Mécanique analytique/Notes du volume 1/Note 4

J. Bertrand

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 464-466).

NOTE IV.

Sur la figure d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation.

---

Reprenons les équations

(1)

$\mathrm {{\frac {mM-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{B^{2}}}} ,$

(2)

$\mathrm {{\frac {mN-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{C^{2}}}} ,$

qui ont été obtenues par Lagrange, à la page 219 ; on s’aperçoit, tout d’abord, que le raisonnement qu’il emploie n’établit pas avec rigueur l’égalité des axes $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$ $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ne différant, en effet, que par le changement des lettres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ l’une dans l’autre, on voit bien que l’hypothèse $\mathrm {B=C}$ réduit les deux équations à une seule, mais il n’est pas évident que cette hypothèse soit nécessaire pour que les équations puissent avoir lieu en même temps. Nous allons montrer, en effet, qu’il existe des formes ellipsoïdales à axes inégaux pour lesquelles l’équilibre est possible.

Les expressions que Lagrange désigne par $\mathrm {L,\,M,\,N}$ sont développées dans la Mécanique céleste de Laplace et se trouvent aujourd’hui dans la plupart des Traités de Mécanique. On a^[1]

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }},\\\mathrm {M} =&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\mathrm {H} }},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {3\mu }{k^{3}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)\mathrm {H} }}\,;\end{aligned}}$

dans ces formules, $\mu$ désigne la masse de l’ellipsoïde, et l’on a posé

$\mathrm {\frac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}} =\lambda ^{2},\qquad \mathrm {\frac {C^{2}-A^{2}}{A^{2}}} =\lambda '^{2},$

$\mathrm {H} ={\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)}}.$

Cela posé, si l’on élimine $f$ entre les équations (1) et (2), on obtient la relation

(3)

$(\mathrm {M-N} )\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)=\mathrm {L} \left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right),$

ou, d’après les expressions de $\mathrm {L,\,M}$ et $\mathrm {N}$ écrites plus haut,

(4)

$\left(\lambda ^{2}-\lambda '^{2}\right)\left[\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}dx}{\mathrm {H} ^{3}}}-\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }}\right]=0,$

égalité à laquelle on peut satisfaire de deux manières :

1^o En posant $\lambda '=\lambda ,$ ce qui donne un ellipsoïde de révolution et s’accorde avec l’indication de Maclaurin rapportée par Lagrange ;

2^o En posant

(5)

$\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}\right)\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}dx}{\mathrm {H} ^{3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}dx}{\mathrm {H} }}\,;$

cette équation fournira $\lambda$ en fonction de $\lambda '$ et conduit à l’ellipsoïde à axes inégaux signalé par M. Jacobi.

On peut d’ailleurs démontrer que, pour chaque valeur de $\lambda ,$ l’équation (5) fournira une valeur correspondante de $\lambda '.$

Si, en effet, on la met sous la forme

(6)

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-\lambda ^{2}\lambda '^{2}x^{2}\right)dx}{\mathrm {H} ^{3}}}=0,$

on voit que, en attribuant à $\lambda$ une valeur déterminée, le premier membre est

positif lorsque $\lambda '$ est nul, et négatif si $\lambda '$ est très grand ; il s’annule donc, nécessairement, pour une certaine valeur positive de $\lambda '.$

On peut consulter, pour plus de détails, la Note insérée par M. Liouville dans le tome XIV du Journal de l’École Polytechnique (XXIII^e Cahier). Nous indiquerons aussi un article inséré par M. Liouville au tome IV de son Journal, et qui contient quelques remarques intéressantes relatives à l’équation (6). Cet article est intitulé : Observations sur un Mémoire de M. Yvory. La question a enfin été traitée par un géomètre allemand, M. Meyer, de Kœnigsberg. M. Meyer s’est demandé^[2] si, pour une vitesse de rotation donnée, plusieurs formes ellipsoïdales à trois axes inégaux peuvent assurer l’équilibre, et il parvient à démontrer qu’il n’en peut exister qu’une seule. M. Meyer démontre en même temps qu’à une vitesse de rotation donnée correspondent, en général, deux formes ellipsoïdales de révolution ; c’est ce que l’on peut voir, du reste, dans la Mécanique céleste de Laplace, tome II, page 56.

(Note de M. J. Bertrand.)

1. Mécanique céleste, t. II, p. II.
2. Journal de Crelle, t. 24.