SUR L’INTÉGRATION
D’UNE
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
À DIFFÉRENCES FINIES,
QUI CONTIENT LA THÉORIE DES SUITES RÉCURRENTES.
(Miscellanea Taurinensia, t. I, 1759.)
1. Soit proposée l’équation différentielle
![{\displaystyle dy+y\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec83659438d8eccbd51fd004444f102950c6da6f)
où
et
expriment des fonctions quelconques de la variable
l’on sait que pour intégrer cette équation il suffit de faire
![{\displaystyle y=uz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e7b5e29761f530b620440b6e14d50e1583ee34)
ce qui donne
![{\displaystyle udz+zdu+uz\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d228ad04b4e78fc65d9402a33a9b2758256fc3ed)
où l’on peut faire évanouir deux termes par une valeur convenable de
ou de
Supposons donc
![{\displaystyle zdu+uz\mathrm {X} dx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde493c4eec9817ace49d22527306c44eff96bb8)
et divisant par
on aura
![{\displaystyle du+u\mathrm {X} dx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaa76c38906dd9e0f73b80c30f3a53384cf2c11)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}=-\mathrm {X} dx\quad {\text{et}}\quad lu=-\int \mathrm {X} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16a2a91dcdb9d504e2948ede593e6bb4cd8d95d)
savoir
![{\displaystyle u=e^{-\int \mathrm {X} dx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76f77e31317f3bc78c688459847921338c9ae8)
où
![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
est le nombre dont le logarithme hyperbolique est
![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Par cette supposition la proposée deviendra
![{\displaystyle udz=\mathrm {Z} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f3cb61f7175f77ff6866e331a16592d964ad87)
ce qui donne
![{\displaystyle dz={\frac {\mathrm {Z} dx}{u}},\quad z=\int {\frac {\mathrm {Z} dx}{u}}=\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bc64ec1a7dc174f3cf1ab3564132f8b5aa6df4)
et enfin
![{\displaystyle y=uz={\frac {\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx}{e^{\int \mathrm {X} dx}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6855851df0004c5e26679a25f3e4a2a0232e0d6a)
2. En observant le procédé de cette méthode, on verra aisément qu’elle doit pouvoir s’appliquer encore avec succès aux équations différentielles qui ont la même forme que la précédente, quoique les différences soient supposées finies. Soit donc l’équation
![{\displaystyle dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb10aa7b97f70d7639c2f06e709df1abfa37ce76)
dont la différentielle
soit finie, et les autres quantités
et
soient des fonctions d’une autre variable quelconque
Supposons en premier lieu
![{\displaystyle y=uz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e7b5e29761f530b620440b6e14d50e1583ee34)
et l’on aura dans ce cas
![{\displaystyle dy=udz+zdu+dudz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78f07a8c35fad6c0ae701859c3b40bb3df45ac9)
et l’équation se changera en
![{\displaystyle udz+zdu+dudz+\mathrm {M} uz=\mathrm {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31508a27455a1419d118a1365d5297565a388efd)
Qu’on pose comme ci-dessus les deux termes
![{\displaystyle zdu+\mathrm {M} uz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04091e3cc9c084f4f32e85960cebf741dc7e336a)
et on aura
![{\displaystyle du+\mathrm {M} u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d833c12fdfb7b5b85d314c5acfc68692576e9f0c)
savoir
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}=-\mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6f26a73efe30f4389c0c781cbe6df0b53dafa5)
pour résoudre cette équation dans notre cas où la différentielle
![{\displaystyle du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33341cb51d52b43431e85e57ffceadeb44b04a2)
n’est pas infiniment petite, qu’on suppose
![{\displaystyle u=e^{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242317dda4e9fe5e06771c166eabca0384b8843a)
et l’on aura
![{\displaystyle u+du=e^{t+dt}\quad {\text{et}}\quad du=e^{t}\left(e^{dt}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ed8e910b8e54db028772180ee3e0f83e6b3a22)
d’où
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}=e^{dt}-1=-\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad e^{dt}=1-\mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b05a8a48f2ea445b382d90d20494bebda26cb7d)
et prenant les logarithmes,
![{\displaystyle dt=l(1-\mathrm {M} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc4b5dcbbc2c7240b09281f568efb3ad228a2a1)
et ensuite intégrant,
![{\displaystyle t=\int l(1-\mathrm {M} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1178a6e0afc38abb9e91849e8df7fc470c4b1e4)
mais on sait que la somme des logarithmes de plusieurs nombres est égale au logarithme du produit de tous ces nombres ; donc, si l’on exprime généralement par
le produit continuel de toutes les quantités contenues dans la formule
on aura
![{\displaystyle t=l\varpi (1-\mathrm {M} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626ce0b90370a78e531d3e8e1d2652a0a9102f4e)
et par conséquent
![{\displaystyle u=e^{t}=\varpi (1-\mathrm {M} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726b47cfac5db9d03b68edc7dd8d474b2c6b4b89)
Par l’évanouissement de ces deux termes l’équation devient
![{\displaystyle udz+dudz=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e822914582cf94a4f9ec141f4b3f468ceae82c0)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dz={\frac {\mathrm {N} }{u+du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99499d7116ff73cc75ebb24263d096d901b1d67f)
et, en intégrant,
![{\displaystyle z=\int {\frac {\mathrm {N} }{u+du}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb780593bd36dd6cc345310bd067d5059b86c5e)
Mais ayant déjà trouvé
si l’on exprime par
le terme consécutif à
on aura
![{\displaystyle u+du=\varpi (1-\mathrm {M} _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0139be293d1c0c0cc65cef7c7c3dd20a198cab)
et par conséquent
![{\displaystyle z=\int \mathrm {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb66ce0b2acfb74cea12204d75fca1cc3421cad)
et, puisque ![{\displaystyle y=zu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7393b8fcd4460062596ddac828a5f87d40ec5cef)
![{\displaystyle y=\varpi \mathrm {(1-M)\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1654bd16250a0310bc35c52507e7a23e03272c04)
ou bien, en ajoutant à cette intégration une constante quelconque ![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
![{\displaystyle y=\varpi \mathrm {(1-M)\left(A+\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089f42dd085e497ec8d46ae1031ed1d15821fad5)
3. Soit à présent proposée l’équation
![{\displaystyle y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9656faf81b113e38c614f6755a6e25b46b648e28)
où
est le terme qui suit
dans la suite des
puisque
elle se réduira à
![{\displaystyle dy+(1-\mathrm {R} )y=\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7747dddf25ed2e1282c76a06a6e9d9d0eceba6)
Qu’on fasse donc
![{\displaystyle \mathrm {1-R=M,\quad T=N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62af64cd639704a343a1c25cfa7aad5dc4b9b31)
et l’on trouvera pour la valeur de
l’expression suivante
![{\displaystyle y=\varpi \mathrm {R\left(A+\int {\frac {T}{\varpi R_{1}}}\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db13e5d039d1d28eb992d9afb416bac1b223f690)
Si
est une quantité constante, il est clair que
et
deviennent des puissances de
dont l’exposant est égal au nombre qui dénote la place des termes
et
dans la suite des
soit donc
ce nombre, de sorte que
soit le même que
et on aura
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left(\mathrm {A} +\int {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {R} ^{m+1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e69a5821aa6760aa49070f4acfad98ea091316)
Si
est constant,
est égal à
où les termes exprimés par
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {R} ^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67aee7e1b0b372f56b9eef4dc811dd1c20aa822)
forment une progression géométrique, dont il sera aisé d’avoir la somme ; soit cette somme, qui commence par
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c90074795a18f39d3bf669b80527705db16bc4a)
égale à
![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
savoir que
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {1}{R^{3}}}} +\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}=\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6b389c3e1c27b3296775c6ec5630e855a73290)
et on aura, en multipliant par ![{\displaystyle \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefdda1e40f99e2c96a1709a201ef9bc0266b2)
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m-1}}}=\mathrm {SR} =\mathrm {S} +1-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f96557ad0299c39b90858df26df3e05ee97b6a)
de cette égalité l’on tirera
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8488b9580330b7da40f774b594d0af0ebb4f834)
par conséquent
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left[\mathrm {A} +\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0007d4bcd88c18fcc16ca1c43d2b6b24d6f12506)
ou bien
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {AR} ^{m}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} -1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa128c573d405e6a5237ddfa8e69bdb1e829402)
4. Pour se convaincre que cette valeur de
satisfait entièrement aux conditions de l’équation donnée
![{\displaystyle y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} \quad {\text{ou bien}}\quad y_{m+1}=\mathrm {R} y_{m}+\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f086e7af7a0dbaa298c99f5f9820de718b7ae1)
on n’a qu’à multiplier la formule trouvée pour
par
et lui ajouter la quantité
et l’on trouvera le résultat
![{\displaystyle \mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} -1}}+\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26f7502fd685abcdb392e5e5fd7241568d26df9)
qui se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-1}{\mathrm {R} -1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd02d399d8c5066936366f50c0491e8171ea1ef)
qui est la valeur que la formule générale nous donne pour le terme ![{\displaystyle y_{m+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de40672f07f4eae2bbaba02bcd302ef66f10fcf2)
5. Après avoir trouvé la méthode d’intégrer toute équation différentielle à différences finies, comprise sous la forme générale
![{\displaystyle dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb10aa7b97f70d7639c2f06e709df1abfa37ce76)
on pourra de même procéder à l’intégration des autres qui dépendent de celle-ci. Or, M. d’Alembert, dans les Mémoires de l’Académie Royale de Berlin, a fait voir que toutes les équations différentielles, telles que
![{\displaystyle y+\mathrm {A} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a05eedf17680576b67223d99ee3ba238233f912)
où
sont des constantes quelconques, et où
est une fonction quelconque de
se réduisent à une équation de cette forme :
![{\displaystyle z+\mathrm {H} {\frac {dz}{dx}}=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa39c7c711ddec319151ac1e220c3684187f75b7)
où
est une constante et
une fonction de
laquelle équation est la même que nous avons appris à intégrer dans le cas même des différences finies. Si donc le procédé de M. d’Alembert peut avoir lieu aussi quand les différences sont finies, on pourra intégrer encore dans cette circonstance toute équation différentielle de cette forme :
![{\displaystyle y+\mathrm {A} dy+\mathrm {B} d^{2}y+\mathrm {C} d^{3}y+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a207d268866a7c7bb0239852376e17bad9428cbf)
et par conséquent l’équation
![{\displaystyle y_{1}+\mathrm {P} y_{2}+\mathrm {Q} y_{3}+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f6746caf4b173ad5b40cdf3ea34abd519a33a)
qu’on peut regarder comme la formule générale des suites récurrentes. La méthode de M. d’Alembert se trouve détaillée dans le second tome du Calcul intégral de M. Bougainville ; mais, pour épargner de la peine aux lecteurs, je tâcherai de la développer ici en peu de mots. Qu’on suppose
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {dp}{dx}}=q,\quad {\frac {dq}{dx}}=r,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5012907eaca43eaa950b78ada4150dde32c186a9)
et l’équation proposée se changera en
![{\displaystyle y+\mathrm {A} p+\mathrm {B} q+\mathrm {C} {\frac {dq}{dx}}=\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d9e1a035ef186cfddb24703ee7af8a95a55b42)
Qu’on multiplie à présent chacune des équations qu’on a supposées par des coefficients indéterminés
et qu’on les ajoute toutes à celle-ci, on aura
![{\displaystyle y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q-a{\frac {dy}{dx}}-b{\frac {dp}{dx}}+\mathrm {C} {\frac {dq}{dx}}=\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1235664ef4a09c221ebeab18ba9cb9684517a4df)
Soit fait en sorte que la première partie du premier membre de cette équation devienne un multiple exact de l’intégrale de la seconde, savoir que
![{\displaystyle dy+(\mathrm {A} +a)dp+(\mathrm {B} +b)dq=dy+{\frac {b}{a}}dp-{\frac {\mathrm {C} }{a}}dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3b1759c70cbf32fc4b3d4cd7412e1965230aa1)
et en comparant terme à terme il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {A} +a={\frac {b}{a}},\quad \mathrm {B} +b=-{\frac {\mathrm {C} }{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de45d7daf35cd562887d312bed7c37b799b8b04c)
de ces deux équations l’on tire
![{\displaystyle b=-{\frac {\mathrm {C} }{a}}-\mathrm {B} =\mathrm {A} a+a^{2}\quad {\text{et}}\quad a^{3}+\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} a+\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b101b75e70f8636e2e452d84c570bb7640ff2d)
dont les racines donneront trois valeurs de
qui satisferont également aux conditions requises. Supposons maintenant
![{\displaystyle y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85e21d82927f9f1bae329706453effe02402e60)
l’équation trouvée deviendra
![{\displaystyle z-a{\frac {dz}{dx}}=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8312e641a3845fcefd6a2d02bab01ac97b4565)
laquelle, comparée avec celle du no 1, donnera en intégrant
![{\displaystyle z=-e^{\frac {x}{a}}\int {\frac {\mathrm {X} dx}{ae^{\frac {x}{a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218159363abbd6b20eee3c467becec9bb4c32ae0)
Or, comme la quantité
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
peut avoir trois valeurs différentes, nommons-les
![{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c86662e0ebc54e4c912675a0f0d4aa9386fe34)
et exprimons par
![{\displaystyle \mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1680051ebc00407cd5f5bda9ca2ded5ade8ea0cb)
la valeur de
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
qui contient
![{\displaystyle a_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df803d36470d04e37cf03167c5a73a9a19532266)
par
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db12380c9729e73f72c94f7c4b7745406c4e0d7)
celui qui contient
![{\displaystyle a_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afebe167c172365d9b340f347ff95e306025cb0)
et par
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b8302f13e28b6944b8e795afa00d007a6050)
celui qui contient
![{\displaystyle a_{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488afa92af5bb1f1090b0bc301b147d7b8e354d7)
on aura donc les trois équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y+&(\mathrm {A} +a_{1})p&+(\mathrm {B} +b_{1})q=&\mathrm {Z} _{1},\\y+&(\mathrm {A} +a_{2})p&+(\mathrm {B} +b_{2})q=&\mathrm {Z} _{2},\\y+&(\mathrm {A} +a_{3})p&+(\mathrm {B} +b_{3})q=&\mathrm {Z} _{3}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4012fa60a367173d5a18d4428ecfe7148f4d6d13)
De ces trois équations on tirera la valeur de
laquelle, à cause des quantités constantes
se réduira à cette forme
![{\displaystyle y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3807cd08264fad49fe3e85766712881903956248)
où
sont des constantes dont la valeur dépend des autres ![{\displaystyle \mathrm {A,B} ,a_{1},a_{2},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882730a1798b7b95d165879520e8b2286376df4f)
6. Si l’on examine le procédé de cette méthode, il paraîtra clairement que si l’équation eût contenu beaucoup plus de termes, par exemple qu’elle eût été
![{\displaystyle y+\mathrm {A} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+\mathrm {E} {\frac {d^{5}y}{dx^{5}}}=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76a6d069d3830380e361232fa7137438ea4bd40)
on aurait trouvé de même
![{\displaystyle y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5f615c23fa243b014a9943950218694df4cfe5)
où les quantités
sont des fonctions de
et
telles que
![{\displaystyle \mathrm {Z} =-e^{\frac {x}{a}}\int {\frac {\mathrm {X} dx}{ae^{\frac {x}{a}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88d22c30978c7e8f77828a60c413c9dec5336cb)
en posant pour
les racines
de cette équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35d91acf2072199895a6603c29223c453eff8d1)
de plus on s’apercevra que les opérations que requiert cette méthode peuvent également se faire, soit que les différences soient finies, ou qu’elles soient infiniment petites.
7. Ayant donc l’équation à différences finies
![{\displaystyle y+\mathrm {A} dy+\mathrm {B} d^{2}y+\mathrm {C} d^{3}y+\mathrm {D} d^{4}y+\mathrm {E} d^{5}y=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be825282fe140dadc3f177db61408cfde61ea7f0)
et posant
![{\displaystyle dy=p,\quad dp=q,\quad dq=r,\quad dr=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cc96cb78589ea1eb1e29e6e71d3723d4703ba0)
on parviendra de la même manière à une équation telle que
![{\displaystyle z-adz=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3474b53e57ba2029fe8478f5881ae7a76169e804)
où
![{\displaystyle z=y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q+(\mathrm {C} +c)r+(\mathrm {D} +d)s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c931e6a40701f4b99d916335338a5701aeda5)
et la quantité
dépendra de cette équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5682d73e96949c3eaa3f79cd32a41c307b691f)
dont les racines ont déjà été supposées
Que l’on compare à présent l’équation
![{\displaystyle z-adz=\mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9d4e432062007583a2856dc9e0fe39910d3b76)
avec celle du no 2, savoir
![{\displaystyle dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb10aa7b97f70d7639c2f06e709df1abfa37ce76)
et on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} =-{\frac {1}{a}},\quad \mathrm {N} =-{\frac {\mathrm {X} }{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d020e268b54a425e15fc5afe1b3958e62abe5b61)
par conséquent
![{\displaystyle 1-\mathrm {M} ={\frac {1+a}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d94fb039b368fe17d2e6afae603b2e197c01740)
ce qui donne enfin
![{\displaystyle z=\varpi \left({\frac {1+a}{a}}\right)\left[{\text{const}}+\int {\frac {-{\cfrac {\mathrm {X} }{a}}}{\varpi \left({\cfrac {1+a}{a}}\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a1db3c2eab9eabbf9e2ca8d2ac35cff82148a5)
ou bien, puisque
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
est constant,
![{\displaystyle z_{m}=\left({\frac {1+a}{a}}\right)^{m}\left[{\text{const}}-\int {\frac {\mathrm {X} a^{m}}{(1+a)^{m+1}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bf4c42b16d5ad1d6526a51c36064965db53dcd)
exprimant comme ci-dessus le quantième du terme
dans la série des
Si l’on fait de plus
constant, on aura, en prenant la somme de la progression géométrique exprimée par ![{\displaystyle \int {\frac {a^{m}}{(1+a)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2946f99462731cc5a50d5876693c1a4db499c989)
![{\displaystyle z_{m}=\left({\frac {1+a}{a}}\right)^{m}\left[{\text{const}}-\mathrm {X} {\frac {(1+a)^{m}-a^{m}}{(1+a)^{m}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd465ed0fd6320c554f2d93bc547aa9bb713ac49)
Or, comme
peut avoir les valeurs
il est clair qu’en substituant chacune d’elles dans la formule trouvée, il en résultera autant de valeurs de
qui satisferont toutes également. Soient donc toutes ces valeurs exprimées par
et puisque
![{\displaystyle z=y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q+(\mathrm {C} +c)r+(\mathrm {D} +d)s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c931e6a40701f4b99d916335338a5701aeda5)
on tirera, par le moyen des cinq équations
![{\displaystyle z=\mathrm {Z} _{1},\quad z=\mathrm {Z} _{2},\quad z=\mathrm {Z} _{3},\quad z=\mathrm {Z} _{4},\quad z=\mathrm {Z} _{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f3bb204719bd60b8ba89d5d022a4755a8a821b)
l’expression suivante de
savoir
![{\displaystyle y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c10bc1dfe8d0db71f82053f51f9d89228858de)
8. Soit enfin proposée l’équation
![{\displaystyle y_{1}+\mathrm {A} y_{2}+\mathrm {B} y_{3}+\mathrm {C} y_{4}+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11820e0f0084b46c0910a6e0b9e7e4607cea108c)
où
expriment des termes consécutifs de la suite des
il est d’abord évident que, puisque
![{\displaystyle y_{2}=y_{1}+dy_{1},\quad y_{3}=y_{1}+2dy_{1}+d^{2}y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1d408119c1c7e81842891d477cda34a285976f)
et ainsi des autres, cette équation peut être ramenée à la forme de celle
que nous venons d’examiner ; mais, puisque le calcul devient de cette façon trop long, il sera utile de la résoudre directement par les mêmes principes que nous avons employés jusqu’ici. De plus, afin de pouvoir plus aisément appliquer cette équation aux séries récurrentes, il sera mieux de considérer les termes
![{\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18020513c3319d3bfcc2e7db1fa57876a8c10b8d)
dans un ordre renversé, savoir que
![{\displaystyle y_{2}+dy_{2}=y_{1},\quad y_{3}+dy_{3}=y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33903098fffa48dd0c3404f7b75d5776e3533d2)
et ainsi des autres, de sorte que les indices
dénotent la distance de chaque terme au dernier
Supposons
![{\displaystyle y_{2}=p_{1},\quad {\text{et l’on aura}}\quad y_{3}=p_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce7b603f00414eea8889dd12c3b330a6ec2606e)
soit donc de nouveau
![{\displaystyle p_{2}=q_{1}\quad {\text{et}}\quad p_{3}=q_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699d4ab3304b3aa95d3a173887aa081089fa0167)
soit encore
![{\displaystyle q_{2}=r_{1}\quad {\text{et}}\quad q_{3}=r_{2}=s_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54c39b9126db86dd0ae7805513d40ff8d5c8891)
et l’on aura
![{\displaystyle y_{2}=p_{1},\quad y_{3}=q_{1},\quad y_{4}=r_{1},\quad y_{5}=s_{1},\quad y_{6}=s_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5ab6a800b0b13a876f7edc9cd8d2a55a0affaa)
substituant ces valeurs dans la proposée, elle deviendra
![{\displaystyle y_{1}+\mathrm {A} p_{1}+\mathrm {B} q_{1}+\mathrm {C} r_{1}+\mathrm {D} s_{1}+\mathrm {E} s_{2}=\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6204a0dc0e03e09352ea21ba8ab51ce1711c1a0)
Qu’on réduise à présent les suppositions précédentes en équations, savoir
![{\displaystyle p_{1}-y_{2}=0,\quad q_{1}-p_{2}=0,\quad r_{1}-q_{2}=0,\quad s_{1}-r_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d563566d9bd8efe3c2c57e637d72e172db9ffb6d)
et après les avoir multipliées par les coefficients indéterminés
qu’on les ajoute toutes à celle qu’on vient de trouver. Il en résultera la suivante
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y_{1}+&(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}\\&-ay_{2}-bp_{2}-cq_{2}-dr_{2}+\mathrm {E} s_{2}\end{aligned}}\right\}=\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c3edb741fe6a281a2192b2f29b60876916a22f)
Qu’on fasse maintenant que chaque coefficient de la première partie soit multiple de la même manière de son correspondant dans la seconde,
l’on parviendra aux mêmes équations qu’on a trouvées (6), et la quantité
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
sera déterminée par l’équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a_{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8981f9074a54ce9df8dc0a14a1d5ea83092257)
dont on a supposé les racines
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle y_{1}+(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}=z_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ec179cd49236a8df239f3e9d225bcb75e3a963)
l’équation se réduira à
![{\displaystyle z_{1}-az_{2}=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c335ab5cbeae28d0b07a59f8dd10be47a5289e)
qui, par une intégration semblable à celle du no 3, donnera
![{\displaystyle z_{m}=a^{m}\left({\text{const.}}+\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880972ad456da8068c2c24a2d038a310698614f0)
où
exprimera le quantième du terme
dans la suite des
Or, comme pour
l’on peut substituer chacune des cinq racines
de l’équation
on aura de même cinq valeurs différentes de
que nous exprimerons comme ci-dessus par
donc, à cause que
![{\displaystyle z_{m}=y_{m}+(\mathrm {A} +a)p_{m}+(\mathrm {B} +b)q_{m}+(\mathrm {C} +c)r_{m}+(\mathrm {D} +d)s_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216d853723999ef7defef98a7ecb3558e0847a20)
on parviendra, en chassant les lettres
à la formule
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b18f3bb79e5b1c992b0a6944c01d309916769e)
où
sont des constantes qu’on doit déterminer par la comparaison d’autant de termes donnés dans la suite des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
9. Si
est constant, par ce qu’on a démontré (4), la somme exprimée par
deviendra égale à
et nommant
la constante ajoutée à cette intégration, on aura finalement
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\mathrm {L} a^{m}+\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c839843efbd5f9bf5a796c6fcd88936a21c6e02)
d’où l’on tirera par conséquent les valeurs
![{\displaystyle \mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe3dd8127e2c0497de461229f8469e22b4d1b23)
en substituant à la place de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
ses valeurs
10. De tout ceci l’on peut déduire le théorème général suivant ; si l’on a l’équation
![{\displaystyle y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca703c37fad9d6dd5dd419af00773d180d856c97)
où les indices des
dénotent leurs places, que l’on cherche toutes les racines
de l’équation
![{\displaystyle a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5682d73e96949c3eaa3f79cd32a41c307b691f)
et l’on aura généralement
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{m}=\,&\mathrm {F} a_{1}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{1}^{m+1}}}\right)+\mathrm {G} a_{2}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{2}^{m+1}}}\right)+\mathrm {H} a_{3}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{3}^{m+1}}}\right)\\&+\mathrm {I} a_{4}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{4}^{m+1}}}\right)+\mathrm {K} a_{5}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{5}^{m+1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845b1ad4b7e99be56efd5aa9cb1e2a55a77be66)
et, dans le cas où
est constant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{m}&=\mathrm {L} \left(\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots \right)\\&+\mathrm {X} \left(\mathrm {F} {\frac {a_{1}^{m}-1}{a_{1}-1}}+\mathrm {G} {\frac {a_{2}^{m}-1}{a_{2}-1}}+\mathrm {H} {\frac {a_{3}^{m}-1}{a_{3}-1}}+\mathrm {I} {\frac {a_{4}^{m}-1}{a_{4}-1}}+\mathrm {K} {\frac {a_{5}^{m}-1}{a_{5}-1}}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d0a2d42e1ccd588024a57df03799cb67c4ad15)
Si
on pourra supprimer la constante
et l’on aura plus simplement
![{\displaystyle y_{m}=\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee53c8d24329022cb15b9d14bf633d80a2f6b1a)
formule connue pour l’expression du terme général de la suite des
telle que
![{\displaystyle y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca223efb837799aad76bfbb232df15a0ae4ae8c)
ce qui n’est autre chose qu’une suite récurrente, dont l’échelle de relation est ![{\displaystyle \mathrm {-A-B-C-D-E} -\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864050aab47b8a40e8b5219a790b336fa721a7c8)
11. Voilà donc la théorie des suites récurrentes réduite au calcul différentiel, et établie de cette façon sur des principes directs et naturels, au lieu que jusqu’ici elle n’a été traitée que par des voies tout à fait indirectes. De plus, les recherches qu’on a faites sur cette matière ont toujours été bornées au cas de
et personne, que je sache, n’a jamais entrepris d’examiner généralement les autres cas, où
est constant ou même variable, ce qui peut néanmoins être de la dernière importance pour la résolution de plusieurs problèmes qui conduisent à de telles équations, dont la doctrine des hasards est principalement remplie, comme je me propose de le faire voir une autre fois en appliquant à cette espèce de calcul la théorie que je viens d’expliquer.