SECONDE PARTIE.
LA DYNAMIQUE (Suite).
SECTION SEPTIÈME.
Sur le mouvement d’un système de corps libres, regardés comme des points, et animés par des forces d’attraction..
On peut ranger en trois classes tous les systèmes de corps qui agissent les uns sur les autres, et dont on peut déterminer le mouvement par les lois de la Mécanique ; car leur action mutuelle ne peut s’exercer que de trois manières différentes qui nous soient connues ou par des forces d’attraction, lorsque les corps sont isolés, ou par des liens qui les unissent, ou enfin par la collision immédiate. Notre système planétaire appartient à la première classe, et par cette raison les problèmes qui s’y rapportent doivent tenir le premier rang parmi tous les problèmes de la Dynamique. Nous allons en faire l’objet de cette Section.
Quoique dans les systèmes de cette classe, où les corps sont supposés se mouvoir librement, il soit très facile de trouver les équations de leur mouvement, puisqu’il ne s’agit que de réduire toutes les forces
à trois directions perpendiculaires entre elles et d’égaler, par le principe des forces accélératrices, la force suivant chacune de ces directions à l’élément de la vitesse relative à la même direction, divisé par l’élément du temps ; néanmoins, l’usage des formules données dans la Section IV est toujours préférable, parce qu’elles fournissent directement, et sans aucune décomposition préalable de forces, les équations différentielles les plus simples, quelles que soient les coordonnées qu’on emploie pour déterminer la position des corps, même lorsque les corps, au lieu d’être tout à fait libres, sont contraints de se mouvoir sur des surfaces ou des lignes données.
Nous commencerons par rappeler les formules dont nous ferons usage.
1. Soient
les masses des différents corps regardés comme des points ;
les coordonnées rectangles du corps
celles du corps
et ainsi de suite, ces coordonnées étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes de l’espace. On fera
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mathrm {m} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} '{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9e1571eadf9b20c455dd0baa86bb49eecc02b9)
Et si, à la place des coordonnées rectangles
on veut employer d’autres coordonnées quelconques
il n’y aura qu’à substituer les valeurs de
en
dans la formule
de même, on substituera dans
les valeurs de
en
si l’on veut transformer les coordonnées rectangles
en
et ainsi de suite. De cette manière, la quantité
deviendra une fonction des variables
et de leurs différences premières.
Soient maintenant
les forces avec lesquelles chaque point de la masse
tend vers des centres fixes ou non, dont les distances soient
lesquelles, étant données en
deviendront aussi des fonctions de
on fera
![{\displaystyle \delta \Pi =\mathrm {R} \delta r+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {P} \delta p+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18b2a3c01c0265dc63f023af2e356324383e8bd)
soit que
![{\displaystyle \delta \Pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1420cfd8435736145a99b16855d46772b205f44c)
soit une différentielle complète ou non ; et, dénotant par les mêmes lettres marquées d’un trait, de deux traits, les quantités analogues relatives aux corps
![{\displaystyle \mathrm {m',\,m''} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eaa6008f4a999a6441f8431d62f104527461562)
on fera de plus
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =\mathrm {m\delta \Pi +m'\delta \Pi '+m''\delta \Pi ''} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab45495a03681c3604d551514ca216aeaf15717)
Si, outre ces forces dirigées vers des centres donnés, il y avait des forces d’attraction mutuelle entre toutes les molécules des corps
et
en nommant
la distance de ces corps, regardés comme des points, et
la force d’attraction, dépendante de la distance ou non, il faudrait ajouter à
le terme
et ainsi pour tous les autres corps qui s’attireraient mutuellement.
Or, les corps étant supposés libres, les coordonnées qui déterminent leur position dans l’espace sont indépendantes, et chacune d’elles, comme, donnera une équation de la forme
![{\displaystyle d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7c13aaee44fe40dc78434fb6f06e0067635b5b)
2. Lorsque les quantités
sont des différentielles complètes, ce qui a toujours lieu dans le cas où les forces sont proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances aux centres d’attraction, lequel est celui de la nature, il sera plus simple de prendre d’abord les intégrales
lesquelles seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pi \ =\int \mathrm {R} \ dr+\int \mathrm {Q} \ dr+\int \mathrm {P} \ dr+\ldots ,\\&\Pi '=\int \mathrm {R} 'dr+\int \mathrm {Q} 'dr+\int \mathrm {P} 'dr+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c9222f34cd2d857a2fe3255246841402340242)
et la quantité
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {V=m\Pi +m'\Pi '+m''\Pi ''} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79655ceba06edcda8b03212f59ed01893da44a9c)
laquelle étant réduite en fonction des variables
il sera aisé d’en déduire par la différentiation les différences partielles
Dans ce cas, si les fonctions
et
ne renferment point
le temps fini
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on aura toujours l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {T+V=H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06599aeea7b7465ec644bad7da5a44f95fde9b8a)
étant une constante arbitraire, laquelle renferme le principe des forces vives.
CHAPITRE PREMIER.
Du mouvement d’un corps regardé comme un point et attiré vers un centre fixe par des forces proportionnelles à une fonction de la distance, et en particulier du mouvement des planètes et des comètes autour du soleil.
3. Lorsqu’on ne considère que le mouvement d’un corps isolé, on peut supposer sa masse
égale à l’unité, et l’on aura simplement
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\Pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c9d46c11fbc1f3e3d754f3ebd0e88538045493)
et
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =\mathrm {R} \delta r+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {P} \delta p+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b07f8404d2eb4ead088f1bfed8fa318a2d9f7e2)
Dans ce cas, quelles que soient les trois coordonnées qui déterminent le lieu du corps dans l’espace, comme elles sont indépendantes, elles donneront trois équations différentielles de la forme
![{\displaystyle d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec8ea7822414c5262701763deedd4800c2709df)
auxquelles on pourra joindre l’équation du premier ordre
![{\displaystyle \mathrm {T+V=H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06599aeea7b7465ec644bad7da5a44f95fde9b8a)
qui tiendra lieu de l’une d’entre elles.
Si le mouvement se faisait dans un milieu résistant, en désignant la résistance par
il n’y aurait qu’à ajouter à la valeur de
les termes (Sect. II, art. 8)
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35476b93c54a0fc11d2d50c34bd577142209019a)
mais l’équation
n’aurait plus lieu.
4. Supposons que le corps
soit attiré vers un centre fixe par une force
fonction de la distance
du corps au centre, on aura simplement
![{\displaystyle \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2ea54d356d8287df9bf965d2bd7e4bb800c170)
Prenons la distance
pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l’angle
que le rayon vecteur
fait avec le plan des
et l’angle
que la projection de
sur ce plan fait avec l’axe des
en plaçant l’origine des coordonnées rectangles
dans le centre des rayons
de manière que l’on ait
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc31036f1fa7397dfee56816719421504b300b51)
on trouve facilement
![{\displaystyle x=r\cos \psi \cos \varphi ,\quad y=r\cos \psi \sin \varphi ,\quad z=r\sin \psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af9be9db624a68bedc15e3f04bc8905384f0a3e)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ea6e670ed9e969d06e7f8f3e40fe2362ca04d5)
On aura donc ces trois équations différentielles relatives à ![{\displaystyle r,\,\psi ,\,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e693ceb4ec9d4ccf4ae2fc42d17e22c9702f31e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ce78d2d23192ead85ac909935e3763e588dc9d)
lesquelles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R} =0,\\&d{\frac {r^{2}d\psi }{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=0,\\&d{\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbed8f3ef679e842f41e567d8d2a41c1bc27e75)
et l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T+V=H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead76d4d06b96c1031480bdcbfd22b3b6281fe33)
donnera tout de suite cette première intégrale
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9909ed9f4ac3d86c8b8798082d37605d7b96b1c8)
dans laquelle
est une constante arbitraire.
5. La dernière des trois équations différentielles est intégrale d’elle-même ; son intégrale est
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d949db0d96e1bbf1d9be058d4c10d56a62da05)
étant une constante arbitraire ; et la seconde devient intégrable en y substituant pour
sa valeur
tirée de celle-ci, et en la multipliant par
l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f611035225294eb98cab910678405f9dd6f62db3)
étant une nouvelle constante arbitraire.
Je remarque d’abord sur cette intégrale que, si l’on suppose que
et
soient nuls à la fois dans un instant, ils seront toujours nécessairement nuls ; car, en faisant pour un instant
et
la dernière équation donne
et elle devient, par la substitution de
au lieu de
![{\displaystyle {\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f546662f64c9f3601a2558775f94705f6be9e7)
laquelle ne peut avoir lieu qu’en faisant
![{\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1d6964e3f51924bcfb89c02d1961dd3301fb46)
La supposition dont il s’agit revient à faire en sorte que le corps se meuve dans un instant dans le plan des
ce qui est toujours possible, puisque la position de ce plan est arbitraire ; alors le corps continuera de se mouvoir dans le même plan et décrira nécessairement une orbite plane, c’est-à-dire une ligne à simple courbure. C’est ce
qu’on peut aussi démontrer directement par l’intégration de la même équation. Car, en y substituant pour
![{\displaystyle dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc)
sa valeur tirée de la première intégrale, elle devient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} ^{2}d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332e26b29c86296bcb40cd12cb721f7522d3dec0)
Soit, lorsque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E^{2}=C^{2}+C^{2}} \operatorname {tang} ^{2}i={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838a18884cec5a8dc90d72d4f9215494fb5ecba6)
et la dernière équation se changera en
![{\displaystyle {\frac {d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{2}i}}-{\frac {1}{\cos ^{2}\psi }}=\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c5b644cf60b910e1ed91fc29007c4de378f245)
d’où l’on tire
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {d\psi }{\cos ^{2}\psi {\sqrt {\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6540b54cc86b75b0f416d383d1574b730746a062)
équation séparée dont l’intégrale est
![{\displaystyle \varphi -h=\operatorname {arc\,sin} {\frac {\operatorname {tang} \psi }{\operatorname {tang} i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fed1c573a77e430be2984190500ba3fe6f3149)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed863ab86bee7f0de0652c0bb9ab619f8e645b)
étant la valeur de
lorsque ![{\displaystyle \psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6f3861f9533700f51f7859e8ced99f7625f0b0)
Cette équation fait voir que
et
sont les deux côtés d’un triangle sphérique rectangle dans lequel
est l’angle opposé au côté
Ainsi, puisque l’arc
est pris sur le plan des
et que l’arc
est toujours perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que l’arc qui joint ces deux-ci, et qui forme l’hypoténuse du triangle, fera avec la base
l’angle constant
par conséquent, cet arc passera par les extrémités de tous les arcs, et tous les rayons
se trouveront dans le plan du même arc, lequel sera ainsi le plan de l’orbite du corps, dont l’inclinaison sur le plan des
sera l’angle constant
et dont l’intersection avec ce même plan fera avec l’axe des
l’angle
Si, pour fixer les idées, on prend le plan des
pour l’écliptique,
sera la longitude sur l’écliptique,
la latitude ;
la longitude du nœud de l’orbite et
son inclinaison.
6. Prenons maintenant l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414ca6e91ffc8fd36474264a774827eb68f86e6a)
en y substituant pour
sa valeur en
trouvée ci-dessus, elle devient
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}{\cos ^{2}idt^{2}}}+{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a404e4d8189621979059ae8863c85d37c073ab)
laquelle doit être combinée avec l’autre intégrale
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65332bd51c7f9732af43d5991f5fc6f6bffcbff)
Si l’on y substitue la valeur de
tirée de celle-ci et qu’on fasse
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0414fa6d26787ef5047742a0c5c8ee632ef82381)
on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3aac545ca8a80fbf12e7c9547cd8708a9927ea4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9067482844f677ad232fb954a731cbdbc83b718f)
En intégrant cette équation, on aura l’expression de
en
et réciproquement celle de
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
7. On aura ensuite
par l’équation
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {\mathrm {D} \cos idt}{r^{2}\cos ^{2}\psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4523fe80bd00e8a0d46fba3c7aa5cb53b0433249)
or, comme le plan des angles
est arbitraire, si on le fait coïncider avec le plan de l’orbite, en faisant
on aura aussi
(art. 5), par conséquent
et, dans ce cas, l’angle
sera celui que le
rayon
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
décrit dans le plan de l’orbite. Donc, si l’on désigne en général cet angle par
![{\displaystyle d\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ab19e45b0fbe62ebb299256c10e3ab63b8d8ff)
on aura
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce75e78dfb0b046b3beded1c7bc01ff486fd6bd1)
et, substituant la valeur de
en ![{\displaystyle dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53f31d23be1a40871998b6eafa0245b7511eca7)
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ac53fbcca389a9f8855dea8169106ef37b0b3)
équation dont l’intégrale donnera la valeur de
en
et réciproquement celle de
en ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
Ensuite on aura
en
par l’équation
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\cos ^{2}\psi d\varphi }{\cos i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3e7b9563ef99d1040454a1e4ebbc2f375ad615)
laquelle, en substituant pour
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9097623607b8aa4fe0e5364a0f223edda40eaa0c)
trouvée plus haut, devient
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {d\varphi }{\cos i\left[1+\operatorname {tang} ^{2}i\sin ^{2}(\varphi -h)\right]}}={\frac {\cos id\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos ^{2}i+\operatorname {tang} ^{2}(\varphi -h)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7baa532d5e105c7a7d22236d8d335dab279b05fb)
d’où l’on tire par l’intégration
![{\displaystyle \Phi +k=\operatorname {arc\,\operatorname {tang} } {\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed88e6f218086b365f8d229463aeee354002b4e0)
étant une constante arbitraire ; et de là
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece6ee2958bb0bdf4640cfe40ff69f8dc0dbb3d1)
équation qui indique que
est l’hypoténuse du même triangle sphérique rectangle dont la base est
et l’angle adjacent
(art. 5), et dont le côté opposé à
est ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)
On voit par là que
est l’angle décrit par le rayon
dans le plan de l’orbite, et dont l’origine est à la ligne d’intersection de ce plan avec celui des
; que
est l’angle décrit par la projection de ce rayon sur le même plan, et que
est l’inclinaison du plan de l’orbite sur le plan fixe des
8. Le problème est donc résolu, puisqu’il ne dépend plus que de l’intégration des deux équations séparées entre
et
les six constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète des trois équations différentielles en
et
seront
et les deux que l’intégration introduira dans les valeurs de
et de
Dans la solution que nous venons de donner, nous avons pris pour coordonnées le rayon vecteur avec les deux angles de longitude et de latitude, pour nous conformer à l’usage des astronomes ; aussi cette solution a-t-elle l’avantage d’offrir directement la plupart des théorèmes que l’on ne trouve ordinairement que par la Trigonométrie sphérique. Mais, en l’envisageant du côté analytique, elle est moins simple que si l’on avait conservé les coordonnées rectangles primitives ; c’est ce qu’il est bon de faire voir, d’autant qu’il en résultera de nouvelles formules qui pourront être utiles par la suite.
9. En prenant
pour les trois variables indépendantes, les formules générales de l’article 3 donnent tout de suite les trois équations différentielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {x}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {y}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {z}{r}}=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de8ea4cb1c496b278ad220366c268920ce2a33f)
et l’équation intégrale
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr=\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeb03722df81c84abb7089f79c123f97085df0b)
En chassant
des trois équations différentielles, on a immédiatement
trois équations intégrables et dont les intégrales sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} ,\\{\frac {zdx-xdz}{dt}}=\mathrm {B} ,\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=\mathrm {A} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095c3a1bca9aafde2cc8b2e4b47762ae24d59b8c)
étant des constantes arbitraires dont la première est la même que celle de l’équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87e4de0e21c454a227eb8f7ee19a5729ca07c11)
de l’article 5, parce qu’en effet celle-ci n’est qu’une transformée de l’équation
![{\displaystyle {\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07313bf471bc506093cc3211de0c704345a832e)
par la substitution des valeurs de
de l’article 4.
Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un système de corps, dans l’article 9 de la Section III, d’où nous aurions pu les emprunter.
10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équations et employant cette réduction connue
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(xdy-ydx)^{2}+(zdx-xdz)^{2}+(ydz-zdy)^{2}\\&\quad =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(xdx+ydy+zdz)^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247cedce6ba03fc7a135e3868e4f4b3296aba53b)
on a l’équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2bb77da8c2856ab21bc8f6a5123f837907d6da)
laquelle, en y substituant pour
sa valeur tirée de la première intégrale, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576f24a98e054dd8abccece259302d103bd888cf)
donne
![{\displaystyle 2r^{2}\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {R} dr\right)-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98df2cb8992a9ead717772168e483ae9c2b3f0c)
d’où l’on tire tout de suite
![{\displaystyle dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d09286c79feee8ee9e23ee53c667e7a13824da1)
comme dans l’article 6.
Les mêmes équations, étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par
la deuxième par
et la troisième par
donnent celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {C} z+\mathrm {B} y+\mathrm {A} x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1da3ca8b8bb16a2b80c4ed833f9d1e97ea13afd)
laquelle est à un plan passant par l’origine des coordonnées et fait voir que l’orbite décrite par le corps est une courbe plane décrite autour du centre des forces.
11. Nommons
les coordonnées rectangles de cette courbe, l’axe des
étant pris dans la ligne d’intersection du plan de la courbe avec celui des
nommons de plus, comme dans l’article 5,
l’angle formé par ces deux plans, et
l’angle que la même ligne d’intersection fait avec l’axe des
ces deux quantités
et
seront constantes, et, par les formules connues de la transformation des coordonnées, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\xi \cos h-\eta \cos i\sin h,\\y=&\xi \sin \,h+\eta \cos i\cos h,\\z=&\eta \sin i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bbf9a445f87df494ecfac29ce5de77ab63aef3)
Ces valeurs, étant substituées dans les mêmes équations, donneront celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\cos i=\mathrm {C} ,\\&{\frac {\eta d\xi -\xi d\eta }{dt}}\sin i\cos h=\mathrm {B} ,\\&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\sin i\sin h=\mathrm {A} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f294e72192b22dd72347a9fb17c5f8ad3697336f)
Ajoutant leurs carrés ensemble et extrayant ensuite la racine, on a (
art. 6)
![{\displaystyle {\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}=\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} ={\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd0bb16c96d33a5d27e62ed2720dea08f71d15)
de sorte que les valeurs des constantes
seront
![{\displaystyle \mathrm {C=D} \cos i,\quad \mathrm {B=-D} \sin i\cos h,\quad \mathrm {A=D} \sin i\sin h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65e365e530b466ab0150b33e421f5cbb43c21ed)
Or, désignant par
comme dans l’article 7, l’angle que le rayon
fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite et du plan fixe des
il est clair qu’on aura
![{\displaystyle \xi =r\cos(\Phi +k),\quad \eta =r\sin(\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb6732274facdc6c72c36a6ace56eeded332031)
et la dernière des équations précédentes deviendra
![{\displaystyle r^{2}d\Phi =\mathrm {D} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18e3179cafe2309b3428719e1c8b54769156a9b)
laquelle donne le théorème connu des secteurs
proportionnels au temps ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Substituant la valeur de
on aura
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ac53fbcca389a9f8855dea8169106ef37b0b3)
comme dans l’article cité.
Ainsi le problème est de nouveau réduit à l’intégration des deux équations séparées en
et
que nous avions déjà trouvées ci-dessus (art. 6 et 7) ; mais cette intégration dépend de l’expression de la force centrale
en fonction du rayon
12. On voit, par ces équations, que ce rayon sera le plus grand ou le plus petit, soit relativement au temps
soit relativement à l’angle
lorsqu’il sera déterminé par l’équation
![{\displaystyle 2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7c6c656c6aea7c31fa0e7f3a05a6c09186e118)
Supposons qu’en intégrant ces mêmes équations on prenne les intégrales en
de leurs seconds membres, de manière qu’elles commencent au point où
est un minimum, et que l’angle
commence aussi à ce point ; l’angle
sera alors celui que le rayon qui passe par le même point fera avec la ligne d’intersection de l’orbite avec le plan fixe (art. 7) ; et cette constante
jointe à celle que l’intégration peut ajouter à
et aux constantes
ou
complétera le nombre des six constantes arbitraires que l’intégration des trois équations différentielles en
et
doit donner.
13. Si maintenant on fait
![{\displaystyle \mathrm {X} =r\cos \Phi ,\qquad \mathrm {Y} =r\sin \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343cb26e79b7680150beb7c7bcc263e6ccc98df6)
il est clair que
et
seront les coordonnées rectangles de la courbe, placées dans son plan et ayant la même origine que le rayon
les abscisses
étant dirigées vers le point où
est un minimum ; et si l’on substitue ces quantités dans les valeurs de
et de
l’article 11, on aura
![{\displaystyle \xi =\mathrm {X} \cos k-\mathrm {Y} \sin k,\qquad \eta =\mathrm {Y} \cos k+\mathrm {X} \sin k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade006bd7f743f4584d85a9a6faa207e3e1fcfa7)
Substituons ces valeurs dans celles de
du même article et faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \,\ =&+\cos k\cos h-\sin k\sin \,h\cos i,\\\beta \,\ =&-\sin \,k\cos h-\cos k\sin h\cos i,\\\alpha _{1}=&+\cos k\sin \,h+\sin \,k\cos h\cos i,\\\beta _{1}=&-\sin \,k\sin \,h+\cos k\cos h\cos i,\\\alpha _{2}=&\sin \,k\sin i,\\\beta _{2}=&\cos k\sin i\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0075603fa9e96f2ea59ac5ab7074ab5bb9981c98)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\alpha \,\ \mathrm {X+\beta \,\ Y} =r(\alpha \,\ \cos \Phi +\beta \,\ \sin \Phi ),\\y=&\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} =r(\alpha _{1}\cos \Phi +\beta _{1}\sin \Phi ),\\z=&\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} =r(\alpha _{2}\cos \Phi +\beta _{2}\sin \Phi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875d198c1cad76c067dbfea10b58ff50feea582c)
expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l’orbite relativement au plan fixe des ![{\displaystyle xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f)
Ces expressions de
sont conformes à la théorie générale exposée (Sect. II, art. 10), et l’on aurait pu les en déduire immédiatement.
En effet, en considérant tout de suite le mouvement dans l’orbite, on a les coordonnées
la troisième
étant nulle, lesquelles, ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs particulières des coordonnées générales
ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficients
qui renferment les trois autres constantes.
14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l’orbite propre du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par les trois coordonnées
lesquelles ne continssent aussi que trois constantes arbitraires, on aurait alors par la même théorie les expressions générales
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\mathrm {\alpha \ \,X+\beta \ \,Y+\gamma \ \,Z} ,\\y=&\mathrm {\alpha _{1}X+\beta _{1}Y+\gamma _{1}Z} ,\\z=&\mathrm {\alpha _{2}X+\beta _{2}Y+\gamma _{2}Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8125d0d9064392c2e2c767ddcb0e5cd377c42ecc)
et comme on a trouvé (Sect. III, art. 10)
![{\displaystyle \gamma =\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2},\quad \gamma _{1}=\beta \alpha _{2}-\alpha \beta _{2},\quad \gamma _{2}=\alpha \beta _{1}-\beta \alpha _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba40753cb3e197e21082491aab66e68ded2a5c5c)
on aurait
![{\displaystyle \gamma =\sin h\sin i,\quad \gamma _{1}=-\cos h\sin i,\quad \gamma _{2}=\cos i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcc68bd30cc80c682e76dc0380b281c04524aa9)
Ces valeurs de
renfermant les trois arbitraires
satisfont d’une manière générale aux six équations de condition données (Part. I, Sect. III, art. 10)
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \gamma ^{2}+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb94ac10a2da2ad434c992e33e0dde70be5025b)
![{\displaystyle \alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,\quad \alpha \gamma +\alpha _{1}\gamma _{1}+\alpha _{2}\gamma _{2}=0,\quad \beta \gamma +\beta _{1}\gamma _{1}+\beta _{2}\gamma _{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340ac23e02a6df4d9f13f0558e84a345578f1587)
Après avoir donné les formules générales pour le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe, il ne reste qu’à les appliquer au mouvement des planètes et des comètes ; c’est l’objet des paragraphes suivants.
§ 1. — Du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil
supposé fixe.
15. Dans le système du monde, la force attractive étant en raison inverse du carré des distances, on fera
étant la force attractive d’une planète vers le Soleil, à la distance
ce qui donnera
Substituant cette valeur dans l’équation entre
et
(art. 11), on voit que la quantité sous le signe devient
![{\displaystyle 2\mathrm {H} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e9a203624018d255fb5b5a000ebfb090d2f3df)
laquelle peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle 2\mathrm {H+{\frac {g^{2}}{D^{2}}}} -\left({\frac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\frac {g}{D}} \right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69bdbb81dc5132bdff35f9b520e894dcb09f51e)
alors le second membre de l’équation exprimera la différentielle de l’angle ayant pour cosinus la quantité
![{\displaystyle {\frac {{\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} }{\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acd3721c5e9c7a5615bdbf9bfbf1983d81670e4)
de sorte que, intégrant, ajoutant à
la constante arbitraire
et passant des arcs à leurs cosinus, on aura
![{\displaystyle {\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} =\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} \cos(\Phi +\mathrm {K} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0b3da0e4bad8568f53d2540abaf1610e668488)
On voit que la plus petite valeur de
aura lieu lorsque l’angle
est nul de sorte que, comme nous avons supposé (art. 12) que l’angle
commence au point qui répond au minimum de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056ac09aff91a190dcc3ce70206a6e38e8389cd2)
Donc, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle b=\mathrm {\frac {D^{2}}{g}} ,\quad e=\mathrm {\sqrt {1+{\frac {2HD}{g}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c06959275bae4158edd499a25426683ba8f3e)
on aura
![{\displaystyle r={\frac {b}{1+e\cos \Phi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4cf0c4485ead0ffce11babdeb99a68a4a36f4a)
équation polaire d’une section conique dont
est le paramètre,
l’excentricité, c’est-à-dire le rapport de la distance des foyers au grand axe,
le rayon vecteur partant d’un des foyers, et l’angle qu’il fait avec la partie du grand axe qui répond au sommet le plus proche de ce foyer.
La plus grande et la plus petite valeur de
étant
et
leur demi-somme sera
c’est la distance moyenne que nous désignerons par
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle b=a\left(1-e^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b696d6fcd1cb635e7af67a484f5c9fb0e579d122)
et si l’on substitue ici pour
et
leurs valeurs en
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}}=-\mathrm {\frac {2H}{g}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3defaac8d070cd948a50f2ad187c7677cbe0118)
d’où l’on voit que la constante
doit être négative pour que l’orbite soit elliptique ; si elle était nulle, l’axe
serait infini, et l’orbite deviendrait parabolique ; mais, si elle était positive, l’axe
serait négatif[1], et l’orbite serait hyperbolique. Dans le premier cas, la valeur de l’excentricité
sera moindre que l’unité ; elle sera
dans le deuxième cas et plus grande que
dans le troisième.
Il y a encore une autre hypothèse d’attraction qui donne aussi une orbite elliptique, c’est l’attraction en raison directe des distances ; mais, comme elle n’est point applicable aux planètes, nous ne nous y arrêterons pas ici. On peut voir les Principes de Newton et les Ouvrages où l’on a traduit ses théories en Analyse.
16. Revenons maintenant à l’équation qui donne
en
(art. 10), et substituons-y
à la place de
à la place de
et
à la place de
elle deviendra
![{\displaystyle dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mathrm {g} a}}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af0064348b98f066c99ed4b0a9bbb774c5b0c8e)
Faisons
ce qui donne
![{\displaystyle r=a(1-e\cos \theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5efda8d06e7d430121783e32ba7780d4aa48927)
on aura
![{\displaystyle dt={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(1-e\cos \theta )d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2deb14d1bcecb18345bc7376608ac14646c1793d)
et, intégrant avec une constante arbitraire ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69521b7a6b4eb1710daf132d4da57fe1343fdad)
Cette équation donnera
en
et comme on a
en
on aura, par la substitution,
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on fait la même substitution dans l’équation entre
et
de l’article 11, on aura celle-ci
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {d\theta {\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e\cos \theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a45176a58763efcba810fe40c6418fe39484c0)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \Phi =\operatorname {arc\,\sin } {\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{1-e\cos \theta }}+\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc49a79cf708f170509956ca47a7dfad16bd915)
Mais on peut avoir la valeur de
en
sans une nouvelle intégration, par la simple comparaison des valeurs de
laquelle donne l’équation
![{\displaystyle {\frac {b}{1+e\cos \Phi }}=a(1-e\cos \theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f170b4f27a11dd2aac072c2783591b53535bcf38)
d’où l’on tire, à cause de
![{\displaystyle \cos \Phi ={\frac {\cos \theta -e}{1-e\cos \theta }},\quad \sin \Phi ={\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}{\sqrt {1-e^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6edd8a06577c33abf9d48f39d04aa1f628364d)
et, de là,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e25bf65c6a2faf08939412f69797739c3b3c20)
On voit, par ces formules, que, lorsque l’angle
est augmenté de
le rayon
revient le même, et que l’angle
est aussi augmenté de
Ainsi la planète revient au même point, après avoir fait une révolution entière. Or, l’angle
augmentant de
le temps
se trouve augmenté de
c’est le temps que la planète emploie pour revenir au même point de son orbite, et qu’on nomme le temps périodique. Ainsi ce temps ne dépend que du grand axe
et il est le même que si la planète décrivait un cercle ayant pour rayon la distance moyenne
Dans ce cas, on aurait
![{\displaystyle e=0,\quad t-c=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}},\quad \theta =\Phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006cee6198a4509dbe6b26a8f8a0e678bc639645)
ainsi le temps serait proportionnel aux angles parcourus. Et si l’on suppose
et qu’on prenne la distance moyenne
de la Terre pour l’unité des distances, les temps seront représentés par les angles mêmes que la Terre décrirait si elle se mouvait dans un cercle dont la distance moyenne serait le rayon, avec une vitesse égale à l’unité. Le mouvement dans ce cercle est celui que les astronomes appellent mouvement moyen de la Terre ou du Soleil, et auquel ils rapportent communément les mouvements des autres planètes.
17. Lorsque l’orbite est hyperbolique, le grand axe
devient négatif et l’angle
imaginaire. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas, faisons
![{\displaystyle a=-\mathrm {A} \quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8ead78405dd1bd1f20c42dad466041a4695a61)
on aura par les formules connues,
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est
![{\displaystyle \sin \theta ={\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos \theta ={\frac {i^{\Theta }+i^{-\Theta }}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712950982a9e4ddec51db0f758853f8bfea591b4)
et les équations de l’article précédent deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}t-c=&{\sqrt {\mathrm {\frac {A^{3}}{g}} }}\left(\Theta -e.{\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2}}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}{\frac {i^{{\frac {1}{2}}\Theta }-i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}{i^{{\frac {1}{2}}\Theta }+i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67edc064b42e8043873bbee1dad3f619984fb2e)
à cause de ![{\displaystyle e>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fe7beb3d740aa9a976a34ee62d936fd2863ff3)
18. L’équation
![{\displaystyle r(1+e\cos \Phi )=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a290b8b8bad2f5b6e1be60459dd91f1eaa1382)
trouvée dans l’article 15, donne, en substituant
pour
(art. 13),
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {b-r}{e}}={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ea2f4606f347b9acd9a5b29ee8130bc28cba6b)
Substituant pour
sa valeur en
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =a(\cos \theta -e),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc63a4da8cf6bf697d72218764809534f771195)
et, comme
on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645eb8692db10e4d957a492d93c38e5eec89d252)
expressions fort simples qu’on pourra substituer dans les expressions générales de
du même article.
Ainsi il ne s’agira plus que de substituer la valeur de
en
tirée de l’équation donnée dans l’article 16, pour avoir les trois coordonnées en fonction du temps.
19. L’angle
que nous venons d’introduire à la place de
est ce qu’on appelle en Astronomie anomalie excentrique, et qui répond à l’anomalie moyenne
et à l’anomalie vraie
mais les astronomes ont coutume de compter ces angles depuis le sommet de l’ellipse le plus éloigné du foyer où le Soleil est supposé placé, et qu’on nomme aphélie ou apside supérieure, au lieu que, dans les formules précédentes, ils sont supposés comptés depuis le sommet le plus proche du même foyer, qu’on nomme périhélie ou apside inférieure. Pour les rapporter à l’aphélie, il n’y aurait qu’à y ajouter l’angle de
ou, ce qui revient au même, changer le signe de la quantité
mais, en prenant l’origine des anomalies au périhélie, on a l’avantage d’avoir des formules également applicables aux planètes, dont l’excentricité est assez petite, et aux comètes, dont l’excentricité est presque égale à l’unité, leur grand axe étant très grand tandis que le paramètre conserve une valeur finie.
20. Il nous reste à déterminer
en
c’est-à-dire l’anomalie excentrique par l’anomalie moyenne ; c’est le problème connu sous le nom de problème de Kepler, parce qu’il est le premier qui l’ait proposé et qui en ait cherché la solution. Comme l’équation entre
et
est transcendante, il est impossible d’avoir, en général, la valeur de
en
par une expression finie ; mais, en supposant l’excentricité
fort petite, on peut l’avoir par une série plus ou moins convergente. Pour y parvenir de la manière la plus simple, nous ferons usage de la formule générale que nous avons démontrée ailleurs[2], pour la résolution en série d’une équation quelconque.
Soit une équation de la forme
![{\displaystyle u=\theta -f(\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871f6823ef275af29edfcb4e1c84130b828659fa)
dénotant une fonction quelconque de
on aura réciproquement
![{\displaystyle \theta =u+f(u)+{\frac {d\left[f(u)^{2}\right]}{2du}}+{\frac {d^{2}\left[f(u)^{3}\right]}{2.3du^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ac5a97aaedc85227e57ad32ba791ae0cc6690)
En général, si l’on demande la valeur d’une fonction quelconque de
désignée par
on fera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(\theta )={\frac {d\operatorname {F} (\theta )}{d\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a1c2b4a059f7a1a3458d6957a3676d14ce8f47)
et l’on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (\theta )=\operatorname {F} (u)+f(u)\operatorname {F} '(u){\frac {d\left[f(u)^{2}\operatorname {F} '(u)\right]}{2du}}+{\frac {d^{2}\left[f(u)^{3}\operatorname {F} '(u)\right]}{2.3du^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08b3dfa8e2d8877890af425d8b86bb6a54494a0)
21. Pour appliquer cette formule à l’équation de l’article 16, on fera
![{\displaystyle f(\theta )=e\sin \theta \quad {\text{et}}\quad u=(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ba5b4b686ddc033e6d1a780ae54dbf1faf6869)
on aura immédiatement
![{\displaystyle \theta =u+e\sin u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8e88bd2e47f17499f88ac549704a251b376249)
où il n’y aura plus qu’à exécuter les différentiations indiquées ; mais, pour avoir des expressions plus simples, il conviendra de développer auparavant les puissances des sinus en sinus et cosinus d’angles multiples de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
On aura de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta \ \ =&\sin u+e\sin u\cos u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u\cos u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u\cos u}{2.3du^{2}}}+\ldots ,\\\cos \theta \ \ =&\cos u-e\sin ^{2}u-e^{2}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}-e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}-\ldots ,\\\operatorname {tang} \theta =&\operatorname {tang} u+e{\frac {\sin u}{\cos ^{2}u}}+e^{2}{\frac {d{\dfrac {\sin ^{2}u}{\cos ^{2}u}}}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}{\dfrac {\sin ^{3}u}{\cos ^{2}u}}}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a1ff533d7a5e8c53630c4c4cca46b3c299ab41)
On aura ainsi, par les formules des articles 16 et 17,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\ =&a\left(1-e\cos u+e^{2}\sin ^{2}u+e^{3}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}+e^{4}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}+\ldots \right),\\r^{n}=&a^{n}\left[(1-e\cos u)^{n}+ne^{2}\sin ^{2}u(1-e\cos u)^{n-1}+{\frac {ne^{3}d\sin ^{3}u(1-e\cos u)^{n-1}}{2du}}+\ldots \right],\\\mathrm {X} =&a\left[\cos u-e\left(1+\sin ^{2}u\right)-e^{2}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}-e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}-\ldots \right],\\\mathrm {Y} =&a{\sqrt {1-e^{2}}}\left[\sin u+e\sin u\cos u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u\cos u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u\cos u}{2.3du^{2}}}+\ldots \right],\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\left[\operatorname {tang} {\frac {u}{2}}+e{\frac {\sin u}{1+\cos u}}+e^{2}{\frac {d{\dfrac {\sin ^{2}u}{1+\cos u}}}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}{\dfrac {\sin ^{3}u}{1+\cos u}}}{2.3du^{2}}}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75753ce23b2792484d1f9bd58ccb690b355da5e)
22. On pourrait tirer de là la valeur de l’angle
par la série qui donne l’angle par la tangente, mais on aurait difficilement, de cette manière, une série dont on pût connaître la loi. Pour obtenir une telle série, il faudra tirer d’abord la valeur de l’angle
de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \Phi ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8c437b29683160c10f2b3dc8be73d7abfd0035)
ce qu’on peut faire d’une manière élégante, en employant les exponentielles imaginaires. On aura ainsi cette transformée, en prenant
pour le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité,
![{\displaystyle {\frac {i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba644b859b6174dd1589649016e7068fa977e83)
laquelle se réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {i^{\Phi {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\Phi {\sqrt {-1}}}+1}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{\theta {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2c381c68db133be56a7bc1b4b1e56cbc46e4be)
d’où l’on tire, en faisant ![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63623b71ddc5499a809fca4c654c5d476ddbfbf0)
![{\displaystyle i^{\Phi {\sqrt {-1}}}={\frac {(1+\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1-\varepsilon }{(1-\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1+\varepsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240f3b03c10e82dff0a74417661ae1b9e0f41b8f)
ou bien, en supposant ![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +1}}={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1453ccbe08aa9bfd5e27f0235beb7c975fa78c)
![{\displaystyle i^{\Phi {\sqrt {-1}}}=i^{\theta {\sqrt {-1}}}{\frac {1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}}{1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9594a34f42de6d05692cb0da61b5523c42233b4d)
Prenons maintenant les logarithmes des deux membres, on aura, en divisant par ![{\displaystyle {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e88605a956a9f2417503119963491d404c05f)
![{\displaystyle \Phi =\theta +{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bd5a9b3608284c15d44eb1881a014e2b4d4b2a)
réduisant les logarithmes du second membre en série, et substituant ensuite, à la place des exponentielles imaginaires, les sinus réels qui y
répondent, on aura enfin la série
[3]
![{\displaystyle \Phi =\theta +\mathrm {2E\sin \theta +{\frac {2E^{2}}{2}}\sin 2\theta +{\frac {2E^{3}}{3}}\sin 3\theta } +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9267e3f5f9377f6100026ed832b62cc3c3b8e488)
Il ne s’agira donc plus que de substituer pour
sa valeur en
Si donc on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} =\cos u+\mathrm {E} \cos 2u+\mathrm {E} ^{2}\cos 3u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6decae86341546a3f21abf5fb3d552d5f22cede)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi =u&+e\sin u+{\frac {e^{2}d\sin ^{2}u}{2du}}+{\frac {e^{2}d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{3}}}+\ldots \\&+2\mathrm {E} \sin u+{\frac {2\mathrm {E} ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {2\mathrm {E} ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots \\&+2e\mathrm {EU} \sin u+2e^{2}\mathrm {E} {\frac {d\left(\mathrm {U} \sin ^{2}u\right)}{2du}}+2e^{3}\mathrm {E} {\frac {d^{2}\left(\mathrm {U} \sin ^{3}u\right)}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f079a0857c29d7bf7cb431059d8b9c18e3eb46)
On peut réduire la valeur de
à une forme finie, et l’on trouve
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {\cos u-\mathrm {E} }{1-2\mathrm {E} \cos u+\mathrm {E} ^{2}}}={\frac {\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\cos u-e}{2(1-e\cos u)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f144131b9b09198c70b31b2e6ffb2cf2121d70e)
Ces formules ont l’avantage de donner la loi des séries, qui n’était pas connue auparavant.
23. Puisqu’en prenant le plan des
pour celui de l’écliptique supposé fixe, et supposant l’axe des
dirigé vers le premier point d’Aries, l’angle
est ce qu’on appelle la longitude de la planète, l’angle
est la longitude du nœud, l’angle
est la latitude, il est clair que l’angle
dont
est la projection sur l’écliptique, sera la longitude dans l’orbite comptée du nœud, ou ce qu’on appelle l’argument de la latitude ; et l’équation (art. 7)
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece6ee2958bb0bdf4640cfe40ff69f8dc0dbb3d1)
qui donne l’angle
![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
par
![{\displaystyle \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4bcc9ba00b98a78856510709eb4e04d71cfc8c)
pourra, lorsque l’inclinaison est assez petite, se résoudre en série par la méthode des exponentielles imaginaires employée ci-dessus. Il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de
![{\displaystyle \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24)
en
![{\displaystyle \varphi -h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da2d5278797feee9d3080781c3a2565f58db902)
à la place de
![{\displaystyle \Phi +k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1cb241134957cfb103babcdc105d82a6fb4f3)
à la place de
![{\displaystyle {\frac {\theta }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1b40d9e896eba39e68346afa21d2be7694dfea)
et
![{\displaystyle \cos i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953734732c34b0f2ebae4d38179098be9e29eb61)
à la place de
![{\displaystyle \varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae25c55219a37654a8f7ecbd6ec0082303b57dcd)
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\cos i-1}{\cos i+1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08324c22eb6d9fc6ddef904da9560bedcad325d7)
et l’on aura
![{\displaystyle \varphi -h=(\Phi +k)-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\sin 2(\Phi +k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07c0a838e177a551bbe59a3ba885dd0fb27a6fe)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {i}{2}}\sin 4(\Phi +k)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {i}{2}}\sin 6(\Phi +k)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2224ee3d3bd6eac809460493054351126a9c61dc)
L’équation qui donne
en
(art. 5),
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed863ab86bee7f0de0652c0bb9ab619f8e645b)
pourrait aussi se résoudre de la même manière, mais il en résulterait une série moins élégante. On aurait d’abord l’équation en exponentielles imaginaires,
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est ![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403)
![{\displaystyle {\frac {i^{\psi {\sqrt {-1}}}-i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{i^{\psi {\sqrt {-1}}}+i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}}=\operatorname {tang} i{\frac {i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94332ed4757f05dda68912db81298a95b5514956)
d’où l’on tirerait
![{\displaystyle i^{2\psi {\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}{1-{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35b4e0bf9e0881a741ec48563109129c450ab5c)
et prenant les logarithmes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi =&+{\frac {\operatorname {tang} i}{2{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.8{\sqrt {-1}}}}\ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{3}\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.32{\sqrt {-1}}}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{5},\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36184e5e1fbb4c0a267b25e3f967e8f3c0e14f5c)
enfin, en développant les puissances des exponentielles imaginaires et y substituant les sinus qui y répondent, on aurait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi =&+\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.4}}\left[\sin 3(\varphi -h)-3\sin(\varphi -h)\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.16}}\left[\sin 5(\varphi -h)-5\sin 3(\varphi -h)+10\sin(\varphi -h)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69024d47bf820a7a1e1f75ce725129d84c82da7)
Les séries que nous venons de donner ne sont convergentes qu’à raison de la petitesse de l’excentricité
[4] ou de l’inclinaison
et ne sont, par conséquent, applicables qu’aux orbites elliptiques peu différentes du cercle et peu inclinées, telles que celles des planètes et de leurs satellites ; il n’y aurait d’exception que pour Pallas, une des quatre nouvelles petites planètes, dont l’inclinaison sur l’écliptique est d’environ
ce qui donne pour
une fraction encore assez petite ; de sorte que la série de la valeur de
en
sera très convergente, mais la série de
en
le sera beaucoup moins.
24. Après le cas où l’excentricité
est très petite, le problème de Kepler est encore résoluble analytiquement dans le cas où l’excentricité est peu différente de l’unité, et qui est celui des orbites presque paraboliques, comme celles des comètes. Dans ce cas, le demi grand axe a devient très grand, et l’équation de l’article 15
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db1ab3013ee04b0327d7b197c4da7a3ee2c3201)
dans laquelle
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
est le demi-paramètre, donne
![{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}=1-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1b976cfe4e7839ef8d1748bacd10972bbcff5f)
L’équation entre
et
(art. 16), étant mise sous la forme
![{\displaystyle (t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b334287048994c463fc0e61ea507b9cd1bf4fbaf)
fait voir que, lorsque
est très grand,
devient très petit, de sorte qu’on peut developper
en ![{\displaystyle \theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27d271a7a6dc610e7a3755d400fa27093671b81)
En faisant ces substitutions dans l’équation précédente, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}={\frac {\theta ^{3}}{2.3}}&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots +{\frac {b}{2a}}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&+{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}(\theta -\ldots )+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c07c36f95691754456298e39759f7bbef4d9fb2)
où l’on voit que la quantité
est de l’ordre de
Si donc on fait
![{\displaystyle \theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3639b4f153dd20e5f6576a8bd3bcb1edda0c6229)
et qu’on ne pousse l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre de
on aura
![{\displaystyle (t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {b}{2}}\Theta +{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{3}+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}\Theta -{\frac {b}{4.3}}\Theta ^{3}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\Theta ^{5}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eece0e02db634f6250e1b9bcf0db0d249fa6cee7)
On trouvera par les mêmes réductions
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\Theta ^{2}\right)+{\frac {1}{4a}}\left({\frac {b^{2}}{2}}-b\Theta ^{2}-{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{4}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {b}}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{4a}}\left(\Theta +{\frac {1}{3b}}\Theta ^{2}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\Theta ^{2}\right)+{\frac {b^{2}}{8a}}\left(1+{\frac {1}{3}}\Theta ^{4}\right),\\\mathrm {Y} =&{\sqrt {b}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{2.3a}}\Theta ^{3}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a28918013e7610f2033a431bb162209adab23c2)
Soit
la valeur de
lorsque
ce qui est le cas de la paraboles ; on a, pour déterminer
en
l’équation du troisième degré
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{3}+3b\mathrm {T} =6(t-c){\sqrt {g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b70b48d102993247bac8e0c24fe90a95ac9d8f)
laquelle donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}+{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}-{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441eba5c0441aa6ea79fd0963d6850072f246a3e)
et si l’on fait
![{\displaystyle T={\frac {-{\cfrac {b^{2}\mathrm {T} }{4}}+{\cfrac {b\mathrm {T} ^{3}}{6}}+{\cfrac {\mathrm {T} ^{5}}{3.4.5}}}{b+\mathrm {T} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4950b0dda3717942c190f70218d9bfe9bf65fe88)
on aura
![{\displaystyle \Theta =\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {T} '}{a}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ee8dd6aca439872c153dd89b7a2a675490ce82)
et, de là,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}-{\frac {b\mathrm {T} ^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {T} ^{4}}{24}}+\mathrm {TT'} \right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {\mathrm {T} }{\sqrt {b}}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} {\sqrt {b}}}{4}}+{\frac {\mathrm {T} ^{3}}{12{\sqrt {b}}}}-{\frac {\mathrm {T} '}{\sqrt {b}}}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}+{\frac {b^{2}\mathrm {T} ^{4}}{24}}-\mathrm {TT'} \right),\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} {\sqrt {b}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} ^{3}{\sqrt {b}}}{6}}-\mathrm {T} '{\sqrt {b}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e78e81ad16ed2110b8feb97fe24cfd18b9c7c5b)
Mais l’irrationnalité de l’expression de
empêchera toujours que ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques.
25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement parabolique, qu’on peut déterminer le temps employé à parcourir un arc quelconque de la parabole par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondentaux deux extrémités de l’arc et la corde qui sous-tend cet arc.
En faisant
infini et
les formules précédentes donnent
![{\displaystyle 6(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3\tau +\tau ^{3}\right),\quad \tau =\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7735fc27e7fac0abf00885302f839ab727b931f)
![{\displaystyle 2r=b\left(1+\tau ^{2}\right),\quad 2\mathrm {X} =b\left(1-\tau ^{2}\right),\quad \mathrm {Y} =b\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdf67b9f2b8c63989727d23f792e49a8afa81b6)
Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de la parabole ; la différence
![{\displaystyle t'-t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b4e47a59ad97d870750732eb9931f4d8b86c54)
ou le temps employé à parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés, sera exprimé par la formule
![{\displaystyle 6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3+\tau ^{2}+\tau \tau '+\tau '^{2}\right)(\tau '-\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55136dafc5458517c558c8468d4d24e7ee5f1c8d)
Or, on a
![{\displaystyle \mathrm {X} =b-r,\quad \mathrm {Y} ={\sqrt {2br-b^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421e093ad7180b2d5d1a14c89e715dd90a32bf4f)
et, si l’on nomme
la corde qui joint les deux extrémités des rayons
et
on aura
![{\displaystyle v^{2}=\mathrm {(X'-X)^{2}+(Y'-Y)^{2}} =(r'-r)^{2}+\left({\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78754835570bb7b923ca349c8427ea9f94814d8e)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} ^{2}=v^{2}-(r'-r)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463860296cabcef1fb0cd0b05fa97dabc03b6795)
on a
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7851a3af06f42590c891cf3b3a7dbc98d820ea82)
équation d’où il s’agit de tirer la valeur de ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Faisant disparaître les radicaux et ordonnant les termes par rapport à
on a
![{\displaystyle b^{2}\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]-b\mathrm {U} ^{2}(r'+r)+{\frac {\mathrm {U} ^{4}}{4}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bf5e262707e9e55f1c34f6513b380b21aa11df)
d’où l’on tire
![{\displaystyle b={\frac {\mathrm {U} ^{2}\left(r'+r+{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}{2\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27136db106776565ffa7954f1402fce33c02e11d)
ou bien, en multipliant le haut et le bas par ![{\displaystyle r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a54aea150a5e50dc83153ec787f319c5c79f4f9)
![{\displaystyle b={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2\left(r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f216e9c37873bf7f766cbdd1b9321d680a777bcc)
Maintenant on a
![{\displaystyle \tau ={\frac {\sqrt {2br-b^{2}}}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2eca72b7e5eddab6c1b4c5ae0eca307af82b77)
donc
![{\displaystyle \tau '-\tau ={\frac {\mathrm {U} }{b}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ^{2}+\tau '^{2}+\tau \tau '={\frac {3(r+r')}{b}}-3-{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2b^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd31ec3d8e822105e0396e705807bac3a085735d)
donc
![{\displaystyle 6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {\mathrm {U} }{2b{\sqrt {b}}}}\left[6b(r'+r)-\mathrm {U} ^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122407d7bbaccb40c79ee9f66e407ac31a32a0a8)
substituant la valeur de
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
cette quantité devient
![{\displaystyle \left[2(r'+r)+{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}\right]{\sqrt {2(r'+r)-2{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a236a0f107c3433c5ee4c6bdaab62e298c8b1f)
Donc enfin, en remettant pour
sa valeur, et faisant
on aura
![{\displaystyle t'-t={\frac {\left(2s+{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}\right){\sqrt {2s-{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c256eb835eb37db6aa4f10237786466233059a)
expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple,
![{\displaystyle t'-t={\frac {(s+v)^{\frac {3}{2}}-(s-v)^{\frac {3}{2}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3370cab3ed740eff397948737535caf898899120)
comme on peut s’en assurer en prenant les carrés.
26. Cette formule élégante a été donnée d’abord par Euler, dans le septième Volume des Miscellanea Berolinensia. On pourraitla déduire du lemme X du troisième Livre des Principes mathématiques, en traduisant en analyse la construction par laquelle Newton détermine la vitesse qui ferait parcourir uniformément la corde d’un arc de parabole, dans le même temps que l’arc serait parcouru par une comète, et en observant que, dans la parabole, la demi-somme des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités d’un arc quelconque est toujours égale au rayon vecteur qui aboutit au sommet du diamètre mené par le milieu de la corde parallèlement à l’axe, plus à la partie de ce diamètre interceptée entre l’arc et la corde ; d’où et du lemme IX on tire la valeur de
e dernier rayon, exprimée par la corde et par la somme des rayons vecteurs qui répondent à ses deux extrémités.
On verra plus bas comment on peut étendre la même formule au mouvement elliptique ou hyperbolique[5].
27. Enfin l’équation entre
et
est toujours résoluble par approximation, lorsqu’on suppose le temps
très petit ; on a alors, pour
et, par conséquent, pour toutes les variables qui en dépendent, des séries ordonnées suivant les puissances de
et qui seront d’autant plus convergentes que la valeur de
sera plus petite. Mais, dans ce cas, il est plus simple d’en tirer la solution directement des équations différentielles en
et
de l’article 9, en y faisant
En regardant les variables
comme des fonctions de
et supposant qu’elles deviennent
lorsque
devient
on a, en général, par le théorème connu,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&{\frac {dx}{dt}}t'+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\y'=&{\frac {dy}{dt}}t'\,+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\,+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\z'=&{\frac {dz}{dt}}t'\ +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\ +{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8053c81b29ce64a57eabb3918b80ec2452065ef7)
et il ne s’agira que d’y substituer les valeurs des différentielles de
déduites des trois équations
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} y}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} z}{r^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7f01735322b29ad045e78282fc7d6b471f9364)
auxquelles on pourra joindre, pour simplifier le calcul, l’équation en
de l’article 10
![{\displaystyle 2\mathrm {H} r^{2}+2\mathrm {g} r-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7bb4d252fc5cf0a17ac6325f2a13a81633e77f)
laquelle, étant différentiée et divisée par
donne
![{\displaystyle 2\mathrm {H} +{\frac {\mathrm {g} }{r}}-{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9aeef5f5741299c18a0870449c5417300595c3d)
d’où, en différentiant de nouveau et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle s={\frac {rdr}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7cd0dd113aea5af909d8b15345e2c29e62d4ac)
on a celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} s}{r^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0db615cb33606da5cb8d2fb563f855245cfdbf)
laquelle est tout à fait semblable aux précédentes.
On aura ainsi, par des différentiations et des substitutions successives,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}={\frac {3\mathrm {g} s}{r^{5}}}x-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&+\left({\frac {3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right)x+{\frac {2.3\mathrm {g} s}{r^{5}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&+\left(-{\frac {3.3.5\mathrm {g} }{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7\mathrm {g} s^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5.\mathrm {g} ^{2}s}{r^{8}}}\right)x\\&+\left({\frac {3.3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {dx}{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393b25fee9f23fed410d25ff74a18b36ac8b9cb)
et ainsi de suite.
On aura de pareilles expressions pour les différentielles de
et
en changeant seulement
en
et
28. On fera donc ces substitutions, et, comme les quantités
et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps
si l’on y change
en
et qu’on désigne par
les valeurs de
qui répondent à
et qu’on suppose, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&+1-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{2}}{2}}+{\frac {3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+\left({\frac {3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5gs^{3}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{4}}{2.3.4}}\\&+\left(-{\frac {3.3.5g}{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7gs^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5g^{2}s}{r^{8}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&+t-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+{\frac {2.3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{4}}{2.3.4}}+\left({\frac {3.3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5gs^{2}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23da0727ea362c4578d4481fe333ce0ec307e1f)
on aura ces expressions
![{\displaystyle x=\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad y=\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad z=\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18851e23cd9bcde62621b56fdabbf05fa4299238)
À l’égard des constantes
et
que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu’elles se réduisent immédiatement aux constantes
et
d’où dépendent les éléments
de l’orbite elliptique, comme nous l’avons vu dans l’article 8. Car, en rapportant au commencement du temps
les deux équations en
de l’article précédent, on a
![{\displaystyle {\frac {(\mathrm {r} dr)^{2}}{dt^{2}}}-2\mathrm {gr=2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d(\mathrm {r} dr)}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {g}{r}} =2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea690b3949be026d4198cafea04ca66efecd6aea)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {s^{2}=2gr+2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {2H+{\frac {g}{r}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71db7f181ba3be0957be88512ae4263b5de48b44)
et substituant pour
et
leurs valeurs
et
(art. 15), on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {g} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),\qquad \mathrm {s^{2}=g} \left(2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-b\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3595a59048bf4fd9156ea75936ab3563f1745d4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{g}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\qquad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444306b9474d50941376e9ba9d273440fcef02ef)
On voit par là que les quantités
et
ne dépendent que de la figure de l’orbite, et nullement de la position de son plan.
29. Comme la quantité
ou
est déterminée par une équation différentielle semblable à celle qui détermine
on aura aussi pour cette quantité une expression semblable, en changeant seulement
et
en
et
On aura ainsi
![{\displaystyle s={\frac {rdr}{dt}}=\mathrm {sT} +{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db3fe0759a4a173fcd0130cfca91e5e52ac36ed)
De là, en intégrant et ajoutant la constante
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s\int T} dt+{\frac {2d\mathrm {s} }{dt}}\int \mathrm {V} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56579b4c551f81c01db6531c45a4391604b2298)
où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles
lorsque
![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
On aura ainsi, en substituant les valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cc73e47284b51d2ab60d333176c2366a333e7d)
et
![{\displaystyle \mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdc254b7587ca13708fe6e8be323e1f243e2ba9)
et ordonnant les termes par rapport aux puissances de
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}=\mathrm {r} ^{2}&+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{r^{3}}} {\frac {t^{3}}{3}}+\left(\mathrm {\frac {3gs^{2}}{r^{5}}} -\mathrm {\frac {g}{r^{3}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\right){\frac {t^{4}}{3.4}}\\&+\left(\mathrm {\frac {9g}{r^{5}}} {\frac {\mathrm {s} d\mathrm {s} }{dt}}-\mathrm {\frac {15gs^{3}}{r^{7}}} +\mathrm {\frac {g^{2}s}{r^{6}}} \right){\frac {t^{5}}{3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d969ebb228b98408961634daad0a883634050c5)
Cette expression de
doit être identique avec celle que donneraient les valeurs de
car, puisque
on aura aussi
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \mathrm {T} ^{2}+2{\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {TV} +{\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {V} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1d0f6893ada1fa9a0ff3298859a72379f1cd44)
Or
![{\displaystyle \mathrm {x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} ,\quad {\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}=\mathrm {s} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c4c5eaa15f748e2dab384b5bb8c8cfadc6ea2c)
et
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {2H+{\frac {2g}{r}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22843d9efe6e9550e9402b06507b030d960b9d36)
(
art. 9)
![{\displaystyle ={\frac {d(rdr)}{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7afd295da6e80ee21123df2cec7afd64a4e9097)
(
art. 27)
![{\displaystyle ={\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8cdf73e4f0c1fb8f3724bde38b115c7a3c9575)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}T^{2}+2sTV} +\left({\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} \right)\mathrm {V} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562ea646c4fa107cdd964e72e79e3300c7ed4792)
valeur qui coïncide avec la précédente.
§ II. — Détermination des éléments du mouvement elliptigue
ou parabolique.
30. Dans la théorie des planètes, on nomme éléments les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de l’orbite, sa position par rapport à un plan fixe, qu’on prend pour celui de l’écliptique, et l’époque ou le moment du passage par l’aphélie ou par le périhélie.
Soient, comme dans le paragraphe précédent,
le demi grand axe ou la distance moyenne et
le demi-paramètre ; ces deux éléments déterminent la figure de l’orbite ; et si l’on nomme
l’excentricité, ou plutôt le rapport de la distance des deux foyers au grand axe, on a
![{\displaystyle b=a\left(1-e^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cb8e33f75b5e19965d8d28b1aaa806e322d089)
et par conséquent,
![{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8283aa01ac019a574c8b7d235057b912aaf30204)
Soit, de plus,
le temps qui répond au passage de la planète par le périhélie ; cet élément, avec les deux précédents, servira à déterminer le mouvement elliptique, indépendamment de la position de l’orbite dans l’espace.
Pour déterminer cette position, soit
la longitude du périhélie comptée depuis la ligne des nœuds, c’est-à-dire l’angle que la partie du grand axe qui répond au périhélie fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite avec un plan fixe ; cet élément détermine la position de l’ellipse sur le plan de l’orbite.
Soit enfin
l’inclinaison de ce plan sur le plan fixe auquel on le rapporte et qu’en Astronomie on prend ordinairement pour l’écliptique (nous le prenons dans nos formules pour celui des coordonnées
), et soit
la longitude du nœud, c’est-à-dire l’angle que l’intersection des deux plans fait avec une ligne fixe, que les astronomes supposent dirigée vers le premier point d’Aries et que nous prenons pour l’axe des
Ces six quantités
sont les éléments qu’il s’agit de déterminer, d’après quelques circonstances du mouvement elliptique donné.
31. Le cas le plus simple de ce problème est celui où l’on connaît la position du mobile, sa vinesse et sa direction dans un instant quelconque donné. Dans ce cas, les données sont les valeurs de
pour un instant donné, valeurs que nous désignerons par les lettres romaines
et il s’agira d’exprimer par ces six quantités les six éléments
L’article 9 donne d’abord, en mettant
à la place de
et changeant
en
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}}-\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\quad \mathrm {B} =\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}}-\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}},\quad \mathrm {C} =\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}}-\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d376c906aaa66dbb51582fe5868364d1225c41)
![{\displaystyle 2\mathrm {H} =\left({\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\right)^{2}-\mathrm {\frac {2g}{r}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635f41393aa9a01fb5a5352f28f4e438226d3aee)
et les articles 11 et 15 donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {D} \sin i\sin h,\qquad &\mathrm {B} =&-\mathrm {D} \sin i\cos h,\qquad &\mathrm {C} =&\mathrm {D} \cos i,\\\mathrm {D} =&{\sqrt {\mathrm {g} b}},&\mathrm {H} =&-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a776d7721eb8187dff350e64d34b4c8b695e212c)
On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe
du demi-paramètre
d’où l’on tire l’excentricité
et les angles
et
et il ne restera qu’à connaître les quantités
et
32. Il est bon de remarquer que la valeur de
et celle de
peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est clair que
est le carré de la vitesse initiale, laquelle étant nommée
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {2}{r}}-{\frac {u^{2}}{g}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47dcafd2d9300db3cb355277f76241ce3426fa2c)
d’où l’on voit que le grand axe de la section conique et, par conséquent aussi, le temps périodique (art. 16) ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif et de la vitesse de projection.
À l’égard du paramètre
on a réduit, dans l’article 11, la quantité
à la forme
où
est l’angle décrit par le rayon
dans l’instant
de sorte que
est le petit arc décrit par le même rayon ; par conséquent,
est la vitesse perpendiculaire à ce rayon et que le corps a pour tourner autour du foyer.
Si l’on désignait cette vitesse de rotation par
on aurait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {r} ^{2}d\Phi }{dt}}=\mathrm {rv} ={\sqrt {\mathrm {g} b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408c2a92bbd9fa59d199e2f7b01484568269328d)
et par conséquent
![{\displaystyle b=\mathrm {\frac {r^{2}v^{2}}{g}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb350a3d5193913130c30da806da30ea90e7032)
Ainsi le paramètre
ne dépend que du rayon
et de la partie de la vitesse
par laquelle le corps tend à tourner autour du foyer vers lequel il est attiré.
33. Pour trouver la valeur de l’élément
qui détermine le temps du passage par le périhélie, on remarquera que cette constante n’est entrée dans le calcul que par l’intégration qui a donné la valeur de
en
(art. 16).
Donc, si l’on dénote par
la valeur de
qui répond à
on aura par les formules de l’article cité, en y faisant
ce qui change
en
et
en
![{\displaystyle -c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\vartheta -e\sin \vartheta ),\quad \mathrm {r} =a(1-e\cos \vartheta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3855c5546aa6ec5140b7149d5ff15a8613f3af7)
Ainsi on aura par l’élimination de
la valeur de
en
puisque
et
sont déjà connues.
Enfin, pour déterminer le dernier élément
qui est aussi entré par l’intégration de l’équation entre
et
(art. 15), on remarquera d’abord que l’on a (art. 4), en changeant
en
et rapportant l’angle
au commencement de
![{\displaystyle \mathrm {\frac {y}{x}} =\operatorname {tang} \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5358f5604eb961b448f16803fdfe176e7c18bb56)
Ensuite l’article 7 donne
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\Phi +k)={\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374e9c0b347b62c57614398a9c39c0e72552ca1a)
de sorte que,
et
étant déjà connus, on aura, par l’angle intermédiaire
l’angle
en
et
et de là on aura
par l’équation de
l’article 15 rapportée à l’instant où
![{\displaystyle \cos \Phi ={\frac {1}{e}}\left({\frac {b}{r}}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e898da287f0efbd8d31c0a854ff0520bc21db46a)
34. Si l’on connaissait deux lieux du mobile dans son orbite, avec le temps écoulé entre les instants où il a occupé ces deux lieux, on aurait aussi six données par les coordonnées qui répondent aux deux points donnés de l’orbite, et les six éléments seraient aussi déterminés par les valeurs de ces coordonnées ; mais l’expression transcendante du temps empêcherait de donner une solution générale et algébrique du problèmé. On pourra seulement le résoudre par approximation, si l’intervalle de temps entre les deux lieux est assez petit, en faisant usage des formules de l’article 28.
Soient
les trois coordonnées du premier lieu dans l’orbite et
celles du second lieu ; en prenant
pour le temps écoulé entre les passages du mobile par ces deux lieux, on aura, en général (art. 28),
![{\displaystyle \mathrm {x'=xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad \mathrm {y'=yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad \mathrm {z'=zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3f4c2fbf9b4fba93e74dda89017edb023f7b82)
Supposons qu’on ne veuille porter la précision que jusqu’aux troisièmes puissances de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T=1-{\frac {g}{r^{3}}}} {\frac {t^{2}}{2}}+\mathrm {\frac {3gs}{r^{5}}} {\frac {t^{3}}{6}},\qquad \mathrm {V} =t-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b636c31a843f1e98c5c7edd94bb4e9a32eb9341)
Comme l’expression de
renferme la constante
![{\displaystyle \mathrm {s} ={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}={\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a5a67ec4f94e9075309fa4ce594bf5b20e2590)
on commencera par la déterminer en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir multiplié la première par
la deuxième par
et la troisième par
on aura ainsi l’équation
![{\displaystyle \mathrm {xx'+yy'+zz'=r^{2}T+sV} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e763cff08970627c39ee473b3513929e189a46d4)
d’où l’on tirera la valeur de
qu’on substituera ensuite dans l’expression de ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Les valeurs de
et de
étant connues, les mêmes équations donneront
les valeurs des différentielles
ainsi le problème sera réduit au cas précédent.
35. Enfin, si l’on ne connaissait que trois rayons vecteurs
avec les temps
et
écoulés entre les passages par
et
et par
et
on pourrait encore déterminer l’orbite par les formules de l’article 29, en supposant les temps
et
assez petits.
Car, en faisant
dans la valeur de
et ne poussant les séries pour les valeurs de
et
que jusqu’aux
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t\ -{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3r^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t'-{\frac {\mathrm {g} t'^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t'^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158507040ee3f23f62c385e562183e6a6f18200e)
équations d’où l’on tirera les valeurs
et
Ces deux dernières donnent tout de suite, par les formules de l’article 19,
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}-{\frac {d\mathrm {s} }{\mathrm {g} dt}},\quad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c29318c792314f1c244fc9bcc0cf0e3dc1cbedf)
ensuite on aura l’angle
compris entre le rayon
et celui du périhélie, par la formule (art. 15)
![{\displaystyle \cos \Pi ={\frac {b-\mathrm {r} }{\mathrm {r} e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8d8870508d4dc2d117c8b1f0f577c9c2be12f7)
étant égal ![{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece22efba16486fab0122e2ca7b048bd845ac5cb)
Si l’orbite était une parabole, on aurait
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {\frac {g}{r}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb68fb6cefca64d736b1849188274480c5ad04a7)
alors il suffirait de connaître deux distances
et
la première donnerait la valeur de
et la seconde la valeur de
par l’équation
![{\displaystyle r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}-{\frac {\mathrm {g} t^{2}}{\mathrm {r} }}+\left(2t-{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7227e8e3d0128739789aeedcbf933b224a7704)
36. Les éléments des planètes sont assez connus ; c’est par des observations de longitudes et de latitudes qu’on les a déterminés, et la petitesse de leurs excentricités et de leurs inclinaisons sur le plan de l’écliptique a beaucoup contribué à faciliter ces déterminations.
En prenant ce plan pour celui des
les angles
et
(art. 4) représentent, l’un la longitude du corps, et l’autre sa latitude ; et nous avons donné dans les articles 22 et 23, pour les valeurs de
et
en
des séries qui sont d’autant plus convergentes que l’excentricité
et l’inclinaison
sont plus petites. En prenant six observations, trois de longitude et trois de latitude correspondante ou, en général, de longitude ou de latitude, à des instants donnés, on aura six équations par lesquelles on pourra déterminer les six éléments, du moins pour le Soleil et la Lune, qui tournent immédiatement autour de la Terre.
Pour les autres planètes qui tournent autour du Soleil, le calcul est un peu plus compliqué, parce que l’observation ne donne immédiatement que les longitudes et latitudes vues de la Terre, qu’on nomme géocentriques ; mais, en supposant le mouvement du Soleil connu, on peut toujours déduire de chaque observation une équation ; de sorte que six observations suffiront, à la rigueur, pour la détermination des six éléments.
Ce problème est surtout important pour les comètes, dont les éléments, lorsqu’elles paraissent, sont tout à fait inconnus ; aussi, depuis Newton, qui a le premier tenté de le résoudre, il y a peu de géomètres et d’astronomes qui ne s’en soient occupés. Ne pouvant établir l’approximation sur la petitesse de l’excentricité et de l’inclinaison, comme pour les planètes, ils ont tous supposé que les intervalles de temps entre les observations sont très petits, et ils ont donné des méthodes plus ou moins approchées pour déduire les éléments des comètes de trois longitudes et d’autant de latitudes observées. Comme celle que j’ai proposée, dans les Mémoires de Berlin[6] pour 1783, me paraît offrir la solution la plus directe et la plus générale du problème des comètes, je crois pouvoir la donner ici, mais un peu simplifiée et accompagnée de remarques nouvelles ; elle fournira une application importante des principales formules que nous avons développées dans le paragraphe précédent.
§ III. — Sur la détermination des orbites des comètes.
37. Soient, dans un instant quelconque,
la distance de la comète à la Terre et
les cosinus des angles que la ligne ou le rayon visuel
fait avec trois axes perpendiculaires entre eux et supposés fixes dans l’espace ; on aura
pour les trois coordonnées rectangles de la comète, parallèles à ces axes et ayant leur origine dans le centre de la Terre. La quantité
sera l’inconnue, mais les trois quantités
seront connues par l’observation de la comète et devront être telles que l’on ait la condition
![{\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac3c7219c741ec72b95ef9ec614b3cc5841177b)
parce que, par l’hypothèse, on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}=(\mathrm {R} l)^{2}+(\mathrm {R} m)^{2}+(\mathrm {R} n)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792ee9e4ca01f007d096bd1a64602d5f982be915)
Soient de même
les quantités correspondantes relativement au Soleil, en sorte que
soient les coordonnées rectangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre, et parallèles aux mêmes axes ; ces quantités doivent être censées connues par le calcul du lieu du Soleil dans le même instant de l’observation de la comète, et l’on aura aussi la condition
![{\displaystyle \lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ddad01d840f4807fc78120189dd3634d291d41)
Enfin soient
les coordonnées rectangles du lieu de la comète par rapport au Soleil, parallèles aux mêmes axes, et
le rayon vecteur de son orbite autour du Soleil ; il est visible qu’on aura ces trois équations
![{\displaystyle x=\mathrm {R} l-\rho \lambda ,\qquad y=\mathrm {R} m-\rho \mu ,\qquad z=\mathrm {R} n-\rho \nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeabdca757f95ff6e287e8164c37475e3f551dc0)
et, comme
on aura
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}-2\mathrm {R} \rho (l\lambda +m\mu +n\nu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31045cad5616d48cbeac43a4aebe530955b29fd)
Or on sait que l’expression
![{\displaystyle l\lambda +m\mu +n\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8ceb2286f95ca6cc17216643e436b8038bbe17)
est celle du cosinus de l’angle formé entre les deux rayons
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
et
![{\displaystyle \rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bed314e4bed19299ed16afd79f67ea5c4593c)
partant du centre commun de la Terre et dirigés, l’un à la comète, l’autre au Soleil ; de sorte que, si l’on désigne cet angle par
![{\displaystyle \sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec50432d2d0f5329dacde3a76c502563f6bda6c)
on aura
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {R^{2}-2R} \rho \cos \sigma +\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea35bce7ebeecae13d1e8eb15944aa51918dc3a2)
Si donc on a trois observations de la même comète, faites à des intervalles de temps connus, on aura trois systèmes pareils d’équations qui contiendront chacun une nouvelle inconnue
et les propriétés de la parabole[7] donneront trois autres équations.
38. Ce qui se présente de plus simple pour cet objet est d’employer la formule donnée dans l’article 25, par laquelle on a le temps que la comète emploie à décrire un arc quelconque, exprimé par la corde de l’arc et par la somme des rayons vecteurs qui aboutissent à ses deux extrémités, et dégagée de tous les éléments de l’orbite ; car les trois intervalles de temps entre les trois observations, prises deux à deux, donneront les trois équations demandées.
Nous marquerons par un trait les lettres qui désignent les quantités analogues dans la seconde observation ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle r'^{2}=\mathrm {R'^{2}-2R'} \rho '\cos \sigma '+\rho '^{2}\qquad {\text{et}}\qquad s=r+r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3069f0d05e98bc67b78d6efd51033c99c6d49e)
Pour la corde
de l’arc parcouru par la comète, dans l’intervalle des deux observations, il est clair qu’on aura
![{\displaystyle u^{2}=(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}=r'^{2}+r^{2}-2(xx'+yy'+zz').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad61771718d978f3b7a53239a7bbb651b4ec61c)
En substituant pour
et pour
leurs valeurs, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}xx'+yy'+zz'=&\mathrm {RR} '(ll'+mm'+nn')+\rho \rho '(\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ')\\&-\mathrm {R} \rho '(l\lambda '+m\mu '+n\nu ')-\mathrm {R'} \rho (l'\lambda +m'\mu +n'\nu ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb45207c0f1a146760284e272ce932c6076f521)
Or, par les théorèmes connus, l’expression
doit repré-
senter le cosinus de l’angle compris entre les deux rayons
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
et
![{\displaystyle \mathrm {R} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90f2feac870893a8fd6102e2578f9d9041928e7)
partant du centre de la Terre et dirigés aux deux lieux de la comète dans les deux observations ; de même,
![{\displaystyle \lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4941102f0e0b79b5c93b767cdcf2635c4bafbd0f)
sera le cosinus de l’angle formé au centre de la Terre par les deux rayons
![{\displaystyle \rho ,\rho '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d6eaeb1c162b739398c1fc8ca6a22565a7cac6)
dirigés aux deux lieux du Soleil, et ainsi des autres expressions semblables.
Donc si, pour plus de clarté, on imagine que les deux lieux apparents de la comète soient marqués sur la surface de la sphère par les lettres
et de même les lieux apparents du Soleil par les lettres
et qu’on joigne par des arcs de grands cercles les quatre points
il est évident que les arcs
représenteront les angles que nous avons dénotés par
et
que les arcs
et
représenteront les angles dont les cosinus sont
![{\displaystyle ll'+mm'+nn'\quad {\text{et}}\quad \lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c814239eb3f40d4b40667edb9253716b9de0be62)
et qu’enfin les arcs
et
représenteront les angles dont les cosinus sont
![{\displaystyle l\lambda '+m\mu '+n\nu '\quad {\text{et}}\quad l'\lambda +m'\mu +n'\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ec24a37b38a7f18bdf305e163e629f49cd3cc5)
Ainsi, en considérant le quadrilatère sphérique
qui est censé donné par les deux observations de la comète et par les deux lieux calculés du Soleil, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ =&\mathrm {R^{2}\ -2R\rho \cos(CS)} +\rho ^{2},\\r'^{2}=&\mathrm {R'^{2}-2R'\rho '\cos(C'S')} +\rho '^{2},\\u^{2}\ =&r^{2}+r'^{2}-2\mathrm {RR'\cos(CC')-2\rho \rho '\cos(SS')} \\&\quad +\mathrm {2R\rho '\cos(CS')+2R'\rho \cos(C'S)} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c44c0a6a2f264e8a7c4a4dcb55df0139d785b7)
donc, comme la différence
des temps
et
qui répondent aux deux observations, c’est-à-dire leur intervalle en temps, est censée donnée, on aura, par la formule de l’article cité, l’équation
![{\displaystyle t'-t={\frac {(r+r'+u)^{\frac {3}{2}}-(r+r'-u)^{\frac {3}{2}}}{6{\sqrt {g}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65024a73fa261e2f8b1e2af676fcc96ed9f57c31)
dans laquelle il n’y aura d’inconnues que les deux distances
et ![{\displaystyle \mathrm {R} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b0e0b456b987cc7fd2d7e78bd0478104c5a02e)
Si l’on a une troisième observation, pour laquelle les quantités analogues soient désignées par les mêmes lettres marquées de deux traits, on aura, par la comparaison de la première observation avec celle-ci, une deuxième équation tout à fait semblable, dans laquelle les lettres marquées d’un trait dans l’équation précédente le seront par deux traits, et qui ne contiendra que les deux inconnues
et
On aura de même une troisième équation semblable, par la comparaison de la deuxième observation avec la troisième, en ne faisant que marquer d’un trait, dans la première équation, toutes les lettres qui n’ont point de trait, et de deux traits toutes celles qui en ont un. Ainsi cette troisième équation ne contiendra que les mêmes inconnues
et
de sorte que les trois équations ne contiendront que les trois inconnues
et suffiront pour les déterminer. Mais, quoique ces équations se présentent sous une forme assez simple, leur résolution offre des difficultés presque insurmontables, parce que les inconnues y sont mêlées entre elles et renfermées dans différents radicaux.
39. Au reste, si l’on pouvait parvenir d’une manière quelconque à trouver les valeurs des rayons
on aurait tout de suite le demi-paramètre
qui, dans la parabole, est égal au double de la distance périhélie, par la formule (art. 25)
![{\displaystyle b={\frac {u^{2}-(r'-r)^{2}}{2\left[r+r'-{\sqrt {(r+r')^{2}-u^{2}}}\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b6298172f01dce4daa67ff70232a8471fab077)
et comme on a en général (art. 10) l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} z+\mathrm {A} x+\mathrm {B} y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c114eeeaef32c1f3a3ef7b3c75b0b38e2abbac4)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{C}} =\sin h\operatorname {tang} i,\quad \mathrm {\frac {B}{C}} =-\cos h\operatorname {tang} i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c831595002e449325b16318f3180064b0a6edb)
(art. 11), on aura ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}z\ +(x\ \sin h-y\ \cos h)\operatorname {tang} i=&0,\\z'+(x'\sin h-y'\cos h)\operatorname {tang} i=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed32d656e1cbabd53dac7b0bfc175ffc5a2b93a6)
d’où l’on tirera facilement les valeurs de
et
ce qui don-
nera la position du plan de la parabole relativement au plan qu’on aura choisi pour les axes des
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
On peut même remarquer que, par le moyen de ces équations, qui dépendent de ce que l’orbite de la comète est supposée dans un plan passant par le Soleil, on peut d’abord réduire les trois inconnues à deux seulement.
En effet, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {L} =\operatorname {tang} i\sin h,\qquad \mathrm {M} =\operatorname {tang} i\cos h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb25fae95b3fd7aea854439157cdc7892879b8b8)
on aura, en substituant les valeurs de
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} n-\rho \nu =-\mathrm {L} (\mathrm {R} l-\rho \lambda )+\mathrm {M} (\mathrm {R} m-\rho \mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a3a9e0d955a67cc8b6943870fce8e73e3153e0)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {R} =\rho {\frac {\mathrm {\nu +\lambda L-\mu M} }{n+l\mathrm {L} -m\mathrm {M} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa56bca3c8f243445758041489e79ec161c8110)
et l’on aura de même les expressions de
et de
en marquant d’un trait et de deux traits les lettres, à l’exception de
et
qui sont les mêmes pour toutes les observations.
De cette manière, les trois inconnues
seront réduites aux deux
et
de sorte qu’il ne faudra employer que deux équations pour leur détermination, ce qui simplifie un peu la solution du problème.
40. Pour la simplifier davantage, il ne paraît pas qu’il y ait d’autre moyen que de supposer les intervalles de temps entre les observations assez petits pour qu’on puisse négliger plusieurs termes comme insensibles, ce qui ne donnera d’abord qu’une solution approchée qu’on pourra rendre plus exacte ensuite par de nouvelles corrections. C’est aussi ce qu’on a fait jusqu’ici dans toutes les solutions qu’on a données de ce problème.
En appliquant cette hypothèse à la solution précédente, la corde
deviendra très petite, et, en ne retenant que les deux premiers termes des radicaux qui entrent dans l’expression du temps
écoulé entre les deux premières observations, on aura
![{\displaystyle t'-t={\frac {u{\sqrt {r+r'}}}{2{\sqrt {\mathrm {g} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9380ce6f8bb79e0a0e99b163d8e5040acab6cf2f)
ce qui donne
![{\displaystyle u^{2}(r+r')=4\mathrm {g} (t'-t)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ea4d63b2df946282b571a025887ef69dbbd50f)
et il n’y aura plus d’autres radicaux dans cette équation que ceux qui entrent dans les expressions de
et
mais les équations entre les trois inconnues
ou entre les deux
seront encore trop compliquées pour qu’on puisse les employer avec succès.
On peut conclure de là que ces inconnues ne sont pas celles dont l’emploi est le plus avantageux dans la question présente ; et, lorsqu’on ne demande d’abord qu’une solution approchée, il est beaucoup plus simple de faire usage des formules que nous avons données dans l’article 28, pour le cas où l’on suppose le temps
très petit.
41. Pour appliquer ces formules à la détermination de l’orbite des comètes, il n’y aura qu’à y substituer à la place de
les expressions données dans l’article 37 ; on aura ainsi, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} l\,\ -\rho \lambda \,=&\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} m-\rho \mu =&\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} n\ -\rho \nu =&\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb287f4a0f0a059c35c0b1014c05d9d10743c10)
où les quantités
répondent au commencement du temps
et sont regardées comme constantes, et où
et
sont des fonctions rationnelles de
et des constantes ![{\displaystyle \mathrm {r,\,s} ,\,{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968a65b5fef2f885fc7d6e59a9d3bd888756d082)
Comme le commencementdu temps
est arbitraire, on peut le fixer au moment de la première observation ; or, en faisant
on a
![{\displaystyle \mathrm {T} =1\quad {\text{et}}\quad \mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc41b2b23d387b91ab2373e616cae81bddb6cb7)
donc on aura pour la première observation ce premier système d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} l\,\ -\rho \lambda \,=&\mathrm {x} ,\\\mathrm {R} m-\rho \mu =&\mathrm {y} ,\\\mathrm {R} n\ -\rho \nu =&\mathrm {z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62896f117ac66c573b71002ace677e31662595b)
Pour la deuxième observation, distante de la première du temps
on aura, en marquant d’un trait les lettres
ce second système d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} 'l'\,\ -\rho '\lambda '\,=&\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} 'm'-\rho '\mu '=&\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} 'n'\ -\rho '\nu '=&\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3087187d592fe1abfb2f5b3f9403d3f17c4c0a8)
On aura des équations pareilles pour la troisième observation, distante de la première du temps
en marquant de deux traits les lettres marquées d’un trait dans les dernières équations, et d’un trait les lettres
et
pour indiquer que le
dont elles sont fonctions doit être changé en
on aura ainsi ce troisième système d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ''l''\,\ -\rho ''\lambda ''\,=&\mathrm {xT'} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ',\\\mathrm {R} ''m''-\rho ''\mu ''=&\mathrm {yT'} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ',\\\mathrm {R} ''n''\ -\rho ''\nu ''=&\mathrm {zT'} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76cc61a02633ef9c32650aea6f094423c885988)
On peut éliminer des premières équations de chacun des trois systèmes les deux constantes
et
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {TV'-VT'=V''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bcb2074dd8534f460a53d1a656576b609435b7)
on aura
![{\displaystyle (\mathrm {R} l-\rho \lambda )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'l'-\rho '\lambda ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''l''-\rho ''\lambda '')\mathrm {V} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db71926946e597599f2076dbf20261264640168)
Éliminant de même les deux constantes
des secondes équations
des mêmes systèmes, on aura
![{\displaystyle (\mathrm {R} m-\rho \mu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'm'-\rho '\mu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''m''-\rho ''\mu '')\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d093581f7dc9a1f2592f9591542d1763b65988b)
et l’élimination des constantes
des dernières équations de ces systèmes donnera pareillement
![{\displaystyle (\mathrm {R} n-\rho \nu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'n'-\rho '\nu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''n''-\rho ''\nu '')\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a914384ca0a40a3958704264e60e6bb512f7d0)
De ces trois équations on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {R\ \ ={\frac {\rho \Gamma V''-\rho '\Gamma 'V'+\rho ''\Gamma ''V}{GV''}}} ,\\&\mathrm {R'\ =-{\frac {\rho \Gamma _{1}V''-\rho '\Gamma '_{1}V'+\rho ''\Gamma ''_{1}V}{GV'}}} ,\\&\mathrm {R''={\frac {\rho \Gamma _{2}V''-\rho '\Gamma '_{2}V'+\rho ''\Gamma ''_{2}V}{GV}}} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cc8bc350538d8a21170a00feac4b83ea9700ff)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''-ln'm''-ml'n''-nm'l'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886192eea89c4dbea5fe6fe20d5555419b4326d5)
et en dénotant par
ce que devient
lorsqu’on y change
respectivement en
en
et en
en dénotant de même par
et par
ce que
devient en faisant subir les mêmes changements aux quantités
ainsi qu’aux quantités analogues ![{\displaystyle l'',\,m'',\,n''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ff0df7b59ed487ff2834733813c547360b0c04)
Maintenant les trois observations donnent aussi (art. 37, 38) les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R^{2}\ -2R\rho \quad \cos(CS)} \quad +\rho ^{2}\ \ =&r^{2},\\\mathrm {R'^{2}\ -2R'\rho '\ \cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2364624a970213d5040ada43d4c56fc57db135)
Donc, si l’on y substitue les valeurs précédentes de
on aura trois équations finales qui ne contiendront que des quantités connues, avec les quantités
et
qui sont données en fonctions du temps et des trois constantes
d’où dépendent les éléments
de l’orbite (
art. 28, 29) ; de sorte qu’on pourra déterminer ces trois constantes.
42. En ne poussant l’approximation que jusqu’aux quatrièmes puissances de
on a
![{\displaystyle \mathrm {V} =t-\mathrm {g} {\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adc07ee6dc6f0a6aebe662a2045746b5ce1784e)
et de même,
![{\displaystyle \mathrm {V} '=t'-\mathrm {g} {\frac {t'^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t'^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe9ae1c02e7d933945d7bd6bd3c09f8dc2aeb3f)
et comme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} ''=t'-t-\mathrm {g} {\frac {(t'-t)^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {(t'-t)^{3}(t+t')}{4\mathrm {r} ^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97781d9785c07abdb14642854ff01639ae0a68ae)
En faisant ces substitutions dans les valeurs de
et supposant
le coefficient
étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations, il est clair que la quatrième dimension de
disparaîtra par la division, et qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de
et
Or on a, en général, aux
près,
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-{\frac {\mathrm {gs} }{3r^{3}}}t^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e9c1222ac7f544f18f0ca88256ad5150412034)
mais nous avons supposé que la première observation répond à
et que les deux suivantes répondent aux temps
et
ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+2m\mathrm {s} t+m^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-m^{3}\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db966a0464cb355e3719fd7b0830dd771cb7b862)
On fera donc ces substitutions dans les trois dernières équations de l’article précédent, et, rejetant les termes qui contiendraient des puissances de
supérieures à la troisième, on aura trois équations entre les trois inconnues
et
dont les deux dernières n’y paraîtront que sous la forme linéaire, de sorte qu’il sera très facile de les éliminer et de réduire le problème à une seule équation en
C’est en quoi consiste le principal avantage de la méthode que nous proposons.
Si l’on voulait pousser l’approximation plus loin et avoir égard à un plus grand nombre de termes dans les valeurs de
on aurait des équations où les inconnues
et
ne seraient plus linéaires, mais monteraient successivement à des dimensions plus hautes, ce qui rendrait leur élimination plus difficile et l’équation finale encore plus compliquée.
43. Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous nous contenterons d’avoir égard, dans les valeurs de
aux troisièmes dimensions de
et de
ce qui fera disparaître les termes affectés de l’inconnue
nous ferons, pour plus de simplicité,
en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances, et représentant les temps par les mouvements moyens du Soleil (art. 23) ; et, supposant
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ =&t-{\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} '\ =&mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} ''=&(m-1)t-{\frac {(m-1)^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e803c99fdb1102b8a140f94772e000cdf63513bc)
Les valeurs de
deviendront ainsi de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ =&{\frac {6\mathrm {P} \mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} t^{2}}{\left[6(m-1)\mathrm {r} ^{3}-(m-1)^{3}t^{2}\right]\mathrm {G} }}\\\mathrm {R} '\ =&-{\frac {6\mathrm {P} _{1}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }},\\\mathrm {R} ''=&-{\frac {6\mathrm {P} _{2}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a0ea21971ea25a4b45994681cc79edf50ab2)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&(m-1)\,\ \rho \Gamma -m\ \,\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\\\mathrm {Q} =&(m-1)^{3}\rho \Gamma -m^{3}\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14be8f36a013fab6c6b8c3f3e1507d6b82302385)
et dénotant par
![{\displaystyle \mathrm {P_{1},\,Q_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65836b3a3c3ed03b7df1739abaa8da47328f50f8)
et
![{\displaystyle \mathrm {P_{2},\,Q_{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a2714479b40e440d14e74d2be343e9586c0dbe)
ce que
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
et
![{\displaystyle \mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea6b6e5d15ac13060c9724fdbf3aa79b353f10)
deviennent en y changeant
![{\displaystyle \Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef44b067e8492e4922c47cbc77f3e62ce6098ce)
en
![{\displaystyle \Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5b8d6e7cf8157e0f91b577af289dad5f8f56b4)
et en
Ces valeurs de
distances de la comète à la Terre dans les trois observations, ne contiennent, comme l’on voit, que la seule inconnue
rayon vecteur de la comète dans la première observation. Si donc on substitue la valeur de
dans l’équation (art. 25)
![{\displaystyle \mathrm {R^{2}+2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}=r^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a920218e47a00cdb7d0765b363101212cc70ffba)
on aura une équation finale en
laquelle montera au huitième degré, et le problème sera réduit à la résolution de cette équation.
Ayant trouvé la valeur de
on aura par les formules précédentes celles de
et
de là on aura, par les formules de l’article 42, les valeurs des trois rayons vecteurs
ainsi que celles des coordonnées
et de leurs différentielles
et l’on pourra déterminer l’orbite par les formules du § II, ou, si l’on aime mieux, par les formules trigonométriques connues, d’après les trois distances
de la comète à la Terre.
44. Les expressions des distances
peuvent être simplifiées par la considération suivante comme la Terre et la comète se meuvent autour du Soleil par la même force attractive de cet astre, si l’on nomme
les coordonnées rectangles de la Terre autour du Soleil lorsque
et qu’on désigne par
ce que deviennent les fonctions
et
lorsqu’on y change les éléments de l’orbite de la comète en ceux de la Terre, on aura, comme dans l’article 28, les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \lambda =&\xi \Theta +{\frac {d\xi }{dt}}\Upsilon ,\\-\rho \mu =&\eta \Theta +{\frac {d\eta }{dt}}\Upsilon ,\\-\rho \nu =&\zeta \Theta +{\frac {d\zeta }{dt}}\Upsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9954bb876c12a1a6b0dd2de20609af232b03de)
parce que, ayant dénoté (art. 24) par
les coordonnées rec-
tangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre, on aura
![{\displaystyle -\rho \lambda ,-\rho \mu ,-\rho \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86880e592854953b72127c632d84304f45f063e)
pour celles de la Terre par rapport au Soleil.
Comme ces équations ne diffèrent de celles de l’article 41 que parce que
sont changées en
et que
y est nul, il est clair qu’on aura des résultats analogues en faisant ces mêmes changements dans ceux que nous venons de trouver dans l’article précédent. Ainsi, puisque les expressions de
données à la fin de cet article ne contiennent d’autre quantité dépendante des éléments de l’orbite que le rayon vecteur
si l’on change
en
rayon vecteur de l’orbite de la Terre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =0,\qquad \mathrm {R} '=0,\qquad \mathrm {R} ''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907f3cf8b79fe1ded3a0e80e17a4f3c2854189a9)
d’où l’on tire
![{\displaystyle 6\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{\rho ^{3}}},\qquad 6\mathrm {P} _{1}={\frac {\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{\rho ^{3}}},\qquad 6\mathrm {P} _{2}={\frac {\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{\rho ^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d237df682fcadc2f90632cde277cf1b34fad2d)
Ces valeurs étant maintenant substituées dans les mêmes expressions de
et négligeant, dans le dénominateur, le terme très petit du second ordre en
vis-à-vis du terme fini en
on aura ces expressions plus simples
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ =&{\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{6(m-1)\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right),\\\mathrm {R} '\ =&{\frac {\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{6m\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right),\\\mathrm {R} ''=&{\frac {\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{6\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1be968f8245171c78a84e6e8114d038e227426)
Si donc on substitue la valeur de
dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R^{2}-2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}-r^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf9489ece4f5adbfb22063c461debc29761f9d6)
et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{6(m-1)\mathrm {G} }}=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f7333eb443d675fa4b9cd0d6f7ad50c22a43f0)
quantité toute-connue par les observations, en multipliant par
on
aura l’équation
![{\displaystyle \mathrm {K^{2}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)^{2}-2K\rho ^{4}r^{3}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)\cos(CS)+\rho ^{6}r^{6}\left(\rho ^{2}-r^{2}\right)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85609b91880184a932f0c538fc5fe1b313536d2a)
où l’inconnue
montera au huitième degré, mais qui, étant divisible par
ne sera, après la division, que du septième degré.
Cet abaissement de l’équation en
est dû à ce que nous avons représenté le mouvement de la Terre, comme celui de la comète, par des formules approchées où l’on a négligé les puissances de
supérieures à la troisième ; il n’aurait pas lieu en employant la valeur de
de l’\piticle précédent, dans laquelle les lieux du Soleil sont supposés exacts, étant déterminés d’après les Tables.
45. On peut ramener l’équation précédente à une construction assez simple. Ayant mené d’un point donné deux droites qui fassent entre elles un angle égal à l’arc
distance apparente de la comète au Soleil dans la première observation, et dont la première soit égale à
et la seconde égale à
il s’agira de trouver dans la première un point tel que la partie comprise entre ce point et l’extrémité de la même droite soit à la droite entière comme le cube de la seconde droite est au cube de la droite qui joindra l’extrémité de celle-ci et le point cherché alors cette dernière droite sera égale à
et la partie de la première interceptée entre le point donné et le point cherché sera égale à
Car, par cette construction, on aura la proportion
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {K}{\rho ^{3}}}-R:{\frac {K}{\rho ^{3}}}::\rho ^{3}:r^{3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18422f45d0923635d9578368cf3d2052c773c6d)
laquelle donne
![{\displaystyle \mathrm {R=K\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf86ddab1540e1bf7971f1f844bf708bfac4224a)
et ensuite
![{\displaystyle \mathrm {r={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho R\cos(CS)+R^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0112e6b3b3f22d00690eac9723ff156cc6e669f2)
d’où résulte l’équation ci-dessus en ![{\displaystyle \mathrm {r} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e64ca405c5264232cadfecb8b568cfbe4ca32a)
Lambert, est, je crois, le premier qui ait réduit le problème des comètes, envisagé d’une manière approchée, mais exacte[8], à une équation unique à une seule inconnue. Il y est parvenu par une considération ingénieuse, fondée sur ce que le lieu apparent de la comète, dans la deuxième observation, s’écarte du grand Cercle mené par les lieux apparents dans la première et dans la troisième observation ; et la détermination de cet écartement l’a conduit directement à une construction analogue à celle que nous venons de donner, et qui se réduit à une équation en
du septième degré. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1771.)
Connaissant ainsi les valeurs de
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} '=-{\frac {m-1}{m}}\mathrm {{\frac {Q_{1}}{Q}}R} ,\qquad \mathrm {R} ''=(m-1)\mathrm {{\frac {Q_{2}}{Q}}R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ae1ee208c5d3c9ab8a445216de1b2f57ad4b03)
et les deux équations (art. 40 et 41)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R'^{2}\,-2R'\ \rho '\,\cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2t-{\frac {t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +m^{2}t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167abc6c7c772e647afa6e0a6192f3b684c37140)
donneront les valeurs des constantes
et
et de là celles des éléments
et
de l’orbite, par les formules de l’article 28,
étant le grand axe et
le paramètre.
46. Si l’on suppose l’orbite parabolique, on aura
infini, ce qui donne
Dans ce cas, les deux dernières équations ne contiendront plus que l’inconnue
laquelle étant éliminée, on aura une nouvelle équation en
qui devra avoir une racine commune avec celle qu’on a déjà trouvée, ce qui servira à faciliter la recherche de cette racine.
En adoptant d’abord pour les comètes l’hypothèse de la parabole, il sera préférable de faire dépendre la solution uniquement de cette dernière équation, parce qu’elle a l’avantage d’être exempte de la quantité
qui est très petite du troisième ordre lorsque les intervalles de temps
et
ou
sont très petits du premier, comme on le verra plus bas, de sorte que les erreurs des observations d’où cette quantité dépend peuvent y avoir une influence très grande.
En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&(m-1)^{2}\left[{\frac {1}{m}}\mathrm {\left({\frac {Q'}{Q}}\right)^{2}-\left({\frac {Q_{2}}{Q}}\right)^{2}} \right],\\\mathrm {N} \,=&-(m-1)^{2}\mathrm {\left[\rho '{\frac {Q_{1}}{Q}}\cos(C'S')+\rho ''{\frac {Q_{2}}{Q}}\cos(C''S'')\right]} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fa54a6154d0df5920ae88d85fb391bc095b30c)
et négligeant les termes affectés de
dans les coefficients de
l’élimination de cette quantité donnera l’équation en ![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
![{\displaystyle \mathrm {MR^{2}-2NR} +m\rho '^{2}-\rho ''^{2}-(m-1)\mathrm {r} ^{2}+m(m-1){\frac {t^{2}}{\mathrm {r} ^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab36332ffe96d33c1571ab84cc29978d2aead0c2)
qui, étant combinée avec l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R^{2}-2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}-r^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf9489ece4f5adbfb22063c461debc29761f9d6)
donnera, par l’élimination de
une équation en
du sixième degré ; et si, dans la combinaison des deux équations, on néglige le carré du terme
qui serait du quatrième ordre, l’équation finale ne montera plus qu’au cinquième degré. On pourrait même, dans la première approximation, négliger ce terme, qui n’est que du second ordre ; alors l’équation finale ne serait plus que du quatrième degré et pourrait se résoudre directement par les méthodes connues.
La valeur de
donnera celles de
et de là celle de
par les formules de l’article précédent ; et, comme on suppose
infini, on aura
![{\displaystyle b=2\mathrm {r-s^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3cd9186c388b09f923596438042db3c69476c)
où le demi-paramètre
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
devient double de la distance périhélie de la comète.
47. Après avoir réduit le problème des comètes à des équations finales à une seule inconnue, il reste à examiner les quantités qui doivent être supposées connues ; ces quantités sont :
1o Les trois rayons
qui représentent les distances du Soleil à la Terre dans les trois observations, et qui doivent être calculés par les Tables du Soleil ;
2o Les quantités
d’où dépendent les valeurs de
(art. 41 et 43). Celles-ci doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du Soleil ; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la détermination beaucoup plus facile.
Commençons par la quantité
dont les autres ne sont que des dérivées on a (art. 41)
![{\displaystyle \mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''+ln'm''+ml'n''+nm'l''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8058cde5ff0ae762cff1c48496b6317727ac6d95)
le carré de cette expression peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=&+\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}\right)\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)\\&+2(ll'+mm'+nn')(ll''+mm''+nn'')(l'l''+m'm''+n'n'')\\&-\left(l^{2}\ \ +m^{2}\,\ +n^{2}\,\ \right)(l'l''+m'm''+n'n'')^{2}\\&-\left(l'^{2}\ +m'^{2}\ +n'^{2}\,\right)(ll''\ \,+mm''\ +nn''\ )^{2}\\&-\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)(ll'\ \ \,+mm'\ \ +nn'\ \ ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce356613842710c9dd820e4c3ccfe62c21d9668)
comme on peut s’en convaincre par le développement. Or, par la nature des quantités
(art. 37),
![{\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,\qquad l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}=1,\qquad l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6527cf6cf765e8c005348a5ce1fed772f55d20b6)
Donc, faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ =&ll'\ \ +mm'\ \ +nn'\ \ ,\\\mathrm {L} '\ =&ll''\ +mm''\ +nn'',\\\mathrm {L} ''=&l'l''+m'm''+n'n'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f450987b6dc9c33c15e7c75f250b648a6fc9ba4a)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {G^{2}=1+2LL'L''-L^{2}-L'^{2}-L''^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c7ffe1b00474823d9cfb3c2331995dfc12a558)
Or nous avons déjà remarqué (art. 38) que la quantité
est égale au cosinus de l’angle compris entre les deux rayons
et
dirigés vers la comète dans les deux premières observations, angle que nous avons désigné par le côté
du triangle sphérique
supposé tracé sur la sphère en joignant par des arcs de grands cercles les trois lieux apparents de la comète dans les trois observations. Ce triangle est entièrement donné par les observations de la comète, de quelque manière qu’elles aient été faites ; et nous pouvons regarder comme connus ses trois côtés
ainsi que les angles
qui sont respectivement opposés aux côtés
et
On aura donc
![{\displaystyle \mathrm {L=\cos(CC')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b5104deac4792326138854ea31e4302ad09130)
et de même
![{\displaystyle \mathrm {L'=\cos(CC''),\qquad L''=\cos(C'C'')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c402564eb91430ed0a893dc93a714f8125aeedf6)
et l’expression de la quantité
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {G^{2}=1+2\cos(CC')\cos(CC'')\cos(C'C'')} \mathrm {-\cos ^{2}(CC')-\cos ^{2}(CC'')-\cos ^{2}(C'C'')} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fcfadfd2e98e5df44c070ebdf3020445a1def8)
Cette expression de
peut encore se réduire à une forme plus simple ; car il est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {\left[\cos(CC'+CC'')-\cos(C'C'')\right]\left[\cos(C'C'')-\cos(CC'-CC'')\right]} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ac65395188891ecd27e508cbf8afade1b54270)
laquelle, par les transformations connues, devient celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=-4&\sin \mathrm {\left({\frac {CC'+CC''+C'C''}{2}}\right)} \sin \left(\mathrm {\frac {CC'+CC''-C'C''}{2}} \right)\\\times &\sin \left(\mathrm {\frac {CC'-CC''+C'C''}{2}} \right)\sin \left(\mathrm {\frac {C'C''+CC''-CC'}{2}} \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99dda94c5b6121524db7d90239ef318bddaf4492)
formule très commode pour le calcul logarithmique.
Si l’on veut employer les angles du même triangle, on peut avoir encore une expression plus simple de la quantité
car on a, par les formules connues,
![{\displaystyle \mathrm {\cos(C'C'')=\cos(CC')\cos(CC'')+\sin(CC')\sin(CC'')\cos C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24adeb093e32aad4c966c5d50220cc163e198982)
si l’on fait cette substitution dans la première expression de
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle \mathrm {G^{2}=\sin(CC')^{2}\sin(CC'')^{2}\sin ^{2}C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e98e5f6d0bfa9f5812dad9d40ce81e382ff16a)
et, par conséquent, en tirant la racine carrée,
![{\displaystyle \mathrm {G\,\,=\sin(CC')\sin(CC'')\sin C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abeb555c2b443f212c48c23d0617f0b8679c620d)
On peut trouver de la même manière
![{\displaystyle \mathrm {G=\sin(C'C'')\sin(C'C)\sin C'=\sin(C''C)\sin(C''C')\sin C''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a437b178788de6f6d62045c710b9e126800dd2b)
Il est facile de prouver que la quantité
n’est autre chose que la solidité, prise six fois, de la pyramide triangulaire qui a le sommet au centre de la sphère dont le rayon est supposé égal à l’unité, et qui s’appuie sur le triangle sphérique
c’est-à-dire qui a pour base le triangle rectiligne formé par les cordes des trois arcs
car, si l’on considère une des faces triangulaires de cette pyramide, celle, par exemple, qui a pour base la corde de l’arc
on aura
pour l’aire de ce triangle isoscèle. Ensuite, si l’on considère la-face ad\sqrt{a}cette qui a pour base la corde de l’arc
il est visible que l’inclinaison mutuelle de ces deux faces sera égale à l’angle
du triangle sphérique ; par conséquent, la perpendiculaire menée de l’angle
sur la première face sera égale à
Cette perpendiculaire devient la hauteur de la pyramide, en la supposant couchée sur la première face égale à
donc la solidité de la pyramide sera égale à
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\mathrm {\sin(CC')\sin(CC'')\sin C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1db85ea7d14f1b7a25353be11d1a38bb3187ff3)
et, par conséquent, égale à ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {G} }{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41ff63cd23b32ba4e45c5f8879e1a37c8a80c4d)
48. Nous dénoterons, en général, par le symbole
la fonction des côtés et des angles de tout triangle sphérique
par laquelle nous avons exprimé la quantité
Ainsi, ayant marqué sur un globe les trois lieux apparents de la comète
donnés par les trois observations, et formé le triangle sphérique
on aura tout de suite
![{\displaystyle \mathrm {G=(CC'C'')} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afee4d1bc33e2eb5c4cf5188a4a631bb7ac49c12)
Si ensuite on place sur le même globe les trois lieux du Soleil
dans les trois observations, et qu’en joignant ces lieux et ceux de la comète par des arcs de grands cercles on forme différents triangles sphériques
il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans l’article 40, relativement aux quantités
que les trois premières seront données par des fonctions semblables des triangles
que les trois autres seront données par de pareilles fonctions des triangles
et que les trois dernières le seront par de semblables fonctions des triangles
On aura donc ainsi, d’après la même notation,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Gamma \ \ =&(\mathrm {SC'C'')} ,\qquad &\Gamma '\ =&(\mathrm {S'C'C''} ),\qquad &\Gamma ''=&(\mathrm {S''C'C''} ),\\\Gamma _{1}=&(\mathrm {CSC''} \ ),&\Gamma _{1}'=&(\mathrm {CS'C''} \ ),&\Gamma _{1}''=&(\mathrm {CS''C''} \ ),\\\Gamma _{2}=&(\mathrm {CC'S} \ \ ),&\Gamma _{2}'=&(\mathrm {CC'S'} \ \ ),&\Gamma _{2}''=&(\mathrm {CC'S''} \ \ ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fad3df6550a84a5fc4750f20aa2e51de4552f7e)
Ces quantités ne dépendent, comme l’on voit, que de la position mutuelle des lieux apparents de la comète et du Soleil, et, comme elles sont les seules qui entrent dans les équations qui déterminent les étéments absolus de l’orbite, notre analyse a l’avantage de séparer la détermination de ces éléments de celle des autres éléments qu’on peut appeler relatifs, parce qu’ils se rapportent à la position de l’orbite dans l’espace.
49. On peut remarquer encore que les expressions que nous venons de donner ont lieu quelle que soit la position des lieux apparents de la comète et du Soleil ; mais lorsque, comme nous l’avons supposé, les lieux de la comète sont peu distants entre eux, les arcs
seront très petits, et l’angle
compris entre ces arcs sera peu différent de deux droits ; il serait égal à deux droits si la Terre et la comète décrivaient, dans l’intervalle de la première à la troisième observation, des lignes droites, parce qu’alors les trois lieux apparents de la comète seraient dans un même grand cercle. Les sinus de
et de
seront donc très petits, et la quantité
![{\displaystyle \mathrm {G=\sin(CC')\sin(C'C'')\sin C'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be50fe46e990b6038d2f9a6997b15adc6c91afb2)
sera très petite du troisième ordre ; mais les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \ =\mathrm {\sin(S\ C')\sin(S\ C'')\sin S} ,\\&\Gamma '=\mathrm {\sin(S'C')\sin(S'C'')\sin S'} ,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71636f3eb4b1298ce6d4430948f622e5f3abb73)
ne seront que du premier ; et, comme d’ailleurs il n’entre dans la valeur de
que des quantités dépendantes des lieux apparents de la comète, au lieu que les quantités
dépendent en partie des lieux du Soleil, qui, étant donnés par les Tables, peuvent être regardés comme exacts, il s’ensuit que la valeur de la quantité
sera toujours beaucoup plus sujette à erreur que celles des quantités
et qu’ainsi il conviendra, autant qu’il est possible, de l’éviter, comme nous l’avons montré dans l’article 46.
50. Nous remarquerons enfin que, comme l’observation d’une \inftymète donne ordinairement son ascension droite et sa déclinaison, si l’on veut employer immédiatement ces données dans nos formules, il n’y aura qu’à supposer que les trois axes auxquels nous avons rapporté les rayons
dirigés vers la comète, et les rayons
dirigés vers le Soleil, soient dirigés, le premier vers l’équinoxe du printemps, le deuxième à angle droit sur le plan de l’équateur et suivant l’ordre des sjgnes, et le troisième vers le pôle boréal de l’équateur alors, nommant
l’ascension droite de la comète,
sa déclinaison dans la première observation, et de même
l’ascension droite du Soleil,
sa déclinaison au même instant, il est facile de voir qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}l=&\cos a\cos d,\qquad &m=&\sin a\cos d,\qquad &n=&\sin d,\\\lambda =&\cos \alpha \cos \delta ,&\mu =&\sin \alpha \cos \delta ,&\nu =&\sin \delta ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1049d3c5d59081840257fca8ab49696a5e86eb)
De là on aura (article cité)
![{\displaystyle \cos(\mathrm {CS} )=l\lambda +m\mu +n\nu =\cos(a-\alpha )\cos d\cos \delta +\sin d\sin \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9528909cec311eb6af44d110ee57a38cd41309)
et, pareillement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\mathrm {C'S'} )\ \ =&\cos(a'\ -\alpha '\,)\cos d'\cos \delta '\ \,+\sin d'\sin \delta ',\\\cos(\mathrm {C''S''} )=&\cos(a''-\alpha '')\cos d''\cos \delta ''+\sin d''\sin \delta '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e67df80e1252f9347f18371a974138dcdbbd824)
en marquant, comme nous l’avons fait, par un trait et par deux traits les quantités analogues qui se rapportent à la deuxième et à la troisième observation.
On aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\mathrm {CC'} )=&\cos(a-a')\cos d\cos d'+\sin d\sin d',\\\cos(\mathrm {SS'} )\,=&\cos(\alpha -\alpha ')\cos \delta \cos \delta '+\sin \delta \sin \delta ',\\\cos(\mathrm {CS'} )=&\cos(a-\alpha ')\cos d\cos \delta '+\sin d\sin \delta ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a22570239dc5360f18ca5cd0e755e4d7d73c75)
et ainsi des autres cosinus.
Si ensuite on substitue ces mêmes valeurs de
dans l’expression de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} =&+\cos d\cos d'\sin d''\sin(a'-a)\\&-\cos d\cos d''\sin d'\sin(a''-a)+\cos d'\cos d''\sin d\sin(a''-a')\\=&-\cos d\cos d'\cos d''\\&\times \left[\sin(a-a')\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} d'+\sin(a'-a'')\operatorname {tang} d\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b604568d0147ae5bc6303596a29e1fc15c34d0a1)
et l’on en déduira les valeurs de
en changeant
et
en
et
en
et
en
et
et celles de
en faisant les mêmes changements sur
et
et celles de
en faisant ces mêmes changements sur
et
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \ \,=&-\cos \delta \cos d'\cos d''\\&\times \left[\sin(\alpha -a')\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} d'+\sin(a'-a'')\operatorname {tang} \delta \right],\\\Gamma _{1}=&-\cos d\cos \delta \ \cos d''\\&\times \left[\sin(a-\alpha \ )\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} \delta \ \ +\sin(\alpha \ -a'')\operatorname {tang} d\right],\\\Gamma _{2}=&-\cos d\cos d'\cos \delta \\&\times \left[\sin(a-a')\operatorname {tang} \delta \ \ \ +\sin(\alpha \;-a)\operatorname {tang} \delta '\,+\sin(a'\,-\alpha \ )\operatorname {tang} \delta \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c88ea82664c48697f3fa8ad54411dd895bb66e)
et pour avoir les valeurs de
![{\displaystyle \Gamma ',\,\Gamma '_{1},\,\Gamma '_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b482f64ec3d9ddcf33b84c14f94a1456655244)
et de
![{\displaystyle \Gamma '',\,\Gamma ''_{1},\,\Gamma ''_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b31d2ec406b423d248bf18a5b4e12f7d0b8ee96)
il n’y aura qu’à marquer, dans les expressions de
![{\displaystyle \Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3badfa972c108b172be7389967ebb69e3b607c61)
les lettres
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
et
![{\displaystyle \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
d’un trait et de deux traits.
Il est inutile d’observer que si, au lieu des ascensions droites et des déclinaisons, on avait pour données les longitudes et les latitudes, il n’y aurait qu’à substituer ces données à la place de celles-là dans les mêmes formules ; l’orbite se trouverait alors rapportée à l’écliptique, au lieu de l’être à l’équateur.
51. Après avoir calculé ces valeurs, on calculera celles des quantités
par la formule de l’article 42 ; et si l’on veut employer la méthode de l’article 44, comme la plus courte, on aura tout de suite l’équation finale en
dont la résolution ne sera pas difficile, en la réduisant pour la première approximation au quatrième degré.
Si les intervalles entre les observations étaient égaux, on aurait
et, par conséquent,
ce qui donnerait
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\rho \Gamma -8\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma ''=-6\rho '\Gamma '+\Delta ^{2}\rho \Gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9bb92b17fe9d66434837903bc86cc45f69ef58)
en désignant par la caractéristique
la différence seconde des quantités
dans lesquelles il n’y a que les quantités relatives au Soleil qui varient. Or, comme on suppose les observations peu distantes entre elles, les différences de ces quantités seront très petites, par conséquent la différence seconde
sera très petite du second ordre et pourra être négligée vis-à-vis de la quantité finie
ce qui réduira la valeur de
à cette seule quantité, et l’on pourra faire les mêmes réductions sur les quantités analogues
de sorte qu’on aura simplement
![{\displaystyle \mathrm {Q} =-6\rho '\Gamma ',\quad \mathrm {Q} _{1}=-6\rho '\Gamma '_{1},\quad \mathrm {Q} _{2}=-6\rho '\Gamma '_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da24aca0c13141f5c6bf73c27a164fff3e96310)
ce qui abrégera encore le calcul de la première approximation.
À l’égard de la mesure du temps, comme ce temps doit être représenté par le mouvement moyen du Soleil, si on veut l’exprimer en jours moyens, il suffira de multiplier le nombre des jours et des décimales de jour par l’angle du mouvement moyen du Soleil dans un jour, réduit en parties du rayon. Cet angle est de
et donne en parties du rayon le nombre
par lequel il faudra donc multiplier les intervalles de temps
réduits en jours moyens.
CHAPITRE DEUXIÈME.
Sur la variation des éléments des orbites elliptiques produite par une force d’impulsion ou par des forces accélératrices.
52. Un des premiers et des plus beaux résultats de la théorie de Newton sur le système du monde consiste en ce que toutes les orbites des corps célestes sont de même nature et ne diffèrent entre elles qu’à raison de la force de projection que ces corps peuvent être supposés avoir reçue dans l’origine des choses. Il suit de là que, si une planète ou une comète venait à recevoir une impulsion étrangère quelconque, son orbite en serait dérangée ; mais il n’y aurait que les éléments, qui sont les constantes arbitraires de l’équation, qui pourraient changer c’est ainsi que l’orbite circulaire ou elliptique d’une planète pourrait devenir parabolique ou même hyperbolique, ce qui transformerait la planète en comète.
Il en est de même de tous les problèmes de Mécanique. Comme les constantes arbitraires introduites par les intégrations dépendent de l’état initial du système, qui peut être placé dans un instant quelconque, si l’on suppose que les corps viennent à recevoir pendant leur mouvement des impulsions quelconques, les vitesses produites par ces impulsions, étant composées avec les vitesses acquises par les corps, pourront être regardées comme des vitesses initiales et ne feront que changer les valeurs des constantes.
Et si, au lieu d’impulsions finies, qui n’agissent que dans un instant, on suppose des impulsions infiniment petites, mais dont l’action soit continuelle, les mêmes constantes deviendront tout à fait variables et serviront à déterminer l’effet de ces sortes de forces, qu’il faudra regarder comme des forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avons donné une solution générale dans la Section
et que nous appliquerons ici aux orbites des planètes.
§ I. — Du changement produit dans les éléments de l’orbite d’une planète,
lorsqu’elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.
53. Nous avons vu, dans le § II du Chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les éléments du mouvement elliptique d’une planète par des fonctions des coordonnées
et de leurs différentielles
qui expriment les vitesses suivant les directions de ces coordonnées. Si donc on suppose qu’une planète, pendant qu’elle se meut, reçoive dans un lieu quelconque de son orbite une impulsion qui lui communique les vitesses
suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter, il n’y aura qu’à mettre dans les mêmes fonctions
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+{\dot {x}},\quad {\frac {dy}{dt}}+{\dot {y}},\quad {\frac {dz}{dt}}+{\dot {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945c0e54bb574b9d5aa75d27f67fb68b1200674a)
à la place de
et l’on aura les éléments de la nouvelle orbite que la planète décrira après l’impulsion.
Si, à la place des coordonnées rectangles
on prend, comme dans l’article 5, le rayon vecteur
avec les angles
et
, dont le premier
soit l’inclinaison de
sur le plan fixe des
et dont l’autre
soit l’angle de la projection de
sur ce plan avec l’axe fixe des
les expressions de l’orbite deviennent plus simples.
En effet, en substituant
et
à la place de
on trouve, pour les éléments
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{gdt^{2}}},\quad b={\frac {r^{4}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{gdt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f40de061368a1d5139c2b0e6e251cb149450a93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} h=&{\frac {\sin \varphi d\psi -\sin \psi \cos \psi \cos \varphi d\varphi }{\cos \varphi d\psi +\sin \psi \cos \psi \sin \varphi d\varphi }},\\\operatorname {tang} i=&{\frac {\sqrt {d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}\psi d\varphi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839a418eb38282e3db77e52ab77656abf56330cf)
Dans ces formules, les expressions différentielles
et
représentent les vitesses dans la direction du rayon
dans une direction perpendiculaire à ce rayon et parallèle au plan de projection, et dans une direction normale au plan des deux autres composantes.
54. Prenons, pour plus de simplicité, le plan de projection dans le plan même de l’orbite, et supposions que la vitesse reçue par l’impulsion soit décomposée en trois, l’une suivant le rayon
l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite, et la troisième perpendiculaire à ce plan. Si l’on désigne la première par
la deuxième par
et la troisième par
on aura les éléments de la nouvelle orbite après l’impulsion, en mettant dans les expressions précédentes
à la place de
et faisant
alors la position de la nouvelle orbite se trouvera rapportée au plan de l’orbite primitive.
Soient
ce que les éléments
deviennent pour la nouvelle orbite ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {A} }}=&{\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]+\left(dr+{\dot {r}}dt\right)^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r^{4}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]}{\mathrm {g} dt^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d78b36107d47b58a46404f7e8f40521448ec3fb)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \mathrm {I} ={\frac {{\dot {\psi }}dt}{d\varphi +{\dot {\varphi }}dt}},\qquad \operatorname {tang} \mathrm {H} ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\operatorname {tang} \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34de80a5d8985e46e3cbc4ca1c4015642ff111d)
donc
![{\displaystyle \mathrm {H} =\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f264c80fb3f5ef1df2963f0ff247a20f432a280)
en effet, il est clair que le nœud de la nouvelle orbite avec l’orbite primitive doit être dans le lieu où se fait l’impulsion.
Si l’on fait aussi
et
dans les expressions des éléments primitifs
et
on a
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\qquad b={\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328b58c726fed40d2c45014ae765ba976d2c07fd)
et de là on tire
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\frac {\sqrt {b}}{r^{2}}},\qquad {\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2768d3a5d470f5bde31e8da2da0c977e6f42ed9)
En substituant ces valeurs, on aura les éléments de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l’orbite primitive et par les vitesses
produites par l’impulsion.
55. Supposons maintenant qu’on demande l’impulsion nécessaire pour changer les éléments primitifs
en
et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l’angle
il ne s’agira que d’avoir les expressions
en
et
Les formules que nous venons de trouver donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\sin I} }{r^{2}}},\qquad {\dot {\varphi }}={\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\cos I} -{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{r^{2}}},\\{\dot {r}}=&{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}}-{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8582d49cde4c5e604ff3414ccfbd414652c4c7)
Soit
la vitesse imprimée par l’impulsion, et soient
les angles que la direction de l’impulsion fait avec trois axes dont l’un soit le rayon
prolongé, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan ; on aura, par le principe de la décomposition,
pour les trois vitesses suivant ces axes, lesquelles sont aussi celles que nous avons désignées par
On aura donc
![{\displaystyle u\cos \alpha ={\dot {r}},\qquad u\cos \beta =r{\dot {\varphi }},\qquad u\cos \gamma =r{\dot {\psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7859f229a9b2a8480751960f18b977c1a602edea)
d’où l’on tire, à cause de ![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3730cde03987e62154151ec458b1c2c0649067)
![{\displaystyle u={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+r^{2}{\dot {\psi }}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2341761759b7c99890c01798b1a6e46718e2a4)
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}},\qquad f={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251b2b5846b9327bcb1ca72973f59594486f9ddc)
on aura
![{\displaystyle u={\sqrt {\mathrm {g} \left({\frac {4}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {1}{a}}-2{\frac {\sqrt {\mathrm {B} b}}{r^{2}}}\cos \mathrm {I} -2\mathrm {F} f\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4486c1580fd4ccce2cf41a05874dd4471ffeae4b)
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\mathrm {F} -f}{u}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \beta ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} -{\sqrt {b}}}{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \gamma ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\sin \mathrm {I} }{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1399c5bfde992ea7935b901f45341d64560ea2)
Mais, si l’on voulait rapporter la direction de l’impulsion à deux autres axes placés dans le plan de l’orbite primitive, dont l’un serait perpendiculaire et l’autre tangent à cette orbite, alors, en nommant l’angle que la perpendiculaire à l’orbite fait avec le rayon vectcur
et dont la tangente est exprimée par
les vitesses imprimées suivant ces deux axes seront
![{\displaystyle {\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon \qquad {\text{et}}\qquad {\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b15ac5464984fac7e19df55455633bc5ae42e46)
la vitesse suivant le troisième axe perpendiculaire au plan de l’orbite demeurant la même. Si donc on désigne par
et par
les angles que la direction de l’impulsion fait avec ces nouveaux axes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\cos \alpha '=&{\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon ,\\u\cos \beta '=&{\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f504b3bf7d5d4ebb9cd30522551e2d3e5d8c5ce1)
Or on a
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {dr}{rd\varphi }}={\frac {fr}{\sqrt {b}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e028bd5a8d2f8a350d44b069ec9c2a1d854950)
d’où l’on tire, en substituant la valeur de ![{\displaystyle f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d)
![{\displaystyle \sin \varepsilon ={\frac {f}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}},\qquad \cos \varepsilon ={\frac {\sqrt {b}}{r{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a22d07f58e05c4f7e5fe5c9ef97116c78a8fa)
et de là on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha '=&{\frac {\mathrm {F} {\sqrt {b}}-f{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} }{ur{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\\\cos \beta '=&\left({\frac {r^{2}\mathrm {F} f+{\sqrt {\mathrm {B} b}}\cos \mathrm {I} }{ur^{2}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}-{\frac {\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}{u}}\right){\sqrt {\mathrm {g} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64085254648c36b7fa32937b80975741db80b8a7)
où l’on remarquera que
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3e0ce29e047c52b2247b6be6101371f0df0eb4)
est la vitesse dans l’orbite primitive.
À l’égard des signes ambigus des radicaux qui entrent dans ces formules, on remarquera :
1o Que
étant la valeur de
exprime la vitesse suivant le rayon
dans l’orbite primitive, et que
exprimera la vitesse suivant ce rayon dans la nouvelle orbite ; ainsi il faudra prendre ces quantités positivement ou négativement, suivant que les vitesses qu’elles représentent tendront à augmenter ou à diminuer le rayon
c’est-à-dire à éloigner ou à rapprocher le corps du foyer ;
2o Que
étant égal à
représente la vitesse circulatoire autour du foyer dans l’orbite primitive, et que, de même,
représentera la vitesse circulatoire dans la nouvelle orbite, et
sera cette vitesse circulatoire rapportée au plan de l’orbite primitive. Ainsi, en prenant
positivement, il faudra prendre l’autre radical
positivement ou négativement, suivant que la nouvelle orbite sera, par rapport au plan de l’orbite primitive, dans le même sens que dans cette orbite ou en sens contraire, c’est-à-dire suivant que le mouvement dans la nouvelle orbite sera direct ou rétrograde, relativement au mouvement dans l’orbite primitive.
56. Lorsqu’on voudra appliquer ces formules aux planètes et aux comètes, on fera
en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances et la vitesse moyenne de la Terre dans son orbite pour l’unité des vitesses. Cette vitesse est à peu près de
lieues, de
au degré, par seconde. La vitesse d’un boulet de
au sortir du canon, est d’environ
pieds, ou
toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d’un point de l’équateur dans le mouvement diurne de la Terre, celle-ci étant de
toises par seconde. Donc si, pour rendre nos estimations plus sensibles, nous prenons pour unité cette vitesse d’un boulet de
laquelle est à peu près d’un dixième de lieue, la vitesse de la Terre dans son orbite sera exprimée par le nombre
par conséquent, il faudra multiplier par
la valeur
de la vitesse d’impulsion.
Voyons quelle peut être la plus grande valeur de
En nommant
l’excentricité de l’orbite primitive et
l’anomalie vraie qui répond au rayon
on a (art. 15)
![{\displaystyle r={\frac {b}{1+e\cos \varphi }}={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \varphi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dc730404a89496d71d36988d8823bfc9b3f0d4)
donc
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{r(1+e\cos \varphi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76d35d711539aea8e16d0638258894deabe6cb3)
Ainsi la plus petite valeur de
sera
et de même la plus petite valeur de
sera
en nommant
l’excentricité de la nouvelle orbite. Donc la plus grande valeur des termes
sera
et cette expression aura lieu aussi pour les orbites hyperboliques où
et
surpasseraient l’unité.
Par les mêmes formules, on a
dont la plus grande valeur est
la plus grande valeur de
sera de même
donc la plus grande valeur de
sera
mais il est facile de prouver que
![{\displaystyle {\sqrt {(1+\mathrm {E} )(1+e)}}<1+{\frac {\mathrm {E} +e}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581164f7defbc84c586bef2659662e9aa7289148)
car la différence de leurs carrés est
donc on aura toujours
![{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\mathrm {B} b}}}{r^{2}}}<{\frac {2+\mathrm {E} +e}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55b808acc8122aa100a4e53500daff72aa85235)
Il faut encore chercher les plus grandes valeurs de
et
Or, les plus petites valeurs de
et de
étant
la plus grande valeur de
sera
et de même la plus grande valeur de
sera
Donc, puisque dans les expressions de
et
peuvent avoir les signes
ou
en prenant positivement les termes qui contiennent ces radicaux, et donnant aussi à
sa plus grande valeur
on aura
![{\displaystyle u<{\sqrt {\frac {4+2(\mathrm {E} +e)+4{\sqrt {\mathrm {E} e}}}{r}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367ebe7a511f6b8025289b9a450bd24a3b0b816e)
Cette limite se réduira à
lorsque l’orbite primitive sera circulaire ou presque circulaire comme celle des planètes, et que la nouvelle sera parabolique comme celles des comètes.
57. Les principales circonstances du mouvement des planètes autour du Soleil nous portent à croire qu’elles ont eu une origine commune c’est le contraire pour les comètes ; elles n’ont de commun entre elles que le mouvement dans une parabole, ou, en général, dans une section conique, et elles paraissent avoir été jetées au hasard dans l’espace.
Ne peut-on pas supposer que la cause qui a produit nos planètes en a produit en même temps un plus grand nombre d’autres placées au delà de Saturne, et décrivant des orbites semblables, comme Uranus, mais dont plusieurs seront devenues ensuite comètes, en éclatant par une explosion interne ? Car, une planète étant brisée en deux ou plusieurs morceaux, par la force de l’explosion, chacun de ces morceaux recevra une impulsion qui lui fera décrire une orbite différente de celle de la planète ; et, pour que cette orbite soit parabolique, il suffira que la vitesse imprimée par l’explosion n’excède pas
fois celle d’un boulet de canon[9]. Pour Saturne on a
et pour Uranus
en supposant
il suffira d’une vitesse moindre que
fois celle d’un boulet, qui n’est produite que par une poignée de poudre.
L’hypothèse d’une planète brisée par une explosion interne a déjà
été proposée par M. Olbers, pour expliquer la presque égalité des éléments des quatre nouvelles planètes ; et ce qui pourrait la confirmer, ce sont les variations de lumière qu’on observe dans ces planètes, et qui, en indiquant un mouvement de rotation, indiquent en même temps que leur figure n’est pas de révolution comme celles des autres planètes ; que, par conséquent, elles ne pouvaient pas être fluides, mais qu’elles devaient être déjà durcies lorsqu’elles sont devenues planètes comme elles le sont dans l’état actuel.
Si l’on suppose l’orbite primitive circulaire, et l’orbite changée par l’explosion elliptique, mais peu différente d’un cercle et peu inclinée au plan de l’orbite primitive, et qu’on n’ait égard qu’aux premières dimensions de l’excentricité
et du sinus de l’inclinaison
on a
![{\displaystyle u={\frac {\sqrt {\mathrm {E} ^{2}\left(\sin ^{2}\Phi +{\frac {1}{4}}\cos ^{2}\Phi \right)+\sin ^{2}\mathrm {I} }}{\sqrt {r}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6ef54d8ab7e0a40b7143f1a2bf27d086789cce)
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\mathrm {E} \sin \Phi }{u{\sqrt {r}}}},\qquad \cos \beta ={\frac {\mathrm {E} \cos \Phi }{2u{\sqrt {r}}}},\qquad \cos \gamma ={\frac {\sin \mathrm {I} }{u{\sqrt {r}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8450231dd86a1a0f02b43fa5f7ba3d77f2be7502)
l’angle
étant celui que le rayon
fait avec le rayon du périhélie,
Ainsi, puisque les excentricités et les inclinaisons des planètes ne gardent entre elles aucune loi et n’ont de commun que leur petitesse, on pourrait supposer que les orbites des planètes ont été circuiaires dans leur formation, et qu’elles sont devenues ensuite elliptiques et inclinées par l’effet de petites explosions internes. En effet, si un petit morceau
de la masse
d’une planète en avait été détaché et lancé avec une vitesse
capable d’en faire une comète, la planète n’aurait reçu en sens contraire qu’une petite vitesse
qui aurait pu changer son orbite circulaire en elliptique et inclinée, comme celles de nos planètes, et la même impulsion aurait pu produire aussi quelque changement sur sa rotation, comme nous le verrons plus bas.
§ II. — Variations des éléments des planètes produites
par des forces perturbatrices.
58. Supposons maintenant que les impulsions qui changent les constantes arbitraires soient infiniment petites et continuelles ; ces constantes deviennent variables, et l’on pourra, de cette manière, réduire l’effet des forces perturbatrices des planètes aux variations des éléments de leurs orbites.
Soient
les forces perturbatrices décomposées suivant les directions des coordonnées rectangles
et tendantes à augmenter ces coordonnées ; ces forces engendreront pendant l’instant
les petites vitesses
qu’il faudra ajouter aux vitesses
dans l’expression de chacun des éléments
comme dans l’article 52. Mais, comme ces vitesses additionnelles sont ici infiniment petites, elles ne produiront dans les éléments que des variations infiniment petites, qu’on pourra déterminer par le Calcul différentiel.
Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80585aa8600ecf9ae5084c035bab0f9da4953168)
chacun des éléments sera exprimé par une fonction donnée de
Soit
un quelconque de ces éléments ; on aura sa variation
en augmentant
des quantités infiniment petites
on aura ainsi
![{\displaystyle da=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}\mathrm {X} +{\frac {\partial a}{\partial y'}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial a}{\partial z'}}\mathrm {Z} \right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cdd703bc35e454c35a492f8692afcefd6c4c8c)
et l’on aura de pareilles équations pour les autres éléments de l’orbite ![{\displaystyle b,\,c,\,h,\,i,\,k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0552bc900702021bb61f6bfa3cb0c9e71d72b7)
Pour faire usage de ces équations, il faudra substituer à la place des variables
leurs valeurs en
et en
données par les formules trouvées dans le premier Chapitre ; on aura ainsi autant d’équations du premier ordre entre le temps
et les éléments
devenus variables qu’il y a de ces éléments, et il ne s’agira plus que de les intégrer.
Si l’on voulait introduire directement les forces perturbatrices dans les équations de l’orbite primitive (art. 4), il n’y aurait qu’à ajouter respectivement les quantités
aux termes
de ces équations. Ainsi l’on peut regarder les équations précédentes entre les nouvelles variables
comme des transformées des équations en
mais ces transformations seraient peu utiles pour la solution générale du problème. Leur grande utilité est lorsque la solution rigoureuse est impossible, et que les forces perturbatrices sont très petites ; elles fournissent alors un moyen d’approximation que nous avons exposé d’une manière générale dans la Section V.
59. Cette approximation, fondée sur la variation des éléments, est surtout applicable aux orbites elliptiques des planètes, en tant qu’elles sont dérangées par l’action des autres planètes, et les géomètres l’ont souvent employée dans la théorie des planètes et des comètes ; on peut dire que ce sont les observations elles-mêmes qui l’ont fait connaître avant qu’on y eût été conduit par le calcul ; elle a l’avantage de conserver la forme elliptique des orbites, et même de supposer l’ellipse invariable pendant un temps infiniment petit, de manière que non seulement le lieu de la planète, mais aussi sa vitesse et sa direction[10] ne soient point affectés de la variation instantanée des éléments.
En effet, en regardant les coordonnées
comme des fonctions du temps et des éléments
devenus variables, on a, par la différentiation,
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c838b3772b88f97ce4c0bfb695fde7fa25fda2b5)
et il est facile de prouver que la partie qui contient les variations
devient nulle par la substitution de la valeur de
donnée ci-
dessus, et des valeurs semblables de
![{\displaystyle db,\,dc,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da91fcac33d873f8706b336a57317fffa23e289)
car, en faisant ces substitutions dans les termes
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844376ba2688cd1c9c7c4b664b36387eb901c5ca)
et ordonnant par rapport aux quantités
![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21c6080ad2422879dfccd69a9710fd08630ffb)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots \right)\mathrm {X} dt\\+&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots \right)\mathrm {Y} dt\\+&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots \right)\mathrm {Z} dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94ec7da52732d1746c258eeb2ecb3ecb9b01ca4)
Mais, en regardant d’abord
comme fonctions de
et ensuite
comme fonctions de
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&dx={\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc+{\frac {\partial x}{\partial h}}dh+\ldots ,\\&dy={\frac {\partial y}{\partial a}}da\,+{\frac {\partial y}{\partial b}}db\,+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc\,+{\frac {\partial y}{\partial h}}dh+\ldots ,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&da={\frac {\partial a}{\partial x}}dx+{\frac {\partial a}{\partial y}}dy+{\frac {\partial a}{\partial z}}dz+{\frac {\partial a}{\partial x'}}dx'+\ldots ,\\&db={\frac {\partial b}{\partial x}}dx\,+{\frac {\partial b}{\partial y}}dy\,+{\frac {\partial b}{\partial z}}dz+{\frac {\partial b}{\partial x'}}dx'+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c87699166ceb2bb7f021679b9289bef6a8ed91)
Substituant dans l’expression de
ces valeurs de
on doit avoir des équations identiques ; par conséquent, il faudra que les termes affectés de
dans les expressions de
deviennent nuls ; ce qui donnera, par rapport à
les équations identiques
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots =0,\\&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots =0,\\&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b74ea43d815171f2d722603d97a79b366f07e54)
On aura donc simplement
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750f0bc0b9ff8fe3605c3d0a52299ba4a1e4eeda)
et l’on trouvera de la même manière
![{\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial t}}dt,\qquad dz={\frac {\partial z}{\partial t}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6536e15ef5d11b2664d6c9ba3163a899b080b96)
comme si les constantes
ne variaient point.
60. Lorsque les forces perturbatrices viennent des attractions d’autres corps fixes ou mobiles, et que ces attractions sont proportionnelles à des fonctions des distances, alors, si l’on désigne, comme dans l’article 8 de la Section V, par
la somme des intégrales de chaque force multipliée par l’élément de sa distance au centre d’attraction, et qu’on regarde la quantité
comme fonction de
les forces
sont de la forme
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\partial \Omega }{\partial x}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\partial \Omega }{\partial y}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\partial \Omega }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957bc9c46cacdaeae9518f24734ccc2c039275a5)
je donne ici le signe
à la quantité
parce que j’ai supposé que les forces
tendent à augmenter les distances
au lieu que, dans les fonctions
les forces perturbatrices, dirigées sur des centres, sont supposées tendre à diminuer les distances des corps à ces centres.
Dans ce cas, qui est celui de la nature, les variations des éléments
peuvent s’exprimer d’une manière plus simple, en employant, au lieu des différences partielles de
relatives à
ses différences partielles relatives à
après la substitution des valeurs de
en
et
c’est cette considération qui a fait naître la nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires.
Si l’on regarde
comme fonctions de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial x}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76586b22f92b78e87b05937540aedaaea35b5e4b)
et, ces valeurs étant substituées dans l’expression de
![{\displaystyle da}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc9b93f275d94ae7e0e9ed1e8acc754cb751418)
de l’article 58, à la place de
![{\displaystyle \mathrm {X,\,Y,\,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8274ade07d85fb36ca6e1e59ef9d47a2c1d385a3)
elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}da=&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial a}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial b}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial c}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3c560ec3b61a88cdd20b41ffec34bc1295b9cb)
On peut faire disparaître de cette expression les termes multipliés par
par la considération que,
ne contenantpointles variables
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial x'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots =0,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial y'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots =0,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial z'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc185db1434d7b37890e01f553a09645b1ac256)
Donc, si l’on soustrait de la valeur de
la quantité
![{\displaystyle \left({\frac {\partial \Omega }{\partial x'}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y'}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z'}}{\frac {\partial a}{\partial z}}\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7d5cfa9b6e6a5afcc3f5e01c8a6f0efc781344)
![{\displaystyle {\begin{aligned}da=&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial b}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial b}{\partial z}}-{\frac {\partial a}{\partial x}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}-{\frac {\partial a}{\partial z}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial c}{\partial z}}-{\frac {\partial a}{\partial x}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}-{\frac {\partial a}{\partial z}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1117ff3cedad2dea79c6cf275dada07d21ee834c)
Cette expression de
est, en apparence, plus compliquée que la formule primitive d’où nous sommes partis ; mais elle a, d’un autre côté, le grand avantage que les coefficients des différences partielles
deviennent indépendants du temps
après la substitution des valeurs de
en
et
données par le mouvement elliptique de la planète, comme on peut s’en assurer par la différentiation, en faisant varier le temps
dans les coefficients.
61. En effet, puisque
est censé fonction de
et que
varient aussi avec
de manière que
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed8514117a6e3b959c318e5237ca56a76863447)
et
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05da63472d933b8f3e5ea9307a3fdfa905991a)
par les équations différentielles du problème (art. 4), il s’ensuit qu’on aura, en différentiant par rapport à
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71e2cd5720b754e8b2466526c5ee8e12e3672c7)
Mais,
étant une des constantes arbitraires introduites par l’intégration des mêmes équations, sa différentielle relative à
doit devenir identiquement nulle par les mêmes valeurs de
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial t}}+{\frac {\partial a}{\partial x}}x'+{\frac {\partial a}{\partial y}}y'+{\frac {\partial a}{\partial z}}z'-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f17fa8c4ec832339693c85ab74e843794e1113)
équation identique qui subsistera, par conséquent, en faisant varier séparément ![{\displaystyle x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b610e40541e4369daeea48af9d61a5da140bb38)
Faisons varier
on aura donc aussi
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a371a6cc0959dbac71c1f51deb17907bd85301d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}&-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\\-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}&-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}\ \,-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77104eff00fd26db6664799b660f1ed3bc3eed2e)
Donc la valeur de la différentielle de
se réduira à
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb4aec7057cf46cc94746253edf115673ebe5ce)
On trouve de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\partial a}{\partial y}}=&\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y\partial z}}\right)dt,\\d{\frac {\partial a}{\partial z}}=&\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}\right)dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218f10f90cf385e99641f4b462c0e74bc893141c)
On aura ensuite
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x'}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t\partial x'}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial y\partial x'}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z\partial x'}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efa8cb571d36ae4d8a3846ddb2f8b03975a510d)
Mais, en faisant varier
dans l’équation identique
et observant que la fonction
est supposée ne pas contenir les variables
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t\partial x'}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial y\partial x'}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z\partial x'}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d5c73f56f66c9bec999e8946f481844bdae1fb)
donc on aura simplement
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x'}}=-{\frac {\partial a}{\partial x}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c84a4b4ca8b04ca9a30aa298aee2206562f26d2)
et l’on trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\partial a}{\partial y'}}=&-{\frac {\partial a}{\partial y}}dt\\d{\frac {\partial a}{\partial z'}}=&-{\frac {\partial a}{\partial z}}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10be01b9cf59775baee3ce91754b9c7e17e32032)
On aura des expressions semblables pour les différentielles
en changeant seulement
en
et ainsi pour les autres quantités semblables.
Si maintenant on différentie le coefficient de
dans l’expression de
de l’article 60, et qu’on y substitue les valeurs qu’on vient de trouver pour les différentielles de
on verra d’abord que les termes qui contiendront les différentielles de
se détruiront mutuellement, et que tes termes qui contiendront les différences de
étant ordonnés par rapport aux différences partielles de
se détruiront aussi mutuellement dans chacun des coefficients de ces différences partielles.
D’où l’on peut conclure que le coefficient de
dans l’expression de
sera constant à l’égard du temps
et ne pourra être qu’une fonction de
après la substitution des valeurs de
en
et
de sorte que la variable
disparaîtra d’elle-même, et qu’il suffira d’y substituer les valeurs de
qui répondent ou à
ou à une valeur quelconque de
On prouvera de la même manière que
disparaîtra des autres coefficients des différences partielles de dans la même expression de
. Ainsi la variation de
sera représentée par une formule qui ne contiendra que les différences partielles de
par rapport à
multipliées chacune par une fonction de
sans
Et la même chose aura lieu à l’égard des variations des autres constantes arbitraires
Ce résultat important, que nous venons de trouver a posteriori, n’est qu’un cas particulier de la théorie générale de la variation des constantes arbitraires, que nous avons exposée dans le § II de la Section V ; et nous aurions pu le déduire immédiatement de cette théorie ; mais nous avons cru qu’il n’était pas inutile de montrer comment on peut y arriver en partant des formules qui donnent directement les variations des éléments dues aux forces perturbatrices, et surtout comment ces variations acquièrent une forme simple et élégante par la réduction des forces perturbatrices aux différences partielles d’une même fonction, relatives à ces mêmes éléments regardés comme variables.
62. Nous avons supposé, dans l’article 60, que les forces
pouvaient s’exprimer par les différences partielles d’une même fonction
relatives à
Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas absolument nécessaire pour son exactitude, puisque les équations différentielles sont toujours indépendantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des différences partielles de
relatives aux constantes arbitraires
Or ces constantes n’entrent dans la fonction
que parce qu’elles entrent dans les expressions des variables
dont
est supposé fonction ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b85a2e8f17dd45c09b6995712f68eed84908c2)
et, remettants
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}=\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial a}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial a}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial z}{\partial a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb75238d1f78ed64a50a704f200bf612e5ba7aef)
quelles que soient les valeurs de
Il en sera de même à l’égard de
en changeant
en ![{\displaystyle b,\,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44ce06929e85c0e7f048c893f3c50c0e5b4082d)
En général, si l’on dénote par la caractéristique
les variations de
relatives aux constantes arbitraires
on aura
![{\displaystyle \delta \Omega =\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2efb92fb5a5859be9a9840cf61325670c0fff9f)
et si l’on suppose que les forces perturbatrices soient
tendantes à des centres dont les distances respectives soient
ce qui donne
![{\displaystyle -d\Omega =\mathrm {R} d\mathrm {r} +\mathrm {Q} d\mathrm {q} +\mathrm {P} d\mathrm {p} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f94f035c2523d65aa6fc147fbda12b527f68d0)
on aura aussi, relativement aux constantes arbitraires,
![{\displaystyle -\delta \Omega =\mathrm {R\delta r+Q\delta q+P\delta p} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6566cc7f1e2e2031ea8a5aaf6581c1dd8a4b7b9)
Je donne ici à
le signe
parce que les forces
sont supposées tendre à diminuer les distances
au lieu que les
forces
![{\displaystyle \mathrm {X,\,Y,\,Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d40a0f52564a5b95dad5243b1730316a29f942e)
sont supposées tendre à augmenter les lignes
![{\displaystyle x,\,y,\,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a954a4e524cf8dc15d97377d697c223922ddbb9)
comme nous l’avons déjà observé dans l’article
[11].
63. Pour appliquer les formules générales de l’article 18
de la Section citée aux éléments d’une planète, il n’y a qu’à considérer que les coordonnées
étant indépendantes, doivent être prises pour les variables
et, comme il n’y a qu’un seul corps mobile dont la masse peut être supposée égale à l’unité, on aura simplement, comme dans l’article_3,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}={\frac {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e40325469c851a3d00617afd0918bd984727c4)
donc
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial x'}}=x',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial y'}}=y',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial z'}}=z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78de4752d45cb717188f365d4839b413363af75)
Ainsi les constantes
et
qui représentent les valeurs de
et de
lorsque
(Sect. V, art. 12), seront ici
(art. 31), et les variations des éléments
deviendront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&da=\left[+(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}+(a,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&db=\left[-(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}+(b,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0b32dadf42fc3f985f5da3ae7990e3264a708f)
les coefficients représentés par les symboles
étant exprimés ainsi :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a,b)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} '}},\\&(a,c)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} '}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9191f185b3e39321a55b551623e41551bf713a34)
On voit que ces expressions de
coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 60), si ce n’est qu’à la place des lettres
il y a les lettres
qui représentent les valeurs de
lorsque
est égal à zéro, ou à une valeur quelconque, puisque le commencement du temps
est arbitraire ; ce qui revient au même, parce que, les coefficients
devant être indépendants de
les quantités
doivent être les mêmes fonctions de
que de
64. Comme les quantités
sont aussi des constantes arbitraires, on peut les prendre à la place des six constantes
Changeant donc
en
en
en
en
on aura
![{\displaystyle \mathrm {(x,x')=-1,\quad (y,y')=-1,\quad (z,z')} =-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9e00c81cfa8b359c6df482d93d607d950ae06f)
et tous les autres coefficients
deviendront nuls ; de sorte que les variations de
seront représentées par ces formules très simples
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {dx} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}dt,\qquad &\mathrm {dy} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}dt,\qquad &\mathrm {dz} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}dt,\\\mathrm {dx} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}dt,\qquad &\mathrm {dy} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}dt,\qquad &\mathrm {dz} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}dt,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9914e1749f06adb07ece24210b3ce303be15ed)
lesquelles résultent aussi de celles auxquelles nous sommes parvenus directement dans l’article 14 de la Section V ; ainsi il y aurait toujours de l’avantage à employer ces constantes à la place des autres constantes ![{\displaystyle a,\,b,\,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67af8af017275575a503145e081eced4955c310)
Mais, quelles que soient les constantes
elles ne peuvent être que des fonctions des constantes
donc, réciproquement, on peut regarder celles-ci comme fonctions de celles-là. On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dbeca2b2159b5536bfd1eb6cf2374bc2461ad4)
donc, substituant les valeurs de
du présent article, on
aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}d\mathrm {x} '+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}d\mathrm {y} '+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}d\mathrm {z} '-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}d\mathrm {x} -{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}d\mathrm {y} -{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}d\mathrm {z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9259edaf482d04ca5c9ef29a1904be29073b195b)
Or
étant fonctions de
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial \mathrm {x} \ =&{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\ da+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}\ db+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}\ dc+\ldots ,\\\partial \mathrm {x} '=&{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}da+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}db+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}dc+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded04529a355846229fc1a03365a21a19fd60b39)
Substituant ces valeurs et ordonnant les termes par rapport aux variations
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=[a,b]db+[a,c]dc+[a,h]dh+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa468f6218dfabc1f8bc2d0a7ced676cb3dc777)
où les symboles
sont exprimés par ces formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[a,b]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial b}},\\&[a,c]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial c}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eb27ec73257dcdb823ede84b509782d0a9db8d)
On aura de même, à cause de ![{\displaystyle [b,a]=-[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c9de8071f3f8548c0cb99798395b537bb9b776)
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt=-[a,b]da+[b,c]dc+[b,h]dh+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacaec695fbe67805d60c9ba2bdd998f1c5fb5bf)
![{\displaystyle [b,c]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00c5b1767e3e7261ef21bc4565310c9f24c04e3)
et ainsi de suite, en changeant simplement les quantités
entre elles, prises deux à deux, et en observant que l’on a, en général,
![{\displaystyle [b,a]=-[a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0661ea138bf4a57fa27596471e41785ff5d69c2e)
de sorte que la valeur des symboles ne fait que changer de signe par la permutation des deux quantités qu’ils contiennent.
Si l’on compare les valeurs de ces symboles marqués par des crochets carrés avec celles des symboles analogues marqués par des crochets ronds (art. 63), on y remarque une analogie singulière, qui consiste en ce qu’elles sont exprimées de la même manière en différences partielles de
relatives à
ou de
relatives à
65. Ces dernières formules sont celles que j’avais trouvées directement, dans mon premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires[12], et elles résultent aussi immédiatement de la formule de l’article 12 de la Section V, laquelle, en faisant les substitutions indiquées ci-dessus (art. 61), se réduit à
![{\displaystyle \Delta \Omega dt=\mathrm {\Delta \mathrm {x} \delta \mathrm {x} '+\Delta \mathrm {y} \delta \mathrm {y} '+\Delta \mathrm {z} \delta \mathrm {z} '-\Delta \mathrm {x} '\delta \mathrm {x} -\Delta \mathrm {y} '\delta \mathrm {y} -\Delta \mathrm {z} '\delta \mathrm {z} } .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf67b5a062e322dd3d3a21397f1d08dc5ca13ee)
Dans cette formule, les différences marquées par
doivent se rapporter aux variations de toutes les constantes
mais les différences marquées par peuvent se rapporter à la variation de chacune de ces constantes en particulier (Section citée, art. 10). Ainsi l’on aura, en rapportant la caractéristique
successivement à
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\delta \mathrm {x} '+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}\delta \mathrm {y} '+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}\delta \mathrm {z} '-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}\delta \mathrm {x} -{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}\delta \mathrm {y} -{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\delta \mathrm {z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93afb224a2fe6f21abf724953c1676d912a7d083)
et de même en changeant
en ![{\displaystyle b,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113c4f53d2e6b22ce517e2d46c8ebfcf1f77bb22)
Mais on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {x} \ =&{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\ da+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}\ db+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}dc+\ldots ,\\\delta \mathrm {x} '=&{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}da+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}db+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}dc+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0657a8d6c094b0a4035770d1ac1964d435a3a2)
et de même pour
en faisant ces substitutions, on a pour
les mêmes formules trouvées ci-dessus.
Mais une conséquence importante qui résulte de ces formules, c’est que la variation de la fonction
en tant qu’elle dépend de celle des éléments
est toujours nulle. En effet, si, dans la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}da+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}db+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dc+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32edabed6e6864540069bb00ff5b67d95b553049)
on substitue les valeurs de
en
on trouve que tous les termes se détruisent, ce qui est un résultat très remarquable.
66. Comme la solution du problème principal dans lequel on n’a point égard aux forces perturbatrices doit donner les valeurs des variables
en
avec les constantes arbitraires
il n’y a qu’à faire d’abord
dans ces valeurs et dans celles de leurs différentielles relatives à
et prendre ensuite leurs différences partielles relatives à
On a ainsi facilement les coefficients des différences
dans les valeurs de
et il ne s’agit plus que de chercher ces différences mêmes par des éliminations linéaires, comme vje l’ai pratiqué dans le Mémoire cité, à l’égard des éléments des planètes.
À cet égard, les formules de l’article 63 paraissent avoir de l’avantage, en ce qu’elles donnent directement les mêmes différences ; mais elles demandent d’abord qu’on ait les expressions des constantes arbitraires
par les variables
et leurs différentielles, ce qui, dans plusieurs cas, ne peut s’obtenir que par des éliminations d’un genre supérieur aux linéaires ; ensuite, après avoir pris leurs différences partielles relatives à
il faut y remettre les valeurs de ces variables en
puisqu’en dernière analyse les coefficients
doivent devenir des fonctions de
sans
ce qui constitue l’essence et la force de cette analyse.
Quoi qu’il en soit, ayant donné, dans le § I, des expressions fort simples des coordonnées
en
et
nous y appliquerons les formules du dernier article, pour en déduire les variations des éléments
comme nous l’avons pratiqué dans le Mémoire cité, parce que le calcul par ces formules acquiert une simplicité et une élégance qu’il n’aurait pas, à beaucoup près, par les autres formules.
67. Reprenons les expressions de
données dans l’article 13,
![{\displaystyle x=\alpha \mathrm {X+\beta Y} ,\qquad y=\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} ,\qquad z=\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6379814c3ebbbf1416764aa1b308f61dc328061)
dans lesquelles (art. 17)
![{\displaystyle \mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba61e67e441cddeefda5d0bfe38b691c5071aaa2)
l’angle
étant déterminé par l’équation (art. 16)
![{\displaystyle t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69521b7a6b4eb1710daf132d4da57fe1343fdad)
Ces formules ont l’avantage que les trois éléments de l’orbite
ne se trouvent que dans les quantités variables
et sont, par conséquent, séparés des trois éléments
qui dépendent de la position de l’orbite et dont les coefficients
sont fonctions (art. 13).
Considérons d’abord la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial b}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial b}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial b}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0c9692a1516256a7be92447a1d5f37e9b15217)
et substituons-y les valeurs de
données ci-dessus ; en faisant
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe07a33af66c2f7a6b20961858fbd0324167d86)
on aura pour
les mêmes expressions, où les quantités
seront marquées d’un trait ; et comme les constantes
n’entrent que dans
et
, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}},\\{\frac {\partial x}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b507fab966bfa2296f8aa948b948359394b1113)
et changeant
![{\displaystyle \alpha ,\,\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbd20102c2aca648ea5ce1bad71f6ea02d65ac9)
en
![{\displaystyle \alpha _{1},\,\beta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957bdaf065c159adf9f2d2a082c52fc6360a46cb)
et
![{\displaystyle \alpha _{2},\,\beta _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f23160b61a107b4ef27160931f79292952de6c)
on aura les valeurs de
Ces différentes valeurs étant substituées dans la formule précédente, et ayant égard aux équations de condition
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f860012bb7d0312dad0b4d50dbb17682134cd2ee)
qui ont lieu entre les coefficients
(art. 14), cette formule se réduira à la forme
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3286a9d69e361f6459e05aa36a4526f95a271fa)
où l’on voit que les quantités,
qui dépendent de la position de l’orbite, ont disparu.
On aura un pareil résultat par rapport aux différences partielles relatives à
et il n’y aura qu’à changer dans la formule précédente
et
en
Si donc on substitue dans
leurs valeurs en
qu’ensuite on fasse
égal à zéro ou à une quantité quelconque déterminée, et qu’on désigne par
ce que
deviennent, on aura (art. 64)
![{\displaystyle [a,b]={\frac {\partial X}{\partial a}}{\frac {\partial X'}{\partial b}}+{\frac {\partial Y}{\partial a}}{\frac {\partial Y'}{\partial b}}-{\frac {\partial X'}{\partial a}}{\frac {\partial X}{\partial b}}-{\frac {\partial Y'}{\partial a}}{\frac {\partial Y}{\partial b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cbe1e8d473a9aeb5f95dbbe7a3a2455df3c71b)
et l’on aura de même les valeurs de
en changeant
en
et
en
dans les différences partielles.
68. Or on a
![{\displaystyle \mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d3b818c5891641097794a0b1114090d1c08b98)
donc, puisque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '=-a\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}},\quad \mathrm {Y} '=a{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edc778b59affbbe6e5bcdcd366124f07322f9ae)
Mais l’équation
![{\displaystyle (t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28da04b1e2e2d73c5df964ccec4fc220c2d6fc3e)
donne, par la différentiation,
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{1-e\cos \theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acd6afde2123502a87b9ca8b7352923cd7b510e)
donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }},\qquad \mathrm {Y} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}{a}}}\ {\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543b4f053f960b64d317bad46fee3a0c0f76eeaf)
Il faut maintenant différentier ces formules en faisant varier les trois constantes
nous dénoterons par la caractéristique
les variations relatives à ces constantes ; ainsi l’on aura d’abord
![{\displaystyle \delta \theta ={\frac {(t-c){\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}+\sin \theta de-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc}{1-e\cos \theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130886bbf7c7e0e0d8b0f6c6f2f90a25b42ff2d6)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {X} =&-a\sin \theta \delta \theta +\cos \theta da-d(ae),\\\delta \mathrm {Y} =&a{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \theta \delta \theta +\sin \theta d\left(a{\sqrt {1-e^{2}}}\right),\\\delta \mathrm {X} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\cos \theta -e}{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta \cos \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}de-{\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}d{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}},\\\delta \mathrm {Y} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\sin \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&+{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\cos ^{2}\theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}dc+{\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}d\left({\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3d27c178e2cb2aba3579ff1130e652ea67a77e)
On peut faire ici
mais il est plus simple de faire
ce qui donne aussi
ainsi l’on aura, en changeant
en
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \theta =&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{\frac {dc}{1-e}},\\\delta X=&(1-e)da-adc,\\\delta Y=&a{\sqrt {1-e^{2}}}\delta \theta =-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}dc,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e680761c41e043567915b960fbba814d370588)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta X'=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\delta \theta }{1-e}}={\frac {\mathrm {g} }{a^{2}}}{\frac {dc}{(1-e)^{2}}},\\\delta Y'=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {de}{(1-e)^{2}}}+{\frac {d\left({\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}{1-e}}\\=&d\left({\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}\right)={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}d{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}+{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\frac {de}{(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448c60d7173ee543c256014cb934be816f6406d8)
69. Ici nous avons conservé la quantité
qui est l’excentricité ; mais si, à sa place, on veut employer le paramètre
on aura, par la différentiation,
![{\displaystyle de={\frac {\left(1-e^{2}\right)da-db}{2ae}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4189ea0031f29d874ede2867bc251582caf7024e)
et les expressions de
et de
qui contiennent
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta X=&{\frac {-\left(1-e^{2}\right)da+db}{2e}},\\\delta Y'=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{2ae}}da-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {db}{2ae(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403bb9d390fee343a01f8c412969d4367074e993)
De là nous aurons les différences partielles
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial X}{\partial a}}\ =&-{\frac {\left(1-e^{2}\right)}{2e}},&{\frac {\partial X}{\partial b}}\ =&{\frac {1}{2e}},\quad {\frac {\partial X}{\partial c}}\ =0,\\{\frac {\partial Y}{\partial a}}\ =&0,&{\frac {\partial Y}{\partial b}}\ =&0,\qquad {\frac {\partial Y}{\partial c}}\ =-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}},\\{\frac {\partial X'}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial X'}{\partial b}}=&0,\qquad {\frac {\partial X'}{\partial c}}={\frac {\mathrm {g} }{a^{2}}}\ {\frac {1}{(1-e)^{2}}},\\{\frac {\partial Y'}{\partial a}}=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{2ae}},\quad &{\frac {\partial Y'}{\partial b}}=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {1}{2ae(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}},&\quad {\frac {\partial Y'}{\partial c}}=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8113ae136920587d2847c1a77cdd264a19ec80f8)
et l’on trouvera, par la substitution de ces valeurs dans les expressions des symboles
de l’article 67,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\,[a,b]=&0,\\\,[a,c]=&-{\frac {g}{2a^{2}e}}+{\frac {g\left(1-e^{2}\right)}{2a^{2}e(1-e)}}={\frac {g}{2a^{2}}},\\\,[b,c]=&{\frac {g}{2a^{2}e}}\left[{\frac {1}{\left(1-e^{2}\right)}}-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{(1-e)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f53c50665c6a2fdbd25b53efb1da0806a1d1dab)
On aurait encore les mêmes résultats en changeant
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
en
![{\displaystyle e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfc3e7aeae6ef256412eaa9f68d097804943b5a)
si l’on voulait conserver l’excentricité à la place du paramètre.
70. Considérons ensuite la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467b26f18d61a7804188e4d3ee46de6240592a3c)
Comme la quantité
ne se trouve que dans les coefficients,
qui ne contiennentpoint
on a
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} +{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\partial x'}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} '+{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e26c5128132417daf2841e4ca06fb55846555f)
et changeant
en
et en
on aura les valeurs de
À l’égard des différences partielles relatives à
elles seront les mêmes que dans l’article précédent.
En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des mêmes équations de condition différentiées, on aura
![{\displaystyle \alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=0,\qquad \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47302ee389baa63a6b874bba43ea6d2d3bdee70)
![{\displaystyle \alpha d\beta +\alpha _{1}d\beta _{1}+\alpha _{2}d\beta _{2}=-\beta d\alpha -\beta _{1}d\alpha _{1}-\beta _{2}d\alpha _{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5957e9b45e2be2e6fcf6250fc4a5e57f4f2d7c)
de sorte qu’en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=d\chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af31266170badc50b0cb53e5cb14101cb3c111d)
[j’emploie l’expression différentielle
[13], quoique la valeur de
ne soit pas une différentielle complète], la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2308c5aee644b23ba2219aa29936301032f2efe1)
se réduira à la forme
![{\displaystyle \left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}-\mathrm {Y} '{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd69af13a9d3316d238729b220daf430f4706fb)
et la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}+{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}+{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb2e6a40e17d3aeef15a2464b597991123893b7)
à cette forme semblable
![{\displaystyle \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}-\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2242134c4dfa1bb707edb2551bfac89e10f357)
Donc, en retranchant la seconde de ces quantités de la première, et observant que
![{\displaystyle \mathrm {X} 'd\mathrm {Y} +\mathrm {Y} d\mathrm {X} '=d(\mathrm {X'Y} )\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Y} 'd\mathrm {X} +\mathrm {X} d\mathrm {Y} '=d(\mathrm {XY'} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0579c257d8dce9487fa05fc81e622bd4711992f6)
on aura pour la transformée de la formule dont il s’agit, contenant les différences partielles relatives à
et ![{\displaystyle h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c92993ef69282ac39ddc98b7150dabfae40c14)
![{\displaystyle {\frac {\partial (\mathrm {YX'-XY'} )}{\partial a}}{\frac {\partial \chi }{\partial h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de2d375d59ff6a6500ca15f7ab5c8c5638ee5de)
et il en sera de même en changeant
en
et
et
en
et ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
71. Il nous reste à considérer les formules où il n’y a que des différences partielles relatives à
de sorte que, comme ces quantités n’entrent que dans les coefficients
il n’y aura aussi que ces coefficients qui deviendront variables.
Les différentielles de ces coefficients se réduisent à une forme très simple, en employant les coefficients analogues
et en ayant égard aux équations de condition entre ces différents coefficients (art. 14)).
En effet, si l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi ,\\\gamma d\beta +\gamma _{1}d\beta _{1}+\gamma _{2}d\beta _{2}=&d\sigma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5b2234679b2c422b3498445b174d69bdbb2206)
les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\beta d\alpha +\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&d\chi ,\\\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f22339c86298afad81af6dcb78f89f2f31a6013)
étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par
![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
la deuxième par
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
et la troisième par
![{\displaystyle \gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e69b347b17068b0ddc3ff4626f10a4d1e8dc94)
on a
![{\displaystyle d\alpha =\beta d\chi +\gamma d\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a61d68ddcd552e023949b8f9a2814f83b4c308a)
et si on les multiplie par
et par
qu’on les ajoute ensuite, on a pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\alpha _{1}=\beta _{1}d\chi +\gamma _{1}d\pi ,\\d\alpha _{2}=\beta _{2}d\chi +\gamma _{2}d\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6160ed780b3e69d4a335c26dce7bac738eed43cc)
De même les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&-d\chi ,\\\beta d\alpha +\,\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\gamma d\alpha +\,\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\sigma \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009c876a9bc5f6cae3d85e130602a8528a13d598)
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\beta \ \,=&-\alpha \ \,d\chi +\gamma \ \,d\sigma ,\\d\beta _{1}=&-\alpha _{1}d\chi +\gamma _{1}d\sigma ,\\d\beta _{2}=&-\alpha _{2}d\chi +\gamma _{2}d\sigma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7f9c85c15df551471df8b8fcd4893483300ebf)
Enfin les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha d\gamma +\alpha _{1}d\gamma _{1}+\alpha _{2}d\gamma _{2}=&-d\pi ,\\\beta d\gamma +\,\beta _{1}d\gamma _{1}+\beta _{2}d\gamma _{2}=&-d\sigma ,\\\gamma d\gamma +\,\gamma _{1}d\gamma _{1}+\gamma _{2}d\gamma _{2}=&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d294ee02b469aba8b378aadd8e450bd96af8512)
donneront pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\gamma \ \,=&-\alpha \ \,d\pi -\beta \ \,d\sigma ,\\d\gamma _{1}=&-\alpha _{1}d\pi -\beta _{1}d\sigma ,\\d\gamma _{2}=&-\alpha _{2}d\pi -\beta _{2}d\sigma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5142b753bdbc3ee7ea53d527bc632d57a3bdcc)
72. Par le moyen de ces formules, on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial h}}=\mathrm {X} {\frac {\partial \alpha }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \beta }{\partial h}}=(\beta \mathrm {X} -\alpha \mathrm {Y} ){\frac {\partial \chi }{\partial h}}+\gamma \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515be4deffea330ed6183bc4f6b9434f798ebc88)
et, affectant les quantités
d’un ou de deux traits, on aura les valeurs de
pur avoir celles de
il n’y aura qu’à
, affecter d’un trait les quantités
et
Il en sera de même des différences partielles relatives à
et
en ne faisant que changer
en
et
En faisant ces substitutions et ayant toujours égard aux mêmes équations de condition, la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {\partial x'}{\partial i}}+{\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial y'}{\partial i}}+{\frac {\partial z}{\partial h}}{\frac {\partial z'}{\partial i}}-{\frac {\partial x'}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial i}}-{\frac {\partial y'}{\partial h}}{\frac {\partial y}{\partial i}}-{\frac {\partial z'}{\partial h}}{\frac {\partial z}{\partial i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa3e4677ed35c4e6a7d47176cbd67c03d1395b2)
se réduira à celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\-&\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\&=(\mathrm {XY'-YX'} )\left({\frac {\partial \pi }{\partial h}}{\frac {\partial \sigma }{\partial i}}-{\frac {\partial \pi }{\partial i}}{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca0316c03d940b0d3b974165ee9709fb5fd25a4)
Il en sera de même des formules semblables, en changeant
en
et ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
Comme les coefficients
sont fonctions des trois éléments
(art. 13 et 14), les trois quantités
que nous avons introduites dans les formules précédentes doivent être aussi fonctions des mêmes éléments ; et si, dans les valeurs de ces trois quantités, on substitue les expressions de
données dans les articles cités, on trouve, après quelques réductions fort simples,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\chi =&dk+\cos a\,dh,\\d\pi =&-\cos k\sin i\,dh+\sin k\,di,\\d\sigma =&\sin k\sin i\,dh+\cos k\,di.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46ac8a79a9f86b563446cf768c18106a87dd839)
Mais ces quantités ne servent pas seulement à simplifier le calcul. ; elles représentent d’une manière fort simple les variations instantanées de la position de l’orbite. En effet, comme le plan des
auquel nous avons rapporté l’inclinaison
et la longitude
du nœud, est arbitraire, on peut le faire coïncider dans un instant avec celui de l’orbite, en faisant
on aura alors
![{\displaystyle d\chi =dk+dh,\quad d\pi =\sin k\,di,\quad d\sigma =\cos k\,di.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e814725a90018237a88cc22b62009f6c04277ae)
Dans ce cas,
![{\displaystyle h+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc79541c5abaf6fd432e0c3af1034869b8fbcaf6)
sera l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec une ligne fixe ; par conséquent,
![{\displaystyle dh+dk,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061e4fe0837008bcd267832f4c2ef217430eb7b1)
ou
![{\displaystyle d\chi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd8791ce131b1778dbf15b64a64bad9dd9f9da1)
sera la rotation élémentaire du grand axe de l’orbite sur son plan.
L’angle élémentaire
sera l’inclinaison comprise entre deux positions successives du plan de l’orbite devenue mobile, et l’angle
sera la longitude du nœud formé par ces deux positions, comptée sur le même plan ; de sorte qu’en désignant par
et
ces deux éléments, on aura
![{\displaystyle di'={\sqrt {d\pi ^{2}+d\sigma ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \operatorname {tang} h'={\frac {d\pi }{d\sigma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519dc2e0ceae2d480721ccb5ad38b06a2fc57e7b)
Ainsi la variation instantanée de la position de l’orbite est déterminée par les trois éléments
d’une manière indépendante de tout plan de projection.
73. Il est maintenant très facile de trouver les valeurs des autres coefficients représentés par les symboles
il n’ya qu’à substituer pour
c’est-à-dire pour
sa valeur, qui est égale à
(art. 11) ou à
(art. 15), et pour
leurs valeurs en
de l’article précédent ; mais, à la place de l’élément
nous retiendrons l’élément
[14], qui exprime l’angle que le grand axe de l’orbite parcourt en tournant sur son plan mobile c’est proprement le mouvement de l’aphélie ou du périhélie sur le plan même de l’orbite. Nous aurons ainsi
![{\displaystyle \chi =k+\int \cos i\,dh\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5b4a19c2eb9ca6e4c450c21a471f8a34b20508)
donc
![{\displaystyle k=\chi -\int \cos i\,dh\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acc7f8a9d4108c00912fcf5abbc7afabe459ccf)
ensuite
![{\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial \chi }}=1,\qquad {\frac {\partial \pi }{\partial h}}=-\cos k\sin i,\qquad {\frac {\partial \pi }{\partial i}}=\sin k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69001fb93d7afea1a90995b5df372467cb96a3e)
![{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}=\sin k\sin i,\qquad {\frac {\partial \sigma }{\partial i}}=\cos k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f6f3742624614d8ecde9526676ade329c99154)
et toutes les autres différences partielles seraient nulles, ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\partial \pi }{\partial h}}{\frac {\partial \sigma }{\partial i}}-{\frac {\partial \pi }{\partial i}}{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}=-\sin i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a269c83ee052c2ae83491d8519cb9d8dc3f3cff9)
De là on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\,[a,h]=&0,&[a,i\ ]=&0,&[a,\chi ]=&0,\\\,[b,h]=&0,&[b,i\ ]=&0,&[b,\chi ]=&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}},\\\,[c,h]=&0,&[c,i\ ]=&0,&[c,\chi ]=&0,\\\,[h,i]=&-{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i,\qquad &[h,\chi ]=&0,\qquad &[i,\chi ]=&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f515416419eed39b1cdcefd65707f5aab63f6006)
74. Ces valeurs, jointes à celles que nous avons déjà trouvées (art. 69), donneront enfin
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=&{\frac {\mathrm {g} }{2a^{2}}}dc,&{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt=&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt=&-{\frac {\mathrm {g} }{2a^{2}}}da,&{\frac {\partial \Omega }{\partial h}}dt=&-{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i\,di,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial i}}dt=&{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i\,dh,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}}db\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2153370a486e093257ffac04d6ad79860700a27c)
d’où résultent ces expressions très simples des variations des éléments elliptiques
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}da=&-{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&dc=&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,\\db=&{\frac {2{\sqrt {b}}}{\sqrt {\mathrm {g} }}}{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt,&d\chi =&-{\frac {2{\sqrt {b}}}{\sqrt {\mathrm {g} }}}{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,\\dh=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial \Omega }{\partial i}}dt,\qquad &di=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial \Omega }{\partial h}}dt.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884d63af549545e676cfddd75654358781179b0c)
75. On aurait des formules un peu moins simples, si, à la place du paramètre
on voulait conserver l’excentricité
Alors, à cause de
on aurait
![{\displaystyle \mathrm {XY'-YX'} ={\sqrt {\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665b665cc0e81eb9de4766f46d4cb2454a1490a7)
ce qui donnerait
![{\displaystyle [a,\chi ]=-{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}},\quad [e,\chi ]={\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27a50b07b59f92f76e0bb6b6afaa05724434b7b)
et les valeurs de
deviendraient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=&{\frac {g}{2a^{2}}}dc-{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt=&{\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt=&{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}}d\chi -{\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}de\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b549ab5082adfef931a6012d1be98a8e3dd0cca9)
d’où l’on tire, en substituant pour
sa valeur donnée ci-dessus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dc\ =&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt+{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt,\\de\ =&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt-{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,\\d\chi =&{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72544bf062946aba6ca62d62be658408aed9163)
qu’on substituera à la place des valeurs de
de l’article précédent, les autres valeurs demeurant les mêmes.
Par ces formules, on peut donc avoir l’effet des forces perturbatrices sur le mouvement d’une planète, en rendant variables les quantités qui, sans ces forces, seraient constantes ; mais, quoiqu’on puisse, de cette manière, déterminer toutes les inégalités dues aux perturbations, c’est surtout pour les inégalités qu’on nomme séculaires que les formules que nous venons de donner sont utiles, parce que ces inégalités, étant indépendantes des périodes relatives aux mouvements des planètes, affectent essentiellement leurs éléments et y produisent des variations, ou croissantes avec le temps, ou périodiques, mais avec des périodes propres et d’une longue durée.
76. Pour déterminer les variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer pour
la partie non périodique de cette fonction, c’est-à-dire le premier terme du développement de
en séries du sinus et du cosinus d’angles dépendants des moyens mouvements de la planète troublée et des planètes perturbatrices. Car,
n’étant fonction que des coordonnées elliptiques de ces planètes, lesquelles peuvent toujours, du moins tant que les excentricités et les inclinaisons sont peu considérables, se réduire en séries du sinus et cosinus d’angles proportionnels aux anomalies et aux longitudes moyennes, on pourra aussi développer la fonction
dans une série du même genre, et le premier terme sans sinus et cosinus sera le seul qui puisse donner des équations séculaires.
Désignons par
ce premier terme de
lequel sera une simple fonction des éléments
de la planète troublée et des éléments semblables des planètes perturbatrices ; il est clair que l’élément
qui est joint au temps
ne s’y trouvera pas ainsi, en substituant
à la place de
on aura, pour les variations séculaires, les formules
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}da=&0,&dc\ =&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial a}}dt+{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\de=&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}dt,\qquad &d\chi =&{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\dh=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial i}}dt,&di\ =&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial h}}dt,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee5bbd4a21c7af25b6efad6141838434c96cbab)
où ![{\displaystyle b=a\left(1-e^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2ba20a12cd8d226b1c71979b89ec757c4a5b92)
77. L’équation
![{\displaystyle da=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191ad045c1d1412e289fdef9f50711c71ae92387)
fait voir que le demi grand axe, ou la distance moyenne
n’est sujette à aucune variation séculaire, ce cas particulier du
théorème général que nous avons démontré dans l’article 23 de la Section V ; car la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32db8e791eaa12e32afc8fc1d60386643e43e315)
de cet article est la même que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32db8e791eaa12e32afc8fc1d60386643e43e315)
des articles 3 et suivants de la Section précédente, et l’on voit, par l’article 15, que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36fd7b34e1785f5588216f5820e3773d288fea8)
Ainsi il faut appliquer à la distance moyenne des planètes les résultats que nous avons trouvés sur la valeur de la force vive d’un système quelconque (Sect. V, § III).
La variation
produit une altération dans le mouvement moyen ; car,
étant l’anomalie moyenne, c’est-à-dire l’angle du mouvement moyen compté depuis le périhélie (art. 19), cette anomalie sera sujette à une variation exprimée par
à cause de
et si l’on ajoute la variation
du lieu du périhélie dans l’orbite, on aura
pour la variation séculaire de la longitude moyenne, que nous désignerons par
On aura ainsi
![{\displaystyle d\lambda =d\chi -{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc=-2{\sqrt {\frac {a}{g}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial a}}dt+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f71ce147d5c53d2c6dd22cd288f0b84245a3884)
à cause de
![{\displaystyle 1-{\sqrt {1-e^{2}}}={\frac {e^{2}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097f1528d74d021f01a87cfb368a54036f15afad)
78. Lorsque l’excentricité
est fort petite, les valeurs de
et
ont l’inconvénient d’avoir au dénominateur la quantité très petite
Mais il est facile d’y remédier en substituant à la place de
et
les transformées
En effet, si l’on fait
![{\displaystyle m=e\sin \chi ,\quad n=e\cos \chi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc6e66e2e72bcaec004f79214d57f546916facd)
on aura
![{\displaystyle dm=\sin \chi de+e\cos \chi d\chi ,\quad dn=\cos \chi de-e\sin \chi d\chi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342358e2d769ff93aa707eb9d2d4bc57f330bbec)
donc, substituant les valeurs de
![{\displaystyle de}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a5e94dbaf0deac158967483d726d450e5532c8)
et
![{\displaystyle d\chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd55c715bb9faf433a0444b729b70198ce17e3)
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dm=&+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}\left[e\cos \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}-\sin \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}\right]dt,\\dn\ =&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}\left[e\sin \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}+\cos \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}\right]dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583bd63485895449c1756849340a64c152fbee3b)
Or, en regardant
comme fonction de
et comme fonction de
on a
![{\displaystyle {\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}d\chi +{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}de={\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}dm+{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}dn,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b5c98eb93a0cf0f641354e62bb0d6cd257e78a)
équation identique qui, par la substitution des valeurs de
et
donne ces deux-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}=&{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}e\cos \chi -{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}e\sin \chi ,\\{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}=&{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}\ \ \sin \chi +{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}\cos \chi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8fe23c9fc8c6a5d8d5d3f3c9abf7281c79a559)
donc, faisant ces substitutions, on aura les équations
![{\displaystyle dm={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}dt,\quad dn=-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b5d6d09104fa3159be4e9474c0b7832527762a)
qu’on pourra employer à la place de celles qui donnent les valeurs de
et
(art. 75).
On peut faire des transformations analogues sur les dernières équations qui donnent les valeurs de
et
Soit, pour cela,
![{\displaystyle p=\sin i\sin h,\quad q=\sin i\cos h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80507c518a923b9267a8ff36608a45334ce054f)
on trouvera par un procédé analogue
![{\displaystyle dp={\frac {\cos i}{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial q}}dt,\quad dq=-{\frac {\cos i}{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial p}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48436b037df3ebdfe9a1c997b1171eb0654a0cb)
79. Les forces perturbatricesque l’on considère dans la théorie des planètes viennent de l’attraction des autres planètes, et nous donnerons plus bas la valeur de
qui résulte de cette attraction ; mais on pourrait aussi regarder comme force perturbatrice la résistance qu’elles éprouveraient de la part d’un fluide très subtil, dans lequel on les supposerait nager. Dans ce cas, en prenant
pour la résistance, on ferait, comme on l’a vu dans l’article 8 de la Section II,
![{\displaystyle \delta r={\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5715d374ae3d8c259954e841734080d3f55700dc)
le fluide résistant étant supposé en repos.
Il en résultera ainsi, dans la valeur de
les termes (art. 62)
![{\displaystyle -\mathrm {R} \delta r=-\mathrm {R} {\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{ds}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3fbddbea29b6587a1cdc7ef5a5b23381221c1c)
On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, laquelle est représentée par
et à la densité du milieu, que nous désignerons par
ainsi les termes dus à la résistance, dans l’expression de
seront
![{\displaystyle -{\frac {\Gamma ds(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5f87e1ef94cfc147ab9eff9606e3f3901c239d)
Pour évaluer la quantité
il n’y a qu’à employer les formules des articles 67 et 70, en observant que la caractéristique
se rapporte au temps
qui n’entre que dans les valeurs de
et
et que la caractéristique
doit se rapporter aux constantes arbitraires
qui entrent dans
et
et dans les coefficients
On aura ainsi, en changeant
en
dans les expressions de
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx=&\alpha d\mathrm {X} +\beta d\mathrm {Y} ,\qquad dy=\alpha _{1}d\mathrm {X} +\beta _{1}d\mathrm {Y} ,\qquad dz=\alpha _{2}d\mathrm {X} +\beta _{2}d\mathrm {Y} ,\\\delta x=&\mathrm {\alpha \delta X+\beta \delta Y+X(\beta \delta \chi +\gamma \delta \pi )+Y(-\alpha \delta \chi +\gamma \delta \sigma )} \\=&\mathrm {\alpha (\delta X-Y\delta \chi )+\beta (\delta Y+X\delta \chi )+\gamma (X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta y=&\mathrm {\alpha _{1}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{1}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{1}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta z=&\mathrm {\alpha _{2}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{2}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{2}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cf8cf6c0aca0d93e2c273fe63d384c261020aa)
De là, en ayant égard aux équations de condition entre les coefficients
![{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha _{1},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e403ce8245aa7e15b270ba6a6226ec20894f418)
(
art. 14), on aura
![{\displaystyle dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z=d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} +\left(\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} \right)\delta \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797e64dc49620bc1d1d35e618ee431301997cf77)
et si l’on y substitue pour
et
leurs valeurs
(art. 13), on aura
![{\displaystyle d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} =dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286222aaebcc0b5d10032e35b06d79f0e52c1373)
![{\displaystyle \mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} =r^{2}d\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6159c01a3e4c4bf64c77c9446c854f06e9818928)
![{\displaystyle ds={\sqrt {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}}}={\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b5db986d4541e2fa68beededc3ab3397a1dff3)
Donc les termes à ajouter à
à raison de la résistance du milieu, seront représentés par
![{\displaystyle -{\frac {\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\left(dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi +r^{2}d\Phi \delta \chi \right)}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e558f157e1835389d5342450005fc22af8be1ebc)
où il n’y aura plus qu’à substituer pour
et
leurs valeurs en
données par les formules des articles 21, 22, en faisant attention que la caractéristique
se rapporte à la variable
et la
aux constantes arbitraires.
CHAPITRE III.
Sur le mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.
80. Quoique ce problème ne puisse avoir aucune application au système du monde, où tous les centres d’attraction sont en mouvement, il est néanmoins assez intéressant du côté analytique pour mériter d’être traité en particulier avec quelque détail.
Supposons qu’un corps isolé soit attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.
Soient, comme dans l’article 4, l’un des centres à l’origine des coordonnées, et
la force attractive ; et, pour l’autre centre, supposons que sa position soit déterminée par les coordonnées
parallèles aux
soient, de plus,
sa force attractive et
la distance du corps à ce centre ; il est clair qu’on aura
![{\displaystyle q={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2838834ed88a3c44b05fed1be9fc947117b91798)
c’est-à-dire, en substituant pour
leurs valeurs en
(art. 4),
![{\displaystyle q={\sqrt {r^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right]+h^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a477cce8f76a96766b03bdeb93a75b9468747806)
en faisant
distance des deux centres.
Il est clair que la valeur de
sera la même que dans le problème du Chapitre I, mais la valeur de
se trouvera augmentée du terme
et comme
est fonction de
et
fonction de
ce terme donnera, dans les différentielles
les termes suivants, savoir
qu’il faudra, par conséquent, ajouter respectivement aux premiers membres des équations différentielles de l’article cité.
On aura donc, pour le mouvement du corps attiré vers deux centres par les forces
et
les trois équations suivantes :
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
Et si le corps était attiré en même temps vers d’autres centres, il n’y aurait qu’à ajouter à ces équations des termes semblables pour chacun de ces centres.
L’équation
donnera cette quatrième équation, qui est une intégrale des précédentes,
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr+\int \mathrm {Q} dq=2\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c95762f92f4d74d709c4748998129d12e5964a)
et il est visible, en effet, que les trois équations précédentes, étant mul-
tipliées respectivement par
![{\displaystyle dr,\,d\psi ,\,d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361d6c8658f7758c4aa986e6cd4e091e4ee28f19)
et ajoutées ensemble, donnent une équation intégrable, et dont l’intégrale est celle que nous venons de présenter.
On tire de cette équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}=4\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-2\int \mathrm {Q} dq-{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d3a58f697117c5b1ad0427e9308925cf0d5457)
valeur qui, étant substituée dans la première équation multipliée par
la réduit à
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} r{\frac {\partial q}{\partial r}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61f8a8b06a49d8de074c27b9cc2a4a33a0619c4)
Or, puisque
![{\displaystyle q^{2}=r^{2}+h^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ff725ff24a0991d51512778a7ba3d7f85cb6f7)
on aura, en faisant varier ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle q{\frac {\partial q}{\partial r}}=r-(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi -c\sin \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277d4ee0e86cc9631793853a40291df6c6512253)
![{\displaystyle =r-{\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2r}}={\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524195a6604bfe8e2e258f9d6cab991e3dc1c855)
donc, substituant cette valeur de
on aura enfin
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2q}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94a8da34028efc52259bb1c4b9680fbbf542d22)
Cette équation a l’avantage de ne contenir que les deux variables
et
et elle indique en même temps qu’il doit y avoir une pareille équation entre
et
en changeant simplement
et
ainsi que
et
entre elles ; car il est indifférent de rapporter le mouvement du corps à l’un ou à l’autre des deux centres fixes, et il est clair qu’en le rapportant au centre de la force
on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {Q} q+2\int \mathrm {Q} dq+\mathrm {R} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}+2\int \mathrm {R} dr=4\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ba27fdc1f46ee22002e96fffeb371b4bfa6a20)
ainsi l’on pourra, par ces deux équations, déterminer directement les deux rayons
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Je remarque maintenant qu’on peut, sans rien ôter à la généralité, supposer les deux coordonnées
et
du centre des forces
nulles, ce qui revient à placer l’axe des coordonnées
dans la ligne qui joint les deux centres. Par cette supposition, on aura
et la quantité
deviendra
![{\displaystyle {\sqrt {r^{2}-2hr\sin \psi +h^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8708578bd19f88af9db4c35b0d963cdb3d5a0fee)
laquelle ne contenant plus
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd08f97e205a9a079b61c44226d946de4fe7700)
Par conséquent, la troisième équation différentielle se réduira à
![{\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b3165117a0cb0ec61a92069af74ca621788260)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cabadb54a13d861f02deb761b26e3a7046df868)
étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\mathrm {B} }{r^{2}\cos ^{2}\psi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0623684cb2d3d246c7dbba4e92c48dc9488030)
Mais on a
![{\displaystyle \sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c240f530e258a81489b97e464d85f89eae462878)
donc
![{\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}{2hr}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f22eb9963a72160e53bf1913dde4d5732d91e9)
par conséquent, en substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485b4cabf33a0c9b35593b9b2ac815e8887407c6)
de sorte que, connaissant
et
en
on aura aussi
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Or, puisque
et
sont déjà données en
et
il est clair qu’on peut réduire la quatrième équation à ne contenir que
et
et alors elle sera nécessairement, à raison de la constante arbitraire
une intégrale complète des deux équations ci-dessus en
et
En effet, on aura
![{\displaystyle r^{2}d\psi ^{2}={\frac {\left[\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)dr-2rqdq\right]^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacd2e8b8d985aff27fb72304f315800e5fdd790)
ajoutant
et réduisant, il viendra
![{\displaystyle r^{2}d\psi ^{2}+dr^{2}=4{\frac {q^{2}r^{2}dr^{2}+r^{2}q^{2}dq^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)rqdrdq}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9135e9cf2b29f744add24206b97c6b3d7fd11c03)
De plus, on aura
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {4\mathrm {B} ^{2}h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3978b3f53a004d8fc6e983fa3169c617a87fb6ce)
donc, faisant ces substitutions dans la quatrième équation et ôtant le dénominateur, on aura cette intégrale
(a)
|
|
|
Et il est facile de voir maintenant, d’après la forme de cette équation, qu’elle résulte des deux équations en
et
multipliées respectivement par
![{\displaystyle 2q^{2}d\left(r^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(q^{2}\right),\quad 2r^{2}d\left(q^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f161bc915f1d9f12502e9a0a74be284f94cc10df)
ajoutées ensemble et intégrées ensuite ; mais il aurait été assez difficile de découvrir cette intégrale a priori.
81. Pour achever la solution, il faut avoir encore une autre intégrale des mêmes équations ; mais on ne saurait y parvenir que pour des valeurs particulières de
et
Si l’on suppose, ce qui est le cas de la nature,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8afbb9bd0f065844a5f57b65935d1e0687e5c4)
on trouve alors que ces équations, multipliées l’une par
et l’autre
par
![{\displaystyle d(r^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f4793514df99d56c8ac10ffb8c207be11e4662)
donnent une somme intégrable et dont l’intégrale est
(b)
|
|
|
étant une nouvelle constante arbitraire.
Cette équation, étant multipliée par
et ajoutée à l’intégrale (a) trouvée précédemment, donne, dans l’hypothèse présente, une réduite de la forme
(c)
|
|
|
Et la même équation, étant multipliée par
et ensuite ajoutée à celle-ci, ou retranchée, donnera cette double équation
(d)
|
|
|
de sorte qu’en faisant
on aura ces deux-ci
(e)
|
|
|
d’où l’on tire d’abord cette équation, où les variables sont séparées,
(f)
|
|
|
ensuite
(g)
|
|
|
Les mêmes substitutions étant employées dans l’expression de
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baea70f83d11636ae8ed8e564a6b8b2a3254ab7c)
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{\left(s^{2}-h^{2}\right)\left(u^{2}-h^{2}\right)}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{s^{2}-u^{2}}}\left({\frac {1}{s^{2}-h^{2}}}-{\frac {1}{u^{2}-h^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bed1aa4608090e01b4721ad7d038e04ac99da8a)
et, substituant la valeur de ![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
(h)
|
|
|
Si l’on pouvait intégrer chacune de ces différentielles, on aurait d’abord une équation entre
et
ensuite on aurait
et
en fonction de
et
donc on aurait
et, de là,
et
en fonction de
et comme
![{\displaystyle \sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c907f074f6ea78187c378cda7fc821c03f566454)
on aurait aussi
en
Mais ces différentielles se rapportant à la rectification des sections coniques, on ne saurait les intégrer que par approximation, et la meilleure méthode pour cela me paraît celle que j’ai donnée ailleurs[15] pour l’intégration de toutes les différentielles qui renferment un radical carré où la variable monte à la quatrième dimension sous le signe.
82. Si, outre les deux forces
et
qui attirent le corps vers les deux centres fixes, il y avait une troisième force proportionnelle à la distance, qui l’attirât vers le point placé au milieu de la ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se décomposer en deux tendantes aux mêmes points, et proportionnelles aussi aux distances. Dans ce cas donc, on aurait
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e061bc6753f10e92e622121cd53f2201117540)
et l’on trouverait que l’intégrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas ; seulement, il faudrait ajouter à son premier membre les termes
![{\displaystyle \gamma \left[5r^{2}q^{2}+{\frac {3}{2}}\left(r^{4}+q^{4}\right)-h^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047b628db062dca58d619ce028335b013084a92e)
ensuite il y aurait à ajouter au premier membre de l’équation
les termes
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}\left[r^{6}+q^{6}+15r^{2}q^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)-h^{2}\left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f02d4eecbafc131cc57c661bbb821eaab4ef0d)
et, par conséquent, au premier membre de l’équation
les termes
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{4}}\left[(r\pm q)^{6}-h^{2}(r\pm q)^{4}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc8f6862609971bc0425c2c74679c58adccd4a1)
de sorte qu’il n’y aura qu’à augmenter les polynômes en
et
sous le signe, dans les équations
des termes respectifs
![{\displaystyle -{\frac {\gamma }{4}}\left(s^{6}-h^{2}s^{4}\right)\qquad {\text{et}}\qquad -{\frac {\gamma }{4}}\left(u^{6}-h^{2}u^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d3a6a3a30c90af758a6758cad6cae2a092db9b)
ce qui ne rend guère la solution plus compliquée.
83. Quoiqu’il soit impossible d’intégrer en général l’équation trouvée
entre
et
et d’avoir, par conséquent, une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par
const et
const.
En effet, si l’on représente en général cette équation par
![{\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}={\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165717ec982cbd89d430e4b27a21a34bc21d747c)
il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant
ou
nuls, pourvu que les dénominateurs
ou
soient aussi nuls en même temps, et du même ordre.
Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera
![{\displaystyle s=f+\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eaa9005961163e2ac5a8ae3fcd23e35e336db4)
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
étant une constante, et
![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
une quantité infiniment petite, et désignant par
![{\displaystyle \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88ce01cebb719c991531bf9a76dacc204f6d1a)
ce que devient
![{\displaystyle \mathrm {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11737cd802423c767d0c99b41e83af186ea4a20)
lorsqu’on change
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
en
![{\displaystyle f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d)
le membre
![{\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fedfe0bfdb4795874db5297eb5e3b39f2368922)
deviendra
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{\sqrt {\mathrm {F} +{\cfrac {d\mathrm {F} }{df}}\omega +{\cfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}\omega ^{2}+\ldots }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9970ef2a8659996cfe1ef79e296864a0eecd836)
il faudra donc, pour qu’il y ait le même nombre de dimensions de
en haut et en bas, que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5063ec5785c6bb8d3df47b23fe13ef155cb8b797)
alors, à cause de
infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{\omega {\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7410c532a65fbf54d0ddd1ce40c6f1e7fc389ca1)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}\log {\frac {\omega }{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4e85bdad75ac4b660385e36bf67e61a6f64c36)
étant une constante arbitraire. Si donc on fait
et qu’on prenne en même temps aussi
la valeur de
deviendra indéterminée, et l’équation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir l’autre membre
Or on sait, et il est visible par soi-même, que
![{\displaystyle \mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b750ced05a3dc061231919c0c2eada4b4c69b4ad)
sont les conditions qui rendent
une racine double de l’équation
D’où[16] il suit, en général, que, si le polynôme
a une ou plu-
sieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur particulière de
![{\displaystyle s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3bc33c8e5320005b15de3a088965c4344be716)
il en sera de même pour le polynôme
Maintenant il est clair que l’équation
ou
représente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons
et
et dont le grand axe est égal à
De même, l’équation
ou
représente une hyperbole dont les foyers sont aux mêmes centres, et dont le premier axe est
Ainsi les solutions particulières dont nous venons de parler donnent des ellipses ou des hyperboles décrites autour des centres des forces
pris pour foyers. Et comme les polynômes
et
contiennent les trois constantes arbitraires
dépendant de la direction et de la vitesse initiales du corps, il est visible qu’on pourra toujours prendre ces éléments tels que le corps décrive une ellipse ou une hyperbole donnée autour des foyers donnés. Ainsi la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse des carrés des distances, ou tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre, ce qui est très remarquable[17].
84. S’il n’y avait qu’un seul centre vers lequel le corps fût attiré par la force
on aurait le cas de l’orbite elliptique que nous avons résolu dans le Chapitre I. Dans ce cas, on aurait
et les deux polynômes
et
deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrième degré ; les équations
de l’article 81 seraient alors intégrables par les méthodes connues, et le mouvement du corps serait déterminé par des formules en
et
c’est-à-dire par les distances aux deux centres, dont l’un, celui dont l’attraction est nulle, pourrait être placé où l’on voudrait ces formules ne seraient donc que de pure curiosité ; mais il y a un cas où elles se simplifient et donnent un résultat remarquable, c’est celui où le centre d’attraction nulle est placé sur le périmètre de l’ellipse.
Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes
et
de manière que, le rayon
étant nul, l’autre rayon
soit égal à
distance entre les deux autres ; par conséquent, il faudra que les variables
et
deviennent à la fois égales à
Les équations
de l’article 81 sont très propres à cette détermination.
Faisant
la première de ces équations donne
![{\displaystyle \mathrm {B} ^{2}h^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f408931a159f6ca2cb62c7a8460ad0c76fff1ae)
ensuite, la différence de ces équations étant divisée par
si l’on y fait
on a, à cause de ![{\displaystyle \beta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8613da34a363be3fb9e3e100e519c456c181e7f)
![{\displaystyle -3\alpha h^{2}+\alpha h^{2}=4\mathrm {H} h^{3}+2\mathrm {C} h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e5975cf886ef924b7ab395a1f52049370ac55c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {C} =-\alpha h-2\mathrm {H} h^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15018cfeab798ccd2f766e54860941cf82cd226)
Par les substitutions de ces valeurs, le polynôme
![{\displaystyle \mathrm {H} s^{4}+\alpha s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-\alpha h^{2}s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2}h^{2}-\mathrm {C} h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528fcffac43fecaed1423b4b9144099ce8d81522)
devient
![{\displaystyle \mathrm {H} \left(s^{4}-2s^{2}h^{2}+h^{4}\right)+\alpha \left(s^{3}-s^{2}h-sh^{2}+h^{3}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0002d46f4146c8a8181f4725dad61ab6a765d62c)
ce qui se réduit à la forme
![{\displaystyle \mathrm {H} (s+h)^{2}(s-h)^{2}+\alpha (s+h)(s-h)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785b2a5a91ed11dac8143c40bd1c2fbb79b13fe7)
il en sera de même du polynôme en ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Or, par l’article 15, on a, dans ce cas,
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {g} \qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ed4a9e8c94e2c0d418f3a7687e82cb1dcf3582)
étant le demi grand axe de l’ellipse ; donc les équations
et
deviendront
![{\displaystyle {\frac {ds}{(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}={\frac {du}{(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b555d1fc10724a381ef093474cf85b0017123ef9)
![{\displaystyle dt={\frac {s^{2}ds}{4(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}-{\frac {u^{2}du}{4(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d37bbab47ce370fc2655fb493a9eb0342d993af)
et si de cette dernière on retranche la première, multipliée par
![{\displaystyle h^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52765ae0e162e15759ebef58815fb783e769d25b)
et qu’ensuite on divise les numérateurs et les dénominateurs respectivement par
![{\displaystyle s-h,\ u-h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2377162374a1267e505bfa5ff999f1cce2929543)
on aura
![{\displaystyle dt={\frac {(s+h)ds}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {s+h-{\dfrac {(s+h)^{2}}{2a}}}}}}-{\frac {(u+h)du}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {u+h-{\dfrac {(u+h)^{2}}{2a}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe82a8714db3ab12b15550ad552cc472d1687eb)
expression qui a l’avantage de ne contenir d’autre élément que le grand axe ![{\displaystyle 2a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0574708c5edf71b13d95fb0ef56149864059b5)
85. Si l’on fait
![{\displaystyle \int {\frac {zdz}{\sqrt {z-{\dfrac {z^{2}}{2a}}}}}=f(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b1dadc9c655352bcc54814260bf5cda4a444ef)
l’intégrale étant prise de manière qu’elle commence lorsque
a une valeur quelconque donnée, et qu’on remette pour
et
leurs valeurs
on aura, en intégrant,
![{\displaystyle 4t{\sqrt {\mathrm {g} }}=f(h+p+q)-f(h+p-q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebe25059fe3fff392767ed92989d9519a237d82)
où l’on voit que
lorsque
de quelque manière que l’intégrale soit prise.
Or, puisque
est le rayon vecteur qui part du foyer,
est le rayon qui part de l’autre centre, qui est pris dans un point de l’ellipse, et dont la distance au foyer est
il est clair que
et
seront deux rayons vecteurs, et que
sera la corde de l’arc intercepté entre ces deux rayons ; par conséquent, l’expression précédente de
sera le temps employé par le mobile à décrire cet arc dans l’ellipse, lequel sera donné ainsi par la somme des rayons vecteurs
par la corde
et par le grand axe
L’intégrale que nous avons désignée par fonction
dépend des arcs de cercle ou des logarithmes, suivant que
est positif ou négatif ; mais, lorsque l’axe
est très grand, cette fonction se réduit à une série très convergente : on a alors
![{\displaystyle f(z)={\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {z^{\frac {5}{2}}}{5.2a}}+{\frac {3z^{\frac {7}{2}}}{4.7.4a^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160fd33ead66d98ac854831fc1234698c21f2cfe)
Le premier terme donne l’expression du temps dans la parabole, et l’on a
![{\displaystyle 4t{\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {2}{3}}(h+p+q)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}(h+p-q)^{\frac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e36070929b3c203fe986bf07a5fef7b2146900c)
laquelle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans l’article 25. Le reste de la série donne la différence des temps employés à parcourir un arc de parabole et un arc d’ellipse ou d’hyperbole ayant la même corde
et la même somme
des rayons vecteurs.
Cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques a été trouvée par Lambert[18], qui en a donné une démonstration ingénieuse dans son Traité intitulé : Insigniores orbitæ cometarum proprietates. Voir aussi les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1778[19].
Le problème que nous venons de résoudre l’a été d’abord par Euler, dans le cas où il n’y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse des carrés des distances, et où le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (Mémoires de Berlin de 1760) ; sa solution est surtout remarquable par l’art avec lequel il a su employer différentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures des équations différentielles qui, par leur complication, se refusaient à toutes les méthodes connues.
En donnant une autre forme à ces équations, je suis parvenu directement aux mêmes résultats, et j’ai même pu les étendre au cas où la courbe n’est pas dans un même plan, et où il y a, de plus, une force proportionnelle à la distance et tendante à un centre fixe placé au milieu des deux autres centres. Voir le quatrième Volume des anciens Mémoires de Turin[20] d’où l’analyse précédente est tirée, et dans lequel on trouvera aussi l’examen du cas où l’un des centres s’éloignant à l’infini, la force tendante à ce centre deviendrait uniforme et agirait suivant des lignes parallèles et il est remarquable que, dans ce cas, la solution ne se simplifie guère seulement les radicaux qui forment les dénominateurs des équations séparées, au lieu de contenir les quatrièmes puissances des variables, ne contiennent que les troisièmes, ce qui fait également dépendre leur intégration de la rectification des sections coniques.
CHAPITRE IV.
Du mouvement de deux ou plusieurs corps libres qui s’attirent mutuellement, et en particulier du mouvement des planètes autour du soleil, et des variations séculaires de leurs éléments.
86. Lorsque plusieurs corps s’attirent réciproquement avec des forces proportionnelles aux masses et à des fonctions des distances, on a, pour leurs mouvements, les formules générales des articles 1 et 2, en prenant les corps mêmes pour les centres d’attraction.
Soient
les masses des corps,
leurs coordonnées rectangles rapportées à des axes fixes dans l’espace ; la quantité
sera, comme dans l’article 1,
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mathrm {m} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {m} '{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{dt^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbb67b09f411e7b21cb6f36e8ac3005213897bf)
Soient
les distances des corps
au corps
et
les fonctions de ces distances auxquelles les attractions entre ces corps sont proportionnelles.
Soient aussi
les distances des corps
au corps
et
les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions.
Soient de même
les distances des corps
au corps
et
les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions ; et ainsi de suite.
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {(x'\ \ -x\ )^{2}+(y'\ \ -y\ )^{2}+(z'\ \ -z\ )^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {(x''\ -x\ )^{2}+(y''\ -y\ )^{2}+(z''\ -z\ )^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{1}\ =&{\sqrt {(x''\ -x')^{2}+(y''\ -y')^{2}+(z''\ -z')^{2}}},\\\rho '''_{1}=&{\sqrt {(x'''-x')^{2}+(y'''-y')^{2}+(z'''-z')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ddba95afd3adb0dc1d92561fe7b5e0caaed2d0)
et la quantité
(art. 2) sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =&+\mathrm {m} \ \ \left(\mathrm {m} '\ \ \int \mathrm {R} 'd\rho '\ \ +\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''\ \,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''d\rho '''+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} '\ \left(\mathrm {m} ''\ \int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}\,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} ''\left(\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{''}}d\rho '''_{_{''}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2b9e6be753a59b1b4961ea502ffa1270f36c55)
Or, quelles que soient les coordonnées indépendantes qu’on voudra adopter, on aura toujours, par rapport à chacune d’elles, comme
une équation de la forme canonique
![{\displaystyle d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0f4cec94da22e3146fd07d5828a9a4f2b177cf)
Et comme, dans le système que nous considérons, il n’y a aucun point fixe, on pourra prendre l’origine des coordonnées partout où l’on voudra, et l’on aura toujours, comme on l’a vu dans la Section III, les trois intégrales finies relatives au centre de gravité, ainsi que les trois intégrales du premier ordre relatives aux aires, et enfin l’intégrale des forces vives ![{\displaystyle \mathrm {T+V=H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ac5ae6da7b110c3639f8ceb83723fadae8d88c)
On aura de cette manière le mouvement absolu des corps dans l’espace mais, comme la solution de ce problème n’est importante qu’à l’égard des planètes, et qu’il n’y a que leurs mouvements relatifs par rapport au Soleil, regardé comme immobile, qui intéressent l’Astronomie, il nous reste à voir comment on peut transporter aux mouvements relatifs l’équation générale des mouvements absolus des corps du système.
§ I. — Équations générales pour le mouvement relatif des corps
qui s’attirent mutuellement.
87. Supposons qu’on demande les mouvements relatifs des corps
par rapport au corps
désignons par
les coordonnées rectangles du corps
rapporté au corps
en prenant ce dernier corps pour l’origine des coordonnées ; soient de même
les coordonnées rectangles du corps
par rapport au même corps
et ainsi de suite ; la question consistera à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées.
Il est d’abord évident qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\xi ',&y'\ =&y+\eta ',&z'\ =&z+\zeta ',\\x''=&x+\xi '',\qquad &y''=&y+\eta '',\qquad &z''=&z+\zeta '',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7a614f4a1a623423c4cbcc26fc8e1eaae955c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {\xi '^{2}\ +\eta '^{2}\ +\zeta '^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {\xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {(\xi ''\,-\xi ')^{2}\,+(\eta ''\,-\eta ')^{2}\ +(\zeta ''\,-\zeta ')^{2}}},\\\rho '''_{_{'}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi ')^{2}\,+(\eta '''-\eta ')^{2}\,+(\zeta '''-\zeta ')^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho '''_{_{''}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi '')^{2}+(\eta '''-\eta '')^{2}+(\zeta '''-\zeta '')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc23a6d0cdf3d25d1adcb27dc8a6fcea9a3c4cc)
et la quantité
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots ){\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\\&+{\frac {\begin{aligned}dx(\mathrm {m} 'd\xi '+\mathrm {m} ''d\xi ''+\ldots )&+dy(\mathrm {m} 'd\eta '+\mathrm {m} ''d\eta ''+\ldots )\\&+dz(\mathrm {m} 'd\zeta '+\mathrm {m} ''d\zeta ''+\ldots )+\ldots \end{aligned}}{dt^{2}}}\\&+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ede1b438bf01aad02bbbacdd0608d9b1c9f856)
Comme les variables
après ces substitutions, n’entrent plus dans la quantité
et que ces variables n’entrent point dans
sous la forme finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations
![{\displaystyle d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f76bbf7830bf30f8e60883096ca00eafa223b6)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=\alpha ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=\beta ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6b163754653e41591f0c0a7af25ecdcd66ee25)
étant des constantes arbitraires.
Ainsi, on aura les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dx}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''}{dt}}+\ldots =\alpha ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\eta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\eta ''}{dt}}+\ldots =\beta ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dz}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\zeta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\zeta ''}{dt}}+\ldots =\gamma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97146aa6c423a3be5d890a2efce85f8156558a7e)
les quantités
étant des constantes.
Si maintenant on substitue dans l’expression précédente de
les valeurs de
tirées de ces équations, et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&m'\xi '+m''\xi ''+m'''\xi '''\,+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&m'\eta '+m''\eta ''+m'''\eta '''+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&m'\zeta '+m''\zeta ''\,+m'''\zeta '''+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {m+m'+m''+m'''} +\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d97689b8979893a0bfff3f20a00f58ed1f61828)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2\mathrm {M} }}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2\mathrm {M} dt^{2}}}\\&+m'{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2ab04c3bbf42b4f876efee41f63ef92bb2fcfb)
88. Les variables
étant indépendantes, et la quantité
ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura tout de suite, par rapport à chacune d’elles, les équations
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\xi ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\eta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\zeta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}=0,&\ldots ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bb0a3c0cf26d258848005f9bfb9842ca81d7da)
Si l’on ajoute ensemble les premières équations relatives aux variables
on a
![{\displaystyle \mathrm {\frac {M}{m}} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ccf672b328d3d38e05ad76092f4e50d07d8912)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919fa802f42b3b66f1d486e2032d802ad802254c)
et l’on trouvera de même, par l’addition des deuxièmes équations et par celle des troisièmes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1e6e5a9ac29e98c38b7019ae2b099e78782ec8)
valeurs qu’on pourra substituer dans les équations précédentes.
On aura ainsi, pour le mouvement du corps
autour de
les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right)=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e409848204d1131a7a4b8084de94abc80544ff3)
et l’on aura de pareilles équations pour le mouvement des corps
autour du corps
en changeant seulement entre elles les quantités affectées de deux traits, ou de trois, etc.
Il n’y aura donc qu’à substituer la valeur de
et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables ; mais cette substitution peut se simplifier par la considération suivante.
89. Dénotons par
la somme de tous les termes de la quantité
qui contiennent les distances
et remarquons que les expressions de ces distances sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées
qui y entrent d’une même quantité quelconque ; d’où il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de
sera nulle, ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \xi '}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff90553eed4e8a254dcbe4212066c89451214ec)
On trouvera de la même manière, parce que la même propriété a lieu par rapport aux coordonnées
et aux coordonnées
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \eta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta '''}}} +\ldots =&0,\\\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbd6f45058cc69eac269325a2e0962fec862338)
Donc, puisque
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {m} \left(\mathrm {m} '\int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''+\ldots \right)+\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e43761b4c8725d1977794beae236f6307b74516)
ne contenant que
ne contenant que
et ainsi de suite, la première équation deviendra par ces substitutions, en la divisant par ![{\displaystyle \mathrm {m} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dabbbf1bbba0b3f12fd72661f55c9126099a9f)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}+\mathrm {m''R''} {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+\ldots +\mathrm {\frac {\partial U}{m'\partial \xi '}} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a658007e14d14c4128c5794116d3efcce5da8ee2)
Or, dans la quantité
il n’y a que les termes qui contiennent
qui dépendent des variables
(art. 86) ; ainsi l’on peut réduire la valeur de
à
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {m} '\left(\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9000f66d261777f8133e4b552ba49d71b4df6d)
substituant la valeur de
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \xi '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01b764125ebf2ad75bb73d61404282b6727ca55)
dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \xi '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \xi '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525237dd1ec32bd09d982ed0b28acbf38de7b6e5)
et l’on aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \eta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \eta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \eta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}} +\ldots =0,\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \zeta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d74787a7fe3d4e2cb165259cea18132233bbb5)
90. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l’avantage de s’appliquer également à des coordonnées quelconques.
Si l’on multiplie la première par
la deuxième par
la troisième par
et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}\delta \xi '+{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}\delta \eta '+{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}\delta \zeta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1cbc7e360ac94781f5225acac5dcc98a3a9405)
laquelle, en transformant les coordonnées
en d’autres coordonnées indépendantes
donnera pour les termes multipliés par
la formule (Sect. IV, art. 7)
![{\displaystyle \left(d{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\delta \xi }}\right)\delta \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7cb07dc854cd4d9fda394e793c8d126b557bf1)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f97c0f14f9cfd041df413b3b57b753f011446a)
À l’égard des termes qui contiennent les forces
il est facile de voir qu’en changeant la caractéristique
en
tous ces termes sont intégrables par rapport aux variables
l’intégrale contiendra d’abord les termes
![{\displaystyle \mathrm {(m+m')} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8771acdbfc92f8babc9dac2026a6c89e277b8f1c)
ensuite elle contiendra les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}+\ldots \right)} \xi '\\+&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}+\ldots \right)} \eta '\\+&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}+\ldots \right)} \zeta '\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5b3ca6f35a76e71056092b8e20df2dc3faf12d)
Or on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}={\frac {\xi ''}{\rho ''}},\qquad {\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}={\frac {\eta ''}{\rho ''}},\qquad {\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}={\frac {\zeta ''}{\rho ''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e3e14e55c35e5ce6fb131769a41f8b7424e725)
et comme
![{\displaystyle \rho _{_{'}}^{''2}=(\xi ''-\xi ')^{2}+(\eta ''-\eta ')^{2}+(\zeta ''-\zeta ')^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ee6819dd0877c26364d5e3a577c77a4f9c0327)
On aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}\xi '+{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}\eta '+{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}\zeta '={\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e5402a4b9a288115873c2c80c1a705bfd62fcd)
et de même
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}\xi '+{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}\eta '+{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}\zeta '={\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7beee0fc524d84842376da45c9c21f03a06591e)
et ainsi des autres expressions semblables. Donc, nommant
l’intégrale totale, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} '=&\mathrm {(m+m')} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \\&+\mathrm {m''R''} {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}}+\mathrm {m'''R'''} {\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1632bf974b129df98a9e66a35474e215dbcd26c1)
Ainsi, après la transformation des coordonnées, les termes multipliés par
se réduiront à
et, comme on suppose les nouvelles coordonnées
indépendantes, chacune d’elles, comme
donnera une équation de la forme
![{\displaystyle d{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d226897fe6d2dd295edb0eefada16c2d668d7f)
91. S’il n’y a que deux corps,
et
l’expression de
devient
![{\displaystyle \mathrm {V'=(m+m')\int R'} d\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b923a2adbaab50f4a36edb28a56ccc51bab55da6)
ainsi les valeurs de
et de
sont les mêmes que pour un corps attiré vers un centre fixe avec une force
proportionnelle à une fonction de la distance
(art. 4). Donc le mouvement relatif du corps
autour du corps
sera le même que si celui-ci était fixe et que la masse attirante fût la somme des deux masses, ce qui est connu depuis Newton.
Lorsque la masse
du corps autour duquel les autres sont censés se mouvoir est beaucoup plus grande que la somme des masses
ce qui est le cas du Soleil par rapport aux planètes, on a, à très peu près,
![{\displaystyle \mathrm {V'=(m+m')\int R'} d\rho '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ddb2cf9b518e2ee68e5dd3c7ec5e577016d9b0)
Le mouvement du corps
autour du corps
sera donc, dans ce cas, à très peu près le même que si celui-ci était fixe et que la somme des masses
y fût réunie ; et en regardant les autres forces
comme des forces perturbatrices, on pourra employer la théorie de la variation des constantes arbitraires pour déterminer l’effet de ces forces il ne s’agira que de prendre, conformément à l’article 9 de la Section V,
égale à la somme de tous les autres termes de la valeur de
donnée ci-dessus. On fera ainsi, en accentuant la lettre
pour la rapporter à la planète ![{\displaystyle \mathrm {m} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dabbbf1bbba0b3f12fd72661f55c9126099a9f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega '=&-m''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}-m'''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}-\ldots \\&-\mathrm {m''R''} {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}}-\mathrm {m'''R'''} {\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac82fc7df8856a201c38864d16e499f566a9818b)
et l’on aura, par les formules générales de l’article 14 de la même Section, les variations des éléments du mouvement du corps
autour du corps
regardé comme fixe.
§ II. — Formules générales pour les variations séculaires des éléments des orbites des planètes autour du Soleil.
92. Pour appliquer ces formules au mouvement des planètes autour du Soleil, on prendra la masse
pour celle du Soleil, la masse
pour celle de la planète dont on cherche les perturbations, et les masses
pour les masses des planètes perturbatrices, et l’on fera
![{\displaystyle \mathrm {R} '={\frac {1}{\rho '^{2}}},\qquad \mathrm {R} ''={\frac {1}{\rho ''^{2}}},\qquad \ldots ,\qquad \mathrm {R} ''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{''2}}},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49a9e046ec18901efa05744aa62c30e0a6f1c39)
On substituera ensuite dans la fonction
au lieu des coordonnées
de ces différents corps autour de
leurs valeurs exprimées en fonction de
conformément aux formules que nous avons données dans le Chapitre Ier pour les expressions des coordonnées
en y faisant
![{\displaystyle \mathrm {g=m+m'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57839f70724e3382384982aa25fda80b3e34e14b)
ou simplement
pour le rapporter au corps
et l’on aura, par les articles 69 et suivants, les variations des six éléments de l’orbite de la planète autour du Soleil.
Nous nous contenterons ici de chercher les variations séculaires de ces éléments qui sont les plus importantes, et qui ne dépendent que du premier terme tout constant du développement de
L’expression de
deviendra
![{\displaystyle \Omega '=\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}\right)+\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''^{3}}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a227e46e4b9df49f822d498c9bee700f08c9577)
93. Commençons par développer la quantité
![{\displaystyle \rho ''_{_{'}}={\sqrt {(\xi ''-\xi ')^{2}+(\eta ''-\eta ')^{2}+(\zeta ''-\zeta ')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd896c1144eacd4e05a79f6452c6db50f7a7853)
on y mettra d’abord pour
les expressions de
de l’article 13, en marquant par un trait, ou par deux, les quantités qui se
rapportent aux masses
![{\displaystyle \mathrm {m',m''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1969ae14d1560e0dbdcf24578257dfd74f2ba93a)
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-2\rho '\rho ''(\alpha '\,\cos \Phi '+\beta '\,\sin \Phi ')(\alpha ''\cos \Phi ''+\beta ''\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{1}\cos \Phi '+\beta '_{1}\sin \Phi ')(\alpha ''_{1}\cos \Phi ''+\beta ''_{1}\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{2}\cos \Phi '+\beta '_{2}\sin \Phi ')(\alpha ''_{2}\cos \Phi ''+\beta ''_{2}\sin \Phi '').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fe9453da3f08b80d91dd9eb3b73ed4c2975140)
Si l’on fait les multiplications, qu’on développe les produits des sinus et cosinus et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \ \,=&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ \,=&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {A} _{1}=&\alpha ''\beta '+\alpha ''_{1}\beta '_{1}\,+\alpha ''_{2}\beta '_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\ +\beta '_{2}\beta ''_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1067ee65bb33ef75c4baa5b31a27e039b4f0ba68)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-(\mathrm {A+B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A-B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi '')\\&-(\mathrm {A_{1}-B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A_{1}+B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '+\Phi '').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1400700b90e71bd5cc944049fc5ad232689063)
Les quantités
sont fonctions des éléments
de l’orbite de la planète
donnée par les formules de l’article 13, en marquant toutes les lettres d’un trait, et les quantités
sont fonctions semblables des éléments
de l’orbite de la planète
en marquant les lettres de deux traits ainsi les quantités
sont fonctions de ces mêmes éléments ; mais, par la considération suivante, on peut voir ce qu’elles expriment.
94. Les coordonnées primitives rapportées à un plan donné étant
pour les transformer dans les coordonnées
rapportées au plan de l’orbite de
on a, par les formules générales de l’article 14,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z',\\y=&\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z',\\z=&\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102810f456f0e9dde763f01a2ce0180aae2e88fa)
où les coefficients
dépendent des constantes
qui déterminent la position des nouveaux axes par rapport aux primitifs,
étant l’inclinaison des deux plans.
De même, si l’on voulait transformer les mêmes coordonnées dans les coordonnées
rapportées au plan de l’orbite de
on aurait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\y=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\z=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1049f7d01e92ab997ba7f55b8821cc81f69550c3)
où les coefficients
seraient des fonctions semblables des constantes
qui déterminent la position de ce nouveau plan patrapport au même plan primitif, et où
serait l’inclinaison de ces plans.
Si l’on compare maintenant ces expressions, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z'=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z'=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z'=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80b9a0d33069ea298846edb7226033271606b00)
Comme les coefficients
sont assujettis aux mêmes équations de condition que les coefficients
de l’article 14, si l’on ajoute ensemble les trois équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par
par
et par
on aura, en vertu de ces équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&\mathrm {A} \ \,x''+\mathrm {B} \ \,y''+\mathrm {C} \ \,z'',\\y'=&\mathrm {A} _{1}x''+\mathrm {B} _{1}y''+\mathrm {C} _{1}z'',\\z'=&\mathrm {A} _{2}x''+\mathrm {B} _{2}y''+\mathrm {C} _{2}z'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37120bd533201eec3d17202f8ba9b3f1195bf118)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ =&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} \ =&\alpha '\gamma ''+\alpha '_{1}\gamma ''_{1}\,+\alpha '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{1}=&\beta '\alpha ''+\beta '_{1}\alpha ''_{1}+\beta '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\,+\beta '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{1}=&\beta '\gamma ''+\beta '_{1}\gamma ''_{1}\,+\beta '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{2}=&\gamma '\alpha ''+\gamma '_{1}\alpha ''_{1}+\gamma '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{2}=&\gamma '\beta ''+\gamma '_{1}\beta ''_{1}\,+\gamma '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{2}=&\gamma '\gamma ''+\gamma '_{1}\gamma ''_{1}\,+\gamma '_{2}\gamma ''_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1282ee500dd4882511ee9a6edd227170be426fe3)
Il est évident que, par ces formules, les coordonnées
sont transformées dans les coordonnées
ainsi les coefficients
seront exprimés d’une manière semblable aux coefficients analogues
et, prenant les constantes
à la place des
on aura, par les formules générales de l’article 13,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&+\mathrm {\cos K\cos H-\sin H\sin K\cos I} ,\\\mathrm {B} \ =&-\mathrm {\sin K\cos H-\sin H\cos K\cos I} ,\\\mathrm {C} \ =&+\mathrm {\sin H\sin I} \,;\\\\\mathrm {A} _{1}=&+\mathrm {\cos K\sin H+\sin K\cos H\cos I} ,\\\mathrm {B} _{1}=&-\mathrm {\sin K\sin H+\cos K\cos H\cos I} ,\\\mathrm {C} _{1}=&-\mathrm {\cos H\sin I} \,;\\\\\mathrm {A} _{2}=&\mathrm {\sin K\sin I} ,\\\mathrm {B} _{2}=&\mathrm {\cos K\sin I} ,\\\mathrm {C} _{2}=&\mathrm {\cos I} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc221002d3f59533dfdb71b75cba79cb76dc286)
La constante
représentera l’angle d’inclinaison des deux plans où sont placées les orbites des planètes
et
et nous la désignerons par
pour indiquer qu’elle se rapporte aux orbites de
et
et si, dans l’expression de
en
on substitue les valeurs de ces coefficients en
(art. 13), on a
![{\displaystyle \cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\cos i'\cos i''+\cos(h'-h'')\sin i'\sin i''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b84401f0def9de983f222ba383e6ebdcf8301b)
On voit que les quantités que nous venons de désigner par
sont les mêmes fonctions de
que celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans l’article 93 ; ainsi l’on aura dans les formules de cet article, en y substituant pour ces quantités les valeurs que nous venons de trouver,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A+B_{1}=2\cos(H+K)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A-B_{1}=2\cos(H-K)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A_{1}+B=2\sin(H+K)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A_{1}-B=2\sin(H-K)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddee7e23e9e54270b74eb2d8115a8b5bbba78757)
95. Donc, faisant ces substitutions dans l’expression de
de l’article 93, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=&\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}\\&-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d517f9ea4c03224e245ac0ed7849ef7c4a235b)
Faisons, pour un moment,
![{\displaystyle \Delta =\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c474fa2ae3bffd7606535dd7881dde573908ebbd)
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}={\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )-2\rho '\rho ''\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1413ce6832eca3de2ce28935b95744f72ddcd77)
c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’expression de
de l’article 92 ; et l’on aura de la même manière
![{\displaystyle {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}={\frac {\rho '\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}{\rho ''^{2}}}+{\frac {\rho '\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}{\rho ''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe745fa89d5de55acbc2709822b07d01510eb3cb)
En marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquées que de deux, on aura les termes multipliés par
dans
et ainsi de suite.
Il faudra ensuite substituer pour
et pour
leurs valeurs exprimées par les anomalies moyennes
suivant les formules des articles 21 et 22 ; et, dans le développement, nous nous contenterons d’avoir égard aux secondes dimensions des excentricités
et des inclinaisons mutuelles
des orbites de
sur celles de
en regardant ces quantités comme très petites du même ordre, et en négligeant les termes où elles formeraient des produits de plus de deux dimensions.
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}}}\\&-{\frac {\rho \rho '\left[\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]}{\left[\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]^{\frac {3}{2}}}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc1401835323e33e97f3ebf850fa6f4b35fac4c)
96. On sait que les puissances d’une fonction de la forme
![{\displaystyle \rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b58ac31edb014a907356c04676287c96f0dec61)
peuvent se développer en séries de cosinus d’angles multiples de
![{\displaystyle \Phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ce4e23aa1c922219a49981117fd396dcbd1c4f)
ainsi l’on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\\&\quad =(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +(\rho ',\rho '')_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\\&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =[\rho ',\rho '']\ +[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi \ +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi \ +[\rho ',\rho '']_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9834aa46612d7bb0ae80eb0eb4e8630dc43ab47b)
où
sont des fonctions de
exprimées en séries ou par des intégrales définies, dans lesquelles les quantités
et
entrent de la même manière et forment des fonctions homogènes des dimensions
ou ![{\displaystyle -3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504d13c97d233b74182a40883e520a3f778f803b)
Ainsi, en faisant
![{\displaystyle \varphi =\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3548948ce8ea614f8899072c765d5dca291101)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +\ldots \\&+\rho '\rho ''\left([\rho ',\rho '']+[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi +\ldots \right)\\&\qquad \times \left[\cos(\varphi +2\Phi ''+2\mathrm {K} )-\cos \varphi \right]\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8160cfa837af2328599a8b791be109dedd3e4fb6)
où il faudra faire (art. 21 et 22)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho '\ \ =&a'\ \left(1-e'\,\cos u'\ +{\frac {e'^{2}}{2}}\ -{\frac {e'^{2}}{2}}\cos 2u'\,\right),\\\rho ''\ =&a''\left(1-e''\cos u''+{\frac {e''^{2}}{2}}-{\frac {e''^{2}}{2}}\cos 2u''\right),\\\Phi '\ =&u'\ +2e'\sin u'\ +{\frac {5e'^{2}}{4}}\sin 2u',\\\Phi ''=&u''+2e''\sin u''+{\frac {5e''^{2}}{4}}\sin 2u'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5e6b3b64964633ff0d3bf019199192a39f3e16)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \varphi =u'-u''-\mathrm {L} +2(e'\sin u'-e''\sin e'')+{\frac {3}{4}}\left(e'^{2}\sin 2u'-e''^{2}\sin 2u''\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f6f720dd97c888617ec9ae60b9fa43e130ee15)
étant égal à ![{\displaystyle \mathrm {H+K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6a7565406e3fb9d211bd6a7e224b1d9827c4a9)
Comme nous négligeons les quantités au-dessus du second ordre dans les termes multipliés par
on pourra mettre tout de suite
et
au lieu de
au lieu de
et
au lieu de
et, en développant les produits des cosinus, on verra facilement qu’il n’y aura de terme indépendant des angles
et
que celui-ci :
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}a'a''[a',a'']_{1}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f06fb3e950e0f5e263854bedd52e6e1f6691d4b)
Considérons maintenant les fonctions
en y faisant les substitutions précédentes à la place de
et de
et conservant les secondes dimensions de
et de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\rho ',\rho '')=(a',a'')&+{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\left(-a'e'\cos u'+{\frac {a'e'^{2}}{2}}-{\frac {a'e'^{2}}{2}}\cos 2u'\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{2\partial a'^{2}}}{\frac {a'^{2}e'^{2}}{2}}\left(1+\cos 2u'\right)\\&+{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a''}}\left(-a''e''\cos u''+{\frac {a''e''^{2}}{2}}-{\frac {a''e''^{2}}{2}}\cos 2u''\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{2\partial a''^{2}}}{\frac {a''^{2}e''^{2}}{2}}\left(1+\cos 2u''\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}{\frac {a'a''e'e''}{2}}\left[\cos(u'-u'')-\cos(u'+u'')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ee7d0b41e8649c01aca912373648433819ef2b)
et il en sera de même des autres fonctions semblables. On aura pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi =&-\cos(u'-u''-\mathrm {L} )-\sin(u'-u''-\mathrm {L} )\left\{{\begin{aligned}&2e'\sin u'\ \ +{\frac {5e'^{2}}{4}}\sin 2u'\\-&2e''\sin u''-{\frac {5e''^{2}}{4}}\sin 2u''\end{aligned}}\right\}\\&-\cos(u'-u''-\mathrm {L} )\left\{{\begin{aligned}e'^{2}&-e'^{2}\cos 2u'+e''^{2}-e''^{2}\cos 2u''\\&-2e'e''\left[\cos(u'-u'')-\cos(u'+u'')\right]\end{aligned}}\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebde5d5a7e70b8c418ca15522691cbd53749d6a2)
on développera de la même manière les cosinus des angles multiplcs de
et l’on multipliera les expressions de ces cosinus par celles des coefficients ![{\displaystyle (\rho ',\rho ''),\,(\rho ',\rho '')_{1},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15de11d367de4ca2becc8d90665852268e5ee7dc)
Comme nous ne cherchons que les termes indépendants de toute période, il faudra rejeter tous ceux qui se trouveront multipliés par des cosinus d’angles multiples de
et de
qui sont les angles des mouvements moyens de
et de
Ainsi le terme
de l’expression
ne donnera que ceux-ci :
![{\displaystyle (a',a'')+\left[{\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a'^{2}}}a'^{2}\right]e'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f3bc4730483a38b80f0c152d6eaaba73ee9de5)
![{\displaystyle +\left[{\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a''^{2}}}a''^{2}\right]e''^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20100b872df4bad42c862b90e9529e46ed971c09)
Le terme
donnera ceux-ci :
![{\displaystyle \left[(a',a'')_{1}+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')_{1}}{4\partial a'\partial a''}}a'a''\right]e'e''\cos \mathrm {L} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54249e56cd310ab87200f75bc47eb115ed0cdd9)
Le terme
et les suivants ne donneront que des termes où
formeraient plus de deux dimensions, et que nous négligeons.
Il reste à développer la quantité (art. 93, 94)
![{\displaystyle {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}={\frac {\rho '\cos \varphi }{\rho ''^{2}}}+{\frac {\rho '\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}{\rho ''^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733caf1d38a0e4b63ff4181d563a1265614b0b7d)
On fera ici pour
les mêmes substitutions que ci-dessus ; on aura d’abord
![{\displaystyle {\frac {\rho '}{\rho ''^{2}}}={\frac {a'}{a''^{2}}}\left\{1-e'\cos u'+2e''\cos u''+{\frac {e'^{2}}{2}}(1-\cos 2u)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a71ad80c5bd63b4fe4a36b4a01bb7ec9fb21cde)
![{\displaystyle \left.+{\frac {e''^{2}}{2}}(1+5\cos 2u'')+e'e''\left[\cos(u'-u'')+\cos(u'+u'')\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bb732797de33cef58cd50f29512ba8777dabee)
mais, dans le terme qui contient
et qui est déjà du second ordre, il suffira de mettre
à la place de
et comme
![{\displaystyle \Delta =\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c474fa2ae3bffd7606535dd7881dde573908ebbd)
il est clair que ce terme ne donnera aucune quantité constante.
En multipliant l’expression précédente de
par celle de
de l’article précédent, et ne retenant que les termes constants où
et
ne passent pas la seconde dimension, on trouve aisément ceux-ci :
![{\displaystyle {\frac {a'}{a''}}\left(-{\frac {e'e''}{2}}-e'e''+{\frac {e'e''}{2}}+e'e''\right)\cos \mathrm {L} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d7731d9d2a0a78b09598953d1d3329f175447e)
de sorte que, dans la quantité dont il s’agit, les termes constants se détruisent.
97. La somme de tous les termes que nous venons de trouver, étant multipliée par
sera la partie constante de la fonction
due à l’action de la planète
et l’on aura une expression semblable pour la partie due à l’action de la planète
en rapportant à celle-ci les quantités relatives à la planète
Nous avons désigné par
cette partie non périodique de la fonction
si donc on fait, pour abréger,
![{\displaystyle ((a',a''))={\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a'^{2}}}a'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff89a1e2b635c33b79067691b5fe86f6b725cc15)
et par conséquent, puisque
et
entrent de la même manière dans la fonction ![{\displaystyle (a',a''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b56fc7aba24d1b5dbbd1c03bffb889a85fbed0b)
![{\displaystyle ((a'',a'))={\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a''^{2}}}a''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a5eda4132415e5554e590f5e594a4f2d66f6f3)
et, de plus
![{\displaystyle \left[(a',a'')\right]=(a',a'')_{1}+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')_{1}}{4\partial a'\partial a''}}a'a'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1745e8cdbfbecfcbe3aef506b0f0df0cf62913f8)
on aura
![{\displaystyle -(\Omega ')=\mathrm {m} '\left\{{\begin{aligned}&(a',a'')+((a',a''))e'^{2}+((a'',a'))e''^{2}\\&\quad +\left[(a',a'')\right]e'e''\cos \mathrm {L} -{\frac {1}{2}}a'a''[a',a'']_{1}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}\end{aligned}}\right\}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da080a3a57933bf0dd50a38c84f668d56f2952d)
Cette valeur est exacte aux quantités du troisième ordre près, en regardant les excentricités
et
des orbites de
et de
ainsi que leur inclinaison mutuelle
comme de très petites quantités du premier ordre, quelles que soient d’ailleurs les inclinaisons de ces orbites sur le plan fixe de projection.
98. On peut simplifier beaucoup les expressions des fonctions
et
par les propriétés connues des coefficients des séries en
En effet, si l’on différentie logarithmiquement par rapport à
et ensuite par rapport à
l’équation identique
![{\displaystyle \left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +(a',a'')_{2}\cos 2\varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d65eba0efcb1536f544a719e8093d423d9d5ee4)
et qu’après avoir multiplié en croix, on compare les termes multipliés par les mêmes cosinus, on aura d’abord
![{\displaystyle 3a'a''(a',a'')_{2}=-2a'a''(a',a'')+2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7770595b8a741224070ceb7cf6843f377a7be1)
ensuite les différentielles relatives à
et
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\ =&{\frac {a'(a',a'')-a''(a',a'')_{1}}{\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{\partial a'}}=&{\frac {a'a''(a',a'')-a''^{2}(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'^{2}}}=&{\frac {4a'^{3}(a',a'')+a''\left(a''^{2}-3a'^{2}\right)(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}=&{\frac {-2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)+2a'a''(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399ecf38fa4a8545db45e843be80216f60ca9db2)
Substituant ces valeurs, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {4a'^{2}a''^{2}(a',a'')-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}}{8\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')+\left(a'^{2}+a''^{2}-a'a''\right)(a',a'')_{1}}{2\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1019d30b1c5077005b3058c8f6d6604aedca997b)
Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficients de la série
![{\displaystyle \left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=[a',a'']+[a',a'']_{1}\cos \varphi +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ffda631c0cf7836cf79c43888d5b21bbc66d76)
car, en différentiantlogarithmiquement et multipliant ensuite en croix, on trouve d’abord, comme ci-dessus,
![{\displaystyle a'a''[a',a'']_{2}=2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}-6a'a''[a',a'']\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95aac26e469b79d283878b1e04854aa5cce82b6)
substituant cette valeur de
et comparant la série multipliée par
avec la série ![{\displaystyle (a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7719ab6640a27d3afc994737be0ed5e61474836)
avec laquelle elle doit devenir identique, il est facile de déduire ces relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a',a'')\ \ =&\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']-a'a''[a',a'']_{1},\\(a',a'')_{1}=&4a'a''[a',a'']-\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9c93141877e175585e2cbb9beda4b382d8ee92)
et, par la substitution de ces valeurs, on aura celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {1}{8}}a'a''[a',a'']_{1}=((a'',a')),\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {3}{2}}a'a''[a',a'']-{\frac {1}{2}}\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}=-{\frac {1}{4}}a'a''[a',a'']_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba44d4de242fa01f3e3999e1c804a7c8766a0ec6)
qu’on substituera dans l’expression de
de l’article précédent.
À l’égard de la valeur des coefficients
en fonction de
on peut les trouver par le développement des radicaux en puissances de
et par le développement de ces puissances en cosinus d’angles multiples de
comme Euler l’a fait le premier dans ses Recherches sur Jupiter et Saturne ; mais j’ai trouvé, depuis longtemps, qu’on pouvait les avoir d’une manière plus simple en décomposant le trinôme
en ses deux facteurs imaginaires
![{\displaystyle \left(a'-a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}\right)\left(a'-a''e^{-\varphi {\sqrt {-1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0471664cf0f71fc62612ac6283c1fd5c1755090e)
et en développantpar la formule du binôme les puissances
de chacun de ces facteurs.
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle n'={\frac {n(n+1)}{2}},\quad n''={\frac {n(n+1)(n+2)}{2.3}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2940b8611b479f164580688887f59cbae405f81d)
on aura, en général
![{\displaystyle \left(a'-a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}\right)^{-n}=a'^{-n}-na'^{-n-1}a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}+n'a'^{-n-2}a''^{2}e^{2\varphi {\sqrt {-1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe725007ae64c0bb33a41e4656600231db8de8)
et si l’on multiplie ensemble les deux séries qui répondent à
et à
et qu’on repasse des exponentielles imaginaires aux cosinus des angles multiples, on aura
![{\displaystyle \left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-n}={\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\cos \varphi +{\mathfrak {C}}\cos 2\varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2db0208fcf0164b232891bfe04934802455871)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathfrak {A}}={\frac {1}{a'^{2n}}}\left[1+n^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+n'^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n''^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {B}}={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)\ +nn'\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)^{3}+n'n''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{5}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {C}}\ \,={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n'\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+nn''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n'n'''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3748f59fe83b2f9453a429e3fffeb925edbe2471)
Ces séries sont toujours convergentes, lorsque
mais si l’on avait
il n’y aurait qu’à changer
en
et
en
puisque, dans la fonction non développée, les quantités
et
entrent également.
Une conséquence qui résulte de la forme de ces séries est que, tant que
est un nombre positif, tous les coefficients
ont toujours des valeurs positives.
Si l’on fait
ces coefficients deviendront
et, si l’on fait
ils deviendront
99. Il nous reste encore à déterminer l’angle
Comme nous négligeons les quantités du troisième ordre etque, dans l’expression de
est déjà multiplié par
on pourra, dans la détermination de l’angle
faire abstraction des quantités très petites du premier ordre, et par conséquent y supposer
Or (art. 96)
![{\displaystyle \mathrm {L=H+K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e2f037d5d13bb9b2264f88c138cd9d6dd9b20f)
et, faisant
dans les formules de l’article 94, on a
![{\displaystyle \mathrm {A=\cos(H+K),\quad A_{1}=-B=\sin(H+K),\quad A_{2}=0} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c412406051deb0e03fd0de86e207be8b43e94506)
on a aussi, par les formules de cet article,
![{\displaystyle \mathrm {A} =\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2}=\cos \mathrm {L} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698b0b4fae5f6804bb3a5e392a6fd339c716ed56)
Différentions cette valeur de
faisons varier les quantités
substituons à la place de leurs différentielles les expressions données dans l’article 71, en accentuant les quantités respectives, et remettons les quantités
à la place de leurs valeurs en
on trouvera facilement
![{\displaystyle -\sin \mathrm {L} d\mathrm {L} =\mathrm {A} _{1}d\chi '+\mathrm {A} _{2}d\pi '+\mathrm {B} d\chi ''+\mathrm {C} d\pi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71396cdc63be2bbd5eb821075f4fe311faac20a1)
Mais
![{\displaystyle \mathrm {A_{1}=\sin L,\quad A_{2}=0,\quad B=-\sin L,\quad C=0} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99150bc0127a77f689124731bf3c0500ddb2e22e)
donc, en divisant par
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {L} =d\chi ''-d\chi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a573ac88865a7de6b77b3990e4611d30bbdc9c)
et, intégrant,
![{\displaystyle \mathrm {L} =\chi ''-\chi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6519955797ddd894819d9e665b24763e619efa49)
où il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, puisque l’origine des angles
est arbitraire. L’angle
[21] est en général celui que l’orbite décrit en tournant dans son plan, et que nous avons substitué à la place de la longitude
du périhélie (art. 68).
100. La fonction
est maintenant réduite à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations séculaires ; il n’y aura qu’à la substituer dans les formules de l’article 76, en marquant d’un trait les lettres de ces formules, pour les rapporter à la planète
dont on cherche les variations ; et, en changeant simplement entre elles les lettres marquées d’un trait et de deux, on aura des formules semblables pour les variations de la planète
et ainsi des autres.
On voit que cette fonction est composée de deux fonctions distinctes entre elles, dont l’une ne renferme que les excentricités et les lieux des aphélies dans les orbites, et dont l’autre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs nœuds. Si l’on désigne la première par
et la seconde par
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle (\Omega ')=(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3a2e41dc380ca4713739d32d556913200a0838)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\Omega ')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} ''\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ +a'a''[a',a''\,]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2a'a''[a',a'']_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a',a''')+a'a'''[a',a''']_{1}\left(e'^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a'a'''[a',a''']_{2}e'e'''\cos(\chi '-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega ')_{2}=&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbbc929d2e93027f65ab9d5e8e7db3bcf843b8b)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\ =\cos i'\cos i''\,+\cos(h'-h'')\sin i'\sin i'',\\&\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}=\cos i'\cos i'''+\cos(h'-h''')\sin i'\sin i''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e4c044e18b344e939c095fca03e6726c3c5a08)
les angles
étant les inclinaisons de l’orbite de la planète
sur celles des planètes ![{\displaystyle m'',\,m''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d158093bf859ec9f230e5daed25777031458)
On substituera ainsi
au lieu de
dans les équations des variations séculaires (art. 76), et l’on accentuera les lettres, pour les rapporter à la planète
dont on cherche les variations ; on aura, en négligeant les
et mettant simplement
au lieu de
dans les coefficients des fonctions
et
qui sont déjà du second ordre,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}=&-{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},\\{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial h'}},&\qquad {\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial i'}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde80c1a5a8707505aabb34fe1d090069ad90ce1)
On aura de pareilles équations pour les variations des éléments de la planète
dans son orbite autour de
et il n’y aura pour cela qu’à marquer de deux traits les lettres qui ne sont marquées que d’un trait, et au contraire ne marquer que d’un trait les lettres qui le sont de deux.
Ainsi, en observant que les fonctions de
et
représentées par des parenthèses ne changent pas en échangeant entre elles les quantités
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\Omega '')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ \ +a'a''\ \ [a',a''\,\ ]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2\left[(a',a'')\right]_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a'',a''')+a''a'''[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a\left[(a'',a''')\right]_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega '')_{2}=&-{\frac {1}{2}}\mathrm {m} '\ \ a'\ a''\ [a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '_{_{''}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{''}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de410ffbab42e4e92f7844e3d18ae7856ca13b15)
où
![{\displaystyle \cos \mathrm {I} '_{_{''}}=\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\qquad {\text{et}}\qquad \cos \mathrm {I} '''_{_{''}}=\cos i''\cos i'''+\sin(h''-h''')\sin i''\sin i'''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f9ad3ee94e04deb9c370a9b0536cd76f0a7768)
et les équations des variations seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial \chi ''}},&{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial e''}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial h''}},&\qquad {\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial i''}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcadbb8a3db974b1360fcbe37c91382d94ecb0f3)
et ainsi de suite pour les variations des éléments des orbites de
autour de ![{\displaystyle \mathrm {m} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa494d9040a46844f96d18694e07fd2a2442a02f)
101. Mais nous remarquerons qu’on peut réduire à une seule fonction les différentes fonctions
ainsi que les fonctions
ce qui mettra plus de simplicité et d’uniformité dans les formules des variations : en effet, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {m'm''a'a''}{8}}\ \ \left\{8(a'\ ,a''\ )+[a'\ ,a''\ ]_{1}\left(e'^{2}\ +e''^{2}\,\right)-2[a'\ ,a''\ ]_{2}e'e''\ \cos(\chi '-\chi ''\ )\right\}\\&+{\frac {m'm'''a'a'''}{8}}\ \left\{8(a'\ ,a''')+[a'\ ,a''']_{1}\left(e'^{2}\ +e'''^{2}\right)-2[a'\ ,a''']_{2}e'\,e'''\cos(\chi '-\chi ''')\right\}\\&+{\frac {m''m'''a''a'''}{8}}\left\{8(a'',a''')+[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0935891c4506d856eb22e565dc2f943fccab5ff)
en faisant toutes les combinaisons deux à deux des masses ![{\displaystyle \mathrm {m',m''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cab30a131a93219beb448d22589c3ddf45677c)
![{\displaystyle \mathrm {m} ''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02328aafa1e3865e469169b2e5d188b99aa6054e)
et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que, dans les différences partielles de
![{\displaystyle (\Omega ')_{1},\,(\Omega '')_{1},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc0f8377830225f60d862c16c589da76cfc2cef)
on pourra changer ces fonctions en
![{\displaystyle \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4bcc9ba00b98a78856510709eb4e04d71cfc8c)
pourvu qu’on divise par
![{\displaystyle \mathrm {m} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f9c3ccf7c16ee4aa44138226ac1882cf5e0d87)
les différences partielles relatives à
![{\displaystyle e'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c198f6710d781baaf94653df305a4881380033)
et
![{\displaystyle \chi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738d899622494f9f159fd6415224f566b710ff9)
par
![{\displaystyle \mathrm {m} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1e73de1f4f2b319199f1bc23e3085fd89e49b6)
les différences partielles relatives à
![{\displaystyle e'',\,\chi '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff626eb6827091c586a8a7960baed396deb67ff)
et ainsi de suite.
De sorte que les équations des variations des excentricités et des aphélies deviendront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}},\\{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}},\qquad &{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3b331fc2d951ee7afbba5cfcddd56a1a771eec)
Ces équations donnent
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}d\chi '+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}de'=0,\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}d\chi ''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}de''=0,\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6206962a2e00c68723ac14f6c0c0d3ce1f6a2ca3)
donc, comme
est fonction des variables
sans
on aura
![{\displaystyle d\Phi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d569615904dc4905b58fb10f401e46f82b9a5d)
et par conséquent
égale à une constante. C’est une relation générale entre les excentricités et les lieux des aphélies des planètes, qui doit toujours subsister, quelques variations que les excentricités et les lieux des aphélies subissent à la longue, pourvu qu’elles soient très petites.
102. Mais la nature de la fonction
donne encore naissance à d’autres relations générales entre ces mêmes éléments.
En effet, il est facile de voir qu’on a l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '''}}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a20fe02479ba3aa38007a6f6c620cf542a196d)
et si l’on substitue à la place de ces différences partielles leurs valeurs
données par les équations de l’ar-
ticle précédent, on aura, en intégrant relativement à
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
l’équation finie
![{\displaystyle \mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}e'^{2}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}e''^{2}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}e'''^{2}+\ldots =\mathrm {K} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cbe7a935c9ddfdc919f8c32c0b778803ef8a93)
étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant quelconque.
Cette équation fait voir que les excentricités
ont nécessairement des limites qu’elles ne peuvent passer ; car, comme elles sont nécessairement réelles, tant que les orbites sont des sections coniques, chaque terme, comme
sera toujours positif, et son maximum sera la constante
Il suit de là que, si les excentricités des orbites qui appartiennent à des masses très grandes sont une fois très petites, elles le seront toujours, ce qui est le cas de Jupiter et Saturne ; mais celles qui appartiennent à des masses fort petites pourront croître jusqu’à l’unité et au delà, et l’on ne pourra déterminer leurs véritables limites que par l’intégration des équations différentielles, comme on le verra ci-après[22].
De plus, comme la quantité
regardée comme fonction de
est une fonction homogène de deux dimensions, on aura, par la propriété connue de ces fonctions,
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}e'+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}e''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'''}}e'''+\ldots =2\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60810c7818e738cd9d26f151ef6d7a4f6450795)
Substituant dans cette équation les valeurs des différences partielles de
relatives à
tirées des mêmes équations de l’article précédent, on aura
![{\displaystyle \mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}{\frac {e'^{2}d\chi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}{\frac {e''^{2}d\chi ''}{dt}}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}{\frac {e'''^{2}d\chi '''}{dt}}+\ldots =2\mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b3ee2bfd0c18f752757cc6cdd179aec5f34344)
étant la valeur de
dans un instant quelconque.
Dans cette équation, les quantités
expriment les vitesses angulaires des mouvements des aphélies, et par conséquent elle donne une relation invariable entre ces vitesses, par laquelle on voit qu’elles ont aussi nécessairement des limites, tant qu’elles sont toutes de même signe.
103. Si l’on emploie les transformations de l’article 78, en faisant
![{\displaystyle m'=e'\sin \chi ',\quad n'=e'\cos \chi ',\quad m''=e''\sin \chi '',\quad n''=e''\cos \chi '',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4193eb7245e7f2c95177b08b9337a8adb4a53248)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {\mathrm {m'm''} a'a''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a'']_{1}\ \left(m'^{2}\ +n'^{2}\ +m''^{2}\ +n''^{2}\ \right)-2[a',a''\ ]_{2}(m'm''+n'n'')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m'm'''} a'a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a''']_{1}\,\left(m'^{2}\ +n'^{2}+m'''^{2}\ +n'''^{2}\right)-2[a',a''']_{2}(m'm'''+n'n''')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m''m'''} a''a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a'',a''']_{1}\left(m''^{2}+n''^{2}+m'''^{2}+n'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}(m''m'''+n''n''')\right\}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337cac511ec4bb7c0bac962c315b16a7d161a46f)
et les équations des variations seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {m} '\ {\frac {d\mathrm {m} '}{dt}}\ =&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n'}},\qquad &\mathrm {m} '\ {\frac {dn'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}},\\\mathrm {m} ''{\frac {d\mathrm {m} ''}{dt}}=&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n''}},&\mathrm {m} ''{\frac {dn''}{dt}}=&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m''}},\\.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3884cff86a546ab713551fa3509f8e3758758c)
Si, dans ces équations, on substitue la valeur de
et qu’on exécute les différentiations partielles, on a des équations linéaires en
faciles à intégrer, et ces équations seront entièrement identiques avec celles que j’avais trouvées par une autre voie, dans les Mémoires de Berlin de 1781, page 262[23], comme il est facile de s’en assurer en comparant entre elles les dénominations différentes des mêmes quantités.
Dans les Mémoires de l’année 1782[24], j’ai appliqué ces équations aux six planètes principales, en adoptant pour leurs masses les valeurs les plus probables, et j’en ai tiré, par l’intégration, des formules générales pour les variations de leurs excentricités et des lieux de leurs aphélies, lesquelles donnent les valeurs de ces éléments, tant pour la Terre que pour les autres planètes, au bout d’un temps quelconque indéfini, soit avant ou après l’époque de 1700 ; et comme, par ces formules, les excentricités demeurent toujours très petites, ainsi qu’on l’a supposé dans le calcul, on est assuré de leur exactitude dans tous les temps passés et à venir. On trouve ensuite, dans le Volume des mêmes Mémoires pour 1786-87, imprimé en 1792, un supplément[25] à cette théorie, relatif à la nouvelle planète d’Herschel, où l’on détermine de la même manière, et par des formules aussi générales, les variations séculaires de l’excentricité et du lieu de l’aphélie de cette planète, produites par les actions de Jupiter et de Saturne ; on a seulement négligé l’effet de l’action d’Herschel sur ces deux planètes, ainsi que sur les autres planètes inférieures, à cause de la petitesse de sa masse et de sa grande distance.
104. On peut réduire de la même manière à une forme plus simple les équations de la variation des nœuds et des inclinaisons. Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi =&-{\frac {1}{4}}m'\ m''\ a'\ a''[a'\ ,a''\ ]_{1}(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}m'm'''a'\ a'''[a'\ ,a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}m''m'''a''a'''[a'',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{''}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecdf4dea380d475aa7470816bc08566a46b62b9)
en faisant aussi toutes les combinaisons deux à deux des masses
qui sont supposées agir les unes sur les autres, avec les fonctions correspondantes de
et des inclinaisons ![{\displaystyle \mathrm {I''_{_{'}},\,I'''_{_{'}},\,I'''_{_{''}}} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7da48e57e52ea83d651c1068cd9caffd392778)
qui sont déterminées en général par la formule
![{\displaystyle \cos \mathrm {I} _{m}^{n}=\cos i^{(m)}\cos i^{(n)}+\cos \left(h^{(m)}-h^{(n)}\right)\sin i^{(m)}\sin i^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cf95dbb4ed4b75f3c4b295318dd368a60e5c53)
on aura, en substituant
à la place de
![{\displaystyle {\frac {\partial (\Omega )_{2}}{\partial h'}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aefe57354776ec1000693cd6e1aefaac7ec4b82)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h'}},&{\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}},\qquad &{\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9b90a06eadd83cb45a5fb9f20d5a0c55fbe17f)
Ces équations donnent aussi
![{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}dh'+{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}}di'=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}dh''+{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}}di''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b273a2d158f44652f1b441052910bac68d6507)
et, par conséquent, puisque
est une fonction de
sans aucune autre variable,
![{\displaystyle d\Psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c212d98e970bb20d61c7a0e28fd35ea85ed0b998)
et
égal à une constante.
De plus, il est visible, par la forme de la fonction
que l’on a cette équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h'''}}+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37fd96bc1691fe8d56b800edbab2269903feebf)
Substituant, pour les différentielles de
relatives à
leurs valeurs données par les équations précédentes, on aura une équation différentielle en
dont l’intégrale sera
![{\displaystyle \mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\cos i'+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\cos i''+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}\cos i'''+\ldots =\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb9dc24ffa29651eb508adabb3faf6a337de1ee)
et qu’on pourra mettre aussi sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin ^{2}{\frac {i'}{2}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin ^{2}{\frac {i''}{2}}+\ldots =\mathrm {H} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4023cd32f579460317a68a48f237c67c57f92c8)
étant la valeur du premier membre dans un instant quelconque. On peut tirer de cette équation, relativement aux liniités des quantités
![{\displaystyle \sin {\frac {i'}{2}},\,\sin {\frac {i''}{2}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b984341594bdb577e05c857b10e6b3e6c93e7a93)
des conséquences analogues à celles que nous avons déduites d’une équation semblable en
![{\displaystyle e',\,e'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badfada67f7bb7ae4c365bf42445b5346569dc41)
dans l’article 101.
105. Dans le cas où l’on ne considère que l’action de deux planètes
et
l’expression de
se réduit au seul terme multiplié par
et l’inclinaison mutuelle
des deux orbites devient alors constante ; c’est à très peu près le cas de Jupiter et Saturne.
Dans ce cas, nous remarquerons encore que, si l’on suppose que le plan de la planète perturbatrice
coïncide dans un instant avec le plan fixe, on aura
et, par conséquent,
ce qui donnera
![{\displaystyle \Psi =-\mathrm {\frac {m'm''}{4}} a'a''[a',a'']_{1}(1-\cos i'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4ec8cee43f589a30ebbdb091c5eeaacdd161f2)
et de là
![{\displaystyle {\frac {dh'}{dt}}=-{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a'a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cd45396e85b2edc3deb9546d02f6d6d7cbde9b)
c’est l’expression de la vitesse du mouvement rétrograde du nœud de l’orbite de
sur le plan de l’orbite de
tandis que leur inclinaison mutuelle deméure constante ; d’où l’on voit que l’action de la planète
sur la planète
pour faire varier la position de son orbite, se réduit à donner au nœud de son orbite, sur celle de la planète perturbatrice
un mouvement rétrograde instantané exprimé par
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4905f64929861865b2901c828f12e3432568dd)
sans affecter l’inclinaison mutuelle des deux orbites.
De la même manière, l’action de la planète
sur la planète
pour changer la position de son orbite, fait rétrograder le nœud de cette planète sur le plan de l’orbite de
d’un mouvement instantané
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca00ee70f22bff0a30b4754c14fe2fa45749433f)
et ainsi des autres planètes.
En combinant ainsi deux à deux toutes les planètes, on pourra trouver les variations de leurs nœuds et de leurs inclinaisons réciproques, puisque, par la nature du Calcul différentiel, la somme des valeurs particulières d’une différentielle en forme la valeur complète. C’est ainsi qu’on avait trouvé les changements annuels des nœuds et des inclinaisons des planètes, produits par leurs attractions mutuelles, avant qu’on eût une théorie directe et générale des variations séculaires.
106. Pour donner un exemple de cette méthode, considérons trois planètes
dont les orbites s’entrecoupent,
étant les inclinaisons de la seconde et de la troisième sur la première, et
étant l’inclinaison de la seconde sur la troisième ; il est facile de voir qu’elles formeront sur la sphère un triangle sphérique dont les trois angles, en supposant les inclinaisons de
et de
du même côté, seront
et
que nous désignerons, pour plus de simplicité, par
La planète
fera rétrograder sur son orbite le nœud de la planète
de la quantité élémentaire
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a'a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6560a6bcc74698cdcd2e4458bf5bee59ee67cca)
et la même planète fera rétrograder en même temps sur son orbite le nœud de l’orbite de la planète
de la quantité élémentaire
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {m} 'a'a'''[a'a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef678bdc0d6647b3cc5f9b2f96661e060d3268ae)
tandis que les inclinaisons
et
demeureront constantes.
Ainsi, dans le triangle formé par l’intersection des trois orbites, la portion de l’orbite de
interceptée entre les orbites de
et de
c’est-à-dire le côté adjacent aux angles
et
, croîtra de la quantité
faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {m} '}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}-{\frac {a'a'''[a'a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e264cd920bde04828bd200d662bd9d1f73db1b)
les angles
et
demeurent constantes.
Or, dans un triangle sphérique dont les angles sont
et dont le côté adjacent à
et
et par conséquent opposé à
est
on a
![{\displaystyle \cos \gamma =\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f38e623a22705733383752111b235cd98c6c388)
Donc, faisant varier
de
on aura
![{\displaystyle d\cos \gamma =-\sin \alpha \sin \beta \sin c\mathrm {A} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf35f395905141e2094ad2cb63f82d66ffdc97c)
Mais la même équation donne
![{\displaystyle \cos c={\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94cf53fb7f9b9c1be96f2ad5e13efcefc47e94e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin c&={\frac {\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta -(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )^{2}}}{\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7320a04098e9706c359a71d5be4acbf5b92ffc3f)
Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle u={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}=\sin \alpha \sin \beta \sin c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4a299d04818d9bd9efa500bd2a6a14b6337733)
on aura
![{\displaystyle d\cos \gamma =-\mathrm {A} udt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d5b9dfa83653fa4f030acec19f775755ed30c)
On trouvera de la même manière, en considérant la rétrogradation des orbites de
et de
sur celle de
laquelle augmente le côté adjacent aux angles
et par conséquent opposé à l’angle
de la quantité élémentaire
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {m} ''}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc83cb5fbab7ae73b8d1dff825c70ec7125dcc2a)
tandis que les angles
et
demeurent constants,
![{\displaystyle d\cos \beta =-\mathrm {B} udt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a464544aa95a6c059f783c644de15051572a90)
parce que la quantité
est une fonction symétrique des trois cosinus.
Enfin la rétrogradation des orbites de
et
sur celle de
donnera aussi
![{\displaystyle d\cos \alpha =-\mathrm {C} udt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6cf6a9cfa619437c466ffe820a4ab9b32f9c35)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\mathrm {m} '''}{4}}\left({\frac {a'a'''[a'a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab078144de343589284a754bc159263e4f66fa4)
Dans ces équations, les trois coefficients
sont constants ; ainsi il n’y a de variable que la quantité
qui est fonction des trois cosinus de
c’est-à-dire des inclinaisons respectives des orbites
ainsi on pourra déterminer leurs valeurs en fonction de
Si l’on ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la première par
la seconde par
la troisième par
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}d\cos \gamma &-\mathrm {m'm} '''a'a'''[a',a''']_{1}d\cos \beta \\&+\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}d\cos \alpha \\=-\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}\mathrm {A} udt\ \ &+\mathrm {m'm} '''\,a'a'''[a',a''']_{1}\mathrm {B} udt\\&-\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\mathrm {C} udt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c654e29ad19b268a7a3927f9b4403be6469751)
Or, en substituant les valeurs de
on voit que le second membre se réduit à zéro, par la destruction mutuelle de tous les termes, et, le premier membre étant intégrable, on a, en remettant pour
leurs valeurs ![{\displaystyle \mathrm {I} ''_{_{'}},\,180^{\circ }-\mathrm {I} '''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6639337923c191d1222fa547dc58aee232eab605)
![{\displaystyle {\begin{aligned}m''m'''a''a'''[a'',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{''}}&+m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\\&+m'm''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334f3810629bc2c21cce5ec2f7ef3e80883333b2)
équation qui s’accorde, dans le cas de trois orbites, avec l’intégrales
trouvée plus haut (art. 104).
Si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle \cos \alpha =x,\quad \cos \beta =y,\quad \cos \gamma =z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11738c49c832bbc0e63115321908998c92abb59)
on a les trois équations
![{\displaystyle dx=-\mathrm {C} udt,\quad dy=-\mathrm {B} udt,\quad dz=-\mathrm {A} udt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfe6e392516c98b043642fcc15576f66cbc1c04)
![{\displaystyle u={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}-2xyz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bbeafd89643a0e614799294a2c7382a4f1a710)
La première, combinée avec la seconde et avec la troisième, donne, par l’élimination de ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle dy=\mathrm {\frac {B}{C}} dx,\quad dz=\mathrm {\frac {A}{C}} dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615e954a9b7057189b78b0e00a580434c8aa7254)
et de là
![{\displaystyle y={\frac {\mathrm {B} x+a}{\mathrm {C} }},\qquad z={\frac {\mathrm {A} x+b}{\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000a8070cc5d966336a9553cbd068fde958b2b5b)
Substituant ces valeurs dans l’expression de
la variable
montera au troisième degré sous le radical, et l’équation
donnera
![{\displaystyle dt=-{\frac {dx}{\mathrm {C} u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5ef8862f44a9d3332e8abefcdbdd730bee6891)
équation où les variables sont séparées, mais dont le second membre ne sera intégrable que par la rectification des sections coniques.
Mais, comme les inclinaisons mutuelles des orbites doivent être supposées très petites, si l’on fait
![{\displaystyle x=1-\xi ,\qquad y=-1+\eta ,\qquad z=1-\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bce12f9fe154cc5618945e712b7340524655974)
ce qui donne
![{\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{''2},\qquad \eta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{'''2},\qquad \zeta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{''}}^{'''2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba069efa62b1fea9602ae109ccc7f1d9ff265240)
les quantités
devront être très petites, et l’on pourra négliger, dans l’expression de
leurs troisièmes dimensions vis-à-vis des secondes. On aura ainsi
![{\displaystyle u^{2}=2(\zeta \eta +\xi \zeta +\eta \xi )-\xi ^{2}-\eta ^{2}-\zeta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445c20cc2980827ebee38ba464c62f177128c049)
et
![{\displaystyle d\xi =\mathrm {C} udt,\qquad d\eta =-\mathrm {B} udt,\qquad d\zeta =\mathrm {A} udt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca13a0dc69bf0b247267b4fc72649c8f7e4e1e0a)
Si l’on différentie cette valeur de
et qu’après la substitution des valeurs de
on divise l’équation par
qu’ensuite on la redifférentie et qu’on y fasse encore les mêmes substitutions, on aura,
étant constant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {\left[2(AC-AB-BC)-A^{2}-B^{2}-C^{2}\right]} u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2731e98494b56676d5cffe8aa1b0bdb2a0dce57a)
équation intégrable par des exponentielles ou des sinus, suivant que le coefficient de
sera positif ou négatif ; mais, comme
![{\displaystyle u=\sin \alpha \sin \beta \sin c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44c277c3f2a4dbf08af0cba6aee9831f87c289b)
il est évident que la valeur de
en
ne peut pas contenir d’exponentielles désignant donc par
le coefficient de
dans l’équation
précédente, on aura
![{\displaystyle u=\mathrm {K} \cos(\mu t+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806c41dd658332f05bc59614125d358786ba0bbb)
et
étant deux constantes arbitraires qu’il faudra déterminer par l’état initial ; et, comme
et
sont, par hypothèse, des quantités très petites,
aura aussi une valeur très petite.
De là on aura, par l’intégration, les valeurs de
qui ne contiendront
que dans
et qui, étant une fois très petites, le seront toujours nécessairement, de sorte que la solution sera toujours bonne.
On connaîtra donc ainsi les inclinaisons réciproques des orbites pour un temps quelconque, mais on ne connaîtra pas encore par là leurs positions absolues dans l’espace, lesquelles dépendent des angles
c’est pourquoi il est plus simple de chercher directement ces angles par l’intégration des formules de l’article 104.
107. Mais, au lieu d’employer ces équations sous la forme où elles se présentent, il sera plus avantageux de les transformer par les substitutions de l’article 78, en faisant
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}p'=\sin i'\sin h',&p''=\sin i''\sin h'',&\ldots ,\\q'=\sin i'\cos h',&q''=\sin i''\cos h'',&\ldots \,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6e36988dbecff424abe1315449c3feb1f4ea2)
on aura ainsi, en accentuant les lettres
pour les rapporter successivement aux planètes
et mettant la fonction
\frac{\Psi}{\mathrm m}
à la place de
(art. 104),
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q'}},\qquad &{\frac {\partial q'}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p'}},\\{\frac {dp''}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q''}},\qquad &{\frac {\partial q''}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da7df6b45b2c6f3d6bb50643f0f9b92a7b0b387)
La fonction
sera, comme dans l’article cité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi =&-{\frac {1}{4}}m'm''\,a'a''\,[a',a''\ ]_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\right)\\&-{\frac {1}{4}}m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d7c492eaa222c0e375b27ce23f41c18509d238)
mais les valeurs
![{\displaystyle \cos \mathrm {I} ''_{_{'}},\,\cos \mathrm {I} '''_{_{'}},\,\cos \mathrm {I} '''_{_{''}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2cc07058ff06a23f14e75cc7a12b54e4705699)
deviendront, par les mêmes substitutions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {1-p'^{2}\ -q'^{2}\ }}{\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}+p'p''\ \ +q'q'',\\\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}=&{\sqrt {1-p'^{2}\ -q'^{2}\ }}{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}+p'p'''\ +q'q''',\\\cos \mathrm {I} '''_{_{''}}=&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}+p''p'''+q''q''',\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe4d9e95cfe7da32dca1a4858091730c702bb9f)
Faisant ces substitutions et exécutant les différentiations relatives à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp'}{dt}}=&-{\frac {\mathrm {m} ''\ a'a''\ [a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(q'\ {\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}-q''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(q'\ {\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-q'''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dq'}{dt}}=&+{\frac {\mathrm {m} ''\ a'a''\ [a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(p'\ {\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}-p''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(p'\ {\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-p'''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dp''}{dt}}=&-{\frac {\mathrm {m} '\ \,a'a''\ [a',a''\ ]_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(q''{\sqrt {1-p'^{2}\ \ -q'^{2}\ \ }}-q'{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\ \left(q''{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-q'''{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dq''}{dt}}=&+{\frac {\mathrm {m} '\ a'a''\ [a'\ ,a''\ ]_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(p''\ {\sqrt {1-p'^{2}\ \ -q'^{2}\ }}-p'\ {\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(p''{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-p'''{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2850736f056c7545ae2531b446ee6e557a99f528)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
108. Ces équations ont lieu, quelles que soient les valeurs des variables
parce que nos formules ne supposent point que les inclinaisons
des orbites sur le plan fixe soient très petites, comme on l’a vu jusqu’ici dans toutes les formules que l’on a données pour le mouvement des nœuds et les variations des inclinaisons, mais elles supposent seulement la petitesse des inclinaisons mutuelles des orbites.
Quant à leur intégration, elle paraît très difficile en général, et il n’y a peut-être que le cas de deux orbites où elle réussisse.
Faisons dans ce cas, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}=&\mathrm {M} ,\qquad &{\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}=&\mathrm {N} ,\\{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}=&x,&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}=&y\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2639d66eb8095a6647da0d948fea2d8a9e865d)
on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}\ =&-\mathrm {M} (q'y-q''x),\qquad &{\frac {dq'}{dt}}\ =&\mathrm {M} (p'y-p''x),\\{\frac {dp''}{dt}}=&-\mathrm {N} (q''x-q'y),&{\frac {dq''}{dt}}=&\mathrm {N} (p''x-p'y).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd56b02e90dc6fef965b7a1d3f6196b4fdf604e)
Elles donnent d’abord
![{\displaystyle \mathrm {N} {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dp''}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} {\frac {dq'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dq''}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c6204e6e65aa84692fc60fe2a35c7592db9694)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {N} p'+\mathrm {M} p''=b,\quad \mathrm {N} q'+\mathrm {M} q''=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ed50ca8748603800984b2979de30a34c6d24c1)
et
étant des constantes.
Maintenant, si l’on différentie l’équation
et qu’on y substitue les valeurs de
on a, après la division par
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\mathrm {M} (p'q''-q'p'')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b439ce4f84d410e0370fe5b75952f7c55e5c1e63)
on trouve de même
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-\mathrm {N} (q'p''-p'q''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac923e2e11cbc1a427e2583fdaba47d9750debf3)
et, de là,
![{\displaystyle \mathrm {N} {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} x+\mathrm {M} y=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677e32edff79abf123e479b01fb0478b3b74c910)
étant une constante.
Les intégrales que nous venons de trouver donnent
![{\displaystyle \mathrm {M} p''=b-\mathrm {N} p',\quad \mathrm {M} q''=b-\mathrm {N} q',\quad \mathrm {M} y=f-\mathrm {N} x,\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e13893b487f04ccc9468ecdf1cced17273721a1)
ces valeurs étant substituées dans les trois équations
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} (q'y-q''x)=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-\mathrm {M} (p'y-p''x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6302e0a370f340759e53d1c9287e46abbb8042)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} (p'q''-q'p'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6ff09395e9d21cf45345a209b76e1d13ff5d4d)
on obtient les équations suivantes
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dt}}+fq'-cx=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-fp'+bx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f70d6fc8750ea751c719f4ae0bf750c5d82dd4)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+cp'-bq'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1d72e25ecd13a53ad201a7e1b501eaf60c3969)
qui, étant linéaires et à coefficients constants, sont toujours intégrables.
On aura de pareilles équations en changeant
en
mais, lorsqu’on connaîtra les trois premières de ces quantités, on aura les trois dernières par les trois intégrales précédentes.
Les expressions de
en
contiendront trois constantes arbitraires, et, comme les constantes
sont aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitraires, mais qui se réduiront à quatre, pour satisfaire aux équations supposées
![{\displaystyle p'^{2}+q'^{2}+x^{2}=1,\quad p''^{2}+q''^{2}+y^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded50fb55b01aba65d4bc0122a0067eb155d2572)
on aura ainsi les valeurs complètes des quatre variables
qui donnent la position des deux orbites dans l’espace.
Mais notre analyse est fondée sur la supposition que l’inclinaison mutuelle des deux orbites soit très petite ; le cosinus de cette inclinaison est exprimé par la formule (art. 107)
![{\displaystyle xy+p'p''+q'q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0818d1f9af696ca80c66021cb121010369a0955c)
dont la différentielle devient égale à zéro, d’après les équations différentielles ci-dessus ; cette quantité sera donc égale à une constante,
comme nous l’avons déjà trouvé (
art. 105), et il faudra que cette constante soit supposée fort peu différente de
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403)
pour l’exactitude de la solution précédente.
Il serait difficile, peut-être même impossible, de résoudre de la même manière le cas de trois ou d’un plus grand nombre d’orbites mais nous observerons que, comme la position du plan de projection est arbitraire, on peut toujours le prendre de manière que les inclinaisons des orbites sur ce plan soient très petites, puisque leurs inclinaisons mutuelles doivent être très petites ; et si, les inclinaisons étant très petites dans un instant quelconque, elles demeurent toujours très petites, la solution fondée sur cette hypothèse sera légitime.
109. En supposant les inclinaisons
des orbites sur le plan fixe très petites, les variables
seront aussi très petites, et l’on pourra, dans les équations de l’article 107, entre ces variables, mettre simplement
à la place des radicaux
![{\displaystyle {\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}},\quad {\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b4dbb62ebb060c9dd53b414a8385b4b6712b08)
ce qui les réduira à la forme linéaire, dont l’intégration est facile.
On aura ainsi des équations tout à fait semblables à celles que j’avais trouvées, par une autre méthode, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1782, et dont j’ai fait aussi l’application aux six planètes principales, en donnant les expressions finies des variables pour un temps indéfini ; et les Mémoires de 1787, de la même Académie, renferment, de plus, ce qui est relatif à l’orbite d’Herschel. Il faut seulement remarquer que, dans les formules de ces Mémoires, les tangentes des inclinaisons tiennent lieu des sinus qui se trouvent dans les valeurs des variables
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p'=&\sin i'\sin h',\qquad &p''=&\sin i''\sin h'',\qquad &\ldots ,\\q'=&\sin i'\sin h',&q''=&\sin i''\sin h'',&\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d63b9b3010da79f5c1f9edecd8991f2eba68716)
mais, à cause de la petitesse des inclinaisons, cette différence n’est d’aucune considération.
Lorsque l’on connaît les valeurs de ces variables, on peut déterminer tout de suite les inclinaisons mutuelles des orbites par les formules de l’article 107 ; mais ces formules se simplifient dans le cas où les quantités
sont très petites. Dans ce cas, on aura, en négligeant les troisièmes dimensions de ces quantités,
![{\displaystyle \cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=1-{\frac {1}{2}}(p'^{2}+q'^{2}+p''^{2}+q''^{2})+pp'+qq'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d21e0d0e9841dc8d77e37c05066661282816f54)
et de là, à cause de ![{\displaystyle 1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ea862d1f832f3cb843e57b9d3c8b28a1de2d6c)
![{\displaystyle \sin {\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(p'-p''\right)^{2}+(q'-q'')^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab45d09e508078d087776a5d361df7f0f8c3398)
et ainsi des autres.
110. Il reste encore, pour compléter la théorie des variations séculaires, à considérer la variation du mouvement moyen que nous avons désigné par
dans l’article 77, et qui, en négligeant le carré de l’excentricité
qui est supposée fort petite vis-à-vis de l’unité, et accentuant les lettres pour les rapporter respectivement aux planètes
devient
![{\displaystyle d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}{\frac {\partial (\Omega ')}{\partial a'}}dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {\partial (\Omega ')}{\partial e'}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2539de8b4d82b67b03a5db95bd0a3c897e887c)
pour la planète
on aura de même, pour la planète
la variation
en ajoutant un trait aux lettres qui n’en ont qu’un, et ainsi de suite.
On substituera donc dans cette formule, au lieu de la fonction
la somme
suivant l’article 100, et comme la fonction
ne contient point les excentricités
on aura simplement
![{\displaystyle d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}\left[{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial a'}}+{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial a'}}\right]dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}}dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f94337aed1cd9350641aa85175cd236b847238f)
et, pour avoir une formule uniforme pour toutes les planètes
il n’y aura qu’à mettre, suivant les remarques des articles 101
et 104,
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}},\ {\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153c4de07c98999ab1f46797dec1cb2956bb8218)
à la place de
![{\displaystyle {\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial a'}},{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdfafb07b495c74415a1af6f73afacd956c1d0a)
et
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56eef3073255d76bd5631745a8ad16438693c5a)
à la place de
![{\displaystyle {\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial a'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ea4e7c4de0e5cdc4bda9a565b13fd65480e20e)
ce qui donnera
![{\displaystyle d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{g'}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38c3f0f427a939517b958f64830fdf0369112b0)
les fonctions
et
étant données dans les mêmes articles et étant les mêmes pour toutes les planètes.
Mais si, à la place de ces fonctions exprimées en
on veut employer les expressions des articles 103, 107, en
il faudra, suivant les formules de l’article 73, changer
en
On aura ainsi
![{\displaystyle d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}\left({\frac {m'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}}+{\frac {n'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial n'}}\right)dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65436b5ef828e460dab88bece331a2229d3f5db)
et, pour avoir
il n’y aura qu’à changer
en ![{\displaystyle \mathrm {g} '',\,a'',\,\mathrm {m} '',\,m'',\,n'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3646424e8c9646f2b9c10ab005b359719774089c)
Dans ces formules, les différentielles relatives à
n’affectent que les coefficients
des fonctions
et
à la place desquels il suffira de substituer
![{\displaystyle a'(a',a'')+a'a''{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\quad a'[a',a'']_{1}+a'a''{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebdfbba666ce16410b59a00d171ec9b047c1314)
pour avoir les valeurs de
et, par les formules de l’article 98, on trouvera les valeurs des différences partielles ![{\displaystyle {\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\,{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7faad429289b8e705ab29547adc7f1fb20b65607)
Il faudra ensuite y substituer les valeurs de
en
trouvées par l’intégration des équations différentielles des articles 103 et 109, et que nous avons données, pour toutes les planètes, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin ; et, comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus, les variations
seront intégrables : les termes constants donneront, dans
des termes proportionnels à
qui se confondront avec les mouvements moyens ; et les termes en sinus et cosinus donneront de pareils termes, qui exprimeront les variations séculaires de ces mouvements.
J’avais trouvé, par une autre méthode, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin, des formules pour déterminer les variations séculaires des moyens mouvements des planètes, et elles m’avaient donné, pour Jupiter et Saturne, des résultats presque insensibles ; mais les formules précédentes sont peut-être plus rigoureuses, et il sera bon d’en faire l’application aux planètes ; c’est un objet dont je pourrai m’occuper ailleurs ici, je n’ai eu en vue que de montrer l’usage de la nouvelle théorie des variations des constantes arbitraires dans la détermination des variations séculaires des éléments des orbites des planètes.
§ III. — Sur les équations séculaires des éléments des planètes,
produites par la résistance d’un milieu très rare.
§ 111. Pour ne rien laisser à désirer sur les variations séculaires des planètes, nous devons encore considérer l’effet d’un milieu peu résistant dans lequel il est possible qu’elles se meuvent, et où elles devraient nécessairement se mouvoir, si la lumière était due aux oscillations d’un fluide.
Nous avons déjà vu, dans l’article 79, que, pour avoir égard à la résistance, il suffit d’ajouter à la valeur de
les termes
![{\displaystyle -{\frac {\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\left(dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi +r^{2}d\Phi \delta \chi \right)}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e558f157e1835389d5342450005fc22af8be1ebc)
étant la densité du milieu, qui peut être une fonction de
et qui doit être supposée très petite, et d’y substituer pour
et
leurs valeurs en
données par le mouvement elliptique de la planète, en se souvenant que la caractéristique
se rapporte au temps
et la caractéristique
aux éléments de la planète.
Comme nous ne cherchons ici que les variations séculaires, il faudra, ainsi que nous l’avons pratiqué plus haut, rejeter tous les termes périodiques et ne retenir que les termes constants.
112. En désignant, comme dans l’article 21, l’anomalie moyenne de la planète par
![{\displaystyle u={\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}(t-c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35a2342c64310857c11d1ee66fc683982eb48f9)
on a vu que
et
peuvent s’exprimer par des séries dont la première ne contient que des cosinus et la seconde des sinus d’angles multiples de
donc
ne contiendra que des sinus sans terme constant, et
des cosinus de ces mêmes angles ; par conséquent, la quantité
ne contiendra que des cosinus, et il en sera de même de la série qui exprimera la valeur de
Ainsi, en faisant
la quantité
sera exprimée par une série de cosinus de multiples de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Maintenant, pour avoir
et
il faudra faire varier dans les séries de
et de
les coefficients des cosinus et des sinus qui sont donnés en
et
et, de plus, l’angle
à raison des constantes
et
qu’il renferme. Désignons par
et
les parties de
et de
qui contiennent les variations des coefficients ; on aura
![{\displaystyle \delta r=\delta (r)+{\frac {dr}{du}}\delta u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef1c1b92ea5a10f18ba7cff999ea698a271a7b)
et, de même,
![{\displaystyle \delta \Phi =\delta (\Phi )+{\frac {d\Phi }{du}}\delta u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1223bac4121bf7d18950e3ff6d58fdbe64b00d93)
donc
![{\displaystyle dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\delta r\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi )+\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5313f6be8befd962477e19cf5b606e97e49870)
Or il est clair que
ne contiendra que des cosinus ; et, comme
ne contient que des sinus,
ne contiendra aussi que des sinus sans terme constant. De même,
ne contiendra que des sinus, et, comme
ne contient que des cosinus,
ne contiendra aussi que des sinus. D’ailleurs,
ne contient que des cosinus ; par conséquent,
ne contiendra que des sinus. Donc la quantité
![{\displaystyle dr\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f15cbc6de4c1795014e94a724875eb992c42ef)
ne contenant que des sinus d’angles multiples de
![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
sans aucun terme constant, devrà être négligée.
113. Ainsi, pour les équations séculaires, on aura simplement
![{\displaystyle dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc50d9381429c29af8ff7ec16d448ce03cfe782b)
Or
donc, faisant ces substitutions, on aura, pour les termes à ajouter à
à cause de la résistance du milieu,
![{\displaystyle -{\frac {\Gamma \left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{dt^{3}}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}\delta u-{\frac {\Gamma \left({\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\right)r^{2}d\Phi }{dt^{2}}}\delta \chi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9679693467e9f1e7586d88714a6ca7c174798714)
où il faudra substituer pour
et
leurs valeurs en
ou
et ne retenir dans les résultats que les termes indépendants des sinus et cosinus de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Par les propriétés du mouvement elliptique, on a tout de suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}d\Phi =&\mathrm {D} dt={\sqrt {\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)}}dt,\\dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}=&\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\mathrm {g} dt^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c080b55e0282bfaaa8782523b2335ccc3b8d331)
ainsi les termes dont il s’agit se réduiront à
![{\displaystyle -\mathrm {g} \Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {a^{3}}}\delta u-\mathrm {g} \Gamma {\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\delta \chi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f13062a44a8dc28c2ef2cbe6cebf7388b6f1e3)
où ![{\displaystyle \delta u=-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\delta c-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{5}}}}(t-c)\delta a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7e7092dd3bbb25b26d24495343d46e882b2846)
114. Tels sont les termes qu’il faudra substituer à la place de
dans les formules générales des variations des éléments des planètes (art. 74), et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}da=&-2a^{2}\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\dc=&3a\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\de=&{\frac {1-e^{2}}{e}}\Gamma \left[{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}-a\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a642fb50fc3b5304f72c83cd28bc3336d686b5b)
et les variations des autres éléments,
![{\displaystyle \chi ,\,h,\,i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656ffb753652d2ebd5cc93b113eefe00fc9614e7)
seront nulles ; d’où l’on peut d’abord conclure que le grand axe ou la ligne des apsides, ainsi que le nœud et l’inclinaison, ne seront sujets à aucune variation séculaire par conséquent, la résistance ne déplacera point l’orbite de la planète, mais en changera seulement à la longue le grand axe et l’excentricité, et produira en même temps une équation séculaire dans l’anomalie moyenne et dépendante de la variation de
Si l’on combine ensemble les deux premières équations, on a
![{\displaystyle dc=-{\frac {3(t-c)da}{2a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5407f006d8e9693f7b6228b37baec80a1189722)
donc
![{\displaystyle dt-dc-{\frac {3(t-c)da}{2a}}=dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df65e235a8937450a267fb45a228de2cf1b39d3)
divisant par
et intégrant, on trouve
![{\displaystyle {\frac {t-c}{\sqrt {a^{3}}}}=\int {\frac {dt}{\sqrt {a^{3}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ee962f0ff0a7186f61d5739a49574548db6721)
et, comme
on aura
![{\displaystyle u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\sqrt {a^{3}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fc63929c4f06ebf37761f7ab2b4c05c55ae899)
en supposant que l’intégrale
commence au point où
ainsi tout dépend de la variation de la distance moyenne ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Si, dans la première approximation, on néglige l’excentricité
supposée très petite, on a
ce qui donne
![{\displaystyle \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8d017361ceab219cc8554bd3a2a789ab4c1194)
et, comme la densité du milieu
ne peut être qu’une fonction de
elle scra une fonction de
et la première équation donnera
![{\displaystyle dt=-{\frac {da}{2\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e699511eb1db2792196ef19f7d47b0aad659391)
Supposons
![{\displaystyle \Gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
constant ; on aura, en intégrant,
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt {\mathrm {A} }}-{\sqrt {a}}}{\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e02afba121fe2d38422dc2ddadf5d3d1270b03a)
étant la valeur de
lorsque
donc
![{\displaystyle a=\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9312f0f943e6d93bdc1fe4a0a80a99fc12492cf)
et la valeur de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2\Gamma }}\left[{\frac {1}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}\right]\\&={\frac {t\mathrm {\sqrt {\cfrac {g}{A^{3}}}} -\Gamma t^{2}\mathrm {\cfrac {g}{2A^{2}}} }{\left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\cfrac {g}{A}} }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926c0f0758252526819a21431182bcc2ec73ab5f)
où le coefficient
doit être supposé très petit.
115. Pour avoir la variation séculaire de l’excentricité
il faudra substituer, dans les expressions irrationnelle
et
de la valeur de
l’expression de
en
et ne retenir dans le développement que les termes constants. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de
on a, par l’article 21,
![{\displaystyle r=a\left(1-e\cos u+{\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede5f679706f3c4e337abbba77d737bc28b0c27)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}=&{\frac {1}{a}}\left(1+e\cos u+e^{2}\cos 2u\right),\\{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1+e\cos u-{\frac {e^{2}}{4}}+{\frac {3e^{2}}{4}}\cos 2u\right),\\\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\left(1+3e\cos u+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{4}}e^{2}\cos 2u\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6803935a47150958d5bf3e3c918546d9dfa617cf)
par conséquent, en rejetant les
et
[26], on aura
![{\displaystyle de=-\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}\left(1-e^{2}\right)e{\frac {dt}{\sqrt {a}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6919dee24bfd83fcbecd8e328b54271e0936725)
Si l’on substitue pour
![{\displaystyle {\sqrt {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afccc332c876539296df1a980127d86173e59ef0)
sa valeur
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc867699cb921e94d05c60e601245a029ac5a37b)
et qu’on néglige d’abord les
![{\displaystyle e^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f7847c635d89a53d8245af518c3e2c44d8ceb9)
on aura l’équation
![{\displaystyle de\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)+\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}edt=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17b4a37696a7e23ccceeec6cda6901b756aed69)
dont l’intégrale donne
![{\displaystyle e=\mathrm {E} \left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\frac {g}{A}} }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30dd809aae90799f3ce262f76068aaee37fa16f)
étant la valeur de
lorsque ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Mais, comme l’existence d’un milieu résistant et, à plus forte raison, la loi de la densité de ce milieu ne sont qu’hypothétiques, les résultats précédents ne doivent être regardés que comme une application de nos formules générales des variations séculaires.
§ IV. — Du mouvement autour du centre commun de gravité
de plusieurs corps qui s’attirent mutuellement.
116. Nous avons démontré dans l’article 6 de la troisième Section que, dans tout système libre, les équations du mouvement des corps du système sont les mêmes, soit qu’on les rapporte au centre de gravité du système, ou à un point quelconque fixe hors du système. Ainsi, dans les formules de l’article 86, on pourra établir dans le centre de gravité de tous les corps
l’origine de leurs coordonnées
et, par les propriétés du centre de gravité, on aura les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {m} x+\mathrm {m} 'x'+\mathrm {m} ''x''+\mathrm {m} '''x'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} y\,+\mathrm {m} 'y'+\mathrm {m} ''y''\,+\mathrm {m} '''y'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} z\ +\mathrm {m} 'z'+\mathrm {m} ''z''\ +\mathrm {m} '''z'''+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86272c0f2dccbba8d6da976cdc73c26f97f0a84)
lesquelles donnent tout de suite les valeurs des coordonnées de
par celles des autres corps ![{\displaystyle \mathrm {m',\,m''} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014ec9bcf5f503072e40af7706376e7554840858)
Considérons en particulier le mouvement du corps
autour du centre commun de gravité. Comme ses coordonnées
sont indépendantes, on pourra, dans les formules de l’article cité, réduire les quantités
et
aux termes multipliés par
qui sont les seuls qui contiennent les variables
et diviser ensuite ces quantités par
ainsi, dans l’équation générale, on pourra substituer
et
à la place de
et
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154ecd3edfc0d73ab380a0fe4bfc226a3299d7f2)
et
![{\displaystyle \mathrm {V} '=\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320ce47d9590b504128df8eccf9f2f5bb06308d9)
et l’on aura, pour chacune des trois coordonnées de l’orbite de
autour du centre commun de gravité, une équation de la forme
![{\displaystyle d{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d7210752cb071a85315d7fcc4e6f85ec0d355e)
étant une quelconque de ces coordonnées.
117. S’il n’y avait que deux corps
et
la valeur de
se réduirait au seul terme
et l’on aurait
étant supposé fonction de
Pour avoir la valeur de
relative à
il faut différentier la variable
![{\displaystyle \rho '={\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa38805b618d498ae87e97a52c4143a067c83669)
en ne faisant varier que
et ensuite y substituer pour
leurs valeurs
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {m} 'x'}{\mathrm {m} }},\quad y=-{\frac {\mathrm {m} 'y'}{\mathrm {m} }},\quad z=-{\frac {\mathrm {m} 'z'}{\mathrm {m} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9915885d800d68536075c8105c02d38f3b034860)
On aura ainsi
![{\displaystyle \delta \rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\frac {x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z'}{\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a6d436f8555d5d5ac723711097edb43f313b4b)
Or, par les mêmes substitutions, on a
![{\displaystyle \rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf00c252831bdb61be38dd1f0c3683a4b52de7b)
Donc, faisant
![{\displaystyle {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}=r',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa6b3cd22cbbd0ea6d2a29abe9a202185cbe24f)
rayon vecteur de l’orbite de
on aura
![{\displaystyle \rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} r',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee90a63723c253563ea7887e6063528dcbf137ae)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \delta \rho '={\frac {x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z'}{r'}}=\delta r'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c0b55347f2cfb5cc3bddf6078efc31830ac25e)
donc aussi
de sorte que la valeur de
deviendra
étant maintenant une fonction de
semblable à la fonction supposée de ![{\displaystyle \rho '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa47785f4d4a551d64efafb7e19621d4d9a220f)
Dans le cas de la nature, on a
donc la force
dirigée vers le centre commun de gravité, sera représentée par
ce qui est connu.
118. Considérons maintenant le cas où le système est composé de plus de deux corps, et supposons, pour simplifier la question, que la masse
soit beaucoup plus grande que chacune des autres masses
ce qui est le cas des planètes à l’égard du Soleil ; les quantités
deviendronttrès petites vis-à-vis des quantités
dans le rapport des masses
à la masse
en vertu des équations données dans l’article précédent ; et l’on pourra, dans le développement, s’en tenir aux premières puissances de
du moins tant qu’on ne voudra pas avoir égard aux carrés des masses.
Comme
est supposé fonction de
sera aussi une fonction de
que nous dénoterons par
et la quantité
sera exprimée par
suivant la notation des fonctions dérivées. Or on a
![{\displaystyle \rho '={\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f98afc26ca8b25c347f029c7185c92027c91a8)
et
![{\displaystyle r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9128b190d2218f78b3c15ea974824fa14499cd10)
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (\rho ')=\operatorname {F} (r')-x{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}-y{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}-z{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a19b5c03c1471c133761206b8a8330d7f80da1)
et différentiant par
![{\displaystyle \delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019f26293a6ac6d9e1521a005825cc3716cf12ed)
les quantités
![{\displaystyle x,\,y,\,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5818bf0fb693700a011014085ecc82f7b3be37f)
demeurant constantes,
![{\displaystyle \delta \operatorname {F} (\rho ')=\delta \operatorname {F} (r')-x\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}-y\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}-z\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb641deb94c2377554c5a0258239066c9e866fe)
où il faudra mettre pour
leurs valeurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&-{\frac {\mathrm {m} 'x'+\mathrm {m} ''x''+\mathrm {m} '''x'''+\ldots }{\mathrm {m} }},\\y=&-{\frac {\mathrm {m} 'y'+\mathrm {m} ''y''+\mathrm {m} '''y'''+\ldots }{\mathrm {m} }},\\z=&-{\frac {\mathrm {m} 'z'+\mathrm {m} ''z''+\mathrm {m} '''z'''+\ldots }{\mathrm {m} }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f4fd6e48a927342ab5729c0c689e61e941e41c)
119. Supposons que la force d’attraction
soit comme la puissance
de la distance
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (\rho ')={\frac {\rho '^{\mu +1}}{\mu +1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2f69652aa5f90dea2a4b2e792024957e7a8b01)
et la fonction
sera une fonction homogène de
du degré
de sorte qu’on aura, par la propriété de ces fonctions,
![{\displaystyle x'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}=(\mu +1)\operatorname {F} (r')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3158bb4815be9a0309ab7316844cc8c920e8e2b8)
donc, différentiant par
et observant que
![{\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}\delta x'+{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}\delta y'+{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}\delta z'=\delta \operatorname {F} (r'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be387337f08aa37a00ac9f86c0233f1d58fc0ac6)
on aura
![{\displaystyle x'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}=\mu \delta \operatorname {F} (r').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c453b12322651562db64ebe4d7d23e143b20d9)
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mathrm {R} ''\,)=x''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},\\&(\mathrm {R} ''')=x'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9c627769a27e4851aa48b1598d6ea6c85f0ec0)
on aura, après les substitutions,
![{\displaystyle \delta \operatorname {F} (\rho ')=\mathrm {\frac {m+\mu m'}{m}} \delta \operatorname {F} (r')+\mathrm {{\frac {m''}{m}}\delta (R'')+{\frac {m'''}{m}}\delta (R''')} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f2b697faa473a2af1a6adb2b2dda27feadf0e2)
et telle sera la valeur de
dans la différence
(art. 116) ; de sorte qu’on aura, pour le premier terme
de ![{\displaystyle \mathrm {V} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5485bb7dcdd8ba85acf1dc4b8b1dd5d378fac4b4)
![{\displaystyle \mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '=(\mathrm {m+\mu m'} )\operatorname {F} (r')+\mathrm {m''(R'')++m'''(R''')} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b718f8857a31c9fae89218548f6f1e02ee5de46f)
où
![{\displaystyle \operatorname {F} (r')={\frac {r'^{\mu +1}}{\mu +1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1900443ce030844c97032e32f7ad32e9e1a5014)
Dans le système du monde, l’attraction des planètes est en raison inverse des carrés des distances ; on a ainsi
![{\displaystyle \mu =-2,\quad \operatorname {F} (r')=-{\frac {1}{r'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0002b3dbaebdcfa23409093ca2e75049649074f9)
et l’on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mathrm {R} '')\,={\frac {x'x''\,+y'y''\,+z'z''\,}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}},\\&(\mathrm {R} ''')={\frac {x'x'''+y'y'''+z'z'''}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r'''^{2}+\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bf8d555a87a41f57bcd0f24952234934b0ff0d)
en faisant
![{\displaystyle r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\quad r'''={\sqrt {x'''^{2}+y'''^{2}+z'''^{2}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd6bd0bc35b4513068f98e0d87f570001ae6f85)
Donc, si l’on fait ces substitutions dans la valeur de
(art. 116), et qu’on y suppose aussi
on aura, dans le cas de la nature, pour le mouvement du corps
autour du centre commun de gravité,
![{\displaystyle \mathrm {V} '=-{\frac {\mathrm {m-2m'} }{r'}}-\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}+r''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}}\right)-\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}-r'''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}}\right)-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbc7ce5e6afe9dfddb2eb18bb12e68839666e24)
Le premier terme de
s’il était seul, donnerait, comme on l’a vu dans le Chapitre I, une orbite elliptique dans laquelle
et comme les autres termes sont fort petits par rapport à celui-ci, étant multipliés par les masses
supposées très petites vis-à-vis de
on peut les regarder comme dus à des forces perturbatrices dont l’effet est de faire varier les éléments de l’orbite elliptique. Ainsi en faisant, comme dans l’article 90,
![{\displaystyle \Omega '=\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}+r''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}}\right)+\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}-r'''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d486e05e7f94233a7b21e8b0d11a51a9a14e15c)
on pourra déterminer, par les formules données dans l’article 74, les variations de ces éléments.
120. Si l’on compare cette valeur de
qu’on vient de trouver pour le mouvement du corps
autour du centre de gravité du système avec celle de la quantité
pour le mouvement du même corps autour du corps
on voit qu’elles sont semblables ; les rayons vecteurs des orbites étant représentés dans celle-ci par
et dans la précédente par
et les quantités
étant les mêmes dans l’une et dans l’autre, puisqu’elles représentent les distances rectilignes du corps
aux autres corps
il n’y a de différence qu’en ce qu’en changeant
en
il faut échanger entre elles les quantités
ainsi que les quantités
et ainsi des autres. Or, si l’on ne cherche que les variations séculaires des éléments, comme nous l’avons fait pour l’orbite de
autour de
il est facile de voir qu’on aura la même valeur de
pour les deux orbites et, par conséquent, les mêmes formules pour ces variations, ce qui est assez remarquable.
Au reste, dans la valeur de
trouvée ci-dessus, on pourrait effacer les termes
parce qu’étant de la même forme que le premier terme
de la quantité
ils peuvent se joindre à ce terme, lequel deviendrait ainsi
![{\displaystyle -{\frac {1}{r'}}\mathrm {\left(m-2m'-{\frac {m''}{2}}-{\frac {m'''}{2}}-\ldots \right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4c7f19fed4cec197c61cc99e8c9a0add41bf3d)
de sorte que le corps
![{\displaystyle \mathrm {m} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f9c3ccf7c16ee4aa44138226ac1882cf5e0d87)
décrirait autour du centre de gravité une orbite comme s’il y avait dans ce centre une masse égale à
![{\displaystyle \mathrm {m-2m'-{\frac {m''}{2}}-{\frac {m'''}{2}}-\ldots } \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947f54e7088159306c9d5a8e5cfeeb0bb61419a4)
et les forces perturbatrices de cette orbite seraient par conséquent, toutes choses d’ailleurs égales, moindres que celles de l’orbite du même corps
autour du corps le plus gros ![{\displaystyle \mathrm {m} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa494d9040a46844f96d18694e07fd2a2442a02f)