Mécanique analytique/Partie 2/Section 7

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 1-166).

SECONDE PARTIE.

LA DYNAMIQUE (Suite).

SECTION SEPTIÈME.

Sur le mouvement d’un système de corps libres, regardés comme des points, et animés par des forces d’attraction..

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On peut ranger en trois classes tous les systèmes de corps qui agissent les uns sur les autres, et dont on peut déterminer le mouvement par les lois de la Mécanique ; car leur action mutuelle ne peut s’exercer que de trois manières différentes qui nous soient connues ou par des forces d’attraction, lorsque les corps sont isolés, ou par des liens qui les unissent, ou enfin par la collision immédiate. Notre système planétaire appartient à la première classe, et par cette raison les problèmes qui s’y rapportent doivent tenir le premier rang parmi tous les problèmes de la Dynamique. Nous allons en faire l’objet de cette Section.

Quoique dans les systèmes de cette classe, où les corps sont supposés se mouvoir librement, il soit très facile de trouver les équations de leur mouvement, puisqu’il ne s’agit que de réduire toutes les forces à trois directions perpendiculaires entre elles et d’égaler, par le principe des forces accélératrices, la force suivant chacune de ces directions à l’élément de la vitesse relative à la même direction, divisé par l’élément du temps ; néanmoins, l’usage des formules données dans la Section IV est toujours préférable, parce qu’elles fournissent directement, et sans aucune décomposition préalable de forces, les équations différentielles les plus simples, quelles que soient les coordonnées qu’on emploie pour déterminer la position des corps, même lorsque les corps, au lieu d’être tout à fait libres, sont contraints de se mouvoir sur des surfaces ou des lignes données.

Nous commencerons par rappeler les formules dont nous ferons usage.

1. Soient $\mathrm {m,\,m',\,m''} ,\ldots$ les masses des différents corps regardés comme des points ; $x,\,y,\,z$ les coordonnées rectangles du corps $\mathrm {m} \,;$ $x',y',z'$ celles du corps $\mathrm {m} ',$ et ainsi de suite, ces coordonnées étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes de l’espace. On fera

$\mathrm {T} =\mathrm {m} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} '{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .$

Et si, à la place des coordonnées rectangles $x,y,z,$ on veut employer d’autres coordonnées quelconques $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ il n’y aura qu’à substituer les valeurs de $x,\,y,\,z$ en $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ dans la formule $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,;$ de même, on substituera dans $dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}$ les valeurs de $x',\,y',\,z'$ en $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ si l’on veut transformer les coordonnées rectangles $x',\,y',\,z'$ en $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ et ainsi de suite. De cette manière, la quantité $\mathrm {T}$ deviendra une fonction des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\,\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\ldots$ et de leurs différences premières.

Soient maintenant $\mathrm {R,\,Q,\,P} ,\ldots$ les forces avec lesquelles chaque point de la masse $m$ tend vers des centres fixes ou non, dont les distances soient $r,\,q,\,p,\ldots ,$ lesquelles, étant données en $x,\,y,\,z,$ deviendront aussi des fonctions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta \,;$ on fera

$\delta \Pi =\mathrm {R} \delta r+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {P} \delta p+\ldots ,$

soit que $\delta \Pi$ soit une différentielle complète ou non ; et, dénotant par les mêmes lettres marquées d’un trait, de deux traits, les quantités analogues relatives aux corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots ,$ on fera de plus

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {m\delta \Pi +m'\delta \Pi '+m''\delta \Pi ''} +\ldots .$

Si, outre ces forces dirigées vers des centres donnés, il y avait des forces d’attraction mutuelle entre toutes les molécules des corps $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} ',$ en nommant $r$ la distance de ces corps, regardés comme des points, et $\mathrm {R}$ la force d’attraction, dépendante de la distance ou non, il faudrait ajouter à $\delta \mathrm {V}$ le terme $mm'\mathrm {R} \delta r,$ et ainsi pour tous les autres corps qui s’attireraient mutuellement.

Or, les corps étant supposés libres, les coordonnées qui déterminent leur position dans l’espace sont indépendantes, et chacune d’elles, comme, donnera une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0.$

2. Lorsque les quantités $\delta \Pi ,\,\delta \Pi ',\ldots$ sont des différentielles complètes, ce qui a toujours lieu dans le cas où les forces sont proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances aux centres d’attraction, lequel est celui de la nature, il sera plus simple de prendre d’abord les intégrales $\Pi ,\,\Pi ',\ldots ,$ lesquelles seront

${\begin{aligned}&\Pi \ =\int \mathrm {R} \ dr+\int \mathrm {Q} \ dr+\int \mathrm {P} \ dr+\ldots ,\\&\Pi '=\int \mathrm {R} 'dr+\int \mathrm {Q} 'dr+\int \mathrm {P} 'dr+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {V}$ deviendra

$\mathrm {V=m\Pi +m'\Pi '+m''\Pi ''} +\ldots .$

laquelle étant réduite en fonction des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\,\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\ldots ,$ il sera aisé d’en déduire par la différentiation les différences partielles ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \eta }},\ldots .$ Dans ce cas, si les fonctions $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ ne renferment point

le temps fini $t,$ on aura toujours l’intégrale

$\mathrm {T+V=H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire, laquelle renferme le principe des forces vives.

CHAPITRE PREMIER.

Du mouvement d’un corps regardé comme un point et attiré vers un centre fixe par des forces proportionnelles à une fonction de la distance, et en particulier du mouvement des planètes et des comètes autour du soleil.

3. Lorsqu’on ne considère que le mouvement d’un corps isolé, on peut supposer sa masse $m$ égale à l’unité, et l’on aura simplement

$\mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\Pi$

et

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {R} \delta r+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {P} \delta p+\ldots .$

Dans ce cas, quelles que soient les trois coordonnées qui déterminent le lieu du corps dans l’espace, comme elles sont indépendantes, elles donneront trois équations différentielles de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0,$

auxquelles on pourra joindre l’équation du premier ordre

$\mathrm {T+V=H} ,$

qui tiendra lieu de l’une d’entre elles.

Si le mouvement se faisait dans un milieu résistant, en désignant la résistance par $\mathrm {R} ,$ il n’y aurait qu’à ajouter à la valeur de $\delta \mathrm {V}$ les termes (Sect. II, art. 8)

$\mathrm {R} \left({\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z\right)\,;$

mais l’équation $\mathrm {T+V=H}$ n’aurait plus lieu.

4. Supposons que le corps $\mathrm {m}$ soit attiré vers un centre fixe par une force $\mathrm {R}$ fonction de la distance $r$ du corps au centre, on aura simplement

$\mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.$

Prenons la distance $r$ pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l’angle $\psi$ que le rayon vecteur $r$ fait avec le plan des $xy$ et l’angle $\varphi$ que la projection de $r$ sur ce plan fait avec l’axe des $x\,;$ en plaçant l’origine des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z$ dans le centre des rayons $r,$ de manière que l’on ait

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

on trouve facilement

$x=r\cos \psi \cos \varphi ,\quad y=r\cos \psi \sin \varphi ,\quad z=r\sin \psi ,$

et de là

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.$

On aura donc ces trois équations différentielles relatives à $r,\,\psi ,\,\varphi$

${\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\end{aligned}}$

lesquelles deviennent

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R} =0,\\&d{\frac {r^{2}d\psi }{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=0,\\&d{\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=0,\end{aligned}}$

et l’équation

$\mathrm {T+V=H}$

donnera tout de suite cette première intégrale

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

dans laquelle $\mathrm {H}$ est une constante arbitraire.

5. La dernière des trois équations différentielles est intégrale d’elle-même ; son intégrale est

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire ; et la seconde devient intégrable en y substituant pour ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sa valeur ${\frac {\mathrm {C} }{r^{2}\cos ^{2}\psi }},$ tirée de celle-ci, et en la multipliant par $2r^{2}d\psi \,;$ l’intégrale est

${\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2},$

$\mathrm {E}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Je remarque d’abord sur cette intégrale que, si l’on suppose que $\psi$ et ${\frac {d\psi }{dt}}$ soient nuls à la fois dans un instant, ils seront toujours nécessairement nuls ; car, en faisant pour un instant $\psi =0$ et ${\frac {d\psi }{dt}}=0,$ la dernière équation donne $\mathrm {C^{2}=E^{2}} ,$ et elle devient, par la substitution de $\mathrm {C} ^{2}$ au lieu de $\mathrm {E} ^{2},$

${\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi =0,$

laquelle ne peut avoir lieu qu’en faisant

$\psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0.$

La supposition dont il s’agit revient à faire en sorte que le corps se meuve dans un instant dans le plan des $xy,$ ce qui est toujours possible, puisque la position de ce plan est arbitraire ; alors le corps continuera de se mouvoir dans le même plan et décrira nécessairement une orbite plane, c’est-à-dire une ligne à simple courbure. C’est ce

qu’on peut aussi démontrer directement par l’intégration de la même équation. Car, en y substituant pour $dt$ sa valeur tirée de la première intégrale, elle devient

${\frac {\mathrm {C} ^{2}d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2}.$

Soit, lorsque $\psi =0,\ {\frac {d\psi }{d\varphi }}=\operatorname {tang} i\,;$ on aura

$\mathrm {E^{2}=C^{2}+C^{2}} \operatorname {tang} ^{2}i={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}i}},$

et la dernière équation se changera en

${\frac {d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{2}i}}-{\frac {1}{\cos ^{2}\psi }}=\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi ,$

d’où l’on tire

$d\varphi ={\frac {d\psi }{\cos ^{2}\psi {\sqrt {\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi }}}},$

équation séparée dont l’intégrale est

$\varphi -h=\operatorname {arc\,sin} {\frac {\operatorname {tang} \psi }{\operatorname {tang} i}}$

ou bien

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),$

$h$ étant la valeur de $\varphi$ lorsque $\psi =0.$

Cette équation fait voir que $\varphi -h$ et $\psi$ sont les deux côtés d’un triangle sphérique rectangle dans lequel $i$ est l’angle opposé au côté $\psi .$ Ainsi, puisque l’arc $\varphi -h$ est pris sur le plan des $xy,$ et que l’arc $\psi$ est toujours perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que l’arc qui joint ces deux-ci, et qui forme l’hypoténuse du triangle, fera avec la base $\varphi -h$ l’angle constant $i\,;$ par conséquent, cet arc passera par les extrémités de tous les arcs, et tous les rayons $r$ se trouveront dans le plan du même arc, lequel sera ainsi le plan de l’orbite du corps, dont l’inclinaison sur le plan des $xy$ sera l’angle constant $i$ et dont l’intersection avec ce même plan fera avec l’axe des $x$ l’angle $h.$

Si, pour fixer les idées, on prend le plan des $xy$ pour l’écliptique, $\varphi$ sera la longitude sur l’écliptique, $\psi$ la latitude ; $h$ la longitude du nœud de l’orbite et $i$ son inclinaison.

6. Prenons maintenant l’intégrale

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} \,;$

en y substituant pour $d\psi$ sa valeur en $d\varphi$ trouvée ci-dessus, elle devient

${\frac {r^{2}\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}{\cos ^{2}idt^{2}}}+{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

laquelle doit être combinée avec l’autre intégrale

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} .$

Si l’on y substitue la valeur de $d\varphi$ tirée de celle-ci et qu’on fasse

${\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} ,$

on aura l’équation

${\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}.$

En intégrant cette équation, on aura l’expression de $t$ en $r,$ et réciproquement celle de $r$ en $t.$

7. On aura ensuite $\varphi$ par l’équation

$d\varphi ={\frac {\mathrm {D} \cos idt}{r^{2}\cos ^{2}\psi }}\,;$

or, comme le plan des angles $\varphi$ est arbitraire, si on le fait coïncider avec le plan de l’orbite, en faisant $i=0,$ on aura aussi $\psi =0$ (art. 5), par conséquent $d\varphi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},$ et, dans ce cas, l’angle $d\varphi$ sera celui que le

rayon $r$ décrit dans le plan de l’orbite. Donc, si l’on désigne en général cet angle par $d\Phi ,$ on aura

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},$

et, substituant la valeur de $dt$ en $dr,$

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},$

équation dont l’intégrale donnera la valeur de $\Phi$ en $r,$ et réciproquement celle de $r$ en $\Phi .$

Ensuite on aura $\varphi$ en $\Phi$ par l’équation

$d\Phi ={\frac {\cos ^{2}\psi d\varphi }{\cos i}},$

laquelle, en substituant pour $\cos \psi$ sa valeur tirée de l’équation

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)$

trouvée plus haut, devient

$d\Phi ={\frac {d\varphi }{\cos i\left[1+\operatorname {tang} ^{2}i\sin ^{2}(\varphi -h)\right]}}={\frac {\cos id\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos ^{2}i+\operatorname {tang} ^{2}(\varphi -h)}}\,;$

d’où l’on tire par l’intégration

$\Phi +k=\operatorname {arc\,\operatorname {tang} } {\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},$

$k$ étant une constante arbitraire ; et de là

$\operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),$

équation qui indique que $\Phi +k$ est l’hypoténuse du même triangle sphérique rectangle dont la base est $\varphi -h$ et l’angle adjacent $i$ (art. 5), et dont le côté opposé à $i$ est $\psi .$

On voit par là que $\Phi +k$ est l’angle décrit par le rayon $r$ dans le plan de l’orbite, et dont l’origine est à la ligne d’intersection de ce plan avec celui des $xy$ ; que $\varphi -h$ est l’angle décrit par la projection de ce rayon sur le même plan, et que $i$ est l’inclinaison du plan de l’orbite sur le plan fixe des $xy.$

8. Le problème est donc résolu, puisqu’il ne dépend plus que de l’intégration des deux équations séparées entre $t,\,\Phi$ et $r\,;$ les six constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète des trois équations différentielles en $r,\varphi$ et $\psi$ seront $i,\,h,\,\mathrm {D,H}$ et les deux que l’intégration introduira dans les valeurs de $t$ et de $\Phi .$

Dans la solution que nous venons de donner, nous avons pris pour coordonnées le rayon vecteur avec les deux angles de longitude et de latitude, pour nous conformer à l’usage des astronomes ; aussi cette solution a-t-elle l’avantage d’offrir directement la plupart des théorèmes que l’on ne trouve ordinairement que par la Trigonométrie sphérique. Mais, en l’envisageant du côté analytique, elle est moins simple que si l’on avait conservé les coordonnées rectangles primitives ; c’est ce qu’il est bon de faire voir, d’autant qu’il en résultera de nouvelles formules qui pourront être utiles par la suite.

9. En prenant $x,\,y,\,z$ pour les trois variables indépendantes, les formules générales de l’article 3 donnent tout de suite les trois équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {x}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {y}{r}}=&0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {R} {\frac {z}{r}}=&0,\end{aligned}}$

et l’équation intégrale

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr=\mathrm {H} .$

En chassant $\mathrm {R}$ des trois équations différentielles, on a immédiatement

trois équations intégrables et dont les intégrales sont

${\begin{aligned}{\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} ,\\{\frac {zdx-xdz}{dt}}=\mathrm {B} ,\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=\mathrm {A} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C,\,B,\,A}$ étant des constantes arbitraires dont la première est la même que celle de l’équation

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C}$

de l’article 5, parce qu’en effet celle-ci n’est qu’une transformée de l’équation

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C}$

par la substitution des valeurs de $x,y,z$ de l’article 4.

Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un système de corps, dans l’article 9 de la Section III, d’où nous aurions pu les emprunter.

10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équations et employant cette réduction connue

${\begin{aligned}&(xdy-ydx)^{2}+(zdx-xdz)^{2}+(ydz-zdy)^{2}\\&\quad =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(xdx+ydy+zdz)^{2},\end{aligned}}$

on a l’équation

${\frac {r^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,$

laquelle, en y substituant pour $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ sa valeur tirée de la première intégrale, et faisant, pour abréger,

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2}} ,$

donne

$2r^{2}\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {R} dr\right)-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},$

d’où l’on tire tout de suite

$dt={\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

comme dans l’article 6.

Les mêmes équations, étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par $z,$ la deuxième par $y$ et la troisième par $x,$ donnent celle-ci

$\mathrm {C} z+\mathrm {B} y+\mathrm {A} x=0,$

laquelle est à un plan passant par l’origine des coordonnées et fait voir que l’orbite décrite par le corps est une courbe plane décrite autour du centre des forces.

11. Nommons $\xi ,\eta$ les coordonnées rectangles de cette courbe, l’axe des $\xi$ étant pris dans la ligne d’intersection du plan de la courbe avec celui des $xy\,;$ nommons de plus, comme dans l’article 5, $i$ l’angle formé par ces deux plans, et $h$ l’angle que la même ligne d’intersection fait avec l’axe des $x\,;$ ces deux quantités $i$ et $h$ seront constantes, et, par les formules connues de la transformation des coordonnées, on aura

${\begin{aligned}x=&\xi \cos h-\eta \cos i\sin h,\\y=&\xi \sin \,h+\eta \cos i\cos h,\\z=&\eta \sin i.\end{aligned}}$

Ces valeurs, étant substituées dans les mêmes équations, donneront celles-ci :

${\begin{aligned}&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\cos i=\mathrm {C} ,\\&{\frac {\eta d\xi -\xi d\eta }{dt}}\sin i\cos h=\mathrm {B} ,\\&{\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}\sin i\sin h=\mathrm {A} ,\end{aligned}}$

Ajoutant leurs carrés ensemble et extrayant ensuite la racine, on a (art. 6)

${\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}=\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} ={\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} \,;$

de sorte que les valeurs des constantes $\mathrm {A,B,C}$ seront

$\mathrm {C=D} \cos i,\quad \mathrm {B=-D} \sin i\cos h,\quad \mathrm {A=D} \sin i\sin h.$

Or, désignant par $\Phi +k,$ comme dans l’article 7, l’angle que le rayon $r$ fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite et du plan fixe des $xy,$ il est clair qu’on aura

$\xi =r\cos(\Phi +k),\quad \eta =r\sin(\Phi +k),$

et la dernière des équations précédentes deviendra

$r^{2}d\Phi =\mathrm {D} dt,$

laquelle donne le théorème connu des secteurs $\int r^{2}d\Phi$ proportionnels au temps $t.$

Substituant la valeur de $dt,$ on aura

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},$

comme dans l’article cité.

Ainsi le problème est de nouveau réduit à l’intégration des deux équations séparées en $t,\,\Phi$ et $r$ que nous avions déjà trouvées ci-dessus (art. 6 et 7) ; mais cette intégration dépend de l’expression de la force centrale $\mathrm {R}$ en fonction du rayon $r.$

12. On voit, par ces équations, que ce rayon sera le plus grand ou le plus petit, soit relativement au temps $t,$ soit relativement à l’angle $\Phi ,$ lorsqu’il sera déterminé par l’équation

$2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}=0.$

Supposons qu’en intégrant ces mêmes équations on prenne les intégrales en $r$ de leurs seconds membres, de manière qu’elles commencent au point où $r$ est un minimum, et que l’angle $\Phi$ commence aussi à ce point ; l’angle $k$ sera alors celui que le rayon qui passe par le même point fera avec la ligne d’intersection de l’orbite avec le plan fixe (art. 7) ; et cette constante $k,$ jointe à celle que l’intégration peut ajouter à $t$ et aux constantes $\mathrm {A,\,B,\,C,\,H} ,$ ou $\mathrm {D} ,\,i,\,h,\,\mathrm {H} ,$ complétera le nombre des six constantes arbitraires que l’intégration des trois équations différentielles en $x,\,y,\,z$ et $t$ doit donner.

13. Si maintenant on fait

$\mathrm {X} =r\cos \Phi ,\qquad \mathrm {Y} =r\sin \Phi ,$

il est clair que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront les coordonnées rectangles de la courbe, placées dans son plan et ayant la même origine que le rayon $r,$ les abscisses $\mathrm {X}$ étant dirigées vers le point où $r$ est un minimum ; et si l’on substitue ces quantités dans les valeurs de $\xi$ et de $\eta$ l’article 11, on aura

$\xi =\mathrm {X} \cos k-\mathrm {Y} \sin k,\qquad \eta =\mathrm {Y} \cos k+\mathrm {X} \sin k.$

Substituons ces valeurs dans celles de $x,\,y,\,z$ du même article et faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \,\ =&+\cos k\cos h-\sin k\sin \,h\cos i,\\\beta \,\ =&-\sin \,k\cos h-\cos k\sin h\cos i,\\\alpha _{1}=&+\cos k\sin \,h+\sin \,k\cos h\cos i,\\\beta _{1}=&-\sin \,k\sin \,h+\cos k\cos h\cos i,\\\alpha _{2}=&\sin \,k\sin i,\\\beta _{2}=&\cos k\sin i\,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}x=&\alpha \,\ \mathrm {X+\beta \,\ Y} =r(\alpha \,\ \cos \Phi +\beta \,\ \sin \Phi ),\\y=&\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} =r(\alpha _{1}\cos \Phi +\beta _{1}\sin \Phi ),\\z=&\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} =r(\alpha _{2}\cos \Phi +\beta _{2}\sin \Phi ),\end{aligned}}$

expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l’orbite relativement au plan fixe des $xy.$

Ces expressions de $x,\,y,\,z$ sont conformes à la théorie générale exposée (Sect. II, art. 10), et l’on aurait pu les en déduire immédiatement.

En effet, en considérant tout de suite le mouvement dans l’orbite, on a les coordonnées $\mathrm {X,\,Y} ,\ldots$ la troisième $\mathrm {Z}$ étant nulle, lesquelles, ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs particulières des coordonnées générales $x,\,y,\,z\,;$ ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ qui renferment les trois autres constantes.

14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l’orbite propre du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par les trois coordonnées $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ lesquelles ne continssent aussi que trois constantes arbitraires, on aurait alors par la même théorie les expressions générales

${\begin{aligned}x=&\mathrm {\alpha \ \,X+\beta \ \,Y+\gamma \ \,Z} ,\\y=&\mathrm {\alpha _{1}X+\beta _{1}Y+\gamma _{1}Z} ,\\z=&\mathrm {\alpha _{2}X+\beta _{2}Y+\gamma _{2}Z} ,\end{aligned}}$

et comme on a trouvé (Sect. III, art. 10)

$\gamma =\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2},\quad \gamma _{1}=\beta \alpha _{2}-\alpha \beta _{2},\quad \gamma _{2}=\alpha \beta _{1}-\beta \alpha _{1},$

on aurait

$\gamma =\sin h\sin i,\quad \gamma _{1}=-\cos h\sin i,\quad \gamma _{2}=\cos i.$

Ces valeurs de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ renfermant les trois arbitraires $k,\,h,\,i,$ satisfont d’une manière générale aux six équations de condition données (Part. I, Sect. III, art. 10)

$\alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \gamma ^{2}+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}=1,$

$\alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,\quad \alpha \gamma +\alpha _{1}\gamma _{1}+\alpha _{2}\gamma _{2}=0,\quad \beta \gamma +\beta _{1}\gamma _{1}+\beta _{2}\gamma _{2}=0.$

Après avoir donné les formules générales pour le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe, il ne reste qu’à les appliquer au mouvement des planètes et des comètes ; c’est l’objet des paragraphes suivants.

§ 1. — Du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil
supposé fixe.

15. Dans le système du monde, la force attractive étant en raison inverse du carré des distances, on fera $\mathrm {R} {\frac {\mathrm {g} }{r^{2}}},$ $\mathrm {g}$ étant la force attractive d’une planète vers le Soleil, à la distance $r=1,$ ce qui donnera $\int \mathrm {R} dr=-{\frac {\mathrm {g} }{r}}.$

Substituant cette valeur dans l’équation entre $\Phi$ et $r$ (art. 11), on voit que la quantité sous le signe devient

$2\mathrm {H} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}},$

laquelle peut se mettre sous la forme

$2\mathrm {H+{\frac {g^{2}}{D^{2}}}} -\left({\frac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\frac {g}{D}} \right)^{2}\,;$

alors le second membre de l’équation exprimera la différentielle de l’angle ayant pour cosinus la quantité

${\frac {{\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} }{\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} }}\,;$

de sorte que, intégrant, ajoutant à $\Phi$ la constante arbitraire $\mathrm {K}$ et passant des arcs à leurs cosinus, on aura

${\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} =\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} \cos(\Phi +\mathrm {K} ).$

On voit que la plus petite valeur de $r$ aura lieu lorsque l’angle $\Phi +\mathrm {K}$ est nul de sorte que, comme nous avons supposé (art. 12) que l’angle $\Phi$ commence au point qui répond au minimum de $r,$ on aura

$\mathrm {K} =0.$

Donc, en faisant, pour abréger,

$b=\mathrm {\frac {D^{2}}{g}} ,\quad e=\mathrm {\sqrt {1+{\frac {2HD}{g}}}} ,$

on aura

$r={\frac {b}{1+e\cos \Phi }},$

équation polaire d’une section conique dont $b$ est le paramètre, $e$ l’excentricité, c’est-à-dire le rapport de la distance des foyers au grand axe, $r$ le rayon vecteur partant d’un des foyers, et l’angle qu’il fait avec la partie du grand axe qui répond au sommet le plus proche de ce foyer.

La plus grande et la plus petite valeur de $r$ étant ${\frac {b}{1-e}}$ et ${\frac {b}{1+e}},$ leur demi-somme sera ${\frac {b}{1-e^{2}}}\,;$ c’est la distance moyenne que nous désignerons par $a,$ de sorte qu’on aura

$b=a\left(1-e^{2}\right),$

et si l’on substitue ici pour $b$ et $e$ leurs valeurs en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {H} ,$ on aura

${\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}}=-\mathrm {\frac {2H}{g}} \,;$

d’où l’on voit que la constante $\mathrm {H}$ doit être négative pour que l’orbite soit elliptique ; si elle était nulle, l’axe $2a$ serait infini, et l’orbite deviendrait parabolique ; mais, si elle était positive, l’axe $2a$ serait négatif^[1], et l’orbite serait hyperbolique. Dans le premier cas, la valeur de l’excentricité $e$ sera moindre que l’unité ; elle sera $1$ dans le deuxième cas et plus grande que $1$ dans le troisième.

Il y a encore une autre hypothèse d’attraction qui donne aussi une orbite elliptique, c’est l’attraction en raison directe des distances ; mais, comme elle n’est point applicable aux planètes, nous ne nous y arrêterons pas ici. On peut voir les Principes de Newton et les Ouvrages où l’on a traduit ses théories en Analyse.

16. Revenons maintenant à l’équation qui donne $t$ en $r$ (art. 10), et substituons-y $-{\frac {\mathrm {g} }{r}}$ à la place de $\int \mathrm {R} dr,$ $\mathrm {g} b=\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)$ à la place de $\mathrm {D} ^{2},$ et $-{\frac {\mathrm {g} }{a}}$ à la place de $2\mathrm {H} \,;$ elle deviendra

$dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mathrm {g} a}}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}}.$

Faisons $1-{\frac {r}{a}}=e\cos \theta ,$ ce qui donne

$r=a(1-e\cos \theta )\,;$

on aura

$dt={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(1-e\cos \theta )d\theta ,$

et, intégrant avec une constante arbitraire $c,$

$t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).$

Cette équation donnera $\theta$ en $t\,;$ et comme on a $r$ en $\theta ,$ on aura, par la substitution, $r$ en $t.$

Si l’on fait la même substitution dans l’équation entre $\Phi$ et $r$ de l’article 11, on aura celle-ci

$d\Phi ={\frac {d\theta {\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e\cos \theta }},$

dont l’intégrale est

$\Phi =\operatorname {arc\,\sin } {\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{1-e\cos \theta }}+\mathrm {const} .$

Mais on peut avoir la valeur de $\Phi$ en $\theta$ sans une nouvelle intégration, par la simple comparaison des valeurs de $r,$ laquelle donne l’équation

${\frac {b}{1+e\cos \Phi }}=a(1-e\cos \theta ),$

d’où l’on tire, à cause de $b=a\left(1-e^{2}\right),$

$\cos \Phi ={\frac {\cos \theta -e}{1-e\cos \theta }},\quad \sin \Phi ={\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}{\sqrt {1-e^{2}}},$

et, de là,

$\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}}.$

On voit, par ces formules, que, lorsque l’angle $\theta$ est augmenté de $360^{\circ },$ le rayon $r$ revient le même, et que l’angle $\Phi$ est aussi augmenté de $360^{\circ }.$ Ainsi la planète revient au même point, après avoir fait une révolution entière. Or, l’angle $\theta$ augmentant de $360^{\circ },$ le temps $t$ se trouve augmenté de ${\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}\times 360\,;$ c’est le temps que la planète emploie pour revenir au même point de son orbite, et qu’on nomme le temps périodique. Ainsi ce temps ne dépend que du grand axe $2a,$ et il est le même que si la planète décrivait un cercle ayant pour rayon la distance moyenne $a.$ Dans ce cas, on aurait

$e=0,\quad t-c=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}},\quad \theta =\Phi \,;$

ainsi le temps serait proportionnel aux angles parcourus. Et si l’on suppose $\mathrm {g} =1,$ et qu’on prenne la distance moyenne $a$ de la Terre pour l’unité des distances, les temps seront représentés par les angles mêmes que la Terre décrirait si elle se mouvait dans un cercle dont la distance moyenne serait le rayon, avec une vitesse égale à l’unité. Le mouvement dans ce cercle est celui que les astronomes appellent mouvement moyen de la Terre ou du Soleil, et auquel ils rapportent communément les mouvements des autres planètes.

17. Lorsque l’orbite est hyperbolique, le grand axe $a$ devient négatif et l’angle $\theta$ imaginaire. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas, faisons

$a=-\mathrm {A} \quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {-1}}},$

on aura par les formules connues, $i$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1,$

$\sin \theta ={\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos \theta ={\frac {i^{\Theta }+i^{-\Theta }}{2}},$

et les équations de l’article précédent deviendront

${\begin{aligned}t-c=&{\sqrt {\mathrm {\frac {A^{3}}{g}} }}\left(\Theta -e.{\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2}}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}{\frac {i^{{\frac {1}{2}}\Theta }-i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}{i^{{\frac {1}{2}}\Theta }+i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}},\end{aligned}}$

à cause de $e>1.$

18. L’équation

$r(1+e\cos \Phi )=b,$

trouvée dans l’article 15, donne, en substituant $\mathrm {X}$ pour $r\cos \Phi$ (art. 13),

$\mathrm {X} ={\frac {b-r}{e}}={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{e}}.$

Substituant pour $r$ sa valeur en $\theta ,$ $a(1-e\cos \theta ),$ on aura

$\mathrm {X} =a(\cos \theta -e),$

et, comme $\mathrm {Y} ={\sqrt {r^{2}-\mathrm {X} ^{2}}},$ on trouvera

$\mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,$

expressions fort simples qu’on pourra substituer dans les expressions générales de $x,y,z$ du même article.

Ainsi il ne s’agira plus que de substituer la valeur de $\theta$ en $t,$ tirée de l’équation donnée dans l’article 16, pour avoir les trois coordonnées en fonction du temps.

19. L’angle $\theta ,$ que nous venons d’introduire à la place de $t,$ est ce qu’on appelle en Astronomie anomalie excentrique, et qui répond à l’anomalie moyenne $(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}$ et à l’anomalie vraie $\Phi \,;$ mais les astronomes ont coutume de compter ces angles depuis le sommet de l’ellipse le plus éloigné du foyer où le Soleil est supposé placé, et qu’on nomme aphélie ou apside supérieure, au lieu que, dans les formules précédentes, ils sont supposés comptés depuis le sommet le plus proche du même foyer, qu’on nomme périhélie ou apside inférieure. Pour les rapporter à l’aphélie, il n’y aurait qu’à y ajouter l’angle de $180^{\circ },$ ou, ce qui revient au même, changer le signe de la quantité $e\,;$ mais, en prenant l’origine des anomalies au périhélie, on a l’avantage d’avoir des formules également applicables aux planètes, dont l’excentricité est assez petite, et aux comètes, dont l’excentricité est presque égale à l’unité, leur grand axe étant très grand tandis que le paramètre conserve une valeur finie.

20. Il nous reste à déterminer $\theta$ en $t,$ c’est-à-dire l’anomalie excentrique par l’anomalie moyenne ; c’est le problème connu sous le nom de problème de Kepler, parce qu’il est le premier qui l’ait proposé et qui en ait cherché la solution. Comme l’équation entre $t$ et $\theta$ est transcendante, il est impossible d’avoir, en général, la valeur de $\theta$ en $t$ par une expression finie ; mais, en supposant l’excentricité $e$ fort petite, on peut l’avoir par une série plus ou moins convergente. Pour y parvenir de la manière la plus simple, nous ferons usage de la formule générale que nous avons démontrée ailleurs^[2], pour la résolution en série d’une équation quelconque.

Soit une équation de la forme

$u=\theta -f(\theta )\,;$

$f(\theta )$ dénotant une fonction quelconque de $\theta ,$ on aura réciproquement

$\theta =u+f(u)+{\frac {d\left[f(u)^{2}\right]}{2du}}+{\frac {d^{2}\left[f(u)^{3}\right]}{2.3du^{2}}}+\ldots .$

En général, si l’on demande la valeur d’une fonction quelconque de $\theta$ désignée par $\operatorname {F} (\theta ),$ on fera

$\operatorname {F} '(\theta )={\frac {d\operatorname {F} (\theta )}{d\theta }},$

et l’on aura

$\operatorname {F} (\theta )=\operatorname {F} (u)+f(u)\operatorname {F} '(u){\frac {d\left[f(u)^{2}\operatorname {F} '(u)\right]}{2du}}+{\frac {d^{2}\left[f(u)^{3}\operatorname {F} '(u)\right]}{2.3du^{2}}}+\ldots .$

21. Pour appliquer cette formule à l’équation de l’article 16, on fera

$f(\theta )=e\sin \theta \quad {\text{et}}\quad u=(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\,;$

on aura immédiatement

$\theta =u+e\sin u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{2}}}+\ldots ,$

où il n’y aura plus qu’à exécuter les différentiations indiquées ; mais, pour avoir des expressions plus simples, il conviendra de développer auparavant les puissances des sinus en sinus et cosinus d’angles multiples de $u.$

On aura de même

${\begin{aligned}\sin \theta \ \ =&\sin u+e\sin u\cos u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u\cos u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u\cos u}{2.3du^{2}}}+\ldots ,\\\cos \theta \ \ =&\cos u-e\sin ^{2}u-e^{2}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}-e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}-\ldots ,\\\operatorname {tang} \theta =&\operatorname {tang} u+e{\frac {\sin u}{\cos ^{2}u}}+e^{2}{\frac {d{\dfrac {\sin ^{2}u}{\cos ^{2}u}}}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}{\dfrac {\sin ^{3}u}{\cos ^{2}u}}}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On aura ainsi, par les formules des articles 16 et 17,

${\begin{aligned}r\ =&a\left(1-e\cos u+e^{2}\sin ^{2}u+e^{3}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}+e^{4}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}+\ldots \right),\\r^{n}=&a^{n}\left[(1-e\cos u)^{n}+ne^{2}\sin ^{2}u(1-e\cos u)^{n-1}+{\frac {ne^{3}d\sin ^{3}u(1-e\cos u)^{n-1}}{2du}}+\ldots \right],\\\mathrm {X} =&a\left[\cos u-e\left(1+\sin ^{2}u\right)-e^{2}{\frac {d\sin ^{3}u}{2du}}-e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{4}u}{2.3du^{2}}}-\ldots \right],\\\mathrm {Y} =&a{\sqrt {1-e^{2}}}\left[\sin u+e\sin u\cos u+e^{2}{\frac {d\sin ^{2}u\cos u}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}\sin ^{3}u\cos u}{2.3du^{2}}}+\ldots \right],\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\left[\operatorname {tang} {\frac {u}{2}}+e{\frac {\sin u}{1+\cos u}}+e^{2}{\frac {d{\dfrac {\sin ^{2}u}{1+\cos u}}}{2du}}+e^{3}{\frac {d^{2}{\dfrac {\sin ^{3}u}{1+\cos u}}}{2.3du^{2}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

22. On pourrait tirer de là la valeur de l’angle $\Phi$ par la série qui donne l’angle par la tangente, mais on aurait difficilement, de cette manière, une série dont on pût connaître la loi. Pour obtenir une telle série, il faudra tirer d’abord la valeur de l’angle $\Phi$ de l’équation

$\operatorname {tang} \Phi ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}},$

ce qu’on peut faire d’une manière élégante, en employant les exponentielles imaginaires. On aura ainsi cette transformée, en prenant $i$ pour le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité,

${\frac {i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\Phi }{2}}{\sqrt {-1}}}}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}-i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}{i^{{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}+i^{-{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {-1}}}}},$

laquelle se réduit à celle-ci

${\frac {i^{\Phi {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\Phi {\sqrt {-1}}}+1}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {i^{\theta {\sqrt {-1}}}-1}{i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1}}\,;$

d’où l’on tire, en faisant ${\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=\varepsilon ,$

$i^{\Phi {\sqrt {-1}}}={\frac {(1+\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1-\varepsilon }{(1-\varepsilon )i^{\theta {\sqrt {-1}}}+1+\varepsilon }}$

ou bien, en supposant $\mathrm {E} ={\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +1}}={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}.$

$i^{\Phi {\sqrt {-1}}}=i^{\theta {\sqrt {-1}}}{\frac {1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}}{1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}}}.$

Prenons maintenant les logarithmes des deux membres, on aura, en divisant par ${\sqrt {-1}},$

$\Phi =\theta +{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\log \left(1-\mathrm {E} i^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)\,;$

réduisant les logarithmes du second membre en série, et substituant ensuite, à la place des exponentielles imaginaires, les sinus réels qui y

répondent, on aura enfin la série^[3]

$\Phi =\theta +\mathrm {2E\sin \theta +{\frac {2E^{2}}{2}}\sin 2\theta +{\frac {2E^{3}}{3}}\sin 3\theta } +\ldots .$

Il ne s’agira donc plus que de substituer pour $\theta$ sa valeur en $u.$ Si donc on fait, pour abréger,

$\mathrm {U} =\cos u+\mathrm {E} \cos 2u+\mathrm {E} ^{2}\cos 3u+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\Phi =u&+e\sin u+{\frac {e^{2}d\sin ^{2}u}{2du}}+{\frac {e^{2}d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{3}}}+\ldots \\&+2\mathrm {E} \sin u+{\frac {2\mathrm {E} ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {2\mathrm {E} ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots \\&+2e\mathrm {EU} \sin u+2e^{2}\mathrm {E} {\frac {d\left(\mathrm {U} \sin ^{2}u\right)}{2du}}+2e^{3}\mathrm {E} {\frac {d^{2}\left(\mathrm {U} \sin ^{3}u\right)}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On peut réduire la valeur de $\mathrm {U}$ à une forme finie, et l’on trouve

$\mathrm {U} ={\frac {\cos u-\mathrm {E} }{1-2\mathrm {E} \cos u+\mathrm {E} ^{2}}}={\frac {\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\cos u-e}{2(1-e\cos u)}}.$

Ces formules ont l’avantage de donner la loi des séries, qui n’était pas connue auparavant.

23. Puisqu’en prenant le plan des $xy$ pour celui de l’écliptique supposé fixe, et supposant l’axe des $x$ dirigé vers le premier point d’Aries, l’angle $\varphi$ est ce qu’on appelle la longitude de la planète, l’angle $h$ est la longitude du nœud, l’angle $\psi$ est la latitude, il est clair que l’angle $\Phi +k,$ dont $\varphi -h$ est la projection sur l’écliptique, sera la longitude dans l’orbite comptée du nœud, ou ce qu’on appelle l’argument de la latitude ; et l’équation (art. 7)

$\operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),$

qui donne l’angle $\varphi$ par $\Phi ,$ pourra, lorsque l’inclinaison est assez petite, se résoudre en série par la méthode des exponentielles imaginaires employée ci-dessus. Il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de $\Phi$ en $\theta ,$ $\varphi -h$ à la place de ${\frac {\Phi }{2}},$ $\Phi +k$ à la place de ${\frac {\theta }{2}},$ et $\cos i$ à la place de $\varepsilon ,$ ce qui donnera

$\mathrm {E} ={\frac {\cos i-1}{\cos i+1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\,;$

et l’on aura

$\varphi -h=(\Phi +k)-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\sin 2(\Phi +k)$

$+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {i}{2}}\sin 4(\Phi +k)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {i}{2}}\sin 6(\Phi +k)+\ldots .$

L’équation qui donne $\psi$ en $\varphi$ (art. 5),

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),$

pourrait aussi se résoudre de la même manière, mais il en résulterait une série moins élégante. On aurait d’abord l’équation en exponentielles imaginaires, $i$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1,$

${\frac {i^{\psi {\sqrt {-1}}}-i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{i^{\psi {\sqrt {-1}}}+i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}}=\operatorname {tang} i{\frac {i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}}{2}},$

d’où l’on tirerait

$i^{2\psi {\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}{1-{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}},$

et prenant les logarithmes

${\begin{aligned}\psi =&+{\frac {\operatorname {tang} i}{2{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.8{\sqrt {-1}}}}\ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{3}\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.32{\sqrt {-1}}}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{5},\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,\;;\end{aligned}}$

enfin, en développant les puissances des exponentielles imaginaires et y substituant les sinus qui y répondent, on aurait

${\begin{aligned}\psi =&+\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.4}}\left[\sin 3(\varphi -h)-3\sin(\varphi -h)\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.16}}\left[\sin 5(\varphi -h)-5\sin 3(\varphi -h)+10\sin(\varphi -h)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les séries que nous venons de donner ne sont convergentes qu’à raison de la petitesse de l’excentricité $e$^[4] ou de l’inclinaison $i,$ et ne sont, par conséquent, applicables qu’aux orbites elliptiques peu différentes du cercle et peu inclinées, telles que celles des planètes et de leurs satellites ; il n’y aurait d’exception que pour Pallas, une des quatre nouvelles petites planètes, dont l’inclinaison sur l’écliptique est d’environ $34^{\circ },$ ce qui donne pour $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}$ une fraction encore assez petite ; de sorte que la série de la valeur de $\varphi$ en $\Phi$ sera très convergente, mais la série de $\psi$ en $\varphi$ le sera beaucoup moins.

24. Après le cas où l’excentricité $e$ est très petite, le problème de Kepler est encore résoluble analytiquement dans le cas où l’excentricité est peu différente de l’unité, et qui est celui des orbites presque paraboliques, comme celles des comètes. Dans ce cas, le demi grand axe a devient très grand, et l’équation de l’article 15

${\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}},$

dans laquelle $b$ est le demi-paramètre, donne

$e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}=1-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}-\ldots .$

L’équation entre $t$ et $\theta$ (art. 16), étant mise sous la forme

$(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta ,$

fait voir que, lorsque $a$ est très grand, $\theta$ devient très petit, de sorte qu’on peut developper $\sin \theta$ en $\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots .$

En faisant ces substitutions dans l’équation précédente, on aura

${\begin{aligned}(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}={\frac {\theta ^{3}}{2.3}}&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots +{\frac {b}{2a}}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&+{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}(\theta -\ldots )+\ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que la quantité $\theta$ est de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {a}}}.$ Si donc on fait

$\theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {a}}},$

et qu’on ne pousse l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre de ${\frac {1}{a}},$ on aura

$(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {b}{2}}\Theta +{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{3}+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}\Theta -{\frac {b}{4.3}}\Theta ^{3}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\Theta ^{5}\right).$

On trouvera par les mêmes réductions

${\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\Theta ^{2}\right)+{\frac {1}{4a}}\left({\frac {b^{2}}{2}}-b\Theta ^{2}-{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{4}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {b}}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{4a}}\left(\Theta +{\frac {1}{3b}}\Theta ^{2}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\Theta ^{2}\right)+{\frac {b^{2}}{8a}}\left(1+{\frac {1}{3}}\Theta ^{4}\right),\\\mathrm {Y} =&{\sqrt {b}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{2.3a}}\Theta ^{3}.\\\end{aligned}}$

Soit $\mathrm {T}$ la valeur de $\Theta$ lorsque $a=\infty ,$ ce qui est le cas de la paraboles ; on a, pour déterminer $\mathrm {T}$ en $t,$ l’équation du troisième degré

$\mathrm {T} ^{3}+3b\mathrm {T} =6(t-c){\sqrt {g}},$

laquelle donne

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}+{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}-{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et si l’on fait

$T={\frac {-{\cfrac {b^{2}\mathrm {T} }{4}}+{\cfrac {b\mathrm {T} ^{3}}{6}}+{\cfrac {\mathrm {T} ^{5}}{3.4.5}}}{b+\mathrm {T} ^{2}}},$

on aura

$\Theta =\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {T} '}{a}}+\ldots ,$

et, de là,

${\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}-{\frac {b\mathrm {T} ^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {T} ^{4}}{24}}+\mathrm {TT'} \right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {\mathrm {T} }{\sqrt {b}}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} {\sqrt {b}}}{4}}+{\frac {\mathrm {T} ^{3}}{12{\sqrt {b}}}}-{\frac {\mathrm {T} '}{\sqrt {b}}}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}+{\frac {b^{2}\mathrm {T} ^{4}}{24}}-\mathrm {TT'} \right),\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} {\sqrt {b}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} ^{3}{\sqrt {b}}}{6}}-\mathrm {T} '{\sqrt {b}}\right).\end{aligned}}$

Mais l’irrationnalité de l’expression de $\mathrm {T}$ empêchera toujours que ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques.

25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement parabolique, qu’on peut déterminer le temps employé à parcourir un arc quelconque de la parabole par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondentaux deux extrémités de l’arc et la corde qui sous-tend cet arc.

En faisant $a$ infini et $\Theta =\tau {\sqrt {b}},$ les formules précédentes donnent

$6(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3\tau +\tau ^{3}\right),\quad \tau =\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}},$

$2r=b\left(1+\tau ^{2}\right),\quad 2\mathrm {X} =b\left(1-\tau ^{2}\right),\quad \mathrm {Y} =b\tau .$

Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de la parabole ; la différence $t'-t,$ ou le temps employé à parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés, sera exprimé par la formule

$6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3+\tau ^{2}+\tau \tau '+\tau '^{2}\right)(\tau '-\tau ).$

Or, on a

$\mathrm {X} =b-r,\quad \mathrm {Y} ={\sqrt {2br-b^{2}}}\,;$

et, si l’on nomme $v$ la corde qui joint les deux extrémités des rayons $r$ et $r',$ on aura

$v^{2}=\mathrm {(X'-X)^{2}+(Y'-Y)^{2}} =(r'-r)^{2}+\left({\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}}\right)^{2}.$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {U} ^{2}=v^{2}-(r'-r)^{2},$

on a

$\mathrm {U} ={\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}},$

équation d’où il s’agit de tirer la valeur de $b.$

Faisant disparaître les radicaux et ordonnant les termes par rapport à $b,$ on a

$b^{2}\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]-b\mathrm {U} ^{2}(r'+r)+{\frac {\mathrm {U} ^{4}}{4}}=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {\mathrm {U} ^{2}\left(r'+r+{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}{2\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]}},$

ou bien, en multipliant le haut et le bas par $r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}},$

$b={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2\left(r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}}.$

Maintenant on a

$\tau ={\frac {\sqrt {2br-b^{2}}}{b}}\,;$

donc

$\tau '-\tau ={\frac {\mathrm {U} }{b}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ^{2}+\tau '^{2}+\tau \tau '={\frac {3(r+r')}{b}}-3-{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2b^{2}}}\,;$

donc

$6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {\mathrm {U} }{2b{\sqrt {b}}}}\left[6b(r'+r)-\mathrm {U} ^{2}\right]\,;$

substituant la valeur de $b,$ cette quantité devient

$\left[2(r'+r)+{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}\right]{\sqrt {2(r'+r)-2{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}}}.$

Donc enfin, en remettant pour $\mathrm {U} ^{2}$ sa valeur, et faisant $r+r'=s,$ on aura

$t'-t={\frac {\left(2s+{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}\right){\sqrt {2s-{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple,

$t'-t={\frac {(s+v)^{\frac {3}{2}}-(s-v)^{\frac {3}{2}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

comme on peut s’en assurer en prenant les carrés.

26. Cette formule élégante a été donnée d’abord par Euler, dans le septième Volume des Miscellanea Berolinensia. On pourraitla déduire du lemme X du troisième Livre des Principes mathématiques, en traduisant en analyse la construction par laquelle Newton détermine la vitesse qui ferait parcourir uniformément la corde d’un arc de parabole, dans le même temps que l’arc serait parcouru par une comète, et en observant que, dans la parabole, la demi-somme des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités d’un arc quelconque est toujours égale au rayon vecteur qui aboutit au sommet du diamètre mené par le milieu de la corde parallèlement à l’axe, plus à la partie de ce diamètre interceptée entre l’arc et la corde ; d’où et du lemme IX on tire la valeur de $c$e dernier rayon, exprimée par la corde et par la somme des rayons vecteurs qui répondent à ses deux extrémités.

On verra plus bas comment on peut étendre la même formule au mouvement elliptique ou hyperbolique^[5].

27. Enfin l’équation entre $\theta$ et $t$ est toujours résoluble par approximation, lorsqu’on suppose le temps $t$ très petit ; on a alors, pour $\theta$ et, par conséquent, pour toutes les variables qui en dépendent, des séries ordonnées suivant les puissances de $t,$ et qui seront d’autant plus convergentes que la valeur de $t$ sera plus petite. Mais, dans ce cas, il est plus simple d’en tirer la solution directement des équations différentielles en $x,\,y,\,z$ et $t$ de l’article 9, en y faisant $\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {g} }{r^{2}}}.$

En regardant les variables $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ et supposant qu’elles deviennent $x+x',\,y+y',\,z+z',$ lorsque $t$ devient $t+t',$ on a, en général, par le théorème connu,

${\begin{aligned}x'=&{\frac {dx}{dt}}t'+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\y'=&{\frac {dy}{dt}}t'\,+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\,+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\z'=&{\frac {dz}{dt}}t'\ +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\ +{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et il ne s’agira que d’y substituer les valeurs des différentielles de $x,y,z,$ déduites des trois équations

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} y}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} z}{r^{3}}}=0,$

auxquelles on pourra joindre, pour simplifier le calcul, l’équation en $r$ de l’article 10

$2\mathrm {H} r^{2}+2\mathrm {g} r-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},$

laquelle, étant différentiée et divisée par $2rdr,$ donne

$2\mathrm {H} +{\frac {\mathrm {g} }{r}}-{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}=0,$

d’où, en différentiant de nouveau et faisant, pour abréger,

$s={\frac {rdr}{dt}},$

on a celle-ci

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} s}{r^{3}}}=0,$

laquelle est tout à fait semblable aux précédentes.

On aura ainsi, par des différentiations et des substitutions successives,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}={\frac {3\mathrm {g} s}{r^{5}}}x-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&+\left({\frac {3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right)x+{\frac {2.3\mathrm {g} s}{r^{5}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&+\left(-{\frac {3.3.5\mathrm {g} }{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7\mathrm {g} s^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5.\mathrm {g} ^{2}s}{r^{8}}}\right)x\\&+\left({\frac {3.3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {dx}{dt}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On aura de pareilles expressions pour les différentielles de $y$ et $z,$ en changeant seulement $x$ en $y$ et $z.$

28. On fera donc ces substitutions, et, comme les quantités $x,y,z$ et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps $t',$ si l’on y change $t'$ en $t,$ et qu’on désigne par $x,y,z,r,s$ les valeurs de $x,y,z,r,s$ qui répondent à $t=0,$ et qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&+1-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{2}}{2}}+{\frac {3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+\left({\frac {3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5gs^{3}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{4}}{2.3.4}}\\&+\left(-{\frac {3.3.5g}{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7gs^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5g^{2}s}{r^{8}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&+t-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+{\frac {2.3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{4}}{2.3.4}}+\left({\frac {3.3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5gs^{2}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura ces expressions

$x=\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad y=\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad z=\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .$

À l’égard des constantes $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}$ que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu’elles se réduisent immédiatement aux constantes $\mathrm {D}$ et $\mathrm {H}$ d’où dépendent les éléments $a,b,c$ de l’orbite elliptique, comme nous l’avons vu dans l’article 8. Car, en rapportant au commencement du temps $t$ les deux équations en $r$ de l’article précédent, on a

${\frac {(\mathrm {r} dr)^{2}}{dt^{2}}}-2\mathrm {gr=2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d(\mathrm {r} dr)}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {g}{r}} =2\mathrm {H} ,$

savoir

$\mathrm {s^{2}=2gr+2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {2H+{\frac {g}{r}}} ,$

et substituant pour $\mathrm {H}$ et $\mathrm {D} ^{2}$ leurs valeurs $-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}$ et $\mathrm {g} b$ (art. 15), on aura

${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {g} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),\qquad \mathrm {s^{2}=g} \left(2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-b\right)\,;$

d’où l’on tire

${\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{g}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\qquad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} .$

On voit par là que les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ ne dépendent que de la figure de l’orbite, et nullement de la position de son plan.

29. Comme la quantité ${\frac {rdr}{dt}},$ ou $s,$ est déterminée par une équation différentielle semblable à celle qui détermine $x,$ on aura aussi pour cette quantité une expression semblable, en changeant seulement $\mathrm {x}$ et ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}}$ en $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$ On aura ainsi

$s={\frac {rdr}{dt}}=\mathrm {sT} +{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\mathrm {V} .$

De là, en intégrant et ajoutant la constante $r^{2},$

$r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s\int T} dt+{\frac {2d\mathrm {s} }{dt}}\int \mathrm {V} dt,$

où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles

lorsque $t=0.$ On aura ainsi, en substituant les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ et ordonnant les termes par rapport aux puissances de $t,$

${\begin{aligned}r^{2}=\mathrm {r} ^{2}&+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{r^{3}}} {\frac {t^{3}}{3}}+\left(\mathrm {\frac {3gs^{2}}{r^{5}}} -\mathrm {\frac {g}{r^{3}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\right){\frac {t^{4}}{3.4}}\\&+\left(\mathrm {\frac {9g}{r^{5}}} {\frac {\mathrm {s} d\mathrm {s} }{dt}}-\mathrm {\frac {15gs^{3}}{r^{7}}} +\mathrm {\frac {g^{2}s}{r^{6}}} \right){\frac {t^{5}}{3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}$

Cette expression de $r^{2}$ doit être identique avec celle que donneraient les valeurs de $x,\,y,\,z\,;$ car, puisque $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ on aura aussi

$r^{2}=\mathrm {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \mathrm {T} ^{2}+2{\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {TV} +{\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {V} ^{2}.$

Or

$\mathrm {x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} ,\quad {\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}=\mathrm {s} ,$

et

${\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {2H+{\frac {2g}{r}}}$ (art. 9) $={\frac {d(rdr)}{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}}$ (art. 27) $={\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} ,$

de sorte qu’on aura

$r^{2}=\mathrm {r^{2}T^{2}+2sTV} +\left({\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} \right)\mathrm {V} ^{2},$

valeur qui coïncide avec la précédente.

§ II. — Détermination des éléments du mouvement elliptigue
ou parabolique.

30. Dans la théorie des planètes, on nomme éléments les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de l’orbite, sa position par rapport à un plan fixe, qu’on prend pour celui de l’écliptique, et l’époque ou le moment du passage par l’aphélie ou par le périhélie.

Soient, comme dans le paragraphe précédent, $a$ le demi grand axe ou la distance moyenne et $b$ le demi-paramètre ; ces deux éléments déterminent la figure de l’orbite ; et si l’on nomme $e$ l’excentricité, ou plutôt le rapport de la distance des deux foyers au grand axe, on a

$b=a\left(1-e^{2}\right)$

et par conséquent,

$e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.$

Soit, de plus, $c$ le temps qui répond au passage de la planète par le périhélie ; cet élément, avec les deux précédents, servira à déterminer le mouvement elliptique, indépendamment de la position de l’orbite dans l’espace.

Pour déterminer cette position, soit $k$ la longitude du périhélie comptée depuis la ligne des nœuds, c’est-à-dire l’angle que la partie du grand axe qui répond au périhélie fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite avec un plan fixe ; cet élément détermine la position de l’ellipse sur le plan de l’orbite.

Soit enfin $i$ l’inclinaison de ce plan sur le plan fixe auquel on le rapporte et qu’en Astronomie on prend ordinairement pour l’écliptique (nous le prenons dans nos formules pour celui des coordonnées $x,y$), et soit $h$ la longitude du nœud, c’est-à-dire l’angle que l’intersection des deux plans fait avec une ligne fixe, que les astronomes supposent dirigée vers le premier point d’Aries et que nous prenons pour l’axe des $x.$

Ces six quantités $a,b,c,h,i,k$ sont les éléments qu’il s’agit de déterminer, d’après quelques circonstances du mouvement elliptique donné.

31. Le cas le plus simple de ce problème est celui où l’on connaît la position du mobile, sa vinesse et sa direction dans un instant quelconque donné. Dans ce cas, les données sont les valeurs de $x,\,y,\,z,{\frac {dx}{dy}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ pour un instant donné, valeurs que nous désignerons par les lettres romaines $\mathrm {x,\,y,\,z} ,{\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}$ et il s’agira d’exprimer par ces six quantités les six éléments $a,\,b,\,c,\,h,\,i,\,k.$

L’article 9 donne d’abord, en mettant $-\mathrm {\frac {g}{r}}$ à la place de $\int \mathrm {R} dr$ et changeant $x,\,y,\,z,\,r,\,{\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ en $\mathrm {x,\,y,\,z,\,r} ,\,{\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}},$

$\mathrm {A} =\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}}-\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\quad \mathrm {B} =\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}}-\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}},\quad \mathrm {C} =\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}}-\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}},$

$2\mathrm {H} =\left({\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\right)^{2}-\mathrm {\frac {2g}{r}} ,$

et les articles 11 et 15 donnent

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {D} \sin i\sin h,\qquad &\mathrm {B} =&-\mathrm {D} \sin i\cos h,\qquad &\mathrm {C} =&\mathrm {D} \cos i,\\\mathrm {D} =&{\sqrt {\mathrm {g} b}},&\mathrm {H} =&-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.\end{alignedat}}$

On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe $a,$ du demi-paramètre $b,$ d’où l’on tire l’excentricité $e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}},$ et les angles $h$ et $i\,;$ et il ne restera qu’à connaître les quantités $c$ et $k.$

32. Il est bon de remarquer que la valeur de $a$ et celle de $b$ peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est clair que $\mathrm {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}$ est le carré de la vitesse initiale, laquelle étant nommée $\mathrm {u} ,$ on aura

${\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {2}{r}}-{\frac {u^{2}}{g}}} \,;$

d’où l’on voit que le grand axe de la section conique et, par conséquent aussi, le temps périodique (art. 16) ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif et de la vitesse de projection.

À l’égard du paramètre $2b,$ on a réduit, dans l’article 11, la quantité $\mathrm {D}$ à la forme ${\frac {r^{2}d\Phi }{dt}},$ où $d\Phi$ est l’angle décrit par le rayon $r$ dans l’instant $dt,$ de sorte que $rd\Phi$ est le petit arc décrit par le même rayon ; par conséquent, ${\frac {rd\Phi }{dt}}$ est la vitesse perpendiculaire à ce rayon et que le corps a pour tourner autour du foyer.

Si l’on désignait cette vitesse de rotation par $\mathrm {v} ,$ on aurait

${\frac {\mathrm {r} ^{2}d\Phi }{dt}}=\mathrm {rv} ={\sqrt {\mathrm {g} b}},$

et par conséquent

$b=\mathrm {\frac {r^{2}v^{2}}{g}} .$

Ainsi le paramètre $2b$ ne dépend que du rayon $\mathrm {r}$ et de la partie de la vitesse $u,$ par laquelle le corps tend à tourner autour du foyer vers lequel il est attiré.

33. Pour trouver la valeur de l’élément $c,$ qui détermine le temps du passage par le périhélie, on remarquera que cette constante n’est entrée dans le calcul que par l’intégration qui a donné la valeur de $r$ en $t$ (art. 16).

Donc, si l’on dénote par $\vartheta$ la valeur de $\theta$ qui répond à $t=0,$ on aura par les formules de l’article cité, en y faisant $t=0,$ ce qui change $r$ en $\mathrm {r}$ et $\theta$ en $\vartheta ,$

$-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\vartheta -e\sin \vartheta ),\quad \mathrm {r} =a(1-e\cos \vartheta ).$

Ainsi on aura par l’élimination de $\vartheta$ la valeur de $c$ en $\mathrm {r} ,$ puisque $a$ et $e$ sont déjà connues.

Enfin, pour déterminer le dernier élément $k,$ qui est aussi entré par l’intégration de l’équation entre $r$ et $\Phi$ (art. 15), on remarquera d’abord que l’on a (art. 4), en changeant $x,y$ en $\mathrm {x,y} ,$ et rapportant l’angle $\varphi$ au commencement de $t,$

$\mathrm {\frac {y}{x}} =\operatorname {tang} \varphi .$

Ensuite l’article 7 donne

$\operatorname {tang} (\Phi +k)={\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},$

de sorte que, $h$ et $i$ étant déjà connus, on aura, par l’angle intermédiaire $\varphi ,$ l’angle $\Phi +k$ en $\mathrm {x}$ et $\mathrm {y} \,;$ et de là on aura $k$ par l’équation de

l’article 15 rapportée à l’instant où $t=0,$

$\cos \Phi ={\frac {1}{e}}\left({\frac {b}{r}}-1\right).$

34. Si l’on connaissait deux lieux du mobile dans son orbite, avec le temps écoulé entre les instants où il a occupé ces deux lieux, on aurait aussi six données par les coordonnées qui répondent aux deux points donnés de l’orbite, et les six éléments seraient aussi déterminés par les valeurs de ces coordonnées ; mais l’expression transcendante du temps empêcherait de donner une solution générale et algébrique du problèmé. On pourra seulement le résoudre par approximation, si l’intervalle de temps entre les deux lieux est assez petit, en faisant usage des formules de l’article 28.

Soient $\mathrm {x,\,y,\,z}$ les trois coordonnées du premier lieu dans l’orbite et $\mathrm {x',\,y',\,z'}$ celles du second lieu ; en prenant $t$ pour le temps écoulé entre les passages du mobile par ces deux lieux, on aura, en général (art. 28),

$\mathrm {x'=xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad \mathrm {y'=yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad \mathrm {z'=zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .$

Supposons qu’on ne veuille porter la précision que jusqu’aux troisièmes puissances de $t\,;$ on aura

$\mathrm {T=1-{\frac {g}{r^{3}}}} {\frac {t^{2}}{2}}+\mathrm {\frac {3gs}{r^{5}}} {\frac {t^{3}}{6}},\qquad \mathrm {V} =t-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{6}}.$

Comme l’expression de $\mathrm {T}$ renferme la constante

$\mathrm {s} ={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}={\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}},$

on commencera par la déterminer en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir multiplié la première par $\mathrm {x} ,$ la deuxième par $\mathrm {y}$ et la troisième par $\mathrm {z} \,;$ on aura ainsi l’équation

$\mathrm {xx'+yy'+zz'=r^{2}T+sV} ,$

d’où l’on tirera la valeur de $\mathrm {s}$ qu’on substituera ensuite dans l’expression de $\mathrm {T} .$

Les valeurs de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {V}$ étant connues, les mêmes équations donneront les valeurs des différentielles ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\,;$ ainsi le problème sera réduit au cas précédent.

35. Enfin, si l’on ne connaissait que trois rayons vecteurs $r,\,r',\,r'',$ avec les temps $t$ et $t'$ écoulés entre les passages par $r$ et $r'$ et par $r$ et $r'',$ on pourrait encore déterminer l’orbite par les formules de l’article 29, en supposant les temps $t$ et $t'$ assez petits.

Car, en faisant $t=0$ dans la valeur de $r^{2},$ et ne poussant les séries pour les valeurs de $r'^{2}$ et $r''^{2}$ que jusqu’aux $t^{3}$ et $t'^{3},$ on aura

${\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t\ -{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3r^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t'-{\frac {\mathrm {g} t'^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t'^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\end{aligned}}$

équations d’où l’on tirera les valeurs $\mathrm {r,s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$ Ces deux dernières donnent tout de suite, par les formules de l’article 19,

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}-{\frac {d\mathrm {s} }{\mathrm {g} dt}},\quad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} \,;$

ensuite on aura l’angle $\Pi$ compris entre le rayon $r$ et celui du périhélie, par la formule (art. 15)

$\cos \Pi ={\frac {b-\mathrm {r} }{\mathrm {r} e}},$

$e$ étant égal ${\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.$

Si l’orbite était une parabole, on aurait $a=\infty$ et, par conséquent,

${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {\frac {g}{r}} \,;$

alors il suffirait de connaître deux distances $r$ et $r'\,;$ la première donnerait la valeur de $\mathrm {r} ,$ et la seconde la valeur de $\mathrm {s} ,$ par l’équation

$r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}-{\frac {\mathrm {g} t^{2}}{\mathrm {r} }}+\left(2t-{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} .$

36. Les éléments des planètes sont assez connus ; c’est par des observations de longitudes et de latitudes qu’on les a déterminés, et la petitesse de leurs excentricités et de leurs inclinaisons sur le plan de l’écliptique a beaucoup contribué à faciliter ces déterminations.

En prenant ce plan pour celui des $xy,$ les angles $\varphi$ et $\psi$ (art. 4) représentent, l’un la longitude du corps, et l’autre sa latitude ; et nous avons donné dans les articles 22 et 23, pour les valeurs de $\varphi$ et $\psi$ en $t,$ des séries qui sont d’autant plus convergentes que l’excentricité $e$ et l’inclinaison $i$ sont plus petites. En prenant six observations, trois de longitude et trois de latitude correspondante ou, en général, de longitude ou de latitude, à des instants donnés, on aura six équations par lesquelles on pourra déterminer les six éléments, du moins pour le Soleil et la Lune, qui tournent immédiatement autour de la Terre.

Pour les autres planètes qui tournent autour du Soleil, le calcul est un peu plus compliqué, parce que l’observation ne donne immédiatement que les longitudes et latitudes vues de la Terre, qu’on nomme géocentriques ; mais, en supposant le mouvement du Soleil connu, on peut toujours déduire de chaque observation une équation ; de sorte que six observations suffiront, à la rigueur, pour la détermination des six éléments.

Ce problème est surtout important pour les comètes, dont les éléments, lorsqu’elles paraissent, sont tout à fait inconnus ; aussi, depuis Newton, qui a le premier tenté de le résoudre, il y a peu de géomètres et d’astronomes qui ne s’en soient occupés. Ne pouvant établir l’approximation sur la petitesse de l’excentricité et de l’inclinaison, comme pour les planètes, ils ont tous supposé que les intervalles de temps entre les observations sont très petits, et ils ont donné des méthodes plus ou moins approchées pour déduire les éléments des comètes de trois longitudes et d’autant de latitudes observées. Comme celle que j’ai proposée, dans les Mémoires de Berlin^[6] pour 1783, me paraît offrir la solution la plus directe et la plus générale du problème des comètes, je crois pouvoir la donner ici, mais un peu simplifiée et accompagnée de remarques nouvelles ; elle fournira une application importante des principales formules que nous avons développées dans le paragraphe précédent.

§ III. — Sur la détermination des orbites des comètes.

37. Soient, dans un instant quelconque, $\mathrm {R}$ la distance de la comète à la Terre et $l,\,m,\,n$ les cosinus des angles que la ligne ou le rayon visuel $\mathrm {R}$ fait avec trois axes perpendiculaires entre eux et supposés fixes dans l’espace ; on aura $\mathrm {R} l,\,\mathrm {R} m,\,\mathrm {R} n$ pour les trois coordonnées rectangles de la comète, parallèles à ces axes et ayant leur origine dans le centre de la Terre. La quantité $\mathrm {R}$ sera l’inconnue, mais les trois quantités $l,\,m,\,n$ seront connues par l’observation de la comète et devront être telles que l’on ait la condition

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,$

parce que, par l’hypothèse, on doit avoir

$\mathrm {R} ^{2}=(\mathrm {R} l)^{2}+(\mathrm {R} m)^{2}+(\mathrm {R} n)^{2}.$

Soient de même $\rho ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ les quantités correspondantes relativement au Soleil, en sorte que $\rho \lambda ,\,\rho \mu ,\,\rho \nu$ soient les coordonnées rectangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre, et parallèles aux mêmes axes ; ces quantités doivent être censées connues par le calcul du lieu du Soleil dans le même instant de l’observation de la comète, et l’on aura aussi la condition

$\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1.$

Enfin soient $x,y,z$ les coordonnées rectangles du lieu de la comète par rapport au Soleil, parallèles aux mêmes axes, et $r$ le rayon vecteur de son orbite autour du Soleil ; il est visible qu’on aura ces trois équations

$x=\mathrm {R} l-\rho \lambda ,\qquad y=\mathrm {R} m-\rho \mu ,\qquad z=\mathrm {R} n-\rho \nu ,$

et, comme $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ on aura

$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}-2\mathrm {R} \rho (l\lambda +m\mu +n\nu ).$

Or on sait que l’expression $l\lambda +m\mu +n\nu$ est celle du cosinus de l’angle formé entre les deux rayons $\mathrm {R}$ et $\rho ,$ partant du centre commun de la Terre et dirigés, l’un à la comète, l’autre au Soleil ; de sorte que, si l’on désigne cet angle par $\sigma ,$ on aura

$r^{2}=\mathrm {R^{2}-2R} \rho \cos \sigma +\rho ^{2}.$

Si donc on a trois observations de la même comète, faites à des intervalles de temps connus, on aura trois systèmes pareils d’équations qui contiendront chacun une nouvelle inconnue $\mathrm {R} ,$ et les propriétés de la parabole^[7] donneront trois autres équations.

38. Ce qui se présente de plus simple pour cet objet est d’employer la formule donnée dans l’article 25, par laquelle on a le temps que la comète emploie à décrire un arc quelconque, exprimé par la corde de l’arc et par la somme des rayons vecteurs qui aboutissent à ses deux extrémités, et dégagée de tous les éléments de l’orbite ; car les trois intervalles de temps entre les trois observations, prises deux à deux, donneront les trois équations demandées.

Nous marquerons par un trait les lettres qui désignent les quantités analogues dans la seconde observation ; nous aurons ainsi

$r'^{2}=\mathrm {R'^{2}-2R'} \rho '\cos \sigma '+\rho '^{2}\qquad {\text{et}}\qquad s=r+r'.$

Pour la corde $u$ de l’arc parcouru par la comète, dans l’intervalle des deux observations, il est clair qu’on aura

$u^{2}=(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}=r'^{2}+r^{2}-2(xx'+yy'+zz').$

En substituant pour $x,y,z$ et pour $x',y',z'$ leurs valeurs, on aura

${\begin{aligned}xx'+yy'+zz'=&\mathrm {RR} '(ll'+mm'+nn')+\rho \rho '(\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ')\\&-\mathrm {R} \rho '(l\lambda '+m\mu '+n\nu ')-\mathrm {R'} \rho (l'\lambda +m'\mu +n'\nu ).\end{aligned}}$

Or, par les théorèmes connus, l’expression $ll'+mm'+nn'$ doit repré-

senter le cosinus de l’angle compris entre les deux rayons $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ partant du centre de la Terre et dirigés aux deux lieux de la comète dans les deux observations ; de même, $\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu '$ sera le cosinus de l’angle formé au centre de la Terre par les deux rayons $\rho ,\rho '$ dirigés aux deux lieux du Soleil, et ainsi des autres expressions semblables.

Donc si, pour plus de clarté, on imagine que les deux lieux apparents de la comète soient marqués sur la surface de la sphère par les lettres $\mathrm {C,\,C'} ,$ et de même les lieux apparents du Soleil par les lettres $\mathrm {S,\,S'} ,$ et qu’on joigne par des arcs de grands cercles les quatre points $\mathrm {C,\,C',\,S,\,S'} ,$ il est évident que les arcs $\mathrm {CS,\,C'S'}$ représenteront les angles que nous avons dénotés par $\sigma$ et $\sigma '$ que les arcs $\mathrm {CC} '$ et $\mathrm {SS} '$ représenteront les angles dont les cosinus sont

$ll'+mm'+nn'\quad {\text{et}}\quad \lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ',$

et qu’enfin les arcs $\mathrm {CS} '$ et $\mathrm {C'S}$ représenteront les angles dont les cosinus sont

$l\lambda '+m\mu '+n\nu '\quad {\text{et}}\quad l'\lambda +m'\mu +n'\nu .$

Ainsi, en considérant le quadrilatère sphérique $\mathrm {CC'SS'} ,$ qui est censé donné par les deux observations de la comète et par les deux lieux calculés du Soleil, on aura

${\begin{aligned}r^{2}\ =&\mathrm {R^{2}\ -2R\rho \cos(CS)} +\rho ^{2},\\r'^{2}=&\mathrm {R'^{2}-2R'\rho '\cos(C'S')} +\rho '^{2},\\u^{2}\ =&r^{2}+r'^{2}-2\mathrm {RR'\cos(CC')-2\rho \rho '\cos(SS')} \\&\quad +\mathrm {2R\rho '\cos(CS')+2R'\rho \cos(C'S)} \,;\end{aligned}}$

donc, comme la différence $t'-t$ des temps $t$ et $t'$ qui répondent aux deux observations, c’est-à-dire leur intervalle en temps, est censée donnée, on aura, par la formule de l’article cité, l’équation

$t'-t={\frac {(r+r'+u)^{\frac {3}{2}}-(r+r'-u)^{\frac {3}{2}}}{6{\sqrt {g}}}},$

dans laquelle il n’y aura d’inconnues que les deux distances $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '.$

Si l’on a une troisième observation, pour laquelle les quantités analogues soient désignées par les mêmes lettres marquées de deux traits, on aura, par la comparaison de la première observation avec celle-ci, une deuxième équation tout à fait semblable, dans laquelle les lettres marquées d’un trait dans l’équation précédente le seront par deux traits, et qui ne contiendra que les deux inconnues $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} ''.$

On aura de même une troisième équation semblable, par la comparaison de la deuxième observation avec la troisième, en ne faisant que marquer d’un trait, dans la première équation, toutes les lettres qui n’ont point de trait, et de deux traits toutes celles qui en ont un. Ainsi cette troisième équation ne contiendra que les mêmes inconnues $\mathrm {R} '$ et $\mathrm {R} ''\,;$ de sorte que les trois équations ne contiendront que les trois inconnues $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ et suffiront pour les déterminer. Mais, quoique ces équations se présentent sous une forme assez simple, leur résolution offre des difficultés presque insurmontables, parce que les inconnues y sont mêlées entre elles et renfermées dans différents radicaux.

39. Au reste, si l’on pouvait parvenir d’une manière quelconque à trouver les valeurs des rayons $r,\,r',$ on aurait tout de suite le demi-paramètre $b,$ qui, dans la parabole, est égal au double de la distance périhélie, par la formule (art. 25)

$b={\frac {u^{2}-(r'-r)^{2}}{2\left[r+r'-{\sqrt {(r+r')^{2}-u^{2}}}\right]}}\,;$

et comme on a en général (art. 10) l’équation

$\mathrm {C} z+\mathrm {A} x+\mathrm {B} y=0,$

dans laquelle

$\mathrm {\frac {A}{C}} =\sin h\operatorname {tang} i,\quad \mathrm {\frac {B}{C}} =-\cos h\operatorname {tang} i$

(art. 11), on aura ces deux-ci

${\begin{aligned}z\ +(x\ \sin h-y\ \cos h)\operatorname {tang} i=&0,\\z'+(x'\sin h-y'\cos h)\operatorname {tang} i=&0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera facilement les valeurs de $\operatorname {tang} i$ et $\operatorname {tang} h,$ ce qui don-

nera la position du plan de la parabole relativement au plan qu’on aura choisi pour les axes des $x$ et $y.$

On peut même remarquer que, par le moyen de ces équations, qui dépendent de ce que l’orbite de la comète est supposée dans un plan passant par le Soleil, on peut d’abord réduire les trois inconnues à deux seulement.

En effet, si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {L} =\operatorname {tang} i\sin h,\qquad \mathrm {M} =\operatorname {tang} i\cos h,$

on aura, en substituant les valeurs de $x,y,z,$ l’équation

$\mathrm {R} n-\rho \nu =-\mathrm {L} (\mathrm {R} l-\rho \lambda )+\mathrm {M} (\mathrm {R} m-\rho \mu ),$

d’où l’on tire

$\mathrm {R} =\rho {\frac {\mathrm {\nu +\lambda L-\mu M} }{n+l\mathrm {L} -m\mathrm {M} }},$

et l’on aura de même les expressions de $\mathrm {R} '$ et de $\mathrm {R} '',$ en marquant d’un trait et de deux traits les lettres, à l’exception de $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} ,$ qui sont les mêmes pour toutes les observations.

De cette manière, les trois inconnues $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ seront réduites aux deux $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} ,$ de sorte qu’il ne faudra employer que deux équations pour leur détermination, ce qui simplifie un peu la solution du problème.

40. Pour la simplifier davantage, il ne paraît pas qu’il y ait d’autre moyen que de supposer les intervalles de temps entre les observations assez petits pour qu’on puisse négliger plusieurs termes comme insensibles, ce qui ne donnera d’abord qu’une solution approchée qu’on pourra rendre plus exacte ensuite par de nouvelles corrections. C’est aussi ce qu’on a fait jusqu’ici dans toutes les solutions qu’on a données de ce problème.

En appliquant cette hypothèse à la solution précédente, la corde $u$ deviendra très petite, et, en ne retenant que les deux premiers termes des radicaux qui entrent dans l’expression du temps $t'-t$ écoulé entre les deux premières observations, on aura

$t'-t={\frac {u{\sqrt {r+r'}}}{2{\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

ce qui donne

$u^{2}(r+r')=4\mathrm {g} (t'-t)^{2},$

et il n’y aura plus d’autres radicaux dans cette équation que ceux qui entrent dans les expressions de $r$ et $r'\,;$ mais les équations entre les trois inconnues $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ ou entre les deux $\mathrm {L,\,M} ,\ldots$ seront encore trop compliquées pour qu’on puisse les employer avec succès.

On peut conclure de là que ces inconnues ne sont pas celles dont l’emploi est le plus avantageux dans la question présente ; et, lorsqu’on ne demande d’abord qu’une solution approchée, il est beaucoup plus simple de faire usage des formules que nous avons données dans l’article 28, pour le cas où l’on suppose le temps $t$ très petit.

41. Pour appliquer ces formules à la détermination de l’orbite des comètes, il n’y aura qu’à y substituer à la place de $x,\,y,\,z$ les expressions données dans l’article 37 ; on aura ainsi, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {R} l\,\ -\rho \lambda \,=&\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} m-\rho \mu =&\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} n\ -\rho \nu =&\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} ,\end{aligned}}$

où les quantités $\mathrm {x,\,y,\,z} ,\,{\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}$ répondent au commencement du temps $t$ et sont regardées comme constantes, et où $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ sont des fonctions rationnelles de $t$ et des constantes $\mathrm {r,\,s} ,\,{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$

Comme le commencementdu temps $t$ est arbitraire, on peut le fixer au moment de la première observation ; or, en faisant $t=0,$ on a

$\mathrm {T} =1\quad {\text{et}}\quad \mathrm {V} =0\,;$

donc on aura pour la première observation ce premier système d’équations

${\begin{aligned}\mathrm {R} l\,\ -\rho \lambda \,=&\mathrm {x} ,\\\mathrm {R} m-\rho \mu =&\mathrm {y} ,\\\mathrm {R} n\ -\rho \nu =&\mathrm {z} .\end{aligned}}$

Pour la deuxième observation, distante de la première du temps $t,$ on aura, en marquant d’un trait les lettres $\mathrm {R} ,\,l,\,m,\,n,\,\rho ,\,\lambda ,\,\nu ,$ ce second système d’équations

${\begin{aligned}\mathrm {R} 'l'\,\ -\rho '\lambda '\,=&\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} 'm'-\rho '\mu '=&\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} 'n'\ -\rho '\nu '=&\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .\end{aligned}}$

On aura des équations pareilles pour la troisième observation, distante de la première du temps $t',$ en marquant de deux traits les lettres marquées d’un trait dans les dernières équations, et d’un trait les lettres $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ pour indiquer que le $t$ dont elles sont fonctions doit être changé en $t'\,;$ on aura ainsi ce troisième système d’équations

${\begin{aligned}\mathrm {R} ''l''\,\ -\rho ''\lambda ''\,=&\mathrm {xT'} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ',\\\mathrm {R} ''m''-\rho ''\mu ''=&\mathrm {yT'} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ',\\\mathrm {R} ''n''\ -\rho ''\nu ''=&\mathrm {zT'} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} '.\end{aligned}}$

On peut éliminer des premières équations de chacun des trois systèmes les deux constantes $\mathrm {x}$ et ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\,;$ et faisant, pour abréger,

$\mathrm {TV'-VT'=V''} ,$

on aura

$(\mathrm {R} l-\rho \lambda )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'l'-\rho '\lambda ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''l''-\rho ''\lambda '')\mathrm {V} =0.$

Éliminant de même les deux constantes $\mathrm {y} ,\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}$ des secondes équations

des mêmes systèmes, on aura

$(\mathrm {R} m-\rho \mu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'm'-\rho '\mu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''m''-\rho ''\mu '')\mathrm {V} =0,$

et l’élimination des constantes $\mathrm {z} ,\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}$ des dernières équations de ces systèmes donnera pareillement

$(\mathrm {R} n-\rho \nu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'n'-\rho '\nu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''n''-\rho ''\nu '')\mathrm {V} =0,$

De ces trois équations on tire

${\begin{aligned}&\mathrm {R\ \ ={\frac {\rho \Gamma V''-\rho '\Gamma 'V'+\rho ''\Gamma ''V}{GV''}}} ,\\&\mathrm {R'\ =-{\frac {\rho \Gamma _{1}V''-\rho '\Gamma '_{1}V'+\rho ''\Gamma ''_{1}V}{GV'}}} ,\\&\mathrm {R''={\frac {\rho \Gamma _{2}V''-\rho '\Gamma '_{2}V'+\rho ''\Gamma ''_{2}V}{GV}}} ,\\\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

$\mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''-ln'm''-ml'n''-nm'l'',$

et en dénotant par $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma ''$ ce que devient $\mathrm {G}$ lorsqu’on y change $l,\,m,\,n$ respectivement en $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ en $\lambda ',\,\mu ',\,\nu '$ et en $\lambda '',\,\mu '',\,\nu ''\,;$ en dénotant de même par $\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1}$ et par $\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2}$ ce que $\mathrm {G}$ devient en faisant subir les mêmes changements aux quantités $l',\,m',\,n',$ ainsi qu’aux quantités analogues $l'',\,m'',\,n''.$

Maintenant les trois observations donnent aussi (art. 37, 38) les équations

${\begin{aligned}\mathrm {R^{2}\ -2R\rho \quad \cos(CS)} \quad +\rho ^{2}\ \ =&r^{2},\\\mathrm {R'^{2}\ -2R'\rho '\ \cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on y substitue les valeurs précédentes de $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ on aura trois équations finales qui ne contiendront que des quantités connues, avec les quantités $\mathrm {V,\,V',\,V''}$ et $r,\,r',\,r'',$ qui sont données en fonctions du temps et des trois constantes $\mathrm {r,\,s} ,\,{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},$ d’où dépendent les éléments

de l’orbite (art. 28, 29) ; de sorte qu’on pourra déterminer ces trois constantes.

42. En ne poussant l’approximation que jusqu’aux quatrièmes puissances de $t,$ on a

$\mathrm {V} =t-\mathrm {g} {\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}$

et de même,

$\mathrm {V} '=t'-\mathrm {g} {\frac {t'^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t'^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}\,;$

et comme $\mathrm {V''=TV'-VT'} ,$ on aura

$\mathrm {V} ''=t'-t-\mathrm {g} {\frac {(t'-t)^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {(t'-t)^{3}(t+t')}{4\mathrm {r} ^{5}}}.$

En faisant ces substitutions dans les valeurs de $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ et supposant $t'=mt,$ le coefficient $m$ étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations, il est clair que la quatrième dimension de $t$ disparaîtra par la division, et qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de $r'$ et $r''.$

Or on a, en général, aux $t^{4}$ près,

$r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-{\frac {\mathrm {gs} }{3r^{3}}}t^{3}\,;$

mais nous avons supposé que la première observation répond à $t=0,$ et que les deux suivantes répondent aux temps $t$ et $t'=mt\,;$ ainsi l’on aura

${\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+2m\mathrm {s} t+m^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-m^{3}\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3}.\end{aligned}}$

On fera donc ces substitutions dans les trois dernières équations de l’article précédent, et, rejetant les termes qui contiendraient des puissances de $t$ supérieures à la troisième, on aura trois équations entre les trois inconnues $r,s$ et ${\frac {ds}{dt}},$ dont les deux dernières n’y paraîtront que sous la forme linéaire, de sorte qu’il sera très facile de les éliminer et de réduire le problème à une seule équation en $r.$ C’est en quoi consiste le principal avantage de la méthode que nous proposons.

Si l’on voulait pousser l’approximation plus loin et avoir égard à un plus grand nombre de termes dans les valeurs de $\mathrm {V,\,V',\,V''} ,\,r'^{2},\,r''^{2},$ on aurait des équations où les inconnues $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}$ ne seraient plus linéaires, mais monteraient successivement à des dimensions plus hautes, ce qui rendrait leur élimination plus difficile et l’équation finale encore plus compliquée.

43. Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous nous contenterons d’avoir égard, dans les valeurs de $\mathrm {V,\,V',\,V''} ,$ aux troisièmes dimensions de $t$ et de $t',$ ce qui fera disparaître les termes affectés de l’inconnue $\mathrm {s} \,;$ nous ferons, pour plus de simplicité, $\mathrm {g} =1,$ en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances, et représentant les temps par les mouvements moyens du Soleil (art. 23) ; et, supposant $t'=mt,$ nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ =&t-{\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} '\ =&mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} ''=&(m-1)t-{\frac {(m-1)^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}.\end{aligned}}$

Les valeurs de $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ deviendront ainsi de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ =&{\frac {6\mathrm {P} \mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} t^{2}}{\left[6(m-1)\mathrm {r} ^{3}-(m-1)^{3}t^{2}\right]\mathrm {G} }}\\\mathrm {R} '\ =&-{\frac {6\mathrm {P} _{1}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }},\\\mathrm {R} ''=&-{\frac {6\mathrm {P} _{2}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }}\,;\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&(m-1)\,\ \rho \Gamma -m\ \,\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\\\mathrm {Q} =&(m-1)^{3}\rho \Gamma -m^{3}\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\end{aligned}}$

et dénotant par $\mathrm {P_{1},\,Q_{1}} ,$ et $\mathrm {P_{2},\,Q_{2}} ,$ ce que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ deviennent en y changeant $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma ''$ en $\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1}$ et en $\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2}.$

Ces valeurs de $\mathrm {R,R',R''} ,$ distances de la comète à la Terre dans les trois observations, ne contiennent, comme l’on voit, que la seule inconnue $r,$ rayon vecteur de la comète dans la première observation. Si donc on substitue la valeur de $\mathrm {R}$ dans l’équation (art. 25)

$\mathrm {R^{2}+2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}=r^{2}} ,$

on aura une équation finale en $\mathrm {r} ,$ laquelle montera au huitième degré, et le problème sera réduit à la résolution de cette équation.

Ayant trouvé la valeur de $\mathrm {r} ,$ on aura par les formules précédentes celles de $\mathrm {R} '$ et $\mathrm {R} ''\,;$ de là on aura, par les formules de l’article 42, les valeurs des trois rayons vecteurs $r,\,r',\,r'',$ ainsi que celles des coordonnées $\mathrm {x,y,z}$ et de leurs différentielles ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\,;$ et l’on pourra déterminer l’orbite par les formules du § II, ou, si l’on aime mieux, par les formules trigonométriques connues, d’après les trois distances $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ de la comète à la Terre.

44. Les expressions des distances $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ peuvent être simplifiées par la considération suivante comme la Terre et la comète se meuvent autour du Soleil par la même force attractive de cet astre, si l’on nomme $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les coordonnées rectangles de la Terre autour du Soleil lorsque $t=0,$ et qu’on désigne par $\Theta ,\,\Upsilon$ ce que deviennent les fonctions $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ lorsqu’on y change les éléments de l’orbite de la comète en ceux de la Terre, on aura, comme dans l’article 28, les trois équations

${\begin{aligned}-\rho \lambda =&\xi \Theta +{\frac {d\xi }{dt}}\Upsilon ,\\-\rho \mu =&\eta \Theta +{\frac {d\eta }{dt}}\Upsilon ,\\-\rho \nu =&\zeta \Theta +{\frac {d\zeta }{dt}}\Upsilon ,\end{aligned}}$

parce que, ayant dénoté (art. 24) par $\rho \lambda ,\,\rho \mu ,\,\rho \nu$ les coordonnées rec-

tangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre, on aura $-\rho \lambda ,-\rho \mu ,-\rho \nu$ pour celles de la Terre par rapport au Soleil.

Comme ces équations ne diffèrent de celles de l’article 41 que parce que $\mathrm {x,\,y,\,z,\,T,\,V}$ sont changées en $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\,\Theta ,\,\Upsilon$ et que $\mathrm {R}$ y est nul, il est clair qu’on aura des résultats analogues en faisant ces mêmes changements dans ceux que nous venons de trouver dans l’article précédent. Ainsi, puisque les expressions de $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ données à la fin de cet article ne contiennent d’autre quantité dépendante des éléments de l’orbite que le rayon vecteur $\mathrm {r} ,$ si l’on change $\mathrm {r}$ en $\rho ,$ rayon vecteur de l’orbite de la Terre, on aura

$\mathrm {R} =0,\qquad \mathrm {R} '=0,\qquad \mathrm {R} ''=0\,;$

d’où l’on tire

$6\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{\rho ^{3}}},\qquad 6\mathrm {P} _{1}={\frac {\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{\rho ^{3}}},\qquad 6\mathrm {P} _{2}={\frac {\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{\rho ^{3}}}.$

Ces valeurs étant maintenant substituées dans les mêmes expressions de $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ et négligeant, dans le dénominateur, le terme très petit du second ordre en $t^{2}$ vis-à-vis du terme fini en $\mathrm {r} ^{3},$ on aura ces expressions plus simples

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ =&{\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{6(m-1)\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right),\\\mathrm {R} '\ =&{\frac {\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{6m\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right),\\\mathrm {R} ''=&{\frac {\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{6\mathrm {G} }}\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {r} ^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Si donc on substitue la valeur de $\mathrm {R}$ dans l’équation

$\mathrm {R^{2}-2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}-r^{2}} =0,$

et qu’on fasse, pour abréger,

${\frac {\mathrm {Q} t^{2}}{6(m-1)\mathrm {G} }}=\mathrm {K} ,$

quantité toute-connue par les observations, en multipliant par $\rho ^{6}\mathrm {r} ^{6},$ on

aura l’équation

$\mathrm {K^{2}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)^{2}-2K\rho ^{4}r^{3}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)\cos(CS)+\rho ^{6}r^{6}\left(\rho ^{2}-r^{2}\right)} =0,$

où l’inconnue $\mathrm {r}$ montera au huitième degré, mais qui, étant divisible par $\mathrm {r} -\rho ,$ ne sera, après la division, que du septième degré.

Cet abaissement de l’équation en $\mathrm {r}$ est dû à ce que nous avons représenté le mouvement de la Terre, comme celui de la comète, par des formules approchées où l’on a négligé les puissances de $t$ supérieures à la troisième ; il n’aurait pas lieu en employant la valeur de $\mathrm {R}$ de l’\piticle précédent, dans laquelle les lieux du Soleil sont supposés exacts, étant déterminés d’après les Tables.

45. On peut ramener l’équation précédente à une construction assez simple. Ayant mené d’un point donné deux droites qui fassent entre elles un angle égal à l’arc $\mathrm {CS} ,$ distance apparente de la comète au Soleil dans la première observation, et dont la première soit égale à ${\frac {\mathrm {K} }{\rho ^{3}}}$ et la seconde égale à $\rho ,$ il s’agira de trouver dans la première un point tel que la partie comprise entre ce point et l’extrémité de la même droite soit à la droite entière comme le cube de la seconde droite est au cube de la droite qui joindra l’extrémité de celle-ci et le point cherché alors cette dernière droite sera égale à $\mathrm {r} ,$ et la partie de la première interceptée entre le point donné et le point cherché sera égale à $\mathrm {R} .$ Car, par cette construction, on aura la proportion

$\mathrm {{\frac {K}{\rho ^{3}}}-R:{\frac {K}{\rho ^{3}}}::\rho ^{3}:r^{3}} ,$

laquelle donne

$\mathrm {R=K\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)}$

et ensuite

$\mathrm {r={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho R\cos(CS)+R^{2}}}} ,$

d’où résulte l’équation ci-dessus en $\mathrm {r} .$

Lambert, est, je crois, le premier qui ait réduit le problème des comètes, envisagé d’une manière approchée, mais exacte^[8], à une équation unique à une seule inconnue. Il y est parvenu par une considération ingénieuse, fondée sur ce que le lieu apparent de la comète, dans la deuxième observation, s’écarte du grand Cercle mené par les lieux apparents dans la première et dans la troisième observation ; et la détermination de cet écartement l’a conduit directement à une construction analogue à celle que nous venons de donner, et qui se réduit à une équation en $\mathrm {r}$ du septième degré. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1771.)

Connaissant ainsi les valeurs de $\mathrm {r}$ et $\mathrm {R} ,$ on aura

$\mathrm {R} '=-{\frac {m-1}{m}}\mathrm {{\frac {Q_{1}}{Q}}R} ,\qquad \mathrm {R} ''=(m-1)\mathrm {{\frac {Q_{2}}{Q}}R} ,$

et les deux équations (art. 40 et 41)

${\begin{aligned}\mathrm {R'^{2}\,-2R'\ \rho '\,\cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2t-{\frac {t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +m^{2}t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\end{aligned}}$

donneront les valeurs des constantes $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}},$ et de là celles des éléments $a$ et $b$ de l’orbite, par les formules de l’article 28, $2a$ étant le grand axe et $2b$ le paramètre.

46. Si l’on suppose l’orbite parabolique, on aura $a$ infini, ce qui donne ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}.$ Dans ce cas, les deux dernières équations ne contiendront plus que l’inconnue $\mathrm {s} ,$ laquelle étant éliminée, on aura une nouvelle équation en $\mathrm {r}$ qui devra avoir une racine commune avec celle qu’on a déjà trouvée, ce qui servira à faciliter la recherche de cette racine.

En adoptant d’abord pour les comètes l’hypothèse de la parabole, il sera préférable de faire dépendre la solution uniquement de cette dernière équation, parce qu’elle a l’avantage d’être exempte de la quantité $\mathrm {G} ,$ qui est très petite du troisième ordre lorsque les intervalles de temps $t$ et $t'$ ou $mt$ sont très petits du premier, comme on le verra plus bas, de sorte que les erreurs des observations d’où cette quantité dépend peuvent y avoir une influence très grande.

En faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&(m-1)^{2}\left[{\frac {1}{m}}\mathrm {\left({\frac {Q'}{Q}}\right)^{2}-\left({\frac {Q_{2}}{Q}}\right)^{2}} \right],\\\mathrm {N} \,=&-(m-1)^{2}\mathrm {\left[\rho '{\frac {Q_{1}}{Q}}\cos(C'S')+\rho ''{\frac {Q_{2}}{Q}}\cos(C''S'')\right]} ,\end{aligned}}$

et négligeant les termes affectés de $t^{3}$ dans les coefficients de $\rho ,$ l’élimination de cette quantité donnera l’équation en $\mathrm {R}$

$\mathrm {MR^{2}-2NR} +m\rho '^{2}-\rho ''^{2}-(m-1)\mathrm {r} ^{2}+m(m-1){\frac {t^{2}}{\mathrm {r} ^{2}}}=0,$

qui, étant combinée avec l’équation

$\mathrm {R^{2}-2R\rho \cos(CS)+\rho ^{2}-r^{2}} =0,$

donnera, par l’élimination de $\mathrm {R} ,$ une équation en $\mathrm {r}$ du sixième degré ; et si, dans la combinaison des deux équations, on néglige le carré du terme $m(m-1){\frac {t^{2}}{\mathrm {r} }},$ qui serait du quatrième ordre, l’équation finale ne montera plus qu’au cinquième degré. On pourrait même, dans la première approximation, négliger ce terme, qui n’est que du second ordre ; alors l’équation finale ne serait plus que du quatrième degré et pourrait se résoudre directement par les méthodes connues.

La valeur de $\mathrm {r}$ donnera celles de $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ et de là celle de $\mathrm {s} ,$ par les formules de l’article précédent ; et, comme on suppose $a$ infini, on aura

$b=2\mathrm {r-s^{2}} ,$

où le demi-paramètre $b$ devient double de la distance périhélie de la comète.

47. Après avoir réduit le problème des comètes à des équations finales à une seule inconnue, il reste à examiner les quantités qui doivent être supposées connues ; ces quantités sont :

1^o Les trois rayons $\rho ,\rho ',\rho '',$ qui représentent les distances du Soleil à la Terre dans les trois observations, et qui doivent être calculés par les Tables du Soleil ;

2^o Les quantités $\mathrm {G} ,\,\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma '',\,\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1},\,\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2},$ d’où dépendent les valeurs de $\mathrm {P,\,Q,\,P_{1},\,Q_{1},\,P_{2},\,Q_{2}} ,$ (art. 41 et 43). Celles-ci doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du Soleil ; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la détermination beaucoup plus facile.

Commençons par la quantité $\mathrm {G} ,$ dont les autres ne sont que des dérivées on a (art. 41)

$\mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''+ln'm''+ml'n''+nm'l''\,;$

le carré de cette expression peut se mettre sous la forme

${\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=&+\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}\right)\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)\\&+2(ll'+mm'+nn')(ll''+mm''+nn'')(l'l''+m'm''+n'n'')\\&-\left(l^{2}\ \ +m^{2}\,\ +n^{2}\,\ \right)(l'l''+m'm''+n'n'')^{2}\\&-\left(l'^{2}\ +m'^{2}\ +n'^{2}\,\right)(ll''\ \,+mm''\ +nn''\ )^{2}\\&-\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)(ll'\ \ \,+mm'\ \ +nn'\ \ ),\end{aligned}}$

comme on peut s’en convaincre par le développement. Or, par la nature des quantités $l,\,m,\,n,\,l',\,m',\,n',\,l'',\,m'',\,n''$ (art. 37),

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,\qquad l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}=1,\qquad l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}=1.$

Donc, faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ =&ll'\ \ +mm'\ \ +nn'\ \ ,\\\mathrm {L} '\ =&ll''\ +mm''\ +nn'',\\\mathrm {L} ''=&l'l''+m'm''+n'n'',\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {G^{2}=1+2LL'L''-L^{2}-L'^{2}-L''^{2}} .$

Or nous avons déjà remarqué (art. 38) que la quantité $ll'+mm'+nn'$ est égale au cosinus de l’angle compris entre les deux rayons $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ dirigés vers la comète dans les deux premières observations, angle que nous avons désigné par le côté $\mathrm {CC} '$ du triangle sphérique $\mathrm {CC'C''} ,$ supposé tracé sur la sphère en joignant par des arcs de grands cercles les trois lieux apparents de la comète dans les trois observations. Ce triangle est entièrement donné par les observations de la comète, de quelque manière qu’elles aient été faites ; et nous pouvons regarder comme connus ses trois côtés $\mathrm {CC',\,CC'',\,C'C''} ,$ ainsi que les angles $\mathrm {C,C',C''} ,$ qui sont respectivement opposés aux côtés $\mathrm {C'C'',\,CC} ''$ et $\mathrm {CC} '.$

On aura donc

$\mathrm {L=\cos(CC')}$

et de même

$\mathrm {L'=\cos(CC''),\qquad L''=\cos(C'C'')} ,$

et l’expression de la quantité $\mathrm {G} ^{2}$ deviendra

$\mathrm {G^{2}=1+2\cos(CC')\cos(CC'')\cos(C'C'')} \mathrm {-\cos ^{2}(CC')-\cos ^{2}(CC'')-\cos ^{2}(C'C'')} .$

Cette expression de $\mathrm {G} ^{2}$ peut encore se réduire à une forme plus simple ; car il est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci

$\mathrm {\left[\cos(CC'+CC'')-\cos(C'C'')\right]\left[\cos(C'C'')-\cos(CC'-CC'')\right]} ,$

laquelle, par les transformations connues, devient celle-ci

${\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=-4&\sin \mathrm {\left({\frac {CC'+CC''+C'C''}{2}}\right)} \sin \left(\mathrm {\frac {CC'+CC''-C'C''}{2}} \right)\\\times &\sin \left(\mathrm {\frac {CC'-CC''+C'C''}{2}} \right)\sin \left(\mathrm {\frac {C'C''+CC''-CC'}{2}} \right),\end{aligned}}$

formule très commode pour le calcul logarithmique.

Si l’on veut employer les angles du même triangle, on peut avoir encore une expression plus simple de la quantité $\mathrm {G} \,;$ car on a, par les formules connues,

$\mathrm {\cos(C'C'')=\cos(CC')\cos(CC'')+\sin(CC')\sin(CC'')\cos C} \,;$

si l’on fait cette substitution dans la première expression de $\mathrm {G} ^{2},$ on aura, après les réductions,

$\mathrm {G^{2}=\sin(CC')^{2}\sin(CC'')^{2}\sin ^{2}C}$

et, par conséquent, en tirant la racine carrée,

$\mathrm {G\,\,=\sin(CC')\sin(CC'')\sin C} .$

On peut trouver de la même manière

$\mathrm {G=\sin(C'C'')\sin(C'C)\sin C'=\sin(C''C)\sin(C''C')\sin C''} .$

Il est facile de prouver que la quantité $\mathrm {G}$ n’est autre chose que la solidité, prise six fois, de la pyramide triangulaire qui a le sommet au centre de la sphère dont le rayon est supposé égal à l’unité, et qui s’appuie sur le triangle sphérique $\mathrm {CC'C''} ,$ c’est-à-dire qui a pour base le triangle rectiligne formé par les cordes des trois arcs $\mathrm {CC',\,CC'',\,C'C''} \,;$ car, si l’on considère une des faces triangulaires de cette pyramide, celle, par exemple, qui a pour base la corde de l’arc $\mathrm {CC} ',$ on aura ${\frac {1}{2}}\sin(\mathrm {CC} ')$ pour l’aire de ce triangle isoscèle. Ensuite, si l’on considère la-face ad\sqrt{a}cette qui a pour base la corde de l’arc $\mathrm {CC} '',$ il est visible que l’inclinaison mutuelle de ces deux faces sera égale à l’angle $\mathrm {C}$ du triangle sphérique ; par conséquent, la perpendiculaire menée de l’angle $\mathrm {C} ''$ sur la première face sera égale à $\mathrm {\sin(CC'')\sin C} .$ Cette perpendiculaire devient la hauteur de la pyramide, en la supposant couchée sur la première face égale à ${\frac {1}{2}}\sin(\mathrm {CC} ')\,;$ donc la solidité de la pyramide sera égale à

${\frac {1}{6}}\mathrm {\sin(CC')\sin(CC'')\sin C}$

et, par conséquent, égale à ${\frac {\mathrm {G} }{6}}.$

48. Nous dénoterons, en général, par le symbole $(\mathrm {CC'C''} )$ la fonction des côtés et des angles de tout triangle sphérique $\mathrm {CC'C''}$ par laquelle nous avons exprimé la quantité $\mathrm {G} .$

Ainsi, ayant marqué sur un globe les trois lieux apparents de la comète $\mathrm {C,\,C',\,C''} ,$ donnés par les trois observations, et formé le triangle sphérique $\mathrm {CC'C''} ,$ on aura tout de suite

$\mathrm {G=(CC'C'')} .$

Si ensuite on place sur le même globe les trois lieux du Soleil $\mathrm {S} ,\,S',\,S'',$ dans les trois observations, et qu’en joignant ces lieux et ceux de la comète par des arcs de grands cercles on forme différents triangles sphériques $\mathrm {SC'C'',\,S'C'C''} ,\ldots ,$ il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans l’article 40, relativement aux quantités $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma '',\,\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1},\,\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2},$ que les trois premières seront données par des fonctions semblables des triangles $\mathrm {SC'C'',\,S'C'C'',\,S''C'C''} \,;$ que les trois autres seront données par de pareilles fonctions des triangles $\mathrm {CSC'',\,CS'C'',\,CS''C''} ,$ et que les trois dernières le seront par de semblables fonctions des triangles $\mathrm {CC'S,\,CC'S',\,CC'S''} .$ On aura donc ainsi, d’après la même notation,

${\begin{alignedat}{2}\Gamma \ \ =&(\mathrm {SC'C'')} ,\qquad &\Gamma '\ =&(\mathrm {S'C'C''} ),\qquad &\Gamma ''=&(\mathrm {S''C'C''} ),\\\Gamma _{1}=&(\mathrm {CSC''} \ ),&\Gamma _{1}'=&(\mathrm {CS'C''} \ ),&\Gamma _{1}''=&(\mathrm {CS''C''} \ ),\\\Gamma _{2}=&(\mathrm {CC'S} \ \ ),&\Gamma _{2}'=&(\mathrm {CC'S'} \ \ ),&\Gamma _{2}''=&(\mathrm {CC'S''} \ \ ).\end{alignedat}}$

Ces quantités ne dépendent, comme l’on voit, que de la position mutuelle des lieux apparents de la comète et du Soleil, et, comme elles sont les seules qui entrent dans les équations qui déterminent les étéments absolus de l’orbite, notre analyse a l’avantage de séparer la détermination de ces éléments de celle des autres éléments qu’on peut appeler relatifs, parce qu’ils se rapportent à la position de l’orbite dans l’espace.

49. On peut remarquer encore que les expressions que nous venons de donner ont lieu quelle que soit la position des lieux apparents de la comète et du Soleil ; mais lorsque, comme nous l’avons supposé, les lieux de la comète sont peu distants entre eux, les arcs $\mathrm {CC',C'C''}$ seront très petits, et l’angle $\mathrm {C} '$ compris entre ces arcs sera peu différent de deux droits ; il serait égal à deux droits si la Terre et la comète décrivaient, dans l’intervalle de la première à la troisième observation, des lignes droites, parce qu’alors les trois lieux apparents de la comète seraient dans un même grand cercle. Les sinus de $\mathrm {CC',\,C'C''}$ et de $\mathrm {C} '$ seront donc très petits, et la quantité

$\mathrm {G=\sin(CC')\sin(C'C'')\sin C'}$

sera très petite du troisième ordre ; mais les quantités

${\begin{aligned}&\Gamma \ =\mathrm {\sin(S\ C')\sin(S\ C'')\sin S} ,\\&\Gamma '=\mathrm {\sin(S'C')\sin(S'C'')\sin S'} ,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

ne seront que du premier ; et, comme d’ailleurs il n’entre dans la valeur de $\mathrm {G}$ que des quantités dépendantes des lieux apparents de la comète, au lieu que les quantités $\Gamma ,\,\Gamma ',\ldots$ dépendent en partie des lieux du Soleil, qui, étant donnés par les Tables, peuvent être regardés comme exacts, il s’ensuit que la valeur de la quantité $\mathrm {G}$ sera toujours beaucoup plus sujette à erreur que celles des quantités $\Gamma ,\,\Gamma ',\ldots ,$ et qu’ainsi il conviendra, autant qu’il est possible, de l’éviter, comme nous l’avons montré dans l’article 46.

50. Nous remarquerons enfin que, comme l’observation d’une \inftymète donne ordinairement son ascension droite et sa déclinaison, si l’on veut employer immédiatement ces données dans nos formules, il n’y aura qu’à supposer que les trois axes auxquels nous avons rapporté les rayons $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ dirigés vers la comète, et les rayons $\rho ,\,\rho ',\,\rho '',$ dirigés vers le Soleil, soient dirigés, le premier vers l’équinoxe du printemps, le deuxième à angle droit sur le plan de l’équateur et suivant l’ordre des sjgnes, et le troisième vers le pôle boréal de l’équateur alors, nommant $a$ l’ascension droite de la comète, $d$ sa déclinaison dans la première observation, et de même $\alpha$ l’ascension droite du Soleil, $\delta$ sa déclinaison au même instant, il est facile de voir qu’on aura

${\begin{alignedat}{2}l=&\cos a\cos d,\qquad &m=&\sin a\cos d,\qquad &n=&\sin d,\\\lambda =&\cos \alpha \cos \delta ,&\mu =&\sin \alpha \cos \delta ,&\nu =&\sin \delta ,\end{alignedat}}$

De là on aura (article cité)

$\cos(\mathrm {CS} )=l\lambda +m\mu +n\nu =\cos(a-\alpha )\cos d\cos \delta +\sin d\sin \delta$

et, pareillement,

${\begin{aligned}\cos(\mathrm {C'S'} )\ \ =&\cos(a'\ -\alpha '\,)\cos d'\cos \delta '\ \,+\sin d'\sin \delta ',\\\cos(\mathrm {C''S''} )=&\cos(a''-\alpha '')\cos d''\cos \delta ''+\sin d''\sin \delta '',\end{aligned}}$

en marquant, comme nous l’avons fait, par un trait et par deux traits les quantités analogues qui se rapportent à la deuxième et à la troisième observation.

On aura de la même manière

${\begin{aligned}\cos(\mathrm {CC'} )=&\cos(a-a')\cos d\cos d'+\sin d\sin d',\\\cos(\mathrm {SS'} )\,=&\cos(\alpha -\alpha ')\cos \delta \cos \delta '+\sin \delta \sin \delta ',\\\cos(\mathrm {CS'} )=&\cos(a-\alpha ')\cos d\cos \delta '+\sin d\sin \delta ',\end{aligned}}$

et ainsi des autres cosinus.

Si ensuite on substitue ces mêmes valeurs de $l,\,m,\,n,$ $l',\,m',\,n',$ $l'',\,m'',\,n''$ dans l’expression de $\mathrm {G} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {G} =&+\cos d\cos d'\sin d''\sin(a'-a)\\&-\cos d\cos d''\sin d'\sin(a''-a)+\cos d'\cos d''\sin d\sin(a''-a')\\=&-\cos d\cos d'\cos d''\\&\times \left[\sin(a-a')\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} d'+\sin(a'-a'')\operatorname {tang} d\right],\end{aligned}}$

et l’on en déduira les valeurs de $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma '',$ en changeant $a$ et $d$ en $\alpha$ et $\delta ,$ en $\alpha '$ et $\delta ',$ en $\alpha ''$ et $\delta ''\,;$ et celles de $\Gamma _{1},\,\Gamma _{1}',\,\Gamma _{1}'',$ en faisant les mêmes changements sur $a'$ et $d',$ et celles de $\Gamma _{2},\,\Gamma _{2}',\,\Gamma _{2}'',$ en faisant ces mêmes changements sur $a''$ et $d''.$ On aura ainsi

${\begin{aligned}\Gamma \ \,=&-\cos \delta \cos d'\cos d''\\&\times \left[\sin(\alpha -a')\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} d'+\sin(a'-a'')\operatorname {tang} \delta \right],\\\Gamma _{1}=&-\cos d\cos \delta \ \cos d''\\&\times \left[\sin(a-\alpha \ )\operatorname {tang} d''+\sin(a''-a)\operatorname {tang} \delta \ \ +\sin(\alpha \ -a'')\operatorname {tang} d\right],\\\Gamma _{2}=&-\cos d\cos d'\cos \delta \\&\times \left[\sin(a-a')\operatorname {tang} \delta \ \ \ +\sin(\alpha \;-a)\operatorname {tang} \delta '\,+\sin(a'\,-\alpha \ )\operatorname {tang} \delta \right]\,;\end{aligned}}$

et pour avoir les valeurs de $\Gamma ',\,\Gamma '_{1},\,\Gamma '_{2},$ et de $\Gamma '',\,\Gamma ''_{1},\,\Gamma ''_{2},$ il n’y aura qu’à marquer, dans les expressions de $\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},$ les lettres $\alpha$ et $\delta$ d’un trait et de deux traits.

Il est inutile d’observer que si, au lieu des ascensions droites et des déclinaisons, on avait pour données les longitudes et les latitudes, il n’y aurait qu’à substituer ces données à la place de celles-là dans les mêmes formules ; l’orbite se trouverait alors rapportée à l’écliptique, au lieu de l’être à l’équateur.

51. Après avoir calculé ces valeurs, on calculera celles des quantités $\mathrm {Q,\,Q_{1},\,Q_{2}}$ par la formule de l’article 42 ; et si l’on veut employer la méthode de l’article 44, comme la plus courte, on aura tout de suite l’équation finale en $r,$ dont la résolution ne sera pas difficile, en la réduisant pour la première approximation au quatrième degré.

Si les intervalles entre les observations étaient égaux, on aurait $i=2t$ et, par conséquent, $m=2,$ ce qui donnerait

$\mathrm {Q} =\rho \Gamma -8\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma ''=-6\rho '\Gamma '+\Delta ^{2}\rho \Gamma ,$

en désignant par la caractéristique $\Delta ^{2}$ la différence seconde des quantités $\rho \Gamma ,\,\rho \Gamma ',\,\rho \Gamma '',$ dans lesquelles il n’y a que les quantités relatives au Soleil qui varient. Or, comme on suppose les observations peu distantes entre elles, les différences de ces quantités seront très petites, par conséquent la différence seconde $\Delta ^{2}\rho \Gamma$ sera très petite du second ordre et pourra être négligée vis-à-vis de la quantité finie $-6\rho '\Gamma ',$ ce qui réduira la valeur de $\mathrm {Q}$ à cette seule quantité, et l’on pourra faire les mêmes réductions sur les quantités analogues $\mathrm {Q_{1},\,Q_{2}} \,;$ de sorte qu’on aura simplement

$\mathrm {Q} =-6\rho '\Gamma ',\quad \mathrm {Q} _{1}=-6\rho '\Gamma '_{1},\quad \mathrm {Q} _{2}=-6\rho '\Gamma '_{2},$

ce qui abrégera encore le calcul de la première approximation.

À l’égard de la mesure du temps, comme ce temps doit être représenté par le mouvement moyen du Soleil, si on veut l’exprimer en jours moyens, il suffira de multiplier le nombre des jours et des décimales de jour par l’angle du mouvement moyen du Soleil dans un jour, réduit en parties du rayon. Cet angle est de $59'8''{,}3,$ et donne en parties du rayon le nombre $0{,}0172021,$ par lequel il faudra donc multiplier les intervalles de temps $t,$ réduits en jours moyens.

CHAPITRE DEUXIÈME.

Sur la variation des éléments des orbites elliptiques produite par une force d’impulsion ou par des forces accélératrices.

52. Un des premiers et des plus beaux résultats de la théorie de Newton sur le système du monde consiste en ce que toutes les orbites des corps célestes sont de même nature et ne diffèrent entre elles qu’à raison de la force de projection que ces corps peuvent être supposés avoir reçue dans l’origine des choses. Il suit de là que, si une planète ou une comète venait à recevoir une impulsion étrangère quelconque, son orbite en serait dérangée ; mais il n’y aurait que les éléments, qui sont les constantes arbitraires de l’équation, qui pourraient changer c’est ainsi que l’orbite circulaire ou elliptique d’une planète pourrait devenir parabolique ou même hyperbolique, ce qui transformerait la planète en comète.

Il en est de même de tous les problèmes de Mécanique. Comme les constantes arbitraires introduites par les intégrations dépendent de l’état initial du système, qui peut être placé dans un instant quelconque, si l’on suppose que les corps viennent à recevoir pendant leur mouvement des impulsions quelconques, les vitesses produites par ces impulsions, étant composées avec les vitesses acquises par les corps, pourront être regardées comme des vitesses initiales et ne feront que changer les valeurs des constantes.

Et si, au lieu d’impulsions finies, qui n’agissent que dans un instant, on suppose des impulsions infiniment petites, mais dont l’action soit continuelle, les mêmes constantes deviendront tout à fait variables et serviront à déterminer l’effet de ces sortes de forces, qu’il faudra regarder comme des forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avons donné une solution générale dans la Section $\mathrm {V} ,$ et que nous appliquerons ici aux orbites des planètes.

§ I. — Du changement produit dans les éléments de l’orbite d’une planète,
lorsqu’elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.

53. Nous avons vu, dans le § II du Chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les éléments du mouvement elliptique d’une planète par des fonctions des coordonnées $x,\,y,\,z$ et de leurs différentielles ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ qui expriment les vitesses suivant les directions de ces coordonnées. Si donc on suppose qu’une planète, pendant qu’elle se meut, reçoive dans un lieu quelconque de son orbite une impulsion qui lui communique les vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter, il n’y aura qu’à mettre dans les mêmes fonctions

${\frac {dx}{dt}}+{\dot {x}},\quad {\frac {dy}{dt}}+{\dot {y}},\quad {\frac {dz}{dt}}+{\dot {z}}$

à la place de ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ et l’on aura les éléments de la nouvelle orbite que la planète décrira après l’impulsion.

Si, à la place des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ on prend, comme dans l’article 5, le rayon vecteur $r,$ avec les angles $\psi$ et $\varphi$, dont le premier $\psi$ soit l’inclinaison de $r$ sur le plan fixe des $xy,$ et dont l’autre $\varphi$ soit l’angle de la projection de $r$ sur ce plan avec l’axe fixe des $x,$ les expressions de l’orbite deviennent plus simples.

En effet, en substituant $r\cos \psi \cos \varphi ,\,r\cos \psi \sin \varphi$ et $r\sin \psi$ à la place de $x,\,y,\,z,$ on trouve, pour les éléments $a,\,b,\,h,\,i,$

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{gdt^{2}}},\quad b={\frac {r^{4}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{gdt^{2}}},$

${\begin{aligned}\operatorname {tang} h=&{\frac {\sin \varphi d\psi -\sin \psi \cos \psi \cos \varphi d\varphi }{\cos \varphi d\psi +\sin \psi \cos \psi \sin \varphi d\varphi }},\\\operatorname {tang} i=&{\frac {\sqrt {d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}\psi d\varphi }}.\end{aligned}}$

Dans ces formules, les expressions différentielles ${\frac {dr}{dt}},\,{\frac {r\cos \psi d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {rd\psi }{dt}}$ représentent les vitesses dans la direction du rayon $r,$ dans une direction perpendiculaire à ce rayon et parallèle au plan de projection, et dans une direction normale au plan des deux autres composantes.

54. Prenons, pour plus de simplicité, le plan de projection dans le plan même de l’orbite, et supposions que la vitesse reçue par l’impulsion soit décomposée en trois, l’une suivant le rayon $r,$ l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite, et la troisième perpendiculaire à ce plan. Si l’on désigne la première par ${\dot {r}},$ la deuxième par $r{\dot {\varphi }}$ et la troisième par $r{\dot {\psi }},$ on aura les éléments de la nouvelle orbite après l’impulsion, en mettant dans les expressions précédentes $dr+{\dot {r}}dt,$ $d\varphi +{\dot {\varphi }}dt,\,d\psi +{\dot {\psi }}dt$ à la place de $dr,\,d\varphi ,\,d\psi ,$ et faisant $\psi =0,\ d\psi =0\,;$ alors la position de la nouvelle orbite se trouvera rapportée au plan de l’orbite primitive.

Soient $\mathrm {A,\,B,\,H,\,I}$ ce que les éléments $a,\,b,\,h,\,i$ deviennent pour la nouvelle orbite ; on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {A} }}=&{\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]+\left(dr+{\dot {r}}dt\right)^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r^{4}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]}{\mathrm {g} dt^{2}}},\end{aligned}}$

$\operatorname {tang} \mathrm {I} ={\frac {{\dot {\psi }}dt}{d\varphi +{\dot {\varphi }}dt}},\qquad \operatorname {tang} \mathrm {H} ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\operatorname {tang} \varphi \,;$

donc

$\mathrm {H} =\varphi \,;$

en effet, il est clair que le nœud de la nouvelle orbite avec l’orbite primitive doit être dans le lieu où se fait l’impulsion.

Si l’on fait aussi $\psi =0$ et ${\frac {d\psi }{dt}}=0$ dans les expressions des éléments primitifs $a$ et $b,$ on a

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\qquad b={\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},$

et de là on tire

${\frac {d\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\frac {\sqrt {b}}{r^{2}}},\qquad {\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.$

En substituant ces valeurs, on aura les éléments de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l’orbite primitive et par les vitesses ${\dot {r}},\,r{\dot {\varphi }},\,r{\dot {\psi }}$ produites par l’impulsion.

55. Supposons maintenant qu’on demande l’impulsion nécessaire pour changer les éléments primitifs $a,\,b$ en $\mathrm {A,B} ,\ldots$ et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l’angle $\mathrm {I} \,;$ il ne s’agira que d’avoir les expressions ${\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {r}}$ en $\mathrm {A,\,B,\,I} ,\ldots$ et $a,\,b,\,r.$ Les formules que nous venons de trouver donnent

${\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\sin I} }{r^{2}}},\qquad {\dot {\varphi }}={\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\cos I} -{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{r^{2}}},\\{\dot {r}}=&{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}}-{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Soit $u$ la vitesse imprimée par l’impulsion, et soient $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles que la direction de l’impulsion fait avec trois axes dont l’un soit le rayon $r$ prolongé, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan ; on aura, par le principe de la décomposition, $u\cos \alpha ,\,u\cos \beta ,\,u\cos \gamma$ pour les trois vitesses suivant ces axes, lesquelles sont aussi celles que nous avons désignées par ${\dot {r}},\,r{\dot {\varphi }},\,r{\dot {\psi }}.$ On aura donc

$u\cos \alpha ={\dot {r}},\qquad u\cos \beta =r{\dot {\varphi }},\qquad u\cos \gamma =r{\dot {\psi }}\,;$

d’où l’on tire, à cause de $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

$u={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+r^{2}{\dot {\psi }}^{2}}}.$

Donc, si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {F} ={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}},\qquad f={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}},$

on aura

$u={\sqrt {\mathrm {g} \left({\frac {4}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {1}{a}}-2{\frac {\sqrt {\mathrm {B} b}}{r^{2}}}\cos \mathrm {I} -2\mathrm {F} f\right)}},$

$\cos \alpha ={\frac {\mathrm {F} -f}{u}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \beta ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} -{\sqrt {b}}}{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \gamma ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\sin \mathrm {I} }{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }}.$

Mais, si l’on voulait rapporter la direction de l’impulsion à deux autres axes placés dans le plan de l’orbite primitive, dont l’un serait perpendiculaire et l’autre tangent à cette orbite, alors, en nommant l’angle que la perpendiculaire à l’orbite fait avec le rayon vectcur $r,$ et dont la tangente est exprimée par ${\frac {dr}{rd\varphi }},$ les vitesses imprimées suivant ces deux axes seront

${\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon \qquad {\text{et}}\qquad {\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon ,$

la vitesse suivant le troisième axe perpendiculaire au plan de l’orbite demeurant la même. Si donc on désigne par $\alpha '$ et par $\beta '$ les angles que la direction de l’impulsion fait avec ces nouveaux axes, on aura

${\begin{aligned}u\cos \alpha '=&{\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon ,\\u\cos \beta '=&{\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon .\end{aligned}}$

Or on a

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {dr}{rd\varphi }}={\frac {fr}{\sqrt {b}}}\,;$

d’où l’on tire, en substituant la valeur de $f,$

$\sin \varepsilon ={\frac {f}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}},\qquad \cos \varepsilon ={\frac {\sqrt {b}}{r{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}\,;$

et de là on aura

${\begin{aligned}\cos \alpha '=&{\frac {\mathrm {F} {\sqrt {b}}-f{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} }{ur{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\\\cos \beta '=&\left({\frac {r^{2}\mathrm {F} f+{\sqrt {\mathrm {B} b}}\cos \mathrm {I} }{ur^{2}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}-{\frac {\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}{u}}\right){\sqrt {\mathrm {g} }},\end{aligned}}$

où l’on remarquera que ${\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}$ est la vitesse dans l’orbite primitive.

À l’égard des signes ambigus des radicaux qui entrent dans ces formules, on remarquera :

1^o Que $f,$ étant la valeur de ${\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}},$ exprime la vitesse suivant le rayon $r$ dans l’orbite primitive, et que $\mathrm {F}$ exprimera la vitesse suivant ce rayon dans la nouvelle orbite ; ainsi il faudra prendre ces quantités positivement ou négativement, suivant que les vitesses qu’elles représentent tendront à augmenter ou à diminuer le rayon $r,$ c’est-à-dire à éloigner ou à rapprocher le corps du foyer ;

2^o Que ${\frac {\sqrt {b}}{r}},$ étant égal à ${\frac {rd\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}},$ représente la vitesse circulatoire autour du foyer dans l’orbite primitive, et que, de même, ${\frac {\sqrt {\mathrm {B} }}{r}}$ représentera la vitesse circulatoire dans la nouvelle orbite, et ${\frac {\sqrt {\mathrm {B} }}{r}}\cos \mathrm {I}$ sera cette vitesse circulatoire rapportée au plan de l’orbite primitive. Ainsi, en prenant ${\sqrt {b}}$ positivement, il faudra prendre l’autre radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ positivement ou négativement, suivant que la nouvelle orbite sera, par rapport au plan de l’orbite primitive, dans le même sens que dans cette orbite ou en sens contraire, c’est-à-dire suivant que le mouvement dans la nouvelle orbite sera direct ou rétrograde, relativement au mouvement dans l’orbite primitive.

56. Lorsqu’on voudra appliquer ces formules aux planètes et aux comètes, on fera $\mathrm {g} =1,$ en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances et la vitesse moyenne de la Terre dans son orbite pour l’unité des vitesses. Cette vitesse est à peu près de $7$ lieues, de $25$ au degré, par seconde. La vitesse d’un boulet de $24,$ au sortir du canon, est d’environ $1400$ pieds, ou $233$ toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d’un point de l’équateur dans le mouvement diurne de la Terre, celle-ci étant de $238$ toises par seconde. Donc si, pour rendre nos estimations plus sensibles, nous prenons pour unité cette vitesse d’un boulet de $24,$ laquelle est à peu près d’un dixième de lieue, la vitesse de la Terre dans son orbite sera exprimée par le nombre $70$ par conséquent, il faudra multiplier par $70$ la valeur $u$ de la vitesse d’impulsion.

Voyons quelle peut être la plus grande valeur de $u.$

En nommant $e$ l’excentricité de l’orbite primitive et $\varphi$ l’anomalie vraie qui répond au rayon $r,$ on a (art. 15)

$r={\frac {b}{1+e\cos \varphi }}={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \varphi }}\,;$

donc

${\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{r(1+e\cos \varphi )}}.$

Ainsi la plus petite valeur de ${\frac {1}{a}}$ sera ${\frac {1-e}{r}},$ et de même la plus petite valeur de ${\frac {1}{\mathrm {A} }}$ sera ${\frac {1-\mathrm {E} }{r}},$ en nommant $\mathrm {E}$ l’excentricité de la nouvelle orbite. Donc la plus grande valeur des termes ${\frac {4}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {1}{a}}$ sera ${\frac {2+\mathrm {E} +e}{r}}\,;$ et cette expression aura lieu aussi pour les orbites hyperboliques où $\mathrm {E}$ et $e$ surpasseraient l’unité.

Par les mêmes formules, on a ${\frac {b}{r}}=1+e\cos \varphi ,$ dont la plus grande valeur est $1+e\,;$ la plus grande valeur de ${\frac {\mathrm {B} }{r}}$ sera de même $1+\mathrm {E} \,;$ donc la plus grande valeur de ${\frac {\sqrt {\mathrm {B} b}}{r^{2}}}$ sera ${\frac {\sqrt {(1+\mathrm {E} )(1+e)}}{r}}\,;$ mais il est facile de prouver que

${\sqrt {(1+\mathrm {E} )(1+e)}}<1+{\frac {\mathrm {E} +e}{2}},$

car la différence de leurs carrés est ${\frac {1}{4}}(\mathrm {E} -e)^{2}\,;$ donc on aura toujours

${\frac {2{\sqrt {\mathrm {B} b}}}{r^{2}}}<{\frac {2+\mathrm {E} +e}{r}}.$

Il faut encore chercher les plus grandes valeurs de $f$ et $\mathrm {F} .$ Or, les plus petites valeurs de ${\frac {1}{a}}$ et de ${\frac {b}{r^{2}}}$ étant ${\frac {1-e}{r}},$ la plus grande valeur de $f$ sera ${\sqrt {\frac {2e}{r}}},$ et de même la plus grande valeur de $\mathrm {F}$ sera ${\sqrt {\frac {2\mathrm {E} }{r}}}.$

Donc, puisque dans les expressions de $u,\,{\sqrt {b}},\,{\sqrt {\mathrm {B} }},\,f$ et $\mathrm {F}$ peuvent avoir les signes $+$ ou $-$ en prenant positivement les termes qui contiennent ces radicaux, et donnant aussi à $\cos \mathrm {I}$ sa plus grande valeur $1,$ on aura

$u<{\sqrt {\frac {4+2(\mathrm {E} +e)+4{\sqrt {\mathrm {E} e}}}{r}}}.$

Cette limite se réduira à ${\sqrt {\frac {6}{r}}},$ lorsque l’orbite primitive sera circulaire ou presque circulaire comme celle des planètes, et que la nouvelle sera parabolique comme celles des comètes.

57. Les principales circonstances du mouvement des planètes autour du Soleil nous portent à croire qu’elles ont eu une origine commune c’est le contraire pour les comètes ; elles n’ont de commun entre elles que le mouvement dans une parabole, ou, en général, dans une section conique, et elles paraissent avoir été jetées au hasard dans l’espace.

Ne peut-on pas supposer que la cause qui a produit nos planètes en a produit en même temps un plus grand nombre d’autres placées au delà de Saturne, et décrivant des orbites semblables, comme Uranus, mais dont plusieurs seront devenues ensuite comètes, en éclatant par une explosion interne ? Car, une planète étant brisée en deux ou plusieurs morceaux, par la force de l’explosion, chacun de ces morceaux recevra une impulsion qui lui fera décrire une orbite différente de celle de la planète ; et, pour que cette orbite soit parabolique, il suffira que la vitesse imprimée par l’explosion n’excède pas $70{\sqrt {\frac {6}{r}}}$ fois celle d’un boulet de canon^[9]. Pour Saturne on a $r=9,$ et pour Uranus $r=19\,;$ en supposant $r=24,$ il suffira d’une vitesse moindre que $35$ fois celle d’un boulet, qui n’est produite que par une poignée de poudre.

L’hypothèse d’une planète brisée par une explosion interne a déjà été proposée par M. Olbers, pour expliquer la presque égalité des éléments des quatre nouvelles planètes ; et ce qui pourrait la confirmer, ce sont les variations de lumière qu’on observe dans ces planètes, et qui, en indiquant un mouvement de rotation, indiquent en même temps que leur figure n’est pas de révolution comme celles des autres planètes ; que, par conséquent, elles ne pouvaient pas être fluides, mais qu’elles devaient être déjà durcies lorsqu’elles sont devenues planètes comme elles le sont dans l’état actuel.

Si l’on suppose l’orbite primitive circulaire, et l’orbite changée par l’explosion elliptique, mais peu différente d’un cercle et peu inclinée au plan de l’orbite primitive, et qu’on n’ait égard qu’aux premières dimensions de l’excentricité $\mathrm {E}$ et du sinus de l’inclinaison $\mathrm {I} ,$ on a

$u={\frac {\sqrt {\mathrm {E} ^{2}\left(\sin ^{2}\Phi +{\frac {1}{4}}\cos ^{2}\Phi \right)+\sin ^{2}\mathrm {I} }}{\sqrt {r}}},$

$\cos \alpha ={\frac {\mathrm {E} \sin \Phi }{u{\sqrt {r}}}},\qquad \cos \beta ={\frac {\mathrm {E} \cos \Phi }{2u{\sqrt {r}}}},\qquad \cos \gamma ={\frac {\sin \mathrm {I} }{u{\sqrt {r}}}},$

l’angle $\Phi$ étant celui que le rayon $r$ fait avec le rayon du périhélie,

Ainsi, puisque les excentricités et les inclinaisons des planètes ne gardent entre elles aucune loi et n’ont de commun que leur petitesse, on pourrait supposer que les orbites des planètes ont été circuiaires dans leur formation, et qu’elles sont devenues ensuite elliptiques et inclinées par l’effet de petites explosions internes. En effet, si un petit morceau $m$ de la masse $\mathrm {M}$ d’une planète en avait été détaché et lancé avec une vitesse $\mathrm {V}$ capable d’en faire une comète, la planète n’aurait reçu en sens contraire qu’une petite vitesse ${\frac {m\mathrm {V} }{\mathrm {M} -m}}$ qui aurait pu changer son orbite circulaire en elliptique et inclinée, comme celles de nos planètes, et la même impulsion aurait pu produire aussi quelque changement sur sa rotation, comme nous le verrons plus bas.

§ II. — Variations des éléments des planètes produites
par des forces perturbatrices.

58. Supposons maintenant que les impulsions qui changent les constantes arbitraires soient infiniment petites et continuelles ; ces constantes deviennent variables, et l’on pourra, de cette manière, réduire l’effet des forces perturbatrices des planètes aux variations des éléments de leurs orbites.

Soient $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les forces perturbatrices décomposées suivant les directions des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ et tendantes à augmenter ces coordonnées ; ces forces engendreront pendant l’instant $dt$ les petites vitesses $\mathrm {X} dt,\,\mathrm {Y} dt,\,\mathrm {Z} dt,$ qu’il faudra ajouter aux vitesses ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ dans l’expression de chacun des éléments $a,\,b,\,c,\ldots ,$ comme dans l’article 52. Mais, comme ces vitesses additionnelles sont ici infiniment petites, elles ne produiront dans les éléments que des variations infiniment petites, qu’on pourra déterminer par le Calcul différentiel.

Faisons, pour abréger,

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'\,;$

chacun des éléments sera exprimé par une fonction donnée de $x,\,y,$ $z,\,x',\,y',\,z'.$ Soit $a$ un quelconque de ces éléments ; on aura sa variation $da$ en augmentant $x',\,y',\,z'$ des quantités infiniment petites $\mathrm {X} dt,\,\mathrm {Y} dt,\,\mathrm {Z} dt\,;$ on aura ainsi

$da=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}\mathrm {X} +{\frac {\partial a}{\partial y'}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial a}{\partial z'}}\mathrm {Z} \right)dt,$

et l’on aura de pareilles équations pour les autres éléments de l’orbite $b,\,c,\,h,\,i,\,k.$

Pour faire usage de ces équations, il faudra substituer à la place des variables $x,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ leurs valeurs en $t$ et en $a,\,b,\,c,\ldots$ données par les formules trouvées dans le premier Chapitre ; on aura ainsi autant d’équations du premier ordre entre le temps $t$ et les éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ devenus variables qu’il y a de ces éléments, et il ne s’agira plus que de les intégrer.

Si l’on voulait introduire directement les forces perturbatrices dans les équations de l’orbite primitive (art. 4), il n’y aurait qu’à ajouter respectivement les quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ aux termes $\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial x}},\,\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial y}},\,\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial z}}$ de ces équations. Ainsi l’on peut regarder les équations précédentes entre les nouvelles variables $a,\,b,\,c,\ldots$ comme des transformées des équations en $x,\,y,\,z\,;$ mais ces transformations seraient peu utiles pour la solution générale du problème. Leur grande utilité est lorsque la solution rigoureuse est impossible, et que les forces perturbatrices sont très petites ; elles fournissent alors un moyen d’approximation que nous avons exposé d’une manière générale dans la Section V.

59. Cette approximation, fondée sur la variation des éléments, est surtout applicable aux orbites elliptiques des planètes, en tant qu’elles sont dérangées par l’action des autres planètes, et les géomètres l’ont souvent employée dans la théorie des planètes et des comètes ; on peut dire que ce sont les observations elles-mêmes qui l’ont fait connaître avant qu’on y eût été conduit par le calcul ; elle a l’avantage de conserver la forme elliptique des orbites, et même de supposer l’ellipse invariable pendant un temps infiniment petit, de manière que non seulement le lieu de la planète, mais aussi sa vitesse et sa direction^[10] ne soient point affectés de la variation instantanée des éléments.

En effet, en regardant les coordonnées $x,\,y,\,z$ comme des fonctions du temps et des éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ devenus variables, on a, par la différentiation,

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc+\ldots ,$

et il est facile de prouver que la partie qui contient les variations $da,\,db,\ldots$ devient nulle par la substitution de la valeur de $da$ donnée ci-

dessus, et des valeurs semblables de $db,\,dc,\ldots ,$ car, en faisant ces substitutions dans les termes ${\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+\ldots$ et ordonnant par rapport aux quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on aura

${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots \right)\mathrm {X} dt\\+&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots \right)\mathrm {Y} dt\\+&\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots \right)\mathrm {Z} dt.\end{aligned}}$

Mais, en regardant d’abord $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ comme fonctions de $a,\,b,\,c,\,h,\,i,\,k,$ et ensuite $a,\,b,\,c,\ldots$ comme fonctions de $x,\,y,\,z,\,x',\ldots ,$ on a

${\begin{aligned}&dx={\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc+{\frac {\partial x}{\partial h}}dh+\ldots ,\\&dy={\frac {\partial y}{\partial a}}da\,+{\frac {\partial y}{\partial b}}db\,+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc\,+{\frac {\partial y}{\partial h}}dh+\ldots ,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&da={\frac {\partial a}{\partial x}}dx+{\frac {\partial a}{\partial y}}dy+{\frac {\partial a}{\partial z}}dz+{\frac {\partial a}{\partial x'}}dx'+\ldots ,\\&db={\frac {\partial b}{\partial x}}dx\,+{\frac {\partial b}{\partial y}}dy\,+{\frac {\partial b}{\partial z}}dz+{\frac {\partial b}{\partial x'}}dx'+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

Substituant dans l’expression de $dx,\,dy,\ldots$ ces valeurs de $da,\,db,\ldots ,$ on doit avoir des équations identiques ; par conséquent, il faudra que les termes affectés de $dx',\,dy',\,dz',$ dans les expressions de $dx,\,dy,\,dz,$ deviennent nuls ; ce qui donnera, par rapport à $dx,$ les équations identiques

${\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots =0,\\&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots =0,\\&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots =0.\end{aligned}}$

On aura donc simplement

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt,$

et l’on trouvera de la même manière

$dy={\frac {\partial y}{\partial t}}dt,\qquad dz={\frac {\partial z}{\partial t}}dt,$

comme si les constantes $a,b,c,h,\ldots$ ne variaient point.

60. Lorsque les forces perturbatrices viennent des attractions d’autres corps fixes ou mobiles, et que ces attractions sont proportionnelles à des fonctions des distances, alors, si l’on désigne, comme dans l’article 8 de la Section V, par $-\Omega$ la somme des intégrales de chaque force multipliée par l’élément de sa distance au centre d’attraction, et qu’on regarde la quantité $\Omega$ comme fonction de $x,\,y,\,z,$ les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont de la forme

$\mathrm {X} ={\frac {\partial \Omega }{\partial x}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\partial \Omega }{\partial y}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\partial \Omega }{\partial z}}\,;$

je donne ici le signe $+$ à la quantité $\Omega ,$ parce que j’ai supposé que les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ tendent à augmenter les distances $x,\,y,\,z,$ au lieu que, dans les fonctions $-\Omega ,$ les forces perturbatrices, dirigées sur des centres, sont supposées tendre à diminuer les distances des corps à ces centres.

Dans ce cas, qui est celui de la nature, les variations des éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ peuvent s’exprimer d’une manière plus simple, en employant, au lieu des différences partielles de $\Omega$ relatives à $x,\,y,\,z,$ ses différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ après la substitution des valeurs de $x,y,z$ en $t$ et $a,\,b,\,c,\ldots \,;$ c’est cette considération qui a fait naître la nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires.

Si l’on regarde $x,\,y,\,z$ comme fonctions de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial x}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et, ces valeurs étant substituées dans l’expression de $da$ de l’article 58, à la place de $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ elle deviendra

${\begin{aligned}da=&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial a}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial b}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial c}{\partial z}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt.\end{aligned}}$

On peut faire disparaître de cette expression les termes multipliés par ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},$ par la considération que, $\Omega$ ne contenantpointles variables $x',\,y',\,z',$ on a

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial x'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}+\ldots =0,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial y'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y'}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}+\ldots =0,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial z'}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}+\ldots =0.\end{aligned}}$

Donc, si l’on soustrait de la valeur de $da$ la quantité

$\left({\frac {\partial \Omega }{\partial x'}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y'}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z'}}{\frac {\partial a}{\partial z}}\right)dt,$

${\begin{aligned}da=&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial b}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial b}{\partial z}}-{\frac {\partial a}{\partial x}}{\frac {\partial b}{\partial x'}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}{\frac {\partial b}{\partial y'}}-{\frac {\partial a}{\partial z}}{\frac {\partial b}{\partial z'}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt\\&+\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial c}{\partial z}}-{\frac {\partial a}{\partial x}}{\frac {\partial c}{\partial x'}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}{\frac {\partial c}{\partial y'}}-{\frac {\partial a}{\partial z}}{\frac {\partial c}{\partial z'}}\right){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt.\end{aligned}}$

Cette expression de $da$ est, en apparence, plus compliquée que la formule primitive d’où nous sommes partis ; mais elle a, d’un autre côté, le grand avantage que les coefficients des différences partielles ${\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial c}},\ldots$ deviennent indépendants du temps $t,$ après la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ en $t$ et $a,\,b,\,c,\ldots ,$ données par le mouvement elliptique de la planète, comme on peut s’en assurer par la différentiation, en faisant varier le temps $t$ dans les coefficients.

61. En effet, puisque $a$ est censé fonction de $t,\,x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z',$ et que $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ varient aussi avec $t,$ de manière que

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'$

et

${\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},$

par les équations différentielles du problème (art. 4), il s’ensuit qu’on aura, en différentiant par rapport à $t,$

$d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.$

Mais, $a$ étant une des constantes arbitraires introduites par l’intégration des mêmes équations, sa différentielle relative à $t$ doit devenir identiquement nulle par les mêmes valeurs de ${\frac {dx'}{dt}},\,{\frac {dy'}{dt}},\,{\frac {dz'}{dt}}\,;$ on aura donc

${\frac {\partial a}{\partial t}}+{\frac {\partial a}{\partial x}}x'+{\frac {\partial a}{\partial y}}y'+{\frac {\partial a}{\partial z}}z'-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0,$

équation identique qui subsistera, par conséquent, en faisant varier séparément $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'.$

Faisons varier $x\,;$ on aura donc aussi

${\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'$

${\begin{aligned}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}&-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\\-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}&-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}\ \,-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}=0.\end{aligned}}$

Donc la valeur de la différentielle de ${\frac {\partial a}{\partial x}}$ se réduira à

$d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}\right)dt.$

On trouve de la même manière

${\begin{aligned}d{\frac {\partial a}{\partial y}}=&\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y\partial z}}\right)dt,\\d{\frac {\partial a}{\partial z}}=&\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}\right)dt.\end{aligned}}$

On aura ensuite

$d{\frac {\partial a}{\partial x'}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t\partial x'}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial y\partial x'}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z\partial x'}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.$

Mais, en faisant varier $x'$ dans l’équation identique $da=0$ et observant que la fonction $\mathrm {V}$ est supposée ne pas contenir les variables $x',\,y',\,z',$ on a

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t\partial x'}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial y\partial x'}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z\partial x'}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x'\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0\,;\end{aligned}}$

donc on aura simplement

$d{\frac {\partial a}{\partial x'}}=-{\frac {\partial a}{\partial x}}dt,$

et l’on trouvera de la même manière

${\begin{aligned}d{\frac {\partial a}{\partial y'}}=&-{\frac {\partial a}{\partial y}}dt\\d{\frac {\partial a}{\partial z'}}=&-{\frac {\partial a}{\partial z}}dt.\end{aligned}}$

On aura des expressions semblables pour les différentielles $d{\frac {\partial b}{\partial x}},\,d{\frac {\partial b}{\partial y}},$ $d{\frac {\partial b}{\partial z}},\,d{\frac {\partial b}{\partial x'}},\,d{\frac {\partial b}{\partial y'}},\,d{\frac {\partial b}{\partial z'}},$ en changeant seulement $a$ en $b,$ et ainsi pour les autres quantités semblables.

Si maintenant on différentie le coefficient de ${\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt$ dans l’expression de $da$ de l’article 60, et qu’on y substitue les valeurs qu’on vient de trouver pour les différentielles de ${\frac {\partial a}{\partial x}},\,{\frac {\partial a}{\partial y}},\,{\frac {\partial a}{\partial z}},\,{\frac {\partial a}{\partial x'}},\,{\frac {\partial a}{\partial y'}},\,{\frac {\partial a}{\partial z'}},$ on verra d’abord que les termes qui contiendront les différentielles de ${\frac {\partial a}{\partial x'}},\,{\frac {\partial b}{\partial x'}},$ ${\frac {\partial a}{\partial y'}},\,{\frac {\partial b}{\partial y'}},\,{\frac {\partial a}{\partial z'}},\,{\frac {\partial b}{\partial z'}}$ se détruiront mutuellement, et que tes termes qui contiendront les différences de ${\frac {\partial a}{\partial x}},\,{\frac {\partial b}{\partial x}},\ldots ,$ étant ordonnés par rapport aux différences partielles de $\mathrm {V} ,$ se détruiront aussi mutuellement dans chacun des coefficients de ces différences partielles.

D’où l’on peut conclure que le coefficient de ${\frac {d\Omega }{db}},$ dans l’expression de $da,$ sera constant à l’égard du temps $t$ et ne pourra être qu’une fonction de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ après la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,$ $x',\,y',\,z'$ en $a,\,b,\,c,\ldots$ et $t\,;$ de sorte que la variable $t$ disparaîtra d’elle-même, et qu’il suffira d’y substituer les valeurs de $x,\,y,\,z,\,x',$ $y',\,z'$ qui répondent ou à $t=0,$ ou à une valeur quelconque de $t.$

On prouvera de la même manière que $t$ disparaîtra des autres coefficients des différences partielles de dans la même expression de $da$. Ainsi la variation de $a$ sera représentée par une formule qui ne contiendra que les différences partielles de $\Omega$ par rapport à $b,\,c,\ldots ,$ multipliées chacune par une fonction de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ sans $t.$ Et la même chose aura lieu à l’égard des variations des autres constantes arbitraires $b,\,c,\,h,\ldots .$

Ce résultat important, que nous venons de trouver a posteriori, n’est qu’un cas particulier de la théorie générale de la variation des constantes arbitraires, que nous avons exposée dans le § II de la Section V ; et nous aurions pu le déduire immédiatement de cette théorie ; mais nous avons cru qu’il n’était pas inutile de montrer comment on peut y arriver en partant des formules qui donnent directement les variations des éléments dues aux forces perturbatrices, et surtout comment ces variations acquièrent une forme simple et élégante par la réduction des forces perturbatrices aux différences partielles d’une même fonction, relatives à ces mêmes éléments regardés comme variables.

62. Nous avons supposé, dans l’article 60, que les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ pouvaient s’exprimer par les différences partielles d’une même fonction $\Omega$ relatives à $x,\,y,\,z.$ Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas absolument nécessaire pour son exactitude, puisque les équations différentielles sont toujours indépendantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des différences partielles de $\Omega$ relatives aux constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots .$ Or ces constantes n’entrent dans la fonction $\Omega$ que parce qu’elles entrent dans les expressions des variables $x,\,y,\,z,$ dont $\Omega$ est supposé fonction ; ainsi l’on aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},$

et, remettants $\mathrm {X,Y,Z}$ à la place de ${\frac {\partial \Omega }{\partial x}},{\frac {\partial \Omega }{\partial y}},{\frac {\partial \Omega }{\partial z}},$ on aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}=\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial a}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial a}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial z}{\partial a}},$

quelles que soient les valeurs de $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ Il en sera de même à l’égard de ${\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial c}},\ldots ,$ en changeant $a$ en $b,\,c,\ldots .$

En général, si l’on dénote par la caractéristique $\delta$ les variations de $\Omega$ relatives aux constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on aura

$\delta \Omega =\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\,;$

et si l’on suppose que les forces perturbatrices soient $\mathrm {R,\,Q,\,P} ,\ldots ,$ tendantes à des centres dont les distances respectives soient $\mathrm {r,\,q,\,p} ,\ldots ,$ ce qui donne

$-d\Omega =\mathrm {R} d\mathrm {r} +\mathrm {Q} d\mathrm {q} +\mathrm {P} d\mathrm {p} +\ldots ,$

on aura aussi, relativement aux constantes arbitraires,

$-\delta \Omega =\mathrm {R\delta r+Q\delta q+P\delta p} +\ldots ,$

Je donne ici à $d\Omega$ le signe $-$ parce que les forces $\mathrm {R,\,Q,\,P} ,\ldots$ sont supposées tendre à diminuer les distances $\mathrm {r,\,q,\,p} ,\ldots ,$ au lieu que les

forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont supposées tendre à augmenter les lignes $x,\,y,\,z,$ comme nous l’avons déjà observé dans l’article $60$^[11].

63. Pour appliquer les formules générales de l’article 18 de la Section citée aux éléments d’une planète, il n’y a qu’à considérer que les coordonnées $x,\,y,\,z,$ étant indépendantes, doivent être prises pour les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi \,;$ et, comme il n’y a qu’un seul corps mobile dont la masse peut être supposée égale à l’unité, on aura simplement, comme dans l’article_3,

$\mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}={\frac {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}{2}}\,;$

donc

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial x'}}=x',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial y'}}=y',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial z'}}=z'.$

Ainsi les constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ et $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,$ qui représentent les valeurs de $x,\,y,\,z$ et de $x',\,y',\,z'$ lorsque $t=0$ (Sect. V, art. 12), seront ici $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'}$ (art. 31), et les variations des éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ deviendront de la forme

${\begin{aligned}&da=\left[+(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}+(a,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&db=\left[-(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}+(b,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les coefficients représentés par les symboles $(a,\,b),(a,\,c),\ldots$ étant exprimés ainsi :

${\begin{aligned}&(a,b)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} '}},\\&(a,c)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} '}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On voit que ces expressions de $da,\,db,\ldots$ coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 60), si ce n’est qu’à la place des lettres $x,y,z$ il y a les lettres $\mathrm {x,\,y,\,z} ,$ qui représentent les valeurs de $x,y,z$ lorsque $t$ est égal à zéro, ou à une valeur quelconque, puisque le commencement du temps $t$ est arbitraire ; ce qui revient au même, parce que, les coefficients $(a,b),(a,c),\ldots$ devant être indépendants de $t,$ les quantités $a,\,b,\,c,\ldots$ doivent être les mêmes fonctions de $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ que de $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'} .$

64. Comme les quantités $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'}$ sont aussi des constantes arbitraires, on peut les prendre à la place des six constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ $h,i,k.$ Changeant donc $a$ en $\mathrm {x} ,$ $b$ en $\mathrm {x} ',$ $c$ en $\mathrm {y} ,$ $h$ en $\mathrm {y} ',\ldots ,$ on aura

$\mathrm {(x,x')=-1,\quad (y,y')=-1,\quad (z,z')} =-1,$

et tous les autres coefficients $\mathrm {(x,y),(x,z),(x',y)} ,\ldots$ deviendront nuls ; de sorte que les variations de $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'}$ seront représentées par ces formules très simples

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {dx} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}dt,\qquad &\mathrm {dy} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}dt,\qquad &\mathrm {dz} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}dt,\\\mathrm {dx} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}dt,\qquad &\mathrm {dy} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}dt,\qquad &\mathrm {dz} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}dt,\\\end{alignedat}}$

lesquelles résultent aussi de celles auxquelles nous sommes parvenus directement dans l’article 14 de la Section V ; ainsi il y aurait toujours de l’avantage à employer ces constantes à la place des autres constantes $a,\,b,\,c,\ldots .$

Mais, quelles que soient les constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ elles ne peuvent être que des fonctions des constantes $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x'} ,\ldots \,;$ donc, réciproquement, on peut regarder celles-ci comme fonctions de celles-là. On aura ainsi

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\,;$

donc, substituant les valeurs de ${\frac {\partial \Omega }{\partial x}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial y}},\ldots$ du présent article, on

aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}d\mathrm {x} '+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}d\mathrm {y} '+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}d\mathrm {z} '-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}d\mathrm {x} -{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}d\mathrm {y} -{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}d\mathrm {z} .$

Or $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x} ',\ldots$ étant fonctions de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on a

${\begin{aligned}\partial \mathrm {x} \ =&{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\ da+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}\ db+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}\ dc+\ldots ,\\\partial \mathrm {x} '=&{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}da+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}db+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}dc+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs et ordonnant les termes par rapport aux variations $da,\,db,\,dc,\ldots ,$ on aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=[a,b]db+[a,c]dc+[a,h]dh+\ldots ,$

où les symboles $[a,b],[a,c],\ldots$ sont exprimés par ces formules

${\begin{aligned}&[a,b]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial b}},\\&[a,c]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial c}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura de même, à cause de $[b,a]=-[a,b]$

${\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt=-[a,b]da+[b,c]dc+[b,h]dh+\ldots ,$

$[b,c]={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial c}}-{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial c}},$

et ainsi de suite, en changeant simplement les quantités $a,\,b,\,c,\,h,\,i,\,k$ entre elles, prises deux à deux, et en observant que l’on a, en général,

$[b,a]=-[a,b],$

de sorte que la valeur des symboles ne fait que changer de signe par la permutation des deux quantités qu’ils contiennent.

Si l’on compare les valeurs de ces symboles marqués par des crochets carrés avec celles des symboles analogues marqués par des crochets ronds (art. 63), on y remarque une analogie singulière, qui consiste en ce qu’elles sont exprimées de la même manière en différences partielles de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ relatives à $\mathrm {x,\,x',\,y} ,\ldots ,$ ou de $\mathrm {x,\,x',\,y} ,\ldots ,$ relatives à $a,\,b,\,c,\ldots .$

65. Ces dernières formules sont celles que j’avais trouvées directement, dans mon premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires^[12], et elles résultent aussi immédiatement de la formule de l’article 12 de la Section V, laquelle, en faisant les substitutions indiquées ci-dessus (art. 61), se réduit à

$\Delta \Omega dt=\mathrm {\Delta \mathrm {x} \delta \mathrm {x} '+\Delta \mathrm {y} \delta \mathrm {y} '+\Delta \mathrm {z} \delta \mathrm {z} '-\Delta \mathrm {x} '\delta \mathrm {x} -\Delta \mathrm {y} '\delta \mathrm {y} -\Delta \mathrm {z} '\delta \mathrm {z} } .$

Dans cette formule, les différences marquées par $\delta$ doivent se rapporter aux variations de toutes les constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ mais les différences marquées par peuvent se rapporter à la variation de chacune de ces constantes en particulier (Section citée, art. 10). Ainsi l’on aura, en rapportant la caractéristique $\Delta$ successivement à $a,\,b,\,c,\ldots ,$

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\delta \mathrm {x} '+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}\delta \mathrm {y} '+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}\delta \mathrm {z} '-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}\delta \mathrm {x} -{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}\delta \mathrm {y} -{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\delta \mathrm {z} ,$

et de même en changeant $a$ en $b,c,\ldots .$

Mais on a

${\begin{aligned}\delta \mathrm {x} \ =&{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\ da+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}\ db+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}dc+\ldots ,\\\delta \mathrm {x} '=&{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}da+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}db+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}dc+\ldots ,\end{aligned}}$

et de même pour $\mathrm {\delta y,\,\delta y',\,\delta z,\,\delta z'} \,;$ en faisant ces substitutions, on a pour ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\ldots$ les mêmes formules trouvées ci-dessus.

Mais une conséquence importante qui résulte de ces formules, c’est que la variation de la fonction $\Omega ,$ en tant qu’elle dépend de celle des éléments $a,\,b,\,c,\ldots ,$ est toujours nulle. En effet, si, dans la différentielle

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}da+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}db+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dc+\ldots ,$

on substitue les valeurs de ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\ldots$ en ${\frac {da}{dt}},\,{\frac {db}{dt}},\ldots ,$ on trouve que tous les termes se détruisent, ce qui est un résultat très remarquable.

66. Comme la solution du problème principal dans lequel on n’a point égard aux forces perturbatrices doit donner les valeurs des variables $x,\,y,\,z$ en $t,$ avec les constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots ,$ il n’y a qu’à faire d’abord $t=0$ dans ces valeurs et dans celles de leurs différentielles relatives à $t,$ et prendre ensuite leurs différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\ldots .$ On a ainsi facilement les coefficients des différences $da,\,db,\ldots$ dans les valeurs de ${\frac {d\Omega }{da}}dt,\,{\frac {d\Omega }{db}}dt,\ldots ,$ et il ne s’agit plus que de chercher ces différences mêmes par des éliminations linéaires, comme vje l’ai pratiqué dans le Mémoire cité, à l’égard des éléments des planètes.

À cet égard, les formules de l’article 63 paraissent avoir de l’avantage, en ce qu’elles donnent directement les mêmes différences ; mais elles demandent d’abord qu’on ait les expressions des constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots$ par les variables $x,\,y,\,z$ et leurs différentielles, ce qui, dans plusieurs cas, ne peut s’obtenir que par des éliminations d’un genre supérieur aux linéaires ; ensuite, après avoir pris leurs différences partielles relatives à $x,y,\,z,\,x',\,y',\,z',$ il faut y remettre les valeurs de ces variables en $a,\,b,\,c,\ldots ,$ puisqu’en dernière analyse les coefficients $(a,b),(a,c),\ldots$ doivent devenir des fonctions de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ sans $t,$ ce qui constitue l’essence et la force de cette analyse.

Quoi qu’il en soit, ayant donné, dans le § I, des expressions fort simples des coordonnées $x,\,y,\,z,$ en $t$ et $a,\,b,\,c,\,h,\,i,\,k,$ nous y appliquerons les formules du dernier article, pour en déduire les variations des éléments $a,\,b,\,c,\ldots ,$ comme nous l’avons pratiqué dans le Mémoire cité, parce que le calcul par ces formules acquiert une simplicité et une élégance qu’il n’aurait pas, à beaucoup près, par les autres formules.

67. Reprenons les expressions de $x,\,y,\,z$ données dans l’article 13,

$x=\alpha \mathrm {X+\beta Y} ,\qquad y=\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} ,\qquad z=\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} ,$

dans lesquelles (art.  17)

$\mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,$

l’angle $\theta$ étant déterminé par l’équation (art.  16)

$t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).$

Ces formules ont l’avantage que les trois éléments de l’orbite $a,\,b,\,c,\ldots ,$ ne se trouvent que dans les quantités variables $\mathrm {X,\,Y} ,$ et sont, par conséquent, séparés des trois éléments $h,\,i,\,k$ qui dépendent de la position de l’orbite et dont les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha ',\ldots$ sont fonctions (art.  13).

Considérons d’abord la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial b}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial b}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial b}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},$

et substituons-y les valeurs de $x,\,y,\,z$ données ci-dessus ; en faisant

$\mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},$

on aura pour $x',\,y',\,z'$ les mêmes expressions, où les quantités $\mathrm {X,\,Y}$ seront marquées d’un trait ; et comme les constantes $a,\,b$ n’entrent que dans $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$, on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}},\\{\frac {\partial x}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}\,;\end{alignedat}}$

et changeant $\alpha ,\,\beta$ en $\alpha _{1},\,\beta _{1}$ et $\alpha _{2},\,\beta _{2},$ on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial a}},\,{\frac {\partial y'}{\partial a}},\ldots .$

Ces différentes valeurs étant substituées dans la formule précédente, et ayant égard aux équations de condition

$\alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,$

qui ont lieu entre les coefficients $\alpha ,\beta ,\alpha _{1},\ldots$ (art. 14), cette formule se réduira à la forme

${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},$

où l’on voit que les quantités, $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha ',\ldots ,$ qui dépendent de la position de l’orbite, ont disparu.

On aura un pareil résultat par rapport aux différences partielles relatives à $c,$ et il n’y aura qu’à changer dans la formule précédente $a$ et $b$ en $c.$

Si donc on substitue dans $\mathrm {X,\,Y,\,X',\,Y'}$ leurs valeurs en $t,$ qu’ensuite on fasse $t$ égal à zéro ou à une quantité quelconque déterminée, et qu’on désigne par $X,\,Y,\,X',\,Y'$ ce que $\mathrm {X,\,Y,\,X',\,Y'}$ deviennent, on aura (art. 64)

$[a,b]={\frac {\partial X}{\partial a}}{\frac {\partial X'}{\partial b}}+{\frac {\partial Y}{\partial a}}{\frac {\partial Y'}{\partial b}}-{\frac {\partial X'}{\partial a}}{\frac {\partial X}{\partial b}}-{\frac {\partial Y'}{\partial a}}{\frac {\partial Y}{\partial b}},$

et l’on aura de même les valeurs de $[a,c],\,[b,c],$ en changeant $b$ en $c$ et $a$ en $b$ dans les différences partielles.

68. Or on a

$\mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta \,;$

donc, puisque $\mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\,\mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},$ on aura

$\mathrm {X} '=-a\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}},\quad \mathrm {Y} '=a{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}.$

Mais l’équation

$(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta$

donne, par la différentiation,

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{1-e\cos \theta }}\,;$

donc on aura

$\mathrm {X} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }},\qquad \mathrm {Y} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}{a}}}\ {\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}.$

Il faut maintenant différentier ces formules en faisant varier les trois constantes $a,e,c\,;$ nous dénoterons par la caractéristique $\delta$ les variations relatives à ces constantes ; ainsi l’on aura d’abord

$\delta \theta ={\frac {(t-c){\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}+\sin \theta de-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc}{1-e\cos \theta }}\,;$

ensuite

${\begin{aligned}\delta \mathrm {X} =&-a\sin \theta \delta \theta +\cos \theta da-d(ae),\\\delta \mathrm {Y} =&a{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \theta \delta \theta +\sin \theta d\left(a{\sqrt {1-e^{2}}}\right),\\\delta \mathrm {X} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\cos \theta -e}{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta \cos \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}de-{\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}d{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}},\\\delta \mathrm {Y} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\sin \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&+{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\cos ^{2}\theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}dc+{\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}d\left({\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\right).\end{aligned}}$

On peut faire ici $t=0\,;$ mais il est plus simple de faire $t=c,$ ce qui donne aussi $\theta =0\,;$ ainsi l’on aura, en changeant $\mathrm {X,\,Y}$ en $X,\,Y,$

${\begin{aligned}\delta \theta =&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{\frac {dc}{1-e}},\\\delta X=&(1-e)da-adc,\\\delta Y=&a{\sqrt {1-e^{2}}}\delta \theta =-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}dc,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\delta X'=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\delta \theta }{1-e}}={\frac {\mathrm {g} }{a^{2}}}{\frac {dc}{(1-e)^{2}}},\\\delta Y'=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {de}{(1-e)^{2}}}+{\frac {d\left({\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}{1-e}}\\=&d\left({\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}\right)={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}d{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}+{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\frac {de}{(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}}.\end{aligned}}$

69. Ici nous avons conservé la quantité $e,$ qui est l’excentricité ; mais si, à sa place, on veut employer le paramètre $b=a\left(1-e^{2}\right),$ on aura, par la différentiation,

$de={\frac {\left(1-e^{2}\right)da-db}{2ae}},$

et les expressions de $\delta X$ et de $\delta Y',$ qui contiennent $de,$ deviendront

${\begin{aligned}\delta X=&{\frac {-\left(1-e^{2}\right)da+db}{2e}},\\\delta Y'=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{2ae}}da-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {db}{2ae(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}}.\end{aligned}}$

De là nous aurons les différences partielles

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial X}{\partial a}}\ =&-{\frac {\left(1-e^{2}\right)}{2e}},&{\frac {\partial X}{\partial b}}\ =&{\frac {1}{2e}},\quad {\frac {\partial X}{\partial c}}\ =0,\\{\frac {\partial Y}{\partial a}}\ =&0,&{\frac {\partial Y}{\partial b}}\ =&0,\qquad {\frac {\partial Y}{\partial c}}\ =-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}},\\{\frac {\partial X'}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial X'}{\partial b}}=&0,\qquad {\frac {\partial X'}{\partial c}}={\frac {\mathrm {g} }{a^{2}}}\ {\frac {1}{(1-e)^{2}}},\\{\frac {\partial Y'}{\partial a}}=&{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{2ae}},\quad &{\frac {\partial Y'}{\partial b}}=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {1}{2ae(1-e){\sqrt {1-e^{2}}}}},&\quad {\frac {\partial Y'}{\partial c}}=0,\end{alignedat}}$

et l’on trouvera, par la substitution de ces valeurs dans les expressions des symboles $[a,b],\,[a,c],\,[b,c]$ de l’article 67,

${\begin{aligned}\,[a,b]=&0,\\\,[a,c]=&-{\frac {g}{2a^{2}e}}+{\frac {g\left(1-e^{2}\right)}{2a^{2}e(1-e)}}={\frac {g}{2a^{2}}},\\\,[b,c]=&{\frac {g}{2a^{2}e}}\left[{\frac {1}{\left(1-e^{2}\right)}}-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{(1-e)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}\right]=0.\end{aligned}}$

On aurait encore les mêmes résultats en changeant $b$ en $e,$ si l’on voulait conserver l’excentricité à la place du paramètre.

70. Considérons ensuite la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}.$

Comme la quantité $h$ ne se trouve que dans les coefficients, $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ qui ne contiennentpoint $a,$ on a

${\frac {\partial x}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} +{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\partial x'}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} '+{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ',$

et changeant $\alpha ,\,\beta$ en $\alpha _{1},\,\beta _{1}$ et en $\alpha _{2},\,\beta _{2}$ on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial h}},\,{\frac {\partial y'}{\partial h}},$ ${\frac {\partial z}{\partial h}},\,{\frac {\partial z'}{\partial h}}.$ À l’égard des différences partielles relatives à $a,$ elles seront les mêmes que dans l’article précédent.

En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des mêmes équations de condition différentiées, on aura

$\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=0,\qquad \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=0,$

$\alpha d\beta +\alpha _{1}d\beta _{1}+\alpha _{2}d\beta _{2}=-\beta d\alpha -\beta _{1}d\alpha _{1}-\beta _{2}d\alpha _{2}=0\,;$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=d\chi$

[j’emploie l’expression différentielle $d\chi$^[13], quoique la valeur de $d\chi$ ne soit pas une différentielle complète], la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}$

se réduira à la forme

$\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}-\mathrm {Y} '{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}},$

et la formule

${\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}+{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}+{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}$

à cette forme semblable

$\left(\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}-\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}}.$

Donc, en retranchant la seconde de ces quantités de la première, et observant que

$\mathrm {X} 'd\mathrm {Y} +\mathrm {Y} d\mathrm {X} '=d(\mathrm {X'Y} )\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Y} 'd\mathrm {X} +\mathrm {X} d\mathrm {Y} '=d(\mathrm {XY'} ),$

on aura pour la transformée de la formule dont il s’agit, contenant les différences partielles relatives à $a$ et $h,$

${\frac {\partial (\mathrm {YX'-XY'} )}{\partial a}}{\frac {\partial \chi }{\partial h}},$

et il en sera de même en changeant $a$ en $b$ et $c,$ et $h$ en $i$ et $k.$

71. Il nous reste à considérer les formules où il n’y a que des différences partielles relatives à $h,\,i,\,k\,;$ de sorte que, comme ces quantités n’entrent que dans les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ il n’y aura aussi que ces coefficients qui deviendront variables.

Les différentielles de ces coefficients se réduisent à une forme très simple, en employant les coefficients analogues $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma '',$ et en ayant égard aux équations de condition entre ces différents coefficients (art. 14)).

En effet, si l’on suppose

${\begin{aligned}\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi ,\\\gamma d\beta +\gamma _{1}d\beta _{1}+\gamma _{2}d\beta _{2}=&d\sigma ,\end{aligned}}$

les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\beta d\alpha +\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&d\chi ,\\\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi \end{aligned}}$

étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par $\alpha ,$ la deuxième par $\beta ,$ et la troisième par $\gamma ,$ on a

$d\alpha =\beta d\chi +\gamma d\pi \,;$

et si on les multiplie par $\alpha _{1},\,\beta _{1},\,\gamma _{1}$ et par $\alpha _{2},\,\beta _{2},\,\gamma _{2},$ qu’on les ajoute ensuite, on a pareillement

${\begin{aligned}d\alpha _{1}=\beta _{1}d\chi +\gamma _{1}d\pi ,\\d\alpha _{2}=\beta _{2}d\chi +\gamma _{2}d\pi .\end{aligned}}$

De même les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&-d\chi ,\\\beta d\alpha +\,\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\gamma d\alpha +\,\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\sigma \end{aligned}}$

donneront

${\begin{aligned}d\beta \ \,=&-\alpha \ \,d\chi +\gamma \ \,d\sigma ,\\d\beta _{1}=&-\alpha _{1}d\chi +\gamma _{1}d\sigma ,\\d\beta _{2}=&-\alpha _{2}d\chi +\gamma _{2}d\sigma .\end{aligned}}$

Enfin les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\gamma +\alpha _{1}d\gamma _{1}+\alpha _{2}d\gamma _{2}=&-d\pi ,\\\beta d\gamma +\,\beta _{1}d\gamma _{1}+\beta _{2}d\gamma _{2}=&-d\sigma ,\\\gamma d\gamma +\,\gamma _{1}d\gamma _{1}+\gamma _{2}d\gamma _{2}=&0\end{aligned}}$

donneront pareillement

${\begin{aligned}d\gamma \ \,=&-\alpha \ \,d\pi -\beta \ \,d\sigma ,\\d\gamma _{1}=&-\alpha _{1}d\pi -\beta _{1}d\sigma ,\\d\gamma _{2}=&-\alpha _{2}d\pi -\beta _{2}d\sigma .\end{aligned}}$

72. Par le moyen de ces formules, on aura

${\frac {\partial x}{\partial h}}=\mathrm {X} {\frac {\partial \alpha }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \beta }{\partial h}}=(\beta \mathrm {X} -\alpha \mathrm {Y} ){\frac {\partial \chi }{\partial h}}+\gamma \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\,;$

et, affectant les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ d’un ou de deux traits, on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial h}},\,{\frac {\partial z}{\partial h}}\,;$ pur avoir celles de ${\frac {\partial x'}{\partial h}},\,{\frac {\partial y'}{\partial h}},\,{\frac {\partial z'}{\partial h}},$ il n’y aura qu’à

, affecter d’un trait les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Il en sera de même des différences partielles relatives à $i$ et $k,$ en ne faisant que changer $h$ en $i$ et $k.$

En faisant ces substitutions et ayant toujours égard aux mêmes équations de condition, la formule

${\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {\partial x'}{\partial i}}+{\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial y'}{\partial i}}+{\frac {\partial z}{\partial h}}{\frac {\partial z'}{\partial i}}-{\frac {\partial x'}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial i}}-{\frac {\partial y'}{\partial h}}{\frac {\partial y}{\partial i}}-{\frac {\partial z'}{\partial h}}{\frac {\partial z}{\partial i}}$

se réduira à celle-ci

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\-&\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\&=(\mathrm {XY'-YX'} )\left({\frac {\partial \pi }{\partial h}}{\frac {\partial \sigma }{\partial i}}-{\frac {\partial \pi }{\partial i}}{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right).\end{aligned}}$

Il en sera de même des formules semblables, en changeant $h$ en $i$ et $k.$

Comme les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots$ sont fonctions des trois éléments $h,\,i,\,k$ (art. 13 et 14), les trois quantités $d\chi ,\,d\pi ,\,d\sigma$ que nous avons introduites dans les formules précédentes doivent être aussi fonctions des mêmes éléments ; et si, dans les valeurs de ces trois quantités, on substitue les expressions de $\alpha ,\,\beta ,\ldots$ données dans les articles cités, on trouve, après quelques réductions fort simples,

${\begin{aligned}d\chi =&dk+\cos a\,dh,\\d\pi =&-\cos k\sin i\,dh+\sin k\,di,\\d\sigma =&\sin k\sin i\,dh+\cos k\,di.\end{aligned}}$

Mais ces quantités ne servent pas seulement à simplifier le calcul. ; elles représentent d’une manière fort simple les variations instantanées de la position de l’orbite. En effet, comme le plan des $xy,$ auquel nous avons rapporté l’inclinaison $i$ et la longitude $h$ du nœud, est arbitraire, on peut le faire coïncider dans un instant avec celui de l’orbite, en faisant $i=0\,;$ on aura alors

$d\chi =dk+dh,\quad d\pi =\sin k\,di,\quad d\sigma =\cos k\,di.$

Dans ce cas, $h+k$ sera l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec une ligne fixe ; par conséquent, $dh+dk,$ ou $d\chi ,$ sera la rotation élémentaire du grand axe de l’orbite sur son plan.

L’angle élémentaire $di$ sera l’inclinaison comprise entre deux positions successives du plan de l’orbite devenue mobile, et l’angle $h$ sera la longitude du nœud formé par ces deux positions, comptée sur le même plan ; de sorte qu’en désignant par $di'$ et $h'$ ces deux éléments, on aura

$di'={\sqrt {d\pi ^{2}+d\sigma ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \operatorname {tang} h'={\frac {d\pi }{d\sigma }}.$

Ainsi la variation instantanée de la position de l’orbite est déterminée par les trois éléments $d\chi ,d\pi ,d\sigma ,$ d’une manière indépendante de tout plan de projection.

73. Il est maintenant très facile de trouver les valeurs des autres coefficients représentés par les symboles $[a,h],\,[b,h],\ldots \,;$ il n’ya qu’à substituer pour $\mathrm {XY'-YX'} ,$ c’est-à-dire pour ${\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}},$ sa valeur, qui est égale à $\mathrm {D}$ (art. 11) ou à ${\sqrt {\mathrm {g} b}}$ (art. 15), et pour $d\chi ,d\pi ,d\sigma ,$ leurs valeurs en $h,\,i,\,k$ de l’article précédent ; mais, à la place de l’élément $k,$ nous retiendrons l’élément $\chi$^[14], qui exprime l’angle que le grand axe de l’orbite parcourt en tournant sur son plan mobile c’est proprement le mouvement de l’aphélie ou du périhélie sur le plan même de l’orbite. Nous aurons ainsi

$\chi =k+\int \cos i\,dh\,;$

donc

$k=\chi -\int \cos i\,dh\,;$

ensuite

${\frac {\partial \chi }{\partial \chi }}=1,\qquad {\frac {\partial \pi }{\partial h}}=-\cos k\sin i,\qquad {\frac {\partial \pi }{\partial i}}=\sin k,$

${\frac {\partial \sigma }{\partial h}}=\sin k\sin i,\qquad {\frac {\partial \sigma }{\partial i}}=\cos k,$

et toutes les autres différences partielles seraient nulles, ce qui donne

${\frac {\partial \pi }{\partial h}}{\frac {\partial \sigma }{\partial i}}-{\frac {\partial \pi }{\partial i}}{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}=-\sin i.$

De là on aura

${\begin{alignedat}{3}\,[a,h]=&0,&[a,i\ ]=&0,&[a,\chi ]=&0,\\\,[b,h]=&0,&[b,i\ ]=&0,&[b,\chi ]=&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}},\\\,[c,h]=&0,&[c,i\ ]=&0,&[c,\chi ]=&0,\\\,[h,i]=&-{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i,\qquad &[h,\chi ]=&0,\qquad &[i,\chi ]=&0.\end{alignedat}}$

74. Ces valeurs, jointes à celles que nous avons déjà trouvées (art. 69), donneront enfin

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=&{\frac {\mathrm {g} }{2a^{2}}}dc,&{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt=&-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt=&-{\frac {\mathrm {g} }{2a^{2}}}da,&{\frac {\partial \Omega }{\partial h}}dt=&-{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i\,di,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial i}}dt=&{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i\,dh,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{b}}}db\,;\end{alignedat}}$

d’où résultent ces expressions très simples des variations des éléments elliptiques

${\begin{alignedat}{2}da=&-{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&dc=&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,\\db=&{\frac {2{\sqrt {b}}}{\sqrt {\mathrm {g} }}}{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt,&d\chi =&-{\frac {2{\sqrt {b}}}{\sqrt {\mathrm {g} }}}{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,\\dh=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial \Omega }{\partial i}}dt,\qquad &di=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial \Omega }{\partial h}}dt.\end{alignedat}}$

75. On aurait des formules un peu moins simples, si, à la place du paramètre $b\,;$ on voulait conserver l’excentricité $e.$ Alors, à cause de $b=a\left(1-e^{2}\right),$ on aurait

$\mathrm {XY'-YX'} ={\sqrt {\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)}},$

ce qui donnerait

$[a,\chi ]=-{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}},\quad [e,\chi ]={\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}},$

et les valeurs de ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,\ {\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt,\ {\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt,$ deviendraient

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=&{\frac {g}{2a^{2}}}dc-{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt=&{\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}d\chi ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt=&{\frac {\sqrt {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}}{2{\sqrt {a}}}}d\chi -{\frac {e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}de\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en substituant pour $da$ sa valeur donnée ci-dessus,

${\begin{aligned}dc\ =&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt+{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt,\\de\ =&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial \chi }}dt-{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,\\d\chi =&{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial e}}dt,\end{aligned}}$

qu’on substituera à la place des valeurs de $dc,\,db,\,d\chi$ de l’article précédent, les autres valeurs demeurant les mêmes.

Par ces formules, on peut donc avoir l’effet des forces perturbatrices sur le mouvement d’une planète, en rendant variables les quantités qui, sans ces forces, seraient constantes ; mais, quoiqu’on puisse, de cette manière, déterminer toutes les inégalités dues aux perturbations, c’est surtout pour les inégalités qu’on nomme séculaires que les formules que nous venons de donner sont utiles, parce que ces inégalités, étant indépendantes des périodes relatives aux mouvements des planètes, affectent essentiellement leurs éléments et y produisent des variations, ou croissantes avec le temps, ou périodiques, mais avec des périodes propres et d’une longue durée.

76. Pour déterminer les variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer pour $\Omega$ la partie non périodique de cette fonction, c’est-à-dire le premier terme du développement de $\Omega$ en séries du sinus et du cosinus d’angles dépendants des moyens mouvements de la planète troublée et des planètes perturbatrices. Car, $\Omega$ n’étant fonction que des coordonnées elliptiques de ces planètes, lesquelles peuvent toujours, du moins tant que les excentricités et les inclinaisons sont peu considérables, se réduire en séries du sinus et cosinus d’angles proportionnels aux anomalies et aux longitudes moyennes, on pourra aussi développer la fonction $\Omega$ dans une série du même genre, et le premier terme sans sinus et cosinus sera le seul qui puisse donner des équations séculaires.

Désignons par $\Omega$ ce premier terme de $\Omega ,$ lequel sera une simple fonction des éléments $a,\,b,\,c,\,e,\,h,\,i$ de la planète troublée et des éléments semblables des planètes perturbatrices ; il est clair que l’élément $c$ qui est joint au temps $t$ ne s’y trouvera pas ainsi, en substituant $(\Omega )$ à la place de $\Omega ,$ on aura, pour les variations séculaires, les formules

${\begin{alignedat}{2}da=&0,&dc\ =&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial a}}dt+{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\de=&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}dt,\qquad &d\chi =&{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\dh=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial i}}dt,&di\ =&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial h}}dt,\end{alignedat}}$

où $b=a\left(1-e^{2}\right).$

77. L’équation

$da=0$

fait voir que le demi grand axe, ou la distance moyenne $a,$ n’est sujette à aucune variation séculaire, ce cas particulier du

théorème général que nous avons démontré dans l’article 23 de la Section V ; car la quantité $\mathrm {H}$ de cet article est la même que la quantité $\mathrm {H}$ des articles 3 et suivants de la Section précédente, et l’on voit, par l’article 15, que l’on a

$\mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.$

Ainsi il faut appliquer à la distance moyenne des planètes les résultats que nous avons trouvés sur la valeur de la force vive d’un système quelconque (Sect. V, § III).

La variation $dc$ produit une altération dans le mouvement moyen ; car, $u=(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}$ étant l’anomalie moyenne, c’est-à-dire l’angle du mouvement moyen compté depuis le périhélie (art. 19), cette anomalie sera sujette à une variation exprimée par $-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc,$ à cause de $da=0\,;$ et si l’on ajoute la variation $d\chi$ du lieu du périhélie dans l’orbite, on aura $d\chi -{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc$ pour la variation séculaire de la longitude moyenne, que nous désignerons par $d\lambda .$ On aura ainsi

$d\lambda =d\chi -{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc=-2{\sqrt {\frac {a}{g}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial a}}dt+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,$

à cause de

$1-{\sqrt {1-e^{2}}}={\frac {e^{2}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}.$

78. Lorsque l’excentricité $e$ est fort petite, les valeurs de $de$ et $d\chi$ ont l’inconvénient d’avoir au dénominateur la quantité très petite $e.$ Mais il est facile d’y remédier en substituant à la place de $e$ et $\chi$ les transformées $e\sin \chi ,$ $e\cos \chi .$

En effet, si l’on fait

$m=e\sin \chi ,\quad n=e\cos \chi ,$

on aura

$dm=\sin \chi de+e\cos \chi d\chi ,\quad dn=\cos \chi de-e\sin \chi d\chi \,;$

donc, substituant les valeurs de $de$ et $d\chi$,

${\begin{aligned}dm=&+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}\left[e\cos \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}-\sin \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}\right]dt,\\dn\ =&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}\left[e\sin \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}+\cos \chi {\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}\right]dt.\end{aligned}}$

Or, en regardant $(\Omega )$ comme fonction de $e,\chi ,$ et comme fonction de $m,n,$ on a

${\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}d\chi +{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}de={\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}dm+{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}dn,$

équation identique qui, par la substitution des valeurs de $dm$ et $dn,$ donne ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}=&{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}e\cos \chi -{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}e\sin \chi ,\\{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}=&{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}\ \ \sin \chi +{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}\cos \chi \,;\end{aligned}}$

donc, faisant ces substitutions, on aura les équations

$dm={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial n}}dt,\quad dn=-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {\mathrm {g} a}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial m}}dt,$

qu’on pourra employer à la place de celles qui donnent les valeurs de $de$ et $d\chi$ (art. 75).

On peut faire des transformations analogues sur les dernières équations qui donnent les valeurs de $dh$ et $di.$

Soit, pour cela,

$p=\sin i\sin h,\quad q=\sin i\cos h\,;$

on trouvera par un procédé analogue

$dp={\frac {\cos i}{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial q}}dt,\quad dq=-{\frac {\cos i}{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial p}}dt.$

79. Les forces perturbatricesque l’on considère dans la théorie des planètes viennent de l’attraction des autres planètes, et nous donnerons plus bas la valeur de $\Omega$ qui résulte de cette attraction ; mais on pourrait aussi regarder comme force perturbatrice la résistance qu’elles éprouveraient de la part d’un fluide très subtil, dans lequel on les supposerait nager. Dans ce cas, en prenant $\mathrm {R}$ pour la résistance, on ferait, comme on l’a vu dans l’article 8 de la Section II,

$\delta r={\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z,$

le fluide résistant étant supposé en repos.

Il en résultera ainsi, dans la valeur de $\delta \Omega ,$ les termes (art. 62)

$-\mathrm {R} \delta r=-\mathrm {R} {\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{ds}}.$

On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, laquelle est représentée par ${\frac {ds}{dt}},$ et à la densité du milieu, que nous désignerons par $\Gamma \,;$ ainsi les termes dus à la résistance, dans l’expression de $\delta \Omega ,$ seront

$-{\frac {\Gamma ds(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt^{2}}}.$

Pour évaluer la quantité $dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z,$ il n’y a qu’à employer les formules des articles 67 et 70, en observant que la caractéristique $d$ se rapporte au temps $t,$ qui n’entre que dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ et que la caractéristique $\delta$ doit se rapporter aux constantes arbitraires $a,\,b,\ldots$ qui entrent dans $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ et dans les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots .$

On aura ainsi, en changeant $d$ en $\delta$ dans les expressions de $d\alpha ,d\beta ,\ldots ,$

${\begin{aligned}dx=&\alpha d\mathrm {X} +\beta d\mathrm {Y} ,\qquad dy=\alpha _{1}d\mathrm {X} +\beta _{1}d\mathrm {Y} ,\qquad dz=\alpha _{2}d\mathrm {X} +\beta _{2}d\mathrm {Y} ,\\\delta x=&\mathrm {\alpha \delta X+\beta \delta Y+X(\beta \delta \chi +\gamma \delta \pi )+Y(-\alpha \delta \chi +\gamma \delta \sigma )} \\=&\mathrm {\alpha (\delta X-Y\delta \chi )+\beta (\delta Y+X\delta \chi )+\gamma (X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta y=&\mathrm {\alpha _{1}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{1}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{1}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta z=&\mathrm {\alpha _{2}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{2}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{2}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} .\end{aligned}}$

De là, en ayant égard aux équations de condition entre les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha _{1},\ldots$ (art. 14), on aura

$dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z=d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} +\left(\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} \right)\delta \chi .$

et si l’on y substitue pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ leurs valeurs $r\cos \Phi ,\,r\sin \Phi$ (art. 13), on aura

$d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} =dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi ,$

$\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} =r^{2}d\Phi ,$

$ds={\sqrt {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}}}={\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}.$

Donc les termes à ajouter à $\delta \Omega ,$ à raison de la résistance du milieu, seront représentés par

$-{\frac {\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\left(dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi +r^{2}d\Phi \delta \chi \right)}{dt^{2}}},$

où il n’y aura plus qu’à substituer pour $r$ et $\Phi$ leurs valeurs en $t,$ données par les formules des articles 21, 22, en faisant attention que la caractéristique $d$ se rapporte à la variable $t,$ et la $\delta$ aux constantes arbitraires.

CHAPITRE III.

Sur le mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.

80. Quoique ce problème ne puisse avoir aucune application au système du monde, où tous les centres d’attraction sont en mouvement, il est néanmoins assez intéressant du côté analytique pour mériter d’être traité en particulier avec quelque détail.

Supposons qu’un corps isolé soit attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.

Soient, comme dans l’article 4, l’un des centres à l’origine des coordonnées, et $\mathrm {R}$ la force attractive ; et, pour l’autre centre, supposons que sa position soit déterminée par les coordonnées $a,b,c,$ parallèles aux $x,\,y,\,z\,;$ soient, de plus, $\mathrm {Q}$ sa force attractive et $q$ la distance du corps à ce centre ; il est clair qu’on aura

$q={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},$

c’est-à-dire, en substituant pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs en $r,\,\psi ,\,\varphi$ (art. 4),

$q={\sqrt {r^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right]+h^{2}}},$

en faisant $h={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$ distance des deux centres.

Il est clair que la valeur de $\mathrm {T}$ sera la même que dans le problème du Chapitre I, mais la valeur de $\mathrm {V}$ se trouvera augmentée du terme $\int \mathrm {Q} dq\,;$ et comme $\mathrm {Q}$ est fonction de $q,$ et $q$ fonction de $r,\,\varphi ,\,\psi ,$ ce terme donnera, dans les différentielles ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}},$ les termes suivants, savoir $\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }},\,\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }},\,\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial r}},$ qu’il faudra, par conséquent, ajouter respectivement aux premiers membres des équations différentielles de l’article cité.

On aura donc, pour le mouvement du corps attiré vers deux centres par les forces $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} ,$ les trois équations suivantes :

(1)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R+Q} {\frac {\partial q}{\partial r}}=0,$

(2)

${\frac {d\left(r^{2}d\psi \right)}{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }}=0,$

(3)

${\frac {d\left(r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}=0.$

Et si le corps était attiré en même temps vers d’autres centres, il n’y aurait qu’à ajouter à ces équations des termes semblables pour chacun de ces centres.

L’équation $\mathrm {T+V=H}$ donnera cette quatrième équation, qui est une intégrale des précédentes,

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr+\int \mathrm {Q} dq=2\mathrm {H} \,;$

et il est visible, en effet, que les trois équations précédentes, étant mul-

tipliées respectivement par $dr,\,d\psi ,\,d\varphi ,$ et ajoutées ensemble, donnent une équation intégrable, et dont l’intégrale est celle que nous venons de présenter.

On tire de cette équation

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}=4\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-2\int \mathrm {Q} dq-{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}},$

valeur qui, étant substituée dans la première équation multipliée par $r,$ la réduit à

${\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} r{\frac {\partial q}{\partial r}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .$

Or, puisque

$q^{2}=r^{2}+h^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right],$

on aura, en faisant varier $r,$

$q{\frac {\partial q}{\partial r}}=r-(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi -c\sin \psi$

$=r-{\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2r}}={\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}\,;$

donc, substituant cette valeur de ${\frac {\partial q}{\partial r}},$ on aura enfin

${\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2q}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .$

Cette équation a l’avantage de ne contenir que les deux variables $r$ et $q,$ et elle indique en même temps qu’il doit y avoir une pareille équation entre $q$ et $r,$ en changeant simplement $r$ et $q,$ ainsi que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} ,$ entre elles ; car il est indifférent de rapporter le mouvement du corps à l’un ou à l’autre des deux centres fixes, et il est clair qu’en le rapportant au centre de la force $\mathrm {Q}$ on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,

${\frac {d^{2}\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {Q} q+2\int \mathrm {Q} dq+\mathrm {R} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}+2\int \mathrm {R} dr=4\mathrm {H} \,;$

ainsi l’on pourra, par ces deux équations, déterminer directement les deux rayons $r$ et $q.$

Je remarque maintenant qu’on peut, sans rien ôter à la généralité, supposer les deux coordonnées $a$ et $b$ du centre des forces $\mathrm {Q}$ nulles, ce qui revient à placer l’axe des coordonnées $z$ dans la ligne qui joint les deux centres. Par cette supposition, on aura $c=h,$ et la quantité $q$ deviendra

${\sqrt {r^{2}-2hr\sin \psi +h^{2}}},$

laquelle ne contenant plus $\varphi ,$ on aura donc

${\frac {\partial q}{\partial \varphi }}=0.$

Par conséquent, la troisième équation différentielle se réduira à

${\frac {d\left(r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}=0,$

dont l’intégrale est

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {B}$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\mathrm {B} }{r^{2}\cos ^{2}\psi }}.$

Mais on a

$\sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}}\,;$

donc

$\cos \psi ={\frac {\sqrt {4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}{2hr}}\,;$

par conséquent, en substituant cette valeur, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

de sorte que, connaissant $r$ et $q$ en $t,$ on aura aussi $\varphi$ en $t.$

Or, puisque $\sin \psi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sont déjà données en $r$ et $q,$ il est clair qu’on peut réduire la quatrième équation à ne contenir que $r$ et $q,$ et alors elle sera nécessairement, à raison de la constante arbitraire $\mathrm {B} ,$ une intégrale complète des deux équations ci-dessus en $r$ et $q.$ En effet, on aura

$r^{2}d\psi ^{2}={\frac {\left[\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)dr-2rqdq\right]^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

ajoutant $dr^{2},$ et réduisant, il viendra

$r^{2}d\psi ^{2}+dr^{2}=4{\frac {q^{2}r^{2}dr^{2}+r^{2}q^{2}dq^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)rqdrdq}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}.$

De plus, on aura

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {4\mathrm {B} ^{2}h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

donc, faisant ces substitutions dans la quatrième équation et ôtant le dénominateur, on aura cette intégrale

(a)

$\left\{{\begin{aligned}2&{\frac {q^{2}r^{2}dr^{2}+r^{2}q^{2}dq^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)rqdrdq}{dt^{2}}}+2\mathrm {B} ^{2}h^{2}\\&\quad +\left[4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}\right]\left(\int \mathrm {R} dr+\int \mathrm {Q} dq-2\mathrm {H} \right)=0.\end{aligned}}\right.$

Et il est facile de voir maintenant, d’après la forme de cette équation, qu’elle résulte des deux équations en $r$ et $q,$ multipliées respectivement par

$2q^{2}d\left(r^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(q^{2}\right),\quad 2r^{2}d\left(q^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(r^{2}\right),$

ajoutées ensemble et intégrées ensuite ; mais il aurait été assez difficile de découvrir cette intégrale a priori.

81. Pour achever la solution, il faut avoir encore une autre intégrale des mêmes équations ; mais on ne saurait y parvenir que pour des valeurs particulières de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} .$

Si l’on suppose, ce qui est le cas de la nature,

$\mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}},$

on trouve alors que ces équations, multipliées l’une par $d(q^{2}),$ et l’autre

par $d(r^{2}),$ donnent une somme intégrable et dont l’intégrale est

(b)

${\begin{aligned}{\frac {d\left(r^{2}\right)d\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}-{\frac {\alpha \left(3r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)}{r}}&-{\frac {\beta \left(3q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)}{q}}\\&=4\mathrm {H} \left(r^{2}+q^{2}\right)+2\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation, étant multipliée par $r^{2}+q^{2}-h^{2}$ et ajoutée à l’intégrale (a) trouvée précédemment, donne, dans l’hypothèse présente, une réduite de la forme

(c)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {q^{2}\left[d\left(r^{2}\right)\right]^{2}+r^{2}\left[d\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{2dt^{2}}}-2\alpha r\left(3q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)-2\beta q\left(3r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)\\&\quad =2\mathrm {H} \left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}-h^{4}\right)+2\mathrm {C} \left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)-2\mathrm {B} ^{2}h^{2}.\end{aligned}}\right.$

Et la même équation, étant multipliée par $2rq$ et ensuite ajoutée à celle-ci, ou retranchée, donnera cette double équation

(d)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\left[qd\left(r^{2}\right)\pm rd\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{4dt^{2}}}-\alpha \left[(r\pm q)^{3}-h^{2}(r\pm q)\right]-\beta \left[(q\pm r)^{3}-h^{2}(q\pm r)\right]\\&\quad =\mathrm {H} \left[(r\pm q)^{4}-h^{4}\right]+\mathrm {C} (r\pm q)^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2},\end{aligned}}\right.$

de sorte qu’en faisant $r+q=s,\ r-q=u,$ on aura ces deux-ci

(e)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2}ds^{2}}{16dt^{2}}}&-(\alpha +\beta )s^{3}+h^{2}(\alpha +\beta )s\\&=\mathrm {H} \left(s^{4}-h^{4}\right)+\mathrm {C} s^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2},\\{\frac {\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2}du^{2}}{16dt^{2}}}&-(\alpha -\beta )u^{3}+h^{2}(\alpha -\beta )u\\&=\mathrm {H} \left(u^{4}-h^{4}\right)+\mathrm {C} u^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}\,;\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire d’abord cette équation, où les variables sont séparées,

(f)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}\\=&{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}\,;\end{aligned}}\right.$

ensuite

(g)

$dt=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {s^{2}ds}{4{\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}\\-&{\frac {u^{2}du}{4{\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$

Les mêmes substitutions étant employées dans l’expression de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ trouvée ci-dessus, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{\left(s^{2}-h^{2}\right)\left(u^{2}-h^{2}\right)}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{s^{2}-u^{2}}}\left({\frac {1}{s^{2}-h^{2}}}-{\frac {1}{u^{2}-h^{2}}}\right),$

et, substituant la valeur de $dt,$

(h)

$d\varphi =\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {B} h^{2}ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}\\-&{\frac {\mathrm {B} h^{2}du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on pouvait intégrer chacune de ces différentielles, on aurait d’abord une équation entre $s$ et $u,$ ensuite on aurait $t$ et $\varphi$ en fonction de $s$ et $u\,;$ donc on aurait $q$ et, de là, $t$ et $\varphi$ en fonction de $r\,;$ et comme

$\sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}},$

on aurait aussi $\psi$ en $r.$ Mais ces différentielles se rapportant à la rectification des sections coniques, on ne saurait les intégrer que par approximation, et la meilleure méthode pour cela me paraît celle que j’ai donnée ailleurs^[15] pour l’intégration de toutes les différentielles qui renferment un radical carré où la variable monte à la quatrième dimension sous le signe.

82. Si, outre les deux forces ${\frac {\alpha }{r^{2}}}$ et ${\frac {\beta }{q^{2}}}$ qui attirent le corps vers les deux centres fixes, il y avait une troisième force proportionnelle à la distance, qui l’attirât vers le point placé au milieu de la ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se décomposer en deux tendantes aux mêmes points, et proportionnelles aussi aux distances. Dans ce cas donc, on aurait

$\mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,$

et l’on trouverait que l’intégrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas ; seulement, il faudrait ajouter à son premier membre les termes

$\gamma \left[5r^{2}q^{2}+{\frac {3}{2}}\left(r^{4}+q^{4}\right)-h^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)\right]\,;$

ensuite il y aurait à ajouter au premier membre de l’équation $(c)$ les termes

${\frac {\gamma }{2}}\left[r^{6}+q^{6}+15r^{2}q^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)-h^{2}\left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}\right)\right]$

et, par conséquent, au premier membre de l’équation $(d)$ les termes

${\frac {\gamma }{4}}\left[(r\pm q)^{6}-h^{2}(r\pm q)^{4}\right],$

de sorte qu’il n’y aura qu’à augmenter les polynômes en $s$ et $u$ sous le signe, dans les équations $(e),(f),(g),$ des termes respectifs

$-{\frac {\gamma }{4}}\left(s^{6}-h^{2}s^{4}\right)\qquad {\text{et}}\qquad -{\frac {\gamma }{4}}\left(u^{6}-h^{2}u^{4}\right)\,;$

ce qui ne rend guère la solution plus compliquée.

83. Quoiqu’il soit impossible d’intégrer en général l’équation trouvée $(f)$ entre $s$ et $u,$ et d’avoir, par conséquent, une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par $s=$ const et $u=$ const.

En effet, si l’on représente en général cette équation par

${\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}={\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}},$

il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant $ds$ ou $du$ nuls, pourvu que les dénominateurs ${\sqrt {\mathrm {S} }}$ ou ${\sqrt {\mathrm {U} }}$ soient aussi nuls en même temps, et du même ordre.

Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera

$s=f+\omega ,$

$f$ étant une constante, et $\omega$ une quantité infiniment petite, et désignant par $\mathrm {F}$ ce que devient $\mathrm {S}$ lorsqu’on change $s$ en $f,$ le membre ${\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}$ deviendra

${\frac {d\omega }{\sqrt {\mathrm {F} +{\cfrac {d\mathrm {F} }{df}}\omega +{\cfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}\omega ^{2}+\ldots }}}\,;$

il faudra donc, pour qu’il y ait le même nombre de dimensions de $\omega$ en haut et en bas, que l’on ait

$\mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0\,;$

alors, à cause de $\omega$ infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à

${\frac {d\omega }{\omega {\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}},$

dont l’intégrale est

${\frac {1}{\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}\log {\frac {\omega }{k}},$

$k$ étant une constante arbitraire. Si donc on fait $\omega =0,$ et qu’on prenne en même temps aussi $k=0,$ la valeur de $\log {\frac {\omega }{k}}$ deviendra indéterminée, et l’équation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir l’autre membre $\int {\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}.$ Or on sait, et il est visible par soi-même, que

$\mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0$

sont les conditions qui rendent $f$ une racine double de l’équation $\mathrm {F} =0.$ D’où^[16] il suit, en général, que, si le polynôme $\mathrm {S}$ a une ou plu-

sieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur particulière de $s\,;$ il en sera de même pour le polynôme $\mathrm {U} .$

Maintenant il est clair que l’équation $s=f$ ou $r+q=f$ représente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons $r$ et $q,$ et dont le grand axe est égal à $f.$ De même, l’équation $u=g$ ou $r-q=g$ représente une hyperbole dont les foyers sont aux mêmes centres, et dont le premier axe est $g.$

Ainsi les solutions particulières dont nous venons de parler donnent des ellipses ou des hyperboles décrites autour des centres des forces ${\frac {\alpha }{r^{2}}},{\frac {\beta }{q^{2}}}$ pris pour foyers. Et comme les polynômes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {U}$ contiennent les trois constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,$ dépendant de la direction et de la vitesse initiales du corps, il est visible qu’on pourra toujours prendre ces éléments tels que le corps décrive une ellipse ou une hyperbole donnée autour des foyers donnés. Ainsi la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse des carrés des distances, ou tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre, ce qui est très remarquable^[17].

84. S’il n’y avait qu’un seul centre vers lequel le corps fût attiré par la force ${\frac {\alpha }{r^{2}}},$ on aurait le cas de l’orbite elliptique que nous avons résolu dans le Chapitre I. Dans ce cas, on aurait $\beta =0,\,\gamma =0,$ et les deux polynômes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {U}$ deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrième degré ; les équations $(f),\,(g),\,(h)$ de l’article 81 seraient alors intégrables par les méthodes connues, et le mouvement du corps serait déterminé par des formules en $s$ et $u,$ c’est-à-dire par les distances aux deux centres, dont l’un, celui dont l’attraction est nulle, pourrait être placé où l’on voudrait ces formules ne seraient donc que de pure curiosité ; mais il y a un cas où elles se simplifient et donnent un résultat remarquable, c’est celui où le centre d’attraction nulle est placé sur le périmètre de l’ellipse.

Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ de manière que, le rayon $q$ étant nul, l’autre rayon $r$ soit égal à $h,$ distance entre les deux autres ; par conséquent, il faudra que les variables $s=r+q$ et $u=r-q$ deviennent à la fois égales à $h.$ Les équations $(e)$ de l’article 81 sont très propres à cette détermination.

Faisant $s=u=h,$ la première de ces équations donne

$\mathrm {B} ^{2}h^{2}=0\,;$

ensuite, la différence de ces équations étant divisée par $s-u,$ si l’on y fait $s=u=h,$ on a, à cause de $\beta =0,$

$-3\alpha h^{2}+\alpha h^{2}=4\mathrm {H} h^{3}+2\mathrm {C} h\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {C} =-\alpha h-2\mathrm {H} h^{2}.$

Par les substitutions de ces valeurs, le polynôme

$\mathrm {H} s^{4}+\alpha s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-\alpha h^{2}s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2}h^{2}-\mathrm {C} h^{2}$

devient

$\mathrm {H} \left(s^{4}-2s^{2}h^{2}+h^{4}\right)+\alpha \left(s^{3}-s^{2}h-sh^{2}+h^{3}\right),$

ce qui se réduit à la forme

$\mathrm {H} (s+h)^{2}(s-h)^{2}+\alpha (s+h)(s-h)^{2}\,;$

il en sera de même du polynôme en $u.$

Or, par l’article 15, on a, dans ce cas,

$\alpha =\mathrm {g} \qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}},$

$a$ étant le demi grand axe de l’ellipse ; donc les équations $(f)$ et $(g)$ deviendront

${\frac {ds}{(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}={\frac {du}{(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}},$

$dt={\frac {s^{2}ds}{4(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}-{\frac {u^{2}du}{4(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}}\,;$

et si de cette dernière on retranche la première, multipliée par $h^{2},$ et qu’ensuite on divise les numérateurs et les dénominateurs respectivement par $s-h,\ u-h,$ on aura

$dt={\frac {(s+h)ds}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {s+h-{\dfrac {(s+h)^{2}}{2a}}}}}}-{\frac {(u+h)du}{4{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {u+h-{\dfrac {(u+h)^{2}}{2a}}}}}},$

expression qui a l’avantage de ne contenir d’autre élément que le grand axe $2a.$

85. Si l’on fait

$\int {\frac {zdz}{\sqrt {z-{\dfrac {z^{2}}{2a}}}}}=f(z),$

l’intégrale étant prise de manière qu’elle commence lorsque $z$ a une valeur quelconque donnée, et qu’on remette pour $s$ et $u$ leurs valeurs $p+q,\,p-q,$ on aura, en intégrant,

$4t{\sqrt {\mathrm {g} }}=f(h+p+q)-f(h+p-q),$

où l’on voit que $t=0$ lorsque $q=0,$ de quelque manière que l’intégrale soit prise.

Or, puisque $p$ est le rayon vecteur qui part du foyer, $q$ est le rayon qui part de l’autre centre, qui est pris dans un point de l’ellipse, et dont la distance au foyer est $h$ il est clair que $h$ et $p$ seront deux rayons vecteurs, et que $q$ sera la corde de l’arc intercepté entre ces deux rayons ; par conséquent, l’expression précédente de $t$ sera le temps employé par le mobile à décrire cet arc dans l’ellipse, lequel sera donné ainsi par la somme des rayons vecteurs $h+p,$ par la corde $q$ et par le grand axe $2a.$

L’intégrale que nous avons désignée par fonction $f(z)$ dépend des arcs de cercle ou des logarithmes, suivant que $a$ est positif ou négatif ; mais, lorsque l’axe $2a$ est très grand, cette fonction se réduit à une série très convergente : on a alors

$f(z)={\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {z^{\frac {5}{2}}}{5.2a}}+{\frac {3z^{\frac {7}{2}}}{4.7.4a^{2}}}+\ldots .$

Le premier terme donne l’expression du temps dans la parabole, et l’on a

$4t{\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {2}{3}}(h+p+q)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}(h+p-q)^{\frac {3}{2}},$

laquelle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans l’article 25. Le reste de la série donne la différence des temps employés à parcourir un arc de parabole et un arc d’ellipse ou d’hyperbole ayant la même corde $u$ et la même somme $s$ des rayons vecteurs.

Cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques a été trouvée par Lambert^[18], qui en a donné une démonstration ingénieuse dans son Traité intitulé : Insigniores orbitæ cometarum proprietates. Voir aussi les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1778^[19].

Le problème que nous venons de résoudre l’a été d’abord par Euler, dans le cas où il n’y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse des carrés des distances, et où le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (Mémoires de Berlin de 1760) ; sa solution est surtout remarquable par l’art avec lequel il a su employer différentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures des équations différentielles qui, par leur complication, se refusaient à toutes les méthodes connues.

En donnant une autre forme à ces équations, je suis parvenu directement aux mêmes résultats, et j’ai même pu les étendre au cas où la courbe n’est pas dans un même plan, et où il y a, de plus, une force proportionnelle à la distance et tendante à un centre fixe placé au milieu des deux autres centres. Voir le quatrième Volume des anciens Mémoires de Turin^[20] d’où l’analyse précédente est tirée, et dans lequel on trouvera aussi l’examen du cas où l’un des centres s’éloignant à l’infini, la force tendante à ce centre deviendrait uniforme et agirait suivant des lignes parallèles et il est remarquable que, dans ce cas, la solution ne se simplifie guère seulement les radicaux qui forment les dénominateurs des équations séparées, au lieu de contenir les quatrièmes puissances des variables, ne contiennent que les troisièmes, ce qui fait également dépendre leur intégration de la rectification des sections coniques.

CHAPITRE IV.

Du mouvement de deux ou plusieurs corps libres qui s’attirent mutuellement, et en particulier du mouvement des planètes autour du soleil, et des variations séculaires de leurs éléments.

86. Lorsque plusieurs corps s’attirent réciproquement avec des forces proportionnelles aux masses et à des fonctions des distances, on a, pour leurs mouvements, les formules générales des articles 1 et 2, en prenant les corps mêmes pour les centres d’attraction.

Soient $m,\,m',\,m'',\ldots$ les masses des corps, $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z',\,x'',$ $y'',z'',\ldots$ leurs coordonnées rectangles rapportées à des axes fixes dans l’espace ; la quantité $\mathrm {T}$ sera, comme dans l’article 1,

$\mathrm {T} =\mathrm {m} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {m} '{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{dt^{2}}}+\ldots .$

Soient $\rho ',\,\rho '',\,\rho ''',\ldots$ les distances des corps $\mathrm {m',\,m'',\,m'''} ,\ldots$ au corps $\mathrm {m} ,$ et $\mathrm {R',\,R'',\,R'''} ,\ldots$ les fonctions de ces distances auxquelles les attractions entre ces corps sont proportionnelles.

Soient aussi $\rho '',\,\rho ''',\ldots$ les distances des corps $\mathrm {m'',\,m'''} ,\ldots ,$ au corps $\mathrm {m} ',$ et $\mathrm {R'',\,R'''}$ les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions.

Soient de même $\rho ''',\,\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ les distances des corps $\mathrm {m''',\,m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,\ldots$ au corps $\mathrm {m} '',$ et $\mathrm {R''',\,R^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,\ldots$ les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions ; et ainsi de suite.

On aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {(x'\ \ -x\ )^{2}+(y'\ \ -y\ )^{2}+(z'\ \ -z\ )^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {(x''\ -x\ )^{2}+(y''\ -y\ )^{2}+(z''\ -z\ )^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{1}\ =&{\sqrt {(x''\ -x')^{2}+(y''\ -y')^{2}+(z''\ -z')^{2}}},\\\rho '''_{1}=&{\sqrt {(x'''-x')^{2}+(y'''-y')^{2}+(z'''-z')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {V}$ (art. 2) sera

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&+\mathrm {m} \ \ \left(\mathrm {m} '\ \ \int \mathrm {R} 'd\rho '\ \ +\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''\ \,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''d\rho '''+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} '\ \left(\mathrm {m} ''\ \int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}\,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} ''\left(\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{''}}d\rho '''_{_{''}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, quelles que soient les coordonnées indépendantes qu’on voudra adopter, on aura toujours, par rapport à chacune d’elles, comme $\xi ,$ une équation de la forme canonique

$d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi }}=0.$

Et comme, dans le système que nous considérons, il n’y a aucun point fixe, on pourra prendre l’origine des coordonnées partout où l’on voudra, et l’on aura toujours, comme on l’a vu dans la Section III, les trois intégrales finies relatives au centre de gravité, ainsi que les trois intégrales du premier ordre relatives aux aires, et enfin l’intégrale des forces vives $\mathrm {T+V=H} .$

On aura de cette manière le mouvement absolu des corps dans l’espace mais, comme la solution de ce problème n’est importante qu’à l’égard des planètes, et qu’il n’y a que leurs mouvements relatifs par rapport au Soleil, regardé comme immobile, qui intéressent l’Astronomie, il nous reste à voir comment on peut transporter aux mouvements relatifs l’équation générale des mouvements absolus des corps du système.

§ I. — Équations générales pour le mouvement relatif des corps
qui s’attirent mutuellement.

87. Supposons qu’on demande les mouvements relatifs des corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots$ par rapport au corps $\mathrm {m} \,;$ désignons par $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ les coordonnées rectangles du corps $\mathrm {m} ',$ rapporté au corps $\mathrm {m} ,$ en prenant ce dernier corps pour l’origine des coordonnées ; soient de même $\xi '',\,\eta '',\,\zeta ''$ les coordonnées rectangles du corps $\mathrm {m} ''$ par rapport au même corps $\mathrm {m} ,$ et ainsi de suite ; la question consistera à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées.

Il est d’abord évident qu’on aura

${\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\xi ',&y'\ =&y+\eta ',&z'\ =&z+\zeta ',\\x''=&x+\xi '',\qquad &y''=&y+\eta '',\qquad &z''=&z+\zeta '',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {\xi '^{2}\ +\eta '^{2}\ +\zeta '^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {\xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {(\xi ''\,-\xi ')^{2}\,+(\eta ''\,-\eta ')^{2}\ +(\zeta ''\,-\zeta ')^{2}}},\\\rho '''_{_{'}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi ')^{2}\,+(\eta '''-\eta ')^{2}\,+(\zeta '''-\zeta ')^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho '''_{_{''}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi '')^{2}+(\eta '''-\eta '')^{2}+(\zeta '''-\zeta '')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {T}$ deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots ){\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\\&+{\frac {\begin{aligned}dx(\mathrm {m} 'd\xi '+\mathrm {m} ''d\xi ''+\ldots )&+dy(\mathrm {m} 'd\eta '+\mathrm {m} ''d\eta ''+\ldots )\\&+dz(\mathrm {m} 'd\zeta '+\mathrm {m} ''d\zeta ''+\ldots )+\ldots \end{aligned}}{dt^{2}}}\\&+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Comme les variables $x,\,y,\,z,$ après ces substitutions, n’entrent plus dans la quantité $\mathrm {V} ,$ et que ces variables n’entrent point dans $\mathrm {T}$ sous la forme finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations

$d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=0,$

ce qui donne

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=\alpha ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=\beta ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=\gamma ,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des constantes arbitraires.

Ainsi, on aura les trois équations

${\begin{aligned}\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dx}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''}{dt}}+\ldots =\alpha ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\eta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\eta ''}{dt}}+\ldots =\beta ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dz}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\zeta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\zeta ''}{dt}}+\ldots =\gamma ,\end{aligned}}$

les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des constantes.

Si maintenant on substitue dans l’expression précédente de $\mathrm {T}$ les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ tirées de ces équations, et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&m'\xi '+m''\xi ''+m'''\xi '''\,+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&m'\eta '+m''\eta ''+m'''\eta '''+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&m'\zeta '+m''\zeta ''\,+m'''\zeta '''+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {m+m'+m''+m'''} +\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2\mathrm {M} }}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2\mathrm {M} dt^{2}}}\\&+m'{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

88. Les variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots$ étant indépendantes, et la quantité $\mathrm {T}$ ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura tout de suite, par rapport à chacune d’elles, les équations

${\begin{array}{rrr}\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\xi ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\eta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\zeta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}=0,&\ldots ,\\\end{array}}$

Si l’on ajoute ensemble les premières équations relatives aux variables $\xi ',\,\xi '',\ldots ,$ on a

$\mathrm {\frac {M}{m}} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots =0,$

ce qui donne

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right),$

et l’on trouvera de même, par l’addition des deuxièmes équations et par celle des troisièmes,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

valeurs qu’on pourra substituer dans les équations précédentes.

On aura ainsi, pour le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour de $\mathrm {m} ,$ les trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right)=0,\\\end{aligned}}$

et l’on aura de pareilles équations pour le mouvement des corps $m'',\,m''',\ldots$ autour du corps $\mathrm {m} ,$ en changeant seulement entre elles les quantités affectées de deux traits, ou de trois, etc.

Il n’y aura donc qu’à substituer la valeur de $\mathrm {V}$ et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables ; mais cette substitution peut se simplifier par la considération suivante.

89. Dénotons par $\mathrm {U}$ la somme de tous les termes de la quantité $\mathrm {V}$ qui contiennent les distances $\rho ''_{_{'}},\,\rho '''_{_{'}},\ldots ,\rho '''_{_{''}},\ldots ,$ et remarquons que les expressions de ces distances sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots$ qui y entrent d’une même quantité quelconque ; d’où il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de $\mathrm {U}$ sera nulle, ce qui donnera l’équation

$\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \xi '}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0.$

On trouvera de la même manière, parce que la même propriété a lieu par rapport aux coordonnées $\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',\ldots$ et aux coordonnées $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',\ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \eta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta '''}}} +\ldots =&0,\\\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =&0,\\\end{aligned}}$

Donc, puisque

$\mathrm {V} =\mathrm {m} \left(\mathrm {m} '\int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''+\ldots \right)+\mathrm {U} ,$

$\rho '$ ne contenant que $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '\,;$ $\rho ''$ ne contenant que $\xi '',\,\eta '',\,\zeta '',$ et ainsi de suite, la première équation deviendra par ces substitutions, en la divisant par $\mathrm {m} ',$

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}+\mathrm {m''R''} {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+\ldots +\mathrm {\frac {\partial U}{m'\partial \xi '}} =0.$

Or, dans la quantité $\mathrm {U} ,$ il n’y a que les termes qui contiennent $\rho '',\,\rho ''',\ldots$ qui dépendent des variables $\xi ',\eta ',\zeta '$ (art. 86) ; ainsi l’on peut réduire la valeur de $\mathrm {U}$ à

$\mathrm {U} =\mathrm {m} '\left(\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\,;$

substituant la valeur de ${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \xi '}}$ dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \xi '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \xi '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}$

et l’on aura de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \eta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \eta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \eta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}} +\ldots =0,\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \zeta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}$

90. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l’avantage de s’appliquer également à des coordonnées quelconques.

Si l’on multiplie la première par $\delta \xi ',$ la deuxième par $\delta \eta ',$ la troisième par $\delta \zeta ',$ et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}\delta \xi '+{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}\delta \eta '+{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}\delta \zeta ',$

laquelle, en transformant les coordonnées $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ en d’autres coordonnées indépendantes $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ donnera pour les termes multipliés par $\delta \xi$ la formule (Sect. IV, art. 7)

$\left(d{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\delta \xi }}\right)\delta \xi ,$

en faisant

$\mathrm {T} '={\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}.$

À l’égard des termes qui contiennent les forces $\mathrm {R',\,R''} ,\ldots ,$ il est facile de voir qu’en changeant la caractéristique $\delta$ en $d,$ tous ces termes sont intégrables par rapport aux variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '\,;$ l’intégrale contiendra d’abord les termes

$\mathrm {(m+m')} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \,;$

ensuite elle contiendra les termes

${\begin{aligned}&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}+\ldots \right)} \xi '\\+&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}+\ldots \right)} \eta '\\+&\mathrm {\left(m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}+\ldots \right)} \zeta '\\\end{aligned}}$

Or on a

${\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}={\frac {\xi ''}{\rho ''}},\qquad {\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}={\frac {\eta ''}{\rho ''}},\qquad {\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}={\frac {\zeta ''}{\rho ''}}\,;$

et comme

$\rho _{_{'}}^{''2}=(\xi ''-\xi ')^{2}+(\eta ''-\eta ')^{2}+(\zeta ''-\zeta ')^{2},$

On aura

${\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}\xi '+{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}\eta '+{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}\zeta '={\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}},$

et de même

${\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}\xi '+{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}\eta '+{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}\zeta '={\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}},$

et ainsi des autres expressions semblables. Donc, nommant $\mathrm {V} '$ l’intégrale totale, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {V} '=&\mathrm {(m+m')} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \\&+\mathrm {m''R''} {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}}+\mathrm {m'''R'''} {\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}}+\ldots .\end{aligned}}$

Ainsi, après la transformation des coordonnées, les termes multipliés par $\delta \xi$ se réduiront à ${\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}\delta \xi \,;$ et, comme on suppose les nouvelles coordonnées $\xi ,\,\psi ,\,\varphi$ indépendantes, chacune d’elles, comme $\xi ,$ donnera une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}=0.$

91. S’il n’y a que deux corps, $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} ',$ l’expression de $\mathrm {V} '$ devient

$\mathrm {V'=(m+m')\int R'} d\rho '\,;$

ainsi les valeurs de $\mathrm {T} '$ et de $\mathrm {V} '$ sont les mêmes que pour un corps attiré vers un centre fixe avec une force $\mathrm {(m+m')R'}$ proportionnelle à une fonction de la distance $\rho '$ (art. 4). Donc le mouvement relatif du corps $m'$ autour du corps $\mathrm {m}$ sera le même que si celui-ci était fixe et que la masse attirante fût la somme des deux masses, ce qui est connu depuis Newton.

Lorsque la masse $\mathrm {m}$ du corps autour duquel les autres sont censés se mouvoir est beaucoup plus grande que la somme des masses $m',\,m'',\ldots ,$ ce qui est le cas du Soleil par rapport aux planètes, on a, à très peu près,

$\mathrm {V'=(m+m')\int R'} d\rho '.$

Le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du corps $\mathrm {m}$ sera donc, dans ce cas, à très peu près le même que si celui-ci était fixe et que la somme des masses $\mathrm {m+m'}$ y fût réunie ; et en regardant les autres forces $\mathrm {m''R'',\,m''R''_{_{'}}}$ comme des forces perturbatrices, on pourra employer la théorie de la variation des constantes arbitraires pour déterminer l’effet de ces forces il ne s’agira que de prendre, conformément à l’article 9 de la Section V, $-\Omega$ égale à la somme de tous les autres termes de la valeur de $\mathrm {V} '$ donnée ci-dessus. On fera ainsi, en accentuant la lettre $\Omega$ pour la rapporter à la planète $\mathrm {m} ',$

${\begin{aligned}\Omega '=&-m''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}-m'''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}-\ldots \\&-\mathrm {m''R''} {\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''}}-\mathrm {m'''R'''} {\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura, par les formules générales de l’article 14 de la même Section, les variations des éléments du mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du corps $\mathrm {m}$ regardé comme fixe.

§ II. — Formules générales pour les variations séculaires des éléments des orbites des planètes autour du Soleil.

92. Pour appliquer ces formules au mouvement des planètes autour du Soleil, on prendra la masse $m$ pour celle du Soleil, la masse $\mathrm {m} '$ pour celle de la planète dont on cherche les perturbations, et les masses $\mathrm {m} '',\,\mathrm {m} ''',\ldots$ pour les masses des planètes perturbatrices, et l’on fera

$\mathrm {R} '={\frac {1}{\rho '^{2}}},\qquad \mathrm {R} ''={\frac {1}{\rho ''^{2}}},\qquad \ldots ,\qquad \mathrm {R} ''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{''2}}},\qquad \ldots .$

On substituera ensuite dans la fonction $\Omega ',$ au lieu des coordonnées $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ $\xi '',\,\eta '',\ldots$ de ces différents corps autour de $\mathrm {m} ,$ leurs valeurs exprimées en fonction de $t,$ conformément aux formules que nous avons données dans le Chapitre I^er pour les expressions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ en y faisant

$\mathrm {g=m+m'} ,$

ou simplement $\mathrm {g} ',$ pour le rapporter au corps $\mathrm {m} ',$ et l’on aura, par les articles 69 et suivants, les variations des six éléments de l’orbite de la planète autour du Soleil.

Nous nous contenterons ici de chercher les variations séculaires de ces éléments qui sont les plus importantes, et qui ne dépendent que du premier terme tout constant du développement de $\Omega .$

L’expression de $\Omega '$ deviendra

$\Omega '=\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}\right)+\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {\rho '^{2}+\rho '''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2\rho '''^{3}}}\right)+\ldots .$

93. Commençons par développer la quantité

$\rho ''_{_{'}}={\sqrt {(\xi ''-\xi ')^{2}+(\eta ''-\eta ')^{2}+(\zeta ''-\zeta ')^{2}}}\,;$

on y mettra d’abord pour $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les expressions de $x,\,y,\,z$ de l’article 13, en marquant par un trait, ou par deux, les quantités qui se

rapportent aux masses $\mathrm {m',m''} .$ On aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-2\rho '\rho ''(\alpha '\,\cos \Phi '+\beta '\,\sin \Phi ')(\alpha ''\cos \Phi ''+\beta ''\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{1}\cos \Phi '+\beta '_{1}\sin \Phi ')(\alpha ''_{1}\cos \Phi ''+\beta ''_{1}\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{2}\cos \Phi '+\beta '_{2}\sin \Phi ')(\alpha ''_{2}\cos \Phi ''+\beta ''_{2}\sin \Phi '').\end{aligned}}$

Si l’on fait les multiplications, qu’on développe les produits des sinus et cosinus et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ \,=&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ \,=&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {A} _{1}=&\alpha ''\beta '+\alpha ''_{1}\beta '_{1}\,+\alpha ''_{2}\beta '_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\ +\beta '_{2}\beta ''_{2},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-(\mathrm {A+B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A-B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi '')\\&-(\mathrm {A_{1}-B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A_{1}+B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '+\Phi '').\end{aligned}}$

Les quantités $\alpha ',\,\beta ',\,\alpha '_{1},\ldots$ sont fonctions des éléments $h',\,i',\,k'$ de l’orbite de la planète $\mathrm {m} ',$ donnée par les formules de l’article 13, en marquant toutes les lettres d’un trait, et les quantités $\alpha '',\,\beta '',\,\alpha ''_{1},\ldots$ sont fonctions semblables des éléments $h'',i'',k''$ de l’orbite de la planète $\mathrm {m} '',$ en marquant les lettres de deux traits ainsi les quantités $\mathrm {A,\,B,\,A_{1},\,B_{1}}$ sont fonctions de ces mêmes éléments ; mais, par la considération suivante, on peut voir ce qu’elles expriment.

94. Les coordonnées primitives rapportées à un plan donné étant $x,\,y,\,z,$ pour les transformer dans les coordonnées $x',\,y',\,z'$ rapportées au plan de l’orbite de $\mathrm {m} ',$ on a, par les formules générales de l’article 14,

${\begin{aligned}x=&\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z',\\y=&\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z',\\z=&\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z',\\\end{aligned}}$

où les coefficients $\alpha ',\,\beta ',\ldots$ dépendent des constantes $h',\,i',\,k'$ qui déterminent la position des nouveaux axes par rapport aux primitifs, $i'$ étant l’inclinaison des deux plans.

De même, si l’on voulait transformer les mêmes coordonnées dans les coordonnées $x'',\,y'',\,z''$ rapportées au plan de l’orbite de $\mathrm {m} '',$ on aurait

${\begin{aligned}x=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\y=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\z=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}$

où les coefficients $\alpha '',\,\beta '',\ldots$ seraient des fonctions semblables des constantes $h'',\,i'',\,k''$ qui déterminent la position de ce nouveau plan patrapport au même plan primitif, et où $i''$ serait l’inclinaison de ces plans.

Si l’on compare maintenant ces expressions, on aura

${\begin{aligned}\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z'=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z'=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z'=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}$

Comme les coefficients $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '\,;\alpha '_{1},\ldots$ sont assujettis aux mêmes équations de condition que les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,;\alpha _{1},\ldots$ de l’article 14, si l’on ajoute ensemble les trois équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par $\alpha ',\,\alpha '_{1},\,\alpha '_{2},$ par $\beta ',\,\beta '_{1},\,\beta '_{2},$ et par $\gamma ',\,\gamma '_{1},\,\gamma '_{2},$ on aura, en vertu de ces équations,

${\begin{aligned}x'=&\mathrm {A} \ \,x''+\mathrm {B} \ \,y''+\mathrm {C} \ \,z'',\\y'=&\mathrm {A} _{1}x''+\mathrm {B} _{1}y''+\mathrm {C} _{1}z'',\\z'=&\mathrm {A} _{2}x''+\mathrm {B} _{2}y''+\mathrm {C} _{2}z'',\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ =&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} \ =&\alpha '\gamma ''+\alpha '_{1}\gamma ''_{1}\,+\alpha '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{1}=&\beta '\alpha ''+\beta '_{1}\alpha ''_{1}+\beta '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\,+\beta '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{1}=&\beta '\gamma ''+\beta '_{1}\gamma ''_{1}\,+\beta '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{2}=&\gamma '\alpha ''+\gamma '_{1}\alpha ''_{1}+\gamma '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{2}=&\gamma '\beta ''+\gamma '_{1}\beta ''_{1}\,+\gamma '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{2}=&\gamma '\gamma ''+\gamma '_{1}\gamma ''_{1}\,+\gamma '_{2}\gamma ''_{2}.\end{aligned}}$

Il est évident que, par ces formules, les coordonnées $x',\,y',\,z'\,;$ sont transformées dans les coordonnées $x'',\,y'',\,z''\,;$ ainsi les coefficients $\mathrm {A,\,B,\,C} \,;$ $\mathrm {A_{1},\,B_{1}} ,\ldots$ seront exprimés d’une manière semblable aux coefficients analogues $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '\,;\alpha '_{1},\,\beta '_{1},\ldots ,$ et, prenant les constantes $\mathrm {H,\,I,\,K} ,$ à la place des $h',\,i',\,k',$ on aura, par les formules générales de l’article 13,

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&+\mathrm {\cos K\cos H-\sin H\sin K\cos I} ,\\\mathrm {B} \ =&-\mathrm {\sin K\cos H-\sin H\cos K\cos I} ,\\\mathrm {C} \ =&+\mathrm {\sin H\sin I} \,;\\\\\mathrm {A} _{1}=&+\mathrm {\cos K\sin H+\sin K\cos H\cos I} ,\\\mathrm {B} _{1}=&-\mathrm {\sin K\sin H+\cos K\cos H\cos I} ,\\\mathrm {C} _{1}=&-\mathrm {\cos H\sin I} \,;\\\\\mathrm {A} _{2}=&\mathrm {\sin K\sin I} ,\\\mathrm {B} _{2}=&\mathrm {\cos K\sin I} ,\\\mathrm {C} _{2}=&\mathrm {\cos I} .\end{aligned}}$

La constante $\mathrm {I}$ représentera l’angle d’inclinaison des deux plans où sont placées les orbites des planètes $\mathrm {m} '$ et $\mathrm {m} ''\,;$ et nous la désignerons par $\mathrm {I} ''_{_{'}},$ pour indiquer qu’elle se rapporte aux orbites de $\mathrm {m} '$ et $\mathrm {m} ''\,;$ et si, dans l’expression de $\mathrm {C} _{2}$ en $\gamma ',\,\gamma '',\,\gamma ''_{_{'}},\ldots ,$ on substitue les valeurs de ces coefficients en $h',\,k',\,i',\,h'',\,k'',\,i''$ (art. 13), on a

$\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\cos i'\cos i''+\cos(h'-h'')\sin i'\sin i''.$

On voit que les quantités que nous venons de désigner par $\mathrm {A,\,B,\,A_{1},\,B_{1}}$ sont les mêmes fonctions de $\alpha ',\,\alpha '',\,\beta ',\ldots$ que celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans l’article 93 ; ainsi l’on aura dans les formules de cet article, en y substituant pour ces quantités les valeurs que nous venons de trouver,

${\begin{aligned}&\mathrm {A+B_{1}=2\cos(H+K)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A-B_{1}=2\cos(H-K)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A_{1}+B=2\sin(H+K)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} ,\\&\mathrm {A_{1}-B=2\sin(H-K)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}I''_{_{'}}} .\end{aligned}}$

95. Donc, faisant ces substitutions dans l’expression de $\rho _{_{'}}^{''2}$ de l’article 93, on aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=&\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}\\&-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}$

Faisons, pour un moment,

$\Delta =\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ),$

on aura

${\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}={\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )-2\rho '\rho ''\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}}}\,;$

c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’expression de $\Omega$ de l’article 92 ; et l’on aura de la même manière

${\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}={\frac {\rho '\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}{\rho ''^{2}}}+{\frac {\rho '\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}{\rho ''^{2}}}.$

En marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquées que de deux, on aura les termes multipliés par $\mathrm {m} '''$ dans $\Omega ,$ et ainsi de suite.

Il faudra ensuite substituer pour $\rho ',\,\rho '',\ldots$ et pour $\Phi ',\,\Phi '',\ldots$ leurs valeurs exprimées par les anomalies moyennes $u',\,u'',\ldots ,$ suivant les formules des articles 21 et 22 ; et, dans le développement, nous nous contenterons d’avoir égard aux secondes dimensions des excentricités $e',\,e'',\ldots$ et des inclinaisons mutuelles $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},\ldots$ des orbites de $\mathrm {m'',\,m'''} ,\ldots$ sur celles de $\mathrm {m} ',$ en regardant ces quantités comme très petites du même ordre, et en négligeant les termes où elles formeraient des produits de plus de deux dimensions.

On aura ainsi

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}}}\\&-{\frac {\rho \rho '\left[\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]}{\left[\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]^{\frac {3}{2}}}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}$

96. On sait que les puissances d’une fonction de la forme

$\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi$

peuvent se développer en séries de cosinus d’angles multiples de $\Phi \,;$ ainsi l’on peut supposer

${\begin{aligned}&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\\&\quad =(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +(\rho ',\rho '')_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\\&(\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi )^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =[\rho ',\rho '']\ +[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi \ +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi \ +[\rho ',\rho '']_{3}\cos 3\varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

où $(\rho ',\rho ''),(\rho ',\rho '')_{1},\ldots ,[\rho ',\rho ''],[\rho ',\rho '']_{1},\ldots$ sont des fonctions de $\rho ',\,\rho ''$ exprimées en séries ou par des intégrales définies, dans lesquelles les quantités $\rho '$ et $\rho ''$ entrent de la même manière et forment des fonctions homogènes des dimensions $-1$ ou $-3.$

Ainsi, en faisant

$\varphi =\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ,$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&(\rho ',\rho '')+(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi +(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi +\ldots \\&+\rho '\rho ''\left([\rho ',\rho '']+[\rho ',\rho '']_{1}\cos \varphi +[\rho ',\rho '']_{2}\cos 2\varphi +\ldots \right)\\&\qquad \times \left[\cos(\varphi +2\Phi ''+2\mathrm {K} )-\cos \varphi \right]\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}},\end{aligned}}$

où il faudra faire (art. 21 et 22)

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&a'\ \left(1-e'\,\cos u'\ +{\frac {e'^{2}}{2}}\ -{\frac {e'^{2}}{2}}\cos 2u'\,\right),\\\rho ''\ =&a''\left(1-e''\cos u''+{\frac {e''^{2}}{2}}-{\frac {e''^{2}}{2}}\cos 2u''\right),\\\Phi '\ =&u'\ +2e'\sin u'\ +{\frac {5e'^{2}}{4}}\sin 2u',\\\Phi ''=&u''+2e''\sin u''+{\frac {5e''^{2}}{4}}\sin 2u'',\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\varphi =u'-u''-\mathrm {L} +2(e'\sin u'-e''\sin e'')+{\frac {3}{4}}\left(e'^{2}\sin 2u'-e''^{2}\sin 2u''\right),$

$\mathrm {L}$ étant égal à $\mathrm {H+K} .$

Comme nous négligeons les quantités au-dessus du second ordre dans les termes multipliés par $\sin ^{2}{\frac {\mathrm {I} }{2}},$ on pourra mettre tout de suite $a'$ et $a''$ au lieu de $\rho ',\rho ''\,;u',u''$ au lieu de $\Phi ',\Phi '',$ et $u'-u''-\mathrm {L}$ au lieu de $\varphi \,;$ et, en développant les produits des cosinus, on verra facilement qu’il n’y aura de terme indépendant des angles $u'$ et $u''$ que celui-ci :

$-{\frac {1}{2}}a'a''[a',a'']_{1}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.$

Considérons maintenant les fonctions $(\rho ',\rho ''),\,(\rho ',\rho '')_{1},\ldots \,;$ en y faisant les substitutions précédentes à la place de $\rho '$ et de $\rho '',$ et conservant les secondes dimensions de $e'$ et de $e'',$ on aura

${\begin{aligned}(\rho ',\rho '')=(a',a'')&+{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\left(-a'e'\cos u'+{\frac {a'e'^{2}}{2}}-{\frac {a'e'^{2}}{2}}\cos 2u'\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{2\partial a'^{2}}}{\frac {a'^{2}e'^{2}}{2}}\left(1+\cos 2u'\right)\\&+{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a''}}\left(-a''e''\cos u''+{\frac {a''e''^{2}}{2}}-{\frac {a''e''^{2}}{2}}\cos 2u''\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{2\partial a''^{2}}}{\frac {a''^{2}e''^{2}}{2}}\left(1+\cos 2u''\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}{\frac {a'a''e'e''}{2}}\left[\cos(u'-u'')-\cos(u'+u'')\right],\end{aligned}}$

et il en sera de même des autres fonctions semblables. On aura pareillement

${\begin{aligned}\cos \varphi =&-\cos(u'-u''-\mathrm {L} )-\sin(u'-u''-\mathrm {L} )\left\{{\begin{aligned}&2e'\sin u'\ \ +{\frac {5e'^{2}}{4}}\sin 2u'\\-&2e''\sin u''-{\frac {5e''^{2}}{4}}\sin 2u''\end{aligned}}\right\}\\&-\cos(u'-u''-\mathrm {L} )\left\{{\begin{aligned}e'^{2}&-e'^{2}\cos 2u'+e''^{2}-e''^{2}\cos 2u''\\&-2e'e''\left[\cos(u'-u'')-\cos(u'+u'')\right]\end{aligned}}\right\}\,;\end{aligned}}$

on développera de la même manière les cosinus des angles multiplcs de $\varphi ,$ et l’on multipliera les expressions de ces cosinus par celles des coefficients $(\rho ',\rho ''),\,(\rho ',\rho '')_{1},\ldots .$

Comme nous ne cherchons que les termes indépendants de toute période, il faudra rejeter tous ceux qui se trouveront multipliés par des cosinus d’angles multiples de $u'$ et de $u'',$ qui sont les angles des mouvements moyens de $\mathrm {m} '$ et de $\mathrm {m} ''.$ Ainsi le terme $(\rho ',\rho '')$ de l’expression ${\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}$ ne donnera que ceux-ci :

$(a',a'')+\left[{\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a'^{2}}}a'^{2}\right]e'^{2}$

$+\left[{\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a''^{2}}}a''^{2}\right]e''^{2}.$

Le terme $(\rho ',\rho '')_{1}\cos \varphi$ donnera ceux-ci :

$\left[(a',a'')_{1}+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')_{1}}{4\partial a'\partial a''}}a'a''\right]e'e''\cos \mathrm {L} .$

Le terme $(\rho ',\rho '')_{2}\cos 2\varphi$ et les suivants ne donneront que des termes où $e',\,e'',\,i',\,i''$ formeraient plus de deux dimensions, et que nous négligeons.

Il reste à développer la quantité (art. 93, 94)

${\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}={\frac {\rho '\cos \varphi }{\rho ''^{2}}}+{\frac {\rho '\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}{\rho ''^{2}}}$

On fera ici pour $\rho ',\,\rho ''$ les mêmes substitutions que ci-dessus ; on aura d’abord

${\frac {\rho '}{\rho ''^{2}}}={\frac {a'}{a''^{2}}}\left\{1-e'\cos u'+2e''\cos u''+{\frac {e'^{2}}{2}}(1-\cos 2u)\right.$

$\left.+{\frac {e''^{2}}{2}}(1+5\cos 2u'')+e'e''\left[\cos(u'-u'')+\cos(u'+u'')\right]\right\}\,;$

mais, dans le terme qui contient $\sin {\frac {\mathrm {I} }{2}}$ et qui est déjà du second ordre, il suffira de mettre ${\frac {a'}{a''^{2}}}$ à la place de ${\frac {\rho '}{\rho ''^{2}}},$ et comme

$\Delta =\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ),$

il est clair que ce terme ne donnera aucune quantité constante.

En multipliant l’expression précédente de ${\frac {\rho '}{\rho ''^{2}}}$ par celle de $\cos \varphi$ de l’article précédent, et ne retenant que les termes constants où $e'$ et $e''$ ne passent pas la seconde dimension, on trouve aisément ceux-ci :

${\frac {a'}{a''}}\left(-{\frac {e'e''}{2}}-e'e''+{\frac {e'e''}{2}}+e'e''\right)\cos \mathrm {L} =0,$

de sorte que, dans la quantité dont il s’agit, les termes constants se détruisent.

97. La somme de tous les termes que nous venons de trouver, étant multipliée par $\mathrm {m} '',$ sera la partie constante de la fonction $\Omega ',$ due à l’action de la planète $\mathrm {m} '',$ et l’on aura une expression semblable pour la partie due à l’action de la planète $\mathrm {m} '''$ en rapportant à celle-ci les quantités relatives à la planète $\mathrm {m} ''.$

Nous avons désigné par $(\Omega )$ cette partie non périodique de la fonction $\Omega \,;$ si donc on fait, pour abréger,

$((a',a''))={\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a'^{2}}}a'^{2},$

et par conséquent, puisque $a'$ et $a''$ entrent de la même manière dans la fonction $(a',a''),$

$((a'',a'))={\frac {\partial (a',a'')}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{4\partial a''^{2}}}a''^{2},$

et, de plus

$\left[(a',a'')\right]=(a',a'')_{1}+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a'}}a'+{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{2\partial a''}}a''+{\frac {\partial ^{2}(a',a'')_{1}}{4\partial a'\partial a''}}a'a'',$

on aura

$-(\Omega ')=\mathrm {m} '\left\{{\begin{aligned}&(a',a'')+((a',a''))e'^{2}+((a'',a'))e''^{2}\\&\quad +\left[(a',a'')\right]e'e''\cos \mathrm {L} -{\frac {1}{2}}a'a''[a',a'']_{1}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}\end{aligned}}\right\}+\ldots .$

Cette valeur est exacte aux quantités du troisième ordre près, en regardant les excentricités $e'$ et $e''$ des orbites de $\mathrm {m} '$ et de $\mathrm {m} '',$ ainsi que leur inclinaison mutuelle $\mathrm {I} ,$ comme de très petites quantités du premier ordre, quelles que soient d’ailleurs les inclinaisons de ces orbites sur le plan fixe de projection.

98. On peut simplifier beaucoup les expressions des fonctions $((a',a'))$ et $\left[(a',a'')\right],$ par les propriétés connues des coefficients des séries en $\cos \varphi ,\,\cos 2\varphi ,\ldots .$ En effet, si l’on différentie logarithmiquement par rapport à $\varphi ,$ et ensuite par rapport à $a',$ l’équation identique

$\left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +(a',a'')_{2}\cos 2\varphi +\ldots ,$

et qu’après avoir multiplié en croix, on compare les termes multipliés par les mêmes cosinus, on aura d’abord

$3a'a''(a',a'')_{2}=-2a'a''(a',a'')+2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}\,;$

ensuite les différentielles relatives à $a'$ et $a''$ donneront

${\begin{aligned}{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\ =&{\frac {a'(a',a'')-a''(a',a'')_{1}}{\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{\partial a'}}=&{\frac {a'a''(a',a'')-a''^{2}(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'^{2}}}=&{\frac {4a'^{3}(a',a'')+a''\left(a''^{2}-3a'^{2}\right)(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}=&{\frac {-2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)+2a'a''(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs, on aura

${\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {4a'^{2}a''^{2}(a',a'')-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}}{8\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')+\left(a'^{2}+a''^{2}-a'a''\right)(a',a'')_{1}}{2\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficients de la série

$\left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=[a',a'']+[a',a'']_{1}\cos \varphi +\ldots \,;$

car, en différentiantlogarithmiquement et multipliant ensuite en croix, on trouve d’abord, comme ci-dessus,

$a'a''[a',a'']_{2}=2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}-6a'a''[a',a'']\,;$

substituant cette valeur de $[a',a'']_{2},$ et comparant la série multipliée par $a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}$ avec la série $(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +\ldots ,$

avec laquelle elle doit devenir identique, il est facile de déduire ces relations

${\begin{aligned}(a',a'')\ \ =&\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']-a'a''[a',a'']_{1},\\(a',a'')_{1}=&4a'a''[a',a'']-\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1},\end{aligned}}$

et, par la substitution de ces valeurs, on aura celles-ci

${\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {1}{8}}a'a''[a',a'']_{1}=((a'',a')),\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {3}{2}}a'a''[a',a'']-{\frac {1}{2}}\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}=-{\frac {1}{4}}a'a''[a',a'']_{2},\end{aligned}}$

qu’on substituera dans l’expression de $(\Omega ')$ de l’article précédent.

À l’égard de la valeur des coefficients $(a',a''),\,(a',a'')_{1},\ldots ,$ $[a',a''],\,[a',a'']_{1},\ldots ,$ en fonction de $a',a'',$ on peut les trouver par le développement des radicaux en puissances de $\cos \varphi$ et par le développement de ces puissances en cosinus d’angles multiples de $\varphi ,$ comme Euler l’a fait le premier dans ses Recherches sur Jupiter et Saturne ; mais j’ai trouvé, depuis longtemps, qu’on pouvait les avoir d’une manière plus simple en décomposant le trinôme $a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}$ en ses deux facteurs imaginaires

$\left(a'-a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}\right)\left(a'-a''e^{-\varphi {\sqrt {-1}}}\right)$

et en développantpar la formule du binôme les puissances $-{\frac {1}{2}},\,-{\frac {3}{2}}$ de chacun de ces facteurs.

Soit, pour abréger,

$n'={\frac {n(n+1)}{2}},\quad n''={\frac {n(n+1)(n+2)}{2.3}},\quad \ldots \,;$

on aura, en général

$\left(a'-a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}\right)^{-n}=a'^{-n}-na'^{-n-1}a''e^{\varphi {\sqrt {-1}}}+n'a'^{-n-2}a''^{2}e^{2\varphi {\sqrt {-1}}}+\ldots .$

et si l’on multiplie ensemble les deux séries qui répondent à ${\sqrt {-1}}$ et à $-{\sqrt {-1}},$ et qu’on repasse des exponentielles imaginaires aux cosinus des angles multiples, on aura

$\left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-n}={\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\cos \varphi +{\mathfrak {C}}\cos 2\varphi +\ldots ,$

en faisant

${\begin{aligned}&{\mathfrak {A}}={\frac {1}{a'^{2n}}}\left[1+n^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+n'^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n''^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {B}}={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)\ +nn'\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)^{3}+n'n''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{5}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {C}}\ \,={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n'\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+nn''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n'n'''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces séries sont toujours convergentes, lorsque $a'>a''\,;$ mais si l’on avait $a''>a',$ il n’y aurait qu’à changer $a'$ en $a''$ et $a''$ en $a',$ puisque, dans la fonction non développée, les quantités $a'$ et $a''$ entrent également.

Une conséquence qui résulte de la forme de ces séries est que, tant que $n$ est un nombre positif, tous les coefficients ${\mathfrak {A,\,B,\,C}},\ldots$ ont toujours des valeurs positives.

Si l’on fait $n={\frac {1}{2}},$ ces coefficients deviendront $(a',a''),(a',a'')_{1},$ $(a',a'')_{2},\ldots \,;$ et, si l’on fait $n={\frac {3}{2}},$ ils deviendront $[a',a''],[a',a'']_{1},$ $[a',a'']_{2},\ldots .$

99. Il nous reste encore à déterminer l’angle $\mathrm {L} .$ Comme nous négligeons les quantités du troisième ordre etque, dans l’expression de $(\Omega '),$ $\cos \mathrm {L}$ est déjà multiplié par $e'e'',$ on pourra, dans la détermination de l’angle $\mathrm {L} ,$ faire abstraction des quantités très petites du premier ordre, et par conséquent y supposer $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0.$ Or (art. 96)

$\mathrm {L=H+K} ,$

et, faisant $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0$ dans les formules de l’article 94, on a

$\mathrm {A=\cos(H+K),\quad A_{1}=-B=\sin(H+K),\quad A_{2}=0} \,;$

on a aussi, par les formules de cet article,

$\mathrm {A} =\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2}=\cos \mathrm {L} .$

Différentions cette valeur de $\cos \mathrm {L} ,$ faisons varier les quantités $\alpha ',\,\alpha '',$ $\alpha '_{1},\ldots ,$ substituons à la place de leurs différentielles les expressions données dans l’article 71, en accentuant les quantités respectives, et remettons les quantités $\mathrm {A_{1},\,A_{2}} ,\ldots$ à la place de leurs valeurs en $\alpha ',\,\alpha '',\,\beta ',\ldots \,;$ on trouvera facilement

$-\sin \mathrm {L} d\mathrm {L} =\mathrm {A} _{1}d\chi '+\mathrm {A} _{2}d\pi '+\mathrm {B} d\chi ''+\mathrm {C} d\pi ''.$

Mais

$\mathrm {A_{1}=\sin L,\quad A_{2}=0,\quad B=-\sin L,\quad C=0} \,;$

donc, en divisant par $\sin \mathrm {L} ,$ on aura

$d\mathrm {L} =d\chi ''-d\chi '$

et, intégrant,

$\mathrm {L} =\chi ''-\chi '$

où il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, puisque l’origine des angles $\chi ',\,\chi ''$ est arbitraire. L’angle $\chi$^[21] est en général celui que l’orbite décrit en tournant dans son plan, et que nous avons substitué à la place de la longitude $k$ du périhélie (art. 68).

100. La fonction $(\Omega ')$ est maintenant réduite à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations séculaires ; il n’y aura qu’à la substituer dans les formules de l’article 76, en marquant d’un trait les lettres de ces formules, pour les rapporter à la planète $\mathrm {m} ',$ dont on cherche les variations ; et, en changeant simplement entre elles les lettres marquées d’un trait et de deux, on aura des formules semblables pour les variations de la planète $\mathrm {m} '',$ et ainsi des autres.

On voit que cette fonction est composée de deux fonctions distinctes entre elles, dont l’une ne renferme que les excentricités et les lieux des aphélies dans les orbites, et dont l’autre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs nœuds. Si l’on désigne la première par $(\Omega ')_{1}$ et la seconde par $(\Omega ')_{2},$ en sorte que l’on ait

$(\Omega ')=(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},$

on aura

${\begin{aligned}(\Omega ')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} ''\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ +a'a''[a',a''\,]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2a'a''[a',a'']_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a',a''')+a'a'''[a',a''']_{1}\left(e'^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a'a'''[a',a''']_{2}e'e'''\cos(\chi '-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega ')_{2}=&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}&\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\ =\cos i'\cos i''\,+\cos(h'-h'')\sin i'\sin i'',\\&\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}=\cos i'\cos i'''+\cos(h'-h''')\sin i'\sin i''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les angles $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},\ldots$ étant les inclinaisons de l’orbite de la planète $\mathrm {m} '$ sur celles des planètes $m'',\,m''',\ldots .$

On substituera ainsi $(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},$ au lieu de $(\Omega '),$ dans les équations des variations séculaires (art. 76), et l’on accentuera les lettres, pour les rapporter à la planète $\mathrm {m} '$ dont on cherche les variations ; on aura, en négligeant les $e'^{2}$ et mettant simplement $a'$ au lieu de $b$ dans les coefficients des fonctions $(\Omega )_{1}$ et $(\Omega )_{2},$ qui sont déjà du second ordre,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}=&-{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},\\{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial h'}},&\qquad {\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial i'}}.\end{alignedat}}$

On aura de pareilles équations pour les variations des éléments de la planète $\mathrm {m} ''$ dans son orbite autour de $\mathrm {m} \,;$ et il n’y aura pour cela qu’à marquer de deux traits les lettres qui ne sont marquées que d’un trait, et au contraire ne marquer que d’un trait les lettres qui le sont de deux.

Ainsi, en observant que les fonctions de $a'$ et $a''$ représentées par des parenthèses ne changent pas en échangeant entre elles les quantités $a',\,a'',$ on aura

${\begin{aligned}(\Omega '')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ \ +a'a''\ \ [a',a''\,\ ]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2\left[(a',a'')\right]_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a'',a''')+a''a'''[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a\left[(a'',a''')\right]_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega '')_{2}=&-{\frac {1}{2}}\mathrm {m} '\ \ a'\ a''\ [a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '_{_{''}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{''}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où

$\cos \mathrm {I} '_{_{''}}=\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\qquad {\text{et}}\qquad \cos \mathrm {I} '''_{_{''}}=\cos i''\cos i'''+\sin(h''-h''')\sin i''\sin i'''\,;$

et les équations des variations seront

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial \chi ''}},&{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial e''}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial h''}},&\qquad {\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial i''}},\end{alignedat}}$

et ainsi de suite pour les variations des éléments des orbites de $\mathrm {m} ''',$ $\mathrm {m} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ autour de $\mathrm {m} .$

101. Mais nous remarquerons qu’on peut réduire à une seule fonction les différentes fonctions $(\Omega ')_{1},\,(\Omega '')_{1},\ldots ,$ ainsi que les fonctions $(\Omega ')_{2},$ $(\Omega '')_{2},\ldots ,$ ce qui mettra plus de simplicité et d’uniformité dans les formules des variations : en effet, si l’on fait

${\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {m'm''a'a''}{8}}\ \ \left\{8(a'\ ,a''\ )+[a'\ ,a''\ ]_{1}\left(e'^{2}\ +e''^{2}\,\right)-2[a'\ ,a''\ ]_{2}e'e''\ \cos(\chi '-\chi ''\ )\right\}\\&+{\frac {m'm'''a'a'''}{8}}\ \left\{8(a'\ ,a''')+[a'\ ,a''']_{1}\left(e'^{2}\ +e'''^{2}\right)-2[a'\ ,a''']_{2}e'\,e'''\cos(\chi '-\chi ''')\right\}\\&+{\frac {m''m'''a''a'''}{8}}\left\{8(a'',a''')+[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en faisant toutes les combinaisons deux à deux des masses $\mathrm {m',m''} ,$

$\mathrm {m} ''',\ldots$ et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que, dans les différences partielles de $(\Omega ')_{1},\,(\Omega '')_{1},\ldots ,$ on pourra changer ces fonctions en $\Phi ,$ pourvu qu’on divise par $\mathrm {m} '$ les différences partielles relatives à $e'$ et $\chi ',$ par $\mathrm {m} ''$ les différences partielles relatives à $e'',\,\chi '',$ et ainsi de suite.

De sorte que les équations des variations des excentricités et des aphélies deviendront

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}},\\{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}},\qquad &{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces équations donnent

${\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}d\chi '+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}de'=0,\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}d\chi ''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}de''=0,\qquad \ldots \,;$

donc, comme $\Phi$ est fonction des variables $e',\,\chi ',\,e'',\,\chi '',\ldots$ sans $t,$ on aura

$d\Phi =0,$

et par conséquent $\Phi$ égale à une constante. C’est une relation générale entre les excentricités et les lieux des aphélies des planètes, qui doit toujours subsister, quelques variations que les excentricités et les lieux des aphélies subissent à la longue, pourvu qu’elles soient très petites.

102. Mais la nature de la fonction $\Phi$ donne encore naissance à d’autres relations générales entre ces mêmes éléments.

En effet, il est facile de voir qu’on a l’équation

${\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '''}}+\ldots =0\,;$

et si l’on substitue à la place de ces différences partielles leurs valeurs $\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}{\frac {e'de'}{dt}},\,\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}{\frac {e''de''}{dt}},\ldots$ données par les équations de l’ar-

ticle précédent, on aura, en intégrant relativement à $t,$ l’équation finie

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}e'^{2}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}e''^{2}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}e'''^{2}+\ldots =\mathrm {K} ^{2},$

$\mathrm {K} ^{2}$ étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant quelconque.

Cette équation fait voir que les excentricités $e',\,e'',\,e''',\ldots$ ont nécessairement des limites qu’elles ne peuvent passer ; car, comme elles sont nécessairement réelles, tant que les orbites sont des sections coniques, chaque terme, comme $\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}e'^{2}$ sera toujours positif, et son maximum sera la constante $\mathrm {K} ^{2}.$

Il suit de là que, si les excentricités des orbites qui appartiennent à des masses très grandes sont une fois très petites, elles le seront toujours, ce qui est le cas de Jupiter et Saturne ; mais celles qui appartiennent à des masses fort petites pourront croître jusqu’à l’unité et au delà, et l’on ne pourra déterminer leurs véritables limites que par l’intégration des équations différentielles, comme on le verra ci-après^[22].

De plus, comme la quantité $\Phi ,$ regardée comme fonction de $e',\,e'',\,e''',\ldots ,$ est une fonction homogène de deux dimensions, on aura, par la propriété connue de ces fonctions,

${\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}e'+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}e''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'''}}e'''+\ldots =2\Phi .$

Substituant dans cette équation les valeurs des différences partielles de $\Phi$ relatives à $e',\,e'',\,e''',\ldots$ tirées des mêmes équations de l’article précédent, on aura

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}{\frac {e'^{2}d\chi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}{\frac {e''^{2}d\chi ''}{dt}}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}{\frac {e'''^{2}d\chi '''}{dt}}+\ldots =2\mathrm {F} ,$

$\mathrm {F}$ étant la valeur de $\Phi$ dans un instant quelconque.

Dans cette équation, les quantités ${\frac {d\chi '}{dt}},\,{\frac {d\chi ''}{dt}},\ldots$ expriment les vitesses angulaires des mouvements des aphélies, et par conséquent elle donne une relation invariable entre ces vitesses, par laquelle on voit qu’elles ont aussi nécessairement des limites, tant qu’elles sont toutes de même signe.

103. Si l’on emploie les transformations de l’article 78, en faisant

$m'=e'\sin \chi ',\quad n'=e'\cos \chi ',\quad m''=e''\sin \chi '',\quad n''=e''\cos \chi '',\quad \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {\mathrm {m'm''} a'a''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a'']_{1}\ \left(m'^{2}\ +n'^{2}\ +m''^{2}\ +n''^{2}\ \right)-2[a',a''\ ]_{2}(m'm''+n'n'')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m'm'''} a'a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a''']_{1}\,\left(m'^{2}\ +n'^{2}+m'''^{2}\ +n'''^{2}\right)-2[a',a''']_{2}(m'm'''+n'n''')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m''m'''} a''a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a'',a''']_{1}\left(m''^{2}+n''^{2}+m'''^{2}+n'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}(m''m'''+n''n''')\right\}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et les équations des variations seront

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {m} '\ {\frac {d\mathrm {m} '}{dt}}\ =&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n'}},\qquad &\mathrm {m} '\ {\frac {dn'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}},\\\mathrm {m} ''{\frac {d\mathrm {m} ''}{dt}}=&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n''}},&\mathrm {m} ''{\frac {dn''}{dt}}=&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m''}},\\.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{alignedat}}$

Si, dans ces équations, on substitue la valeur de $\Phi ,$ et qu’on exécute les différentiations partielles, on a des équations linéaires en $m',\,n',\,m'',\,n'',\ldots ,$ faciles à intégrer, et ces équations seront entièrement identiques avec celles que j’avais trouvées par une autre voie, dans les Mémoires de Berlin de 1781, page 262^[23], comme il est facile de s’en assurer en comparant entre elles les dénominations différentes des mêmes quantités.

Dans les Mémoires de l’année 1782^[24], j’ai appliqué ces équations aux six planètes principales, en adoptant pour leurs masses les valeurs les plus probables, et j’en ai tiré, par l’intégration, des formules générales pour les variations de leurs excentricités et des lieux de leurs aphélies, lesquelles donnent les valeurs de ces éléments, tant pour la Terre que pour les autres planètes, au bout d’un temps quelconque indéfini, soit avant ou après l’époque de 1700 ; et comme, par ces formules, les excentricités demeurent toujours très petites, ainsi qu’on l’a supposé dans le calcul, on est assuré de leur exactitude dans tous les temps passés et à venir. On trouve ensuite, dans le Volume des mêmes Mémoires pour 1786-87, imprimé en 1792, un supplément^[25] à cette théorie, relatif à la nouvelle planète d’Herschel, où l’on détermine de la même manière, et par des formules aussi générales, les variations séculaires de l’excentricité et du lieu de l’aphélie de cette planète, produites par les actions de Jupiter et de Saturne ; on a seulement négligé l’effet de l’action d’Herschel sur ces deux planètes, ainsi que sur les autres planètes inférieures, à cause de la petitesse de sa masse et de sa grande distance.

104. On peut réduire de la même manière à une forme plus simple les équations de la variation des nœuds et des inclinaisons. Soit

${\begin{aligned}\Psi =&-{\frac {1}{4}}m'\ m''\ a'\ a''[a'\ ,a''\ ]_{1}(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}m'm'''a'\ a'''[a'\ ,a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}m''m'''a''a'''[a'',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{''}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en faisant aussi toutes les combinaisons deux à deux des masses $m',\,m'',$ $m''',\ldots ,$ qui sont supposées agir les unes sur les autres, avec les fonctions correspondantes de $a',\,a'',\,a''',\ldots$ et des inclinaisons $\mathrm {I''_{_{'}},\,I'''_{_{'}},\,I'''_{_{''}}} ,\ldots .$

qui sont déterminées en général par la formule

$\cos \mathrm {I} _{m}^{n}=\cos i^{(m)}\cos i^{(n)}+\cos \left(h^{(m)}-h^{(n)}\right)\sin i^{(m)}\sin i^{(n)},$

on aura, en substituant ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}},{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h'}},\ldots$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega )_{2}}{\partial i'}},$ ${\frac {\partial (\Omega )_{2}}{\partial h'}},\ldots ,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h'}},&{\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}},\qquad &{\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces équations donnent aussi

${\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}dh'+{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}}di'=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}dh''+{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}}di''=0,$

et, par conséquent, puisque $\Psi$ est une fonction de $h',\,i',\,h'',\,i'',\ldots$ sans aucune autre variable,

$d\Psi =0,$

et $\Psi$ égal à une constante.

De plus, il est visible, par la forme de la fonction $\Psi ,$ que l’on a cette équation

${\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h'''}}+\ldots =0.$

Substituant, pour les différentielles de $\Psi$ relatives à $h',\,h'',\,h''',\ldots$ leurs valeurs données par les équations précédentes, on aura une équation différentielle en $i',\,i'',\,i''',\ldots ,$ dont l’intégrale sera

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\cos i'+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\cos i''+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}\cos i'''+\ldots =\mathrm {const} .,$

et qu’on pourra mettre aussi sous la forme

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin ^{2}{\frac {i'}{2}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin ^{2}{\frac {i''}{2}}+\ldots =\mathrm {H} ^{2},$

$\mathrm {H} ^{2}$ étant la valeur du premier membre dans un instant quelconque. On peut tirer de cette équation, relativement aux liniités des quantités

$\sin {\frac {i'}{2}},\,\sin {\frac {i''}{2}},\ldots ,$ des conséquences analogues à celles que nous avons déduites d’une équation semblable en $e',\,e'',\ldots ,$ dans l’article 101.

105. Dans le cas où l’on ne considère que l’action de deux planètes $\mathrm {m} '$ et $\mathrm {m} '',$ l’expression de $\Psi$ se réduit au seul terme multiplié par $\mathrm {m'm} '',$ et l’inclinaison mutuelle $\mathrm {I} '',$ des deux orbites devient alors constante ; c’est à très peu près le cas de Jupiter et Saturne.

Dans ce cas, nous remarquerons encore que, si l’on suppose que le plan de la planète perturbatrice $\mathrm {m} ''$ coïncide dans un instant avec le plan fixe, on aura $i''=0$ et, par conséquent, $\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\cos i',$ ce qui donnera

$\Psi =-\mathrm {\frac {m'm''}{4}} a'a''[a',a'']_{1}(1-\cos i'),$

et de là

${\frac {dh'}{dt}}=-{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a'a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\,;$

c’est l’expression de la vitesse du mouvement rétrograde du nœud de l’orbite de $\mathrm {m} '$ sur le plan de l’orbite de $\mathrm {m} '',$ tandis que leur inclinaison mutuelle deméure constante ; d’où l’on voit que l’action de la planète $\mathrm {m} '',$ sur la planète $\mathrm {m} ',$ pour faire varier la position de son orbite, se réduit à donner au nœud de son orbite, sur celle de la planète perturbatrice $\mathrm {m} '',$ un mouvement rétrograde instantané exprimé par

$-{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}dt,$

sans affecter l’inclinaison mutuelle des deux orbites.

De la même manière, l’action de la planète $\mathrm {m} '$ sur la planète $\mathrm {m} '',$ pour changer la position de son orbite, fait rétrograder le nœud de cette planète sur le plan de l’orbite de $\mathrm {m} ',$ d’un mouvement instantané

$-{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}dt,$

et ainsi des autres planètes.

En combinant ainsi deux à deux toutes les planètes, on pourra trouver les variations de leurs nœuds et de leurs inclinaisons réciproques, puisque, par la nature du Calcul différentiel, la somme des valeurs particulières d’une différentielle en forme la valeur complète. C’est ainsi qu’on avait trouvé les changements annuels des nœuds et des inclinaisons des planètes, produits par leurs attractions mutuelles, avant qu’on eût une théorie directe et générale des variations séculaires.

106. Pour donner un exemple de cette méthode, considérons trois planètes $\mathrm {m',\,m'',\,m'''}$ dont les orbites s’entrecoupent, $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},$ étant les inclinaisons de la seconde et de la troisième sur la première, et $\mathrm {I} '''_{_{''}}$ étant l’inclinaison de la seconde sur la troisième ; il est facile de voir qu’elles formeront sur la sphère un triangle sphérique dont les trois angles, en supposant les inclinaisons de $\mathrm {m} ''$ et de $\mathrm {m} '''$ du même côté, seront $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,180^{\circ }-\mathrm {I} '''_{_{'}},$ et $\mathrm {I} '''_{_{''}}$ que nous désignerons, pour plus de simplicité, par $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$

La planète $\mathrm {m} '$ fera rétrograder sur son orbite le nœud de la planète $\mathrm {m} '',$ de la quantité élémentaire

${\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a'a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}dt,$

et la même planète fera rétrograder en même temps sur son orbite le nœud de l’orbite de la planète $\mathrm {m} ''$ de la quantité élémentaire

${\frac {\mathrm {m} 'a'a'''[a'a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}}dt,$

tandis que les inclinaisons $\mathrm {I} ''_{_{'}},$ et $\mathrm {I} '''_{_{'}}$ demeureront constantes.

Ainsi, dans le triangle formé par l’intersection des trois orbites, la portion de l’orbite de $\mathrm {m} '$ interceptée entre les orbites de $\mathrm {m} ''$ et de $\mathrm {m} ''$ c’est-à-dire le côté adjacent aux angles $\alpha$ et $\beta$, croîtra de la quantité $\mathrm {A} dt\,;$ faisant, pour abréger,

$\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {m} '}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}-{\frac {a'a'''[a'a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),$

les angles $\alpha$ et $\beta$ demeurent constantes.

Or, dans un triangle sphérique dont les angles sont $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ et dont le côté adjacent à $\alpha$ et $\beta ,$ et par conséquent opposé à $\gamma ,$ est $c,$ on a

$\cos \gamma =\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta .$

Donc, faisant varier $c$ de $\mathrm {A} dt,$ on aura

$d\cos \gamma =-\sin \alpha \sin \beta \sin c\mathrm {A} dt.$

Mais la même équation donne

$\cos c={\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\sin c&={\frac {\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta -(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )^{2}}}{\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}$

Faisons, pour abréger,

$u={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}=\sin \alpha \sin \beta \sin c\,;$

on aura

$d\cos \gamma =-\mathrm {A} udt.$

On trouvera de la même manière, en considérant la rétrogradation des orbites de $\mathrm {m} '$ et de $\mathrm {m} '''$ sur celle de $\mathrm {m} '',$ laquelle augmente le côté adjacent aux angles $\alpha ,\,\gamma ,$ et par conséquent opposé à l’angle $\beta ,$ de la quantité élémentaire $\mathrm {B} dt,$ en faisant

$\mathrm {B} ={\frac {\mathrm {m} ''}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),$

tandis que les angles $\alpha$ et $\gamma$ demeurent constants,

$d\cos \beta =-\mathrm {B} udt,$

parce que la quantité $u$ est une fonction symétrique des trois cosinus.

Enfin la rétrogradation des orbites de $\mathrm {m} '$ et $\mathrm {m} ''$ sur celle de $\mathrm {m} '''$ donnera aussi

$d\cos \alpha =-\mathrm {C} udt.$

en faisant

$\mathrm {C} ={\frac {\mathrm {m} '''}{4}}\left({\frac {a'a'''[a'a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}\right).$

Dans ces équations, les trois coefficients $\mathrm {A,\,B,\,C}$ sont constants ; ainsi il n’y a de variable que la quantité $u,$ qui est fonction des trois cosinus de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ c’est-à-dire des inclinaisons respectives des orbites $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{''}}\,:$ ainsi on pourra déterminer leurs valeurs en fonction de $t.$

Si l’on ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la première par $\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1},$ la seconde par $-\mathrm {m'm} '''a'a'''[a',a'''],$ la troisième par $\mathrm {m'm} ''a'a''[a',a''],$ on a

${\begin{aligned}\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}d\cos \gamma &-\mathrm {m'm} '''a'a'''[a',a''']_{1}d\cos \beta \\&+\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}d\cos \alpha \\=-\mathrm {m''m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}\mathrm {A} udt\ \ &+\mathrm {m'm} '''\,a'a'''[a',a''']_{1}\mathrm {B} udt\\&-\mathrm {m'm} ''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\mathrm {C} udt.\end{aligned}}$

Or, en substituant les valeurs de $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ on voit que le second membre se réduit à zéro, par la destruction mutuelle de tous les termes, et, le premier membre étant intégrable, on a, en remettant pour $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ leurs valeurs $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,180^{\circ }-\mathrm {I} '''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{''}}.$

${\begin{aligned}m''m'''a''a'''[a'',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{''}}&+m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\\&+m'm''\ a'a''\ [a',a''\ ]_{1}\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

équation qui s’accorde, dans le cas de trois orbites, avec l’intégrales $\Psi =\mathrm {const} .$ trouvée plus haut (art. 104).

Si l’on fait, pour plus de simplicité,

$\cos \alpha =x,\quad \cos \beta =y,\quad \cos \gamma =z,$

on a les trois équations

$dx=-\mathrm {C} udt,\quad dy=-\mathrm {B} udt,\quad dz=-\mathrm {A} udt\,;$

$u={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}-2xyz}}.$

La première, combinée avec la seconde et avec la troisième, donne, par l’élimination de $u,$

$dy=\mathrm {\frac {B}{C}} dx,\quad dz=\mathrm {\frac {A}{C}} dx\,;$

et de là

$y={\frac {\mathrm {B} x+a}{\mathrm {C} }},\qquad z={\frac {\mathrm {A} x+b}{\mathrm {C} }}.$

Substituant ces valeurs dans l’expression de $u,$ la variable $x$ montera au troisième degré sous le radical, et l’équation $dx=-\mathrm {C} udt$ donnera

$dt=-{\frac {dx}{\mathrm {C} u}},$

équation où les variables sont séparées, mais dont le second membre ne sera intégrable que par la rectification des sections coniques.

Mais, comme les inclinaisons mutuelles des orbites doivent être supposées très petites, si l’on fait

$x=1-\xi ,\qquad y=-1+\eta ,\qquad z=1-\zeta ,$

ce qui donne

$\xi ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{''2},\qquad \eta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{'''2},\qquad \zeta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{''}}^{'''2},$

les quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ devront être très petites, et l’on pourra négliger, dans l’expression de $u,$ leurs troisièmes dimensions vis-à-vis des secondes. On aura ainsi

$u^{2}=2(\zeta \eta +\xi \zeta +\eta \xi )-\xi ^{2}-\eta ^{2}-\zeta ^{2}$

et

$d\xi =\mathrm {C} udt,\qquad d\eta =-\mathrm {B} udt,\qquad d\zeta =\mathrm {A} udt.$

Si l’on différentie cette valeur de $u^{2}$ et qu’après la substitution des valeurs de $d\xi ,\,d\eta ,\,d\zeta ,$ on divise l’équation par $udt,$ qu’ensuite on la redifférentie et qu’on y fasse encore les mêmes substitutions, on aura, $dt$ étant constant,

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {\left[2(AC-AB-BC)-A^{2}-B^{2}-C^{2}\right]} u,$

équation intégrable par des exponentielles ou des sinus, suivant que le coefficient de $u$ sera positif ou négatif ; mais, comme

$u=\sin \alpha \sin \beta \sin c,$

il est évident que la valeur de $u$ en $t$ ne peut pas contenir d’exponentielles désignant donc par $-\mu ^{2}$ le coefficient de $u$ dans l’équation

précédente, on aura

$u=\mathrm {K} \cos(\mu t+k),$

$\mathrm {K}$ et $k$ étant deux constantes arbitraires qu’il faudra déterminer par l’état initial ; et, comme $\sin \alpha$ et $\sin \beta$ sont, par hypothèse, des quantités très petites, $\mathrm {K}$ aura aussi une valeur très petite.

De là on aura, par l’intégration, les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ qui ne contiendront $t$ que dans $\sin(\mu t+k),$ et qui, étant une fois très petites, le seront toujours nécessairement, de sorte que la solution sera toujours bonne.

On connaîtra donc ainsi les inclinaisons réciproques des orbites pour un temps quelconque, mais on ne connaîtra pas encore par là leurs positions absolues dans l’espace, lesquelles dépendent des angles $h',\,h'',\ldots$ $i',\,i'',\ldots \,;$ c’est pourquoi il est plus simple de chercher directement ces angles par l’intégration des formules de l’article 104.

107. Mais, au lieu d’employer ces équations sous la forme où elles se présentent, il sera plus avantageux de les transformer par les substitutions de l’article 78, en faisant

${\begin{array}{lll}p'=\sin i'\sin h',&p''=\sin i''\sin h'',&\ldots ,\\q'=\sin i'\cos h',&q''=\sin i''\cos h'',&\ldots \,;\end{array}}$

on aura ainsi, en accentuant les lettres $p,q,$ pour les rapporter successivement aux planètes $\mathrm {m',\,m} '',\ldots$ et mettant la fonction \frac{\Psi}{\mathrm m} à la place de $(\Omega )$ (art. 104),

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q'}},\qquad &{\frac {\partial q'}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p'^{2}q'^{2}}}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p'}},\\{\frac {dp''}{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial q''}},\qquad &{\frac {\partial q''}{\partial t}}=&-{\frac {\sqrt {1-p''^{2}q''^{2}}}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial p''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

La fonction $\Psi$ sera, comme dans l’article cité,

${\begin{aligned}\Psi =&-{\frac {1}{4}}m'm''\,a'a''\,[a',a''\ ]_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\right)\\&-{\frac {1}{4}}m'm'''a'a'''[a',a''']_{1}\left(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

mais les valeurs $\cos \mathrm {I} ''_{_{'}},\,\cos \mathrm {I} '''_{_{'}},\,\cos \mathrm {I} '''_{_{''}},\ldots$ deviendront, par les mêmes substitutions,

${\begin{aligned}\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {1-p'^{2}\ -q'^{2}\ }}{\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}+p'p''\ \ +q'q'',\\\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}=&{\sqrt {1-p'^{2}\ -q'^{2}\ }}{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}+p'p'''\ +q'q''',\\\cos \mathrm {I} '''_{_{''}}=&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}+p''p'''+q''q''',\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Faisant ces substitutions et exécutant les différentiations relatives à $p',\,q',\,p'',\,q'',\ldots ,$

${\begin{aligned}{\frac {dp'}{dt}}=&-{\frac {\mathrm {m} ''\ a'a''\ [a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(q'\ {\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}-q''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(q'\ {\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-q'''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dq'}{dt}}=&+{\frac {\mathrm {m} ''\ a'a''\ [a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(p'\ {\sqrt {1-p''^{2}\ -q''^{2}\ }}-p''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}\left(p'\ {\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-p'''{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dp''}{dt}}=&-{\frac {\mathrm {m} '\ \,a'a''\ [a',a''\ ]_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(q''{\sqrt {1-p'^{2}\ \ -q'^{2}\ \ }}-q'{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\ \left(q''{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-q'''{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {dq''}{dt}}=&+{\frac {\mathrm {m} '\ a'a''\ [a'\ ,a''\ ]_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(p''\ {\sqrt {1-p'^{2}\ \ -q'^{2}\ }}-p'\ {\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}\left(p''{\sqrt {1-p'''^{2}-q'''^{2}}}-p'''{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

108. Ces équations ont lieu, quelles que soient les valeurs des variables $p',\,q',\,p'',\,q'',\ldots$ parce que nos formules ne supposent point que les inclinaisons $i',\,i'',\ldots$ des orbites sur le plan fixe soient très petites, comme on l’a vu jusqu’ici dans toutes les formules que l’on a données pour le mouvement des nœuds et les variations des inclinaisons, mais elles supposent seulement la petitesse des inclinaisons mutuelles des orbites.

Quant à leur intégration, elle paraît très difficile en général, et il n’y a peut-être que le cas de deux orbites où elle réussisse.

Faisons dans ce cas, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}=&\mathrm {M} ,\qquad &{\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}=&\mathrm {N} ,\\{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}=&x,&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}=&y\,;\end{alignedat}}$

on aura les équations

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}\ =&-\mathrm {M} (q'y-q''x),\qquad &{\frac {dq'}{dt}}\ =&\mathrm {M} (p'y-p''x),\\{\frac {dp''}{dt}}=&-\mathrm {N} (q''x-q'y),&{\frac {dq''}{dt}}=&\mathrm {N} (p''x-p'y).\end{alignedat}}$

Elles donnent d’abord

$\mathrm {N} {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dp''}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} {\frac {dq'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dq''}{dt}}=0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {N} p'+\mathrm {M} p''=b,\quad \mathrm {N} q'+\mathrm {M} q''=c,$

$b$ et $c$ étant des constantes.

Maintenant, si l’on différentie l’équation $x^{2}=1-p'^{2}-q'^{2},$ et qu’on y substitue les valeurs de $dp',\,dq',$ on a, après la division par $xdt,$

${\frac {dx}{dt}}=-\mathrm {M} (p'q''-q'p'')\,;$

on trouve de même

${\frac {dy}{dt}}=-\mathrm {N} (q'p''-p'q''),$

et, de là,

$\mathrm {N} {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} x+\mathrm {M} y=f,$

$f$ étant une constante.

Les intégrales que nous venons de trouver donnent

$\mathrm {M} p''=b-\mathrm {N} p',\quad \mathrm {M} q''=b-\mathrm {N} q',\quad \mathrm {M} y=f-\mathrm {N} x,\,;$

ces valeurs étant substituées dans les trois équations

${\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} (q'y-q''x)=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-\mathrm {M} (p'y-p''x)=0,$

${\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} (p'q''-q'p'')=0,$

on obtient les équations suivantes

${\frac {dp'}{dt}}+fq'-cx=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-fp'+bx=0,$

${\frac {dx}{dt}}+cp'-bq'=0,$

qui, étant linéaires et à coefficients constants, sont toujours intégrables.

On aura de pareilles équations en changeant $p',\,q',\,x$ en $p'',\,q'',\,y\,;$ mais, lorsqu’on connaîtra les trois premières de ces quantités, on aura les trois dernières par les trois intégrales précédentes.

Les expressions de $p',\,q',\,x$ en $t$ contiendront trois constantes arbitraires, et, comme les constantes $b,\,c,\,f$ sont aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitraires, mais qui se réduiront à quatre, pour satisfaire aux équations supposées

$p'^{2}+q'^{2}+x^{2}=1,\quad p''^{2}+q''^{2}+y^{2}=1\,;$

on aura ainsi les valeurs complètes des quatre variables $p',\,q',\,p'',\,q'',$ qui donnent la position des deux orbites dans l’espace.

Mais notre analyse est fondée sur la supposition que l’inclinaison mutuelle des deux orbites soit très petite ; le cosinus de cette inclinaison est exprimé par la formule (art. 107)

$xy+p'p''+q'q'',$

dont la différentielle devient égale à zéro, d’après les équations différentielles ci-dessus ; cette quantité sera donc égale à une constante,

comme nous l’avons déjà trouvé (art. 105), et il faudra que cette constante soit supposée fort peu différente de $1,$ pour l’exactitude de la solution précédente.

Il serait difficile, peut-être même impossible, de résoudre de la même manière le cas de trois ou d’un plus grand nombre d’orbites mais nous observerons que, comme la position du plan de projection est arbitraire, on peut toujours le prendre de manière que les inclinaisons des orbites sur ce plan soient très petites, puisque leurs inclinaisons mutuelles doivent être très petites ; et si, les inclinaisons étant très petites dans un instant quelconque, elles demeurent toujours très petites, la solution fondée sur cette hypothèse sera légitime.

109. En supposant les inclinaisons $i',\,i'',\ldots$ des orbites sur le plan fixe très petites, les variables $p',\,q',\,p'',\,q'',\ldots$ seront aussi très petites, et l’on pourra, dans les équations de l’article 107, entre ces variables, mettre simplement $1$ à la place des radicaux

${\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}},\quad {\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}},\quad \ldots ,$

ce qui les réduira à la forme linéaire, dont l’intégration est facile.

On aura ainsi des équations tout à fait semblables à celles que j’avais trouvées, par une autre méthode, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1782, et dont j’ai fait aussi l’application aux six planètes principales, en donnant les expressions finies des variables pour un temps indéfini ; et les Mémoires de 1787, de la même Académie, renferment, de plus, ce qui est relatif à l’orbite d’Herschel. Il faut seulement remarquer que, dans les formules de ces Mémoires, les tangentes des inclinaisons tiennent lieu des sinus qui se trouvent dans les valeurs des variables

${\begin{alignedat}{3}p'=&\sin i'\sin h',\qquad &p''=&\sin i''\sin h'',\qquad &\ldots ,\\q'=&\sin i'\sin h',&q''=&\sin i''\sin h'',&\ldots \,;\end{alignedat}}$

mais, à cause de la petitesse des inclinaisons, cette différence n’est d’aucune considération.

Lorsque l’on connaît les valeurs de ces variables, on peut déterminer tout de suite les inclinaisons mutuelles des orbites par les formules de l’article 107 ; mais ces formules se simplifient dans le cas où les quantités $p',\,q',\,p'',\,q'',\ldots$ sont très petites. Dans ce cas, on aura, en négligeant les troisièmes dimensions de ces quantités,

$\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=1-{\frac {1}{2}}(p'^{2}+q'^{2}+p''^{2}+q''^{2})+pp'+qq'\,;$

et de là, à cause de $1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}=2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}},$

$\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(p'-p''\right)^{2}+(q'-q'')^{2}}},$

et ainsi des autres.

110. Il reste encore, pour compléter la théorie des variations séculaires, à considérer la variation du mouvement moyen que nous avons désigné par $d\lambda$ dans l’article 77, et qui, en négligeant le carré de l’excentricité $e,$ qui est supposée fort petite vis-à-vis de l’unité, et accentuant les lettres pour les rapporter respectivement aux planètes $\mathrm {m',\,m} '',\ldots ,$ devient

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}{\frac {\partial (\Omega ')}{\partial a'}}dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {\partial (\Omega ')}{\partial e'}}dt$

pour la planète $\mathrm {m} '\,;$ on aura de même, pour la planète $\mathrm {m} '',$ la variation $d\lambda '',$ en ajoutant un trait aux lettres qui n’en ont qu’un, et ainsi de suite.

On substituera donc dans cette formule, au lieu de la fonction $(\Omega '),$ la somme $(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},$ suivant l’article 100, et comme la fonction $(\Omega ')_{2}$ ne contient point les excentricités $e',\,e'',\ldots ,$ on aura simplement

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}\left[{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial a'}}+{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial a'}}\right]dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}}dt\,;$

et, pour avoir une formule uniforme pour toutes les planètes $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots ,$ il n’y aura qu’à mettre, suivant les remarques des articles 101

et 104, ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}},\ {\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial a'}},{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},$ et ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial a'}},$ ce qui donnera

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{g'}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}dt,$

les fonctions $\Phi$ et $\Psi$ étant données dans les mêmes articles et étant les mêmes pour toutes les planètes.

Mais si, à la place de ces fonctions exprimées en $e',\,\rho ',\,i',\,h',\,e'',\ldots ,$ on veut employer les expressions des articles 103, 107, en $m',\,n',\,p',\,m'',\ldots$ il faudra, suivant les formules de l’article 73, changer $e'{\frac {\partial \Phi }{\partial e}}$ en $m'{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}}+n'{\frac {\partial \Phi }{\partial n'}}.$ On aura ainsi

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}\left({\frac {m'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}}+{\frac {n'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial n'}}\right)dt\,;$

et, pour avoir $d\lambda '',\,d\lambda ''',\ldots ,$ il n’y aura qu’à changer $g',\,a',\,\mathrm {m} ',\,m',\,n'$ en $\mathrm {g} '',\,a'',\,\mathrm {m} '',\,m'',\,n'',\ldots .$

Dans ces formules, les différentielles relatives à $a'$ n’affectent que les coefficients $a'a''(a',a''),\,a'a''[a',a'']_{1},\,a'a''[a',a'']_{2},\ a'a'''(a',a'''),\ldots$ des fonctions $\Phi$ et $\Psi ,$ à la place desquels il suffira de substituer

$a'(a',a'')+a'a''{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\quad a'[a',a'']_{1}+a'a''{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\quad \ldots ,$

pour avoir les valeurs de ${\frac {\partial \Phi }{\partial a'}},\,{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\,;$ et, par les formules de l’article 98, on trouvera les valeurs des différences partielles ${\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\,{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\ldots .$

Il faudra ensuite y substituer les valeurs de $m',\,n',\,p',\,q',\,m'',\ldots$ en $t,$ trouvées par l’intégration des équations différentielles des articles 103 et 109, et que nous avons données, pour toutes les planètes, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin ; et, comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus, les variations $d\lambda ',\,d\lambda '',\ldots$ seront intégrables : les termes constants donneront, dans $\lambda ',\,\lambda '',\ldots ,$ des termes proportionnels à $t,$ qui se confondront avec les mouvements moyens ; et les termes en sinus et cosinus donneront de pareils termes, qui exprimeront les variations séculaires de ces mouvements.

J’avais trouvé, par une autre méthode, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin, des formules pour déterminer les variations séculaires des moyens mouvements des planètes, et elles m’avaient donné, pour Jupiter et Saturne, des résultats presque insensibles ; mais les formules précédentes sont peut-être plus rigoureuses, et il sera bon d’en faire l’application aux planètes ; c’est un objet dont je pourrai m’occuper ailleurs ici, je n’ai eu en vue que de montrer l’usage de la nouvelle théorie des variations des constantes arbitraires dans la détermination des variations séculaires des éléments des orbites des planètes.

§ III. — Sur les équations séculaires des éléments des planètes,
produites par la résistance d’un milieu très rare.

§ 111. Pour ne rien laisser à désirer sur les variations séculaires des planètes, nous devons encore considérer l’effet d’un milieu peu résistant dans lequel il est possible qu’elles se meuvent, et où elles devraient nécessairement se mouvoir, si la lumière était due aux oscillations d’un fluide.

Nous avons déjà vu, dans l’article 79, que, pour avoir égard à la résistance, il suffit d’ajouter à la valeur de $\delta \Omega$ les termes

$-{\frac {\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\left(dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi +r^{2}d\Phi \delta \chi \right)}{dt^{2}}},$

$\Gamma$ étant la densité du milieu, qui peut être une fonction de $r$ et qui doit être supposée très petite, et d’y substituer pour $r$ et $\Phi$ leurs valeurs en $t$ données par le mouvement elliptique de la planète, en se souvenant que la caractéristique $d$ se rapporte au temps $t,$ et la caractéristique $\delta$ aux éléments de la planète.

Comme nous ne cherchons ici que les variations séculaires, il faudra, ainsi que nous l’avons pratiqué plus haut, rejeter tous les termes périodiques et ne retenir que les termes constants.

112. En désignant, comme dans l’article 21, l’anomalie moyenne de la planète par

$u={\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}(t-c),$

on a vu que $r$ et $\Phi -u$ peuvent s’exprimer par des séries dont la première ne contient que des cosinus et la seconde des sinus d’angles multiples de $u\,;$ donc $dr$ ne contiendra que des sinus sans terme constant, et $d\Phi$ des cosinus de ces mêmes angles ; par conséquent, la quantité $dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}$ ne contiendra que des cosinus, et il en sera de même de la série qui exprimera la valeur de ${\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}.$ Ainsi, en faisant $\Gamma =f(r),$ la quantité $\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}$ sera exprimée par une série de cosinus de multiples de $u.$

Maintenant, pour avoir $\delta r$ et $\delta \Phi ,$ il faudra faire varier dans les séries de $r$ et de $\Phi$ les coefficients des cosinus et des sinus qui sont donnés en $a$ et $e,$ et, de plus, l’angle $u,$ à raison des constantes $a$ et $c$ qu’il renferme. Désignons par $\delta (r)$ et $\delta (\Phi )$ les parties de $\delta r$ et de $\delta \Phi$ qui contiennent les variations des coefficients ; on aura

$\delta r=\delta (r)+{\frac {dr}{du}}\delta u$

et, de même,

$\delta \Phi =\delta (\Phi )+{\frac {d\Phi }{du}}\delta u\,;$

donc

$dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\delta r\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi )+\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.$

Or il est clair que $\delta (r)$ ne contiendra que des cosinus ; et, comme $dr$ ne contient que des sinus, $dr\delta (r)$ ne contiendra aussi que des sinus sans terme constant. De même, $\delta (\Phi )$ ne contiendra que des sinus, et, comme $\delta \Phi$ ne contient que des cosinus, $d\Phi \delta (\Phi )$ ne contiendra aussi que des sinus. D’ailleurs, $r^{2}$ ne contient que des cosinus ; par conséquent, $r^{2}d\Phi \delta (\Phi )$ ne contiendra que des sinus. Donc la quantité

$dr\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi ),$

ne contenant que des sinus d’angles multiples de $u,$ sans aucun terme constant, devrà être négligée.

113. Ainsi, pour les équations séculaires, on aura simplement

$dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.$

Or $du=dt{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\,;$ donc, faisant ces substitutions, on aura, pour les termes à ajouter à $\delta \Omega ,$ à cause de la résistance du milieu,

$-{\frac {\Gamma \left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{dt^{3}}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}\delta u-{\frac {\Gamma \left({\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\right)r^{2}d\Phi }{dt^{2}}}\delta \chi ,$

où il faudra substituer pour $r$ et $\Phi$ leurs valeurs en $t$ ou $u,$ et ne retenir dans les résultats que les termes indépendants des sinus et cosinus de $u.$

Par les propriétés du mouvement elliptique, on a tout de suite

${\begin{aligned}r^{2}d\Phi =&\mathrm {D} dt={\sqrt {\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)}}dt,\\dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}=&\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\mathrm {g} dt^{2}\,;\end{aligned}}$

ainsi les termes dont il s’agit se réduiront à

$-\mathrm {g} \Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {a^{3}}}\delta u-\mathrm {g} \Gamma {\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\delta \chi ,$

où $\delta u=-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\delta c-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{5}}}}(t-c)\delta a.$

114. Tels sont les termes qu’il faudra substituer à la place de $\delta \Omega ,$ dans les formules générales des variations des éléments des planètes (art. 74), et l’on aura

${\begin{aligned}da=&-2a^{2}\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\dc=&3a\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\de=&{\frac {1-e^{2}}{e}}\Gamma \left[{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}-a\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\end{aligned}}$

et les variations des autres éléments, $\chi ,\,h,\,i$ seront nulles ; d’où l’on peut d’abord conclure que le grand axe ou la ligne des apsides, ainsi que le nœud et l’inclinaison, ne seront sujets à aucune variation séculaire par conséquent, la résistance ne déplacera point l’orbite de la planète, mais en changera seulement à la longue le grand axe et l’excentricité, et produira en même temps une équation séculaire dans l’anomalie moyenne et dépendante de la variation de $c.$

Si l’on combine ensemble les deux premières équations, on a

$dc=-{\frac {3(t-c)da}{2a}}\,;$

donc

$dt-dc-{\frac {3(t-c)da}{2a}}=dt\,;$

divisant par ${\sqrt {a^{3}}}$ et intégrant, on trouve

${\frac {t-c}{\sqrt {a^{3}}}}=\int {\frac {dt}{\sqrt {a^{3}}}}\,;$

et, comme $u=(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}},$ on aura

$u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\sqrt {a^{3}}}},$

en supposant que l’intégrale $\int {\frac {dt}{\sqrt {a^{3}}}}$ commence au point où $u=0\,;$ ainsi tout dépend de la variation de la distance moyenne $a.$

Si, dans la première approximation, on néglige l’excentricité $e$ supposée très petite, on a $r=a,$ ce qui donne

$\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\,;$

et, comme la densité du milieu $\Gamma$ ne peut être qu’une fonction de $r,$ elle scra une fonction de $a,$ et la première équation donnera

$dt=-{\frac {da}{2\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} a}}}}.$

Supposons $\Gamma$ constant ; on aura, en intégrant,

$t={\frac {{\sqrt {\mathrm {A} }}-{\sqrt {a}}}{\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

$\mathrm {A}$ étant la valeur de $a$ lorsque $t=0\,;$ donc

$a=\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2},$

et la valeur de $u$ deviendra

${\begin{aligned}u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2\Gamma }}\left[{\frac {1}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}\right]\\&={\frac {t\mathrm {\sqrt {\cfrac {g}{A^{3}}}} -\Gamma t^{2}\mathrm {\cfrac {g}{2A^{2}}} }{\left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\cfrac {g}{A}} }}\right)^{2}}},\end{aligned}}$

où le coefficient $\Gamma$ doit être supposé très petit.

115. Pour avoir la variation séculaire de l’excentricité $e,$ il faudra substituer, dans les expressions irrationnelle ${\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}$ et $\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}$ de la valeur de $de,$ l’expression de $r$ en $u,$ et ne retenir dans le développement que les termes constants. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de $e,$ on a, par l’article 21,

$r=a\left(1-e\cos u+{\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2u\right).$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}=&{\frac {1}{a}}\left(1+e\cos u+e^{2}\cos 2u\right),\\{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1+e\cos u-{\frac {e^{2}}{4}}+{\frac {3e^{2}}{4}}\cos 2u\right),\\\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\left(1+3e\cos u+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{4}}e^{2}\cos 2u\right)\,;\end{aligned}}$

par conséquent, en rejetant les $\cos u$ et $\cos 2u$^[26], on aura

$de=-\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}\left(1-e^{2}\right)e{\frac {dt}{\sqrt {a}}}.$

Si l’on substitue pour ${\sqrt {a}}$ sa valeur ${\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }},$ et qu’on néglige d’abord les $e^{3},$ on aura l’équation

$de\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)+\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}edt=0,$

dont l’intégrale donne

$e=\mathrm {E} \left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\frac {g}{A}} }}\right),$

$\mathrm {E}$ étant la valeur de $e$ lorsque $t=0.$

Mais, comme l’existence d’un milieu résistant et, à plus forte raison, la loi de la densité de ce milieu ne sont qu’hypothétiques, les résultats précédents ne doivent être regardés que comme une application de nos formules générales des variations séculaires.

§ IV. — Du mouvement autour du centre commun de gravité
de plusieurs corps qui s’attirent mutuellement.

116. Nous avons démontré dans l’article 6 de la troisième Section que, dans tout système libre, les équations du mouvement des corps du système sont les mêmes, soit qu’on les rapporte au centre de gravité du système, ou à un point quelconque fixe hors du système. Ainsi, dans les formules de l’article 86, on pourra établir dans le centre de gravité de tous les corps $\mathrm {m,\,m',\,m''} ,\ldots$ l’origine de leurs coordonnées $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z',\ldots ,$ et, par les propriétés du centre de gravité, on aura les trois équations

${\begin{aligned}&\mathrm {m} x+\mathrm {m} 'x'+\mathrm {m} ''x''+\mathrm {m} '''x'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} y\,+\mathrm {m} 'y'+\mathrm {m} ''y''\,+\mathrm {m} '''y'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} z\ +\mathrm {m} 'z'+\mathrm {m} ''z''\ +\mathrm {m} '''z'''+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles donnent tout de suite les valeurs des coordonnées de $\mathrm {m} ,$ par celles des autres corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots .$

Considérons en particulier le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité. Comme ses coordonnées $x',\,y',\,z'$ sont indépendantes, on pourra, dans les formules de l’article cité, réduire les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ aux termes multipliés par $\mathrm {m} ',$ qui sont les seuls qui contiennent les variables $x',\,y',\,z',$ et diviser ensuite ces quantités par $\mathrm {m} '\,;$ ainsi, dans l’équation générale, on pourra substituer $\mathrm {T} '$ et $\mathrm {V} '$ à la place de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ en faisant

$\mathrm {T} '={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}},$

et

$\mathrm {V} '=\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots ,$

et l’on aura, pour chacune des trois coordonnées de l’orbite de $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité, une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}=0,$

$\xi$ étant une quelconque de ces coordonnées.

117. S’il n’y avait que deux corps $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} ',$ la valeur de $\mathrm {V} '$ se réduirait au seul terme $\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho ',$ et l’on aurait $\delta \mathrm {V'=mR'} \delta \rho ',$ $\mathrm {R} '$ étant supposé fonction de $\rho .$

Pour avoir la valeur de $\delta \mathrm {V} '$ relative à $\xi ,$ il faut différentier la variable

$\rho '={\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},$

en ne faisant varier que $x',y',z',$ et ensuite y substituer pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs

$x=-{\frac {\mathrm {m} 'x'}{\mathrm {m} }},\quad y=-{\frac {\mathrm {m} 'y'}{\mathrm {m} }},\quad z=-{\frac {\mathrm {m} 'z'}{\mathrm {m} }}.$

On aura ainsi

$\delta \rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\frac {x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z'}{\rho '}}.$

Or, par les mêmes substitutions, on a

$\rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.$

Donc, faisant

${\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}=r',$

rayon vecteur de l’orbite de $\mathrm {m} ',$ on aura

$\rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} r',$

et, par conséquent,

$\delta \rho '={\frac {x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z'}{r'}}=\delta r'\,;$

donc aussi $d\rho '=dr',$ de sorte que la valeur de $\mathrm {V} '$ deviendra $\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'dr,$ $\mathrm {R} '$ étant maintenant une fonction de $\mathrm {\frac {m+m'}{m}} r'$ semblable à la fonction supposée de $\rho '.$

Dans le cas de la nature, on a $\mathrm {R} '={\frac {1}{\rho ''^{2}}};$ donc la force $\mathrm {R} ',$ dirigée vers le centre commun de gravité, sera représentée par $\mathrm {\frac {m^{2}}{(m+m')^{2}}} {\frac {1}{r'^{2}}},$ ce qui est connu.

118. Considérons maintenant le cas où le système est composé de plus de deux corps, et supposons, pour simplifier la question, que la masse $\mathrm {m}$ soit beaucoup plus grande que chacune des autres masses $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots ,$ ce qui est le cas des planètes à l’égard du Soleil ; les quantités $x,\,y,\,z$ deviendronttrès petites vis-à-vis des quantités $x',\,y',\,z',\,x'',\ldots$ dans le rapport des masses $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots$ à la masse $\mathrm {m} ,$ en vertu des équations données dans l’article précédent ; et l’on pourra, dans le développement, s’en tenir aux premières puissances de $x,\,y,\,z,$ du moins tant qu’on ne voudra pas avoir égard aux carrés des masses.

Comme $\mathrm {R} '$ est supposé fonction de $\rho ',$ $\int \mathrm {R} 'd\rho '$ sera aussi une fonction de $\rho '$ que nous dénoterons par $\operatorname {F} (\rho '),$ et la quantité $\mathrm {R}$ sera exprimée par $\operatorname {F} '(\rho '),$ suivant la notation des fonctions dérivées. Or on a

$\rho '={\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}$

et

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,;$

donc

$\operatorname {F} (\rho ')=\operatorname {F} (r')-x{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}-y{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}-z{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},$

et différentiant par $\delta ,$ les quantités $x,\,y,\,z$ demeurant constantes,

$\delta \operatorname {F} (\rho ')=\delta \operatorname {F} (r')-x\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}-y\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}-z\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},$

où il faudra mettre pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs

${\begin{aligned}x=&-{\frac {\mathrm {m} 'x'+\mathrm {m} ''x''+\mathrm {m} '''x'''+\ldots }{\mathrm {m} }},\\y=&-{\frac {\mathrm {m} 'y'+\mathrm {m} ''y''+\mathrm {m} '''y'''+\ldots }{\mathrm {m} }},\\z=&-{\frac {\mathrm {m} 'z'+\mathrm {m} ''z''+\mathrm {m} '''z'''+\ldots }{\mathrm {m} }}.\end{aligned}}$

119. Supposons que la force d’attraction $\mathrm {R} '$ soit comme la puissance $\rho '^{\mu }$ de la distance $\rho ',$ on aura

$\operatorname {F} (\rho ')={\frac {\rho '^{\mu +1}}{\mu +1}},$

et la fonction $\operatorname {F} (\rho ')$ sera une fonction homogène de $x',\,y',\,z'$ du degré $\mu +1\,;$ de sorte qu’on aura, par la propriété de ces fonctions,

$x'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}=(\mu +1)\operatorname {F} (r')\,;$

donc, différentiant par $\delta$ et observant que

${\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}\delta x'+{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}\delta y'+{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}\delta z'=\delta \operatorname {F} (r'),$

on aura

$x'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'\delta {\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}}=\mu \delta \operatorname {F} (r').$

Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&(\mathrm {R} ''\,)=x''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z''\,{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},\\&(\mathrm {R} ''')=x'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial x'}}+y'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial y'}}+z'''{\frac {\partial \operatorname {F} (r')}{\partial z'}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, après les substitutions,

$\delta \operatorname {F} (\rho ')=\mathrm {\frac {m+\mu m'}{m}} \delta \operatorname {F} (r')+\mathrm {{\frac {m''}{m}}\delta (R'')+{\frac {m'''}{m}}\delta (R''')} +\ldots ,$

et telle sera la valeur de $\delta \int \mathrm {R} 'd\rho '$ dans la différence $\delta \mathrm {V} '$ (art. 116) ; de sorte qu’on aura, pour le premier terme $\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '$ de $\mathrm {V} ',$

$\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '=(\mathrm {m+\mu m'} )\operatorname {F} (r')+\mathrm {m''(R'')++m'''(R''')} +\ldots ,$

où

$\operatorname {F} (r')={\frac {r'^{\mu +1}}{\mu +1}}.$

Dans le système du monde, l’attraction des planètes est en raison inverse des carrés des distances ; on a ainsi

$\mu =-2,\quad \operatorname {F} (r')=-{\frac {1}{r'}},$

et l’on trouve

${\begin{aligned}&(\mathrm {R} '')\,={\frac {x'x''\,+y'y''\,+z'z''\,}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}},\\&(\mathrm {R} ''')={\frac {x'x'''+y'y'''+z'z'''}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r'''^{2}+\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}},\\\end{aligned}}$

 

en faisant

$r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\quad r'''={\sqrt {x'''^{2}+y'''^{2}+z'''^{2}}},\quad \ldots .$

Donc, si l’on fait ces substitutions dans la valeur de $\mathrm {V} '$ (art. 116), et qu’on y suppose aussi $\mathrm {R} ''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{''2}}},\,\mathrm {R} '''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{'''2}}},\ldots ,$ on aura, dans le cas de la nature, pour le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité,

$\mathrm {V} '=-{\frac {\mathrm {m-2m'} }{r'}}-\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}+r''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}}\right)-\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}-r'''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}}\right)-\ldots .$

Le premier terme de $\mathrm {V} ',$ s’il était seul, donnerait, comme on l’a vu dans le Chapitre I, une orbite elliptique dans laquelle $\mathrm {g=m-2m'} \,;$ et comme les autres termes sont fort petits par rapport à celui-ci, étant multipliés par les masses $\mathrm {m'',\,m'''} ,\ldots$ supposées très petites vis-à-vis de $\mathrm {m} ,$ on peut les regarder comme dus à des forces perturbatrices dont l’effet est de faire varier les éléments de l’orbite elliptique. Ainsi en faisant, comme dans l’article 90,

$\Omega '=\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}+r''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}}\right)+\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}-r'''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}}\right)+\ldots ,$

on pourra déterminer, par les formules données dans l’article 74, les variations de ces éléments.

120. Si l’on compare cette valeur de $\Omega ',$ qu’on vient de trouver pour le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du centre de gravité du système avec celle de la quantité $\Omega '$ pour le mouvement du même corps autour du corps $\mathrm {m} ,$ on voit qu’elles sont semblables ; les rayons vecteurs des orbites étant représentés dans celle-ci par $\rho ',\,\rho '',\ldots ,$ et dans la précédente par $r',\,r'',\ldots ,$ et les quantités $\rho ''_{_{'}},\rho '''_{_{'}}$ étant les mêmes dans l’une et dans l’autre, puisqu’elles représentent les distances rectilignes du corps $\mathrm {m} '$ aux autres corps $\mathrm {m'',\,m'''} ,\ldots ,$ il n’y a de différence qu’en ce qu’en changeant $\rho ',\,\rho '',\ldots$ en $r',\,r'',\ldots ,$ il faut échanger entre elles les quantités $r',\,r'',$ ainsi que les quantités $r',r''',$ et ainsi des autres. Or, si l’on ne cherche que les variations séculaires des éléments, comme nous l’avons fait pour l’orbite de $\mathrm {m} '$ autour de $\mathrm {m} ,$ il est facile de voir qu’on aura la même valeur de $(\Omega ')$ pour les deux orbites et, par conséquent, les mêmes formules pour ces variations, ce qui est assez remarquable.

Au reste, dans la valeur de $\Omega '$ trouvée ci-dessus, on pourrait effacer les termes $-\mathrm {m} ''{\frac {r'^{2}}{2r'^{3}}}\,-\mathrm {m} '''{\frac {r'^{2}}{2r'^{3}}}-\ldots ,$ parce qu’étant de la même forme que le premier terme $-{\frac {\mathrm {m-2m'} }{r'}}$ de la quantité $\mathrm {V} ',$ ils peuvent se joindre à ce terme, lequel deviendrait ainsi

$-{\frac {1}{r'}}\mathrm {\left(m-2m'-{\frac {m''}{2}}-{\frac {m'''}{2}}-\ldots \right)} \,;$

de sorte que le corps $\mathrm {m} '$ décrirait autour du centre de gravité une orbite comme s’il y avait dans ce centre une masse égale à

$\mathrm {m-2m'-{\frac {m''}{2}}-{\frac {m'''}{2}}-\ldots } \,;$

et les forces perturbatrices de cette orbite seraient par conséquent, toutes choses d’ailleurs égales, moindres que celles de l’orbite du même corps $\mathrm {m} '$ autour du corps le plus gros $\mathrm {m} .$

1. Lorsque les formules donnent pour $2a$ une valeur négative, l’équation $b=a\left(1-e^{2}\right)$ apprend que $e$ est plus grand que l’unité, car $b$ est positif et égal à $\mathrm {\frac {D^{2}}{g}} \,;$ c’est pour cette raison que la trajectoire est une hyperbole. (J. Bertrand.)
   
2. Voir les Mémoires de Berlin, années 1768-69 ; la Théorie des fonctions, chap. XVI, I^re Partie, et le Traité de la Résolution des équations, note 11. (Note de Lagrange.)
   
3. Voir dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1776 plusieurs applications de cette méthode^*. (Note de Lagrange.)
   

   * Le Mémoires auquel renvoie Lagrange a pour titre Solution de quelques problèmes d’Astronomie par le moyen des séries et se trouve inséré au tome IV des Œuvres de Lagrange, p. 275 G. D.
   

   .
4. Dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour 1823, Laplace a donné la condition nécessaire pour la convergence des séries précédentes. La même question a été traitée depuis par M. Cauchy dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, et dans les Exercices d’Analyse et de Physique mathématique de 1841. L’analyse de M. Cauchy a été enfin développée et complétée par M. Puiseux dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XIV ; 1849. Voir une Note à la fin du Volume. Legendre a donné d’ailleurs, dans les Exercices de Calcul intégral (V^e Partie, n^o 116) une série beaucoup plus convergente pour exprimer $\psi$ en fonction de $\varphi -h.$ Cette série s’appliquerait même à la planète Pallas^*. (J. Bertrand.)
   

   * La série de Legendre est la suivante :

   $\psi =2\operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\sin(\varphi -h)+{\frac {2}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {i}{2}}\sin 3(\varphi -h)$
   $+{\frac {2}{5}}\operatorname {tang} ^{5}{\frac {i}{2}}\sin 5(\varphi -h)+{\frac {2}{7}}\operatorname {tang} ^{7}{\frac {i}{2}}\sin 7(\varphi -h)+\ldots .$

   G. D.
   

   .
5. La formule relative au temps nécessaire pour parcourir un arc de parabole a été souvent attribuée à Lambert, qui, en effet, y est parvenu en 1761 sans avoir eu connaissance du Mémoire d’Euler où elle se trouve démontrée, et qui date cependant de 1744. Lagrange lui-même a partagé longtemps l’erreur dont nous parlons ; car, dans son premier Mémoire Sur le probléme de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations (Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 439), il dit, à propos de son théorème : « M. Lambert est parvenu à un des théorèmes les plus élégants et les plus utiles qui aient été trouvés sur ce sujet, et qui a en même temps l’avantage de s’appliquer aux orbites elliptiques. » Cette phrase a été imprimée en 1780, c’est-à-dire trois années avant la mort d’Euler, qui n’a jamais réclamé son droit de priorité. Dans les Mémoires de Berlin pour 1771, Lambert cite le même théorème et s’en attribue la découverte. (J. Bertrand.)
   
6. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 439.
7. C’est-à-dire les propriétés du mouvement parabolique développées plus haut. (J. Bertrand.)
   
8. Euler avait donné, en 1744, une solution approchée du problème des comètes mais sa méthode exigeait plusieurs fausses hypothèses et l’emploi d’une quatrième observation. Quant à la solution de Lambert, on doit observer que celle dont Lagrange donne ici une idée succincte est la seconde qui ait été proposée par ce géomètre, qui a même négligé d’en développer les calculs. Le problème avait été résolu par lui d’une manière très différente dans un Ouvrage spécial, Insigniores orbitæ cometarum proprietates, qui date de 1761. (J. Bertrand.)
   
9. C’est-à-dire, il n’est pas nécessaire que la vitesse excède $70{\sqrt {\frac {6}{r}}}$ fois celle d’un boulet de canon. (J. Bertrand.)
   
10. C’est-à-dire la formule qui exprime la vitesse et celles qui font connaître la direction du mouvement. (J. Bertrand.)
    
11. L’introduction de la fonction $\Omega$ dans un raisonnement relatif au cas où cette fonction n’existe pas donne à ce paragraphe une apparence d’obscurité qu’un peu d’attention fait néanmoins disparaître. (J. Bertrand.)
    
12. Voir les Mémoires de la première Classe de l’Institut pour 1808^*. (Note de Lagrange.)
    

    * Œuvres de Lagrange, t. VI, p. 769.    G. D.

    .
13. Il n’y a dans la question qu’une variable indépendante qui est le temps. Toute expression différentielle peut donc être intégrée, et l’observationde Lagrange semble, par conséquent, inutile. J’ajouterai qu’elle est de nature à embarrasser le lecteur, qui doit voir plus loin (art. 73)) adopter cette lettre $\chi$ comme l’une des constantes variables du problème. (J. Bertrand.)
    
14. Il faut avouer que l’application ultérieure des formules de l’article 64 exigerait quelques explications, car ces formules supposaient $\Omega$ exprimé en fonction des constantes du mouvement elliptique, et la lettre $\chi$ n’en est pas une. Cette lettre $\chi$ n’a pas même de sens précis, puisqu’elle n’a été définie que par sa différentielle. Voir, à ce sujet, des observations très fondées de M. Binet (Journal de l’École Polytechnique, XXVIII^e Cahier, t. XVII, p. 76). (J. Bertrand.)
    
15. Voir le quatrième Volume des anciens Mémoires de Turin^*.
    (Note de Lagrange.)

    * Œuvres de Lagrange, t. II, p. 253.    G. D.

16. Dans sa Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, M. Serret a signalé la démonstration précédente comme peu rigoureuse ; il semble incontestable, en effet, que quelques développements sont nécessaires pour la rendre entièrement satisfaisante. (Voir une Note à la fin du Volume.) (J. Bertrand.)
    
17. M. Ossian Bonnet a donné (Journal de M. Liouville, t. IX, p. 105) une raison très simple de ce fait qui est susceptible d’une généralisation intéressante. (Voir une Note à la fin du Volume.)(J. Bertrand.)
    
18. Voir la note de la page 30.
19. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 559. Le Mémoire auquel Lagrange fait allusion est intitulé Sur une manière particulière d’exprimer le temps dans les sections coniques décrites par des forces tendantes au foyer et réciproquement proportionnelles aux carrés des distances. Lagrange y indique différentes manières de démontrer le théorème d’Euler et de Lambert. G. D.
    
20. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 67. Le Mémoire est intitulé Recherches sur le mouvement d’un corps qui est attiré par deux centres fixes. G. D.
    
21. Voir la Note relative à cet angle $\chi ,$ page 94. On peut remarquer, en outre, que l’équation $d\mathrm {L} =d\alpha ''-d\alpha$ est subordonnée à l’hypothèse que l’on puisse négliger l’inclinaison des deux orbites l’une sur l’autre. Si l’on n’avait pas supposé $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0,$ les formules seraient tout autres, et l’angle $\chi$ ne s’y introduirait pas. (J. Bertrand.)
    
22. Voir à ce sujet un Mémoire de Laplace, Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1784, le n^o 57 du second Livre de la Mécanique céleste, et le Chapitre II du livre XV (cinquième Volume) où Laplace reproche à Lagrange d’avoir énoncé sous une forme dubitative un théorème démontré par lui depuis longtemps. (J. Bertrand.)
    
23. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 125. G. D.
    
24. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 211. G. D.
    
25. Ce supplément n’est pas de Lagrange. Voir à ce sujet la Note du tome V des Œuvres de Lagrange, p. 489. G. D.
    
26. Qui sont des termes périodiques. (J. Bertrand.)