III.
Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation
d’un système quelconque.
Les expressions que nous avons trouvées, page 215, sont très propres à représenter les valeurs des sommes
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\zeta d\eta -\eta d\zeta ),\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8446f139479e81b61deff547174130d6c36c621e)
relatives à tous les corps
d’un système quelconque ; car il est clair que les signes sommatoires ne doivent affecter que les coordonnées
et nullement les quantités
Ainsi l’on aura, après le développement,
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebd4f386f37944825f4783302cce0ac7332fe6f)
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1d99ccada831184992682ecc034f8cdbae0904)
S
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} (b\,dc-c\,db)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe31af2940bd52c690decb7534eb7b2e307b816)
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(da^{2}+db^{2}+dc^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24335d269bbc110847ccc41eb83b92b5214c6672)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\xi d\eta -\eta d\xi )=\zeta 'd\Gamma +\zeta ''d\Delta +\zeta '''d\Lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc673fe36355a348e1b8430a4c32fd92e2ae33f)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\zeta d\xi -\xi d\zeta )=\eta 'd\Gamma +\eta ''d\Delta +\eta '''d\Lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dded995a3f17be564f770d24af7eaa2e29ed013e)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\eta d\zeta -\zeta d\eta )=\xi 'd\Gamma +\xi ''d\Delta +\xi '''d\Lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee790ae2568d861b4fb3c62338322255be432db2)
en faisant, pour abréger,
S
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} (b\,dc-c\,db),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96549b9b1484fdf01f57216190f9f98ebd5d78f)
S
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} (c\,da-a\,dc),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3628559fb23232475de54ad4680675eead58fc8)
S
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} (a\,db-b\,da)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35318bb540829ca400046937f3e74ff04ac73ec)
et il est bon de remarquer que les valeurs des quantités
sont les différences partielles de la valeur de
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14174107345c96478e8da65beaa24978d464df81)
relatives aux variables ![{\displaystyle d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a8a04fca7bd3254e137092d9042fa381df8cf)
Si l’on différentie les trois dernières équations, on aura les valeurs des formules
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(\eta d^{2}\zeta -\zeta d^{2}\eta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d26fdaccbea185ddc0a3e2db54686fa92d82bd6)
qui entrent dans les équations générales pour le mouvement d’un système quelconque de corps autour de son centre de gravité ou d’un centre fixe, que nous avons données dans l’article 7 de la Section III.
Ces équations deviendront ainsi, en substituant, pour les différentielles de
les valeurs de l’article 13,
![{\displaystyle \xi '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\xi ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1387e7bfb7b9f11f54fd7e499f4c76af6bc331)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec3b556b180176a3cf27dddb25c57868d87e47f)
![{\displaystyle \eta '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\eta ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b51e2c546aff0fb7b70bcae5a545afe3bbb15ff)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec3b556b180176a3cf27dddb25c57868d87e47f)
![{\displaystyle \zeta '\left(d^{2}\Gamma -d\Delta d\mathrm {R} +d\Lambda d\mathrm {Q} \right)+\zeta ''\left(d^{2}\Delta -d\Lambda d\mathrm {P} +d\Gamma d\mathrm {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ef2ae8449a9bacae3205bcb886e067f41cd5)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec3b556b180176a3cf27dddb25c57868d87e47f)
Si l’on ajoute celles-ci ensemble, après les avoir multipliées respectivement par
par
et par
et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} '&=&\xi '\mathrm {X} &+&\eta '\mathrm {Y} &+&\zeta '\mathrm {Z} ,\\&\mathrm {Y} '&=&\xi ''\mathrm {X} &+&\eta ''\mathrm {Y} &+&\zeta ''\mathrm {Z} ,\\&\mathrm {Z} '&=&\xi '''\mathrm {X} &+&\eta '''\mathrm {Y} &+&\zeta '''\mathrm {Z} ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd448405ad0214136bb97cacf4e714458665dc82)
on aura, en vertu des formules des articles 2 et 5, les trois équations suivantes :
S![{\displaystyle \mathrm {m} (c\mathrm {Y} '-b\mathrm {Z} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6902a521f1d833e8cdc4deb6e37b8789ee2207)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (a\mathrm {Z} '-c\mathrm {X} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d33bd7568822738087d618633d20e694366ae9)
S![{\displaystyle \mathrm {m} (b\mathrm {X} '-a\mathrm {Y} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607578d4b289fcff5883a21df602e37f00b59714)
qui ont toute la généralité et la simplicité dont la question est susceptible.