Mécanique analytique/Notes du volume 2/Note 6

A. Bravais

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 359-362).

NOTE VI.

Note sur une formule de Lagrange relative au mouvement pendulaire ;
par M. A. Bravais.

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Mon édition de la Mécanique analytique (Paris, 1815) renfermant plusieurs fautes typographiques, je vais reprendre les calculs de Lagrange à la page 91 du Tome II^[1].

Lagrange veut calculer l’angle de rotation $\varphi$ du pendule autour de la verticale, et il écrit que, $\alpha$ et $\beta$ étant les amplitudes maximum et minimum, $\psi$ l’amplitude variable avec le temps, et $\sigma$ un angle auxiliaire donné par la formule

$\cos \psi =\cos \alpha \sin ^{2}\sigma +\cos \beta \cos ^{2}\sigma ,$

on aura

$d\varphi ={\frac {{\sqrt {2\varkappa }}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\frac {d\sigma }{(1+\cos \psi )\Sigma }}+{\frac {{\sqrt {2\varkappa }}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\frac {d\sigma }{(1-\cos \psi )\Sigma }}.$

On a d’ailleurs

${\begin{aligned}\varkappa =&{\frac {\cos \alpha +\cos \beta }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }},\\\Sigma =&{\sqrt {1+\varkappa (\cos \beta -\cos \alpha )\cos 2\sigma }}.\end{aligned}}$

Il s’agit d’intégrer de $\sigma =0$ à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ ou, ce qui revient au même, de $\psi =\varkappa$ à $\psi =\beta ,$ en tenant compte des termes du second ordre $\alpha ,\,\beta ,$ et négligeant ceux du quatrième ordre. Le calcul du premier des deux termes qui composent la valeur de $d\varphi$\int n’offre aucune difficulté ; on peut poser

$\varkappa ={\frac {1}{4}},\quad \Sigma =1,\quad 1+\cos \psi =2,\quad {\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}=2,\quad \sin \alpha \sin \beta =\alpha \beta \,;$

on trouve alors, pour ce premier terme,

${\frac {1}{4}}\alpha \beta d\sigma$

et, intégrant,

${\frac {\pi }{2}}{\frac {\alpha \beta }{4}}.$

Le calcul du second terme est plus compliqué, parce que le dénominateur renferme le facteur $1-\cos \varphi ,$ qui est lui-même du second ordre.

Faites, avec Lagrange,

${\frac {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}=\sin 2\gamma ,$

${\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2-\cos \beta -\cos \alpha }}=\sin 2\nu \,;$

vous aurez

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-\cos \psi }}=&{\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\nu -2\operatorname {tang} \nu \cos 2\sigma \right)}},\\{\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}=&{\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A''+B''\cos 2\sigma +C''\cos 4\sigma \right)} ,\end{aligned}}$

ou plus simplement, en supprimant les termes en $\cos 2\sigma ,\,\cos 4\sigma ,$ lesquels doivent disparaître par l’intégration,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}=&{\frac {2\mathrm {A} ''}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\\=&{\frac {2\mathrm {\left(A+B\operatorname {tang} \nu +C\operatorname {tang} ^{2}\nu +\ldots \right)} }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma \left(1-\operatorname {tang} ^{2}\nu \right)}}.\end{aligned}}$

Dans cette formule, on a d’ailleurs

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma +\ldots ,\\\mathrm {B} =&-\operatorname {tang} \gamma -\ldots ,\\\mathrm {C} =&{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma +\ldots ,\end{aligned}}$

ce qui change le terme à calculer en

${\frac {2{\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta d\sigma \left(1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma -\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma \operatorname {tang} ^{2}\nu +\ldots \right)}{{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos \gamma \cos ^{2}\nu \left(1-\operatorname {tang} ^{2}\nu \right)}}.$

En intégrant de $\sigma =0$ à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ ce terme devient

${\begin{aligned}{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{2-\cos \alpha -\cos \beta }}&{\frac {\pi {\sqrt {2}}}{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}}{\frac {1}{\cos \gamma }}{\frac {1}{\cos 2\nu }}\\\times &\left(1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma -\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma \operatorname {tang} ^{2}\nu \ldots \right).\end{aligned}}$

Si l’on néglige les quantités du quatrième ordre en $\alpha ,\,\beta$^[2]), le premier facteur aura pour valeur

${\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\left[1-{\frac {\alpha ^{4}+\beta ^{4}+4\alpha ^{2}\beta ^{2}}{12\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}}\right]\,;$

le deuxième facteur sera

${\frac {\pi }{2}}\left[1+{\frac {3}{16}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\right]\,;$

le troisième facteur sera

${\frac {1}{\cos \gamma }}=1\,;$

le quatrième facteur sera égal à

${\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{2\alpha \beta }}\left[1-{\frac {\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)^{2}}{24\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}}\right]\,;$

le cinquième facteur sera égal à

$1-{\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{16}}{\sqrt {\frac {1-\cos 2\nu }{1+\cos 2\nu }}}=1-{\frac {(\alpha -\beta )^{2}}{16}}.$

Le produit total sera donc

${\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {\alpha \beta }{8}}\right),$

et, en lui ajoutant ${\frac {\pi }{2}}{\frac {\alpha \beta }{4}},$ on trouvera

$\Phi ={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {3\alpha \beta }{8}}\right),$

$\Phi$ étant la différence des valeurs de la variable entre les limites $\psi =\alpha$ et $\psi =\beta .$

Lagrange a trouvé

$\Phi ={\frac {\pi }{2}}{\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\,;$

son erreur provient de ce que, dans le second terme de $d\varphi ,$ il a écrit, par mégarde, au dénominateur, $1+\operatorname {tang} ^{2}\nu$ au lieu de $1-\operatorname {tang} ^{2}\nu ,$ erreur qui a fait disparaître le facteur ${\frac {1}{\cos 2\nu }},$ et par cette suppression le facteur ${\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$ provenant de ${\frac {\sin \alpha \sin \beta }{2-\cos \alpha -\cos \beta }},$ On peut s’étonner que Lagrange n’ait pas reconnu une telle erreur ; car la formule

$\Phi ={\frac {\pi \alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$

donne pour l’orbite du mobile, comme Lagrange en fait lui-même la remarque, une courbe festonnée, dans laquelle le rapport de l’amplitude angulaire $2\Phi$ des festons à la demi-circonférence peut varier d’une manière quelconque entre $0$ et $1\,:$ or il suffit de jeter les yeux sur un pendule oscillant elliptiquement, et, par exemple, sur un fil à plomb ordinaire, pour reconnaître que ce résultat est complètement contredit par l’observation. Tant il est vrai que l’erreur est tellement humaine, qu’elle peut se glisser sous la plume du plus illustre géomètre^[3] !

1. Page 188 de ce Volume. G. D.
   
2. La méthode suivie par Bravais est loin d’être la plus simple, et elle laisse supposer que l’expression à calculer n’est pas développable suivant les puissances entières de $\alpha$ et de $\beta .$ Il vaut mieux employer la formule
   ${\frac {\sin \alpha \sin \beta }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos 2\nu }}=\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}},$

   qui se déduit facilement de la valeur de $\sin 2\nu$ et qui permet de ramener l’expression à la forme

   ${\frac {\pi {\sqrt {2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}}{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos \alpha +\cos \beta }}}(1-\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +\ldots ).$

   On trouve ainsi

   ${\frac {\pi }{2}}\left[1+{\frac {1}{16}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\right](1-\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu ),$

   ce qui conduit au résultat de Bravais. G. D.
   

3. Voir, pour plus de développements sur la théorie du pendule conique, un Mémoire de M. Richelot (Journal de M. Crelle, t. XLV), et une Thèse très intéressante présentée par M. Tissot à la Faculté des Sciences de Paris et insérée au tome XVI du Journal de M. Liouville. (J. Bertrand.)