \mathrm {S} _{a+1.b}\\[0.5ex](a\leq p,\quad a+b\leq p+q),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d42c6ddbc9f3121d19bf949cfc4a6e6f601fc09)
à l’exception de la combinaison
et qu’on se propose
de calculer
![{\displaystyle \xi _{i}^{p.q},\quad \eta _{i}^{p.q},\quad x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q},\quad n_{k}^{p-1.q},\quad \mathrm {S} _{p+1.q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593d5cb7f931d87039e9a86dd1e5f2212cc31df3)
Reprenons les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6). Égalons
dans les deux membres de (4) les termes d’ordre
par rapport
aux
et d’ordre
par rapport à
Égalons de même dans (5)
et (6) les termes d’ordre
par rapport aux
et
par rapport
à
Soit
![{\displaystyle \Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0.0}{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265280053e9346806d4697cde1647699918fd189)
Nous retrouverons alors les équations (7), (8), (9), (10), (11),
(12), (13), (14) avec cette différence que les indices simples (supérieurs
ou inférieurs)
ou
seront remplacés par des
indices doubles
ou
et que les indices
simples 1 ou 0 seront remplacés par des indices doubles 1.0
ou 0.0
On se servira de ces équations comme dans le numéro précédent
pour déterminer successivement
et
par conséquent
et
On verrait, comme au no 153, que
et
sont développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle \alpha _{k}\cos w_{k}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4652b69a1aa4c9b70c717d80b8a8d949d4537910)
et
![{\displaystyle \quad \alpha _{k}\sin w_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6da7ba7c6cd73303bc053ce1b9c03e5f808516)
Il en résulte que
et
sont des constantes.
D’autre part, il convient d’observer que la remarque du no 126,
en vertu de laquelle les valeurs moyennes de
et
peuvent
être choisies arbitrairement n’est applicable ici qu’avec certaines
restrictions.
Reprenons en effet le raisonnement du no 126 ; considérons le
développement de
et de
selon les puissances de
et des
Changeons-y
et
en
![{\displaystyle \alpha _{i}(1+\varphi _{i}),\quad w_{i}+\psi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac7b12ccc23a790d26ed85db6901a6e81febcb0)
et
étant deux fonctions développables suivant les puissances
de
et des
et se réduisant à 0 quand ces quantités s’annulent.
Les valeurs des
ne seront pas modifiées par ce changement.
Il en résulte que les valeurs moyennes des
![{\displaystyle x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q}\quad (p>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59f7d870216177b76f313cb3598abfe90877b3f)
peuvent être choisies arbitrairement, mais qu’il n’en est pas de
même de celles des
![{\displaystyle x_{i}^{0.q},\quad y_{i}^{0.q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314ac95a5145a57276e4d5c89ccbf3c742797be4)
On voit d’ailleurs aisément que ces dernières valeurs moyennes
doivent être nulles.
Supposons maintenant qu’on revienne aux équations numérotées
(1) à (6) et que l’on envisage dans les équations (1) à (4)
les termes de degré 0 par rapport aux
et dans les équations (5)
et (6) les termes de degré 0 ou 1 par rapport aux
on obtiendra
des équations dont la forme différera un peu de celle des équations
numérotées (7) à (14) sur lesquelles par conséquent il
est nécessaire de revenir.
Cette différence de forme provient d’abord de ce que
est
nul si
et, d’autre part, de ce que,
et
étant des constantes,
![{\displaystyle \Delta \xi _{i}^{0.q}=\Delta \eta _{i}^{0.q}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe68184dad9dc442624a0f06934ec645e5b81c4)
Il nous suffira d’ailleurs de considérer les équations (1), (2),
(5) et (6) dont (3) et (4) se déduisent immédiatement. Posons,
pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{0}&=\xi _{i}^{0.1}+\xi _{i}^{0.2}+\ldots ,\\\xi _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1.0}+\xi _{i}^{1.1}+\xi _{i}^{1.2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1a2dc9af7aaa2a6fd43a309f316499372ae4fd)
Définissons de même
et
et soit
le résultat de la substitution
de
et de
dans
à la place de
et
Les termes de degré 0 de (1) et (2) nous donneront
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94ccbef5bf842744bd9354c9cd9408c3348572e)
Ces deux équations nous permettront de déterminer par récurrence
les
et
Les termes de degré 0 et 1 de (5) nous donneront
![{\displaystyle \mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b539b419f7cbf1f65d88deb65ad4d9f5c8efb7af)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}\xi _{i}^{1}+{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}\eta _{i}^{1}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8a8b01f6135b03288881a8f7a4f2f62432a289)
La première de ces deux équations nous permet de déterminer
la constante du deuxième membre [qui ne peut pas être choisie
arbitrairement comme pouvait l’être la constante de l’équation (8)
quand on supposait
].
La seconde équation est satisfaite d’elle-même et la constante
du deuxième membre doit être nulle, puisque les deux dérivées
de
sont nulles.
Reste l’équation (6) ; les termes du degré 0 nous donnent
![{\displaystyle d\left(\mathrm {S} _{0.0}+\mathrm {S} _{0.1}+\mathrm {S} _{0.2}+\ldots \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9874615cf2596ada757d0e44950b1075afc3356)
en remarquant que, les
étant des constantes,
est nul. Il
suffit, pour satisfaire à cette équation, de supposer que les
sont
des constantes.
Les termes de degré 1 nous donnent
![{\displaystyle d\left(\mathrm {S} _{1.0}+\mathrm {S} _{1.1}+\mathrm {S} _{1.2}+\ldots \right)={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{0}\,d\eta _{i}^{1}-{\textstyle \sum }\,d\xi _{i}^{1.0}\,\eta _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745df97191c5276aab21516f75f3aff475551976)
Il suffit, pour y satisfaire, de supposer
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1.q}={\textstyle \sum }\left(\xi _{i}^{0.1}\eta _{i}^{1.q-1}+\xi _{i}^{0.2}\eta _{i}^{1.q-2}+\ldots +\xi _{i}^{0.q}\eta _{i}^{1.0}\right)-{\textstyle \sum }\,\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}^{0.q}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781d8168dac2d19678725136bb2c4318d632a491)
Les termes de degré 0 et 1 n’engendreront donc pas de difficultés,
ainsi qu’on aurait pu le craindre.
Problème du no 134.
161.La même méthode est évidemment applicable au problème
du no 134. Reprenons les notations du no 151.
Reprenons les équations (1) à (6) du no 158, en convenant que
les signes
porteront non seulement sur tous les
(ou sur tous
les
ou sur tous les
etc.), mais à la fois sur les
et les
(ou
sur les
et les
ou sur les
et les
etc.).
On verrait alors, comme au no 158, que les' équations (2) sont
des conséquences des équations (1), (3), (4) et (6). Nous conserverons
donc les équations (4), (6) et (1 bis) qui vont nous servir
à la détermination de nos inconnues.
Nous allons, comme au no 158, remplacer dans ces diverses
équations les
les
les
et
par leurs développements suivant
les puissances de
et égaler ensuite dans les deux membres
les coefficients des puissances semblables de
Mais les équations ainsi obtenues ne sont pas les seules dont
j’aurai à faire usage : je me servirai également de celles que l’on en
déduit en égalant dans les deux membres les valeurs moyennes
prises par rapport aux
seulement (et non par rapport aux
)
Soit
une fonction quelconque périodique par rapport aux
et aux
Je désignerai, comme au no 151, par
sa valeur
moyenne prise par rapport aux
seulement et par
sa valeur
moyenne prise à la fois par rapport aux
et aux
On aura alors
![{\displaystyle {\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b318a86ab5f685f9c5c98ec317863405e0e4d9)
mais en général
![{\displaystyle {\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}'}}\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745f5b0b99103d506983798616e147f198f6a47b)
Quant à
ce n’est pas une fonction périodique, mais seulement
une fonction dont les dérivées sont périodiques.
On aura donc seulement
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939051a9d20be55a364714cd85bfa52d8e1eaa12)
Imaginons maintenant que l’on ait calculé complètement
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-2},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&&\ldots ,&y_{i}^{p-2},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-2}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6286b51a0784840f45fbbbde0b204d05371049)
ainsi que
et
à une fonction arbitraire près des
et qu’on se propose d’achever la détermination de
et
et de calculer
complètement ainsi que
et
à une fonction arbitraire près des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
L’équation (9) du no 158, obtenue en égalant dans l’équation (4)
les termes en
prendra une forme un peu différente, parce que
le second membre ne sera plus entièrement connu. Elle s’écrira
(9 bis)
|
|
|
Dans le cas de
on a simplement
(9 ter)
|
|
|
Il va sans dire que, dans
est supposé remplacé par
et
par
Le second membre de (9 bis) n’est pas entièrement connu parce que
et
ne sont connus qu’à une fonction arbitraire près
des
Prenons maintenant l’équation (10) ; ici encore, le second
membre n’étant plus entièrement connu, la forme s’en trouve un
peu changée et nous devons écrire
(10 bis)
|
|
|
Si nous observons maintenant que
![{\displaystyle x_{i}^{p-1}-{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411bf73e0559f35e2c383cf40a05130fc7f2c691)
et
![{\displaystyle \quad y_{i}^{p-1}-{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17567a5fa84d1472bab61119a8b9ed2138d8ef67)
sont connus, nos équations (9 bis) et (10 bis) pourront s’écrire
(9 a)
|
|
|
(10 a)
|
|
|
On voit le rôle que joue
c’est ce qui m’engage à déterminer
d’abord cette quantité en m’occupant en détail de la première
approximation. Pour cela nous avons l’équation (9 ter) écrite
plus haut et l’équation
(10 ter)
|
|
|
de sorte que (9 ter) devient
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {F} _{1}+\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b283368b90194c93c1739bca99525020bb2a813)
J’observe d’abord que les
sont nuls et que je puis, par conséquent écrire,
(9 b)
|
|
|
en convenant de désigner par
une sommation portant sur les
seulement ou sur les
seulement, tandis que
désigne, comme
nous l’avons vu plus haut, une sommation portant à la fois sur les
et les
Si nous prenons les valeurs moyennes des deux
membres, il viendra, puisque
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90395aea257a1770095d71fc4b5bdc919dd5471a)
il viendra, dis-je,
![{\displaystyle {\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbdea2aa54e2394c1d759e5d021cd0533654efc)
Mais
c’est
qui ne dépend que des
et des
comme
ce sont là des constantes arbitraires, la constante du second
membre est également arbitraire et l’équation (9 b) s’intégrera
sans difficulté.
Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes
du premier degré, il viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{1}=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c4fdd18c8d4a275cf6d435e41ec55846a7b6cb)
Le second membre est entièrement connu ; en effet, le second
terme ne dépend que des
et des
le premier dépend en
outre des
(et non des
puisque
par hypothèse ne dépend
pas des
) ; mais ces quantités sont égales aux
qui sont connues,
puisque
a été déterminée à une fonction arbitraire près
des
En outre, la valeur moyenne de ce second membre, prise par
rapport aux
seulement, est une constante.
En effet, cette valeur moyenne est égale à
![{\displaystyle -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}-{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e5e438e4e69ec04069ba14ce1181482b673ca3)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e950ad21b43673a2ebcb8451c8621158929b8af)
puisque
ne dépend que des
et des
qui sont, des constantes,
Donc la valeur moyenne de ce second membre étant une constante,
nous pourrons y égaler
On calculerait de même
seulement dans ce cas le premier terme manque et il reste simplement
![{\displaystyle n_{i}'^{1}=-{\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}'^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0ad6bee43c1bd5aa8781050cabfb4955557f00)
L’équation s’intégrera alors sans difficulté et nous donnera
à une fonction arbitraire près des
Ce que je dis de
s’applique sans changement à
Quant
à
il est égal à
et est par conséquent connu, à une fonction
arbitraire près des
Revenons aux équations (9 a) et (10 a).
Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport
aux
seulement, faisons d’abord cette opération pour (10 a), en
supposant que la dérivée
est prise par rapport à une des quantités
et non par rapport à une des quantités
Nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,&{\frac {d{\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}}{dw_{k}}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c394b4ba35ff9fcfd3dac892767636fe6429f4f9)
![{\displaystyle \left[{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}\left[{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14795d9fb3dfee2238daaf88b947dfc38ce6d3de)
d’où enfin
(10 c)
|
|
|
Opérons de même pour (9 a), il viendra (puisque
),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}&=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}x_{k}^{p},\\[0.5ex]\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}^{0}}}&=0,\\[0.5ex]\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} \;\mathrm {donn{\acute {e}}e.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de45fca7321d198db7e6d1221546b034e7b6ea4)
Nous aurons donc
(9 c)
|
|
|
d’où, en rapprochant de (10 c),
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e78df457bb35f94ea0b397d58ad1853a3c1e7b)
ou
![{\displaystyle \mathbb {S} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}^{0}}}{\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}+\mathbb {S} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}'^{0}}}{\big [}x_{i}'^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1df33aa150e01372fc2b8d28f15b453a8a3ba25)
Mais
est connu à une constante près ; nous avons, en effet,
une équation analogue à (10 c), en changeant
en ![{\displaystyle p-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d90e32f6a47063931b13e1290465522f639fa)
![{\displaystyle {\big [}x_{k}^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123afd1d4daf34f54ab2266d644769329d6eb8cb)
En tenant compte de l’égalité
![{\displaystyle n_{i}'^{1}=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}'^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b6378904c047d5465ae04045532dc96c3ea68e)
nous pouvons donc écrire
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{i}'^{1}{\big [}x_{i}'^{p-1}{\big ]}=\Phi +\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ee65d3dac90b0f1268b185d53d273d48dcb8e8)
Revenons maintenant à l’équation (10 a), mais en y changeant
en
et
en
Si nous observons que
et
sont connus, cette équation
pourra s’écrire
(10 d)
|
|
|
est une somme de termes dont les uns sont périodiques par
rapport aux
et aux
tandis que les autres se réduisent à une
constante multipliée par l’un des
ou l’un des
c’est ce qui
résulte de l’hypothèse faite plus haut que les dérivées de
sont périodiques.
Si dans cette somme de termes nous supprimons tous ceux qui
dépendent des
il nous restera une fonction des
que nous
pourrons appeler
et, comme nous avons supposé la fonction
connue à une fonction arbitraire près des
nous pourrons
dire que nous connaissons
mais non
Nous avons alors
![{\displaystyle {\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\big [}x_{k}'^{p-1}{\big ]}+\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ec8794b2653a78d5172c19219debf1e4b0e202)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{i}'^{1}\,{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{p-1}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80878cd1fae011f133bb3eeff870128297d4d34f)
équation qui donne
et achève ainsi la détermination de ![{\displaystyle \mathrm {S} _{p-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a63d2e3a027aa6dde67a63f417055433f7c5842)
L’équation (10 d) et l’équation analogue
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p-1}+\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281847f1d82413cba23f92e4e265f05d74956bc9)
achèvent alors la détermination de
et ![{\displaystyle x_{k}'^{p-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf0482b3903d697bd66d7f0ab7fe6231c99b567)
Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes
de degré
il viendra
(12 bis)
|
|
|
représentant le coefficient de
dans
et
celui de
dans ![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba31f4bf99f2c74a15fa4495dd01c6009128c5ef)
ne dépend que des
qui sont maintenant entièrement connus
jusqu’aux
inclusivement. Nous pourrons donc écrire
![{\displaystyle \mathrm {A} =\Phi -\mathbb {S} \,{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f16597392762e8fb183b99fc45ae150326e5111)
De même les
étant entièrement connus, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,y_{k}^{p-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6b2c7bca91e7bd6cdc9053fca6805830c8f353)
ou même, puisque nous connaissons
![{\displaystyle y_{k}^{p-1}-{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31a0cb5edc6c5f3428a63dc9b0960f1954e99a7)
![{\displaystyle \mathrm {B} =\Phi -{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\,{\big [}y_{k}^{p-1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d326975a530264ef981a1d78807a58fd89b0b1a0)
D’autre part, les
sont nuls, et comme
est connu à une
fonction arbitraire près des
on a
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\mathbb {S} \,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca610fd747454b9a6c267b1edd2c7a8646ec463)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\,{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3831caf385fd9c986d3b4ec102fc4d0ba7b4cb)
d’où
(12 a)
|
|
|
Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres, en
observant que
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy_{k}^{0}\,dx_{i}^{0}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954629bb4e2e5f664ee0608eeda643505af4906a)
il vient
(12 b)
|
|
|
Nous avons trouvé plus haut
(10 c)
|
|
|
ce qui signifie que, la constante du second membre pouvant être
choisie arbitrairement,
est connue. On a donc
(12 c)
|
|
|
On profitera de
pour annuler la valeur moyenne du deuxième
membre et cette équation (12 c) s’intégrera sans peine et nous
donnera ![{\displaystyle {\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f185a8684dbcb1a081d8be8bd550534b7e0183c)
On calculerait de même
et
de sorte que
sont maintenant entièrement connus.
Les équations (9 bis) et (10 bis) peuvent alors s’écrire
(9 e)
|
|
|
(10 e)
|
|
|
(10 f)
|
|
|
d’où l’équation
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cef21f46b9cd4f17872c22e2952517fb85da6ac)
qui détermine
à une fonction inconnue près des
(car nous
avons plus haut choisi
de façon que la valeur moyenne du
deuxième membre se réduise à une constante) ; ou, en d’autres
termes, qui détermine
![{\displaystyle \mathrm {S} _{p}-{\big [}\mathrm {S} _{p}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1c483450d8ae340ae4f8e7b3ff8401aa292014)
Les équations (10 e) et (10 f) nous donneront ensuite
et
à des fonctions près de
c’est-à-dire qu’elles détermineront
![{\displaystyle x_{k}^{p}-{\big [}x_{k}^{p}{\big ]},\quad x_{k}'^{p}-{\big [}x_{k}'^{p}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604c7dda34751e4722df7c6c09813b42ae373fca)
Je dois ajouter que, (10 c) nous donnant déjà
nous connaissons
complètement
mais non ![{\displaystyle x_{k}'^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2405267b808f4fb282e0887d831071f750bd45)
L’équation (12 a) devient alors
(12 c)
|
|
|
La valeur moyenne du deuxième membre est nulle en vertu de
(12 b) ; nous tirerons donc de là
![{\displaystyle y_{i}^{p}-{\big [}y_{i}^{p}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46dcecb882476d49aa45143b19d83b8d224cfe1)
et l’on trouverait de même
![{\displaystyle y_{i}'^{p}-{\big [}y_{i}'^{p}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373b096347c2928e81d36c64b8669189875b99d7)
Problème des trois Corps.
162.Nous prendrons pour variables indépendantes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\tau _{i}\,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b38c9e1be7616aadc420eec5effeec9926e48d)
et comme au no 152, supprimant des indices devenus inutiles,
nous écrirons
et
au lieu de
et ![{\displaystyle \lambda _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a47f34585213dc81b8640e02fe493504d9f62a1)
Nous allons chercher à satisfaire aux équations du problème en
remplaçant chacune de ces variables par les développements (4) du no 152
et (17) du no 155 ; procédant suivant les puissances
de
et de certaines constantes que j’ai appelées
et
dans les
nos 152 et 155 et que j’appellerai ici
par analogie avec les notations
du no 159 et pour éviter certaines confusions.
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\Lambda _{0.0}=\mathrm {const.} ,\qquad \Lambda _{0.0}'=\mathrm {const.} \;\qquad \lambda _{0.0}=w_{1},\qquad \lambda _{0.0}'=w_{2}\,;\\[0.5ex]\Lambda _{0.q}=\Lambda _{0.q}'=\lambda _{0.q}=\lambda _{0.q}'=0\quad (q>0)\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\cos w_{i}'\,;\qquad \tau _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\sin w_{i}'.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1490b70d9e16f7ebdb1969e2009e6755d6345569)
Nous avons d’abord à former l’équation qui doit être analogue
à l’équation (6) du no 158 et à l’équation (6) du numéro suivant.
Cette équation sera
(6 bis)
|
|
|
avec une équation analogue où
est remplacé par ![{\displaystyle w_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e14409cd2bdb5910918205d510fad2137e724)
À cette équation (6 bis) et à l’équation des forces vives
(4 bis)
|
|
|
nous adjoindrons les suivantes. En premier lieu,
(1 bis)
|
|
|
à laquelle il convient d’ajouter une autre équation de même forme
où
et
sont remplacés par
et
D’ailleurs disons une fois
pour toutes que, sans qu’il soit nécessaire de le répéter, il sera convenu
qu’à toute équation non symétrique en
et
et
etc.,
il faut en adjoindre une autre où ces lettres sont permutées. Les
signes
et
conservent le même sens que dans le numéro précédent.
En second lieu, nous aurons encore des équations analogues
aux équations (4) du no 159.
Pour cela posons, comme dans ce numéro,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\alpha _{i}\cos w_{i}'+\tau _{i}\sin w_{i}',\\y_{i}&=\alpha _{i}\sin w_{i}'-\tau _{i}\cos w_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc5d49e1b5cc54bad4d3bfee54616c9b6d1939b)
![{\displaystyle x_{i}^{p.q}=\sigma _{i}^{p.q}\cos w_{i}'+\tau _{i}^{p.q}\sin w_{i}',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfd80c84fc0fa9768646290e6e77d4bac03072f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0.1}&=\alpha _{i},&y_{i}^{0.1}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0577e0971136099997bac8ec490f257dd26d163b)
Nous aurons alors
(7)
|
|
|
(8)
|
|
|
On verrait, comme dans les numéros précédents, que l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2957fac3b6eac86d44f7ba71641cbdc95a01f4)
et les équations (7) sont une conséquence nécessaire des équations (6 bis),
(4 bis), (1 bis) et (8). Ces dernières suffisent donc
pour résoudre le problème.
Le problème ainsi posé présente, combinées entre elles, toutes
les difficultés que nous avons résolues séparément dans les premiers
numéros de ce Chapitre ; les mêmes procédés sont applicables.
J’emploierai la notation suivante, pour abréger certaines écritures ;
j’écrirai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}&={\textstyle \sum }_{q}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\sigma _{i}^{(q)}&={\textstyle \sum }_{p}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c51b2a86793cc71da2d9738921c0df1423cce7)
[Cf développements (17) page 145] ; je ferai usage de notations
analogues pour les lettres autres que
Cela posé, commençons par annuler
dans toutes nos équations ;
(4 bis) nous donnera
(4 a)
|
|
|
Comme la constante du second membre est arbitraire, nous satisferons
à cette équation en donnant à
et
des valeurs constantes
arbitraires. Nous pourrons supposer, comme nous l’avons
fait plus haut, que ces constantes sont indépendantes des
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \Lambda _{0.q}=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7723fbedce17aa5f10c29c61c65e0e4db4d8f7f6)
pour
![{\displaystyle \;q>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cb7145e8b0d613c3c238b9a02b0c528bf7ee59)
Nous aurons ensuite, en partant de (6 bis),
(6 a)
|
|
|
Quant à (1 bis), il se réduira à
![{\displaystyle {n_{1}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab4b9ecf3df6be3baa7023165d693db8d3a9e50)
et de même
![{\displaystyle {n_{2}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58aadfb9fee6bd8223574563017a43f748c499d3)
Les équations (7) et (8) nous donnent
(7 a)
|
|
|
(8 a)
|
|
|
On satisfera à ces équations en supposant que les
sont nuls et
que les
les
les
les
ne dépendent pas des
mais seulement des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
Déterminons maintenant
ou plutôt
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}-{\big [}\mathrm {S} _{0}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829b3ed1973e742a36e4d0e67671ab825b024d98)
Comme les
et les
ne dépendent pas des
l’équation (6 a)
nous donne
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5f53dc1cce43743144be766c2a0fe4a4f18668)
ce qui signifie que
ne dépend pas des
mais seulement des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
Considérons maintenant dans nos équations les termes du premier
degré en
L’équation (4 bis) va nous donner
(4 b)
|
|
|
L’équation (6 bis) nous donnera
(6 b)
|
|
|
Le premier terme du second membre se réduit évidemment
à
pour
et à
pour
car nous savons que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{0}&=w_{1},&\lambda _{0}'&=w_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56217cbb739446de756e138cf930870f1060a2d7)
Pour la même raison, quand on change
on
il vient
(6 b’)
|
|
|
Nous avons vu plus haut que
ne dépend ni de
ni de
et il en est de même de
il vient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}}}&=\mathrm {const.} ,&{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&\left[{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{1}\right)}{dw_{k}}}\right]&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf0e920f40c56972e6df0940fc97884642c5196)
![{\displaystyle \left[\sigma _{i}^{0}\,{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}\sigma _{i}^{0}{\big ]}\left[{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80658b1d6020b74e3d4c964d47f3ebc4d81c43d)
Si donc, dans (6 b), nous prenons les valeurs moyennes des deux
membres, nous aurons, en faisant successivement
1 ou 2,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}&=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}\right]=\mathrm {const.} ,\\{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}&=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{2}}}\right]=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6f98c40e1d1b8ed80d7d7b9503399338a6640a)
En prenant alors dans (4 b) les valeurs moyennes des deux
membres, le premier membre devient une constante arbitraire
avec laquelle la constante du second membre peut se confondre,
de sorte qu’il restera
(4 c)
|
|
|
Dans
les variables
et
sont supposées remplacées
par
et
comme dans
les variables
et
ont disparu,
reste une fonction des
et
cette fonction est
développable suivant les puissances des
et des
les termes
du degré le moins élevé sont du deuxième degré et s’écrivent
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0}\right)^{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\tau _{i}^{0}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e16ae4fba625bd617fa93b2d62e8065736c5cd4)
Passons maintenant à l’équation (1 bis) ; les termes du premier
degré en
donneront
(1 b)
|
|
|
En prenant les valeurs moyennes des deux membres, il vient
(1 c)
|
|
|
Cette équation nous servira tout à l’heure à déterminer ![{\displaystyle n_{1}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c0d6ad7df52f4af132f83a1d45c0b8d7d6795b)
Venons maintenant aux équations (7) et (8) ; elles nous donneront
(7 b)
|
|
|
(8 b)
|
|
|
ou, en prenant les valeurs moyennes des deux membres et remarquant que
ne dépendent que des ![{\displaystyle w',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db180d228f497a074db385c4ba4d7ee174a514ed)
(7 c)
|
|
|
(8 c)
|
|
|
Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les
les
les
et les
l’analogie avec le problème du no 159 est en effet évidente.
On passe du problème actuel à celui du no 159, en changeant
respectivement
![{\displaystyle \sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad x_{i}^{0},\quad y_{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad w_{k}',\quad \mathrm {R} ,\quad \mathrm {S} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2db4c8da35c5533bfe081acd999ada3c1553b5)
en
![{\displaystyle \xi _{i},\quad \eta _{i},\quad x_{i},\quad y_{i},\quad n_{k},\quad w_{k},\quad \mathrm {F} ,\quad \mathrm {S} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0166c1a6ad1f23fce56f9b0aa05496b6396a4b)
Les équations (4 c), (7 c), (8 c) sont alors respectivement équivalentes
aux équations (5), (3) et (4) du no 159. De même l’équation
(6 a′) obtenue en changeant dans (6 a)
en
est équivalente
à l’équation (6) du no 159.
Il est vrai que
dépend non seulement des
et des
mais
encore de
et
Mais ces quantités, comme nous l’avons vu,
doivent se réduire à des constantes.
Les procédés du no 159 sont donc applicables et nous donneront
![{\displaystyle \sigma _{i}^{0},\quad \tau _{i}^{0},\quad n_{k}'^{1},\quad \mathrm {S} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608de56f43e4c2ae7d68ecea9922176ec1a9910c)
D’après l’équation (4 e),
se réduit à une constante et cette
constante devra dépendre des
des
et des
qui sont nos
constantes d’intégration.
Il en résulte que
est encore une constante. Comme
et les dérivées de
sont encore des constantes, le second
membre de (1 c) sera donc aussi une constante, ce qui nous permettra
d’y égaler
On calculerait de même
Le second membre de (7 b) et de (8 b) est maintenant entièrement
connu, ce qui fait que ces équations peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=\Phi ,\\[0.5ex]\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=\Phi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b641bcba05870d44bf4d9e18f9641c7f7fbce856)
La valeur moyenne du second membre est nulle, en vertu
de (7 c) et (8 c) ; ces équations nous permettront donc de calculer
![{\displaystyle x_{i}^{1}-{\big [}x_{i}^{1}{\big ]},\quad y_{i}^{1}-{\big [}y_{i}^{1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b45765c8df4ce8c99b72cfe1af4f4c3f730011f)
et par conséquent
![{\displaystyle \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad {\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b17b547d62222d0645ce3dc0fe214b104798fe)
Mais il vaut mieux opérer autrement.
En égalant dans les deux membres de
(A)
|
|
|
les termes en
il vient
(B)
|
|
|
qui nous fera connaître
![{\displaystyle \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad {\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8904880610fa2c7fe1cfbfb147abdecc2ac21770)
L’équation (6 b) pour
nous donne alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}=\Lambda _{1}+{\textstyle \sum }\left(\sigma _{i}^{0}-\sigma _{i}^{0.1}\right){\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4e624e466307e1839d355ca37e0199bd1ceadc)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{1}}}+\Phi ,&\Lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{2}}}+\Phi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f07cabceaf907cddda6c002f3896174ff4c749b)
Alors, comme
est connu, et que la constante du second
membre de (4 b) a été choisie plus haut d’une manière arbitraire,
(4 b) devient
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}=\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c957acd1f5e479f6466e145ec4911d911a9313)
équation qui détermine
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}-{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d1f91963c75db9ec62b000af5c79fd23a0e036)
eu, par conséquent,
![{\displaystyle \Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \Lambda _{1}'-{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73724e6095714f4527864fa106a1b9cd5e1e7e71)
Comme
et
sont, comme je l’ai dit plus haut, des constantes
que l’on peut choisir arbitrairement,
et
sont connus.
L’équation (6 b′) nous donne alors
(C)
|
|
|
ou, en prenant les valeurs moyennes et remarquant que
ne
dépend pas des ![{\displaystyle w_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba90f3972e41fbff8e76e008ab39b22b2745b3d0)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}={\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}+\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072f6ad22be9e7344fb25f2caa7bc7cd363b26a2)
ou, en retranchant et remarquant que
est connu,
(D)
|
|
|
Nous avons ainsi une suite d’équations linéaires d’où nous tirerons
![{\displaystyle \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ff37ce3ad03810c7cd28f9538ae89ed37055c5)
Observons que l’équation
(E)
|
|
|
déduite de
(F)
|
|
|
en égalant les termes en
est une conséquence de (A), (B), (D) et des équations précédemment satisfaites
(4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).
Cela est presque évident et J’y reviendrai plus loin. On en
déduirait ensuite sans peine (7 b) et (8 b).
Comme, d’autre part,
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}^{1}{\frac {d\lambda _{0}}{dw_{k}}}=n_{1}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546165dec7a5221e13e7538c64387547d455042d)
est connu par (1 c), l’équation (1 b) peut s’écrire
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{k}}}=\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e218e3f28de2ea9b09dd0bb6810b87c8e9070e3c)
La valeur moyenne de
étant nulle d’après (1 c), cette équation
nous donnera
![{\displaystyle \lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae552d591f562039751ab2f83cbdf8136c46472)
On obtiendrait de même
![{\displaystyle \lambda _{1}'-{\big [}\lambda _{1}'{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305f5c22d1698bdb021aaaa382c5d5132eb5e8c7)
Considérons maintenant dans nos équations les termes du
second degré en
D’abord, l’équation (4 bis) donnera
(4 d)
|
|
|
De même, l’équation (6 bis) donnera
(6 d)
|
|
|
Prenons les valeurs moyennes des deux membres. Je dis que la
valeur moyenne du second membre se réduira à
![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{2}{\big ]}+\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68201c44c45b20dd82dbd50d2b572ce4fd2319e)
En effet, nous connaissons
et
et par conséquent
on verrait, comme quand nous avons traité l’équation (6 b), que
![{\displaystyle \left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}\right]=\left[\sigma _{i}^{0}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{k}}}\right]=\left[{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{2}\right)}{dw_{k}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afc3a10a2eddd9b4b6a44478f09343bc511390d)
D’autre part,
![{\displaystyle \left[\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=\left[\left(\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right){\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]+\left[{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbee6843cebfe571c798869524863031da28fc3)
Le premier terme du second membre est connu, puisque nous
connaissons
et
à une fonction près des
Le second terme
est nul, car
![{\displaystyle \left[{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]={\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\left[{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0665a57f21f48993a6573567a956e8dcfbfc4cf5)
Il vient donc finalement
![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{2}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dw_{k}}}\right]+\Phi =\Phi -\mathrm {const.} \;\mathrm {arb.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab6382131318840742030e5762baccbc8f2c849)
Nous allons prendre maintenant la valeur moyenne des deux
membres dans (4 d) ; nous venons de trouver la valeur moyenne
de
considérons un terme du second membre, par exemple
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabd4d70bd036be787d6bdc247acf0e71dcf1f87)
Il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\sigma _{i}^{1}\right]&=\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\left(\sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right)\right]+\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\right]\\&=\Phi +\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\right]{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}=\Phi +{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b3c37821bf7bcbef1c1468d9ac3bf33a78156e)
En opérant de même sur les autres termes de (4 d), confondant
en une seule les fonctions connues
et les constantes arbitraires,
on trouve
(4 e)
|
|
|
On sait en effet que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{d\lambda _{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e580b7b2f87838f68f08129e0039bb8a9297b9d)
Passons maintenant à l’équation (7) et voyons ce qu’elle nous
donnera. D’abord le premier membre donnera
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{2}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}^{2}{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4d6f87344a46fb0c80d0f2b856b5e9786fd528)
Si nous en prenons la valeur moyenne en nous rappelant que
est nul ainsi que la valeur moyenne d’une dérivée prise par rapport
à
ou
nous trouverons
![{\displaystyle \mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}'}}\right]+\mathbb {S} \,n_{k}^{2}\left[{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07800e9e5524ee6d68915db10927434b97444799)
Dans le second membre, considérons d’abord le terme en
il nous donnera
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{2}}{d\tau _{i}^{0}}}+{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}\Lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}\tau _{k}^{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}\sigma _{k}^{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c06cc63abd3f82d0900950e2d163cfdbbf58c47)
ou bien
![{\displaystyle \Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}{\big [}\lambda _{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf49214f188b08202b317a05ef5b0a3f618ba8a)
et la valeur moyenne sera
![{\displaystyle \Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b728742b27c192f144cff1c0b77ff55a2856e2)
On opérerait de même pour
Cela va nous permettre d’écrire
ce que deviennent les équations (7) et (8) quand on y prend dans
les deux membres des termes du second degré en
On trouve
(7 e)
|
|
|
(8 e)
|
|
|
et
étant les seconds membres des équations (22) du no 155
(p. 148), d’où les équations (7 e) et (8 e) se déduisent d’ailleurs
aisément. Aux équations (7 e) et (8 e) nous adjoindrons la suivante,
obtenue en prenant les valeurs moyennes dans (6 b′),
(6 c′)
|
|
|
Nous allons maintenant, à l’aide des équations (4 e), (7 e), (8 e),
(6 c′), déterminer
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}'^{2},\quad {\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15566c21ae7194af57ea77d211becf10adce8ac)
Ces équations ne sont d’ailleurs pas distinctes, et au Chapitre XIV nous avons vu qu’on pouvait déterminer ces quantités par les
seules équations (22) du no 155, équivalentes à (7 e) et (8 e).
Mais je veux indiquer un autre procédé où l’on se sert seulement
de (4 e), (6 c′) et(8 e) et qui se rapproche davantage de la méthode
que j’ai toujours suivie dans le présent Chapitre.
Il pourrait donc y avoir intérêt à démontrer que (7 e) peut se
déduire de (4 e), (6 c′) et (8 e) ; mais pour cela il est nécessaire
d’examiner avec plus de détail comment (7) peut se déduire de
(4 bis), (6 bis) et (8) et par conséquent de faire une digression
qui va occuper les numéros suivants.
163.Reprenons le problème et les notations du no 158 ; les
renvois se rapporteront tous, sauf avis contraire, à ce numéro.
Nous avons démontré, au début de ce numéro, que les équations (2)
sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6).
Mais on peut se poser la question suivante : Supposons que l’on
ait satisfait à toutes les équations, déduites de (1), (3), (4) et (6)
en égalant dans les deux membres les termes indépendants de
les termes en
en
et ainsi de suite jusqu’aux termes en
inclusivement. S’ensuivra-t-il qu’on aura satisfait du même coup
aux équations déduites de (2) en égalant dans les deux membres
les termes tout connus, les termes en
en
en
En
d’autres termes, je suppose qu’on ait satisfait aux équations (1),
(3), (4) et (6) aux termes en
près, c’est-à-dire de telle façon
qu’après la substitution de notre solution approchée la différence
des deux membres soit divisible par
s’ensuit-il que les
équations (2) seront également satisfaites aux termes en
près ?
Si les équations (1), (3), (4) et (6) sont satisfaites aux termes en
près, il en sera de même des équations que l’on en déduit
par voie de différentiation, d’addition ou de multiplication, telles
par exemple que les équations (7) et (8). Les équations (7) et (8)
seront donc encore vraies, avec cette différence que dans le second
membre 0 devra être remplacé par une fonction développable
suivant les puissances de
et divisible par
Nous aurons donc
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91f6ba195436f926396be560755a39b55fe1fb0)
étant divisible par
et il sera permis d’en conclure que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}-{\frac {dy_{i}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99278860b0d2fa72abea9ea2a77bd63fc25d91b5)
est égal à une fonction de même forme pourvu que le déterminant
des
ne soit pas divisible par
Or c’est précisément ce qui
arrive, car il se réduit à 1 pour ![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)
Donc les équations (2) sont satisfaites aux termes en
près.
C.Q.F.D.
Arrivons maintenant au problème du no 161 ; le raisonnement
qui précède s’y appliquera sans changement, mais nous devons
encore nous poser une autre question.
Outre les équations déduites de (1 bis), (2), (4), (6) en égalant
dans les deux membres les coefficients de
nous avons encore
à envisager celles que l’on peut obtenir en égalant les valeurs
moyennes des deux membres.
Je suppose que les équations (1 bis), (4) et (6) soient satisfaites
aux termes près en
Il en résultera, ainsi que nous venons
de le voir, qu’il en sera de même de l’équation (2).
Je suppose de plus que l’on ait satisfait aux équations obtenues
de la manière suivante : dans les équations (1 bis), (4) et (6) égalons
les coefficients de
et prenons ensuite les valeurs moyennes
des deux membres. S’ensuivra-t-il que L’équation tirée de (2)
par le même procédé sera également satisfaite ?
Nous pouvons exprimer nos hypothèses de la manière suivante :
les équations (1 bis), (4) et (6) ne sont pas satisfaites exactement,
mais la différence des deux membres est une fonction périodique
des
et des
développable suivant les puissances de
divisible par
et dont la valeur moyenne prise par rapport aux
est divisible par
Je désignerai par
toute fonction satisfaisant à ces conditions.
Il résulte de là que la somme de deux fonctions
est une fonction
que la dérivée de
par rapport à
ou
est une fonction
Si enfin nous multiplions
par une fonction
périodique
en
et
développable suivant les puissances de
le
produit sera encore une fonction
pourvu que, pour
ne dépende pas des
mais seulement des
Nous aurons alors
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b485f05b10b5bf1d10c11462eab8351b2961568d)
et
![{\displaystyle {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d261eba20daa6b1123f5628a61b5d887c9e057a)
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\right)=\mathrm {H} {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d42584cb1cea82329f0a967e25166dfc9398d2f)
puisque
ou
se réduit à zéro pour
,
et est par conséquent indépendant des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Il résulte de là que le second membre de (8) sera encore une
fonction
Comme la différentiation de (4) donne
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right)=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fd5b1f18363f9082c7e1bcdf95d5574f1a5d53)
il vient
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)=\mathrm {H} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af38c7ec56cb6e7ed50ce4c8d697e15d83003ea6)
étant une fonction
d’où
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} _{k}{\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea73c2d43b494a7dcb1763a21e9f745e09b725c)
étant le déterminant des
en y comprenant, bien entendu, les
les
et les
Quant à
c’est un des mineurs de ![{\displaystyle \Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f768bd0f5ad6d36e95172cf0e044e88c5d119dc)
Pour
se réduit à 1,
à 1 ou à 0 :
est donc indépendant des
On a par conséquent
C.Q.F.D.
164.Revenons maintenant aux hypothèses du no 159 ; adoptons-en
les notations et convenons que tous les renvois se rapportent
aux équations de ce no 159. Il s’agit d’établir :
1o Que les équations (3) peuvent se déduire des équations (4), (5) et (6) : c’est là un point que nous avons plus haut énoncé sans
démonstration, mais dont je vais donner maintenant une démonstration
qui me sera utile plus loin ;
2o Que si les équations (5) et (6) sont satisfaites aux termes
près d’ordre
par rapport aux
et les équations (4) aux
termes près d’ordre
les équations (3) le seront aux termes
près d’ordre
ou, en d’autres termes, que les équations (13)
et (14) sont une conséquence des équations (7), (8) et (9).
Les équations (6), exprimant que
est une différentielle
exacte, nous donneront
(α)
|
|
|
d’où l’on déduirait, comme au no 158,
(β)
|
|
|
D’autre part, l’équation (5), différentiée par rapport à
nous donne
(γ)
|
|
|
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i}^{k},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i}^{k},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {A} _{i},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {B} _{i}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6598fc3dadf87512da735d3e950a708a61dce4)
En effet, avec ces nouvelles notations, les équations (3) et (4) vont s’écrire respectivement
(δ)
|
|
|
(ε)
|
|
|
L’équation (β) deviendra
(β′)
|
|
|
et l’équation (γ) deviendra
(γ′)
|
|
|
Je dis que de (ε), (β′) et (γ′) on peut déduire (δ), et en effet
de (β′) et (ε) on déduit
(ζ)
|
|
|
ou enfin
(θ)
|
|
|
Comme le déterminant des
n’est pas nul, on déduira de là
C.Q.F.D.
Supposons maintenant que les équations (4) soient vraies aux
termes près d’ordre
par rapport aux
et les équations (5)
et (6) aux termes près d’ordre
Alors les équations (α), (β), (γ), (β′) et (γ′) seront vraies aux
termes près d’ordre
(ε) aux termes près d’ordre
Comme le développement de
commence par des termes de
premier ordre, en multipliant (ε) par
on obtiendra une équation
qui sera vraie aux termes près d’ordre
Il suit de là que (ζ) et (θ) seront satisfaites aux termes près
d’ordre
Je dis qu’il en résulte que (δ) le sera aux termes
près de l’ordre
En effet, posons pour un instant
![{\displaystyle \alpha _{i}=\lambda \alpha _{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017e18cd6e4a03e7d4fadb33e00f31058790ec02)
de telle façon que les termes d’ordre
par rapport aux
deviennent divisibles par ![{\displaystyle \lambda ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04a089b92a9db024df2b9e9cb9dda78134174c4)
Je poserai ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}&=\lambda ^{p+1}\mathrm {C} _{i},\\\mathrm {Y} _{i}^{k}&=\lambda \mathrm {Z} _{i}^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870f8b153042c04c59210bcfa304c656c2b68d99)
Ce que je me propose d’établir, c’est que
reste fini pour ![{\displaystyle \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5ff28369e2cbac690932c15f86fab8f05d3d22)
L’équation (θ) étant satisfaite aux termes près de l’ordre
nous aurons
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\lambda ^{p+2}\mathrm {H} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71958a6b47e29ca4de7521829dab0ecf2eabea01)
restant fini pour
d’où
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {Z} _{i}^{k}\mathrm {C} _{i}=\mathrm {H} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28b9a6db461b64b1b0c51778be1619da187d47c)
Il suit de là que
reste fini pour
pourvu que le déterminant
des
ne s’annule pas pour ![{\displaystyle \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5ff28369e2cbac690932c15f86fab8f05d3d22)
Or ce déterminant se réduit pour
à
![{\displaystyle \pm \alpha _{1}'.\alpha _{2}'...\alpha _{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f6d9394f60a4b3723e2fbf72a95ad8364e6d76)
Il n’est donc pas nul.
C.Q.F.D.
165.Je reviens maintenant au problème du no 162. Je me propose
de démontrer que (7 e) est une conséquence de (4 e), (6 c′)
et (8 e), en supposant, bien entendu, comme nous l’avons fait plus
haut, qu’on ait préalablement satisfait aux équations (4 a), (4 b)
(6 a), (6 b), (8 a), (8 b), (1 a), (1 b).
Ces hypothèses peuvent se traduire de la manière suivante.
Dire que (4 a), (4 b) et (4 e) sont satisfaites, c’est dire que
l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} +\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f68497d12f1271111f29aebb2b806d00b2dd16)
Je désigne par
toute fonction développable suivant les puissances
croissantes de
et périodique par rapport aux
et aux
et par
toute fonction
dont la valeur moyenne s’annule
pour
On en déduit
(α)
|
|
|
Dire que (1 a) et (1 b) sont satisfaites, c’est dire que
(β)
|
|
|
d’où, puisque
s’annule pour ![{\displaystyle \mu =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d191c285311dcd60a77e9791d186aa2ca575dec)
(β′)
|
|
|
Passons aux équations déduites de (6 bis).
Nous supposons que (6 a), (6 b), (6 b′) sont satisfaites, mais ce
n’est pas tout ; en effet, pour établir l’équation (4 e), nous nous
sommes servi de l’équation (6 d) ou plutôt de l’équation (6 e)
que l’on en déduit en égalant les valeurs moyennes de deux
membres.
Cette équation (6 e) est donc supposée satisfaite ; mais il n 'en
est pas de même de l’équation (6 e′) que l’on en déduirait en y
changeant
en
Comment tout cela va-t-il s’exprimer dans notre nouveau langage ?
Comme (6 a), (6 b) et (6 e) sont satisfaites, nous aurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {DS} }{dw_{k}}}=\mathrm {C} _{k}+\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05259e9bf7836e1e7fdcfe387d7f7ecb3436fd3b)
désignant pour un moment le second membre de (6 bis). Si nous
changeons
en
il viendra, en désignant par
ce que devient ![{\displaystyle \mathrm {C} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01580f0638377896b60f1d6cd415dcfae432648e)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dw_{q}'}}=\mathrm {C} _{q}'+\mu ^{2}\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571928e2643c69f3cb6c0643f27b30c1cceb156b)
La valeur moyenne de
ne s’annule pas pour
parce que
(7 e′) n’est pas supposée satisfaite.
Si l’on différentie la première par rapport à
la seconde par
rapport à
et qu’on retranche, il vient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11475c5d17592325a41dcc72757db89ccb3262b8)
On aurait de même
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23001980699abbe069883b388173f276aea5b2d)
mais on aurait seulement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}=\mu ^{2}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243dc4fa67aa6146315ea40f5358f6e25cc1cb91)
sans que la valeur moyenne de
s’annule pour
Mais, si l’on
multiplie l’équation par
qui s’annule pour
il vient
![{\displaystyle n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}\right)=\mu ^{3}\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a527132de9f173c86de0b9095abcd3b2e449f4f3)
Nous aurons donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{q}\left[n_{q}\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}\right)+n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}\right)\right]=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa776832b7a66a533d6b457ef2657a29a563b29b)
avec l’équation analogue qu’on en déduirait en changeant
en ![{\displaystyle w_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e14409cd2bdb5910918205d510fad2137e724)
Cela nous permet d’écrire
(γ)
|
|
|
avec l’équation qu’on peut en déduire en changeant
en ![{\displaystyle w_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e14409cd2bdb5910918205d510fad2137e724)
Posons, comme au numéro précédent,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}'&=\mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}'&=\mathrm {Y} _{i},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}'&=\mathrm {X} _{i}^{k},\\{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}'&=\mathrm {Y} _{i}^{k},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\cos w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\;\sin w_{i}'&=\mathrm {A} _{i},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\sin w_{i}'&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}\;\cos w_{i}'&=\mathrm {B} _{i}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e5ba99e0934386b1f54a514370dc2a019bf713)
avec d’autres équations analogues où
,
sont remplacés
par les mêmes lettres accentuées.
Les équations (α) et (γ) deviennent alors
(α′)
|
|
|
(γ′)
|
|
|
avec d’autres équations analogues où
sont remplacés
par les mêmes lettres accentuées.
D’autre part, (8 a), (8 b) et (8 c) étant supposées satisfaites, il vient
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}-\mathrm {B} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fc3cb9914c54db51de5e27a5a569181be79ef3)
La combinaison de toutes nos équations nous donnera alors
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f9091cd909efc93e2662a8af23be5e503f8e3d)
avec une autre équation où
et
sont remplacés par les mêmes
lettres accentuées.
Nous avons là un système d’équations linéaires d’où l’on pourra tirer
![{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019e94c472dd33725e56fc09692b99b9c7bc7426)
et
![{\displaystyle \quad X_{i}-\mathrm {A} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b2abff90a4a729f55c07591eeee25e5ca82c38)
Pour
que deviennent les coefficients de ces équations et
leur déterminant ?
Les dérivées de
s’annulent, sauf
et
qui se réduisent
à 1. Les
s’annulent. Quant à
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}'^{k}={\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\sin w_{i}'-{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cos w_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f69082731cb2a7ce3da825d5ee44023b7c6781)
il est indépendant de
et ![{\displaystyle w_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7eb2c28ea214d2c9bad19e83e948a53d573c2a)
Le déterminant et ses mineurs est donc indépendant des
pour
de plus, ce déterminant ne s’annule pas.
Il vient donc
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a632063d894797499edcb7dc3f8a052a4db58e41)
ce qui veut dire que (7 a), (7 b), (7 e) sont satisfaites.
C.Q.F.D.
Il me reste encore à établir, ainsi que je l’avais annoncé plus
haut, que l’équation E du no 162 est une conséquence de (A), (B),
(D), (4 a), (4 b), (1 a), (7 a), (8 a), (6 a), (6 b).
De (4 a) et (4 b) on déduit
(α′′)
|
|
|
étant le premier nombre de (α).
De (1 a) on déduit
![{\displaystyle {\frac {d\lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}=\mu \mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1238134fe7b54c91092bf9e67d03248fdff7025)
et
(β′′)
|
|
|
Passons aux équations dérivées de (6 bis). Comme (6 a) et (6 b)
sont satisfaites, il vient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dw_{k}}}=\mathrm {C} _{k}+\mu ^{2}\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02dc2bbab8db39d42cb5e3a78e44d83922f3cbb3)
De même, (6 a′) est satisfaite, mais (6 b′) ne l’est qu’à une fonction
près des
et en effet nous avons déduit l’équation (D) de
l’équation (C) équivalente (6 b′) en en retranchant une autre équation
dont les deux membres sont des fonctions inconnues des
je puis donc écrire
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dw_{q}'}}=\mathrm {C} _{q}'+\mu ^{2}\mathrm {H} +\mu \mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d347496ea0b744618af947e9998b15bbbaeb156e)
étant indépendant des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
On déduira de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}}}&=\mu ^{2}\mathrm {H} ,\\{\frac {d\mathrm {C} _{k}}{dw_{q}}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}}{dw_{k}}}&=\mu ^{2}\mathrm {H} ,\\{\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}&=\mu \mathrm {H} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479bb12b71309bc59fcea3e7967eb28715583c13)
ou, puisque
est divisible par ![{\displaystyle \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e1ef161a49a22b500d63307460ad92eeb6a16)
![{\displaystyle n_{q}'\left({\frac {d\mathrm {C} _{k}'}{dw_{q}'}}-{\frac {d\mathrm {C} _{q}'}{dw_{k}'}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347b8d705e5517ccab3865d619c63d59b91771a4)
ou enfin
(γ′′)
|
|
|
étant le premier membre de (γ) ou bien encore ce premier
membre où
est remplacé par ![{\displaystyle w_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4e14409cd2bdb5910918205d510fad2137e724)
Les équations (7 a), (8 a) et (D) nous donnent
![{\displaystyle {\frac {d\tau _{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fd6375dc26467b841cffaee3aa1819c4c1365f)
La combinaison de toutes nos équations nous donne alors
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3eed20148cdb81cf5ab82664b2082f80ff6a2ac)
équations linéaires d’où nous tirerons, comme plus haut,
![{\displaystyle {\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411dbe1644b123880bc29c330b4ba6d872670e89)
C.Q.F.D.
166.Après cette longue digression, je reprends le problème du
no 162 au point où je l’avais laissé. Il s’agissait de la détermination
de
et
à l’aide de (4 e), (8 e) et (6 c′).
Pour cela nous allons supposer les deux termes de nos équations
développées suivant les puissances de
et égaler dans les deux
membres les termes de même degré.
L’équation (4 e) commencera par des termes du premier degré
et, égalant les termes du premier degré, on obtiendra
(4 b)
|
|
|
Le second membre de (6 c′) commençant par des termes du
premier degré, nous trouverons d’abord
![{\displaystyle {\big [}\mathrm {S} _{1.0}{\big ]}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05eb3ba08844d3f844e77333ca2cc91231dfef3)
Il viendra ensuite, en égalant les termes du premier degré,
![{\displaystyle {\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\left[{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{1.0}{\frac {d{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)}{dw_{k}'}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1be9a1a29a21d38a0f73a53710a190d07acfb7)
ou bien
(6 f)
|
|
|
De sorte que l’équation (4 f) devient
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea09fb20d0e5c7ac92704901a2be94057a44b6d)
ce qui nous donne
et par conséquent les ![{\displaystyle {\big [}x_{k}^{1.0}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5689ae99f27308bfa82fa17c1d7bd1e89537dc5)
Il reste à déterminer les
et à satisfaire à l’équation (8 f)
obtenue en égalant dans (8 e) les termes de degré zéro par rapport
aux
À la rigueur, l’équation (4 f) peut suffire pour cela, si nous
nous rappelons que les
et les
doivent être des constantes
parce que les
et les
étant développables suivant les
puissances des
et des
les termes de degré zéro
par rapport aux
doivent être indépendants des
Qu’est-ce maintenant que la fonction
du second membre
de (4 f) ? Pour obtenir cette fonction, il faut évidemment : prendre
la fonction
y remplacer les
les
les
les
par les
les
les
les
en prendre la valeur moyenne ; considérer
dans cette valeur moyenne les termes du premier degré par rapport
aux
et aux
y remplacer les
et les
par les
et
les
sera donc de la forme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72134302cfa9be5ff926b24f7a9c824eb1bc3236)
les
et les
étant des constantes. L’équation (4 f) s’écrit alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}-\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1}+\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a903d49c925b1b4274d1086ac3942c824e6448)
Si les
et les
doivent être des constantes, on ne pourra
y satisfaire qu’en annulant la constante et en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {B} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}},&{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {C} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695094bb373ad8cff89133ad9b687a31d8bfb04f)
Je dis de plus qu’on satisfera de la sorte à (8 f), car on satisfait ainsi aux équations (23) du no 155 (p. 149) dont (8 f) n’est
qu’une combinaison simple qui s’obtient en les ajoutant après les
avoir multipliées par
et
Égalons maintenant les termes du second degré dans (4 e), il viendra
(4 g)
|
|
|
Égalons de même les termes du second degré dans (6 c′), il
viendra
(6 g)
|
|
|
L’équation (4 g) devient alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.2}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4145daf9dd28d78f7f60ec045be7ff9cb13f4618)
ce qui nous donne
et par conséquent les ![{\displaystyle {\big [}x_{k}^{1.1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5baf3573be92f63e3c78e09a95b896a8a7961bf7)
Considérons maintenant l’équation (8 g) que l’on obtient en
égalant dans (8 e) les termes du premier degré. On pourra également
l’obtenir en faisant
dans les équations (25) du no 155
(p. 149), multipliant la première par
la seconde
par
et ajoutant. Faisons cette opération, en nous rappelant
que la constante que nous désignions par
dans le no 155
est maintenant représentée par
il viendra
(8 g)
|
|
|
Nous connaissons maintenant
l’équation se réduit donc à
![{\displaystyle \Delta ''{\big [}y_{i}^{1.1}{\big ]}=\Phi +n_{i}'^{2.1}\alpha _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8f0c7b60df9420fe0369eeb852c48dcb091629)
On déterminera
de façon que la valeur moyenne du
second membre soit nulle et l’équation déterminera ensuite aisément
et par conséquent les
et les
Poursuivant de la sorte, on déterminerait de même les
les
les
.
Les
les
et les
étant ainsi déterminés, on calculerait
les autres quantités par les méthodes du no 162. Chaque quantité devrait être déterminée par le même procédé que celle qui
n’en diffère que parce que son indice (relatif au degré en
) est
moins élevé d’une unité.
Il faudrait, bien entendu, avoir soin d’observer le même ordre
qu’au no 162.
Les méthodes du Chapitre XV permettent donc d’atteindre le
même but que celles du Chapitre XIV. Quelques calculs sont un
peu simplifiés. De plus, ces méthodes nouvelles ont un avantage
qu’il importe de signaler et que ne possédaient pas celles du Chapitre
précédent : c’est qu’elles portent en elles-mêmes la démonstration
de leur propre possibilité. Elles pourraient donc être
exposées sans que l’on ait à passer par l’intermédiaire des Chapitres
IX à XIII, ni à parler des nombreux changements des
variables que nous avons dû faire dans ces Chapitres et qui ne
sont utiles que pour la démonstration, mais non pour les calculs.