NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE ET LA PROPAGATION DU SON.
(Miscellanea Taurinensia, t. II, 1760-1761.)
chapitre premier.
remarques sur la théorie de la propagation du son, donnée par m. newton.
1. Soient (fig. 1) trois particules d’air en repos, placées sur
Fig. 1.
la droite à des distances égales l’une de l’autre ; imaginons que ces particules parviennent, dans un temps quelconque en et supposons, avec M. Newton (Prop. XLVII, Liv. II des Principes mathématiques), que la loi de leur mouvement soit renfermée dans une seule courbe (fig. 2), de telle manière qu’en faisant et prenant les portions d’arc égales entre elles, et qui aient un rapport donné aux distances primitives les abscisses correspondantes soient égales aux espaces parcourus il est clair qu’on aura
par conséquent, si on suppose que l’élasticité de l’air soit en raison directe de sa densité, l’élasticité de l’air condensé en sera à son élasticité
naturelle, que je nomme en raison inverse de à ou de à donc l’élasticité de la particule transportée en sera exprimée par Par le même raisonnement on trouvera en coupant dans
Fig. 2.
ellipse tranchée
l’arc les parties égales à et menant les ordonnées que l’élasticité de la particule en sera égale à et celle de la particule en égale à d’où l’excès de l’élasticité de l’air en sur son élasticité en sera
ou, à cause que les excursions des particules sont fort petites par hypothèse,
Cette quantité est la force qui fait mouvoir la partie du milieu ou dont la masse est en posant pour la densité naturelle de l’air ; donc la force accélératrice de la particule sera or la loi du mouvement de cette particule demande qu’elle soit sollicitée par une force accélératrice
étant la hauteur de laquelle un corps pesant tombe dans le temps
donc on doit avoir
ce qui se réduit, en supposant à
d’où l’on tire
la nature de la courbe demeurant indéterminée.
De là résulte donc cette conclusion, dont l’exactitude ne peut être révoquée en doute, savoir : que la loi des mouvements des particules de l’air n’est pas unique et déterminée, comme l’a cru M. Newton, mais que, soit celle des pendules adoptée par ce grand Géomètre, soit celle des corps qui tombent par leur pesanteur, que M. Cramer jugeait absurde et contradictoire, ou toute autre qu’on imagine à volonté, a également lieu et peut être indifféremment employée dans la solution analytique. Je dis dans la solution analytique, car, lorsqu’il s’agira de déterminer cette loi dans des cas particuliers, il faudra encore avoir égard aux premiers ébranlements des particules donnés par l’hypothèse.
2. J’avais déjà trouvé cette conclusion générale dans le premier Chapitre de mes Recherches sur la nature et la propagation du Son[1], imprimées dans le tome Ier des Miscellanea Taurinensia ; mais elle m’avait paru alors si paradoxe et si éloignée de la nature de la question, que j’avais cru pouvoir la regarder comme une preuve de l’insuffisance des Principes de M. Newton. Or je vais démontrer ici que cette même conclusion est au contraire entièrement conforme à la théorie de la propagation du son que j’ai donnée dans le Chapitre Ier de la seconde Section des Recherches précédentes. Qu’on considère une particule quelconque de la fibre dont la distance à la particule soit dans l’état d’équilibre ; on trouvera aisément, par la construction ci-dessus, que l’espace parcouru par cette particule dans le temps sera égal à l’abscisse qui répond à l’arc diminué d’un arc c’est-à-dire à un arc Or, quelle que soit la nature de la courbe il est constant qu’on peut en regarder les arcs comme des fonctions données des abscisses correspondantes, et de même les abscisses comme des fonctions des arcs ; donc l’espace parcouru par une particule quelconque de la fibre pendant le temps sera exprimé généralement par Cette formule, en faisant doit représenter les ébranlements primitifs de la fibre donc, si on suppose, comme dans l’endroit cité des Recherches précédentes, qu’une particule quelconque soit ébranlée par le corps sonore, il faudra que la fonction soit toujours nulle, excepté lorsque Par conséquent, la formule générale aura seulement une valeur réelle, lorsque savoir par où l’on voit que l’ébranlement excité dans la particule se propagera dans la fibre de manière que, dans un temps quelconque il parviendra à la particule qui est à une distance de la particule d’où il s’ensuit que la vitesse du son sera uniforme et égale à
ou, en mettant au lieu de la hauteur de l’air supposé homogène,
ce qui s’accorde avec le no LVI des Recherches précédentes, et avec ce que M. Newton a trouvé par une méthode différente (Prop. XLIX, Liv. II des Principes).
Au reste, il est clair qu’à cause de l’ambiguïté des signes de la valeur de la formule renfermera réellement les deux formules et en posant, pour abréger, au lieu de donc, en prenant deux fonctions différentes, l’une pour le signe et l’autre pour le signe et les ajoutant ensemble, on aura
pour l’expression générale de l’espace parcouru par chaque particule de la fibre dans un temps quelconque
Nous verrons dans la suite les conséquences qui résultent de cette formule, par rapport à la propagation du son considérée d’une manière générale ; mais nous remarquerons d’avance que la vitesse de la propagation est toujours égale à comme on l’a trouvé ci-dessus dans un cas particulier.
3. Telle est la solution générale qui peut se déduire des Principes de M. Newton ; cet illustre Auteur n’en a tiré cependant qu’une solution assez particulière et même peu exacte, mais qui l’a conduit néanmoins au même résultat sur la vitesse de la propagation. C’est ce qu’il faut développer.
M. Newton commence par supposer que la courbe est un cercle dont le diamètre est égal à la plus grande excursion de la particule et dont la circonférence est à l’intervalle des pulsions, comme à savoir comme est à selon nos dénominations ; d’où il résulte que le mouvement de chaque particule d’air est le même que celui d’un pendule qui décrit des arcs de cycloïde, et que la durée de chaque oscillation est égale à la circonférence entière du cercle savoir
M. Newton suppose ensuite que, dans le temps d’une oscillation, la pulsion en avançant parcourt sa largeur c’est-à-dire qu’il se forme en une nouvelle fibre sonore égale à la première d’où il déduit la vitesse du son
précisément comme on l’a trouvée ci-dessus.
Je remarque d’abord que la première hypothèse de M. Newton, savoir, que la courbe soit un cercle, ne peut être admise qu’analytiquement et non relativement à la question de la propagation du son, car :
1o Les ébranlements primitifs dépendent absolument de l’impulsion du corps sonore, laquelle peut être quelconque ; par conséquent il est impossible que ces ébranlements soient toujours exprimés par la même courbe, et encore moins par un cercle.
2o Comme le cercle est une courbe rentrante, il est clair qu’on peut toujours trouver un arc dont l’abscisse représentera (suivant la construction) l’excursion d’une particule quelconque distante comme l’on voudra de la particule d’où il s’ensuit que toutes les particules de la fibre infiniment prolongée de part et d’autre doivent être toutes en mouvement à la fois, ce qui détruit la propagation du son et est directement contraire à la nature même de la question.
À l’égard des oscillations des particules qui forment la pulsion nous démontrerons plus bas (15) que leur durée est toujours la même, quelle que puisse être la nature de cette pulsion, et qu’ainsi la formule que donne l’hypothèse particulière de M. Newton, est exacte et conforme à la véritable théorie de la propagation du son.
Il en est de même de l’autre hypothèse de M. Newton, savoir, qu’il s’engendre une seconde fibre égale à la première, lorsque cette première a achevé une vibration entière. Cette hypothèse est légitime, comme on le verra plus bas (12 et 15) ; mais doit-on l’admettre sans la démontrer ? On est d’autant plus en droit d’en exiger la démonstration que, suivant la construction de M. Newton, les pulsions ne se forment point l’une après l’autre, mais existent toutes à la fois et ne font que changer de place sur la fibre comme il est aisé de s’en convaincre en examinant cette construction.
En voilà assez pour prouver l’insuffisance de la théorie de M. Newton, et pour rendre raison pourquoi elle conduit néanmoins aux véritables lois de la propagation du son.
4. Nous venons de montrer que la courbe ne peut être un cercle. Or je dis qu’elle ne peut pas même être une courbe algébrique ou transcendante. Pour le prouver, je remarque que la fonction qui représente en général les excursions des particules de la fibre pour un temps quelconque doit aussi représenter les excursions primitives, telles qu’elles sont engendrées dans le premier instant par l’action du corps sonore sur les particules de l’air contigu. Or il est clair que cette impression ne saurait s’étendre à l’infini, mais qu’elle devra même être renfermée dans un très-petit espace autour du corps, à cause de l’extrême petitesse de ses vibrations ; d’où il suit que dans le premier instant il ne peut y avoir qu’un certain nombre de particules, dans la fibre aérienne, qui soient mises en mouvement, et pour lesquelles la valeur de doive être réelle ; il faudra, en conséquence, pour remplir cette condition, que la fonction s’évanouisse toujours d’elle-même, lorsque, étant égal à zéro, surpassera une quantité donnée. Soit la longueur de la portion de la fibre qui est ébranlée au commencement, il faudra avoir en général
prenant pour une quantité quelconque positive.
Telle devra donc être la nature de la courbe d’où dépend la valeur de que tous les arcs exprimés par répondent toujours au même point de l’axe où les abscisses ont leur origine ; c’est ce qui ne saurait avoir lieu dans aucune courbe, soit géométrique, soit transcendante, puisqu’il faudrait pour cela que dans un tel point elle se transformât tout à coup en une droite perpendiculaire à l’axe.
chapitre ii.
des fonctions irrégulières et discontinues.
Observations sur la nature et l’usage de ces fonctions.
5. Nous venons de démontrer que, pour trouver les ébranlements des particules de l’air dans le cas de la nature, il faut se servir d’une ligne courbe dont le cours devienne tout à coup rectiligne en un point donné, condition qui est absolument incompatible avec la loi de continuité, à laquelle toutes les courbes, soit algébriques, soit mécaniques, sont nécessairement soumises.
De là on voit la nécessité d’admettre dans ce calcul d’autres courbes que celles que les Géomètres ont considérées jusqu’à présent, et d’employer un nouveau genre de fonctions variables indépendantes de la loi de continuité, et qu’on peut très-bien appeler fonctions irrégulieres et discontinues. Mais ce n’est pas ici le seul usage qu’on doit faire de ces sortes de fonctions ; elles sont nécessaires pour un grand nombre de questions importantes de Dynamique et d’Hydrodynamique ; car, lorsqu’on a un système de corps ou de points mobiles, dont le nombre est infini, et qu’on en cherche les mouvements après les avoir, comme que ce soit, dérangés de leur état d’équilibre, il est facile de comprendre que tous ces mouvements ne pourront être contenus dans une même formule, à moins qu’elle ne soit aussi applicable au premier état du système, qui est tout à fait arbitraire, et dans lequel la loi de continuité est le plus souvent violée. M. Euler est, je crois, le premier qui ait introduit dans l’Analyse ce nouveau genre de fonctions, dans sa solution du problème de chordis vibrantibus, qui rentre dans la classe de ceux dont nous venons de parler ; mais nous avons exposé ailleurs (Rech. préc, XV) les difficultés dont cette solution est susceptible, et la nécessité où l’on était de l’établir et de la confirmer par une méthode aussi directe et rigoureuse que celle que nous avons donnée dans le Chapitre V des Recherches précédentes ; M. Euler même m’a fait l’honneur de me l’avouer dans une lettre particulière qu’il m’a écrite au sujet de ma théorie sur le son. Cette méthode cependant, qui consiste à regarder d’abord le nombre des corps mobiles comme fini et indéterminé, est extrêmement pénible et embarrassante, et elle le devient encore beaucoup plus lorsqu’il s’agit de rendre leur nombre infini. Un tel passage du fini à l’infini dans mes formules n’ayant pas paru assez évident et démonstratif à deux grands Géomètres, MM. Daniel Bernoulli et d’Alembert, comme ils ont daigné me le faire sentir dans des lettres particulières, j’ai cru devoir chercher de nouveau une autre méthode plus simple, par laquelle on pût éviter tous les embarras qui se rencontrent dans la transformation des formules, et qui levât de même tous les doutes qui pourraient encore se présenter sur l’exactitude de mes résultats.
6. Problème I. — Étant donné un système d’un nombre infini de points mobiles, dont chacun dans l’état d’équilibre soit déterminé par la variable et dont le premier et le dernier, qui répondent à et à soient supposés fixes, trouver les mouvements de tous les points intermédiaires, dont la loi est contenue dans la formule étant l’espace décrit par chacun d’eux durant un temps quelconque
Qu’on multiplie cette équation par étant une fonction quelconque de et qu’on l’intègre en ne faisant varier que il est clair que si dans cette intégrale, prise en sorte qu’elle évanouisse lorsque on fait on aura la somme de toutes les valeurs particulières de la formule qui répondent à chaque point mobile du système donné. Cette somme sera donc
Or l’intégrale où la différence ne dépend que de la variable peut se transformer par les règles connues en
cette dernière intégrale se change de même en
de sorte qu’on aura
or, puisque est égal à zéro, lorsque si l’on suppose que le soit aussi, il faudra que évanouisse de même dans ce point ; mais, par hypothèse, on a ici donc il suffira que l’on ait ou bien lorsque
Par là notre équation intégrale deviendra
Posons et puisque s’évanouit de nouveau par hypothèse, faisons disparaître de même l’autre terme par une valeur convenable de
Il ne restera après cela que la simple équation
Soit supposé désignant une constante indéterminée dont on trouvera la valeur au moyen des conditions qu’on a déjà attachées à la quantité on aura
Soit encore prenant la différence de part et d’autre dans la supposition que le seul soit variable, on a, à cause de une fonction de
et, différentiant une seconde fois,
ces valeurs substituées dans la dernière équation intégrale, il en résulte
équation qu’il faut maintenant intégrer en ne regardant que le temps comme variable. Nous avons donc deux équations différentielles à intégrer, dont l’une regarde simplement la variabilité de et l’autre celle de ce qui fait qu’elles rentrent dans la classe ordinaire des équations différentielles à deux changeantes.
Commençons par l’équation et faisons usage de la méthode inventée par M. d’Alembert pour ces sortes d’équations.
Soit supposé on aura
et l’équation donnée se changera en
qu’on la multiplie par un coefficient quelconque et qu’on la joigne avec celle qu’on a faite par hypothèse, on aura
soit fait et par conséquent
j’aurai donc
différentielle dont l’intégrale est, par les méthodes connues, en ajoutant une constante
substituant la valeur de m, on a, à cause de l’ambiguïté des signes, les deux équations
étant une nouvelle constante arbitraire.
Pour déterminer les valeurs de et de supposons que et deviennent et lorsque nous aurons
substituant ces valeurs, et joignant ensemble les deux équations, il nous vient
de même, en retranchant l’une équation de l’autre, on trouve
ces équations se réduisent à la forme suivante qui est beaucoup plus simple, savoir :
Or, par supposition,
ou bien, puisque exprime la vitesse qui répond à l’espace et au temps si on dénote cette vitesse par on a
Pour avoir de même les valeurs de et de supposons que soit en général la valeur de et celle de au commencement du mouvement, lorsque on aura
substituant ces valeurs, on changera les équations précédentes en celles-ci :
Il ne nous reste plus qu’à trouver la valeur de par la résolution de l’équation
qu’on intégrera par la même méthode que nous avons pratiquée ci-dessus ; prenant deux constantes quelconques et on trouvera aisément que la valeur de est en général or doit premièrement être égal à zéro lorsque ce qui donne et par conséquent,
Changeons la constante et supposons-la divisée par on aura
plus simplement
Il faut maintenant faire en sorte que évanouisse lorsque d’où l’on a
et prenant pour un nombre quelconque entier positif ou négatif,
ce qui nous apprend que peut avoir une infinité de valeurs différentes, qui remplissent toutes également les conditions données. Substituons à présent pour sa valeur trouvée, et retenant pour plus de simplicité la quantité on aura, après avoir divisé par
Ces deux équations doivent se vérifier pour toutes les valeurs qu’on peut donner à et c’est d’après une telle condition qu’il faut déterminer les valeurs cherchées de et de par celles de et qui sont supposées données.
Pour cela il faut commencer par faire disparaître au moyen de quelques transformations la quantité qui n’est point renfermée dans des sinus ou des cosinus ; ces transformations ne consistent qu’à prendre les intégrales par parties comme nous l’avons déjà pratiqué plus haut, en sorte que l’intégrale qui reste se trouve naturellement multipliée ou divisée par Par ce moyen, on transformera d’abord l’expression
dans celle-ci
Je remarque maintenant que la valeur de devient nulle dans les deux cas de et de d’où il suit que puisque les formules intégrales que nous manions ici doivent être prises pour toute l’étendue de depuis jusqu’à on aura plus simplement
Par une opération contraire, on trouvera ensuite
et puisque lorsque et par l’hypothèse du problème, on aura pour notre cas
Ces valeurs substituées, il en résulte
Avant d’aller plus loin je remarque que comme on aura occasion dans la suite de comparer des valeurs de et de avec des valeurs de et qui ne répondent pas aux mêmes pour ne pas se méprendre dans ces opé-
rations, il sera utile de distinguer par des expressions différentes les qui conviennent aux et d’avec ceux qui conviennent aux et je désignerai les premiers par la lettre que je substituerai partout dans les seconds membres des équations précédentes au lieu de en retenant néanmoins le qui ne peut causer aucun embarras ; j’observe de plus que les intégrales qui entrent dans les termes de ces membres se rapportent uniquement à la variable ou ce qui fait qu’on peut mettre aussi sous le signe ces quantités et qui sont constantes à leur égard ; j’aurai donc
Je développe à présent les produits des sinus et cosinus par les méthodes connues ; j’obtiens
Ces équations sont réduites maintenant à la forme nécessaire pour en tirer les valeurs de et de u. Voici comment je m’y prends.
Je considère qu’en substituant pour sa valeur le nombre qui peut être tel qu’on veut, pourvu qu’il soit entier, doit nécessairement disparaître de l’équation, puisqu’elle doit être vraie pour toutes les valeurs possibles de Il faut donc faire en sorte que la quantité disparaisse elle-même de l’équation qui la renferme, ce qu’on ne peut obtenir dans notre cas qu’en rendant égaux tous les angles multiples de dans tous les termes de l’une et de l’autre équation ; mais comme on pourrait être embarrassé dans les différentes valeurs qu’il faut donner à je ne retiendrai cette lettre que dans la seule expression et je mettrai, dans l’autre expression au lieu de en désignant de même par et les valeurs de et de qui y répondent ; ainsi j’aurai par la comparaison des angles, après avoir divisé par
et ensuite les équations
Maintenant, l’abscisse qui convient à et étant elle deviendra égale à qui est sa valeur tirée de l’équation ci-dessus ; on aura de même pour l’abscisse qui répond à et à l’expression donc si, pour plus de commodité, on joint à chaque quantité son abscisse en forme d’exposant placé entre deux parenthèses, on aura enfin les valeurs de et de exprimées de la manière suivante :
Telles sont donc les valeurs de et de pour chaque point mobile du système donné et pour tous les instants de leurs mouvements ; valeurs qui ne dépendent, comme on le voit, que des quantités et données à volonté dans le commencement du mouvement.
7. Les formules qu’on vient de trouver nous mènent directement à la construction suivante. Sur l’axe (fig. 3), j’élève à chaque
Fig. 3.
point la perpendiculaire égale à la valeur de c’est-à-dire à la valeur initiale de qui répond à l’abscisse J’en fais autant à l’égard des valeurs initiales de sur un autre axe de même longueur (fig. 4), et j’obtiens par ce moyen les deux courbes que j’appelle
Fig. 4.
courbes fondamentales, et qui sont les lieux géométriques des quantités et
Ces courbes seront régulières ou irrégulières, suivant la nature des quantités et mais elles se termineront toujours d’un côté et de l’autre aux extrémités et de l’axe, puisque les valeurs de et de dans ces points sont nulles par supposition.
Je trace ensuite sur deux autres axes égaux (fig. 5 et 6) les
Fig. 5.Fig. 6.
nouvelles courbes telles que chaque ordonnée de la première soit toujours quatrième proportionnelle à la sous-tangente de
la courbe à l’ordonnée correspondante et à la quantité constante et que l’ordonnée de la seconde soit égale à l’aire de la courbe divisée par la même quantité .
Ces quatre courbes ainsi données, si l’on cherche les valeurs de et de qui répondent à une abscisse quelconque et à un temps quelconque on n’aura qu’à prendre, de part et d’autre des points les points et éloignés par des intervalles et égaux à et l’on aura
Quelque générale que paraisse cette construction que nous venons de trouver, elle ne l’est cependant pas tout à fait, car il y a une infinité de cas où elle ne saurait avoir lieu ; c’est ce qui arrivera toutes les fois que les points et tomberont au delà de et de
Pour voir ce qu’il faudra faire dans ces cas, et comment les courbes données pourront être continuées de part et d’autre, il est nécessaire de reprendre les dernières formules intégrales d’où l’on a tiré les valeurs de et de et de les examiner avec attention ; pour mieux y réussir nous réduirons ces formules à des constructions géométriques.
Soit imaginée la ligne (fig. 7) qui soit le lieu géométrique des
Fig. 7
valeurs de pour tous les points de l’axe et soit décrite sur le même axe la courbe qui ait à chaque abscisse l’ordonnée Il est manifeste que si l’on fait les produits des ordonnées correspondantes de ces deux courbes, l’aire d’une troisième courbe qui aura ces produits pour ordonnées sera la valeur de l’intégrale
Pour construire de même les autres formules intégrales, supposons d’abord et ayant tracé (fig. 8) la ligne qui renferme toutes
Fig. 8.
les valeurs de qu’on coupe de part et d’autre du point les deux portions de l’axe égales entre elles et à et qu’on transporte la courbe en et en il est clair que si l’on prend de nouveau les produits des ordonnées de chacune de ces courbes par les ordonnées correspondantes de la courbe les aires de ces produits exprimeront les valeurs des intégrales
Mais il faut remarquer que comme ces intégrales ne doivent s’étendre que depuis jusqu’à les aires qui les exprimeront ne pourront contenir que les parties de l’une et de l’autre courbe qui répondent à l’axe D’où il s’ensuit que les deux portions et qui se trouvent au dehors de l’espace compris entre les ordonnées élevées des points et ne seront ici d’aucun usage, mais qu’il faudra au contraire ajouter à l’une et l’autre courbe ce qui lui manque par rapport à l’axe entier c’est-à-dire que la courbe devra être continuée jusqu’en et de même la courbe jusqu’en ce qui étant exécuté, on aura les deux branches et qui seront celles qu’on devra employer dans la formation des aires proposées. Pour cela examinons la nature des fonctions et qui forment les courbes et en comptant les abscisses du point d’origine et voyons ce que ces fonctions deviennent au delà du point et en deçà du point
Puisque les deux courbes ne sont que la même courbe (fig. 7, p. 169) dans laquelle, nommant les abscisses, les ordonnées sont exprimées par la question se réduit à déterminer la valeur de lorsque est négatif et lorsque est plus grand que soit donc en premier lieu négatif : on aura, comme on le sait,
c’est-à-dire que la fonction donnée de ne recevra point d’autre changement, sinon qu’elle deviendra négative. Soit ensuite mais savoir on aura
Or, par la valeur déterminée ci-dessus de et par les règles connues de la Trigonométrie,
donc, puisque on aura, dans ce cas,
De là il s’ensuit :
1o Que pour avoir la continuation du côté des abscisses négatives de la courbe on n’aura qu’à renverser la même courbe au-dessous de l’axe, en sorte que le point demeure immobile ;
2o Que pour avoir la continuation du côté des abscisses plus grandes que dans la courbe , il faudra aussi renverser cette courbe de la même façon que l’autre, mais en prenant ici le point pour fixe.
Je dis maintenant que la portion de courbe est la même que la portion , ainsi que la portion est la même que la portion , et que par conséquent, au lieu des deux courbes et on peut substituer les deux autres et lorsqu’il ne s’agit que d’avoir la somme des mêmes parties. Je dis ensuite que la somme des aires formées des produits des ordonnées de l’une et de l’autre courbe et par celles de la courbe sera égale à la somme des aires qu’on pourra former de la même façon par les ordonnées des courbes pourvu que dans les espaces on prenne, pour ordonnées de la courbe celles qui conviennent aux espaces et avec des signes contraires ; d’où je déduis que si l’on veut continuer la courbe de part et d’autre de l’axe, afin qu’elle réponde immédiatement à toute l’étendue des courbes et on n’a qu’à la renverser au-dessous de l’axe en et le point demeurant immobile dans le premier cas et le point dans le second, comme on le voit clairement dans la fig. 9.
Fig. 9.
Il résulte donc de tout ce qu’on vient de démontrer que pour avoir la valeur de l’expression composée
on n’a qu’à prendre la somme des deux aires qui se formeront par les produits des ordonnées des courbes et multipliées par les ordonnées correspondantes de la courbe La moitié de cette somme, si l’on suppose devra donc être égale à l’aire formée par les deux courbes
Or, puisque les ordonnées de la courbe qui est la même que les deux courbes et , renferment la quantité laquelle doit s’évanouir de l’équation, on ne parviendra à se défaire de cette quantité qu’en égalant la valeur de qui multiplie chaque ordonnée de à la demi-somme des valeurs de qui multiplient la même ordonnée dans l’une et l’autre courbe et prenant pour ces valeurs de les ordonnées correspondantes de la courbe on coupera donc des points et qui sont les origines des courbes , deux abscisses égales à ou bien, à cause de
on coupera du point origine de la courbe génératrice deux abscisses et et la demi-somme des ordonnées correspondantes dans cette courbe sera la valeur cherchée de
Si l’on suppose la courbe anéantie et qu’on y substitue la courbe (fig. 4, p. 168), on aura par la construction précédente les valeurs de la vitesse dans le cas où Mais si l’on veut avoir égard à la fois aux deux courbes et il faudra encore faire attention aux autres formules intégrales que nous avons négligées, et qui se construisent de la même façon que les précédentes, avec cette seule différence qu’au lieu des courbes il faut employer les et (fig. 5 et_6, p. 168). On s’y prendra donc à l’égard de ces dernières courbes d’une manière parfaitement analogue à celle qu’on vient de pratiquer pour les premières ; il faudra seulement observer que, comme les deux formules intégrales qui naissent de chacune d’elles ont des signes différents, les branches et devront être situées l’une au-dessus et l’autre au-dessous de l’axe ; c’est pourquoi la partie qui doit servir de continuation à la branche au lieu de sa partie , se trouvera du même côté de l’axe, comme aussi la partie à l’égard de l’autre branche dont elle est le supplément au lieu de d’où il s’ensuit que les branches de continuation dans les courbes et se trouveront au-dessus de l’axe, comme on le voit dans la fig. 10. On prendra donc dans
Fig. 10.
ces courbes ainsi continuées de part et d’autre les ordonnées qui répondent aux abscisses et en comptant du point et leur demi-différence donnera ce qu’il faut ajouter à la valeur de et de
La construction-que nous venons de trouver est la même pour le fond que celle qu’on a donnée plus haut, mais elle est plus générale en ce que les courbes ici se trouvent continuées de part et d’autre par une étendue égale à l’axe ce qui suffit pour résoudre tous les cas où ne surpasse point comme on l’a supposé d’abord.
Tous les autres cas demanderont donc encore une nouvelle continuation, qu’on pourrait trouver aussi en suivant une méthode analogue à celle que nous avons employée ci-dessus, mais qu’on déduira plus aisément de la réflexion suivante. Je considère d’abord le sinus de l’angle qui est celui qui donne des valeurs de plus grandes que je trouve que ce sinus ne change point en retranchant de un multiple quelconque de car devient en substituant, au lieu de sa valeur Or, étant un nombre quelconque entier, le sera aussi, et par conséquent, par les règles connues, ce sinus deviendra égal à tel qu’il était d’abord. J’examine de même le sinus de l’autre angle d’où naissent les valeurs négatives de et je vois que ce sinus demeure le même en ajoutant à un multiple quelconque de car on trouve aussi
Ces deux propositions prouvent donc que les abscisses peuvent être augmentées ou diminuées de de sans qu’il en résulte aucun changement dans les formules intégrales ; d’où il suit que les ordonnées à toutes ces abscisses ainsi augmentées ou diminuées seront nécessairement les mêmes. Donc, puisque nous avons ci-dessus trouvé moyen d’étendre les courbes fondamentales jusqu’à l’abscisse d’un côté, et jusqu’à l’abscisse de l’autre, on pourra à présent les étendre tant qu’on voudra, en appliquant à chaque abscisse exprimée par l’ordonnée qui convient à la simple abscisse dont la valeur est supposée contenue entre les limites et Il ne faudra pour cela que transporter successivement le long de l’axe toute la courbe qui répond à l’abscisse et qui est composée de deux branches égales, situées l’une au-dessus et l’autre au-dessous du même axe ; d’où il résultera une courbe continue et de figure anguiforme, c’est-à-dire contenant plusieurs ventres
égaux situés alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe. Nous appellerons les courbes ainsi formées courbes génératrices.
On fera la même chose à l’égard des autres courbes formées par les tangentes et par la quadrature des courbes fondamentales ; mais comme la portion de ces courbes, qui répond à l’abscisse est composée de deux branches égales, situées l’une et l’autre du même côté de l’axe, la courbe qui résultera de la répétition de cette partie contiendra aussi plusieurs ventres égaux, mais tous placés du même côté de l’axe.
Voilà comment, par la simple description réitérée des branches données on peut prolonger toutes ces courbes à l’infini, et avoir par conséquent des ordonnées réelles pour toutes les abscisses exprimées par et quelle que soit la valeur du temps ce qui suffit pour que la construction des valeurs de et de ne soit plus sujette à aucune exception.
Le problème dont la solution nous a jusqu’à présent occupé est le même que celui qu’on a résolu dans le Chapitre V des Recherches précédentes ; car il est facile de voir que les équations du no XIX, dans le cas où le nombre des points mobiles est infini, peuvent se réduire à la formule générale Aussi la construction que nous venons de trouver s’accorde entièrement avec celle qu’on a donnée dans le no XXXIX, et plus amplement dans le no XLV, ce qui doit être regardé comme une confirmation de la justesse et de la bonté de nos calculs.
Remarques sur la solution précédente.
8. Quoique la solution précédente soit beaucoup moins compliquée que celle qui se trouve dans mes Recherches sur le Son, elle l’est cependant encore à un point qui la rend assez difficile à suivre. C’est pourquoi il me paraît bon de l’éclaircir par quelques remarques, qui fassent connaître plus à fond la nature et l’esprit de la méthode qui nous y a conduit.
Comme la question est de trouver les mouvements d’une infinité de points mobiles, dans la supposition que leur état d’équilibre ait été dérangé d’une manière quelconque, on ne peut pas, ainsi qu’on l’a prouvé plus haut, exprimer tous ces mouvements par une seule formule générale ; mais il faut regarder au contraire chaque point mobile comme isolé, et en chercher le mouvement, en résolvant comme autant de problèmes à la fois qu’il y a de points mobiles dans le système donné. Une telle question demande donc, pour être pleinement résolue, d’autres procédés que ceux de l’analyse ordinaire ; c’est ce que M. d’Alembert a eu soin de faire remarquer au sujet des cordes vibrantes, dans l’article II de son Addition au Mémoire sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, imprimée parmi les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1750. Dans tout autre cas, dit-il (c’est-à-dire dans tous les cas où la courbe initiale n’aura point les conditions prescrites par cet Auteur), le problème ne pourra se résoudre, au moins par ma méthode, et je ne sais même s’il ne surpassera pas les forces de l’analyse connue. En effet, on ne peut, ce me semble, exprimer analytiquement d’une manière plus générale qu’en la supposant une fonction de et de mais, dans cette supposition, on ne trouve la solution du problème que pour le cas où les différentes figures de la corde vibrante peuvent être renfermées dans une seule et même équation. Dans tous les autres cas il me paraît impossible de donner à une forme plus générale.
La méthode que nous avons exposée ci-dessus est une réduction de celle que j’ai inventée pour résoudre le problème des vibrations d’une corde chargée d’un nombre indéfini de petits poids ; ainsi elle remplit la condition que tous les points mobiles soient considérés chacun en particulier, et en même temps elle n’est pas sujette aux difficultés qui se présentent en passant du nombre indéfini des points mobiles à un nombre réellement infini.
Le fondement principal de l’une et de l’autre de ces méthodes, c’est l’ingénieuse analyse inventée par M. d’Alembert pour intégrer des équations différentielles d’un degré quelconque, et contenant un nombre quelconque de variables, pourvu qu’elles ne paraissent que sous une forme linéaire. Aussi est-ce une justice qu’il faut rendre à ce savant Géomètre, que de reconnaître que nous lui devons le principal secours qui nous a aidé à franchir les difficultés que lui-même semble avoir crues insurmontables à l’analyse.
À l’égard des procédés de nos deux méthodes, ils ne diffèrent d’abord entre eux que parce que l’on a substitué, dans les derniers, des différenciations et des intégrations au lieu des sommes et des différences algébriques qui se trouvent dans les autres ; mais, comme on pourrait craindre que ces opérations n’entraînassent les inconvénients qu’on a indiqués dans le no XV des Recherches précédentes, il me paraît utile de développer cet objet plus en détail, en rapprochant l’analyse que j’ai donnée ci-dessus de celle du Chapitre III des mêmes Recherches.
J’imagine d’abord qu’au lieu de la simple équation générale qui appartient à tous les points mobiles, il y en ait une infinité dont chacune représente le mouvement de chacun des points en particulier ; mouvement qui dépend d’ailleurs de tous les autres, puisque la différentielle qu’on prend, en ne faisant varier que exprime la différence seconde des valeurs de pour trois points consécutifs. Je multiplie donc chacune de ces équations par un coefficient indéterminé ou plutôt par la quantité en regardant comme une variable qui peut convenir à toutes les équations en général, et j’en prends la somme par une intégration indiquée à la manière ordinaire.
Maintenant, comme il s’agit de joindre ensemble les coefficients de chaque valeur de qui répond à chaque point mobile, je transforme mon équation intégrale en sorte que les différentielles de dépendantes de s’évanouissent.
Les transformations dont je fais usage dans cette occasion sont celles qu’on appelle intégrations par parties, et qui se démontrent ordinairement par les principes du calcul différentiel ; mais il n’est pas difficile de voir qu’elles ont leur fondement dans le calcul général des sommes et des différences ; d’où il suit qu’on n’a point à craindre d’introduire par là dans notre calcul aucune loi de continuité entre les différentes valeurs de
Après cela, je détermine les valeurs de l’indéterminée par la comparaison des coefficients des termes correspondants et et je trouve pour cela une équation différentielle du deuxième degré, qui contient une nouvelle indéterminée constante et dont l’intégration entraîne encore dans la valeur de deux autres constantes arbitraires. Je détermine ces constantes à être telles, que s’évanouisse lorsque et lorsque puisque, les valeurs de étant nulles dans ces deux points, les qui les multiplient ne doivent non plus avoir des valeurs réelles ; par ce moyen, on fait disparaître de l’équation intégrale les termes qui sont absolument algébriques, et qui auraient d’ailleurs empêché le reste des opérations. Ces deux conditions laissent encore indéterminée la valeur d’une constante par laquelle toute l’expression de est multipliée ; mais cette constante s’évanouit ensuite d’elle-même par la division. À l’égard de la constante on trouve une infinité de valeurs différentes qui toutes lui conviennent également, et dont le nombre répond à celui des équations particulières qu’on résout à la fois. C’est de ce nombre infini de valeurs de que dépend ensuite la détermination de toutes les valeurs de
De là je passe à l’intégration actuelle de notre équation formée par l’addition de toutes les équations particulières. Cette intégration ne regarde que la variabilité de et elle s’achève selon les méthodes connues du calcul intégral, puisque ici la loi de continuité a lieu. Après cela je substitue la valeur de et il en résulte une équation assez simple qui renferme toutes les valeurs de pour chaque point mobile dans tous les instants du mouvement, avec les valeurs particulières des mêmes et des vitesses dans le premier instant ; valeurs qu’on suppose données à volonté, et qui ne sont point réglées par aucune loi de continuité. Je trouve en même temps une formule semblable pour les vitesses de tous les points dans un temps quelconque.
Jusqu’ici cette analyse est parfaitement d’accord avec celle du Chapitre cité de mes Recherches ; mais elle en diffère entièrement dans la suite, où il s’agit de tirer les valeurs de et de
Comme il est nécessaire que nos dernières formules soient vérifiées, quelque valeur qu’on donne à parmi le nombre infini de celles qu’on a trouvées, il est visible qu’il faut chasser cette même quantité à l’aide d’autant d’équations particulières qu’il y a de différentes fonctions de C’est à quoi nous sommes parvenu en employant différentes transformations et réductions, dont on a rendu compte dans le cours de cette analyse, et qui me paraissent les seules capables de remplir l’objet proposé.
La construction qu’on a donnée ensuite des valeurs de et de par le moyen des courbes génératrices, et la manière de continuer ces courbes à l’infini de part et d’autre, dépendent d’une considération intime sur la nature de nos formules. Il est vrai que les principes d’où l’on a tiré cette construction pourraient paraître trop recherchés, mais elle n’en est pas moins démonstrative et certaine ; ce n’a été que pour conserver une entière rigueur que j’ai été obligé d’avoir recours à de tels principes ; car, dès que l’on aura démontré dans deux ou trois problèmes de cette sorte, que la nature des courbes génératrices est la même que celle qu’on trouve en supposant ces courbes représentées par une fonction régulière et continue, ainsi que l’a fait M. d’Alembert dans sa solution du problème des vibrations des cordes, on sera assez fondé à appliquer la méthode de ces fonctions aux cas mêmes où l’on voudra supposer qu’elles n’aient point lieu.
9. Après tout ce que nous venons d’expliquer, il ne sera pas difficile de déterminer le degré de généralité dont notre méthode est susceptible. On verra premièrement qu’elle ne pourra réussir à moins que l’indéterminée et ses différences ne se trouvent que sous une forme linéaire, et, de plus, qu’elles ne soient point mêlées avec la variable lorsque ces conditions seront observées, quoique les différentielles de montent à un degré plus haut que le second, et qu’il y ait même un terme sans qui soit une fonction quelconque de et de on pourra toujours se servir avec succès des artifices et des transformations enseignées, comme on le verra dans les solutions que nous donnerons dans la suite. Toute la difficulté ne tombera plus que sur l’intégration des équations en et en*, équations qui se rapportent aux méthodes ordinaires du calcul intégral. En second lieu, le succès de notre méthode demande qu’on puisse faire disparaître des équations la quantité qui a toujours une infinité de valeurs ; cette opération renferme des difficultés plus considérables, et je ne suis point encore parvenu jusqu’à présent à trouver pour cela une méthode directe et générale ; cependant, nous ferons voir dans la suite que cet objet pourra toujours être rempli sinon exactement, au moins en se servant dés approximations et des séries.
Pour ce qui est de la première condition, qui est absolument indispensable dans notre méthode, il est aisé de démontrer qu’elle aura toujours lieu dans les mouvements d’un système quelconque d’un nombre infini de points mobiles, lorsque ces mouvements seront supposés infiniment petits, comme le sont tous les mouvements réciproques qu’on observe dans la nature ; d’où il suit qu’on pourra toujours les calculer soit exactement, soit seulement par approximation.
chapitre iii.
de la propagation du son.
10. La masse de l’air étant, naturellement de trois dimensions, il est clair que, pour calculer la propagation du son en toute rigueur, il faudrait résoudre les formules générales que M. Euler a données dans ses Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique (Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 1). Mais ces formules n’étant point du nombre de celles sur lesquelles notre méthode peut avoir prise, il faut renoncer pour le présent, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’on soit aidé par de nouveaux secours, à toute théorie de la propagation du son envisagée sous ce point de vue. Cependant, comme il est très-probable que les ébranlements des particules de l’air, pour produire le son, doivent être infiniment petits, ainsi que nous tâcherons de le prouver dans la suite, on pourra s’en tenir aux formules que M. Euler a aussi données pour ce cas ; formules qui sont sans comparaison beaucoup plus simples que les premières, et qui, par la raison qu’on a dite plus haut (9), rentrent nécessairement dans la classe de celles qu’on peut soumettre à notre analyse.
Quoique la manière dont M. Euler a trouvé ces formules soit sans contredit la plus directe et la plus rigoureuse qui se puisse imaginer, cependant, puisque la supposition des ébranlements infiniment petits rend le calcul incomparablement plus simple, j’ai cru qu’on ne serait point fâché de le trouver ici.
Soient les coordonnées rectangles qui déterminent la position d’une particule quelconque de fluide dans l’état d’équilibre ; supposons que ces coordonnées, dans le temps deviennent il ne sera pas difficile de voir que, si les quantités sont supposées infiniment petites, le parallélipipède qui représente une particule dans l’état d’équilibre, pourra être censé se changer en un autre
ou, en négligeant les puissances plus hautes de
De là il suit qu’en nommant l’élasticité naturelle de la portion infiniment petite de fluide renfermée dans le premier parallélipipède, l’élasticité de la même portion, lorsqu’elle remplira le second, se trouvera, en négligeant ce qui se doit négliger,
ou
Soit prise maintenant la différence de cette quantité, en ne faisant varier
que et l’on aura, étant constant,
pour la différence d’élasticité de deux particules infiniment voisines et placées dans la direction de la ligne donc, si l’on considère une autre particule intermédiaire à celles-ci, et qui leur soit contiguë par tous les points des deux faces opposées
d\mathrm Yd\mathrm Z,
il est clair que cette particule sera repoussée par l’excès de l’élasticité de la particule antérieure sur celle de la particule postérieure avec une force qui sera exprimée par
Cette force, divisée par la masse à mouvoir, qui est ici (en posant pour la densité naturelle du fluide) sera donc étant l’espace qu’un corps pesant parcourt dans le temps d’où l’on aura l’équation
On trouvera de même, par un semblable raisonnement, les deux autres équations
Il est visible que ces trois équations s’accordent avec celles de M. Euler, en posant, selon les hypothèses de cet Auteur, et substituant et pour et
11. Au reste, ces formules sont fondées sur l’hypothèse que l’élasticité de l’air soit proportionnelle à sa densité ; mais il n’est pas difficile de les étendre à telle autre hypothèse qu’on voudra.
Pour embrasser la question dans toute la généralité possible, supposons que l’élasticité de l’air soit comme une fonction quelconque de la densité, de sorte que nommant la densité dans un instant quelconque, l’élasticité correspondante soit exprimée par il est clair, par les calculs du numéro précédent, que
donc, à cause de infiniment petits par rapport à on aura
marquant une telle fonction de que
Maintenant, comme est une quantité constante, les différences de seront exprimées simplement par
d’où l’on voit que, pour avoir les équations du mouvement du fluide, il ne faudra qu’écrire au lieu de dans les calculs du numéro précédent, ou simplement en posant
Si le fluide était composé de parties de différentes densités, il faudrait regarder alors la quantité non plus comme constante, mais comme une variable exprimée par quelque fonction de Ainsi, on parviendrait aux trois équations suivantes :
Supposons, par exemple, que la différente densité des particules du fluide vienne du poids du fluide supérieur ; dans ce cas, quelle que soit la fonction on aura toujours, en supposant que la direction de soit verticale,
d’où l’on trouvera la valeur de qui sera une fonction de seulement. De là on pourrait tirer les équations nécessaires pour trouver les lois de la propagation du son, en ayant égard à la densité variable des couches de l’atmosphère ; mais, pour ne pas trop nous engager dans des difficultés de calcul, nous nous contenterons dans tout le cours des recherches suivantes de regarder la densité de l’air comme constante ; ce qui ne nous éloignera pas sensiblement de la vérité, pourvu qu’on ne considère la propagation du son que près de la surface de la terre. C’est donc sur les équations du numéro précédent que nous fonderons principalement nos recherches sur la propagation du son ; mais, comme ces équations sont encore trop compliquées à cause des trois variables qu’elles renferment, il sera bon de commencer par les simplifier au moyen de quelques hypothèses qui limitent le mouvement de chaque particule de l’air. Or, de toutes les hypothèses qu’on peut employer pour cela, les plus commodes et les plus conformes à la nature sont les deux suivantes. La première consiste à imaginer la masse de l’air réduite à une simple ligne physique, dans lequel cas on fait disparaître à volonté deux variables, quelconques et avec leurs correspondantes et La seconde hypothèse est de supposer que les ébranlements se propagent dans toute la masse de l’air par des ondulations sphériques autour du corps sonore ; dans ce cas chaque couche concentrique d’air est supposée subir le même ébranlement dans toutes ses parties ; d’où il suit que la détermination de l’ébranlement de chaque couche ne peut dépendre que du temps et du rayon de la couche, c’est-à-dire de la distance du corps sonore.
§ I. — De la propagation du son dans une ligne physique d’air.
12. Si l’on fait, selon la première hypothèse,
et qu’on pose, pour abréger, au lieu de on trouve l’équation
qui est la même que celle que nous avons appris à construire dans le Problème I, dénotant ici la même chose que d’où il suit que, pour avoir les lois de la propagation du son dans cette hypothèse, il ne faudra qu’appliquer la construction donnée, suivant les différents ébranlements excités par les corps sonores et la nature du milieu élastique qui les environne. Quoique cette matière ait déjà été traitée dans la seconde Section de mes Recherches sur le Son, elle peut néanmoins l’être encore d’une manière beaucoup plus générale. Je la reprendrai donc ici avec d’autant plus de plaisir qu’elle me donnera occasion de faire plusieurs remarques nouvelles et importantes.
Que la droite (fig. 11) représente une ligne physique d’air étendue
Fig. 11.
d’un côté et de l’autre à l’infini, et qu’au lieu de supposer, comme je l’ai fait dans la Section citée, que la seule particule reçoive du corps sonore une impulsion quelconque, on imagine que toutes les particules contenues dans l’espace soient ébranlées en même temps, représentant, suivant M. Newton, la pulsion primitive de la fibre sonore ; il s’agit de déterminer les lois de la propagation de cette pulsion. Ayant tracé pour cela, selon ce qui a été enseigné plus haut, les deux courbes fondamentales, qui représentent les déplacements primitifs des particules, avec les vitesses qui leur ont été imprimées, et ayant construit de même les deux autres courbes qui résultent de la quadrature et des tan-
gentes de celles-ci, et que nous appellerons dorénavant courbes dérivées, on remarquera :
1o Que les courbes fondamentales se termineront nécessairement aux deux points et qui sont les limites de l’agitation primitive, par supposition ;
2o Que, puisque la fibre aérienne est supposée s’étendre à l’infini de part et d’autre, aucune de ses particules ne pourra être absolument fixe ; d’où il suit que les extrémités et des courbes fondamentales, qui sont censées fixes, devront dans ce cas être reculées à l’infini, ce qui fera disparaître toutes les branches de continuation, en sorte que les courbes génératrices ne renfermeront aucune ordonnée réelle au delà des points et
3o Qu’il en sera de même pour les courbes dérivées, excepté celle qui dépend des quadratures, laquelle dégénérera du côté de en une droite parallèle à l’axe, comme il est facile de le voir en examinant la génération de cette courbe.
Ces choses posées et bien entendues, voici comment je raisonne. Je suppose que l’on demande l’état de la particule qui répond à l’abscisse pour un temps quelconque écoulé depuis le premier instant du mouvement. Je n’aurai qu’à prendre la demi-somme des ordonnées dont les abscisses sont et dans les deux courbes fondamentales, et la demi-différence des ordonnées pour les mêmes abscisses dans les courbes dérivées, et joignant ensemble la première des demi-sommes et la seconde des demi-différences, comme aussi la seconde demi-somme et la première demi-différence, j’aurai l’espace parcouru par la particule pendant le temps donné et sa vitesse à la fin de ce temps. Je vois donc que cet espace et cette vitesse seront toujours nulles, lorsque l’abscisse restera en deçà du point ensuite que l’espace sera constant et la vitesse nulle, lorsque l’abscisse tombera au delà de D’où je conclus que, pour un temps quelconque il n’y aura et il ne pourra y avoir d’autres particules en mouvement que celles pour lesquelles la valeur de sera plus grande que la distance du point au point et moindre que la distance du point au même point qui est toujours l’origine des abscisses, quoique placé à une distance infinie. Examinons séparément les deux cas de et de
Soit la distance entre le point et le point et soit sera une nouvelle abscisse qui aura son origine en Posons maintenant en premier lieu
on aura
posons ensuite
on aura
Par là on peut avoir les limites de l’agitation des particules dans le temps en tant qu’elle résulte des termes dépendant de l’expression car il ne faut que prendre sur la ligne les points et tels que et et la portion de la fibre sera la seule où cette agitation aura lieu. On trouvera de la même manière les limites de l’agitation des particules qui dépend de la valeur de car, en faisant
on a deux valeurs de savoir
On prendra donc de nouveau, sur la même ligne prolongée du côté opposé, deux autres points et tels, que et c’est-à-dire que et tous les mouvements, dont la détermination dépendra de la valeur de seront renfermés dans ce dernier espace
De ce qu’on vient de démontrer il s’ensuit que la pulsion primitive,
. c’est-à-dire l’onde excitée par le corps sonore dans l’espace de la libre aérienne indéfinie, s’est comme divisée en deux autres, qui, dans le temps ont été transportées, l’une à droite en et l’autre à gauche en conservant toujours la même étendue Pour connaître la vitesse de la propagation de ces pulsions secondaires, on n’a qu’à chercher celle des points et dont la position par rapport à est déterminée généralement par les équations
donc puisque représente ici les espaces parcourus par ces points dans le temps il est évident que leur mouvement sera uniforme et leur vitesse égale à et que cela aura lieu quelle qu’ait été la nature de la pulsion primitive. Il est inutile de nous arrêter à examiner la valeur de qui est
puisque cette expression, en substituant pour la quantité ou qui est sa valeur, devient la même que celle qu’on a trouvée ailleurs (LVI), et que M. Newton a déduite de sa théorie, comme on l’a déjà remarqué ci-dessus (1).
13. Ce serait ici le lieu de faire voir l’application de la formule générale que nous avons trouvée d’après les Principes de M. Newton dans le numéro cité ; mais cette formule étant entièrement semblable à celle que M. d’Alembert a donnée sur les vibrations des cordes, il est clair qu’en admettant les fonctions discontinues qui sont indispensables dans la matière dont il s’agit ici (4), on aura la même construction que nous avons donnée (7), et que, par conséquent, la théorie de la propagation du son qui en résultera ne sera point autre que celle qui vient d’être expliquée. Parla on prouvera aisément ce que l’on a avancé plus haut (1), que la vitesse de la propagation, selon cette théorie, est déterminée par la quantité qui divise dans les fonctions et
14. La manière dont nous venons de considérer la propagation du son est beaucoup plus générale et plus conforme à la nature que celle qu’on a employée dans le Chapitre I de la Section II des Recherches précédentes. En effet, l’hypothèse que j’avais adoptée dans cet Ouvrage, savoir qu’une seule particule d’air fût ébranlée par le corps sonore à chacune de ses vibrations, ne paraît pas pouvoir subsister avec l’équilibre mutuel de toutes les particules de la fibre ; il me semble beaucoup plus naturel d’imaginer que la première particule poussée par le corps sonore condense jusqu’à une certaine distance les particules suivantes, pourvu que cette distance ne soit pas telle, que les pulsions ou ondes sonores qui se succéderont les unes aux autres puissent se troubler et s’entre-détruire, comme il arriverait nécessairement si le temps qu’elles mettent à parcourir leur largeur était moindre que l’intervalle du temps entre deux vibrations successives du corps sonore. On pourra déterminer les limites de la plus grande largeur des ondes, en prenant le nombre des vibrations que fait dans une seconde le son le plus aigu que nous puissions entendre et divisant par ce nombre l’espace que les ondes sonores parcourent dans le même temps. Ce nombre peut se déduire rigoureusement de la formule connue des vibrations des cordes, que nous avons démontré être exacte pour quelque figure que la corde prenne ; si donc on s’en tient à ce que dit M. Euler dans l’Article XIII de sa Théorie de la Musique, on aura le nombre par lequel divisant le nombre qui exprime en pieds l’espace parcouru par le son dans une seconde, selon les expériences moyennes, il viendra pour quotient pouce et lignes environ, qui sera par conséquent la mesure de la plus grande étendue que puissent avoir les ondes sonores pour former des sons distincts et perceptibles à l’oreille.
15. Jusqu’ici nous n’avons encore considéré que le mouvement progressif des ondes sonores ; si on voulait aussi connaître les mouvements particuliers qui les composent, on les trouverait aisément par les principes établis ci-dessus.
Supposons que ou bien soit donné, au lieu de dans les équations
la différence des deux valeurs de nous donnera la durée du mouvement de chaque particule de l’onde laquelle sera Or, puisque est la vitesse constante avec laquelle les ondes avancent continuellement, il est clair que l’agitation de chaque particule ne durera précisément que le temps que l’onde met à parcourir toute sa largeur Il en sera de même pour les ondes propagées du côté opposé, ce qu’il est aisé de reconnaître par le moyen des deux équations
qui leur appartiennent.
Pour ce qui est de la nature de chaque mouvement particulier, il faudra la déterminer par la construction générale des espaces et des vitesses.
On trouvera pour cela :
1o Que toutes les particules subissent successivement la même agitation dépendante de la nature de toute la pulsion primitive ;
2o Que, si on suppose que la pulsion primitive consiste dans le seul déplacement des particules, sans aucune vitesse imprimée, l’agitation de chaque particule ne sera composée que d’une seule allée et d’un retour à son lieu d’équilibre, après lequel elle demeurera immobile ;
3o Que, si l’on suppose au contraire que la pulsion primitive ne consiste que dans l’impression d’une certaine vitesse, les particules, pendant tout le temps de leur agitation, s’écarteront continuellement de leurs points d’équilibre et n’y reviendront plus comme auparavant ;
4o Qu’enfin, si la pulsion primitive dépend de l’une et de l’autre cause, l’agitation des particules sera composée de celles dont nous venons de parler, ce qui paraît être le cas de la nature.
16. M. Euler, dans une lettre du 23 octobre 1759, m’a fait l’honneur de me mander que la lecture de mes Recherches sur le Son lui avait suggéré le dénoûment d’une difficulté qui s’était présentée à lui depuis longtemps. Cette difficulté consistait à savoir pourquoi, les ébranlements primitifs se répandant d’abord naturellement de deux côtés opposés, les ébranlements dérivatifs ne se propagent plus que d’un seul côté et toujours suivant la même direction. La raison de cette différence dépend de la nature particulière des ébranlements dérivatifs, qui est telle que leur propagation ne peut avoir lieu que d’un seul côté.
Pour s’en convaincre, qu’on examine les formules des valeurs de et de trouvées à la fin du no 6, et supposant que et soient les excursions et les vitesses données, qu’on cherche celles qui en résultent pour un temps quelconque et pour une particule quelconque déterminée par l’abscisse Il est visible qu’il n’y a pour cela qu’à substituer à la place de et à la place de et désignant par et les valeurs cherchées, on aura
Maintenant on sait, par ce qu’on a démontré (12), que les termes dont les exposants sont sont les seuls qui déterminent la propagation suivant la direction et que la propagation suivant dépend simplement des termes qui renferment la quantité donc, pour connaître la propagation des ébranlements de l’onde il ne faudra substituer, au lieu de et de que les seuls termes
ce qui donnera, en posant au lieu de dans les exposants,
Dans ces formules il est visible que les termes dont les exposants renferment la quantit s’évanouissent tous d’eux-mêmes, et qu’il ne reste que ceux où la même quantité se trouve avec le signe négatif ; d’où il s’ensuit que la propagation des ébranlements et ne peut se faire que dans le seul sens
On prouverait la même chose pour les ébranlements propagés d’abord suivant la direction opposée car, en substituant pour et les seuls termes dont les exposants contiennent on verra que les formules résultantes ne seront composées que de termes où la quantité se trouvera avec le signe
17. Nous avons supposé ci-dessus que la fibre aérienne était infinie de l’un et de l’autre côté, et cette hypothèse nous a donné des courbes génératrices composées d’une seule branche terminée de part et d’autre, et pour ainsi dire isolée. Mais il n’en serait pas de même si la fibre était elle-même terminée des deux côtés ou d’un côté simplement ; car, puisque la manière de continuer les courbes fondamentales et dérivées est générale, et que les extrémités fixes de la fibre sont les points autour desquels on doit, pour ainsi dire, faire tourner chaque branche pour en avoir la continuation, ainsi qu’on l’a enseigné (7), il est évident que, dans le cas d’une seule extrémité fixe, les courbes génératrices seront composées de deux branches égales et semblablement situées de part et d’autre du point qui constitue cette extrémité, et que dans le cas de deux extrémités fixes les courbes génératrices auront un nombre infini de branches égales et semblablement situées autour des deux points qui constituent les extrémités données. De là, si on cherche la propagation des ondes sonores par la méthode du no 12, on trouvera sans beaucoup de peine que chaque onde, venant rencontrer une des extrémités fixes, devra se réfléchir, pour ainsi dire, et retourner en arrière avec la même vitesse et conservant la même nature qu’elle avait avant la réflexion, d’où il résultera des échos simples ou composés, ainsi qu’on l’a expliqué (Chapitre II de la Section II des Recherches précédentes).
Je ne m’arrêterai pas ici à démontrer plus en détail cette théorie des échos, non plus que les autres propriétés du son, qui dépendent des principes que nous venons d’établir. Il ne faut que relire attentivement la Section citée pourvoir que les propositions qu’on a démontrées, en ne considérant que des mouvements instantanés dans les particules de l’air, sont aussi vraies dans l’hypothèse présente des ondulations.
Mais il est un point essentiel de la théorie du son, dont on n’a pas encore parlé jusqu’à présent ; c’est son intensité. Or, de ce que les ondes sonores ne souffrent aucune altération en parcourant un espace quelconque, comme on l’a fait voir (12), il est simple de conclure que l’intensité du son sera constante et indépendante de la distance du corps sonore. Mais_ cette conclusion ne peut avoir lieu que dans l’hypothèse que le son soit obligé de suivre une seule et même direction, comme si l’on supposait l’air renfermé dans des tuyaux ou des conduits assez étroits par rapport à leur longueur ; ainsi, dans les aqueducs de Rome, le P. Kircher rapporte que les sons ne reçoivent point de diminution sensible par l’espace de pieds environ. Il n’en est pas de même pour l’air libre, dans lequel le son se propageant de tous côtés à la ronde doit s’affaiblir à mesure qu’il s’éloigne du corps sonore ; et c’est ce que l’expérience journalière apprend, et que nous allons aussi démontrer par la théorie, en adoptant la seconde hypothèse du no 11 qui reste encore à examiner.
§ II. — De la propagation du son dans l’hypothèse des ondes sphériques.
18. Dans cette hypothèse on conserve à la masse de l’air ses trois dimensions ; mais on suppose que, ayant pris un point fixe pour centre, toutes les particules qui se trouvent dans la direction de chaque rayon se meuvent sans sortir de cette direction, et que leurs mouvements ne dépendent que du temps et de la distance de chacune d’elles au centre. De là il est clair qu’il doit se former dans l’air des ondulations sphériques et concentriques ; dont la détermination soit contenue dans une seule équation, de même que dans le cas de l’hypothèse précédente. Cette équation peut se trouver soit par l’application des formules générales, ainsi que l’a fait M. Euler dans son Mémoire [Miscellanea Taurinensia, t. II p. 1), ou plus simplement encore, quoique avec moins de rigueur, en considérant le mouvement d’un fluide élastique renfermé dans un tuyau conique, comme on le verra plus bas. Nous nous contenterons pour le présent d’emprunter l’équation de M. Euler et d’y appliquer notre méthode, afin d’avoir une construction qui ne soit point assujettie à la loi de continuité, comme l’exige la théorie de la propagation du son. Cette équation, en substituant pour et pour se réduit à celle-ci
qui peut être traitée de la même manière que celle du Problème I.
19. Problème ii. — Conservant les mêmes noms et les mêmes suppositions du Problème I, avec cette seule différence que les mouvements des particules soient contenus dans l’équation construire cette même équation.
Je commence par multiplier l’un et l’autre membre par étant une fonction quelconque de ensuite j’intègre en ne faisant varier que j’ai
Je transforme d’abord l’intégrale
en
ensuite en
Je change de même l’autre intégrale
en
et je tire par la substitution la nouvelle équation
Je dois maintenant supposer tel que
lorsque et lorsque or, puisque l’on a déjà dans ces deux cas par hypothèse, il suffit que le soit aussi, ce qui donnera les mêmes conditions à remplir par les constantes de que l’on a eues dans le Problème I.
L’équation restante sera donc
où il faudra supposer
Cette équation en est intégrable par les méthodes connues ; mais en voici une qui est, si je ne me trompe, la plus simple qu’on puisse employer dans ce cas.
Soit supposé on aura par la substitution
Je vois que cette équation peut s’écrire ainsi
donc si l’on fait on aura
d’où l’on tire
et intégrant par les logarithmes,
ou bien en passant aux exponentielles, avec l’addition d’une constante
donc
Il faut maintenant, pour avoir la valeur de intégrer la quantité Or il est visible que si l’on substitue pour son expression telle qu’on
vient de la trouver, on a une différentielle qu’il serait assez difficile, peut-être impossible, de ramener à l’intégration ; mais on peut simplifier beaucoup le calcul, en supposant l’arbitraire nulle ou infinie ; dans le premier cas on a
et dans le second
et combinant l’une et l’autre valeur,
On aura donc
et par conséquent, en ajoutant une constante
ou bien, à cause de l’ambiguïté des signes,
Or il faut que lorsque d’où il suit que et par conséquent donc en changeant la valeur de la constante
ou bien encore
Telle est la valeur de qu’il fallait trouver ; si l’on en prend la différence, on a
d’où l’on voit qu’au commencement où on a aussi de
sorte que le terme s’évanouit de lui-même, sans qu’il soit besoin de supposer dans ce point ; ce qui nous montre que la valeur de pourra être ici tout ce que l’on voudra.
Il faut maintenant déterminer par la condition que devienne nul lorsque on aura donc pour cela
ce qui donne
c’est-à-dire que l’angle devra être égal à sa tangente. Cherchant donc un tel angle et le nommant on aura
Quoiqu’il soit impossible d’exprimer cet angle algébriquement, on peut néanmoins, par la seule considération du cercle, se convaincre qu’il n’est pas unique et déterminé, mais qu’il y en a une infinité qui ont tous la même propriété, de sorte que aura aussi une infinité de valeurs différentes qui satisferont toutes également. On peut voir dans le tome II de l’Introduction à l’Analyse des infiniment petits de M. Euler le dernier Problème du Chapitre XXII, où l’on trouvera une manière assez simple de déterminer tous ces angles par approximation. Au reste, nous n’aurons pas besoin dans la suite de connaître leurs valeurs, il nous suffira de savoir que leur nombre est infini.
Après avoir ainsi déterminé la variable si on suppose, comme dans le Problème I, et qu’on pratique les mêmes différentiations à l’égard de notre dernière équation intégrale deviendra qui est la même que nous avons déjà intégrée dans le Problème cité. On aura donc ici de même
et mettant à la place des quantités et leurs valeurs en et
Il faut maintenant substituer la valeur de et faire les autres opérations que demande notre méthode ; mais comme cette valeur de est différente de celle du Problème I, il est clair que les mêmes procédés que nous avons suivis alors ne suffiront pas à présent ; on pourra cependant s’en servir de nouveau avec succès, en préparant par une simple transformation les expressions avec les deux autres et de la manière que voici. Substituant la valeur de j’ai d’abord
or il est clair que si l’on n’avait que le premier membre de cette expression, on serait exactement dans le cas du Problème I ; il ne s’agira donc que de ramener aussi le second membre à la même forme ; pour cela je change d’abord la formule
en
ensuite je remarque que, puisqu’on suppose que les intégrales ne s’é-
tendent que depuis jusqu’à le terme algébrique, qui est de lui-même égal à zéro dans le cas de et qui le devient aussi dans le cas de à cause que s’évanouit par hypothèse, ce terme, dis-je, devra être entièrement effacé, de sorte que l’on aura simplement
Substituant donc cette transformée dans l’expression de elle deviendra
Faisant des opérations semblables sur les autres expressions intégrales, et supposant pour plus de simplicité
nos deux équations intégrales deviendront
Ces équations sont réduites à l’état de celles que nous avons appris à construire dans le Problème précédent. Il sera donc facile de leur appliquer la même méthode ; or, puisque tout se réduit à faire disparaître la quantité à cause du nombre infini de valeurs dont elle est susceptible, il est clair que quoique ces valeurs ne soient pas les mêmes ici que dans le Problème cité, néanmoins les résultats des opérations seront parfaitement semblables, en sorte qu’il ne faudra que substituer et à la place de et pour avoir tout d’un coup
Remettant à présent au lieu de leurs valeurs en et on aura deux équations qui détermineront les deux variables inconnues et par les données et pour un temps quelconque
20. Les deux formules que nous venons de trouver étant parfaitement analogues à celles du Problème I admettront aussi une construction semblable à celle qu’on a déduite des courbes fondamentales et dérivées (7). Supposons donc ici que les courbes (fig. 1 et 2, p. 151 et 152) soient les lieux des valeurs de et de savoir de et de pour chaque abscisse et que les autres courbes (fig. 3 et 4, p. 168) en dépendent de la manière qu’on a dit dans le numéro cité ; on aura pour une abscisse quelconque et pour un temps quelconque
Si on désigne par et ces valeurs de et de sorte que
on aura en intégrant, après avoir multiplié par
et de même
Que et représentent deux fonctions quelconques régulières ou irrégulières, telles que
on aura
et
et par conséquent
donc
Soit supposé
et ainsi pour la fonction on aura
traitant de la même manière les autres formules intégrales qui composent les valeurs de et de on aura, après toutes les substitutions,
21. On peut simplifier ces expressions de la manière suivante. Au lieu de je pose simplement et au lieu de je substitue de même la seule expression et étant de nouvelles fonctions variables différentes de et et prenant les différences de la manière indiquée ci-dessus on obtiendra les formules
lesquelles s’accordent pour le fond avec celles que M. Euler a données dans ses Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique (Miscellanea taurinensia, t. I, p. 9), où il nomme ce que nous avons appelé et ce que nous avons nommé
22. La construction trouvée au commencement du no 20 n’est bonne que pour les cas où n’est pas plus grand que ni moindre que zéro, puisque les valeurs de et de ne sont données que pour la simple étendue de l’axe . Il faut donc chercher ici, comme on l’a fait dans le Problème I, une manière de continuer les courbes au delà des points et Pour cela, ayant conservé la construction du no 7 avec la même équation des courbes on examinera leur cours au delà des points et en supposant (19) la quantité déterminée par l’équation
Pour ce qui regarde la branche qui est du côté des abscisses négatives, rien n’est d’abord plus facile que de la trouver ; car faisant négatif, devient simplement négatif sans changer de valeur, d’où il s’ensuit que cette branche ne doit être que la branche même renversée de la manière qu’on l’a déjà fait (fig. 6, p. 168). Ainsi on prouvera de nouveau, par le même raisonnement du no 7, que la partie des aires qui répond à l’abscisse sera la même que celle qu’on pourrait former sur l’abscisse en employant la courbe et la courbe continuée au-dessous de l’axe de la même manière que la courbe d’où l’on voit que la continuation de la courbe au delà de sera aussi la même que celle qu’on a pratiquée dans la fig. 7, p. 169.
Mais il n’en sera pas ainsi pour la continuation au delà de car n’ayant plus dans le cas présent des valeurs égales et contraires autour du point qui répond à la branche ne saurait non plus être la même que la renversée. Il ne serait pas difficile de connaître la nature de cette branche mais cela ne servirait de rien pour l’objet présent, puisque la méthode du no 7 demande que la branche puisse être substituée à la place de la branche afin qu’on ait la courbe entière qui soit la même que la courbe et que la courbe Pour remplir cette condition il n’y a pas d’autre moyen que de transformer chaque portion d’aire qui répond à en une autre égale et dans laquelle la branche soit semblable et diamétralement opposée à la branche comme dans la fig. 6, p. 168. Examinons pour cela cette expression intégrale
laquelle étant prise depuis le point où jusqu’au point exprime l’aire formée par les produits des ordonnées des deux courbes relativement à l’espace et voyons si l’on peut la changer en une autre de la forme de
désignant une quantité quelconque donnée en
Je prends cette autre expression
et je la change dans son égale
Je substitue ensuite à la place de la quantité tirée de l’équation qui détermine la valeur de et je fais évanouir à l’aide d’une intégration par parties le coefficient introduit par cette substitution ; j’ai ainsi
Le terme algébrique de cette transformée s’évanouit de lui-même lorsque donc, si l’on suppose lorsque (nous verrons ci-après que cette supposition est possible), on pourra l’effacer entièrement, et la première transformée deviendra par la substitution
Développons à présent les produits des sinus et cosinus ; on aura l’équation
et réduisant,
Comparant donc les deux membres de cette équation avec les formules proposées
on aura
d’où l’on déduira le rapport entre et Multipliant la première équation par et intégrant, il vient
et
d’où l’on tire, en substituant,
Or, nous avons supposé que était égal à zéro lorsque on satisfera donc à cette condition en prenant l’intégrale telle qu’il s’évanouisse dans ce cas ; il ne faudra pour cela que poser au lieu de et au lieu de et commencer l’intégration avec les abscisses du point en allant vers on aura par ce moyen
Telle est la valeur de qui, étant prise au lieu de pour multiplier chaque ordonnée correspondante de la branche produira une aire égale à celle qui se formerait en multipliant la valeur de par l’ordonnée correspondante non pas de la branche mais de celle qui serait la vraie continuation de la courbe dans notre cas. De là et du raisonnement du no 7, il n’est pas difficile de conclure que la portion d’aire qui répond naturellement à dans la formule
peut être changée en une autre formée sur par les ordonnées de la branche et par celles d’une autre branche, comme la (fig. 12),
Fig. 12.
qui serve, pour ainsi dire, de continuation à la courbe fondamentale et qui soit telle qu’en prenant de part et d’autre de les abscisses égales on ait toujours
Voilà donc comment il faudra continuer la courbe fondamentale au delà de pour pouvoir faire usage de la construction donnée ci-dessus lorsque a des valeurs plus grandes que
Tout ce que nous avons jusqu’ici enseigné sur la manière de continuer cette courbe d’un côté et de l’autre s’appliquera aussi à l’autre courbe fondamentale et encore aux courbes dérivées pourvu que dans ces dernières on ait soin de placer les deux branches de continuation au-dessus de l’axe par la raison qu’on a dite à la fin du no 7.
La construction qu’on vient de trouver n’est encore suffisante que pour les cas où est contenu entre les limites et Pour lui donner toute la généralité possible, reprenons la formule
qui a été changée en
posant on aura
d’où l’on voit que l’abscisse peut être diminuée de pourvu qu’on change l’ordonnée en de même, si est une fonction de telle que l’est de on pourra diminuer de l’abscisse qui se rapporte à en changeant en donc on pourra aussi diminuer l’abscisse de de en changeant immédiatement en et ainsi de suite. De là il résulte que le reste de la continuation des courbes, soit fondamentales, soit dérivées, au delà du point pourra se déduire aisément de la branche qui répond à l’abscisse car on n’aura qu’à transformer successivement cette branche en d’autres, dont les ordonnées aux mêmes abscisses se répondent entre elles comme les expressions et appliquer ensuite par ordre et suivant la direction toutes ces branches l’une à côté de l’autre le long de l’axe prolongé à l’infini.
Par un raisonnement tout opposé, on prouvera que la continuation des mêmes courbes au delà de se fera par un assemblage semblable de branches dérivées l’une après l’autre de la seule branche qui répond à l’abscisse mais avec des opérations contraires aux précédentes, savoir, de manière que les ordonnées qui répondent à une même abscisse dans chaque branche, à commencer du point soient entre elles comme les quantités et
Par là on trouvera sans difficulté que les courbes dont il s’agit auront autour du point une figure semblable, avec cette seule différence que pour les courbes fondamentales les deux branches infinies de part et d’autre de seront diamétralement opposées, savoir, l’une au-dessus, l’autre au-dessous de l’axe, et que pour les courbes dérivées, les branches seront l’une et l’autre du même côté de l’axe ; d’où il s’ensuit qu’ayant exécuté la continuation du côté des abscisses positives à l’infini, suivant ce qu’on a dit ci-dessus, on n’aura plus qu’à renverser la même courbe au delà de et au-dessous ou au-dessus de l’axe, selon qu’elle appartiendra aux fondamentales ou aux dérivées.
23. Par la méthode qui vient d’être expliquée, nous avons la manière de continuer de part et d’autre à l’infini les courbes qui dépendent des valeurs de et de données à volonté dans le premier instant du mouvement, sans s’embarrasser que les différentes branches de ces courbes soient liées entre elles par la loi de continuité. Mais, si on voulait se borner à admettre cette loi, on pourrait obtenir les mêmes résultats avec beaucoup moins de peine par la simple considération des formules données à la fin du no 20. Toute la difficulté se réduirait à chercher la nature des fonctions et au delà des points et par la condition que et soient égaux à zéro dans ces points, quelque valeur qu’on suppose à
Posons d’abord dans ces formules on aura les équations
De ces deux équations il suffira de vérifier la première, puisque la seconde n’en est que la différentielle divisée par mais il se présente dans cette opération une difficulté, car les termes étant divisés les uns par les autres par on peut être en doute si, en faisant à part égaux à zéro les numérateurs de et de toute la formule disparaîtra, à cause que est déjà lui-même égal à zéro. Pour lever cette difficulté, supposons que au lieu d’être tout à fait nul, soit seulement infiniment petit et égal à et développons chaque fonction suivant la formule connue
en effaçant ce qui se détruit et en négligeant les termes qui se trouvent multipliés par des puissances de on aura l’équation
qui doit être vraie indépendamment de la quantité donc on aura
équations auxquelles on satisfera en posant
ou bien, en différentiant,
Or, étant une variable qui peut croître à l’infini en commençant à zéro, pourra représenter une abscisse quelconque positive ; donc la nature des fonctions et devra être telle que, faisant les abscisses négatives, ces fonctions deviennent simplement négatives sans changer de valeur. Il en sera de même des fonctions et puisque, en différentiant deux fois les équations précédentes, elles deviennent
d’où l’on voit que les deux courbes qui représentent ces
fonctions, devront avoir de part et d’autre du point des branches égales et diamétralement opposées, ainsi qu’on l’a trouvé (22). Il n’en sera pas tout à fait ainsi pour les courbes et qui contiennent les fonctions et car on a pour ces fonctions
ce qui montre que les ordonnées doivent être exactement les mêmes à des abscisses égales, positives et négatives, et que par conséquent les branches autour de seront semblablement situées sur l’axe, ce qui s’accorde avec ce qui a été enseigné dans le numéro cité.
Examinons maintenant les valeurs des mêmes fonctions pour les abscisses qui surpassent l’axe donné Posant et on aura de nouveau deux équations ; la première sera
la seconde ne sera que la différentielle de celle-ci divisée par et par conséquent nous pourrons nous dispenser d’y avoir égard. Or, afin que les fonctions ne dépendent pas l’une de l’autre, on fera séparément
et
Différentions deux fois la première et trois fois la seconde ; on aura, en changeant les signes,
et
équations qui sont tout à fait semblables entre elles.
Je multiplie par et j’intègre ; j’ai
où l’on voit que la valeur de l’intégrale du dernier terme doit être égale à zéro lorsque puisque dans ce cas les deux autres termes se détruisent d’eux-mêmes. On aura donc
Or, si l’on fait et que l’intégration soit supposée commencer du point où on aura
ce qui nous fait connaître la manière dont les valeurs de la fonction qui sont de part et d’autre à distances égales de l’extrémité de l’axe, doivent être liées entre elles. Or il est aisé de voir, en relisant les nos 20 et 22, que dénote ici la même chose que et la même chose que donc l’équation précédente donne le même rapport entre et qu’on a trouvé dans le dernier des numéros cités, et par conséquent aussi la même continuation de la courbe au delà de Il est vrai que l’équation entre et donnée dans l’endroit mentionné n’était d’abord censée appartenir qu’à la seule portion de l’axe comprise depuis l’abscisse a jusqu’à l’abscisse et que pour toutes les autres abscisses plus grandes à l’infini, on a donné une manière générale de continuer la courbe au moyen des branches déjà connues ; mais il ne faudra que considérer toutes les branches de continuation au delà de pour s’apercevoir qu’elles auront constamment avec, celles qui sont en deçà de le même rapport que la quantité a avec la quantité
Ce qu’on vient de démontrer sur la fonction doit se dire de même de l’autre fonction qui appartient à la courbe et il ne sera pas difficile de l’appliquer aussi aux autres fonctions et pour les courbes et de faire voir le parfait accord qu’il y a entre les résultats de ces procédés et ceux qu’on a trouvés plus haut par une voie différente.
Cette matière aurait peut-être besoin d’être traitée avec un plus long détail que nous ne l’avons fait ici, mais ceux qui auront bien saisi l’esprit de nos méthodes n’auront pas de peine à suppléer d’eux-mêmes à ce qui peut manquer pour l’entière exactitude des démonstrations, sans qu’il soit nécessaire de nous étendre davantage là-dessus.
24. Il est à remarquer au reste que l’on abrégerait beaucoup la solution précédente, si, par le moyen de quelque substitution convenable, on parvenait à ramener tout d’un coup l’équation
à la forme
Or pour cela il n’y aurait qu’à supposer
ce qui donne, en différentiant,
et substituant,
multipliant par et différentiant de nouveau,
ou bien
équation réduite au cas du Problème I. Or, puisque la valeur de est ici égale à
telle qu’on l’a supposée dans l’analyse du Problème précédent, il est facile de voir que la solution qu’on aura de cette façon reviendra entièrement à celle qu’on a déjà trouvée. Il est vrai qu’il faudra pour cela que la quantité ait aussi les mêmes valeurs, et c’est ce qu’il sera aisé de prouver, car ou sait que la détermination de dépend de la condition que les termes algébriques disparaissent lorsque (voyez Problème I). Or on a ici
donc
d’où l’on aura, en posant et l’équation
Maintenant, puisque doit toujours disparaître lorsque quel que soit le temps on aura aussi
et, par conséquent, par l’équation fondamentale,
d’où l’on tire
laquelle valeur substituée, on aura
ou bien
Or étant égal à (6), on aura, en substituant et posant ensuite
d’où l’on tire, comme dans le no 18,
Il y a encore une autre substitution qu’on pourrait employer au lieu de la précédente ; cette substitution consiste à faire
ce qui réduira l’équation en à une équation en de la forme de
et cette équation étant construite par la méthode du Problème I, on aura pour la valeur de des formules analogues à celles qu’on a trouvées à la fin du no 20.
Application de la solution précédente à la recherche des lois de la propagation du son.
25. L’application du Problème précédent à la théorie de la propagation du son se présente d’elle-même. Imaginons un corps sonore quelconque mis en vibration au milieu d’un air tranquille, homogène et libre de tous côtés ; il est visible que ce corps peut être regardé comme placé sensiblement au centre d’une sphère aérienne d’une étendue indéfinie ; donc on ne s’écartera que très-peu de la vérité en calculant les mouvements communiqués à toute la masse de l’air, dans l’hypothèse des ondulations sphériques du no 18 et d’après la construction donnée dans les nos 20 et suivants.
Pour cela, ayant mené la ligne indéfinie qui représente le rayon de la sphère totale d’air qui environne le corps sonore, soit pris pour le
Fig. 13
rayon de la petite sphère dans laquelle sont contenues les particules qui ont reçu leur mouvement primitif du corps sonore placé en et soient tracées sur la ligne les courbes qui représentent les valeurs données de et que nous avons appelées courbes fondamentales ; il suit du no 22 que chacune de ces deux courbes devra être continuée du côté opposé avec une branche semblable, égale et diamétralement opposée à la première. Il est vrai que cette proposition n’a été démontrée que pour les courbes qui représentent les variables et mais il est facile de voir qu’elle a également lieu ici, où, à cause de au point les valeurs de et deviennent et On prouvera de même que les autres branches de continuation qui, suivant la théorie du numéro cité, devraient être ajoutées du côté disparaîtront entièrement à cause du rayon infini, de sorte que les courbes génératrices seront toutes renfermées dans le seul espace Or, cela posé, qu’on demande pour un temps quelconque les mouvements des particules qui composent la
fibre rectiligne mouvements qui selon l’hypothèse doivent être sensiblement les mêmes pour toutes les autres fibres partant du centre
Soit, pour faciliter cette recherche, il est évident qu’il faudra rejeter dans la construction du no 20 les termes qui répondent aux abscisses ces termes ne pouvant ici produire aucune valeur réelle ; il n’y aura donc que les termes relatifs aux abscisses qui entrent dans la détermination des quantités et d’où dépend la connaissance des mouvements en question. Ayant pris (fig. 13, p. 217) sur la ligne le point tel, que et ayant coupé de part et d’autre les parties égales à et je transporte en les deux courbes qui renferment les valeurs des et telles qu’elles ont été décrites sur le diamètre et prenant le point pour l’origine des abscisses je trouve pour une particule quelconque
Or, par les suppositions faites à la fin du no 19, on a généralement
l’origine des étant au point Mettant donc ici, pour transporter cette origine en au lieu de et intégrant après avoir multiplié par il viendra les deux équations suivantes :
Si l’on simplifie les expressions intégrales par la méthode des intégrations par parties et qu’on ajoute les constantes nécessaires, on aura
L’addition des constantes sert à rendre égal à zéro le dernier membre de chacune des équations précédentes lorsque ou ce qui est nécessaire, puisque alors les premiers membres disparaissent d’eux-mêmes ; ainsi, en supposant que les intégrations commencent toutes au point où les lettres représenteront les valeurs des intégrales prises depuis jusqu’à lesquelles sont les mêmes que si on les prenait de l’autre côté depuis jusqu’à Il faut néanmoins remarquer que dans la première équation l’on ne trouve point de constante qui fasse évanouir le terme dans le cas de c’est une omission que j’ai faite exprès à cause d’un nouveau terme qu’il faut encore ajouter à la même équation. Pour voir la raison de ceci, on n’a qu’à se souvenir de ce que, dans l’expression des valeurs de et de nous avons regardé comme généralement nuls tous les termes qui répondaient aux abscisses exprimées par il en est cependant
un qu’on ne peut pas négliger, c’est celui qui est exprimé par la formule intégrale
car il est évident que quoique les valeurs de disparaissent sur la ligne depuis le point l’intégrale conserve toujours la même valeur constante qu’on a désignée ci-dessus par de là il est facile de conclure qu’il faut ajouter à la valeur de le terme et par conséquent à la valeur de le terme lequel fera justement disparaître l’autre terme lorsque devenant alors égal à
Si l’on examine maintenant la forme des deux équations précédentes, on verra aisément que l’on peut se passer de l’addition des constantes, en donnant une autre origine aux intégrales et les faisant commencer du point en allant vers ainsi l’on aura plus simplement
26. Il est visible par ces formules que et sont toujours égaux à zéro lorsque la valeur de tombe au delà des points et d’où il suit que pour le temps donné il n’y a que la seule partie de la fibre qui soit en mouvement ; or, comme le point du milieu a été pris tel que il est évident que l’onde aérienne avancera toujours avec une vitesse constante et égale à qui est la même que nous avons trouvée plus haut dans la première hypothèse (12). On pourrait ici développer les lois particulières que chaque particule d’air observera dans ses mouvements, dépendamment des premières impressions et produites par le corps sonore ; mais laissant ces discussions peu importantes en elles-mêmes, nous nous contenterons de faire observer en général la variation des quantités et à mesure que le temps augmente.
Pour cela, comme l’espace est toujours très-petit (14), on peut, sans erreur sensible, lorsque le temps a déjà une valeur considérable, négliger par rapport à ainsi il viendra
d’où l’on voit qu’en général les valeurs de et de diminuent dans la raison inverse de ou de ce qui montre que la force ou l’intensité du son doit décroître à très-peu près dans la raison inverse des distances simples du centre de propagation.
Je ne pousserai pas plus loin l’examen de ces formules et je ne chercherai pas non plus à déduire de la théorie exposée dans le no 22 les lois de la réflexion qui aurait lieu dans l’hypothèse présente, si la masse de l’air était renfermée dans un vase sphérique de grandeur finie. Ces recherches étant de peu d’utilité, je me contenterai d’en avoir posé tous les principes dans la solution générale du Problème précédent.
chapitre iv.
application de notre méthode du chapitre ii à différentes hypothèses.
27. Les Problèmes dont nous allons maintenant nous occuper, quoique peu nécessaires pour la matière que nous traitons, serviront néanmoins à faire voir l’utilité et l’extension de notre méthode du Chapitre II ; ils pourront aussi être d’usage dans plusieurs autres points de la théorie du son.
Problème iii. — Construire l’équation
Multipliant par et pratiquant les mêmes réductions que dans le Problème II, on aura l’équation en
qu’il faudra intégrer. Or il est facile de s’assurer, au moyen de quelques transformations convenables, que cette équation tombe dans le cas général de Riccati et que par conséquent son intégrabilité dépend de certaines conditions qui se réduisent ici à ce que soit un nombre pair positif ou négatif ; mais la méthode ordinaire d’intégration pour ces mêmes cas est si laborieuse que je ne saurais me résoudre à la pratiquer ; d’ailleurs il ne suffit pas de trouver une expression algébrique de il faut de plus qu’elle soit telle, qu’on puisse dans la suite du calcul chasser aisément la quantité à l’aide de quelques réductions, comme on a fait dans les Problèmes précédents. Il m’a donc fallu imaginer une autre méthode, et voici comment je m’y suis pris.
Puisque l’on a trouvé pour le cas de qui est celui du Problème I, et pour le cas de dans le Problème II ce qui s’exprime plus simplement par on est assez fondé à croire que lorsque aura une valeur quelconque l’expression de sera de la forme suivante :
étant des coefficients à déterminer par la substitution et la comparaison des termes.
Mais pour embrasser une plus grande généralité, je suppose
et je regarde les quantités comme des fonctions variables de dont il faut chercher la valeur convenable à l’équation donnée.
Je commence par prendre la différentielle de que je mets sous la forme suivante :
Je trouve de même
On trouvera de plus par la nature de la fonction
Substituant ces valeurs dans l’équation
et ordonnant les termes par rapport à la variable on aura
d’où l’on tirera les équations particulières
qui sont très-aisées à résoudre ; dans l’intégration de toutes ces équations, à l’exception de la première, on peut négliger les constantes qui ne serviraient qu’à rendre les valeurs des quantités plus compliquées sans les rendre plus générales. Ainsi et étant les deux constantes de la première quantité on aura
où la loi de la progression est assez manifeste.
28. Dans ces formules on voit clairement que si est un nombre pair positif à commencer par la série des termes multipliés par devient exacte et finie, tandis que l’autre série, qui est toute multipliée par va à l’infini ; c’est tout le contraire lorsque est un nombre pair négatif à commencer de car dans ce cas la seconde série se termine après un nombre fini de termes, la première allant à l’infini ; d’où il suit que, puisque les quantités et sont absolument arbitraires, il n’y a qu’à faire dans le premier cas et dans le second, et l’on aura algébriquement la valeur de en en cherchant celle des coefficients dont le nombre est alors limité.
On pourrait au premier aspect former des doutes sur l’exactitude des formules précédentes, par la raison qu’elles ne paraissent pas satisfaire aux cas de et de dans lesquels on sait d’ailleurs que a une valeur finie.
Pour lever cette difficulté, il ne faut que recourir à l’intégration immédiate des équations qui doivent donner les valeurs de et de dans les deux cas proposés ; on trouvera pour le premier
et pour le second
c’est un inconvénient attaché à toutes ces sortes de formules générales d’intégration, d’être en défaut dans certains cas qui demandent un examen à part.
On pourrait encore être embarrassé dans l’usage des formules précédentes, lorsque puisque dans ces cas tous les termes de la série ou deviennent infinis, à l’exception seulement de quelques-uns des premiers. Mais il est aisé de se tirer de cet embarras, si l’on fait réflexion que les constantes et étant absolument arbitraires peuvent être supposées tout ce qu’on veut ; ainsi il n’y a qu’à faire ou égaux à ou à car ce détruisant celui du dénominateur, les termes qui étaient infinis redeviendront finis et se trouveront de nouveau multipliés par une constante arbitraire ceux au contraire qui étaient demeurés finis s’évanouiront par cette supposition ; d’où résulte la règle générale, savoir, de ne conserver que les termes qui reçoivent une valeur infinie, en les dégageant cependant de l’infini qu’ils renferment.
Ayant ainsi trouvé la valeur de il ne s’agit plus que de poursuivre le calcul de la même manière qu’on l’a fait dans le Problème I : on aura donc de nouveau les deux équations
substituant la valeur de
et faisant disparaître les différences de par la méthode des intégrations par parties, on obtiendra
ou
Enfin l’on tirera les valeurs de et de par les mêmes procédés qu’on a suivis dans les Problèmes I et II.
Je ne m’arrêterai pas ici à examiner la nature des courbes génératrices et la manière de les continuer, laquelle dépend de la valeur de il serait cependant aisé de le faire suivant les principes que nous avons établis, mais comme je ne donne ici cette solution générale que comme une simple application de ma méthode, il vaut mieux la simplifier autant qu’il est possible, en y introduisant les fonctions indéterminées et comme on l’a pratiqué dans le Problème II. On trouvera donc par ce moyen les deux équations suivantes :
qu’il faudra ensuite intégrer pour avoir les valeurs de et de ces intégrations, quoique toujours possibles, ne laisseraient pas que d’être souvent fort embarrassantes ; c’est pourquoi je vais résoudre le même Problème par une autre méthode moins directe à la vérité et moins lumineuse que la précédente, mais telle qu’elle donnera les valeurs de et de en termes finis.
Autre construction de l’équation
29. Au lieu de multiplier cette équation par en supposant une fonction de et de l’intégrer ensuite eu égard à la seule variabilité de je la multiplie au contraire par où est supposée une fonction de et j’en prends la somme en considérant la seule comme variable ; je poursuis le calcul de la même façon qu’auparavant en faisant toujours varier au lieu de Je trouve d’abord l’équation en
d’où je tire
puis, en supposant il me vient l’équation fondamentale
Pour intégrer cette nouvelle équation, je fais ce qui la réduit par la substitution à
équation qui, étant comparée à celle en du Problème précédent, donnera pour la valeur de la suite
les valeurs des étant les mêmes qu’auparavant, mais étant transformées par la substitution de au lieu de À l’égard de la valeur de elle sera ici égale à il faut observer qu’elle peut être également d’où il suit qu’en prenant deux quantités constantes à l’égard de on aura généralement
donc si on fait
on aura
où l’on voit que les coefficients des termes de la série sont les mêmes que ceux de la série dans les formules du Problème précédent, et réciproquement ; donc il suffira d’appliquer aux formules présentes les mêmes remarques qu’on a déjà faites sur les différents cas de positif ou négatif.
Soit divisée toute l’équation par il est évident que, puisque l’on ne doit prendre à la fois que l’une des deux séries, selon que est positif ou négatif, les fractions seront toujours égales à zéro lorsque soit, de plus, lorsque la valeur de et la valeur de valeurs qui pourront très-bien être l’une et l’autre des fonctions de on aura, en faisant d’abord dans l’équation ainsi préparée,
ensuite, différentiant la même équation et y faisant de nouveau il viendra
équation dans laquelle est une constante qui désigne la valeur de posant, pour abréger, au lieu de on substituera au lieu de et au lieu de Maintenant, pour chasser la lettre
de l’équation, on se servira de la méthode des intégrations par parties qui a déjà été tant de fois mise en usage ; car, puisque on peut, au lieu de substituer indifféremment
en négligeant les termes algébriques qui doivent être supposés d’eux-mêmes égaux à zéro ; il en est de même de l’expression Ces opérations achevées, on mettra sous les signes d’intégration les sinus et cosinus de et on développera à l’ordinaire les produits de ces sinus et cosinus par les sinus et cosinus correspondants de on obtiendra ainsi l’équation
Or, suivant les principes de notre méthode, on égalera le du premier membre aux quantités et du second ; d’où l’on aura pour la valeur de dans les termes multipliés par et pour la valeur de dans les autres termes qui se trouvent multipliés par or, et étant des fonctions de on peut les exprimer généralement par et ou si, pour abréger davantage, on pose et on tirera de l’équation pré-
cédente
Si l’on aimait mieux que l’expression de fût composée de fonctions de et de il n’y aurait qu’à faire quelques légères transformations à l’équation finale qui donne immédiatement la valeur de mais, sans avoir recours à cet expédient qui est sans doute le plus direct, il suffit de remarquer que l’équation différentielle de ne contenant que le il faut que l’expression de soit telle qu’elle demeure la même en changeant en Soit donc mis dans la formule précédente au lieu de et deviendront
Changeant les valeurs des fonctions et on pourra mettre simplement au lieu de et au lieu de mais il faudra mettre ensuite
au lieu de
et
au lieu de
comme il est aisé de s’en assurer avec un peu de réflexion ; on aura de cette manière
En rapprochant cette formule de celle qu’on a trouvée dans le numéro précédent, il sera facile de déterminer le rapport des fonctions et aux fonctions et
Cette méthode conduit, comme on le voit, à des résultats beaucoup plus simples que la première, mais elle est aussi moins générale et ne peut à la rigueur être employée que dans l’hypothèse que toutes les valeurs de qui répondent à différentes abscisses dans un même instant, soient liées entre elles par la loi de continuité. Ce n’est que d’après la première solution qu’il sera permis de prendre pour et des fonctions quelconques, régulières ou non.
Des oscillations d’un fluide élastique renfermé dans un tuyau de figure conoïdale quelconque.
30. Soit imaginé tout le fluide partagé en une infinité de tranches perpendiculaires à l’axe, dont la largeur variable soit exprimée par qui désigne une fonction de la partie correspondante de l’axe ; il est clair que, si l’on suppose que les tranches conservent toujours leur parallélisme et que soit l’espace infiniment petit parcouru par une tranche quelconque dans le temps cette quantité deviendra
en supprimant les infiniment petits du second ordre ; donc, si désigne l’élasticité du fluide dans son état naturel, l’élasticité du fluide contenu dans la tranche sera, après le temps
en négligeant ce qui se doit négliger. La différence de cette expression prise négativement donne l’excès de l’élasticité "d’une tranche quelconque sur celle qui la suit immédiatement ; donc, si on multiplie cet excès par la largeur de la tranche et qu’on divise ensuite par la masse on aura la force accélératrice qui tend à faire parcourir l’espace donc l’équation du mouvement du fluide sera
qui se réduit, par la supposition de infiniment petit, à
Telle est l’équation générale, mais jusqu’à présent je ne connais encore que quelques cas où elle soit constructible ; ce sont ceux qui peuvent être compris dans la solution du Problème III, c’est-à-dire où l’on a ou bien ce qui donne un conoïde formé par la révolution d’une parabole ou d’une hyperbole quelconque. On aura donc, dans cette hypothèse, équation intégrable exactement toutes les fois que sera un nombre pair positif ou négatif (28) ; dans tous les autres cas la valeur de sera exprimée par une suite infinie.
Soit on aura le cas du Problème II, et la formule du no 28 donnera
ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans le no 20 ; de plus, la formule du no 29 donne
ce qui s’accorde encore avec le no 21.
Si on fait le conoïde sera formé par la révolution d’une parabole Apollonienne autour de son axe, et la valeur de ne pourra être donnée que par des séries.
31. Scolie. — Si le tuyau avait une figure plane, l’équation précédente aurait encore lieu, et le cas de appartiendrait à un tuyau triangulaire ; ainsi l’équation
pourrait servir à trouver les lois de la propagation du son dans un plan, et c’est dans cette vue que M. Euler me fit l’honneur de me la proposer dans la même lettre dont j’ai fait mention (16). En faisant usage de ma nouvelle méthode, je reconnus bientôt que cette équation n’était pas intégrable exactement, mais qu’on pouvait la rendre telle en donnant au terme le coefficient Voilà ce qui m’a conduit à l’hypothèse des ondulations sphériques que nous avons examinée au long dans le Chapitre précédent, hypothèse qui est d’ailleurs beaucoup plus conforme à
la nature que celle des ondulations simplement circulaires. Je fis part à M. Euler des changements que j’avais faits à son hypothèse et des résultats qui m’en étaient venus, dans une lettre de la fin de décembre 1759 ; mais j’ai vu depuis avec beaucoup de plaisir que ce savant Auteur en avait déjà fait de même, et était parvenu aux mêmes conclusions que moi sur les lois de la propagation des ébranlements de l’air dans une sphère. (Voyez son Mémoire imprimé dans le tome II des Miscellanea Taurinensia, à la tête de ces Recherches.)
32. Supposons maintenant le tuyau d’une longueur donnée et bouché à ses deux extrémités ; il faudra que la nature des fonctions et (29) soit telle, que s’évanouisse aux points où et quel que soit d’ailleurs le temps Par un raisonnement semblable à celui du no 23, on trouvera pour la première de ces conditions
ce qui apprend comment la fonction doit être continuée du côté des abscisses négatives ; pour satisfaire ensuite à l’autre condition, faisons
et soient les valeurs des quantités lorsque on aura
Soit maintenant
on aura
l’intégration de cette équation sera toujours possible. Soient les racines de l’équation
la valeur de sera de la forme suivante :
désignant des constantes à déterminer par la substitution et la comparaison des termes.
Si la quantité était égale à zéro, il est évident que les courbes génératrices, qui représentent les fonctions et ne seraient qu’un assemblage de branches toutes égales et semblables à celles qui répondent à la portion a de l’axe ; ainsi il ne serait pas difficile de comprendre que le système des particules reprendrait toujours sa première position après chaque intervalle de temps égal à or, pour que ce cas puisse avoir de lieu, il suffira que le coefficient et tous ceux qui multiplient les différences impaires de soient nuls, c’est-à-dire que la valeur de soit telle, qu’elle ne renferme que des différences paires des fonctions et ou au moins que leurs coefficients s’évanouissent en posant Ces conditions ne pouvant avoir lieu dans notre cas, on en doit conclure que les oscillations des particules de l’air contenu dans les tuyaux donnés changeront continuellement et ne reviendront jamais les mêmes, si ce n’est par une espèce de hasard dépendant de la nature des premiers ébranlements. Je dis par une espèce de hasard, puisque je suppose que ces ébranlements soient quelconques ; car on pourrait d’ailleurs les supposer tels, que le système fût toujours soumis aux lois de l’isochronisme : c’est ce qui est connu de tous les Géomètres ; mais nous aurons dans la suite occasion d’examiner cette matière plus à fond qu’on ne l’a encore fait.
Des vibrations des cordes inégalement épaisses.
33. Il est facile de voir que l’équation pour le mouvement des cordes tendues qui sont d’une épaisseur variable sera de la même forme que celle qu’on a donnée (Rech. préc, XII), avec cette seule différence que la quantité devra être regardée non plus comme constante, mais comme une variable exprimée par quelque fonction de Conservant donc les mêmes noms, et supposant une fonction donnée de on aura
Soit, dans un cas particulier,
je fais
et prenant pour constante, je trouve, après les substitutions et les réductions convenables,
équation qui est dans le cas du Problème III. Donc, si on suppose
et qu’on substitue au lieu de dans les formules des nos 28 ou 29, on aura la valeur de laquelle étant ensuite multipliée par donnera celle de en et en où il n’y aura plus qu’à remettre, au lieu de sa valeur en tirée de l’équation de supposition
De là il est évident que y aura une valeur finie et exacte toutes les fois que sera un nombre pair positif ou négatif ; c’est ce qui arrivera lorsque étant pris pour exprimer un nombre quelconque entier ; dans tous les autres cas la série ira à l’infini. Au reste, soit qu’on trouve pour y une valeur exacte ou non, les vibrations de la corde ne seront jamais isochrones, excepté dans le seul cas de qui est celui d’une épaisseur uniforme ; car il est visible que la corde étant supposée fixe à ses deux bouts, on aura les mêmes conditions à remplir que dans le no 32 ; donc les conséquences en seront aussi les mêmes.
Le défaut d’isochronisme dans les cordes inégalement épaisses les rend incapables de produire un son fixe et appréciable à l’oreille ; aussi les artistes les rejettent-ils toujours et les nomment-ils communément cordes fausses, par la raison qu’elles ne peuvent jamais s’accorder parfaitement avec les autres.
Cette observation peut servir, ce me semble, à démontrer l’insuffisance de la théorie de M. Taylor sur les vibrations des cordes ; car il est visible que, quelque inégale que puisse être une corde sonore, elle devrait cependant faire toujours des vibrations de même durée, si la figure qu’elle prend d’elle-même ne pouvait être autre que celle qui convient à l’isochronisme, tel que cet Auteur le suppose.
Au reste on pourra toujours résoudre l’équation générale
directement par ma méthode, toute la difficulté se réduisant à l’intégration de l’équation en
Les cas les plus connus de l’intégrabilité de cette équation sont ceux de
étant égal à que nous avons examinés précédemment ; il peut y en avoir d’autres, mais il serait trop long de les examiner ici.
Des oscillations d’une chaîne pesante.
34. Ce Problème étant célèbre parmi les Géomètres, je crois pouvoir me dispenser de donner l’analyse par laquelle on trouve que la force accélératrice de chaque point de la chaîne est comme la somme des angles de contingence depuis le sommet, moins l’angle de contingence multiplié par le rapport du poids total de la portion inférieure de la chaîne au petit poids dont ce point est chargé. Soient donc la longueur d’une partie quelconque de la chaîne, à commencer par le bout inférieur, la pesanteur où est la masse de la portion infiniment petite, et l’espace parcouru horizontalement dans le temps on aura l’équation
Or, soit on aura
et faisant
il viendra
équation réduite à notre formule générale, et qui aura une solution exacte toutes les fois que sera un nombre pair quelconque, c’està-dire que Dans le cas où la chaîne est d’une pesanteur uniforme, on a ainsi sera égal à dans les formules du no 27, et l’on trouvera que les deux séries, dont l’une est toute multipliée par et l’autre par reviendront précisément à la même.
Soit la longueur de la chaîne, on aura dans le point de suspension donc, ce point étant supposé fixe, il faudra que y soit égal à zéro, d’où l’on retrouvera les mêmes conditions entre les fonctions \Gamma\left(a+t\sqrt{c}\right)
et
\Delta\left(a-t\sqrt{c}\right)
que dans le no 32. Maintenant, puisque la chaîne est libre dans tous ses autres points, il est visible que ce serait mal à propos qu’on supposerait lorsque mais il faudra remplacer cette condition par celle-ci
car il est naturel de penser que la courbure de la chaîne doive s’évanouir à son extrémité inférieure, par la raison qu’il n’y a ici aucun appui à l’action des parties supérieures. Or
donc, lorsque est zéro ou simplement infiniment petit, se réduit à et par conséquent on aura de même ici lorsque et comme dans le numéro cité. Au reste, ce Problème étant absolument analogue aux précédents est susceptible de remarques semblables. Je me contenterai simplement de faire observer que si l’on voulait le résoudre directement par notre méthode générale, on parviendrait, après les opérations ordinaires, à cette équation en
qui est constructible par les méthodes connues dans le cas où
il faudrait ensuite déterminer la quantité avec les autres constantes de par la condition
ou bien
lorsque et Or dans le premier cas, étant lui-même égal à zéro, il suffira que le soit aussi ; dans le second il est clair que toute la quantité s’évanouira d’elle-même à cause du facteur qui multiplie tous ses termes ; cependant on supposera toujours afin de terminer la suite des points mobiles au bout inférieur de la chaîne.
35. Scolie i. — Par les formules données dans ce Chapitre, on peut résoudre le Problème du no 61 de l’excellent Traité de la résistance des fluides, de M. d’Alembert, d’une manière peut-être plus analytique que ne l’a fait cet Auteur. Voici en quoi consiste ce Problème : il s’agit de trouver deux quantités et telles, que et soient l’une et l’autre des différentielles exactes. Pour rendre la question plus générale, je me propose de rendre exactes les deux différentielles soit la première égale à et la seconde égale à on aura
donc
Je différentie ces équations en faisant varier seul dans la première et seul dans la seconde, et je compare ensuite les deux valeurs de j’ai
savoir
équation qui est, comme on le voit, susceptible de notre méthode ; en suivant cette méthode, on trouvera d’abord l’équation en
qu’il faut intégrer avant d’aller plus avant. Pour cela je fais
et supposant
je trouve, après les substitutions et les réductions,
équation qui se rapporte à celle du no 27. On voit donc par là que l’équation en sera constructible exactement par nos formules toutes les fois que sera un nombre pair quelconque ; le reste du calcul n’ayant plus de difficulté, on trouvera pour la valeur de une expression exacte et finie, composée de fonctions très-générales de et de Si alors on a et l’équation qui donne la valeur de devient
d’où l’on tire
dans le premier cas, le coefficient devient égal à et dans le second égal à or, dans le Problème de M. d’Alembert, on a d’où l’on voit que ce Problème n’admet point de solution exacte, au moins suivant ma méthode ; cependant, si l’on veut se contenter d’une solution seulement approchée, on pourra y parvenir immédiatement par les formules du Problème III, car si dans l’équation
on fait
et qu’on suppose les valeurs et déterminées par ces équations
il vient
équation qui a la même forme que celle du Problème cité, et qui par conséquent est susceptible des mêmes solutions. Lorsque on a et ou la première racine rend le coefficient de égal à et la seconde le rend égal à ce qui conduit aux mêmes conclusions que plus haut. Au reste, il est visible que le Problème présent renferme dans sa généralité tous ceux dont nous avons traité dans ce Chapitre.
36. Scolie ii. — L’équation
étant transformée par la substitution de au lieu de devient
et, faisant ensuite
qui est l’équation même de Riccati. Les formules trouvées dans la solution du Problème III donnent, comme on le voit, une construction générale de cette équation ; mais il faut remarquer que ces formules ne sont encore que des cas particuliers des intégrales complètes, qui résultent de la supposition de quelques constantes égales à zéro ; pour les compléter on joindra à la valeur déjà trouvée de la quantité ce qui est facile à démontrer.
chapitre v.
continuation des recherches sur la propagation du son.
§ I. — De la propagation du son, en supposant que les ébranlements des particules de l’air ne soient pas infiniment petits.
37. Quelque naturelles que paraissent les hypothèses que nous avons examinées dans le Chapitre III, elles donnent cependant la vitesse du son moindre que la véritable d’environ pieds par seconde, comme on le peut conclure des nos 12 et 26. Cette différence est sans doute assez considérable pour ne pas être attribuée aux erreurs des expériences qui servent d’éléments à notre théorie, comme j’étais porté à le penser quand je donnai mes premières Recherches sur le son (LVII) ; mais quelle pourrait donc en être la cause ? M. Euler a cru la trouver dans la supposition des ébranlements infiniment petits, sur laquelle on a jusqu’ici fondé les calculs de la propagation du son (voyez son Mémoire : Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique, Miscellanea Taurinensia, t. II). Cette conjecture est plausible, mais je doute qu’en l’examinant à fond on la trouve aussi satisfaisante qu’elle le paraît d’abord. Pour en apprécier la valeur, voici la méthode que j’ai imaginée.
problèmes préliminaires.
38. Problème IV. — Construire l’équation étant une fonction quelconque de et de
Je la multiplie par je l’intègre, et j’opère à l’égard des termes et comme dans le Problème I ; je parviens ainsi à cette équation en
par les mêmes procédés je trouve l’intégrale
d’où résultent les deux équations
(A)
(B)
Or, puisque il faut, pour pouvoir chasser la quantité des équations précédentes, réduire tous leurs termes, en sorte que cette quantité ne se rencontre que dans des fonctions de la forme de marquant une fonction quelconque de et Les termes qui renferment étant les mêmes ici que dans le Problème I, ils se ramèneront à cette forme par les réductions enseignées ; ainsi toute la difficulté se réduira aux termes affectés de deux signes d’intégration et provenant de la quantité
Prenons d’abord le terme
et commençons par faire disparaître la quantité du coefficient Pour cela, soit changée l’intégrale
en son équivalente
ce qui donnera par la substitution, et, en effaçant le terme à cause de au premier et au dernier point de l’intégrale la transformée
Posons, pour abréger, et mettons au lieu de sa valeur exponentielle transportant le signe d’intégration qui regarde au devant de celui qui regarde (ce qui est permis à cause que la quantité qui est entre les deux signes, est une quantité constante à l’égard de ), on aura
Soit fait et soit nommée la fonction de et de qui vient de la substitution de au lieu de dans la quantité et la fonction de et de qui vient de la substitution de au lieu de dans la même quantité en prenant, au lieu des variables et les nouvelles variables et et et on changera les deux expressions intégrales
en celles-ci :
qui ont les mêmes valeurs, quoique sous des formes différentes. Dans ces dernières expressions, les intégrations et devront se faire en variant seulement donc, si on suppose que les intégrales et soient prises avec cette condition, on aura
ce qui donnera les transformées
dans lesquelles il faudra faire maintenant et variables, et constante ; or, à cause que les quantités et ne contiennent point de il est visible qu’il reviendra au même d’intégrer et en supposant et seuls variables, et de remettre après l’intégration, au lieu de et leurs valeurs et que de restituer d’abord ces valeurs à la place de et de et d’intégrer ensuite en faisant varier d’où il s’ensuit qu’on aura
Par conséquent la transformée cherchée du terme
deviendra, après toutes les substitutions,
laquelle, en mettant hors des signes d’intégration la quantité exponentielle qui est constante à l’égard de se réduit plus simplement à
Par des opérations et des réductions semblables on changera encore l’autre terme
en
donc, en retranchant la transformée du second terme de celle du premier, on aura
Substituant cette expression dans l’équation (A), et égalant entre eux tous les angles multiples de suivant les règles de notre méthode, on trouvera pour la valeur de les formules qu’on a déjà trouvées dans le Problème I, jointes avec la quantité
Après avoir ainsi trouvé la valeur de il ne sera pas difficile de déduire celle de de l’équation (B). Pour cela, comme dans cette équation les termes qui renferment sont exempts du coefficient on y mettra d’abord, et sans aucune préparation, à la place de sa valeur exponentielle ensuite, faisant des observations et des réductions analogues à celles que nous avons faites précédemment, on trouvera que, si et sont pris pour exprimer les valeurs de après les substitutions de et de au lieu de les termes dont il s’agit deviendront par conséquent l’expression de renfermera, outre les formules trouvées à la fin du no 6, encore celle-ci,
Corollaire. — Donc le terme ajouté à l’équation
produit dans les valeurs de et de une augmentation qu’on déterminera ainsi. Soit intégré en ne faisant varier que et l’intégrale trouvée étant multipliée par soit intégrée de nouveau, en supposant d’abord constant et seul variable ; puis, en supposant constant et seul variable, retranchant cette seconde intégrale de la première et divisant la différence par on aura ce qu’il faut ajouter à la valeur de . Ensuite soit intégré simplement d’abord, en traitant comme constante et comme variable, puis en traitant comme constante et de même comme variable ; la somme de ces deux intégrales divisée par sera l’augmentation de la valeur de
39. Scolie I. — Dans l’excellent Traité de la cause des vents de M. d’Alembert, on trouve à l’article 87 une méthode fort simple et fort ingénieuse pour rendre complètes ces deux différentielles,
Le Problème se réduit à celui que nous venons de résoudre, car, en supposant la première de ces différentielles égale à on trouve et mais, pour que la seconde différentielle soit exacte, il faut que
ce qui donne, en substituant et différentiant,
équation qui reviendra au même que celle du Problème précédent, si l’on pose au lieu de au lieu de au lieu de au lieu de et au lieu de
Si d’un côté la solution de M. d’Alembert est plus simple que la nôtre, de l’autre elle paraît insuffisante pour les cas où les valeurs de seraient prises à volonté lorsque et c’est précisément dans ces cas que rentre la question qui est l’objet du Problème précédent. Au reste, si l’on introduit dans notre solution, au lieu de et de des fonctions indéterminées, on en tirera des formules analogues à celles que M. d’Alembert a trouvées par sa méthode. Il est vrai que nos formules se présenteront sous une autre forme que celles de cet Auteur ; mais la comparaison n’en sera pas difficile et ne demandera d’ailleurs qu’un peu d’adresse de calcul ; c’est pourquoi je ne m’y arrêterai pas.
40. Scolie II. — Ce savant Géomètre a encore rendu l’usage de sa méthode plus général en l’appliquant à déterminer les quantités et par les conditions que
soient l’une et l’autre des différentielles complètes. Faisant
et substituant dans la seconde différentielle les valeurs de et en on trouvera par les conditions de l’intégrabilité l’équation suivante :
qui peut se rapporter à cette forme,
Quoique cette équation soit étrangère à la matière que nous traitons, je crois qu’on ne sera point fâché de voir comment notre méthode s’y applique. Je commence ici par supposer et je décompose par ce moyen l’équation proposée dans les deux suivantes :
je multiplie la première de ces équations par et la seconde par je les ajoute ensemble et j’en prends l’intégrale en faisant évanouir par des intégrations par parties les différences de qui naissent de la variabilité de j’ai
Négligeant ces derniers termes algébriques qui disparaissent d’eux-mêmes, dans la supposition que et soient égaux à zéro au premier et au dernier point de l’intégrale, et comparant terme à terme, on aura
d’où l’on tire
et étant les racines de l’équation
Or, devant être égal à zéro lorsque et on aura
ce qui fournira une infinité de valeurs de on aura donc
et par conséquent
Soit maintenant
notre équation deviendra
d’où l’on tire, en intégrant et conservant les noms que nous avons employés dans tout le cours des Recherches précédentes,
Or, la quantité étant multipliée par un coefficient pour le faire disparaître on changera les intégrales
en
en négligeant les autres termes qui deviennent nuls à cause que et disparaissent quand et substituant donc les valeurs de et de on aura
Soient la fonction de et de qui vient de la substitution de au lieu de dans et la fonction de et de qui vient de la substitution de à la place de dans la même quantité les deux derniers termes de la formule précédente se changeront, selon ce qui a été enseigné plus haut, en ceux-ci :
Maintenant, puisque est supposé différent de il est clair que les quantités exponentielles et ne sauraient jamais devenir égales ; donc il faudra nécessairement décomposer l’équation en deux, afin d’en chasser la quantité par ce moyen, on trouvera, en retenant les expressions employées dans le Problème \mathrm I,
S’il arrivait que alors, la première de ces équations demeurant la même, on ne ferait qu’augmenter d’une quantité infiniment petite c’est-à-dire on supposerait et, ôtant la première équation de la seconde, il viendrait, après avoir divisé par
Si était infini, ce qui arrivera lorsque alors on aurait aussi et la seconde équation deviendrait
Si l’on veut maintenant comparer les résultats de cette solution avec ceux de M. d’Alembert, on prendra pour
des fonctions indéterminées de et de et faisant les substitutions et les réductions nécessaires, on trouvera pour et des formules analogues à celles que cet Auteur a données. Quoique j’aie fait tous les calculs que cette comparaison demande, je ne les insérerai point ici pour ne pas passer les bornes que je me suis prescrites dans cette Dissertation.
41. Problème V. — Construire l’équation
En suivant notre méthode, on parviendra aux mêmes équations et du Problème précédent, avec cette seule différence que la quantité sera maintenant égale à
comme dans le Problème II, ce qui rendra l’expression composée des deux termes
on aura donc dans l’équation (A)
en réduisant le premier terme, comme on l’a fait dans le Problème précédent. Il faudra pourtant observer que l’intégrale soit prise de manière qu’elle s’évanouisse lorsque afin que le terme
que nous négligeons s’évanouisse de même. Supposant donc maintenant et faisant les autres observations et réductions suivant les principes établis dans les Problèmes II et IV, on trouvera que la
valeur de savoir de du no 20, devra être ici augmentée de la quantité
On tirera de même de l’équation la valeur de mais on pourra s’épargner la peine de ce calcul, en cherchant, d’après la valeur trouvée de celle de
Usage des Problèmes précédents.
42. Examinons d’abord le cas d’une ligne physique d’air ; il est facile de trouver que l’équation rigoureuse du mouvement des particules sera
car la portion du fluide, qui dans l’état d’équilibre occupe l’espace après le temps remplira l’espace et son élasticité sera par conséquent diminuée dans le rapport donc la différence d’élasticité des deux particules adjacentes s’exprimera par
donc, divisant par la masse de la particule intermédiaire, on aura la force qui tend à la mouvoir ; donc, etc.
Je réduis la fraction en suite par une division infinie ; il vient
j’aurai donc, en substituant,
Or, si on suppose infiniment petit par rapport à il est clair que le second membre de cette équation se réduit au seul terme et qu’ainsi l’équation
donnera une valeur de qui pourra être regardée comme exacte ; c’est le cas que nous avons déjà traité. Mais, si on suppose seulement fort petit et cependant fini, l’équation
ne donnera plus qu’une valeur approchée de on substituera donc cette valeur dans les termes
qu’on avait négligés, et intégrant l’équation par la méthode du Problème IV, on aura une valeur de plus exacte ; on substituera de nouveau la valeur de ainsi corrigée, et l’on en tirera une autre encore plus exacte que la précédente ; en opérant ainsi de suite, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de .
Or si, pour faciliter le calcul, on introduit les fonctions indéterminées dans notre solution du Problème I, on a pour la première valeur de
maintenant il faut supposer
ce qui donne
en négligeant les termes suivants qui doivent être regardés comme infiniment petits d’un ordre plus élevé ; on aura donc
et par conséquent
Que dénote la valeur de l’intégrale et celle de l’intégrale on trouvera, après avoir restitué au lieu de et de leurs valeurs,
quantité qui devra être ajoutée à la première valeur de .
Pour voir maintenant combien cette correction peut influer sur la vitesse de la propagation des ébranlements, on observera que les fonctions et doivent être telles, qu’elles soient toujours égales à zéro, lorsque les abscisses ne sont pas très-petites (4) ; d’où il suit que pour la propagation du côté des abscisses positives il ne faudra retenir que les fonctions de ou de on aura donc
Or, en supposant la valeur de très-petite, sera, un infiniment petit du second ordre, et sera aussi du même ordre à très-peu près, à cause que la fonction n’a de valeur que dans une fort petite étendue de l’axe ; mais devant être à peu près égal à recevra une valeur considérable, donc le terme s’évanouira auprès du terme et la valeur de se réduira à
Le premier terme donne, comme il est facile de voir et comme on l’a démontré ailleurs, la vitesse de la propagation égale à et il est clair que cette vitesse ne peut varier à moins que la quantité ne varie de même ; supposons donc au lieu de étant une quantité assez petite, on aura pour le premier terme de la valeur de
qui se réduit à
comparant cette expression avec celle qu’on a trouvée par notre approximation, on a
mais
en désignant par la vitesse propre de la particule qui répond à l’ab-
scisse donc
et par conséquent la vitesse de la propagation deviendra à très-peu près égale à
Cette conclusion paraît donc en quelque sorte favorable à l’hypothèse des ébranlements finis, mais elle perdra toute sa force pour peu qu’on s’arrête à l’examiner.
Par ce qu’on vient de trouver, on a
soit la longueur de l’onde aérienne excitée immédiatement par le corps sonore, il est clair que ne commencera à avoir une valeur que quand on aura
d’où il s’ensuit qu’au bout du temps le son sera parvenu jusqu’à la particule qui répond à l’abscisse
étant la vitesse que cette particule reçoit en même temps. Or, en premier lieu cette vitesse ne peut être qu’infiniment petite, puisqu’il serait absurde qu’une particule d’un fluide élastique reçût tout d’un coup une vitesse finie par l’action des autres parties adjacentes ; en second lieu, il est visible que la formule trouvée détruirait l’uniformité de la vitesse du son et la ferait dépendre en quelque sorte de la nature des ébranlements primitifs, ce qui est contraire à toutes les expériences.
Il serait, après cela, inutile de pousser plus loin l’approximation de la valeur de car, outre qu’il n’en résulterait que des termes moindres que celui que nous venons d’examiner, l’expression de la vitesse du son deviendrait toujours plus compliquée et par conséquent moins conforme à la véritable.
43. Passons maintenant à l’hypothèse des ondulations sphériques, et cherchons par le moyen du Problème V si le changement que la supposition des ébranlements finis cause dans leur propagation peut s’accorder avec les phénomènes.
Par les principes posés dans le no 30, on trouvera pour l’équation rigoureuse du mouvement du fluide
d’où l’on tire, par la voie des séries,
On aura donc, selon le Problème V,
en négligeant les autres termes qui renferment plus de deux dimensions de donc
et
Maintenant, il faut substituer au lieu de sa valeur tirée des formules du Problème Iï. Pour abréger ces substitutions, je remarque d’abord, comme il est évident, qu’il ne faudra employer que les seules fonctions de d’où il suit que si l’on pose
on aura
Je remarque ensuite que, lorsque a une valeur considérable, on peut négliger, auprès des termes qui contiennent seul au dénominateur, tous ceux qui sont divisés par des puissances de plus hautes que l’unité ; par ce moyen, on aura simplement
donc
d’où l’on tirera par les quadratures la valeur de mais il est facile de voir que cette valeur sera infiniment petite par rapport à celle de à cause que la fonction et ses différences sont toujours infiniment petites, et qu’elles n’ont outre cela des valeurs réelles que dans une très-petite portion de l’axe ; ne prenant donc que la formule
et l’ôtant de savoir de on aura pour l’augmentation de cette fonction
or, si on suppose, comme on l’a fait plus haut, que la quantité croisse d’une très-petite quantité on trouvera ici
ce qui changera la fonction
en
Prenant pour le rayon de la première onde aérienne excitée par le corps sonore, les lois de la propagation du son seront donc contenues dans la formule
Je crois superflu de m’arrêter ici à examiner les conséquences de cette formule, car il est facile de voir qu’elles ne seront pas plus favorables à la supposition dont il s’agit que ne l’ont été celles qu’on a trouvées dans le numéro précédent.
44. Corollaire. — Après ce qu’on vient de démontrer, je crois qu’on peut regarder comme une vérité assez constante, que l’hypothèse des ébranlements infiniment petits est la seule recevable dans la théorie de la propagation du son, comme nous avions promis de le prouver dans le no 10. Je vais donc rentrer dans cette hypothèse, et chercher à déterminer les lois de la propagation du son d’une manière plus générale et plus exacte que je ne l’ai fait.
§ II. — Essai d’une construction générale des trois équation du no 10.
45. Je multiplie la première de ces équations par la seconde par et la troisième par en supposant que soient des fonctions quelconques de j’en fais une somme que je multiplie encore par et dont je prends l’intégrale en faisant varier l’une après l’autre les trois changeantes et De cette manière, j’aurai l’équation
qui renferme le mouvement de chaque point mohile du système donné. On remarquera que est mise ici pour ainsi que nous l’avons pratiqué partout ailleurs.
En suivant notre méthode, on prendra autant d’intégrales par parties qu’il en faudra pour faire disparaître toutes les différences de suivant on aura donc
Dans ces transformées, il y a, comme on le voit, deux sortes d’expressions intégrales : les unes, plus générales, renferment trois intégrations, suivant la variabilité des trois coordonnées et expriment par conséquent la somme d’autant de valeurs particulières qu’il y a de particules dans la masse totale du fluide ; les autres, au contraire, moins générales, ne renferment chacune que deux intégrations suivant la variabilité de deux des coordonnées et et ne dénotent en conséquence que la somme d’autant de valeurs particulières qu’il y a de particules dans une seule tranche du fluide. Celles-ci pourront donc être regardées comme des constantes à l’égard de la troisième variable manquante, et l’on sera toujours le maître de les faire évanouir, en donnant certaines limitations aux valeurs des quantités et selon la figure de l’espace dans lequel on suppose que la masse de l’air est renfermée.
Ainsi, par exemple, si cette figure est celle d’un parallélipipède quelconque, on voit aisément que est nul dans les deux plans opposés qui sont perpendiculaires à la ligne d’où il suit que les intégrales qui contiennent seront aussi nulles dans toute leur étendue, à cause que ces intégrales ne varient que suivant et par une raison semblable, on verra que les intégrales contenant et s’évanouiront aussi d’elles-mêmes ; donc, pour achever de faire évanouir les autres intégrales, on supposera tel, qu’il devienne égal à zéro lorsque et lorsque quels que soient et ensuite, devra devenir égal à zéro
lorsque et , et étant quelconques ; enfin, devra disparaître de même en posant et pour toute l’étendue des et étant les trois dimensions du parallélipipède donné.
Si la masse du fluide avait une autre figure quelconque, on trouverai aussi, en ayant égard à cette figure, les conditions qui pourront faire disparaître toutes les expressions intégrales à deux seules changeantes ; il est vrai que le plus souvent ces opérations ne pourront s’exécuter, faute de connaître les valeurs exactes et générales des quantités et mais il suffira de les imaginer exécutées pour démontrer que l’on peut toujours omettre les expressions intégrales dont nous parlons. Ainsi l’on aura simplement après les substitutions
On fera maintenant
(A)
(B)
(C)
équations par lesquelles on déterminera les valeurs des quantités et Il faudra de plus que ces valeurs satisfassent aux conditions énoncées ci-dessus, et c’est par là qu’on déterminera toutes les constantes que l’intégration aura entraînées, comme aussi la constante qui ne pourra manquer d’avoir autant de valeurs différentes qu’il y a de particules mobiles.
Cela fait, notre équation principale pourra se mettre sous la forme ordinaire
avant ici
d’où l’on tirera, comme dans le Problème I,
Or, soient
et que désignent les valeurs de lorsque on aura donc
(D)
(E)
Voilà les équations d’où l’on tirerait, suivant notre méthode, les valeurs exactes de si l’on avait celles de et qu’on put faire disparaître la quantité ainsi qu’on l’a fait dans les Problèmes précédents.
Mais le premier de ces objets nous présente d’abord des difficultés insurmontables, soit qu’en effet les équations (A), (B), (C) ne soient pas susceptibles d’intégration, soit qu’elles demandent d’autres méthodes que celles que nous connaissons. Si on voulait se borner à des constructions particulières, il serait aisé d’en trouver, mais elles ne sauraient être d’aucune utilité dans la recherche des lois de la propagation du son.
46. Il est visible, par exemple, qu’on peut supposer
étant des constantes à déterminer par la substitution et la comparaison des termes ; pour cela, on trouvera les trois équations
qui donne, en posant pour
mais les valeurs de et n’étant que particulières, on ne pourra s’en servir, suivant notre méthode, que dans l’hypothèse que les valeurs de et soient renfermées dans certaines conditions, car il est visible que et étant exprimées par une même fonction de multipliée seulement par des constantes différentes, les valeurs de devront être les mêmes pour tous les points dont la position est renfermée dans la formule
et de plus ces valeurs devront garder entre elles un rapport constant. Supposé que ces conditions aient lieu, on pourra poursuivre le calcul en substituant les valeurs trouvées de et dans l’équation (D), et transformant ensuite le terme
en
et réduisant et en exponentielles imaginaires, on aura
équation d’où l’on tirera, suivant notre méthode,
Les quantités mises en forme d’exposants dénotent, comme dans le Problème I, les valeurs qu’il faut donner aux coordonnées ; ainsi étant les coordonnées qui répondent à et étant supposées celles qui répondent aux expressions qui ont l’exposant les valeurs de ces dernières devront être telles, que
Au reste, si l’on introduit dans cette solution les fonctions indéterminées, elle reviendra au même que celle que M. Euler a donnée dans son Mémoire, car on aura
d’où l’on tirera les valeurs de et de en faisant, selon l’hypothèse,
substituant ensuite ces valeurs dans les équations différentielles du no 10, on trouvera
conformément aux formules données par M. Euler dans ses Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique (Miscellanea Taurinensia, t. II).
Voilà le Problème résolu analytiquemént pour une infinité de cas, mais il faut avouer qu’aucune de ces solutions ne sera applicable à la théorie de la propagation du son, dans laquelle les ébranlements primitifs doivent être supposés quelconques. Il en sera de même de toute autre solution qui se trouvera en intégrant les équations (A), (B), (C) dans des cas particuliers. C’est pourquoi nous renoncerons pour le présent à déterminer les valeurs exactes de et par les voies ordinaires de notre méthode, et nous nous bornerons à les trouver, s’il est possible, par approximation, en supposant que le temps soit fort petit ; nous verions ensuite quelles conséquences on pourra tirer d’un tel calcul pour la connaissance des lois de la propagation du son en général.
47. Je commence par développer l’expression en poussant la série jusqu’aux quantités infiniment petites du quatrième ordre ; j’ai
ce qui changera le terme de l’équation (D)
en
Or les équations (A), (B), (C) donnent d’abord
multipliant ces équations par et substituant de nouveau au lieu de leurs valeurs, on aura ensuite
Par là, on pourra faire évanouir la lettre de l’expression précédente ; car on aura
(F)
(G)
(H)
Or, quelles que soient les valeurs des quantités il est certain qu’elles seront des fonctions de ce que nous dénoterons ainsi
de sorte que, si l’on suppose que les variables deviennent les valeurs correspondantes de s’exprimeront à notre manière par
Cela posé, on sait que si représente une fonction quelconque de la variable laquelle croisse d’une quantité très-petite la valeur de deviendra, en négligeant les quantités infiniment petites au-dessus du quatrième ordre,
donc, si l’on suppose que la fonction renferme, outre la variable les
variables et qui croissent en même temps des quantités très-petites on trouvera par un calcul assez simple
De cette formule je déduis les suivantes :
On formera de pareilles formules à l’égard des expressions
et en donnant des valeurs convenables aux constantes indéterminées on changera, par les substitutions, l’équation (F) en celle-ci :
(L)
on trouvera de même les transformées (M) et (N) des deux autres équations (G) et (H), et l’on aura ainsi, en substituant, la transformée entière de la formule
qu’on substituera ensuite dans l’équation (D).
Supposons, pour un moment, que les quantités soient nulles dans cette équation, la lettre s’en ira entièrement et ne se trouvera plus que dans les expressions des quantités et Or, quoique nous ne connaissions point la forme de ces expressions, on pourra cependant vérifier l’équation indépendamment de comme notre méthode le demande ; car pour cela il ne s’agira que de comparer ensemble les quantités qui se trouveront multipliées par les fonctions qui auront des valeurs égales.
Que dénotent les coordonnées qui répondent à l’expression générale on aura, selon notre hypothèse,
étant les coordonnées qui répondent à l’expression simplement et aux quantités Supposons donc que les valeurs de soient diminuées des quantités (ce qui est permis, puisque ces quantités sont constantes à l’égard des intégrations indiquées dans l’équation), elles deviendront mais en même temps les coordonnées correspondantes à et qui étaient auparavant deviendront De
cette manière, toutes les quantités exprimées généralement par
redeviendront
mais à leur tour les quantités qui les multiplient, se changeront en
Après ces transformations, on joindra ensemble tous les termes de l’équation qui se trouvent multipliés par et on décomposera ensuite cette équation en trois portions, dont chacune devra se vérifier séparément et indépendamment des valeurs de et On aura donc par là
On aura de même, pour les valeurs de et de deux autres formules que je nommerai (Q) et (R), et que je m’abstiens de rapporter, puisqu’on peut les déduire de la précédente en changeant simplement en pour la formule (Q), et en pour la formule (R), et réciproquement.
Ce sont là les valeurs de dans l’hypothèse que et soient nulles. Supposons maintenant que ces quantités aient une valeur, mais qu’en même temps les et soient nulles ; il esl clair que dans l’équation (D) on aura, à la place du terme
l’autre terme
or, si l’on fait attention que
il ne sera pas difficile d’apercevoir que les expressions de et qui se trouveront en faisant disparaître la lettre ne seront que les intégrales de celles qu’on a trouvées plus haut, prises en regardant seul comme variable. Ainsi un terme quelconque de la transformée sera représenté par
or il est visible que l’intégration suivant dans l’expression
se réduit à trois intégrations suivant d’où il s’ensuit que l’intégrale
pourra se transformer, par des intégrations par parties, en celle-ci :
qui pourra encore se mettre sous cette autre forme :
où l’intégrale de devra être prise en faisant varier dans les valeurs des coordonnées de
Faisant des observations et des réductions semblables sur tous les autres termes, et comparant ensuite les quantités et entre elles, on trouvera pour des formules qui ne différeront de celles qu’on a trouvées ci-dessus, qu’en ce qu’à la place des quantités il y aura les quantités intégrales
Il est maintenant facile de voir, en examinant l’équation (D), que les deux solutions particulières qui viennent d’être trouvées renferment la solution générale, et qu’il ne faudra qu’ajouter ensemble les expressions trouvées de dans les cas où ou sont nulles, pour avoir les expressions complètes pour le cas où ces quantités sont toutes réelles.
De plus, comme l’équation (E) n’est que la différentielle de l’équation (D) prise en variant seul, on aura tout d’un coup les valeurs des vitesses, en différentiant les formules qu’on vient de tcouver pour les valeurs des espaces il viendra donc
Les valeurs de et de se trouveront de même en substituant dans cette formule à la place de leurs correspondantes ou et réciproquement.
48. Voilà des formules très-générales par lesquelles, connaissant dans un instant quelconque le mouvement de toutes les parties du fluide, on pourra déterminer à très-peu près leur mouvement dans les instants suivants, au inoins pendant un intervalle de temps fort court. Or, si après ce temps on recommence le calcul en substituant à la place de les valeurs trouvées de on en tirera des nouvelles valeurs de qui serviront pour un second intervalle de temps égal au premier ; et opérant ainsi de suite on pourra trouver les mouvements du fluide pour tel espace de temps qu’on voudra ; mais il faut avouer que cette méthode ne sera guère praticable pour un temps assez long ; car nos formules n’étant qu’approchées, l’inexactitude de chaque résultat influera nécessairement sur tous les résultats suivants, et par conséquent plus le nombre des opérations sera grand, plus aussi on risquera de s’éloigner de la vérité.
Conséquences qui résultent des formules précédentes par rapport à la propagation du son.
49. Imaginons d’abord qu’un corps sonore n’ébranle qu’une seule particule d’air dont la position soit déterminée par les coordonnées et voyons comment et par quels degrés cet ébranlement unique se propagera au loin dans toute la masse de l’air pendant un temps quelconque fort court.
Il est d’abord évident que dans les équations il faudra regarder comme nulles toutes les quantités qui auront un autre exposant que or, soit en général l’exposant de chacune de ces quantités exprimé par il suit de ce qu’on vient de dire que les valeurs de seront aussi nulles pour toutes les particules dont la position ne sera point déterminée par des coordonnées telles que
savoir que
si donc on donne successivement à toutes leurs valeurs particulières conformément à nos formules, on aura autant de valeurs de qui détermineront la position de toutes les particules de l’air qui auront quelque mouvement au bout du temps
Supposons donnés et faisons varier il est clair que les coordonnées appartiendront à une ligne droite qui passera par le point auquel répondent les coordonnées et qui fera avec les lignes des angles dont les cosinus seront
d’où il s’ensuit qu’en donnant à des valeurs différentes, on aura aussi des droites de différente position, mais qui s’entrecouperont toutes
dans un même point et qu’on pourra par conséquent regarder comme autant de rayons sonores excités par l’ébranlement donné de la particule qui est à leur centre.
Ces rayons croîtront uniformément avec le temps, de sorte qu’au bout d’un temps quelconque leur longueur sera généralement exprimée par
on aura donc, pour la vitesse de la propagation du son dans chacun d’eux, la formule
,
dont la valeur se connaîtra en substituant au lieu de leurs valeurs particulières. Par ces substitutions, on aura les trois quantités suivantes :
qui constitueront pour ainsi dire autant d’espèces différentes de rayons sonores.
C’est une chose digne de remarque que la plus grande vitesse approche beaucoup de celle qu’on trouve par l’expérience ; car étant égal environ à pieds et à on aura et par conséquent qui est à très-peu près le nombre de pieds que le son parcourt dans une seconde, selon les expériences moyennes. Cependant il ne paraît pas que ce résultat soit encore capable de mettre la théorie d’accord avec l’expérience sur la vitesse de la propagation du son. Voici les raisons qui m’obligent à suspendre mon jugement là-dessus.
1o Nos formules ne sont qu’approchées et ne peuvent avoir lieu que pendant un temps assez court, après lequel chaque particule mobile doit être regardée comme un nouveau centre de rayons sonores.
2o La position de chaque rayon n’est pas fixe, puisqu’elle dépend de celle des trois axes principaux, laquelle est absolument arbitraire ; d’où il suit qu’en changeant la position des axes, les rayons qui avaient auparavant une vitesse donnée pourront prendre la place de ceux qui avaient des vitesses différentes ; ce qui paraît renfermer une espèce de contradiction, puisqu’une même particule de fluide pourrait en ce cas avoir ou ne pas avoir de mouvement. Cet inconvénient, qui vient sans doute de ce que nos formules ne renferment pas tous les termes nécessaires, sera aussi attaché à toutes les autres formules qu’on trouvera par approximation ; d’où il résulte que, jusqu’à ce qu’on ait trouvé des formules tout à fait exactes et rigoureuses, on ne sera pas en état de prononcer sur le point dont il s’agit.
3o Nous avons trouvé dans les deux hypothèses du Chapitre III la vitesse du son égale à , et cette même valeur peut se trouver aussi par les formules de ce Chapitre, en considérant la plus grande vitesse des rayons estimée suivant la direction de chacun des trois axes, ce qui paraît mieux cadrer avec la nature particulière de ces formules.
50. Nous n’avons encore considéré que l’effet qui résulte de l’ébranlement d’une seule particule d’air ; supposons maintenant que tant de particules qu’on voudra soient ébranlées d’une manière quelconque dans le premier instant du temps on trouvera, en raisonnant sur nos formules de la même manière qu’on a fait ci-dessus, que chacun des ébranlements primitifs excitera dans le fluide environnant les mêmes rayons sonores que s’il était seul, de sorte que les particules d’air qui se trouveront dans la rencontre de plusieurs rayons auront un mouvement composé de tous les mouvements qui dépendront de chaque ondulation particulière. C’est ce qui nous fournit une explication complète et rigoureuse de la manière dont plusieurs sons différents peuvent coexister et se répandre dans une même masse d’air, sans se nuire mutuellement les uns aux autres (Recherches précédentes, LXIII).
Au reste, comme chaque particule d’air ébranlée devient elle-même un centre de rayons sonores, il est évident que le son doit se répandre également en tous sens, ce qui est aussi un des principaux phénomènes de sa propagation.
51. Quoiqu’il ne soit pas nécessaire de connaître la nature particulière de chaque ébranlement, il est cependant bon de faire attention à la différence qui se trouve entre les ébranlements primitifs et dérivatifs, par rapport à leur propagation. Supposons pour cela qu’ayant déduit de nos formules les valeurs de pour un temps quelconque désigné par on les substitue dans les mêmes formules à la place de pour trouver les valeurs correspondantes de pour un second intervalle de temps marqué par et soit par exemple
un terme quelconque de la valeur de et
le terme correspondant de la valeur de lesquels doivent être substitués au lieu de et de dans les termes de la forme de
pour la valeur de et dans ceux de la forme de
pour la valeur de . On remarquera d’abord que dans nos formules un terme quelconque, dont l’exposant est est toujours accompagné d’un autre terme exprimé de la même manière, mais avec l’exposant on sait de plus, par ce qui a été dit ci-dessus, que les termes
marquent la propagation des ébranlements suivant une ligne qui fait avec les trois axes principaux des angles dont les cosinus sont
d’où il s’ensuit que les termes
dénoteront la propagation des mêmes ébranlements et dans la même ligne prolongée du côté opposé. Or, cela posé, je dis que si (fig. 14) représente un rayon de la propagation d’un ébranlement
Fig. 14.
primitif excité en la propagation de l’ébranlement dérivatif qui est en sera nulle suivant la direction opposée à celle de son ébranlement primitif. Pour le prouver, il n’y a qu’à faire voir qu’en substituant
au lieu de et
au lieu de dans les termes
ces termes deviendront nuls. Or, comme dans les exposants le temps est négatif par rapport aux coordonnées il est visible que l’intégrale et la différentielle seront
aussi nécessairement négatives ; d’où l’on aura par la substitution
et de même
donc, etc.
Au reste, la remarque que nous venons de faire sur les formules générales de ce Chapitre est entièrement analogue à celle qu’on a déjà faite sur les formules particulières du Chapitre III, dans le no 16, remarque dont nous sommes redevables à M. Euler et qui est d’une grande importance dans la théorie de la propagation du son.
52. Il ne nous reste plus qu’à examiner le changement qui doit arriver aux rayons sonores par la rencontre d’un obstacle quelconque, qui s’oppose entièrement, ou en partie, au mouvement des particules contiguës de l’air. Pour cela, il n’y a qu’à chercher quelle devra être la position d’une particule mobile quelconque, lorsque les coordonnées
tomberont au delà de l’obstacle immobile. Or, en examinant les calculs du no 47, on voit que les valeurs des pour une particule quelconque mobile, sont les mêmes que celles qui constituent les fonctions
donc tout se réduit à examiner la nature de ces fonctions et à voir de quelle manière il faudra les transformer, afin que les quantités ne surpassent jamais des valeurs données.
Imaginons donc, que la masse de l’air soit interrompue de quelque côté, et comme terminée par une espèce de paroi immobile de figure donnée ; il est constant, par ce qui a été enseigné dans le no 45, que les expressions intégrales à deux seules changeantes, que nous avons traitées comme nulles dans le numéro cité, devront disparaître par elles-mêmes, en tant qu’elles se rapporteront à un point quelconque de la figure proposée. Rappelons-nous ces expressions négligées dans les calculs précédents et considérons d’abord celles qui ont le signe je dis que leur somme est toujours évanouissante, quelle que soit la figure à laquelle il faille les rapporter. Pour le prouver, ajoutons-les ensemble ; on aura
Or, soit le rapport entre les trois coordonnées exprimé par l’équation
il est aisé de prouver qu’on peut ramener tous les termes de l’expression précédente à la variabilité des seules coordonnées en substituant au lieu de dans le produit et dans le produit d’où l’on aura la transformée
qu’il faudra maintenant intégrer en faisant varier et l’un après l’autre. Mais dénotant les espaces parcourus par une même particule suivant les directions des trois coordonnées il n’est pas difficile de voir que dénotera l’espace que cette même particule décrira suivant une direction perpendiculaire à la surface dont l’équation est
or, il est clair que dans notre cas cet espace doit être nul, puisque le mouvement est entièrement arrêté suivant la direction perpendiculaire à chaque point de la paroi immobile ; donc on aura
et par conséquent
Joignant ensemble les autres formules qui ont le signe on aura l’expression
qui doit aussi être égale à zéro, en tant qu’elle se rapporte à chacun des points de la surface exprimée par
Or, le facteur
se réduira, de la même façon que ci-dessus, à
d’où l’on tirera l’équation
qui devra avoir lieu pour tous les points de la surface proposée ; et cette équation renfermera en général les conditions que doivent avoir les valeurs de (45).
Supposons maintenant, pour simplifier les choses,
de sorte que la paroi immobile soit un plan perpendiculaire à l’axe des l’équation trouvée se réduira à
ou bien, si l’on veut que le plan donné soit perpendiculaire à l’axe des et que sa distance au point de l’origine des abscisses soit égale à on aura
étant égal à et et étant quelconques ; ce qui s’exprimera à notre manière par
Or, si dans l’expression générale on suppose que surpasse d’une quantité infiniment petite de sorte que on aura à très-peu près
ou
de même, si l’on suppose négative, on aura
d’où je tire
et remettant pour sa valeur
Maintenant, comme les fonctions doivent avoir un certain rapport avec la fonction en vertu des équations (A), (B), (C), il est clair que la même condition
servira aussi à trouver les transformations qui conviennent aux fonctions et lorsque est supposé plus grand que pour y parvenir, je reprends les équations mentionnées, et comparant la première, différentiée
suivant la variable et divisée par à la seconde, différentiée suivant la variable et divisée par je trouve
et de même, comparant la première, différentiée suivant et divisée par à la troisième, différentiée suivant et divisée par j’ai
posons dans ces deux équations , de sorte que
or, ayant en général
on aura aussi
donc
Supposons maintenant dans les fonctions indéterminées et développons-les en poussant les séries jusqu’aux infiniment petits du second ordre ; on aura
et de même, en prenant négativement,
d’où, à cause de l’hypothèse
on déduit
ou bien, restituant pour sa valeur
Soient reprises maintenant les formules (D), (E), et supposant que surpasse d’une quantité infiniment petite, on commencera par changer l’expression des termes ou, ce qui est la même chose, des termes en lorsque deviendra plus grand que et l’on aura par conséquent ces termes transformés en sur lesquels on opérera comme auparavant pour en tirer les valeurs de et Or, puisque les coordonnées qui répondent à et sont les mêmes que celles qui entrent dans l’expression de il est clair que, sans autre opération, il suffira de changer la valeur de l’abscisse de et en en rendant en même temps ces quantités et négatives. On changera de même les expressions qui entrent dans les termes et des mêmes formules (D), (E), en et et par un raisonnement semblable au précédent, on trouvera que l’abscisse en tant qu’elle répond aux autres quantités deviendra de même mais sans que la valeur de ces quantités soit changée.
On conclura donc pour notre cas que, lorsque le temps sera tel que l’abscisse surpassera il faudra mettre à sa place l’abscisse et faire en même temps l’espace négatif, laissant les mêmes les deux coordonnées et et les deux autres espaces
Voici maintenant le changement qui en résultera dans les rayons sonores. Que (fig. 15) représente l’axe des qui est le même que
Fig. 15.
celui des et qui rencontre perpendiculairement le plan inébranlable que soit un centre de rayons sonores déterminé par les trois coordonnées et que soit un de ces rayons quelconque déterminé par les coordonnées Supposons maintenant que soit augmenté en sorte que surpasse c’està-dire que surpasse et soit par exemple égal à le point tombant derrière l’obstacle immobile il faudra, suivant ce que nous venons d’enseigner, changer la valeur de en ce qui donnera, en supposant et par conséquent
ou bien, posant et par conséquent
d’où l’on voit que le point sera transporté en les distances et au plan étant égales de part et d’autre ; donc, comme les deux
autres coordonnées perpendiculaires à l’axe demeurent les mêmes, le rayon sera continué du côté dans la direction de la droite dont la position devra être telle qu’elle se trouve dans le plan des deux lignes et qu’elle fasse de plus avec le plan l’angle égal à l’angle Le rayon sera donc réfléchi par le plan en sorte que l’angle de réflexion soit égal à l’angle d’incidence, tout de même
qu’il arrive à un corps parfaitement élastique.
Voilà donc la réflexion du son déduite de ses vrais principes et prouvée d’une manière rigoureuse et exacte, ce que personne n’avait encore fait (Rech. préc., LXI).
Au reste, si nous n’avons considéré qu’une surface plane, ce n’a été que pour rendre notre calcul moins embarrassant ; car il n’aurait pas été difficile de l’appliquer aussi à des surfaces courbes d’une nature quelconque ; mais, comme les rayons sonores se multiplient continuellement et se répandent en tout sens, comme on l’a fait voir (50), il serait assez inutile de déterminer les lois de la réflexion de chaque rayon à la rencontre d’un obstacle de figure quelconque. Il suffit, pour l’explication des échos, d’avoir prouvé que cette réflexion doit toujours avoir lieu, lorsque l’air est appuyé sur un obstacle quelconque inébranlable.
53. Scolie I. — Il est visible que, dans les formules (P), (Q), (R), (P’), (Q’), (R’), on peut garder les expressions comme des fonctions indéterminées de de sorte qu’en substituant pour des fonctions de différente nature et composées des mêmes variables qui constituent l’exposant de chacune des quantités on aura les valeurs de données en fonctions indéterminées, ainsi que M. d’Alembert l’a pratiqué le premier dans la théorie des vibrations des cordes et ailleurs.
Au reste, pour démontrer que ces valeurs de satisfont aux trois équations du no 10, il faudra nécessairement regarder comme infiniment petit, et développer les fonctions indéterminées comme on l’a pratiqué à l’égard des fonctions (47), en négligeant tous les termes qui seront multipliés par des puissances de plus hautes que la quatrième.
54. Scolie II. — Si l’on voulait se borner à chercher les valeurs de par les séries, on y parviendrait fort aisément par les principes du no 47 ; car, développant en suites infinies les expressions et de l’équation (D), et faisant ensuite évanouir toutes les puissances de par les transformations enseignées dans le même numéro, on obtiendra une équation qui ne renfermera que les fonctions inconnues avec leurs différences ; or ces différences pourront toujours se réduire aux quantités finies par les opérations connues des intégrations par parties ; car, soit par exemple
un terme quelconque de l’équation (D) transformée comme nous venons de le dire, ce terme se réduira, en négligeant toujours les intégrales à deux seules changeantes, à
et généralement il suffira d’ôter les différentiations aux quantités et de les appliquer aux quantités par lesquelles celles-là sont multipliées. Cela fait, comme l’équation ne renfermera plus que les fonctions finies qui, à cause de la quantité qu’elles contiennent, ne doivent point entrer dans les valeurs de on trouvera ces valeurs en comparant ensemble tous les termes qui seront multipliés séparément par On aura donc par là
où les quantités devront être regardées
comme des fonctions indéterminées des trois variables pour qu’on puisse avoir les valeurs des différences Or dans le cas où est supposé infiniment petit, si l’on néglige les termes multipliés par des puissances de plus hautes que la quatrième, et qu’on pratique ensuite sur les fonctions des réductions analogues à celles qui ont été pratiquées sur les fonctions dans le calcul du no 47, il sera aisé de réduire les expressions de à des fonctions de comme dans le Scolie précédent, ce qui sera une preuve de la justesse de nos calculs.
Au reste la méthode que nous n’avons fait qu’indiquer dans ce Scolie est générale et peut aussi être appliquée à la résolution d’une infinité d’autres équations de la nature de celles que nous avons examinées dans tout le cours des Recherches précédentes. Mais on trouvera toujours des séries composées de puissances croissantes de et qui par conséquent ne seront bonnes que tant que aura des valeurs fort petites.
§ III. — Conjectures sur la loi de l’élasticité des particules de l’air.
55. Nous avons vu que la vitesse du son, suivant la théorie, est exprimée par
et nous avons vu aussi qu’elle diffère de la véritable d’environ pieds par seconde, quantité qui ne peut raisonnablement être négligée ; comment donc concilier sur ce point la théorie et l’expérience ?
L’expression est fondée sur l’hypothèse ordinaire que l’élasticité des parties de l’air soit exactement proportionnelle à leur densité ; mais ne pourrait-on pas supposer que l’élasticité variât dans une autre raison peu différente de celle de la densité simple. Si on voulait en général supposer proportionnel à comme dans le no 11, il n’y aurait qu’à mettre dans nos calculs au lieu de tout le reste demeurant le même ; ce qui ne produirait d’autre différence dans les résultats, sinon que la vitesse du son serait augmentée dans la raison de à
Soit l’élasticité proportionnelle à une puissance quelconque de la densité, ce qui paraît le cas le plus naturel ; on aura
d’où, en posant on tire pour la vitesse du son ou pieds par seconde ; par conséquent, en prenant pieds par seconde pour l’expression véritable de cette vitesse, il faudra que
ce qui donnera
et en fractions décimales
ou à très-peu près
Or, comme l’élasticité se mesure par le poids comprimant, il est clair que si cette hypothèse a lieu dans la nature, il faudra que la densité devenant double, triple, quadruple, …, les poids comprimants croissent comme les nombres qui surpassent les nombres de la progression arithméthique d’environ
Ces différences paraissent à la vérité trop fortes pour qu’on puisse raisonnablement supposer qu’elles aient échappé aux savants Physiciens qui ont déterminé par l’expérience les lois de la compression de l’air ; aussi je ne donne l’hypothèse de l’élasticité proportionnelle à que comme une légère conjecture, et je me contenterai seulement de faire observer que l’expérience même paraît jusqu’à un certain point favorable à la supposition que l’élasticité croisse dans une raison plus grande que la densité, puisqu’on sait que de très habiles Physiciens ont trouvé que, lorsque la densité est devenue quadruple de la naturelle, l’air ne se comprime plus que suivant une proportion moindre que celle des poids.
56. Au reste, il est clair que si l’hypothèse et en général avait exactement lieu dans la nature, la densité d’une particule d’air deviendrait nulle lorsque le poids comprimant serait nul, ce qui paraît renfermer quelque espèce de contradiction ; si donc, pour éviter un pareil inconvénient, on suppose que le poids comprimant soit proportionnel à quelque autre fonction de la densité, on satisfera tout à la fois à la théorie de la propagation du son et aux expériences de la compression de l’air, si on peut déterminer en sorte que
(en y mettant ), et qu’en même temps soit assez sensiblement proportionnel à tant que est contenu entre les limites et
chapitre vi.
réflexions sur la théorie des instruments à vent.
57. Dans le noLII des Recherches précédentes, j’ai réduit la théorie des flûtes à celle des oscillations d’une fibre élastique d’air dont les deux extrémités soient fixes, comme dans les cordes sonores ; mais cette supposition n’est pas exacte, car on sait que l’air renfermé dans le tuyau communique toujours avec l’air extérieur, ou de deux côtés comme dans toutes les espèces de flûtes, ou d’un côté seulement comme dans les trompettes, les cors de chasse, et dans les tuyaux d’orgue bouchés ; je vais donc maintenant avoir égard à ces circonstances.
Considérons d’abord des flûtes de forme exactement cylindrique, et supposons que la colonne d’air qui y est renfermée soit soutenue, à ses deux extrémités, par une force égale au ressort naturel de l’air extérieur.
Dénotant par les excursions longitudinales de chaque partie d’air, on aura l’équation
d’où il sera aisé de tirer, par le Problème I ci-dessus, les mêmes résultats que dans le numéro cité, en supposant, comme on l’a pratiqué partout ailleurs, nul lorsque et étant ici la longueur entière de la flûte ; mais, dans le cas que nous nous proposons d’examiner, ce n’est plus cette condition qui doit avoir lieu ; il faut que l’élasticité de la première et de la dernière particule soit la même que l’élasticité naturelle de l’atmosphère, savoir, que
lorsque et Or, puisque dans ces deux points les deux termes et doivent disparaître d’eux-mêmes, par la nature de notre méthode (voyez Problème I), il faudra que la différentielle y devienne nulle ; c’est pourquoi l’on aura
et par conséquent les équations
Ces équations fourniront une construction à peu près semblable à celle du no 7, mais on pourra s’en passer lorsqu’il ne sera question que de déterminer la durée commune des oscillations des particules de l’air ; car il suffira pour cela de considérer que les équations trouvées demeurent invariables lorsqu’on augmente la valeur de d’un multiple quelconque de d’où il s’ensuit qu’au bout de chaque intervalle de temps les valeurs de et de reviendront les mêmes, et que par le conséquent toutes les particules reprendront aussi la même situation et le même mouvement ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans l’endroit cité des Recherches précédentes, quoique d’après une autre hypothèse.
Cela aura lieu en général pour toutes les valeurs possibles de mais si on suppose que les valeurs de soient renfermées dans la formule particulière
étant un nombre entier, positif et déterminé, et un nombre quelconque entier, il est évident, par la nature des sinus et cosinus, que les valeurs de et de reviendront les mêmes après chaque intervalle de temps égal à et qu’ainsi la durée des oscillations se réduira à la moitié, au tiers, au quart, …, selon que sera exprimé par
Or, dans ce cas, il est clair que si l’on décrit une courbe où, les abscisses étant les ordonnées soient cette courbe aura autant de ventres égaux et semblables qu’il y a d’unités dans le nombre par conséquent les quantités qui sont multipliées par chacune de ces ordonnées, devront former aussi des courbes de pareille forme ; autrement le Problème demeurerait indéterminé ou plutôt indéterminable, puisqu’on pourrait trouver pour et plusieurs valeurs différentes, ce qui serait absurde.
On voit par là que ce cas répond exactement à celui que nous avons examiné dans le noXLIX des Recherches précédentes, et qu’il contient par conséquent l’explication des sons harmoniques.
58. Supposons maintenant que la flûte soit bouchée à l’extrémité opposée à l’embouchure : puisque alors étant égal à le terme disparaîtra de lui-même et le terme restant donnera
d’où l’on tirera
marquant un nombre quelconque entier positif ou négatif.
Cette valeur substituée dans les deux équations du numéro précédent, on verra aisément que les termes et ne reprendront les mêmes valeurs que lorsque sera augmenté de ce qui Je donnera la durée des oscillations double de celle qu’on a trouvée dans le cas précédent.
Ce fait est confirmé par l’expérience, par laquelle on trouve en effet que les tuyaux bouchés donnent justement l’octave du son qu’ils donneraient étant ouverts. Mais il y a plus : comme la durée des oscillations ne peut s’accourcir, à moins que ne devienne le produit de deux nombres entiers et par conséquent impairs, il s’ensuit qu’elle ne pourra devenir que le tiers, ou la cinquième partie, ou etc., de la durée naturelle d’où il résulte qu’une flûte bouchée, après avoir rendu le son fondamental, ira immédiatement à la douzième, et puis à la dix-septième, etc., sans passer par aucune des octaves intermédiaires.
Voilà l’explication exacte d’un phénomène assez singulier, que M. Daniel Bernoulli a le premier fait remarquer dans l’article III de son Mémoire sur les vibrations des cordes (Académie de Berlin, 1753), mais dont ni lui ni aucun autre, que je sache, n’avaient encore jusqu’ici rendu raison.
59. Lorsque les flûtes n’ont pas une forme cylindrique, ou en général lorsqu’il s’agit des trompettes et des cors de chasse, il semble qu’on pourrait tirer leur théorie des calculs du no 30 ; cependant voici une difficulté.
On sait que ces instruments, quelque figure qu’ils aient, donnent toujours, par une simple variation d’embouchure, tous les sons qui répondent aux nombres et il n’est pas difficile de voir, en appliquant aux formules générales du no 28 les remarques des numéros précédents, que cela demande nécessairement que les valeurs de soient comme dans les flûtes cylindriques. Or je ne vois point comment l’expression de du no 27 pourrait fournir de telles valeurs, pour a moins que les coefficients alternatifs ou ne fussent nuls, ainsi qu’on l’a déjà remarqué dans le no 32.
Au reste, quels que soient les mouvements des particules de l’air dans les instruments à vent, ils seront toujours renfermés dans les trois équations générales du no 10, dont nous avons donné une construction approchée dans le Chapitre précédent. Il est vrai que cette construction ne nous apprendra rien sur la nature des vibrations des particules, mais les équations (D) et (E) font connaître que, pour que ces vibrations deviennent synchrones, il faut que toutes les valeurs de soient commensurables entre elles, afin qu’il y ait un certain intervalle de temps après lequel, les fonctions et reprenant toujours les mêmes valeurs, les équations mentionnées redeviennent aussi exactement les mêmes.
Cette condition cependant n’est point nécessaire, si l’on suppose que les équations dont il s’agit soient vérifiées indépendamment des quantités et ce qui a lieu lorsque chacune des intégrales
s’évanouit d’elle-même. Il ne sera donc pas inutile d’examiner ici quelles
doivent être les valeurs de pour que ces dernières conditions aient lieu.
60. Pour cela, soient substituées au lieu de leurs valeurs tirées des équations de condition (A), (B), (C) du no 45, et faisant évanouir par des intégrations par parties les différences de on aura d’abord, en négligeant les intégrales à deux seules changeantes qui sont nulles par la nature même des quantités et des fonctions la transformée suivante
où l’on voit que les quantités multipliées par sont les mêmes que celles qui composent les seconds membres des équations différentielles proposées, ce qui ne pourra jamais être autrement, quelque forme que puissent avoir ces équations, puisqu’il est clair que les nouvelles intégrations par parties dont on fait usage ici ne servent qu’à défaire ce qu’on avait fait par les premières.
On aura donc, en posant pour une constante quelconque,
et par conséquent, tant que ne sera pas égal à on satisfera à
l’équation
en faisant séparément
d’où l’on tirera les valeurs de qu’on pourra exprimer généralement ainsi :
les lettres marquant des fonctions variables données.
La constante peut être quelconque et même une fonction du temps qui est ici regardé comme constant, mais les autres constantes qui se trouveront dans les fonctions devront être déterminées par les conditions qu’on supposera aux quantités conditions qui dépendront dans le cas présent de la figure du tuyau qui renferme les particules mobiles de l’air.
À l’égard de la constante elle sera susceptible d’une infinité de valeurs qui seront les mêmes précisément que celle de la quantité mais prises négativement ; ce qu’on peut démontrer en général de la manière suivante. Les équations trouvées (a), (b), (c), comparées avec les équations fondamentales du no 10, donnent
d’où l’on tire l’équation
qui, comparée avec l’équation en trouvée dans le no 45,
donne
En raisonnant et opérant de même sur les autres formules intégrales qui doivent aussi être égales à zéro, on trouvera pour comme aussi pour et des valeurs qui ne différeront de celles de que dans la constante arbitraire par laquelle les fonctions peuvent être multipliées ; on aura ainsi
Maintenant, il faut observer que comme les équations (a), (b), (c) ne rendent l’intégrale proposée égale à zéro que tant que n’est pas égal à et que d’ailleurs les équations (D) et (E) du no 45 doivent avoir lieu en général pour toutes les valeurs de il restera encore à vérifier ces équations dans le cas de or, substituant dans l’équation (D) les valeurs trouvées ci-dessus de il viendra
ce qui donnera
On aura de même, par l’équation (E),
donc
Il n’est pas difficile de voir ici que les vibrations des particules seront toutes synchrones à celles d’un pendule simple dont la longueur serait par conséquent, quelles que soient les valeurs de le fluide pourra toujours faire des oscillations isochrones d’autant d’espèces qu’il y aura de différentes valeurs de a. Au reste, ce cas est celui de l’isochronisme ordinaire, où les forces accélératrices sont proportionnelles aux espaces à parcourir.
61. Supposons maintenant
on aura
Donc, pour que l’intégrale
devienne nulle, il suffira de faire
sans qu’il soit séparément comme dans les équations
Or, cette dernière formule étant semblable à la formule
qui a fourni les équations on trouvera par des procédés pareils les équations suivantes :
d’où l’on tirera les valeurs de qui, étant substituées ci-dessus, donneront des nouvelles valeurs de
Il faut remarquer que dans la transformation de la formule
on trouvera des intégrales à deux changeantes de même forme que celles qui résultent de la formule
il faudra donc les faire évanouir, en supposant aux valeurs de les mêmes conditions qu’à celles de d’où il s’ensuit que, comme les équations sont d’ailleurs entièrement semblables aux équations on aura de même
et de plus que la quantité aura les mêmes valeurs que la quantité
Maintenant, au lieu de substituer ces valeurs de dans les équations en je multiplie ces mêmes équations telles qu’elles sont par un coefficient indéterminé et j’ajoute chacune d’elles avec sa correspondante d’entre les trois autres ce qui me donne
Soit donc fait
et supposant pour abréger
on aura
d’où l’on tirera comme ci-dessus
marquant une nouvelle constante arbitraire.
Or, les conditions qui déterminent les constantes de étant les mêmes que celles qui déterminent les constantes de par ce qui a été dit ci-dessus, elles seront encore les mêmes pour les constantes de d’où il s’ensuit qu’on aura aussi pour les mêmes valeurs que pour savoir les mêmes que celles de la quantité
Maintenant, comme
on aura, en substituant et prenant deux différentes constantes arbitraires et marquant par deux valeurs quelconques de
formules qui serviront aussi pour les autres variables en ne faisant que changer les constantes
Or, pour trouver le rapport entre les quantités et dépendant du temps on remarquera qu’il y a ici deux cas où les équations ne remplissent point la condition proposée de
savoir, celui où et celui où Il faudra donc, dans ces cas, recourir immédiatement aux équations (D) et (E), et substituant au lieu de les expressions trouvées, faire en sorte que ces équations deviennent possibles lorsque et
Soient désignées par les constantes qui répondent aux quantités et par celles qui répondent aux quantités et et posons d’abord il est clair que la formule
évanouira par elle-même, suivant ce qui a été démontré dans le numéro précédent ; donc l’équation (D) se réduira comme ci-dessus à
d’où l’on tire
On tirera de même, de l’équation (E),
Après cela, on supposera et l’on trouvera par des procédés semblables
On aura donc
On voit par ces formules que le mouvement de chaque particule sera composé de deux mouvements analogues chacun au mouvement représenté par les formules du numéro précédent ; d’où il est aisé de conclure que les vibrations ne seront jamais isochrones, à moins que les mouvements composants ne soient synchrones entre eux, ce qui ne pourra arriver que lorsque les quantités et seront commensurables entre elles.
62. En suivant la méthode que nous venons d’expliquer, on pourra supposer de nouveau, au lieu des équations
et ensuite
d’où, par des opérations analogues à celles qui ont été pratiquées ci-dessus, on parviendra aux formules suivantes :
qui donnent les mouvements des particules composés de trois mouvements simples, analogues chacun à celui du no 60 ; d’où il s’ensuit que l’isochronisme n’y aura lieu que lorsque les quantités qui expriment trois valeurs quelconques de seront toutes commensurables entre elles.
En suivant encore la même méthode, on trouvera pour les valeurs de des formules composées de termes semblables dont chacun répondra à une quelconque des valeurs de on pourra donc par ce moyen avoir autant de solutions particulières qu’il y aura de combinaisons à faire, une à une, deux à deux, trois à trois des valeurs de de sorte que, leur nombre étant celui de solutions particulières sera mais, si le nombre des valeurs commensurables est seulement égal à il n’y aura que de ces solutions qui rendent les oscillations isochrones.
63. Remarque. — Si l’on poussait les expressions des valeurs de jusqu’à ce que le nombre de leurs termes fût égal à celui des valeurs de on aurait alors une solution générale et applicable à tous les cas possibles ; quoique cette proposition ne soit pas une suite nécessaire de l’analyse précédente, il est aisé de la démontrer en rigueur par le moyen des principes jusqu’ici établis.
Pour cela, je suppose qu’on développe la formule (D) en autant de formules particulières qu’il y a de valeurs de et qu’on en tire par la combinaison la valeur de hacune des quantités soit en se servant des règles ordinaires, soit en employant une méthode analogue à celle dont nous avons fait usage dans le Chapitre III des Recherches précédentes (XXIV) ; il est facile de voir que ces valeurs seront exprimées de la manière suivante :
posant pour la dernière des valeurs de
Les quantités et sont mises pour dénoter les valeurs des expressions
lorsqu’on fait successivement égal à Les autres quantités sont différentes pour chaque particule, c’est-à-dire sont des fonctions variables de
Or, si l’on regarde ces fonctions comme indéterminées, on pourra en connaître la valeur par le moyen de la substitution et de la comparaison, ainsi qu’on le pratique dans la méthode connue des indéterminées. Substituons donc au lieu de dans l’équation (D), les expressions ci-dessus, et supposant pour abréger que dénotent en général les valeurs de lorsqu’il y a encore au lieu de on aura
équation qui doit être identique en faisant égal à
Soit donc posé en général le second membre de l’équation deviendra
et le terme ième du premier membre étant
pour identifier les deux membres, on supposera que
soit égal à et que toutes les autres formules exprimées généralement par
soient nulles, étant égal à dans les valeurs de d’où l’on voit que les valeurs de devront être telles, que la formule générale
soit toujours égale à lorsque et qu’elle soit toujours égale à zéro, lorsque a une autre valeur quelconque,
Or, par ce qui a été démontré dans le no 60, on trouvera d’abord, pour remplir cette dernière condition, les équations suivantes :
d’où il résultera, comme dans le numéro cité,
Soit maintenant la valeur de
en y posant exprimée par on aura, pour satisfaire à la première condition,
et par conséquent
Substituant enfin les valeurs trouvées de dans les expressions de et posant pour plus de simplicité au lieu de et au lieu de il viendra
Par des raisonnements et des opérations semblables, on tirera de
l’équation (E)
Voilà, comme l’on voit, une construction générale des mêmes équations que nous avons déjà traitées dans le § II du Chapitre précédent par une voie fort différente, et seulement par approximation ; mais il faut avouer que cette construction n’est guère utile pour la connaissance du mouvement des particules de l’air. Car les valeurs de sont composées de suites infinies dont les termes ne sont point convergents ou du moins ne peuvent point être regardés comme tels, puisque les constantes que ces termes renferment, dépendent des premières valeurs de et de qui doivent être supposées quelconques.
64. Scolie. — Il est clair que la méthode de la Remarque précédente peut être employée dans une infinité d’autres équations de même espèce, et qu’elle s’applique également, que le nombre des corps mobiles soit infini ou qu’il soit fini, de sorte qu’on peut la regarder comme une simplification et une généralisation de celle dont nous nous sommes servis dans le Chapitre III des Recherches précédentes
Au reste, cette méthode sert à démontrer la belle proposition de M. Daniel Bernoulli que : lorsqu’un système quelconque de corps fait des oscillations infiniment petites, le mouvement de chaque corps peut être considéré comme composé de plusieurs mouvements partiels et synchrones chacun à celui d’un pendule simple. (Voyez les Mémoires de l’Académie de Berlin, année 1753.)
↑ Comme j’aurai souvent occasion dans la suite de renvoyer à ces mêmes Recherches, je les appellerai simplement Recherches précédentes, et j’en citerai les Chapitres et les numéros en chiffres romains pour les distinguer de ceux de la Dissertation présente.
_vol._1_(page_151_Fig.1).png)
![{\displaystyle \varphi \left[-{\frac {(a+z)\mathrm {T} }{\sqrt {2h\mathrm {A} }}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c436e4875cc90db68b7c26b67e5449af172a41)
![{\displaystyle \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4dc027aa30e6e84c2bf336c24a873dc415c3ca)
![{\displaystyle \int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358a581be435c2d33bc2cb25a9c9e6eb5c6df7a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d50190272e6aca804a39da0116298f8a0fdee4)
![{\displaystyle \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696f8ba37129fe5527e98c4f665be91e799b4e32)
![{\displaystyle \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73711d7a36612c38d5322a4b00d302226ba17c30)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {Z} ^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {Z} ^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right],\\u=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {U} ^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {U} ^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81d5ad2c58319b1ed637cb0adf7afafd0f3f756)
_vol._1.p228-fig3.png)
_vol._1.p228-fig4.png)
_vol._1.p228-fig5-6.png)
_vol._1.p229-fig7.png)
_vol._1.p230.png)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\quad {\text{et}}\quad \int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0139c8f04892963fb2484739ba2f95614b8f671b)
![{\displaystyle \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)=\sin \left[(2a-z){\sqrt {-k}}\right]=\sin \left(2a{\sqrt {-k}}-z{\sqrt {-k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3801e2ba2e4d20f48e9659760abe851d4fec39)
![{\displaystyle \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)=\sin \left[(2a-x){\sqrt {-k}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce8f87a310698d149b2cbe231fd7b062fced5a5)
_vol._1.p232.png)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx+\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23d2dc9ef582e80637486e62a57200345353cd9)
_vol._1.p233.png)
![{\displaystyle \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}-2\mu a{\sqrt {-k}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2d2c620031daaa240ecc56fdafa4a33fce6c58)
![{\displaystyle \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}-\mu \nu \varpi \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fcd7145419c9f4138fb105867d5895f1b87648)
![{\displaystyle sin\left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00605a96429a9706855ac9ce70d276334983591f)
![{\displaystyle \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}+\mu \nu \varpi \right]=\sin(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4962b622e7f8de1d356e6a9dc353dd51700b08d)
_vol._1.p245.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{2}}\left[z^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}+z^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int udx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int udx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right],\\u'=&{\frac {1}{2}}\left[u^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}+u^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775da844138c044ede5bd2c555ea22418b2374e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {Z} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {Z} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b618ca76b5e4905241fcd6be45b2d6d2039d047a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {1}{4{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {Z} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\mathrm {Z} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\\u'=&{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {U} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {U} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {\sqrt {c}}{4}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&+{\frac {\sqrt {c}}{4}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {U} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\mathrm {U} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69c313266f7825ed6c001bbfdf0a51873e6323f)
![{\displaystyle \mathrm {M=A} \left[\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-x{\sqrt {-k}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2e73bc8264d87b3a69c5207c8d76533f63e20f)
![{\displaystyle \mathrm {A} \left[\sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)-a{\sqrt {-k}}\cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a17b36fc5c3fd100a303b371f8c5c256b26598)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {Z} ^{'\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {Z} ^{'\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} 'dx\right)^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int \mathrm {U} 'dx\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right],\\u'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {U} ^{'\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {U} ^{'\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} '}{dx}}\right)^{\left(x+t{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {d\mathrm {Z} '}{dx}}\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0029cfb561e230686d6fa95911300efabc73e385)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {1}{2}}\left[\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left[\int \psi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)dx-\int \psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)dx\right],\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left[\psi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left[{\frac {d\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)}{dx}}-{\frac {d\varphi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{dx}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74a866e24378f05bc36723c77b3be39b3482ad9)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199b63ba6db0e163e07e17ab906e32bf5d706eb6)
![{\displaystyle -\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83622e9fafab21cf3ed2dcbd2c5b0b7c2138e496)
![{\displaystyle \int \mathrm {R} \sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f59e4fa2953ba9b34586926eb000137d68b1b8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\mathrm {R} \cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\sin \left(z{\sqrt {-k}}\right)dz-a\int \cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\sin \left(z{\sqrt {-k}}\right)d\mathrm {R} \\&=\int \mathrm {R} \sin[(a+z){\sqrt {-k}}]dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969fc42a73124ea6a38d2eb6bb34393455685cfe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} \sin \left[(a+z){\sqrt {k}}\right]dz-{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} \sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz\\-&{\frac {1}{2}}a\int \sin \left[(a+z){\sqrt {k}}\right]d\mathrm {R} +{\frac {1}{2}}a\int \sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz\\=&\int \mathrm {R} \sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d97209a0bdea89c1c87c9cfac33d7d2c44e0301)
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {R} +a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}}\right)\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz=-\int \left(\mathrm {R} -a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}}\right)\sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daac6c84b3c8c17715ce874fdec3573978fdbcc)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,\qquad -\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(a-z){\sqrt {k}}\right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7419cd6291ac9857289f6b56de487de297586dc)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left[\mathrm {\left(X+t{\sqrt {c}}\right)} {\sqrt {-k}}\right]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27da005ee0afbf0ef8ae44409947eb06e1994f38)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc603755c985cf3cf3df95af3d2ec284cc81dc2)
![{\displaystyle -\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(a-z){\sqrt {-k}}\right]dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c796c577f98ad6021f4e33e75ca9d6a65ec4c5cd)
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(x-2a){\sqrt {-k}}\right]dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810e748fadf836884336a4dff08d2d1930e5c0fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]+\left[{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]=&0\\\left[\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]+\left[{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe31eb705c6d60b1153d3f42c8e286fbd5699a78)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {Z} +{\frac {d\mathrm {Z} x}{dx}}-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}\right)dx\right],\\u'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}-{\sqrt {c}}{\frac {d\left(\mathrm {Z} +{\cfrac {d\mathrm {Z} x}{dx}}\right)}{dx}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a637626c4ccd05e1f470131d40a8f8627872bcb2)
![{\displaystyle \mathrm {M=A} \left[\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-x{\sqrt {-k}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647664a19830c25e9621c369beb85c4e6c5b6600)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\mathrm {P} \left[\mathrm {A} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {\sqrt {-k}}{\sqrt {c}}}\mathrm {B} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {k}{c}}\mathrm {C} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[\mathrm {A} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)-{\frac {\sqrt {-k}}{\sqrt {c}}}\mathrm {B} \sin \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)+{\frac {k}{c}}\mathrm {C} \cos \left(x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}}\right)-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f7a1044b32c3d2824824aed74ffbc7bf366633)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &z\sin \left(t{\sqrt {-k}}\right)dt=\\&{\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {AZ} +{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\+&{\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {AZ} -{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\+&{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\mathrm {A\int U} dt+{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}\mathrm {U} +{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\-&{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\mathrm {A\int U} dt-{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}\mathrm {U} +{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7dc00a2c9094f7f2cf20deb0876598035656af)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=\,\ {\frac {\mathrm {A} }{2}}\ \ \left[\Delta \ \ \left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)+\Gamma \ \ \left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)\right]\\&+{\frac {\mathrm {B} }{2{\sqrt {c}}}}\left[\Delta '\ \left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)-\Gamma '\ \left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)\right]\\&+{\frac {\mathrm {C} }{2{\sqrt {c}}}}\left[\Delta ''\left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)+\Gamma ''\left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b08686f9b12251661a1daf0b09b72c851c0f16c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \left(-t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)=&\Delta \left[{\frac {1}{\sqrt {c}}}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right],\\\Gamma \left(-t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)=&\Gamma \left[{\frac {-1}{\sqrt {c}}}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f14b5442223d1ad96d9e41e3110d8a1fb11fce)
![{\displaystyle \Delta \left[{\frac {1}{\sqrt {c}}}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23222165b15bfe948eb86f97fc591316014446dc)
![{\displaystyle \Gamma \left[{\frac {-1}{\sqrt {c}}}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47615520f4f762c24d13ebbf6c726d03e66cfe9)
![{\displaystyle \Delta '\left[{\frac {1}{\sqrt {c}}}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right],\qquad \Delta ''\left[{\frac {1}{\sqrt {c}}}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right],\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ca9d435373b0eb47321af6b5973ffa37cb1f8f)
![{\displaystyle \Gamma '\left[{\frac {-1}{\sqrt {c}}}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right],\qquad \Gamma ''\left[{\frac {-1}{\sqrt {c}}}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right],\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0b78d2e3a49958cc7aa4c888fdbadf3544f742)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {\mathrm {A} }{2}}\left[\Gamma \ \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\Delta \ \ \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {\mathrm {B} }{2}}\left[\Gamma '\ \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\Delta '\ \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {\mathrm {C} }{2}}\left[\Gamma ''\left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\Delta ''\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9968f817b059f2cda5a214e3599997aa585a4ce1)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {h}{4(1+n)}}\left[{\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}+(2n-1)\left({\frac {d{\cfrac {z}{s}}}{ds}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e7711cfba6b4286bfdec48a4e8f13eb24ebd9)
![{\displaystyle \sin \left[(x){\sqrt {-k}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a064b4dc72e33ae7dcda8c65d1db96219eb1de4)
![{\displaystyle {\frac {d\left[\rho \alpha +\Delta (u,s)\right]}{ds}}={\frac {d\left[\nu \beta +\Gamma (u,s)\right]}{du}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc881cf710831a22343bacacf34658d6331ea59)
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\left[{\frac {d\Gamma (u,s)}{du}}-{\frac {d\Delta (u,s)}{ds}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2227dee97a4b000b8d95d44f510c4a02e412b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(\mathrm {N} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {du}{dt}}\right)dx=&\int \left[c{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}z+\left(\mathrm {N} -b{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)u\right]dx+\int \mathrm {M} ydx\\&+b\mathrm {M} u+c\mathrm {M} {\frac {dz}{dx}}-c{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ba9792f4716769fc9d724f31c8f1189c46cb06)
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=\left[{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}-{\frac {d\left(\mathrm {U} -cm{\cfrac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)}{dx}}{\frac {t}{cm^{2}}}\right]^{\left(x-{\frac {t}{m}}\right)}+\int {\frac {d\mathrm {P} }{dp}}{\frac {p+t}{cm^{2}}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5195894cafbef6bbb95098bc0b37ef61b5f897bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int \mathrm {Q} dt-\int \mathrm {P} dt}{2{\sqrt {c}}}}=&{\frac {1}{4}}t{\sqrt {c}}\left[\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)-\varphi '^{2}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{4}}\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\varphi '\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\\&+{\frac {1}{4}}\psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{4}}(\psi )+{\frac {1}{4}}(\varphi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd299228f86f177941772e349b8a771335cf1290)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&-c\,{\frac {d\left[{\cfrac {x^{2}}{(x+z)^{2}}}{\frac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}\right]}{dx}}{\frac {(x+z)^{2}}{x^{2}}}\left(1+{\frac {dz}{dx}}\right)\\=&{\frac {\cfrac {d^{2}z}{dx^{2}}}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}+{\frac {2}{x+z}}{\frac {dz}{dx}}-{\frac {2z}{x(x+z)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c3ebaf62f884d5e6d9b7edc9e8d92f134f58bf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)&-c\left({\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {z}{x}}{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right)\\&+c\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2{\frac {z^{2}}{x^{2}}}{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}\right]-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f669faa957939bc04f0cddb8e1b1ba1bc7a03ed)
![{\displaystyle \int ydx+xy=\mathrm {Y} ={\frac {d\left(x\int ydx\right)}{dx}}=-{\frac {c}{2}}{\frac {d\left[x\left({\cfrac {dz}{dx}}\right)^{2}\right]}{dx}}-c\,{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607c92dbfdb0ce90809bfab20ac9fa346770f5b9)
![{\displaystyle \varphi \left[x-t{\sqrt {c}}+{\frac {\log x}{2}}\varphi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2a180e0efae83a86c105e27e8fd60ce0db6a38)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\mathrm {L} +{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\mathrm {M} +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=c\int \left[x\left({\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)\right.\\&\qquad \qquad +y\left({\frac {d^{2}\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\\&\qquad \qquad +\left.z\left({\frac {d^{2}\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {L} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a03fa2dc845e5c3d449c4b6fa7b571d63ff2bf)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\int &(x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&\quad +{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18992cab1ea36e37dbaac544b387a6dfd7e05297)
![{\displaystyle \quad \left\{{\begin{aligned}\int &(x'\mathrm {L} +y'\mathrm {M} +z'\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&\quad -{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591105e6b13462ff3961df1fde3257f09febebbb)
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {A} (x')+\mathrm {B} (y')+\mathrm {C} (z')\right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308aed286acf3091d7fa4e6f1b2f2863c6486a7b)
![{\displaystyle \left.+r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c6a0f3e9dbac52f3ee2149e3ee71883b6be3e7)
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z\right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbb59930671e6737762fffcec9eab63e2fc8c2a)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71f958f5f585c17d7e2ad1c1289e8abfa90af22)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]e^{(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} ){\sqrt {k}}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95811226da3ee361946a75e2cd12df35991113b8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} x&+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z\\&={\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)+{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} \right.\\&\qquad \left.+{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} +{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]^{\left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} +t{\sqrt {c}}\right)}\\&+{\frac {1}{2}}\int \left[\mathrm {A} (x)+\mathrm {B} (y)+\mathrm {C} (z)-{\frac {1}{\sqrt {c}}}p\mathrm {A} \int (x')d\mathrm {X} \right.\\&\qquad \left.-{\frac {1}{\sqrt {c}}}q\mathrm {B} \int (y')d\mathrm {Y} -{\frac {1}{\sqrt {c}}}r\mathrm {C} \int (z')d\mathrm {Z} \right]^{\left(p\mathrm {X} +q\mathrm {Y} +r\mathrm {Z} -t{\sqrt {c}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6629e5bd29f0f7e0f5372296d6ad87c9f8794293)
![{\displaystyle \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60c3976b51bbe676d88439b8f1c80c2101b16a7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int (x)\left[\mathrm {L} \,+{\frac {1}{2}}t^{2}ck\mathrm {L} \ +{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}k^{2}\mathrm {L} \ \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\int (y)\left[\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}t^{2}ck\mathrm {M} +{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}k^{2}\mathrm {M} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\int (z)\left[\mathrm {N} \ +{\frac {1}{2}}t^{2}ck\mathrm {N} \ +{\frac {1}{2.3.4}}t^{4}c^{2}k^{2}\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd48d9841416f76e292877d105599afb74e3086d)
![{\displaystyle \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de4ff638e846a7e05a66e136ba6ee7135fc926)
![{\displaystyle {\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683f71885a620f489cf1cd2b1752832526243f31)
![{\displaystyle \int \left[(x')\int \mathrm {L} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)}dt\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7bea7abd6b6d630841c47fbb17eac3d46eec6c)
![{\displaystyle -\int \left[\mathrm {L} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)}\int (x')dt\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4d16f6e9014201860c71904b11bbe8136b8da9)
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {L} ^{(\mathrm {X,Y,Z} )}\int (x')^{(\mathrm {X} -pt,\mathrm {Y} -qt,\mathrm {Z} -rt)}dt\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f750a110a8571a4c638c265fd3dd48d2090172)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {P} ')\qquad x'=&(x')^{(\mathrm {X,Y,Z} )}\\&-{\frac {1}{4}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} ,\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&-{\frac {1}{4}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} ,\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&-{\frac {1}{4}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} ,\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&-{\frac {1}{4}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} ,\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9384414b465a9796ddb9539ae08a667f1063b802)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(y')+{\frac {d(y)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64741c5252626643290d60d82ae030f0e00381d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&+{\frac {1}{8}}\left[(z')+{\frac {d(z)}{dt}}\right]^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2910b4f137019e44630064ab4a715e17fd7ca47)
![{\displaystyle \mathrm {[X],[Y],[Z]} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077974723a5c53b2752d202876622b00793b88f8)
![{\displaystyle (\mathrm {[X],[Y],[Z]} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e3c2cdf465e71df5bb651d1cf18b622f69e08)
![{\displaystyle \mathrm {X} -pt=[\mathrm {X} ],\qquad \mathrm {Y} -qt=[\mathrm {Y} ],\qquad \mathrm {Z} -rt=[\mathrm {Z} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d72a63165f89c4378d23be208c66a05dab6507a)
![{\displaystyle \mathrm {X} =[\mathrm {X} ]+pt,\qquad \mathrm {Y} =[\mathrm {Y} ]+qt,\qquad \mathrm {Z} =[\mathrm {Z} ]+rt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603e4a42b4812ac4bdb2863f38d2eba3055d42c8)
![{\displaystyle \mathrm {[X],[Y],[Z]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc8cd87dc341b69790869c74a0319252f988341)
![{\displaystyle \alpha \left[(x)+\int (x')dt\right]^{\left[\mathrm {X} +p(t),\mathrm {Y} +q(t),\mathrm {Z} +r(t)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76a03190228481dc723acdf9b1af2ad202699b1)
![{\displaystyle \alpha \left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{\left[\mathrm {X} +p(t),\mathrm {Y} +q(t),\mathrm {Z} +r(t)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a709ce4f06cf4c05a39a64720c0fe482adc2cb)
![{\displaystyle \alpha \left[(x)+\int (x')dt\right]^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778f324a9f1928ea31cc6eaaa22b2ca7ee6e431c)
![{\displaystyle \alpha \left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57066114f7bc368177be0b39550330743186851)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[(x)+\int (x')dt\right]^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)},\\&\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a256d745ba62f879c909ede1b0413c837b7d04f9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[(x)+\int (x')dt\right]^{(\mathrm {X} -pt,\mathrm {Y} -qt,\mathrm {Z} -rt)},\\&\left[(x')+{\frac {d(x)}{dt}}\right]^{(\mathrm {X} -pt,\mathrm {Y} -qt,\mathrm {Z} -rt)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f58a69290ded80fca8ec26a126c4b978d6aa255)
_vol._1.p346.png)
![{\displaystyle \left[(x)-\int (x')dt\right]=\alpha \left[(x)+\int (x')dt-\int (x')dt-(x)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8031da1503a6067dd783ddf16fd291c617d5ebf)
![{\displaystyle \left[(x')-{\frac {d(x)}{dt}}\right]=\alpha \left[(x)+{\frac {d(x)}{dt}}-{\frac {d(x)}{dt}}-x'\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4436e64e72227f0d3bc6cd568704e646cfe1fa3)
![{\displaystyle \mathrm {X=[X]} +pt,\qquad \mathrm {Y=[Y]} +qt,\qquad \mathrm {Z=[Z]} +rt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4e52123f2408971523576471ce13f9be4d7c40)
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29baee1f1ab9f6ef59b31ae8642827c6582632e)
![{\displaystyle 2a-[\mathrm {X} ]-pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb34a28b951c03ff66eb73c9cef7ce1f172e151)
![{\displaystyle [\mathrm {Y} ]+pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55327fceb151aa838338b6d5cf5ced8a819e2f67)
![{\displaystyle [\mathrm {Z} ]+qt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce1949d70499eebde8fdd112caf1b882374e329)
_vol._1.p353.png)
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d781aa9cb5e1d9adb02cd8ceedb48d8fc4b461)
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+pt,[\mathrm {Y} ]+qt,[\mathrm {Z} ]+rt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b26d76cf15764dbfe81de4f05248ad4ed66554)
![{\displaystyle 2a-[\mathrm {X} ]-pt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd8c64541b030343083e0e40b35569ba558c3b4)
![{\displaystyle a=[\mathrm {X} ]+\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679c136f1e1f11b8ff84fade0d78b5570a65849)
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+2\alpha -pt\quad {\text{au lieu de}}\quad [\mathrm {X} ]+pt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fa9acc5e8f07c037c13c6d59fb591138baab88)
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+\alpha -\theta \quad {\text{au lieu de}}\quad [\mathrm {X} ]+pt,\quad {\text{savoir de}}\quad [\mathrm {X} ]+\alpha +\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e456578e1b547473fcd4ecbaa7b847ca4bc23f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&(x)+t(x')+{\frac {1}{2}}t^{2}c\left[{\frac {d^{2}(x)}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}(y)}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}(z)}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right]+\ldots ,\\y=&(y)+t(y')+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z=&(z)+t(z')+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128e73c2f9981f233a474299f9198722220f8f36)
![{\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{2}},3{\sqrt[{3}]{3}},4{\sqrt[{3}]{4}},,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c68742f0239fb6e1f91c9e00b8db4fd4289ef1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int (x\,\ \mathrm {L} +y\ \mathrm {M} +z\ \mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left(x'\mathrm {L} +y'\mathrm {M} +z'\mathrm {N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left[(x\ )\mathrm {L} +(y\ )\mathrm {M} +(z\ )\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecea69d2f32077ea7814ef7096a71d497bbdd1ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int (x\mathrm {L} +y&\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\={\frac {1}{k}}\int &\left[\left({\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {L} \right.\\&\quad +\left({\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {M} \\&\quad +\left.\left({\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f75c191453ac2b1044cdc625eb4b2bd6f186f1b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\left[\left(\alpha x+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {L} \right.\\&\quad +\left(\alpha y+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {M} \\&\quad +\left.\left(\alpha z+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=(\alpha +k)\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef45fecd8138bf0036cbc3a0de45d7d6b5dd48b6)
![{\displaystyle \mathrm {A} \int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8727244fc96653cdd0831d6dc3d679a63ebc850c)
![{\displaystyle =\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247b3a9642bea7ca1e3d3b44881588b582d73b8b)
![{\displaystyle \times \int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c718e704a45e5fa27cbc16210cfb526bd90b1909)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\y=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\z=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\\\x'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\y'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\z'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee38be04a8eb23ef58da8bb6dd466e0e43e7bf2f)
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3869d1be6a5d606987f5bdd815cfbc45686a42c6)
![{\displaystyle \mathrm {A} '\int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115b3410358e3ddcf99ffbbc12475cbbeee35611)
![{\displaystyle =\left[\mathrm {E} '\cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {F} '\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)}{\sqrt {c\alpha '}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132b1450476d4c610e3823c274ec34c3c40d16e5)
![{\displaystyle \times \int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha ',\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de2839d2a420b827b6ab30d5cc5139f00db7a0e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\,\right)+{\frac {\mathrm {F} '\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \right]\varphi (\alpha '\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {F} ''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)}{\sqrt {c\alpha ''}}}\right]\varphi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )\\y=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\x'=&\left[\mathrm {F} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\,\right)-\mathrm {E} '\ {\sqrt {c\alpha '}}\,\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\,\right)\right]\varphi (\alpha '\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)-\mathrm {E} ''{\sqrt {c\alpha ''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\varphi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )\\y'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ab312638a898d10ad51e5f5b70356331bc6231)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} '\ \ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)\ +{\frac {\mathrm {F} '\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)}{\sqrt {c\alpha '}}}\,\ \ \right]\varphi (\alpha '\ \ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} ''\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\,\right)+{\frac {\mathrm {F} ''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)}{\sqrt {c\alpha ''}}}\ \right]\varphi (\alpha ''\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} '''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)+{\frac {\mathrm {F} '''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)}{\sqrt {c\alpha '''}}}\right]\varphi (\alpha ''',\mathrm {X,Y,Z} )\\y=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\x'=&\left[\mathrm {F} '\ \ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)-\mathrm {E} '\ \ {\sqrt {c\alpha '}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \ \right)\right]\varphi (\alpha '\ \ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} ''\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\,\right)-\mathrm {E} ''\ {\sqrt {c\alpha ''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\ \right)\right]\varphi (\alpha ''\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} '''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)-\mathrm {E} '''{\sqrt {c\alpha '''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)\right]\varphi (\alpha ''',\mathrm {X,Y,Z} )\\y'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bc0cab5717b187b3c52818091faf7f7fa9845f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\mathrm {P} '\,\left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {P} ''\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {P} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\\y=&\mathrm {Q} '\ \left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {Q} ''\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087e174c20e4a53bfc361bcb3ab87782c423606f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}+&\mathrm {Q} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\\z=&\mathrm {R} '\quad \ \left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {R} ''\quad \left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {R} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8609621481dcf5cda705fa7dc3536fa4a09eefe)
![{\displaystyle \int [(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} ]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \quad {\text{et}}\quad \int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640b2b9296e5b75e294d805c935e23b5bb79f4a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\int \left(\mathrm {P'\ L+Q'\ M+R'\ N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\int \left(\mathrm {P''L+Q''M+R''N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int \left(\mathrm {P} ^{(m)}\mathrm {L} +\mathrm {Q} ^{(m)}\mathrm {M} +\mathrm {R} ^{(m)}\mathrm {N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\mathrm {S} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)+{\frac {\mathrm {U} }{\sqrt {-ck}}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567d138cf8dcc1e9f425f8f863864c7a1aba6321)
![{\displaystyle \left[\mathrm {S} ^{(\mu )}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(\mu )}}{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312fb7c64db3bfe236a12c590ec2a79e19fe5957)
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {L} \varphi (\alpha ^{(\mu )},\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {M} \psi (\alpha ^{(\mu )},\mathrm {X,Y,Z} )+\mathrm {N} \chi (\alpha ^{(\mu )},\mathrm {X,Y,Z} )\right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5748fafecc40807b19a79c33767fc9b98cfdcb99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)+{\frac {\mathrm {F} '\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \right]\varphi (\alpha '\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {F} ''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)}{\sqrt {c\alpha ''}}}\right]\varphi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\mathrm {E} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {F} ^{(m)}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\right]\varphi (\alpha ^{(m)},\mathrm {X,Y,Z} )\\y=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e718d469a5ec58a9b50d46bded3312f05264329c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&\left[\mathrm {F} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)-\mathrm {E} '\ {\sqrt {c\alpha '}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\varphi (\alpha '\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)-\mathrm {E} ''{\sqrt {c\alpha ''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\varphi (\alpha '',\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\mathrm {F} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)-\mathrm {E} ^{(m)}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right]\varphi (\alpha ^{(m)},\mathrm {X,Y,Z} )\\y'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4588be67df2bcb4a0f0f46de5afafde59de2cc81)
