Livre:Lebesgue - Leçons sur les séries trigonométriques, 1906.djvu

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TitreLeçons sur les séries trigonométriques
Sous-titreProfessées au collège de France
AuteurHenri-Léon Lebesgue Voir l'entité sur Wikidata
Maison d’éditionGauthier-Villars
Lieu d’éditionParis
Année d’édition1906
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Pages

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.
Préface 
 v
Index 
 vii
Introduction. — Propriétés des fonctions 
 1
1. Les deux espèces de points de discontinuité 
 1
2. Points réguliers 
 2
3. Fonctions monotones ; conditions de Dirichlet 
 2
4. Fonctions à variation bornée 
 3
5. Nombres dérivés 
 5
6. Dérivée seconde généralisée. Théorème de M. Schwarz 
 5
7. Ensembles de points 
 7
8. Ensembles mesurables ; fonctions mesurables 
 8
9. Théorème sur la convergence des séries 
 9
10. Définition de l’intégrale 
 10
11. Propriétés de l’intégrale indéfinie 
 12
12. Théorème sur l’intégration des séries 
 14
13. Théorème général sur les fonctions sommables 
 15
Chapitre I. — Détermination des coefficients des séries trigonométriques représentant une fonction donnée 
 17
14. Définition des séries trigonométriques 
 17
15. Comment fut posé le problème de la représentation d’une fonction arbitraire par une série trigonométrique 
 19
16. Formules d’Euler et Fourier 
 22
17. Formules d’interpolation 
 23
18. Méthode de Fourier 
 26
19. Séries de Fourier 
 30
Chapitre II. — Théorie élémentaire des séries de Fourier 
 33
I. — Sommation de séries trigonométriques 
 33
20. Généralités 
 33
21. Procédé d’Euler et de Lagrange 
 33
22. Procédé de Fourier 
 35
II. — Étude élémentaire de la convergence 
 36
23. Principe de la méthode 
 36
24. Détermination d’une fonction par sa série de Fourier 
 37
25. Transformation d’Abel. Théorème de la moyenne 
 38
26. Conditions de convergence d’une série trigonométrique 
 42
27. Ordre de grandeur des coefficients d’une série de Fourier 
 45
28. Cas de convergence des séries de Fourier 
 46
III. — Applications 
 48
29. Représentation approchée des fonctions continues 
 48
30. Principe de Dirichlet 
 49
31. Intégrale de Poisson 
 51
32. Propriété fondamentale des fonctions harmoniques 
 53
Chapitre III. — Séries de Fourier convergentes 
 55
I. — Recherches sur la convergence 
 55
33. Caractère de convergence des séries de Fourier 
 55
34. Théorèmes de Riemann 
 59
35. Les deux espèces de conditions de convergence 
 62
36. Transformations des conditions de convergence 
 63
37. Condition de M. Dini 
 66
38. Exemples de fonctions développantes en série de Fourier 
 67
39. Condition de Lipschitz-Dini 
 70
40. Condition de M. Jordan et condition de Dirichlet 
 71
II. — Applications diverses 
 74
41. Formule de Fourier 
 74
42. Formules sommatoires 
 78
43. Sommes de Gauss 
 80
Chapitre IV. — Séries de Fourier quelconques 
 84
I. — Existence de séries de Fourier divergentes 
 84
44. Exemple de fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas partout 
 84
45. Remarques sur la convergence des séries de Fourier 
 86
46. Autre exemple de série de Fourier divergente 
 87
47. Existence de fonctions continues représentables par leurs séries de Fourier non uniformément convergentes 
 88
II. — Sommation des séries de Fourier divergentes 
 89
48. Procédé de Poisson 
 89
49. Procédé de Riemann 
 90
50. Procédé de M. Fejér 
 92
51. Nature de la divergence des séries de Fourier 
 96
III. — Opérations sur les séries de Fourier 
 98
52. Multiplication 
 98
53. Intégration 
 102
54. Dérivation 
 103
IV. — Applications géométriques 
 105
55. Théorème de Jean Bernoulli 
 105
56. Théorème des isopérimètres 
 107
Chapitre V. — Séries trigonométriques quelconques 
 110
57. Théorème de Georg Cantor 
 110
58. Théorème fondamental de Riemann 
 111
59. Condition nécessaire et suffisante démontrée par Riemann 
 113
60. Retour au procédé de sommation ordinaire 
 117
61. Théorème de Heine-Cantor 
 120
62. Théorème de Paul du Bois-Reymond 
 122
63. Exemple de série trigonométrique, partout convergente, qui n’est pas une série de Fourier 
 124
64. Théorème sur la multiplication des séries de Fourier 
 124
fin de la table des matières.
37641 Paris.— Imprimerie GAUTHIER -VILLARS, quai des Grands-Augustins, si.
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