CHAPITRE XIV.
CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
151.Il ne sera peut-être pas sans intérêt de revenir sur les
résultats obtenus dans les trois Chapitres précédents et d’en
dégager la signification. Mon but est d’ailleurs avant tout de
montrer comment on pourra calculer directement les coefficients
des développements que nous avons appris à former d’une manière
indirecte et dont nous avons ainsi démontré l’existence. Cette
existence une fois établie, le calcul de ces coefficients peut se faire,
en effet, d’une façon plus rapide, sans qu’on doive s’astreindre aux
nombreux changements de variables qui nous ont été nécessaires
plus haut.
Je commencerai par considérer le cas particulier des équations
du no 134.
Dans ce no 134, nous avons montré que, par des procédés analogues
à ceux du no 125 légèrement modifiés, on peut satisfaire
formellement à nos équations canoniques en faisant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac5cdcdb3f027fe42e51b749708eb5cc68e0aeb)
les
et les
étant des fonctions périodiques de quantités que
j’appellerai
sauf
qui devra se réduire à
les
sont des
constantes arbitraires dont dépendent d’ailleurs les autres fonctions
et
et l’on a
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d8c8b87c6261130f0e05032d735d6cb15808e3)
étant une constante d’intégration et
une constante dépendant
de
et des
et développable suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
On peut, par les procédés du no 126, donner à ces séries une
infinité de formes et cela de telle sorte que les valeurs moyennes des fonctions périodiques
et
soient telles fonctions arbitraires
que l’on veut des
Observons qu’après comme avant la transformation de ces séries
par les procédés du no 126, l’expression
(considérée
comme fonction des
pendant que les
seront regardés comme
des constantes) devra être une différentielle exacte.
Soit donc encore
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba0fecdd2b21820ccca2a9236ab3da991993012)
Supposons qu’il y ait
variables conjuguées deux à deux ; que
les variables de la première série soient de deux sortes ; nous
appellerons celles de la première sorte les
celles de la deuxième
sorte les ![{\displaystyle x'_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3fc5f315ea4e39f17d98369894e03b446598d2)
Les variables de la deuxième série conjuguées des
s’appelleront
les
et celles qui sont conjuguées des
s’appelleront
les
de sorte que nos équations canoniques s’écriront
(1)
|
|
|
Je suppose que
dépende des
mais non des
des
ni
des
que
est périodique par rapport aux
et aux
que, si l’on appelle
la partie moyenne de
(en considérant pour un instant
comme une fonction périodique des
seulement,
mais non des
),
ne dépende pas des
mais seulement des
et des
Ce sont, en sommé, les mêmes hypothèses que celles du
no 134.
Nous avons vu alors qu’on peut satisfaire formellement aux
équations (1) par des séries de la forme suivante
(2)
|
|
|
les
étant des fonctions périodiques des
et
des
dépendent en outre des constantes
et
et dont les
valeurs moyennes peuvent être des fonctions arbitrairement
choisies de ces constantes, ce qui se verrait par un raisonnement
tout pareil à celui du no 126. On a de plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&w'_{i}&=n'_{i}t+\varpi '_{i}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab7372bf23ffd0eb9166334500dbf09903e4a65)
les
et les
sont des constantes d’intégration ; tes
et les
sont développables suivant les puissances de
de sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}^{k},&n'_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}'^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28188a43c6b8f1df8249d913dc97c62ebdc1f67a)
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}^{0}&\gtrless 0,&n_{i}'^{0}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edd22473779c9daf3cb7c4a00ae071e5369bd1c)
La possibilité d’un pareil développement étant établie par le
no 134, je me propose d’en calculer directement les coefficients.
À cet effet, je suppose que, dans les équations (1), on substitue
les développements (2) et que, par conséquent, on ne regarde
plus nos variables comme exprimées directement en fonctions du
temps, mais comme dépendant du temps par l’intermédiaire des
et des
ces équations (1) deviendront
(3)
|
|
|
Après la substitution des développements (2), il viendra d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d970cab3480a2d59fcb8b3a7217ffd7c6f11c20f)
équations analogues aux équations (9) et (10) du no 127, et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}'^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}'^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e32413a6bf3ed251c74e983b13792a6addf492)
Les
seront des fonctions des
des
des
des
et des mêmes lettres accentuées. Elles seront périodiques
par rapport aux
et aux
Recherchons, comme dans le no 127, de quelles variables dépendent
toutes ces quantités. Comme
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy'_{i}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edfd066c2c53adbc0761438ad9c4a4e3cbece75)
on voit que les
les
dépendront seulement des
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&\ldots ,&x_{i}^{k-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{k-1}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500bafce4dedaf7f11221aedaeff1775273b9e44)
et des mêmes lettres accentuées ; tandis que les
dépendront en
outre des
mais non des
des
des ![{\displaystyle y_{i}'^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23dadd3f1e5bc216082a0ab1d1fb4bc222c6357c)
Considérons l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9aadadc46b16acd3b3bceedce8b266f3fa5cc1a)
Substituons-y, à la place de
son développement (2) et à la place
des
leur développement suivant les puissances de
Cette
expression deviendra développable suivant les puissances de
et
pour employer des notations analogues à celles du no 127, j’écrirai
son développement sous la forme suivante
(4)
|
|
|
Il faut convenir que le signe
exprime une sommation étendue
à toutes les valeurs de
et à toutes les valeurs de
depuis 0 jusqu’à
l’infini, et le signe
une sommation étendue à toutes les
valeurs de
et à toutes les valeurs de
depuis 1 jusqu’à l’infini.
Il convient de se rappeler que
et d’adjoindre
aux équations (4) deux autres équations de même forme où les
lettres
et
sont remplacées par les
mêmes lettres accentuées.
Nous écrirons de même
(5)
|
|
|
Il faut convenir que la sommation
s’étend à toutes les valeurs
de
de 1 à l’infini et la sommation
à toutes les valeurs de
de 2 à l’infini et nous adjoindrons à cette équation (5) trois autres
de même forme où les lettres
![{\displaystyle x_{i},\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ebcbf89929d2a841b31ed7ee3e0d4472f471b8)
seront respectivement remplacées par
![{\displaystyle y_{i},\quad y_{i}^{p-1},\quad y_{i}^{0},\quad \mathrm {V} _{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7db9f9be5873a88cda8b6d4324e1b2e62ba5bb)
ou par
![{\displaystyle x'_{i},\quad x_{i}'^{p-1},\quad x_{i}'^{0},\quad \mathrm {U} _{i}'^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f330d3cd46ef610cc15ed264715c75d4b5e2083)
ou par
![{\displaystyle y'_{i},\quad y_{i}'^{p-1},\quad y_{i}'^{0},\quad \mathrm {V} _{i}'^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7015716956f8ec5f90448f04e810a3f39958b0f3)
Nous obtiendrons alors une série d’équations analogues aux
équations (14) du no 127 et qui s’écriront, en remarquant que les
et les
sont des constantes et que les
et les
se réduisent à
et ![{\displaystyle w'_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f530fcf2d9bac867434850b108168f154eef088)
(6)
|
|
|
Pour p
le premier membre de chacune des équations (6)
doit être supprimé et il en est encore de même du second terme
de ce premier membre pour
Il suffit, pour s’en rendre
compte, de se rappeler la signification conventionnelle attribuée
aux signes
et
dans les équations (4) et (5).
Soit maintenant
une fonction périodique quelconque des
et des
Convenons de représenter par
la valeur moyenne
de
considérée pour un instant comme fonction périodique
des
seulement. Il résulte de cette définition que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dw_{i}}}\right]&=0,&\left[{\frac {d\mathrm {U} '}{dw'_{i}}}\right]&={\frac {d[\mathrm {U} ]}{dw'_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd2fe51eba34b1f7879cab436bb48a797550285)
Nous représenterons par
la valeur moyenne de
considérée
comme fonction périodique à la fois des
et des
C’est
une constante, indépendante des
et des
tandis que
indépendante
des
était encore une fonction périodique des
Prenons
alors dans les équations (6) les valeurs moyennes des deux membres, il viendra
(7)
|
|
|
Les premiers membres doivent être supprimés pour
Voyons comment ces équations (6) et (7) nous permettront le
calcul des coefficients du développement (2).
Dans les équations (6) faisons d’abord
Il vient (puisque
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{0},\quad \ldots ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ea9e4a414c9bbd21a97a4cd98638cbcea844b6)
sont nuls
et que les premiers membres doivent être supprimés, ainsi que je
l’ai dit plus haut)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=0,&\mathrm {Y} _{i}^{0}&=n_{i}^{0},&\mathrm {Y} _{i}'^{0}&=n_{i}'^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053ca730811993b73c0885c2de1eff881e6a5355)
Ces équations nous donnent les valeurs des
qui, d’ailleurs, nous
sont déjà connues et nous apprennent que les
sont nuls, puisque
les
le sont.
Considérons maintenant les équations (7) en y faisant
il viendra (en observant que
sont nuls)
(8)
|
|
|
Pour interpréter ces équations, il convient de rechercher ce que
c’est que les quantités
Pour avoir
et
, il faut
envisager les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy'_{i}}},\quad -{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666f8941285eeedd7597a9984be6e92636de227b)
et y remplacer les
les
les
et les
par
![{\displaystyle w_{i},\,w'_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a537942c436d11db8d0a69598f07f73c6243bc2e)
Soit
le résultat de cette substitution dans
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw_{i}}},&x_{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dw'_{i}}},&\mathrm {Y} _{i}'^{1}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}'^{0}}},\\&&\left[\mathrm {F} _{1}^{\star }\right]&=\mathrm {R} ^{\star },&&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfc3237d35e288e3240f3a8183a2cd5fca25cd2)
étant le résultat de la même substitution dans ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)
D’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathrm {X} _{i}^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw_{i}}}=0,&\left[\mathrm {X} _{i}'^{1}\right]&={\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a47d69c75431d5064a1294cec8565366096a51)
![{\displaystyle \left[\mathrm {Y} _{i}'^{1}\right]=-{\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74f72158283922049898e492abffc69d88d53fd)
D’après nos hypothèses,
ne dépend pas des
et des
ni par
conséquent
des
et des
Donc
et
sont nuls, et
ne dépend que des
et
des
et est, par conséquent, une constante.
Des quatre équations (8), les deux premières sont donc satisfaites
d’elles-mêmes ; la quatrième peut nous donner
puisque
le premier membre est une constante.
Il vient ensuite (en appelant
le résultat de la substitution
des
à la place des
dans
)
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}^{1}=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}^{\star }}{dx_{i}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e32b1805e7d3b80d8d00e69d4f2679ba0adb55)
d’où
(9)
|
|
|
Les
doivent être des constantes, et il en est de même des
il doit donc en être de même des ![{\displaystyle [x_{k}^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b1f3bacc51a1b92ea06e7d2233dedaa4537168)
En effet, pour avoir
il faut, dans
(no 134), remplacer
les
et les
par les
et les
ou, ce qui revient au même, si
l’on fait cette substitution dans
on aura
![{\displaystyle x_{k}^{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32ec574943e29c24699da3e22e50d0f5ef597a4)
Or
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{1.k}y_{k}+\mathrm {S} '_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc878e299f13b51f3f84a05df1dadc11ae944715)
étant périodique par rapport aux
et aux
et les
étant
des constantes ; on aura donc
![{\displaystyle x_{k}^{1}=\alpha _{1.k}+{\frac {d\mathrm {S} '_{1}}{dw_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca10cb63912b8c22590a6204fdc51a8d57c37f55)
d’où
C.Q.F.D.
Envisageons la première des équations (7) en y faisant
si les
sont des constantes, il restera
![{\displaystyle \left[\mathrm {X} _{i}^{2}+\mathrm {Z} _{i}^{2}+\mathrm {U} _{i}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e530e062e2234f687f05027c457afbce3806a8f)
Or, il résulte des définitions que
![{\displaystyle \left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]=0,\qquad \mathrm {U} _{i}^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dea9f325ebd714ab62dd0fdcd62c9b1724f0ccf)
Il vient donc
![{\displaystyle \left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f1524adbdbd975a3bac5972e20a08c82e8e0f3)
Cette conclusion, où nous avons été conduit en nous appuyant
sur la possibilité du développement démontrée dans les Chapitres
précédents, peut être obtenue directement.
On a en effet
(10)
|
|
|
Il va sans dire que dans
et
je suppose les
les
remplacés par les
les
Il est clair que la valeur moyenne de
est nulle ; il me reste
donc à montrer que la somme algébrique des valeurs moyennes des
quatre premiers termes du second membre de (10) est également
nulle.
En effet, supposons les expressions
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},\quad y_{k}^{1},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}},\quad y_{k}'^{1},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e719a718f70c206c5f2c3283171a96d1e46e59df)
développées en séries trigonométriques procédant suivant les sinus
et les cosinus des multiples des
¡ se trouvera ainsi développé
en une série de même forme et il s’agit de calculer les termes de
cette série qui sont indépendants des ![{\displaystyle w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f650d2bd33c7ab6ec1f0a25fbf56bef18bb01)
Il suffit pour cela de calculer les termes indépendants des
dans le produit
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d04fd98d1ff07620292c9ee1edc5ccd87b1805)
et dans tous les autres produits analogues.
Or on obtiendra les termes constants de ce produit en considérant
un terme de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c99c9c1c0ae9e3d720b62e4b748b5f81820a7e6)
dépendant de
![{\displaystyle \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede9f2bba64f9557bee9d0a4e637c28a0db3efb)
(si je suppose que le nombre des
soit égal à
) ou de
![{\displaystyle \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c985d6171df810415697fc359eb5da4f0547bf05)
par un terme de
dépendant du même cosinus ou du même sinus.
Observons d’abord que nous n’avons pas à nous inquiéter du
cas où
![{\displaystyle m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{q}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461d37569c573e2c369caec29916a8a23b066a69)
En effet,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b537325bade16c8522e473b9d5d8d0aca7d80a8c)
étant une dérivée par rapport à
d’une fonction périodique par
rapport aux
ne peut pas contenir de termes indépendants des
Cela n’est pas sans importance, et en effet il en résulte que nous
n’avons pas besoin de calculer les
![{\displaystyle \left[y_{1}^{k}\right],\quad \left[x_{1}^{k}\right],\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed042de4a9fe309c94233ddca9edd62f02dd07c5)
Or les équations (6) vont bien nous donner les
les
à
une fonction arbitraire près des
mais elles ne nous donneraient
pas les valeurs moyennes de ces fonctions. Nous venons heureusement
de voir qu’elles nous sont inutiles.
Soit donc
![{\displaystyle m_{1},\quad m_{2},\quad \ldots ,\quad m_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375163325c566003c08b5bad83bb9755d6170c60)
un système quelconque d’entiers positifs ou négatifs et n’étant pas
tous nuls à la fois. Posons
![{\displaystyle m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{q}w_{q}=h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79fb9affd1c6225ea9bcd4bb06e2e1fb0b2809)
Nous chercherons dans les deux facteurs de chacun des termes du
second membre de l’équation (10) les termes en
et en
et
nous verrons s’ils donnent des termes indépendants des
dans ![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e786ea54ee707cbcf73594299b6c4dbf2325144)
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h+\mathrm {B} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e69aed29b4791c158ef4a068dc7dde23bbd3de)
les termes de
dépendant de
Il est clair que
et
seront des
fonctions des
des
et des ![{\displaystyle w'_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852df1e6f416626a882077ea6f493563e3d5ef3a)
Les termes correspondants seront
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
(les lettres
et
sont mises, pour abréger, pour
et
).
Maintenant nous avons les équations (6), en y faisant
qui
deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=+{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}}},\\{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9fc0d4e741692fa05bb1c84b02e07dd27ce8eff)
avec deux autres équations où les lettres
(et non pas
)
et
sont remplacées par les mêmes lettres accentuées. Si donc
nous posons
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{q}n_{q}^{0}={\frac {1}{\mathrm {M} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e61ad0172a0f9acfa63fe9eaa9b8011b99ee8ae)
nous verrons que les termes en
et
seront
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
Dans
|
|
|
Si l’on remplace dans le second membre de L’équation (10), on
voit que tous ces termes s’annulent. On a donc bien, comme nous
l avions prévu,
![{\displaystyle \left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f1524adbdbd975a3bac5972e20a08c82e8e0f3)
Cela posé, en faisant dans les équations (6)
on pourra calculer sans peine
![{\displaystyle y_{i}^{1},\quad x_{i}^{1},\quad y_{i}'^{1},\quad x_{i}'^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40667bb30ca6716cabc151939d6f4d2280cc322c)
à une fonction arbitraire près des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
Nous connaissons alors
et
![{\displaystyle y_{i}^{1}-[y_{i}^{1}],\quad x_{i}^{1}-[x_{i}^{1}],\quad y_{i}'^{1}-[y_{i}'^{1}],\quad x_{i}'^{1}-[x_{i}'^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7603c9638682ddbe9b690a811e7758e55f697b8)
Nous savons de plus que
est une constante, c’est-à-dire une
fonction des
et des
et, d’après la remarque faite au début
et analogue à celle de la fin du no 126, nous savons que cette fonction
peut être choisie arbitrairement. Nous devons donc conclure
que
est entièrement connu.
Nous avons ensuite à déterminer
![{\displaystyle [x_{i}'^{1}]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88b0ed7d918af81f6bf723fb976b933952d7148)
et
![{\displaystyle \quad [y_{i}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663f23070a64e402f4d3a0724dc21a9159a15799)
Nous nous servirons pour cela des équations (7), en y faisant
Si nous remarquons que
![{\displaystyle \left[\mathrm {Z} _{i}'^{2}\right]=\left[\mathrm {U} _{'}i^{2}\right]=\left[\mathrm {T} _{i}'^{2}\right]=\left[\mathrm {V} _{i}'^{2}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce060efb1c7648d0785d295ae1e572bb5e207c9)
nous verrons qu’elles deviennent
(11)
|
|
|
Nous avons donné plus haut [équation (10)] l’expression de
il suffit, pour en déduire celle de
d’y changer
en
et, pour
en déduire celle de
d’y changer
en
On aura donc dans
par exemple, des termes de la forme
suivante :
(12)
|
|
|
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dw_{k}}}y_{k}^{1}\right]&=\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dw_{k}}}\left(y_{k}^{1}-[y_{k}^{1}]\right)\right]+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}\,dw_{k}}}[y_{k}^{1}]\,;\\[0.5ex]\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{1}\right]&=\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}\left(x_{k}^{1}-[x_{k}^{1}]\right)\right]+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dw'_{i}\,dx_{k}^{0}}}[x_{k}^{1}]\,;\quad \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7742d0fed7fc380fc3d4b5f36bf7d138f866656f)
Mais, par hypothèse,
ne dépend que des
et des
par
conséquent les dérivées de
par rapport à
sont nulles. D’où
cette conclusion :
Les termes (12) qui entrent dans le second membre de la première
équation (11) ne dépendent que de
![{\displaystyle y_{k}^{1}-[y_{k}^{1}],\quad x_{k}^{1}-[x_{k}^{1}],\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49397bc8dc77cf8348623f7ce057f44e3d1527d)
qui sont connus, et non pas de
qui sont inconnus.
est donc une fonction connue des
et nous pouvons, par
conséquent, déduire de là la valeur de
à une condition toutefois, c’est que
![{\displaystyle {\big [}{\big [}\mathrm {X} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14abb8eb2edbdd7604ec9104db0208de7a376d60)
Cette condition doit être remplie d’elle-même, puisque nous
savons d’avance que le développement est possible.
Pour la même raison,
est une fonction connue ; en effet,
nous connaissons maintenant
mais nous ne connaissons
pas encore
ni
Or les termes de
qui dépendent
de
et de
s’écrivent
![{\displaystyle -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}}}[y_{k}^{1}]-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}'}}[y_{k}'^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1857085e9439f5b2201a540c82b90171f30343)
et, comme
ne dépend pas des
ni des
ils sont nuls et la
seconde équation (11), jointe à
![{\displaystyle {\big [}{\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=n_{i}'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8ca24b4ad4b9ca36b65358e13fae925865bdaa)
nous donnera
et ![{\displaystyle [y_{i}'^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4292c038d70fcafe1408248bd13b11871ce36085)
Ayant ainsi déterminé
et
à l’aide des équations
(7, 3, 2) et (7, 4, 2), je veux dire de la 3e et de la 4e équation (7),
où l’on a fait
occupons-nous de déterminer
La manière la plus simple est de se servir de ce fait que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3ade2c1bd0a3bc7b7d93aa458442481c76f9f7)
doit être une différentielle exacte.
Si dans cette expression nous remplaçons
par leurs
développements (2), le coefficient de chacune des puissances de
devra être une différentielle exacte ; les différentielles suivantes
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9268f3d3036faf0fc2a052815a6f7925bbeda01c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma '\left(x_{i}^{1}\,dw_{i}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{1}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{2}\,dw_{i}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{2}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c12fcd1e10f62550a346a006a83f331f374c27b)
devront donc être exactes. Par le signe
on doit entendre que la
sommation doit être étendue à tous les indices
et de plus aux
lettres accentuées.
S’il y a, par exemple,
lettres
sans accent et
lettres
affectées d’accent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i}&=x_{1}^{0}\,dw_{1}+x_{2}^{0}\,dw_{2}+\ldots +x_{q}^{0}\,dw_{q}\\&+x_{1}'^{0}\,dw_{1}'+x_{2}'^{0}\,dw_{2}'+\ldots +x_{\lambda }'^{0}\,dw_{\lambda }'.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74724ca16994732ff987c71d9572650d738cfaf6)
Comme, d’autre part, les
et les
sont des constantes,
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{0}\,dy_{i}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c297ae6d3db05f4536c218c444c6ca0a0557d8b)
sera toujours une différentielle exacte, de sorte que nous pourrons écrire
(13)
|
|
|
De plus,
devront être des fonctions des
et
des
dont les dérivées seront périodiques.
Voyons comment l’équation
![{\displaystyle \Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}=d\varphi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf1ba587b937f5311d095f9638ca424f3862d7d)
va nous permettre de déterminer
elle nous donnera
![{\displaystyle x_{k}^{2}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e765e53ee9fd181c514f82eaf4c85c80cac43d)
Mais, comme les dérivées des
doivent être périodiques, on aura
![{\displaystyle \left[{\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0b1e7467a72f5fa567dc15ba11110843fbda17)
ce qui nous donne
(14)
|
|
|
Dans cette équation (14) tout est connu, sauf
Nous connaissons,
en effet,
et nous connaissons également
puisque nous connaissons
Quant à la constante du
second membre, une remarque faite plus haut montre qu’elle
pourrait être choisie arbitrairement.
Nous pouvons donc calculer
Calculons maintenant
à l’aide de l’équation (7, 2, 2). Cette
équation s’écrit
(15)
|
|
|
d’où l’on tire, en égalant les valeurs moyennes prises par rapport aux ![{\displaystyle w',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db180d228f497a074db385c4ba4d7ee174a514ed)
(16)
|
|
|
Or
ne dépend que des
et
Les
et
sont entièrement connus ; au contraire, nous ne connaissons que
et
Voyons donc comment
dépend de
et
de
On trouve
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}^{2}=-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{2}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}+\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778d3a83296c7b5da1c0b2e6d248e5b27f60595b)
étant entièrement connu.
On en déduit
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}\mathrm {Y} _{i}^{2}{\big ]}=&-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{2}\right]\\&-{\boldsymbol {\sum }}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\left(y_{k}^{1}-\left[y_{k}^{1}\right]\right)\right]-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}^{0}\,dw_{k}}}\left[y_{k}^{1}\right]+\left[\mathrm {A} \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adef30a74c39ac2bb1e89177574c3fd14210255)
Comme
ne dépend pas de
et que les
sont nuls,
est entièrement connu et les équations (16) et (15) nous donneront
et ![{\displaystyle [y_{i}^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b29f7dc594d73eda62ee967a42c3394c85a562)
Nous déterminerons ensuite et successivement
par (6, 1, 2),
par (6, 3, 2),
par (6, 4, 2),
par (6, 2, 2),
par (7, 3, 3),
et
par (7, 4, 3),
par (14, 3) [je veux dire par une équation déduite de la troisième
équation (13), comme (14) l’a été de la seconde équation (13)
un peu plus haut],
et
par (7, 2, 3), puis
et
et
etc., etc.
Si l’on a soin de faire le calcul dans cet ordre, on ne sera jamais
arrêté ; car chaque équation ne contient qu’une seule inconnue,
celle qu’il s’agit de déterminer.
Je rappelle d’ailleurs que les valeurs moyennes
![{\displaystyle [[x_{i}^{k}]],\quad [[y_{i}^{k}]],\quad [[x_{i}'^{k}]],\quad [[y_{i}'^{k}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190606b2b030d268e5f395593f3ee8791b3e66be)
peuvent être choisies arbitrairement en fonctions des
et des ![{\displaystyle x_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea9ec1ec5274d0a72b36151fb7df2a2eda6dbb)
Pour que l’intégration soit possible, certaines conditions doivent
être remplies ; mais nous savons qu’elles le sont (ce qui ne serait
sans doute pas facile à démontrer directement), puisque nous
savons d’avance que le développement est possible.
Application au Problème des trois Corps.
152.Nous avons vu au Chapitre XI comment les principes du
no 134 sont applicables au Problème des trois Corps. Il en sera
de même évidemment des résultats du numéro précédent qui se
déduisent immédiatement de ces principes. Dans ce Chapitre XI,
nous avons successivement adopté les variables suivantes
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
Avec le système (3) les équations du mouvement prennent la
même forme que celles du no 134 et du numéro précédent.
Mais le changement de variables qui fait passer du système (2)
au système (3) est assez pénible, et le plus souvent les excentricités
sont assez petites pour qu’on puisse l’éviter par l’artifice que
j’ai indiqué à la fin du no 140. Je rappelle en quoi il consiste. Dans
la fonction
les termes de
qui dépendent des puissances des
excentricités et des inclinaisons supérieures à la troisième sont
très petits. Si donc je pose
![{\displaystyle \mu \,\mathrm {F} _{1}=\mu \mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493c46ed91da7add382cb988fbd9f2c8f3c526f7)
représentant l’ensemble des termes de degré 3 au plus et
les termes de degré 4 au moins,
sera très petit et
sera fini.
Je pourrai écrire alors
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}(\mathrm {F} _{2}'+\mathrm {F} _{2})+\mu ^{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619f6edfab7493b61b0282ef90c2bcd4de5b5c2f)
et
sera encore développé suivant les puissances de
Mais, si
l’on considère
comme fonction périodique de
et
sa valeur
moyenne ne dépendra pas des
de sorte qu’avec les variables (2)
les conditions du no 134 sont remplies.
Il est vrai que la signification du paramètre
devient ainsi un
peu différente de celle que nous lui attribuons d’ordinaire ; mais
cela importe peu, puisque le but de ce paramètre est seulement
de mettre en évidence l’ordre de grandeur des différents termes.
Une fois ces conventions faites, les résultats du numéro précédent
deviennent immédiatement applicables au problème qui nous
occupe. Mais, afin d’éviter les difficultés qui ont fait l’objet du
Chapitre XII, j’adopterai, au lieu des variables (2), les variables (1),
ce qui amènera dans ces résultats quelques modifications sur lesquelles
il est nécessaire d’insister. Pour plus de symétrie dans les
notations, j’écrirai dans le reste de ce Chapitre
et
au lieu de
et
au lieu de
au lieu de
Il ne peut, en effet,
en résulter aucune confusion.
Nous savons que les variables (2) sont, au point de vue formel,
développables suivant les puissances croissantes de la manière
suivante
(4)
|
|
|
Les
sont des fonctions périodiques des
et
des
sauf le cas de
et les
sont des constantes ;
et
se réduisent à
et
et
à ![{\displaystyle w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c37a4edadae08df8b41bc2ff57756280e302ba)
Si nous adoptons les variables (1) on aura de même
(4′)
|
|
|
où
et
seront des fonctions périodiques des
et des
et il
viendra, si l’on égale pour abréger à
la constante ![{\displaystyle {\sqrt {2\rho _{i}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2147617bc4fd50f881365846dcab3167b303cf46)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sigma _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\cos \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\cos w_{i}',\\\tau _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\sin \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\sin w_{i}'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22b344ba277e42bc6d5964638b8f54ac1f1b497)
J’ajoute que
![{\displaystyle \Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d85e772872894cc675dc0c84dc614c0359099fe)
devant être une différentielle exacte, il en sera de même de
![{\displaystyle \Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386c2c6963d3f2f9a2bfa0445dfa231a87800fd)
puisque
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}={\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,d(\sigma _{i}\tau _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a9b32e9006854cde9660acabb81f829f87163a)
Si nous donnons à
le même sens que dans le
numéro précédent, nos équations vont s’écrire
(5)
|
|
|
équation analogue à l’équation (3) du numéro précédent comme
les développements (4) sont analogues aux développements (2) du
numéro précédent.
À l’équation (5) il faut naturellement en adjoindre d’autres où
les lettres
et
sont respectivement remplacées par
et
et
et
et
et
J’ajoute que le nombre des
paramètres
est de 2 dans le Problème des trois Corps et de
dans le Problème des
Corps ; tandis que le nombre des paramètres
est de 4 dans le Problème des trois Corps, de
dans le Problème des
Corps dans l’espace, et seulement de
dans le Problème des
Corps dans le plan.
Substituons les développements (4) et ceux des
et des
dans
les équations (5), les deux membres de ces équations deviendront développables selon les puissances de
et nous pourrons écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p},&{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{i}^{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\Theta _{i}^{p},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c18e4ecb03be42226cbac5af748a312cb1aaeca)
équations analogues aux équations (9) et (10) du no 127 et à
d’autres équations rencontrées au numéro précédent.
Poursuivons toujours le calcul comme au numéro précédent et posons
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {d\Lambda _{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {Z} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027337143665ecceb5fa345b84cb47bd795a262)
équations où les signes
et
ont même sens que dans l’équation (4)
du numéro précédent et à laquelle il faut adjoindre
d’autres équations où les lettres
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda _{p},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e21c99c4ead45e6f3a65d6882460794e933cf1)
sont remplacées par les mêmes lettres accentuées ou par
![{\displaystyle \lambda ,\quad \lambda _{p},\quad \lambda _{0},\quad \mathrm {T} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ea3521ba83c5d659f2a5b366e54304b39840b5)
ou par les mêmes lettres accentuées, ou par
![{\displaystyle \sigma _{i},\quad \sigma _{i}^{p},\quad \sigma _{i}^{0},\quad \mathrm {S} _{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b5bdcad25eb416c9335c5e196c5d7bde764c28)
ou enfin par
![{\displaystyle \tau _{i},\quad \tau _{i}^{p},\quad \tau _{i}^{0},\quad \mathrm {T} _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1deca8133187070303f0aa3dbf7d4e6610bdd4df)
On voit qu’il faut éviter de confondre les lettres
et
et ![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5a86ca0c898525cdc8fb4f437bbd30b25f800f)
Nous poserons de même
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'{\frac {d\Lambda }{dw_{k}'}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}'^{1}{\frac {d\Lambda _{p-1}}{dw_{k}'}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}'^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}'}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {U} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9881979c67b5f964312aea107b87c779cffd710b)
équation où les signes
et
ont même sens que dans l’équation (5)
du numéro précédent et à laquelle il convient d’adjoindre
d’autres équations de même forme où les lettres
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda _{p-1},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {U} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeef35f6a9461020aa6e079d7dbcc20a73db861)
sont remplacées par les mêmes lettres accentuées ou par
![{\displaystyle \lambda ,\quad \lambda _{p-1},\quad \lambda _{0},\quad \mathrm {V} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395c510a73372caf664985be70840d11efac8ddb)
ou par les mêmes lettres accentuées, ou par
![{\displaystyle \sigma _{i},\quad \sigma _{i}^{p-1},\quad \sigma _{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9c90c66549f8640d5fe368bdba3916c080d232)
ou
![{\displaystyle \tau _{i},\quad \tau _{i}^{p-1},\quad \tau _{i}^{0},\quad \mathrm {V} _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd05945d64da875968ae94f8bc010333cfa12b6)
Nous pouvons écrire maintenant une série d’équations analogues
aux équations (6) du numéro précédent.
Si nous posons, pour abréger, pour une fonction
quelconque
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}^{0}{\frac {du}{dw_{k}}}&=\Delta u,\\{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'^{0}{\frac {du}{dw_{k}'}}&=\Delta 'u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769ec46862894ff3c60bcfd93ea6e91767c9cbec)
ces équations s’écriront
(6)
|
|
|
Aux deux premières équations (6), il convient d’en ajouter deux
autres, qui en diffèrent parce que toutes les lettres y sont accentuées,
à l’exception de
qui est remplacé par
De même qu’au
numéro précédent, pour
le premier membre doit être supprimé,
et pour
le second terme du premier membre.
En égalant les valeurs moyennes des deux membres par rapport
aux
on obtiendra des équations analogues aux équations (7)
du numéro précédent. Elles s’écriront
(7)
|
|
|
Pour
et
le premier membre doit être supprime.
Adjoignons encore des équations analogues aux équations (13)
et (14) du numéro précédent.
Nous avons vu, en effet, que
![{\displaystyle \Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386c2c6963d3f2f9a2bfa0445dfa231a87800fd)
doit être la différentielle exacte d’une fonction dont toutes les
dérivées sont périodiques ; il en sera donc de même des expressions
suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}&+\Sigma \,\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{0},\\\Sigma \left(\Lambda _{1}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{1}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{1}\right)\\\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf5293ac393cd86c5e2d17067fddcb23fbebf86)
Dans chacune de ces expressions, le premier signe
s’étend aux
deux planètes, de telle sorte, par exemple, que
![{\displaystyle \Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}=\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}'\,d\lambda _{0}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc7cd61cf015a781d1fffee3add74bdffc7d7a3)
Si nous regardons un instant les
comme des constantes et les
comme seuls variables, ces expressions demeureront a fortiori
des différentielles exactes, mais
et
seront nuls, de sorte que
![{\displaystyle \sigma _{i}^{p}\,d\tau _{i}^{0}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d6481ec4dc872e5a6c0c835c8fdcaad781caba)
et
![{\displaystyle \quad \sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{p}=d\left(\sigma _{i}^{0}\tau _{i}^{p}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94943ed5d438014b51819caa1db2573ad4cce9f5)
seront des différentielles exactes. Comme il en est de même de
et que
les expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}\,dw_{1}&+\Lambda _{1}'\,dw_{2},\\\Lambda _{2}\,dw_{1}+\Lambda _{2}'\,dw_{2}&+\Sigma \,\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Sigma \,\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1},\\\Lambda _{3}\,dw_{1}+\Lambda _{3}'\,dw_{2}+\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130571c1ce01359e4830dbff3fd24a9ebabc1d72)
seront encore les différentielles exactes de fonctions dont les dérivées
sont périodiques et dont, par conséquent, les dérivées par
rapport à
et
ont une valeur moyenne indépendante des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
En raisonnant alors comme au numéro précédent quand nous
avons déduit les équations (14) des équations (13), nous trouverons
(8)
|
|
|
Considérons d’abord les équations (6) en y faisant
nous
verrons facilement qu’elles sont satisfaites d’elles-mêmes pourvu
que (ainsi que nous l’avons supposé)
et
soient des constantes,
et
se réduisent à
et
et
à
et
que
soit nul, et que
ait une valeur convenable.
Passons maintenant aux équations (7) en y faisant
il
viendra, comme aux équations (8) du numéro précédent,
(8 bis)
|
|
|
Nous reconnaîtrions, comme au numéro précédent, que
et
sont les dérivées de
par rapport à
à
et à
il faut,
bien entendu, remplacer dans
et
par
et
Or nous avons trouvé au Chapitre X l’expression de
qui est
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{2}+\tau _{i}^{2}\right)+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9f3410a2d7630cb71be6fccb326ef28e552be7)
et
étant des fonctions de
et ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
On voit ainsi que les équations (8 bis), sauf la deuxième, sont
satisfaites d’elles-mêmes, pourvu que
![{\displaystyle n_{i}'^{1}=-2\mathrm {A} _{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5c65af526eb33c1859d1786ee056d01b9491a3)
(où
et
sont ce que deviennent
et
quand on y remplace
les
par les
), car
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]}&=0,&{\big [}\mathrm {S} _{i}^{1}{\big ]}&=2\mathrm {A} _{i}^{0}\tau _{i}^{0},&{\big [}\Theta _{i}^{1}{\big ]}&=-2\mathrm {A} _{i}^{0}\sigma _{i}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f36fade86f00f4d2f9081d14f12d65e52968245)
D’autre part,
![{\displaystyle {\big [}\,l_{1}{\big ]}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}-{\textstyle \sum }\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}^{0}}{d\Lambda _{0}}}\left(x_{i}'^{0}\right)^{2}-{\frac {d\mathrm {B} _{0}}{d\Lambda _{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38684b07b1d2b3df48000fefbb6b78f7f509e4b)
comme
et
doivent être des constantes, ainsi que nous
l’avons vu plus haut,
sera également une constante, ce qui
nous permettra de l’égaler à ![{\displaystyle n_{1}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c0d6ad7df52f4af132f83a1d45c0b8d7d6795b)
Pour continuer le calcul, en suivant le même ordre que dans le
numéro précédent, il nous faut maintenant considérer les équations
(6, 1, 1), (6, 3, 1), (6, 4, 1).
Les premiers membres se réduiront à
![{\displaystyle \Delta \Lambda _{1},\quad \Delta \sigma _{i}^{1},\quad \Delta \tau _{i}^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b18ada7e420b7d46d90e4330c1128342193986)
et les seconds membres seront des fonctions connues et périodiques
des
et des
dont la valeur moyenne, par rapport aux
sera
nulle, puisque les équations (7)
sont satisfaites.
On pourra donc opérer l’intégration comme au numéro précédent
et au no 127, et l’on connaîtra
![{\displaystyle \Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de86783db945736e8d792dc0c9828127d041842b)
comme nous savons que
se réduit à une constante et que cette
constante peut être choisie arbitrairement, nous pouvons regarder
comme entièrement connu.
Envisageons l’équation (6, 2, 1) dont le premier membre se
réduit
Comme le second membre ne contenait d’autre quantité
inconnue que
il devient une fonction connue des
et
des
et le procédé que nous venons d’appliquer nous donnera
![{\displaystyle \lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c82e6f9955d10cc3c675532cff3909cf9420d1)
Il faut maintenant déterminer
et
à l’aide des
équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Le second membre de ces équations
n’est pas entièrement connu. Ils ne dépendent pas, en effet,
des
mais ils dépendent des
des
et des
Les
termes qui dépendent de ces quantités peuvent s’écrire :
1o Dans l’équation (7, 3, 2) par exemple,
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517d05ed9f7692af7e2ae7733ddc1a7f28320014)
Le premier terme est connu puisque
est connu. D’après la
forme de la fonction
donnée plus haut, toutes les dérivées
secondes sont nulles, sauf
Les deux derniers termes se réduiront
donc à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}=-n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc13f1f027cb7da33e1ec7f9429b4f137ce6316)
Il y a, en outre, dans le second membre de (7, 3, 2), un terme
en
et, dans le second membre de (7, 4, 2), un terme
en
qui contiennent la quantité inconnue
Le second membre de (7, 3, 2) est donc égal à
plus
une fonction connue des
(et de
). De même, le second membre de (7, 4, 2) se réduira à une fonction connue des
(et de
) ;
de sorte que nos équations deviendront
(9)
|
|
|
et
étant des fonctions périodiques connues des
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle h=m_{1}'w_{1}'+m_{2}'w_{2}'+\ldots +m_{q}'w_{q}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcce30cd0866d5eae14a3446978947ab2a256459)
les
étant des entiers quelconques, et de même
![{\displaystyle \mathrm {N} =m_{1}'n_{1}'^{1}+m_{2}'n_{2}'^{1}+\ldots +m_{q}'n_{q}'^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349811f5462e1273fdd753d700e13f93ee5249ca)
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\cos h&+\mathrm {B} _{1}\sin h,\\\mathrm {A} _{2}\cos h&+\mathrm {B} _{2}\sin h\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3716984583c62bc1a47a81dd88ee680d542b126)
les termes en
dans les fonctions connues
et
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}\cos h&+\mathrm {D} _{1}\sin h,\\\mathrm {C} _{2}\cos h&+\mathrm {D} _{2}\sin h\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d14abd37c031684b87757e5d098c36fbcf19b6)
les termes en
dans les fonctions inconnues
et
Il s agit
de calculer les coefficients
et
en fonction des coefficients
et ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
Les équations (9) nous donnent, en identifiant,
(10)
|
|
|
Ces équations (10) nous feront connaître les coefficients inconnus
et
à moins que le déterminant ne soit nul ; or ce déterminant
est égal à
![{\displaystyle \left[\mathrm {N} ^{2}-\left(n_{i}'^{1}\right)^{2}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e5ef9cc206a0b0792d752535bfb23a03cbaee3)
Il ne peut donc s’annuler que si
![{\displaystyle \mathrm {N} =\pm n_{i}'^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b528817c949a22bb587ce0644a3d600c60bc113)
c’est-à-dire (puisqu’il n’y a aucune relation linéaire à coefficients
entiers entre les
) si
![{\displaystyle h=\pm w_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa16f868876c906b8449d65e2baac51b8c2e97b1)
ou (puisque nous ne devons pas considérer comme distincts les
termes en
et en
)
![{\displaystyle h=w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f8af99862c968f617fb06fb4c0571e4504307)
Identifions donc en égalant dans les deux membres de (9) les
termes en
J’écris
pour abréger au lieu de
(et
au lieu
de
), puisque je suppose ici
et je continue à désigner
par
les coefficients de
dans les fonctions
etc. Seulement ici les équations (10) n’auront plus la
même forme, parce qu’il faut tenir compte des termes en
qui
entrent dans le second membre des équations (9). Nous aurons donc
(10 bis)
|
|
|
Pour que ces équations soient compatibles, il faut évidemment que
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15590e95881f3b8af6e28ceb2db9c08c488951ae)
et
(11)
|
|
|
La première condition doit être remplie d’elle-même, puisque
nous savons que le développement est possible. La seconde nous
donnera la valeur de
Ces conditions étant remplies, les équations (10 bis) ne sont
plus distinctes. Elles nous donneront
et
si nous connaissons
et
Je dis que
et
peuvent être choisis
arbitrairement. Je le prouverai par un raisonnement analogue à celui
du no 126. En effet, on ne change pas la forme des séries en ajoutant
à
aux
aux
et aux
des fonctions arbitraires
de
des
et des
divisibles par
Le nombre de ces
fonctions arbitraires est le même que celui des variables, c’est-à-dire
de 12 par exemple pour le Problème des trois Corps dans l’espace.
On peut donc s’en servir pour satisfaire à 12 conditions. Nous
pouvons, par exemple, nous en servir pour que les valeurs
moyennes de
ainsi que les coefficients de
et
dans les quatre fonctions
soient des fonctions arbitraires de
et des constantes
et
ces fonctions devront être développables
suivant les puissances de
et, en considérant séparément
les divers termes de ce développement, on verrait que l’on
peut choisir arbitrairement les coefficients de
et
dans
les diverses fonctions
et, en particulier,
et
Les équations (9) nous permettent donc de déterminer
et
Déterminons maintenant
nous nous servirons pour cela de
la seconde équation (8), où tout est connu, excepté
De même pour
Calculons maintenant
à l’aide de (7, 2, 2). Cette équation
[comparez avec l’équation (7, 2, 2) du numéro précédent et avec
le raisonnement que nous avons fait quand nous nous en sommes
servi pour déterminer
] peut s’écrire
![{\displaystyle \Delta '{\big [}\lambda _{1}{\big ]}=\mathrm {A} -n_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdaeb350ba1a5f970a57e9f9ae9fac8555c7c4d)
étant une fonction périodique entièrement connue de
Cette
équation peut s’intégrer si l’on égale
à la valeur moyenne de la
fonction périodique
de telle sorte que la valeur moyenne du
second membre soit nulle. On déterminerait de la même manière
et
Reste à déterminer ensuite par les mêmes procédés
![{\displaystyle \Lambda _{2}-{\big [}\Lambda _{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582e2a6322b84b99935083f6d08908705968ae80) |
|
par |
|
(6, 1, 2),
|
![{\displaystyle \sigma _{i}^{2}-{\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18aa2b3ec8622f9e2920655a7838ed6db6f5d621) |
|
par |
|
(6, 3, 2),
|
![{\displaystyle \tau _{i}^{2}-{\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e36f2eff2729184e2d76cc1a90eb0017417b0b4) |
|
par |
|
(6, 4, 2),
|
![{\displaystyle \lambda _{2}-{\big [}\lambda _{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7d58d8734fabacc4ee4e404d2f0f4796ef1c20) |
|
par |
|
(6, 2, 2),
|
et
|
|
par |
|
(7, 3, 3) et (7, 4, 3)
|
![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{3}{\big ]}\quad \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60806a68f509e98a392f3a30051d318cdf12417) |
|
par la troisième équation (8),
|
et ![{\displaystyle \,n_{i}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f709ee415935921e247ce5d6e8b27463a1175a8) |
|
par |
|
(7, 2, 3),
|
et ainsi de suite.
Propriétés diverses.
153.Les six quantités
définies dans le numéro précédent, sont des fonctions des
des
des
et
des
mais, comme on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db603245a75206387504993ce210eb3691ddc408)
nous pouvons également les considérer comme des fonctions
des
des
des
et des
Je me propose de démontrer que
ces fonctions sont développables suivant les puissances des
et des ![{\displaystyle \tau _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8e59c445a1bb4482260060411521dccb2d197)
Cette proposition est susceptible d’un autre énoncé évidemment
équivalent. Reprenons les variables
nos fonctions
seront périodiques par rapport aux
et aux
et, par
conséquent, développables en séries trigonométriques. Soit
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19291a3a91cca5ec7e2776293a4e9a1482722809)
un terme d’une de ces séries ; je suppose que
![{\displaystyle h={\textstyle \sum }\,m_{k}w_{k}+{\textstyle \sum }\,m_{k}'w_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a042a198d8556136b0441706f8adb336ad7eb0)
les
et les
étant des entiers positifs ou négatifs. Les coefficients
sont des fonctions des
et des ![{\displaystyle x_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea9ec1ec5274d0a72b36151fb7df2a2eda6dbb)
Eh bien, notre proposition peut s’énoncer comme il suit :
est développable suivant les puissances des
Le développement est divisible par
![{\displaystyle \left(x_{i}'^{0}\right)^{|m_{i}'|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad57b70d4dd15afa591b82e2ea65dd7b5f09bbb)
et tous ses termes contiennent
à une puissance paire si
est pair ou à une puissance impaire si
est impair.
Pour démontrer cette proposition, je me servirai d’un raisonnement
de récurrence. Dans le numéro précédent, nous avons
déterminé successivement les fonctions
par une série
d’équations auxquelles je conserverai ici le même numérotage que
dans le numéro précédent.
Il s’agit de démontrer que les valeurs des fonctions déterminées
par ces équations sont développables suivant les puissances des
et
J’observe d’abord que,
étant développable suivant les puissances
des
et des
les fonctions que nous avons appelées
sont développables suivant les puissances de
(12)
|
|
|
Il en résulte, si l’on se rappelle la signification des quantités
etc., que les seconds membres des équations (6) seront
développables suivant les puissances des quantités (12), de leurs
dérivées par rapport aux
et
et enfin des
et des
Je me propose de démontrer que toutes ces quantités, ainsi que
les seconds membres des équations (6) et (7), sont développables
suivant les puissances des
et des
pour cela je vais passer en
revue la série des opérations par lesquelles nous avons, dans le
numéro précédent, déduit ces quantités les unes des autres et je
montrerai qu’aucune d’elles ne peut altérer cette propriété.
Ces opérations sont les suivantes :
1o Substituer dans le second membre des équations (6), à la
place des quantités (12), de leurs dérivées, des
et des
leurs
valeurs antérieurement calculées. Comme le second membre de (6)
est développable suivant les puissances des quantités substituées
et que ces quantités substituées (puisque nous raisonnons par
récurrence et que nous supposons que les quantités déjà calculées
jouissent de la propriété énoncée) sont elles-mêmes développables
suivant les puissances des
et
il est clair que le résultat de la
substitution sera aussi développable suivant les puissances des
et
des
2o Prendre la valeur moyenne d’une fonction périodique connue
soit par rapport aux
seulement, soit par rapport aux
et aux
C’est ce qui arrive quand on déduit le second membre de (7)
de celui de (6), ou bien encore lorsqu’on annule la valeur moyenne
du second membre de l’équation (7, 2, 2), en égalant
à la valeur
moyenne de
(vide supra, vers la fin du numéro précédent).
Comme cette opération consiste à supprimer des termes dans le
développement trigonométrique de la fonction considérée, il est
clair qu’elle ne peut altérer la proposition énoncée.
3o Différentier l’une des quantités (12) par rapport à
ou à
Soit, comme plus haut,
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
un terme du développement de la quantité que nous différentions.
La dérivée de ce terme par rapport à
sera
![{\displaystyle -\mathrm {A} m_{i}\sin h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031a73f43738cf9ba620c676d707a92940056f94)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} m_{i}\cos h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3960b9b933c6ea2d71b3112486d8ea8549f5152d)
Sa dérivée par rapport à
sera
![{\displaystyle -\mathrm {A} m_{i}'\sin h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fafa71f6de62823e6b7c171d4d8b5b1e78ed940)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} m_{i}'\cos h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e25ebac9fa5789a192dd554e4f8d8b93fd46ee3)
Il est clair que, si
satisfait à la condition énoncée, il en sera de même de
![{\displaystyle \pm \mathrm {A} m_{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f78aa297ece87c1b3a09983237ce52307876d7)
et de
![{\displaystyle \quad \pm \mathrm {A} m_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feaaf760bc0e289b616a55cd15f60b663536b475)
4o Intégrer les équations (6), (7) et (8).
Quelques-unes de ces équations nous donnent immédiatement
l’inconnue ; telles sont les équations (8) et celles qui nous donnent
les
qui doivent être choisis de façon à annuler la valeur
moyenne du second membre de (7, 2, p). Mais d’autres équations
exigent une intégration : telles sont, par exemple, les équations (6)
qui ont la forme
(13)
|
|
|
étant la fonction inconnue et
une fonction périodique connue.
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
un terme de
Le terme correspondant de
s’écrira
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\sin h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32f52fc95ad820cda9a3704b93cce71f39ac78b)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\cos h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a1b78953fc5c84d357ebe6b971a9c79ac1c6b9)
Il est clair que, si
satisfait à la condition énoncée, il en sera de même de
![{\displaystyle \pm {\frac {\mathrm {A} }{n_{1}^{0}m_{1}+n_{2}^{0}m_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3283bce33470494b180cd687c44b2af7904658)
Le même raisonnement est applicable à l’équation (7, 2, p) qui,
après qu’on a choisi
de façon à annuler la valeur moyenne du
second membre, prend la forme
(14)
|
|
|
étant connu et
inconnu, et est ainsi de même forme que (13).
Observons d’ailleurs que les
de même que les
dépendent
des
mais non des
Il convient d’ajouter que cette équation (14)
ne détermine l’inconnue
qu’à une constante près, laquelle peut être choisie arbitrairement en fonction des
et
des
il faut, bien entendu, pour que le théorème soit vrai, avoir
soin de choisir cette fonction arbitraire de telle façon qu’elle soit
développable suivant les puissances entières des ![{\displaystyle (x_{i}'^{0})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c96aa74ec4c77d88a16bcd7b8a83c5bf0a02a)
De même, les équations (8) ne déterminent
qu’à une constante
près que l’on peut choisir arbitrairement. Il est nécessaire
de faire ce choix de telle façon que
![{\displaystyle {\big [}{\big [}\Lambda _{p}{\big ]}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42cf459fbb74df0f4a0c2b4fa52e851fc37dc86)
soit développable suivant les puissances des ![{\displaystyle (x_{i}'^{0})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c96aa74ec4c77d88a16bcd7b8a83c5bf0a02a)
5o L’intégration des équations (7, 3, p) et (7, 4, p) se traite à
peu près de la même manière.
Considérons, par exemple, les équations (9) et reprenons les
notations dont nous nous sommes servi dans l’étude de ces équations.
Considérons d’abord le cas où
n’est pas égal à
et où le
déterminant des équations linéaires (10) n’est pas nul. Il est clair
alors que si les coefficients
satisfont à la condition
énoncée, il en sera de même des coefficients
tirés
de ces équations (10).
Passons maintenant au cas où
et où les équations (10)
doivent être remplacées par les équations (10 bis).
Nous avons d’abord l’équation
![{\displaystyle n_{i}'^{2}={\frac {\mathrm {A} _{2}-\mathrm {B} _{1}}{2x_{i}'^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941cfe2edd8c778a6b1448b3591b2d7b383b0401)
Nous supposons que
et
qui sont des coefficients du développement
d’une fonction antérieurement calculée satisfont à la
condition énoncée, c’est-à-dire qu’ils sont développables suivant
les puissances des
qu’ils sont divisibles par
et que le quotient
ne contient plus que des puissances paires des
Il en résulte
que
ne contient non plus que des puissances paires des
et
satisfait par conséquent à notre proposition.
Revenant ensuite aux équations (10 bis) on voit que
et
satisfont à la condition énoncée pourvu que
et
y satisfassent.
Mais nous avons vu que
et
peuvent être choisis arbitrairement ;
nous pouvons toujours faire ce choix de façon à y satisfaire
et le théorème bien entendu n’est vrai qu’à cette condition.
Puisque aucune de nos opérations ne peut altérer la propriété
énoncée, elle est vraie dans toute sa généralité.
154.Observons maintenant que les équations du mouvement
ne changent pas, quand, les
et les
ne changeant pas, les
et les
augmentent d’une même quantité.
Reprenons les développements (4) (je conserve encore le numérotage
du no 152) ; comme nous pouvons choisir arbitrairement les
valeurs moyennes des quantités
par rapport
aux
et aux
je me donnerai d’une manière quelconque toutes
ces valeurs moyennes.
Les séries (4) sont alors les seules qui satisfassent formellement
aux équations du mouvement et qui satisfassent de plus à cette
double condition que toutes ces valeurs moyennes soient déterminées,
et que
(15)
|
|
|
soit une différentielle exacte.
Le calcul du no 152 détermine, en effet, sans ambiguïté les coefficients
des séries qui sont assujetties à ces conditions diverses.
Ajoutons maintenant une même constante
à
à
et aux
nous satisferons encore aux équations du mouvement d’après la
remarque faite au début de ce numéro, et nos séries (4) n’auront
pas changé, sauf que
et
seront devenus
et
Changeons ensuite
et
en
et
Les séries conserveront
la même forme, c’est-à-dire que les
les
les
les
seront encore des fonctions périodiques des
et
des
dont la valeur moyenne restera la même. Elles satisferont
encore formellement aux équations du mouvement, puisque je n’ai
fait que retrancher une constante
aux constante
et
qui sont
arbitraires.
Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.
Ces séries ne pourront donc différer des séries (4) qui sont les
seules qui satisfassent à toutes ces conditions.
Cela veut dire que les
les
les
ne changent
pas quand on diminue à la fois les
et les
d’une même quantité.
Ou bien encore que si
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
est un terme du développement de
ou
et que
![{\displaystyle h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ccb16950729195d6c438f8a5953c5f81466ff8)
la somme algébrique des entiers
et
doit être nulle.
On en conclurait aisément que, si
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
est un terme de
ou
cette même somme algébrique doit être
égale à
j’ajoute que cette somme est nulle dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}\cos w_{k}&+\tau _{i}^{p}\sin w_{k},\\\tau _{i}^{p}\cos w_{k}&-\sigma _{i}^{p}\sin w_{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed16322433672cddbf34df50f78da632c4f695c)
(et dans celui des mêmes expressions où
serait remplacé par
).
Des considérations de symétrie et un raisonnement analogue
nous conduiraient à d’autres propriétés.
Ainsi, tout étant symétrique par rapport au plan des
les
équations du mouvement ne changeront pas quand on changera
les signes de
de
et des
sans changer
et les
Alors supposons que, dans les développements (4), les valeurs
moyennes des
et des
que l’on peut choisir arbitrairement
soient nulles. Changeons maintenant
![{\displaystyle \lambda ,\quad \lambda ',\quad \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb462ac711d73e2a61c2bcce84009aa8345c8c8)
en
![{\displaystyle -\lambda ,\quad -\lambda ',\quad -\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f7be2ec17b6f93b55b54d2c2fc84c3cc54d0c3)
et, en même temps,
et
en
![{\displaystyle -w_{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008ffe9f6cf3de80cfd97846895df2c31343e736)
et
![{\displaystyle \quad -w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f30f58dcab303dc02b28c299a503a1880e36894)
Les séries (4) conserveront la même forme, elles ne cesseront pas
de satisfaire aux équations du mouvement. Les valeurs moyennes
des
et
ne changeront pas ; celles des
et
resteront nulles.
Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.
Il faut pour cela que les séries (4) n’aient pas changé. Donc les
et les
ne changent pas, les
et les
changent de signe
quand les
et les
changent de signe.
Cela veut dire que le développement des
et des
ne contient
que des cosinus, tandis que celui des
et des
ne contient que
des sinus.
De même tout est symétrique par rapport au plan des
et l’on
peut en tirer d’autres conclusions.
Supposons qu’on ait affaire au Problème des trois Corps dans
l’espace, et soient
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\lambda ,&\lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c1711887eac3181e7277fb9425abb5021d37c6)
Les troisième et quatrième paires de variables définissent
les excentricités et les périhélies ; les deux dernières paires de
variables définissent les inclinaisons et les nœuds.
En vertu de la symétrie que je viens de signaler les équations
ne changeront pas si
et
changent de signe, les autres
variables demeurant inaltérées.
On verrait alors, par un raisonnement tout pareil à ceux qui
précèdent, que les séries (4) ne changent pas, si l’on change à la fois
![{\displaystyle \sigma _{3},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{3},\quad \tau _{4},\quad w_{3}',\quad w_{4}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaceea902d8813f7f573eaa0c2afffac82ba4c0a)
en
![{\displaystyle -\sigma _{3},\quad -\sigma _{4},\quad -\tau _{3},\quad -\tau _{4},\quad w_{3}'+\pi ,\quad w_{4}'+\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9187b304b6fcb644ac925e72737c88bf074efb98)
On doit en conclure que, dans les développements (4) qui procèdent
suivant les cosinus et les sinus de
![{\displaystyle h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ccb16950729195d6c438f8a5953c5f81466ff8)
la somme
doit être paire dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\Lambda &\Lambda '&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\\lambda &\lambda '&\tau _{1}&\tau _{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5fa2ea03651f9810d8463799ed464e374d107a)
et impaire, au contraire, dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b04a9fdff7f1fadabffcd2ba989accc54c257f)
155.Au no 152, j’ai employé pour simplifier l’exposition et les calculs un artifice dont j’avais déjà parlé à la fin du no 140 et que
j’ai rappelé au commencement du no 152. Il consiste à regarder
comme du second ordre des termes qui ne contiennent les masses
qu’au premier degré.
Cet artifice est légitime à cause de l’extrême petitesse de ces
termes ; mais il n’est pas sans inconvénient. En effet, la signification
du paramètre
s’en trouve altérée. En faisant
on
tombe sur un cas particulier du Problème des trois Corps, celui où
les masses perturbatrices sont nulles et le mouvement képlérien ;
en donnant à
une certaine valeur très petite déterminée, on
tombe sur un autre cas particulier du Problème des trois Corps,
celui qui correspond aux véritables masses des corps que l’on
considère. Mais, si l’on donne à
une valeur intermédiaire, les
équations sont celles d’un problème de Dynamique qui n’a plus
aucun rapport avec le Problème des trois Corps.
Il n’en serait pas de même si l’on avait conservé à la lettre
sa
signification primitive, que nous avons définie au no 11 ; quelle
que soit alors la valeur attribuée à
les équations sont celles d’un
cas particulier du Problème des trois Corps correspondant à certaines
valeurs des masses.
Il serait donc bien plus satisfaisant de restituer à la lettre
sa
signification primitive et de chercher à développer nos variables
non seulement suivant les puissances de
mais encore suivant
celles de ces constantes que nous avons appelées
et qui sont de
l’ordre des excentricités.
Les équations du mouvement sont encore de même forme ; seulement
la valeur moyenne de
que j’appellerai toujours
a une
expression plus compliquée. On n’a plus simplement, comme au no 152,
(16)
|
|
|
mais
est développable suivant les puissances croissantes de
et
et le second membre de (16) représente seulement les
premiers termes du développement, à savoir ceux de degré 0
et de degré 2 (tous les termes étant comme on sait de degré
pair).
Développons donc nos variables (1) suivant les puissances de
et des
conservons les développements (4) et soit, d’autre part,
(17)
|
|
|
où
![{\displaystyle \Lambda _{p.q},\quad \lambda _{p.q},\quad \sigma _{i}^{p.q},\quad \tau _{i}^{p.q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adc04509c41866828248eda9c1c174f23dcc416)
représentent l’ensemble des termes qui sont de degré
par rapport
aux ![{\displaystyle x_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea9ec1ec5274d0a72b36151fb7df2a2eda6dbb)
Je suppose toujours
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\mathrm {const.} ,&\lambda _{0}&=w_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d648e4577c31b634e8c9ab72a1335257b897423)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \Lambda _{0.q}-l_{0.q}=0\quad \mathrm {pour} \quad q>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9b63b0a3e095b1fdefdb597d49dcc8989f7f3)
mais je ne suppose plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d667cedb45d689ec998362b1d1a85bdd0030405)
Je suppose que
![{\displaystyle \sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8153ed3c691028f2c76625ccd1893e25450c794)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213985ce315d2b58320cae4a4a3b151a5bc52e90)
Mais
ne seront pas nuls.
Ces hypothèses faites, reprenons le calcul du no 152.
Nous avons envisagé d’abord les équations (6) en y faisant
Ces équations seront satisfaites pourvu que,
étant nul,
et
ne dépendent pas des
mais seulement des
ce que nous supposerons.
Viennent ensuite les équations (7), en y faisant p = 1 (cf.
équations 8 bis du no 152) ; mais il importe de remarquer que la forme
des équations (6) et (7) est un peu modifiée.
Envisageons, en effet, dans (6, 3, p), (6, 4, p), (7, 3, p), (7, 4, p),
le dernier terme du deuxième membre. Ce terme doit s’écrire
(18)
|
|
|
Au no 152,
et
se réduisant à
![{\displaystyle x_{i}'^{0}\cos w_{i}'\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0a23943d6f9ef2e51cd264ff3de1533b2e967e)
et
![{\displaystyle \quad x_{i}'^{0}\sin w_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338fb21af4d94dad012975098008789b4a76c63)
ces quatre termes se réduisaient à
![{\displaystyle \pm n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}w_{i}'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a1031c722d0dbf53f000dd7db86582ef8e365f)
mais ici il n’en est plus de même et il faut conserver à ces termes
leur expression (18).
Les équations (7) pour
s’écriront alors
(19)
|
|
|
Il faut supposer, bien entendu, que dans
on a remplacé
et
par
et ![{\displaystyle \tau _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8e59c445a1bb4482260060411521dccb2d197)
Ces équations sont, sous une forme différente, les mêmes qui
ont fait l’objet du Chapitre X. La première est satisfaite d’elle-même.
Examinons donc les deux dernières équations qui doivent
déterminer
et
Développons les
suivant les puissances des
et soit
(20)
|
|
|
étant l’ensemble des termes de degré
par rapport aux ![{\displaystyle x_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea9ec1ec5274d0a72b36151fb7df2a2eda6dbb)
Substituons, dans les deux dernières équations (19), les développements (17)
et (20) à la place des
des
des
et égalons
les termes de même degré dans les deux membres. Posons d’ailleurs pour abréger
![{\displaystyle \Delta ''u={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1.0}{\frac {du}{dw_{k}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a392c99b78a048027f121fef8fc6c5ea79ebdc6)
Si nous égalons les termes de premier degré par rapport aux
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ''\sigma _{i}^{0.1}&=2\mathrm {A} _{i}^{0}\tau _{i}^{0.1};&\Delta ''\tau _{i}^{0.1}&=-2\mathrm {A} _{i}^{0}\sigma _{i}^{0.1};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3424d06913a38f6148278f6efea4bfc21fc5c2c4)
ces équations sont satisfaites pourvu que
![{\displaystyle n_{i}'^{1.0}=-2\mathrm {A} _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c58e95692b4686a0300a2dc2aac0cc603651da)
Supposons maintenant que l’on ait déterminé
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\sigma _{i}^{0.1},&\sigma _{i}^{0.2},&\ldots ,&\sigma _{i}^{0.q-1},\\\tau _{i}^{0.1},&\tau _{i}^{0.2},&\ldots ,&\tau _{i}^{0.q-1},\\n_{i}'^{1.0},&n_{i}'^{1.1},&\ldots ,&n_{i}'^{1.q-2},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127f10be28428f0f6567bcf65a61909b31202ada)
et que l’on se propose de déterminer
![{\displaystyle \sigma _{i}^{0.q},\quad \tau _{i}^{0.q},\quad n_{i}'^{1.q-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90eaa335fd3d55b2e804cc203fed72be0563f953)
Égalons dans les deux membres des deux dernières équations (19)
les termes de degré
Ces termes seront :
Dans la troisième équation :
Premier membre. |
quantités connues.
|
Second membre.. |
quantités connues.
|
Dans la quatrième équation :
Premier membre. |
quantités connues.
|
Second membre.. |
quantités connues.
|
Nous pouvons donc écrire
(21)
|
|
|
et
étant des fonctions périodiques connues des ![{\displaystyle w'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0bd8f5092f3cce6b9069580c3e9b705767fc46)
L’analogie de ces équations avec les équations (9) est évidente.
On passe des unes aux autres en changeant
en
On traitera donc les équations (21) comme les équations (9).
La condition du succès de la méthode [à savoir que dans les équations
analogues à (10 bis)
soit nul] doit être remplie d’elle-même,
puisque nous avons démontré d’avance la possibilité du
développement.
Quand on aura satisfait aux deux dernières équations (19),
sera une constante (puisque ces deux équations admettent
comme intégrale, analogue à celle des forces vives,
)
et comme cela doit être vrai quelles que soient les constantes
et
la dérivée
devra également être une constante,
dépendant seulement des
et des
Mais on a
![{\displaystyle {\big [}\,l_{1}{\big ]}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}^{2}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}\,d\Lambda _{0}'}}{\big [}\Lambda _{1}'{\big ]}-{\frac {d\mathrm {R} }{d\Lambda _{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96807db7f9486a2f8b72394ae60b85a0cb07cd9a)
Les dérivées de
sont des constantes. La première équation (8)
nous apprend qu’il en est de même de
et
Donc
est
aussi une constante que nous pourrons égaler à
et nous aurons
ainsi satisfait à la deuxième équation (19).
Au no 152, nous avons ensuite déterminé successivement
(et, par conséquent
puisque
est une constante
que l’on peut choisir arbitrairement),
par (6, 1, 1), (6, 3, 1), (6, 4, 1) et (6, 2, 1).
Je n’ai rien à changer à cette partie du calcul.
Déterminons maintenant
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae403970d088532f3f6475005a096eb4c0607d5)
et
![{\displaystyle \quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4bc48ccd09996c5fb34671503072dfe35b0f5f)
et pour cela considérons les équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Ces
équations prennent la forme
(22)
|
|
|
et
étant connues.
Ces équations sont analogues aux équations (9) ; seulement
ayant une expression moins simple, il n’arrive plus, comme
au no 152, que, pour la première de ces équations par exemple, les
trois derniers termes du second membre se réduisent respectivement à
![{\displaystyle 0,\quad 2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}^{2}\tau _{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904f6a4c63d40d7aee1d1c703c738fe36cb5632a)
ce qui apportait une simplification notable.
Substituons donc dans (22) à la place de
et
leurs développements (17),
à la place de
son développement (20) et à la place
de
son développement
![{\displaystyle n_{k}'^{2}=n_{k}'^{2.0}+n_{k}'^{2.1}+n_{k}'^{2.2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35f85cb59d3b046b825919627c3503522a19f18)
analogue à (20). Soit d’ailleurs
![{\displaystyle \varphi _{1}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed24238c66dccae4908aba049b3bb2f9adc669e5)
et
![{\displaystyle \varphi _{2}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49673425bb3f2b8abf5223a31f31cd298c53791)
l’ensemble des termes de
et de
qui sont de degré
par rapport aux
Nous égalerons ensuite les termes de même degré dans les deux
membres de (22).
En égalant d’abord les termes de degré 0, il vient simplement
(23)
|
|
|
et
seront des constantes dépendant seulement de
et
et, en effet, en vertu du raisonnement du no 153, qui reste applicable
sans modification,
et
sont développables suivant les
puissances des
et des
Les termes du degré 0
par rapport aux
ne dépendront donc ni des
ni des ![{\displaystyle w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c37a4edadae08df8b41bc2ff57756280e302ba)
Il en résulte que
et
sont aussi des constantes et que
les premiers membres des équations (23) sont nuls. Ces équations (23)
nous permettront alors de déterminer
et
Supposons maintenant que l’on ait déterminé
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\sigma _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\tau _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\text{»}}&n_{i}'^{2.0},&n_{i}'^{2.1},&\ldots ,&n_{i}'^{2.q-2},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034df797a566bc374f61a472f9d721f8d6c82475)
et que l’on se propose de déterminer
(21)
|
|
|
Égalons pour cela les termes de degré
dans les deux membres
des équations (22).
Il viendra, en mettant en évidence les termes dépendant des
quantités inconnues (24),
(25)
|
|
|
et
étant des fonctions connues.
Ces équations sont analogues aux équations (9) ; on passe en
effet des unes aux autres en changeant
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{k}'^{1},\quad n_{i}'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587d8cfd24e9035aefacff95dd4861c539914a78)
en
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]},\quad n_{k}'^{1.0},\quad n_{i}'^{2.q-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43c458ff219c00279bf906b1b914375eca2145c)
On pourra donc traiter les équations (25) comme les équations (9).
On déterminerait ensuite
![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{2}{\big ]},\quad n_{1}^{2},\quad {\big [}\lambda _{1}{\big ]},\quad \Lambda _{2},\quad \sigma _{i}^{2}-{\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad \tau _{i}^{2}-{\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]},\quad \lambda _{2}-{\big [}\lambda _{2}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2f907f28e4ba7ca0e2fadf5cd2a828dd1063ac)
comme au no 152.
Pour déterminer
![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a05d2623b96c8c105523bc238d7f4d72c32fb9)
et
![{\displaystyle \quad n_{i}'^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfab58c77f58709b46c6338212be1f5b51991f3)
on se servirait des équations (7, 3, 3) et (7, 4, 3). Ces équations
seraient de même forme que les équations (22) et se traiteraient de
la même manière.
Cas particuliers remarquables.
156.Les développements (4) et (17) ont, comme nous l’avons
vu au no 153, leurs seconds membres développés suivant les puissances
des
et des
Si nous annulons à la fois toutes les constantes arbitraires
nos variables ne dépendront plus des
mais seulement de
et
Leurs développements procéderont suivant les lignes trigonométriques de
![{\displaystyle m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78df72a74d4fe9f3f26c65a7ef3e57c99a0d8dff)
et
étant des entiers.
D’après ce que nous avons vu au no 154, dans le développement
des
et des
la somme
doit être nulle, de sorte que ces
variables dépendront seulement de
Il en sera de même
pour la même raison de
(26)
|
|
|
Il en résulte évidemment que ces hypothèses particulières
correspondent au cas d’une solution périodique et il est
aisé de voir que les solutions ainsi trouvées ne diffèrent pas de
celles que nous avons appelées au Chapitre III
solutions périodiques de la première sorte.
On peut en conclure que les développements (4) qui ne sont pas ordinairement convergents au sens géométrique du mot le
deviennent quand on annule les constantes
Comme les constantes
sont généralement petites, on voit
que la solution réelle ira en oscillant autour de la solution périodique
sans s’en écarter beaucoup.
Considérons maintenant dans le développement de
de
et
des expressions (26), les termes du premier degré par rapport
aux
nous verrons, en tenant compte des résultats des no 153
et 154, qu’ils seront de la forme
(27)
|
|
|
et
étant des fonctions périodiques développables suivant les
sinus et cosinus multiples de ![{\displaystyle w_{1}-w_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d971d3add4a1ba6a9e60ce99b5855e8ef80648f3)
L’interprétation de ce résultat est évidente. Dans le Chapitre IV
nous avons considéré les équations aux variations relatives à une
solution périodique donnée. Considérons alors nos équations du
mouvement et la solution périodique de la première sorte que l’on
en obtient en annulant tous les
Les expressions (27) ne seront
pas alors autre chose que la solution la plus générale des équations
aux variations correspondantes.
On en conclut que les exposants caractéristiques relatifs à cette
solution de la première sorte sont
![{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}\left(n_{k}'-n_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f443a9f0bfd9ed68296c46e68b68cf4213cd6c6)
Il importe d’observer que dans cette expression les constantes
(dont dépendent
et
) doivent être égalées à 0.
On peut se proposer de déduire des développements (4) et (17)
les solutions périodiques de la deuxième et de la troisième sorte,
ainsi que nous l’avons fait pour celles de la première sorte. Cela
est un peu plus difficile.
Pour mieux faire comprendre ce qu’il y a à faire, je vais prendre
d’abord un exemple plus simple. Reprenons les séries du no 127
et proposons-nous d’en déduire les solutions périodiques du no 42.
Nous avons vu que, dans les séries du no 127, on peut choisir arbitrairement
les valeurs moyennes des fonctions périodiques
et
et qu’en particulier on peut faire ce choix de telle façon que
soit nul toutes les fois que
On peut même réaliser cette condition en choisissant convenablement les valeurs moyennes
des
pendant que les valeurs moyennes des
restent arbitraires.
Supposons donc qu’on ait choisi ces valeurs moyennes de cette
manière et, par conséquent, que
![{\displaystyle n_{i}=n_{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329a6825a39d6e54f60926355ae7cae5b5ae0c0d)
Supposons de plus que les
aient été choisis de telle sorte que
les
aient certaines valeurs données commensurables entre elles.
Il arrive alors, quand on veut faire le calcul du no 127, que certains
coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse
convenablement les constantes
et les valeurs moyennes de
restées arbitraires.
Si ce choix est fait de la sorte, les séries du no 127 existent :
elles sont convergentes et elles ne diffèrent pas de celles du no 44.
Revenons au Problème des trois Corps.
Choisissons nos constantes
et
ainsi que les valeurs
moyennes des divers termes des développements (4) et (17) considérés
comme fonctions périodiques des
et des
choisissons
ces quantités, dis-je, de telle façon :
1o Que
et
aient des valeurs données commensurables
entre elles (je fais observer que si l’on adopte les notations du
no 155,
est nul pour
) ;
2o Que
et
soient nuls pour
3o Que
![{\displaystyle n_{1}^{1}=n_{2}^{1}=n_{i}'^{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97834b6086c84c463749d5a9574c152d506033af)
Je puis faire ce choix de façon à réaliser ces conditions et même
la moitié des valeurs moyennes demeure arbitraire.
Il arrive alors que, si l’on veut faire le calcul des nos 152 ou 155,
certains coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse
convenablement les constantes
et
ainsi que les valeurs
moyennes restées arbitraires.
Si on le fait, les séries (4) et (17) existent ; elles convergent et
ne diffèrent pas de celles qui représentent les solutions de la
deuxième et de la troisième sorte.
Supposons maintenant que, sans annuler
et
on annule
et
on trouvera une série de solutions particulières du Problème des trois Corps, ne dépendant que des quatre arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{2}'\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9827aea8e0c18677b4c286a63b6006943a6acfa7)
ce sont les solutions correspondant aux cas du Problème des trois
Corps dans le plan. Le nombre des arguments est ici réduit à 4
comme celui des degrés de liberté.
Mais on peut observer que les
les
et les expressions (26)
ne dépendent que des différences
![{\displaystyle w_{2}-w_{1},\quad w_{1}'-w_{1},\quad w_{2}'-w_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338b58b8a92d2cb83da8d32dc807fe7cf8c7c73)
ainsi que nous l’avons vu au no 154.
Si donc on prend comme variables
et ces expressions (26),
le nombre des arguments est réduit à 3. Cela correspond au cas
du problème du no 5, où il y a 3 degrés de liberté.
Imaginons maintenant que la masse de la première planète soit
infiniment petite (cas d’une petite planète troublée par Jupiter).
Il arrivera d’abord que
![{\displaystyle \sigma _{2},\quad \tau _{2},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f53c4195468fac3e81e8857325763fa82acbbd)
se réduiront à
![{\displaystyle \xi ',\quad \eta ',\quad p',\quad q'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8a0af89973daf14c8979b8d595d2885b1d7027)
Ces quantités, de même que
seront des constantes et
se réduira
à
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{2}'&={\frac {dw_{2}'}{dt}}=0,\\n_{4}'&={\frac {dw_{4}'}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754cfbc8e3b2ac892c79db49d9c5eec381f05126)
Le nombre de nos arguments, qui était de 6, est réduit à 4, à savoir
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{3}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0978e97af9ce06237e7386ad61d95fe28c2195e7)
Il n’arrive plus ici que
ne dépendent que des différences
![{\displaystyle w_{1}-w_{2},\quad w_{1}'-w_{2},\quad w_{3}'-w_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d501ee16e0dd88b90a1f382223f4e301d24e50f9)
Le raisonnement du no 154 ne nous apprend, en effet, qu’une
chose, c’est que, dans le cas général,
dépend seulement des cinq
différences
![{\displaystyle w_{2}-w_{1},\quad w_{i}'-w_{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4cd9c861fa914ba8cf804952dbd027a6b0a966)
Quand deux des
se réduiront à des constantes (ce qui arrive
dans le cas particulier que nous examinons), deux de ces cinq
arguments ne diffèrent plus que par une constante, et c’est pour
cette raison qu’il n’en reste plus que quatre ; mais il n’y a aucune
raison pour que la réduction puisse être poussée plus loin.
Nos variables restent d’ailleurs, en vertu du no 153, développables
suivant les puissances des
![{\displaystyle x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\quad x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8afc895f7374cbda8c99c7370dff9b7b86bef04)
Supposons que l’on annule
et
cela correspond au cas où les
trois corps se meuvent dans un même plan (je suppose toujours
que l’une des masses est infiniment petite). Alors nos variables
ne dépendent plus de
et il nous reste seulement trois arguments.
à savoir
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6777723e03ee7ce4ca76f04ca2cb9ea0534107)
Annulons encore la constante
cela correspond au cas où l’orbite
de la seconde planète est circulaire, c’est-à-dire au problème
du no 9.
Comme nos variables sont développables suivant les puissances
des
et
et que
![{\displaystyle x_{2}'^{0}=x_{3}'^{0}=x_{4}'^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c36b57ef3a5b8cd526754d5a6ed8519008b6014)
elles ne dépendront plus ni de
no de
ni de
Or, en
vertu du no 154, elles ne dépendent que des différences
![{\displaystyle w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebc27cd33ee194cd545dac104a28fd59eb1b164)
Or nous venons de voir qu’il y a trois des
qui ne doivent plus
entrer dans leur expression. Elles ne dépendront plus que de
![{\displaystyle w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60512d6a215099336ca199fb845d1cd0316ccd57)
Le nombre des arguments est réduit à 2 ; nous avons vu d’ailleurs
que le problème du no 9 comporte précisément 2 degrés
de liberté. Si, de plus, on fait
on tombe sur les solutions
périodiques étudiées par M. Hill (voir le no 41 et tenir compte de
la remarque faite aux trois dernières lignes).
Si, dans la théorie de la Lune, on regarde ce satellite comme
soumis aux seules actions de la Terre et du Soleil et que l’on
regarde le mouvement relatif de ces deux derniers astres comme képlérien, on est ramené à un des cas particuliers étudiés plus haut.
Mais on sera souvent conduit à tenir compte des perturbations
éprouvées par la Terre de la part d’autres planètes, tout en continuant
à négliger l’action directe de ces planètes sur la Lune. Si
l’on se place à ce point de vue, le mouvement relatif de la Terre
et du Soleil n’est plus un mouvement képlérien, mais il est connu,
et la Lune reste soumise seulement à l’action de ces deux corps
mobiles qui se meuvent d’après une loi connue.
Supposons donc que les coordonnées du Soleil par rapport à la
Terre puissent s’exprimer par des séries de même forme que celles
que nous avons étudiées dans ce Chapitre, et dépendant de
arguments.
On verrait aisément alors, en raisonnant à peu près comme
nous l’avons fait dans ce Chapitre, que les coordonnées de la Lune
s’exprimeront encore par des séries de même forme dépendant
de
arguments.
Pour bien faire comprendre ce que je veux dire par là, je reviens
,au problème du no 9 ; c’est-à-dire : imaginons que la Terre et le
Soleil décrivent des circonférences concentriques ; les coordonnées
du Soleil dépendront alors de
argument ; les distances de la
Lune à la Terre et au Soleil dépendront de 2 arguments (qui sont
ceux que je viens d’appeler
) ; mais les coordonnées
de la Lune par rapport à des axes fixes dépendront
de
arguments.
Des considérations analogues sont applicables au cas où il y a
plus de trois corps ; supposons, par exemple, qu’il y en ait quatre.
Le nombre des
est alors 3 et celui des
est 6.
Supposons qu’on annule à la fois les six constantes
Une première
conséquence de cette hypothèse, c’est que le mouvement se
passe dans un plan. De plus les
les
les expressions (26) et
par conséquent les distances mutuelles des quatre corps ne vont
plus dépendre que des deux arguments
![{\displaystyle w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95b8830cae8e1843d9ebc2f5b87aca7d887bff1)
Il ne s’ensuit pas (comme dans le cas où, envisageant trois corps
seulement, on annulait tous les
) que les séries deviennent convergentes
au sens géométrique du mot ; mais on peut se proposer
d’en déduire les solutions périodiques du no 50.
Voici comment on doit opérer.
Choisissons nos constantes d’intégration et les valeurs moyennes
des divers termes des développements (4) et (17) de telle sorte :
1o que les quantités
![{\displaystyle n_{1}^{0}-n_{2}^{0},\quad n_{1}^{0}-n_{3}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616dc66aeb8ca8265d27f4f2d6fcaeaed19a1208)
aient des valeurs données commensurables entre elles ; 2o que
![{\displaystyle n_{1}^{p}=n_{2}^{p}=n_{3}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb7e269b566b44532f949eac7b1efb893034230)
pour
Les constantes
et
et la moitié de nos valeurs
moyennes deviennent arbitraires.
Si l’on veut faire le calcul du no 152, certains coefficients
deviennent infinis, à moins qu’on ne choisisse convenablement les
les
et les valeurs moyennes restées arbitraires.
Si l’on fait ainsi ce choix, les séries existent, elles convergent
et elles représentent les solutions périodiques du no 50.
Conclusions.
157.Telles sont les séries auxquelles on parvient par les procédés
de calcul exposés dans les Chapitres qui précèdent. C’est
M. Newcomb qui en a eu la première idée et qui a découvert leurs
principales propriétés.
Ces séries sont divergentes, mais si l’on s’arrête à temps dans
le développement, je veux dire avant d’avoir rencontré de très
petits diviseurs, elles représentent les coordonnées avec une très
grande approximation.
On peut encore les utiliser d’une autre manière.
Imaginons que l’on s’arrête à un certain terme de développement,
puis qu’appliquant la méthode de la variation des constantes,
on prenne pour variables nouvelles les
les
les
et les
Ces variables nouvelles varieront avec une extrême lenteur
et les procédés anciens pourront être appliqués avec avantage
aux équations différentielles qui définissent leurs variations. On
pourra, par exemple, développer ces variables nouvelles suivant
les puissances du temps.