SUR UNE
NOUVELLE MÉTHODE DE CALCUL INTÉGRAL
POUR LES DIFFÉRENTIELLES AFFECTÉES D’UN RADICAL CARRÉ
SOUS LEQUEL LA VARIABLE NE PASSE PAS
LE QUATRIÈME DEGRÉ.
(Miscellanea Taurinensia, t. II, 1784-1785.)
On sait que toute formule différentielle qui contient un radical carré, où la variable n’a pas plus de deux dimensions, est intégrable par les logarithmes ou par les arcs circulaires ; car il est toujours possible de la réduire à une forme rationnelle, en faisant disparaître le radical par une substitution convenable. Mais cette réduction ne réussit plus en général, lorsque le radical contient des puissances de la variable plus hautes que la seconde, et l’intégration échappe alors aux méthodes connues. Si la plus haute de ces puissances ne monte pas au delà du quatrième degré, on peut dans plusieurs cas construire l’intégrale par les arcs des sections coniques. La recherche de ces cas a beaucoup occupé les Géomètres ; leur travail est avantageux aux progrès du Calcul intégral, parce qu’il sert à ramener à des classes déterminées un grand nombre de différentielles de formes différentes ; mais il n’est d’aucune utilité pour l’intégration effective de ces différentielles, car la rectification des sections coniques n’est encore connue que très-imparfaitement, attendu le peu de convergence des séries qu’on a trouvé jusqu’ici pour cet objet. Les séries sont à la vérité le seul moven de résoudre ce Problème, et en général de rappeler à l’intégration toutes les formules différentielles d’une forme essentiellement irrationnelle ; mais ce moyen n’est vraiment utile qu’autant qu’on peut rendre les séries toujours convergentes, et diminuer même à volonté l’erreur qui doit résulter des termes qu’on y néglige.
La méthode que je donne dans ce Mémoire joint à cet avantage celui d’être générale pour toutes les formules différentielles qui contiennent un radical carré, dans lequel la variable ne forme pas plus de quatre dimensions. Je commence par exposer la méthode dans toute son étendue ; j’en fais ensuite l’application à la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole.
Exposition de la méthode.
1. Soit proposée la formule différentielle
dans laquelle
soit une fonction quelconque rationnelle de
et d’un radical de la forme
![{\displaystyle {\sqrt {a+bx+cx^{2}+ex^{3}+fx^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ef5f99c0179fb1c5fcbfe1e939894175853bb1)
que nous dénoterons, pour abréger, par
Puisque
est une fonction rationnelle de
il est clair que
ne peut être que de la forme
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A+BR}{C+DR}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117b3ba121e08d0f8f5e4555bd184cc93409e04f)
où
sont des fonctions rationnelles de
Multipliant le haut et le bas par
et faisant
![{\displaystyle \mathrm {M={\frac {AC-BDR^{2}}{C^{2}-DR^{2}}},\quad N={\frac {(BC-AD)R^{2}}{C^{2}-DR^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f152587c6be9f6255cdf8e3f086df76bfd5808c)
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {P=M+{\frac {N}{R}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2da4be37998b3ee00e0f31e8fb95df24d02a9b)
où
et
sont des fonctions rationnelles de
De sorte que la différentielle proposée
se trouvera partagée en deux parties, l’une toute rationnelle
et qui s’intégrera par les logarithmes ou les arcs de cercle ; l’autre irrationnelle
dans laquelle il n’y aura d’autre irra-
tionnalité que celle du radical
![{\displaystyle \mathrm {R} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cb639eb7604b04ed0079b34d1c93469241fe51)
et c’est à l’intégration de celle-ci que se réduit la difficulté d’intégrer la proposée.
2. Notre méthode demande que la formule différentielle
ne contienne aucune puissance impaire de
ainsi il faut commencer par les faire disparaître, s’il y en a.
Supposons d’abord que les termes
et
ne se trouvent point dans le radical
il ne s’agira que de faire disparaître les puissances impaires de
de la fonction rationnelle
Or il est clair qu’elle peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F+G} x}{\mathrm {H+L} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23de988662ef2ecc7e376020ff5e86b57daa695e)
où
sont des fonctions rationnelles et entières de
c’est-à-dire des polynômes en
sans puissances impaires. Multipliant donc le haut et le bas par
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {HF-LG} x^{2}}{\mathrm {H^{2}-L^{2}} x^{2}}}=\mathrm {T} ,\quad {\frac {\mathrm {HG-FL} }{\mathrm {H^{2}-L^{2}} x^{2}}}=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a503bf838774cd05ffd3ba999aec3e9694977cbe)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {N=T+V} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d520fef2d88ab1c38e8eb75917df87a19b5c9904)
où
et
seront des fonctions rationnelles de
De sorte que la différentielle
se trouvera de nouveau partagée en deux, l’une
qui a la condition demandée, l’autre
qui est intégrable par les logarithmes ou les arcs de cercle, puisqu’en faisant
elle devient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} dy}{2{\sqrt {a+cy+fy^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803b65e5060512d9d6d69beed3524b94970588d1)
étant une fonction rationnelle de
.
3. Supposons à présent que le radical
contienne tous ses termes. Je remarque que le quinôme
![{\displaystyle a+bx+cx^{2}+ex^{3}+fx^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb7265ca3683aded3ecee2a76e6d85444b3f43b)
peut toujours se mettre sous la forme
![{\displaystyle f\left(m+nx+x^{2}\right)\left(m'+n'x+x^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3728820151b9f77560088e160d3e2ca8409e5f09)
les deux trinômes
et
étant réels ; c’est ce qui est connu par la théorie des équations ; et l’on a pour la détermination des coefficients, en supposant ![{\displaystyle f=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1419cd5253e5f66d29fd7c6e654189295f27fe3b)
![{\displaystyle n={\frac {e+{\sqrt {t}}}{2}},\quad n'={\frac {e-{\sqrt {t}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c128d83ee717b51ce4ee075be70352a8bd14e59)
![{\displaystyle m={\frac {b-cn+en^{2}-n^{3}}{e-2n}},\quad m'={\frac {b-cn'+en'^{2}-n'^{3}}{e-2n'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bc7a92e857072afaff93d3e489be4838369a27)
![{\displaystyle t^{3}-\left(3e^{2}-8c\right)t^{2}+\left(3e^{4}-16ce^{2}+16c^{2}+16be-64a\right)t-\left(8b-4ce+e^{3}\right)^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290058a45d6327329b2f0c47422041339f8f1839)
L’équation en
étant du troisième degré avec le dernier terme négatif, a nécessairement une racine réelle positive qu’on prendra pour
dans le radical
il n’y a de difficulté que dans le cas de
![{\displaystyle 8b-4ce+e^{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e8f8b38ec23ee31a254d08a4c44945b82104f3)
où cette racine devient nulle ; alors on a
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad t=0,\quad {\text{ou}}\quad t^{2}-\left(3e^{2}-8c\right)t+\left(4c-e^{2}\right)^{2}-64a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c71094d677e8d397035a07451801299256fae)
Si
l’équation ayant son dernier terme négatif a nécessairement une racine réelle positive qu’on pourra prendre pour
mais si
alors on prendra la racine
et l’on aura
![{\displaystyle n={\frac {e}{2}},\quad n'={\frac {e}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4d5c8d88c67c0e38d70e533cc335b87e5c5645)
[1].
Si
n’était pas égal à
on diviserait par
les coefficients
Cela posé, je fais
![{\displaystyle {\frac {f(m'+n'x+x^{2})}{m+nx+x^{2}}}=y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5f116aa706d00f07729c9253de95389a5edf56)
ce qui rend
![{\displaystyle \mathrm {R} =\left(m+nx+x^{2}\right)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a08180737a17db7e9d31e7bdaa9c83e4d9db54)
et la différentielle à intégrer sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\left(m+nx+x^{2}\right)y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359f3e38b94e1148304524005d58a92571a841f2)
étant une fonction rationnelle de
Or l’équation entre
et
étant multipliée en croix et ensuite différentiée, donne
![{\displaystyle 2(m+nx+x^{2})ydy=\left[f(2x+n')-y^{2}(2x+n)\right]dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce83778c3c46cc3053c5f078f6300f6ec104d405)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {dx}{\left(m+nx+x^{2}\right)y}}={\frac {2dy}{2x\left(f-y^{2}\right)+n'f-ny^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f78396034b5e220c6e5bfccd0c5bc1ce019b4f)
Mais la même équation, ordonnée par rapport à
donne par la résolution
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(f-y^{2}\right)+n'f-ny^{2}=&{\sqrt {\left(n'f-ny^{2}\right)^{2}-4\left(m'f-my^{2}\right)\left(f-y^{2}\right)}}\\=&{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53d7c2da8c336e2fa4a8b048bd5ef53ab721f06)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&f^{2}\left(n'^{2}-4m'\right),\\\beta =&-2f\left(nn'-2m-2m'\right),\\\gamma =&n^{2}-4m.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a239f18c22068ff382449aba1dde8d0606542754)
Ainsi la proposée
se trouvera d’abord transformée en
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {N} dy}{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f5f7d24554272a4b094f1d174e3a831feb1dc1)
ensuite, substituant dans
pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {ny^{2}-n'f+{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}}{2\left(f-y^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b990fe6f140f5df12300f0e95a83cbff8c6da72)
et employant la réduction du no 1 pour faire disparaître le radical dans le dénominateur de
il est visible que la différentielle dont il s’agit se décomposera naturellement en deux parties : l’une toute rationnelle, et
dont l’intégration n’a aucune difficulté, l’autre irrationnelle et de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Q} dy}{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6599140e1570a747c9a4b04c85e33287663582d)
dans laquelle
sera une fonction rationnelle de
et qui sera par conséquent dans l’état demandé.
Il est bon de remarquer que, puisque la substitution employée donne
![{\displaystyle y={\frac {\mathrm {R} }{m+nx+x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6811c5c3e4ef831e4084a401751cf4039ad79f11)
on est assuré que la nouvelle variable
sera nécessairement réelle, tant que
et
seront réels. Cette condition de la réalité des variables introduites par des substitutions n’est pas nécessaire lorsqu’il s’agit d’intégrales exactes et absolues, parce qu’on a des moyens de faire disparaître ensuite les imaginaires ; mais elle devient indispensable dans les intégrations approchées, car on ne peut bien juger de la convergence d’une série, à moins que tous ses termes ne soient réels et évalués en nombres. Sans cette considération j’aurais pu résoudre le Problème précédent d’une manière plus simple, en substituant immédiatement
à la place de
et égalant ensuite à zéro les coefficients de
et de
dans le quinôme sous le signe radical ; on trouve de cette manière que
et
sont les racines d’une équation du second degré dont les deux coefficients dépendent eux-mêmes d’une équation du troisième ; mais, quoique celle-ci ait toujours une racine réelle, on n’est pas assuré que celle-là ait les siennes réelles aussi, ce qui est néanmoins nécessaire pour que la nouvelle variable y ne soit point imaginaire.
4. La différentielle à intégrer ne sera donc que de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ef1b885464b1922013a3eb518afca6ec242662)
étant une fonction rationnelle de
Or, notre méthode demande de plus que le trinôme
![{\displaystyle a+bx^{2}+cx^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20328eb150857e02f1e33c114aa22c03302825d)
soit résoluble en deux binômes réels de la forme
![{\displaystyle \alpha +\beta x^{2},\quad \gamma +\delta x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bae3d475bc77241c423eb385472ce51e208003)
ce qui exige que l’équation
![{\displaystyle a+by+cy^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab868eba4adf2c505b243537cedd450f9bbd554)
ait ses deux racines réelles, et que par conséquent
![{\displaystyle b^{2}=\quad {\text{ou}}\quad >4ac.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746871ff3246eb82e3baae91507d0362aceac6fe)
Il faut donc résoudre encore le cas où
![{\displaystyle b^{2}<4ac.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285af886c6d47aeee8d3bcff49e2d66c9ad0f6e6)
Pour cet effet j’emploie la substitution
![{\displaystyle y={\frac {x}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28db6eed721b211c4fb8041cb596fac61fc8eb59)
laquelle donne
![{\displaystyle \left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)y^{2}=x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e9f902e766dd82aa0bb8efdc254bdcd54144f3)
et, différentiant,
![{\displaystyle \left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)ydy=\left(1-by^{2}-2cx^{2}y^{2}\right)xdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9503c7e7bb6c802bf88e1328eed084c7f3345c5e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {dy}{1-by^{2}-2cx^{2}y^{2}}}={\frac {xdx}{y\left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)}}={\frac {dx}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6105f80eaeab066b30af843a7482eb27c93d10)
mais la même équation étant ordonnée par rapport à
et résolue à la manière des équations du second degré, donne
![{\displaystyle zcx^{2}y^{2}+by^{2}-1={\sqrt {\left(by^{2}-1\right)^{2}-4acy^{4}}}={\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4e6773e7030699625741dbd56dd5aa0977d1dd)
de sorte que la différentielle proposée se changera d’abord en
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {N} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddc92f32d5fffceb5ebc022aa10738e682b1197)
ensuite, substituant dans
à la place de
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {1-by^{2}+{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}}{2cy^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba8dab6e2121cf1a94b09c7db294588b6ebf781)
et faisant disparaître le radical du, dénominateur de
![{\displaystyle \mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cf45b84bbb7169f7084c455dd604e6f3328fa7)
il est clair que la transformée en y contiendra deux parties, une toute rationnelle et dont l’intégration n’aura aucune difficulté, et l’autre de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4210354d8072945be2d27a133bdb06751675f38)
où
sera une fonction rationnelle de ![{\displaystyle y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ef5b03d47f8192b11b2a3bafc721b4583c6728)
Or, puisque
il est clair que le trinôme
![{\displaystyle 1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae031e999b451d06990b806ccaf0f9e4a44b56f)
est toujours résoluble en deux binômes réels, qui seront
![{\displaystyle 1-\left(b+2{\sqrt {ac}}\right)y^{2}\quad {\text{et}}\quad 1-\left(b-2{\sqrt {ac}}\right)y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db665d3b489ea38287e8ad420ac12be461921be1)
le radical
étant nécessairement réel à cause de
Ainsi la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4210354d8072945be2d27a133bdb06751675f38)
à laquelle nous avons réduit la proposée, aura la condition demandée qui manquait à celle-ci.
Il est clair aussi que la substitution employée ne rendra jamais la variable
imaginaire tant que
et le radical
seront réels.
Au reste, la condition à laquelle nous venons de satisfaire se trouvera remplie d’elle-même par la transformation du no 3, toutes les fois que le quinôme sous le radical sera résoluble en deux facteurs simples réels et en deux imaginaires ; car si les deux équations
![{\displaystyle x^{2}+nx+m=0,\quad x^{2}+n'x+m'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be01bd3371686e3a09f730a37b3b33e2ad99d5ac)
ont l’une des racines réelles et l’autre des racines imaginaires, les deux quantités
seront de signes différents, et par conséquent les coefficients
et
du trinôme
seront aussi de différents signes, en sorte que ce trinôme sera nécessairement résoluble en deux binômes réels.
5. De ce que nous venons de démontrer jusqu’ici, il s’ensuit que l’intégration de la différentielle proposée
\mathrm Pdx
se réduit toujours à celle d’une différentielle de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f60ad50f65a691f7a129aa659a0f319aeef539)
où
est une fonction rationnelle de
et où
sont des coefficients quelconques réels. Ainsi, toute la difficulté ne consiste qu’a trouver l’intégrale de cette dernière différentielle. Quant à l’intégrale exacte, elle paraît impossible en général ; du moins l’analyse connue ne fournit aucun moyen pour l’obtenir. Mais il y a deux cas où elle se présente d’elle-même : le premier est celui où l’un des coefficients
est nul, l’autre est celui où
dans ce dernier l’irrationnalité disparaît, et dans le premier il ne reste que l’irrationnalité relative à la quadrature du cercle ou de l’hyperbole, et qu’on peut toujours faire disparaître par les méthodes connues. Si donc la proposée n’est pas exactement dans l’un de ces deux cas, mais seulement dans un cas très-voisin de l’un d’eux, c’est-à-dire si l’une des quantitées
est très-petite, ou si elles sont à très-peu près égales, on pourra alors, au défaut d’une intégrale exacte, en avoir une très-approchée par le moyen des séries, et d’autant plus approchée que la quantité supposée très-petite le sera davantage, en disposant la série relativement aux puissances ascendantes de cette quantité. La méthode que je vais exposer a pour objet de ramener à cet état toute différentielle de la forme proposée, quels que soient les coefficients
6. Soit en général
ou
ce qu’on peut toujours supposer, puisque, si
il n’y aurait qu’à échanger
en
et
en
Je fais
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}{\sqrt {\frac {a+bx^{2}}{m+nx^{2}}}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe3ea83908a80ac92929f3ade3f1f4847657cb8)
ce qui donne
![{\displaystyle {\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}={\frac {ay\left(m+nx^{2}\right)}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1b07276f4b8cd3380371a3a9d33cc7ac57fd26)
par où l’on voit d’abord que la nouvelle variable
sera réelle tant que ce radical et la variable
le seront.
La différentielle
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c6466f0a50acdd164404031b428a4ea335c7d8)
se changera donc en
![{\displaystyle {\frac {xdx}{ay\left(m+nx^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee00c31e6da93050192c3e725e367c064dd02f36)
mais l’équation
![{\displaystyle x^{2}\left(a+bx^{2}\right)=a^{2}y^{2}\left(m+nx^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57b6a30a44fbeeae2acaf5d271975b1537d144b)
étant différentiée donne
![{\displaystyle \left(a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}\right)xdx=a^{2}\left(m+nx^{2}\right)ydy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def0a27b5bd064d75df07b2bb773357e6a7eae88)
par conséquent
![{\displaystyle {\frac {xdx}{ay\left(m+nx^{2}\right)}}={\frac {ady}{a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc49793d28826f85017515ebde65a19972d43af)
de plus, la même équation, ordonnée par rapport à
et résolue à la manière des équations du second degré, donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}2bx^{2}+a-na^{2}y^{2}=&{\sqrt {a^{2}\left(1-any^{2}\right)^{2}+4a^{2}bmy^{2}}}\\=&a{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec078981d72330eb14d0d2ad20c35ac2344d6b56)
donc
![{\displaystyle {\frac {ady}{a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}}}={\frac {dy}{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8d378ab02aca5d7fb5083a5fe3e379be5a56aa)
Si donc on substitue cette quantité à la place de
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362a9e9922064e17f3dafb456be92434920ab667)
et qu’on mette aussi dans l’expression de
au lieu de
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {na^{2}y^{2}-a+a{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}}{2b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242b86feb6f56ecb0b5be643a88c55a57c48bed2)
en faisant disparaître le radical du dénominateur, s’il est nécessaire, on réduira la différentielle proposée
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2e4d61d528fb50956202bbd985a5c402655ac6)
à la forme
![{\displaystyle \mathrm {L} dy+{\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957485bc7e00bc96992542c7e38ecc842c6f9fe3)
où
et
seront des fonctions toutes rationnelles de ![{\displaystyle y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ef5b03d47f8192b11b2a3bafc721b4583c6728)
Or le trinôme sous le signe
![{\displaystyle 1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1b4fd996ad66c0d3110404197d60a767c9f111)
se résout dans les deux binômes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left(2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\\&1+\left(2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a148d1d9ec2e38d94771e35fddd48950d74080)
qui sont toujours réels à cause de
ou
car puisque
![{\displaystyle b^{2}m^{2}-a^{2}n^{2}=\quad {\text{ou}}\quad >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1363cfba137eff9f8076a5ac844c3b9d5f3df7d7)
les facteurs
et
seront nécessairement de même signe ; donc aussi leur somme
sera du même signe ; ainsi,
et
étant de même signe, leur produit
sera toujours une quantité positive. On voit aussi que les deux quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\\&2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1810f47ba657949c00246efa9c49d09bbb8c24a)
sont de même signe, puisque leur produit
est nécessairement positif ; et comme la demi-somme des mêmes quantités est
![{\displaystyle 2bm-an=bm+bm-an,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7e29b1788a14cd34e3c2d7ec0b97ae2ed369c2)
et que nous venons de voir que
et
sont de même signe, il s’ensuit que les deux quantités dont il s’agit seront toujours de même signe que ![{\displaystyle bm.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2309c17c7c153996910e6ac0196715a886454675)
Si donc on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}=&\pm p^{2},\\2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}=&\pm q^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8979e35910ffdf45e628516d4d534d3fa6ac67)
les signes supérieurs étant pour le cas de
positif, et les inférieurs pour celui de
négatif, les quantités
et
seront toujours réelles, et l’on aura, en tirant la racine carrée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\sqrt {\pm bm}}+{\sqrt {\pm (bm-an)}},\\q=&{\sqrt {\pm bm}}-{\sqrt {\pm (bm-an)}}\quad {\text{ou}}\quad ={\sqrt {\pm (bm-an)}}-{\sqrt {\pm bm}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a009c2c6747a4e76280006da13313c1fcc87a59)
de sorte qu’on pourra toujours prendre
et
positives, et alors
sera toujours plus grande que ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Ainsi, la transformée de la proposée
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2e4d61d528fb50956202bbd985a5c402655ac6)
sera
![{\displaystyle \mathrm {L} dy+{\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e031ee011946a191352d87ea5818f61cfc81c)
où
et
seront des fonctions rationnelles de
et
des quantités réelles et positives dont l’une
et le radical
nécessairement réel, puisque
est réelle tant que
et la proposée sont réelles, comme on l’a vu ci-dessus.
De sorte que la difficulté ne consistera plus que dans l’intégration de la nouvelle différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3e7af06dee8b292ccd14b07a539596e6c3e017)
7. Dès qu’on est une fois parvenu à une différentielle de cette dernière forme, il n’y a plus qu’a continuer et répéter les substitutions et les transformations que nous venons d’enseigner ; et pour cela on pourra se servir des formules précédentes en y faisant
![{\displaystyle a=1,\quad m=1,\quad b=\pm p^{2},\quad n=\pm q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf5f4c4bcece9b56fe9cbc3018f3c0065c6304e)
et ainsi de suite. Voici le tableau de ces opérations.
Soit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p'\ \ =&p\,\ +{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},&q'\ \ =&p\ \ -{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\\p''\ =&p'\ +{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},&q''\ =&p'\ -{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\\p'''=&p''+{\sqrt {p''^{2}-q''^{2}}},\qquad &q'''=&p''-{\sqrt {p''^{2}-q''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aab36440a251a0c43279a0aeebe74c8f7b25ae2)
on fera successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ \ &={\frac {y\mathrm {R} }{1\pm q^{2}y^{2}}},\\y''\ &={\frac {y'\mathrm {R} '}{1\pm q'^{2}y'^{2}}},\\y'''&={\frac {y''\mathrm {R} ''}{1\pm q''^{2}y''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bdc8f0194622270b85e381fab60034643f8dea)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ &={\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}},\\\mathrm {R} '\ &={\sqrt {\left(1\pm p'^{2}y'^{2}\right)\left(1\pm q'^{2}y'^{2}\right)}},\\\mathrm {R} ''&={\sqrt {\left(1\pm p''^{2}y''^{2}\right)\left(1\pm q''^{2}y''^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3247a52bb914fe4ade303c7928007069f0d264)
on aura par là
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}\ \ &={\frac {\pm q^{2}y'^{2}-1+\mathrm {R} '}{\pm 2p^{2}}},\\y'^{2}\ &={\frac {\pm q'^{2}y''^{2}-1+\mathrm {R} ''}{\pm 2p'^{2}}},\\y''^{2}&={\frac {\pm q''^{2}y'''^{2}-1+\mathrm {R} '''}{\pm 2p''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880c43a42d07c068d2e1587687c798861c01b806)
et
![{\displaystyle {\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\mathrm {R} '}}={\frac {dy''}{\mathrm {R} ''}}=\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e4da68deebec10650b039963b069b6880c0ab0)
Donc la différentielle
se changera d’abord en
où
et
seront des fonctions rationnelles de
ensuite la différentielle
se changera pareillement en
et
étant aussi des fonctions rationnelles de
et ainsi de suite. Et il est clair, d’après ce que nous avons démontré dans le numéro précédent, que
et
seront toujours réelles.
Il est bon de remarquer au reste que si la fonction
est sans dénominateur, les fonctions dérivées
et
seront aussi entières et du même ordre, ou d’un ordre inférieur, car on aura, par les substitutions prescrites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\mathrm {R} '}},\\&{\frac {y^{2}dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\pm 2p^{2}}}+{\frac {\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)dy'}{\mathrm {R} '}},\\&{\frac {y^{4}dy}{\mathrm {R} }}={\frac {2\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)dy'}{4p^{4}}}+{\frac {\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)^{2}+(\pm p'^{2}y')\left(1\pm q'^{2}y'^{2}\right)dy'}{4p^{4}\mathrm {R} '}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d5d36ed42496d4d8476af471b6aab2d1edca22)
Il en sera de même des fonctions
et ainsi des autres dérivées de celles-ci à l’infini.
Il est clair aussi que la même chose aura lieu pour les fonctions
et
relativement à la fonction d’où elles sont dérivées (6) ; de sorte que si celle-ci est elle-même sans dénominateur, toutes les fonctions ![{\displaystyle \mathrm {L,L',L''} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a466a2bc83fc49ffec83f1adb3c87846450027fc)
![{\displaystyle \mathrm {M,M',M''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072c75741cb0004b6d4e5409af6478f94765c589)
seront aussi sans dénominateur, et d’un ordre égal ou inférieur, mais jamais supérieur à celui de la fonction primitive
8. De cette manière donc la différentielle à intégrer
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2e4d61d528fb50956202bbd985a5c402655ac6)
se trouvera transformée en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} dy+\mathrm {L} 'dy'+\mathrm {L} ''dy''+\ldots +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05032c4e3c8d23f634dbe9f9ed5df7828d7621d0)
en désignant par
les derniers termes des séries ![{\displaystyle \mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de95c6f51b6b2a380f5568eae640a0699e139e84)
qu’on pourra continuer aussi loin qu’on voudra. Et comme les membres
sont chacun intégrables en particulier, puisque
est une fonction rationnelle de
de
il s’ensuit que l’intégration de la proposée sera
réduite à celle de la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54847ee336db49e17fe1ad10a318910fe78cd56)
dans laquelle
est une fonction rationnelle de
et de plus entière si la fonction primitive
est sans dénominateur.
Voici maintenant l’avantage de cette réduction. On a vu (6) que
et
sont des quantités positives telles
donc, puisque
![{\displaystyle p'=p+{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\quad q'=p-{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\frac {q^{2}}{p'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f80e582e3a287b9f07f745cd07fcb8edb1f467)
il est clair que
et
seront aussi positives, et
et à plus forte raison
De même, ayant
![{\displaystyle p''=p'+{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\quad q''=p'-{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}}{\frac {q'^{2}}{p''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a471dcbb1aecb68936e056dda4affba8b19a1aa9)
il s’ensuit que
![{\displaystyle q''>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00a42761b054c2a31332d8a95f8b2d9e989be5b)
et ainsi de suite. D’où l’on conclura en général que les quantités
forment une série croissante à l’infini, et que les quantités
forment une série correspondante, mais décroissante jusqu’à zéro.
Et il est bon d’observer que si l’on prend les sommes et les différences des termes correspondants dans ces deux séries, en faisant
![{\displaystyle p+q=m,\quad p-q=n,\quad p'+q'=m',\quad p'-q'=n',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7971be1fd7c4f18c38ed494e60f54a4a2d2fde)
ce qui donne
![{\displaystyle p={\frac {m+n}{2}},\quad q={\frac {m-n}{2}},\quad p'={\frac {m'+n'}{2}},\quad q'={\frac {m'-n'}{2}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c76073bfc2abb67e6fd930cc06912cd427d21f)
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}m'\ &=m+n,&n'\ &=2{\sqrt {mn}},\\m''&=m'+n',\qquad &n''&=2{\sqrt {m'n'}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f00b5173b4066597f656a068fa1e42c85e14bf)
de sorte que dans les séries
les termes correspondants seront toujours moyens proportionnels, arithmétiques et géométriques, entre les doubles des termes qui les précèdent.
On peut donc continuer ces séries jusqu’à ce qu’on arrive à des termes
dont le second soit aussi petit qu’on voudra ; alors, prenant ces termes pour
et
on pourra, dans la différentielle correspondante
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54847ee336db49e17fe1ad10a318910fe78cd56)
supposer
nul, ce qui la réduira à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f30e7ba6be845ea6148c32c008525038c79bb6)
intégrable par les logarithmes ou par les arcs de cercle, selon que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu.
9. Mais comme la petitesse du terme
ne dépend pas seulement du coefficient
mais aussi de la valeur qu’on donne à la variable
pour avoir dans tous les cas une approximation sûre, on fera
et
ce qui changera la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}}\quad {\text{en}}\quad {\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1933af4e11dcd114fcc42345c0d7f44e42c24a)
en nommant
ce que devient
par la substitution de
à la place de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Or, depuis
jusqu’à
et
il est clair que le terme
sera moindre que
par conséquent, en négligeant ce terme, on sera assuré de ne négliger que des quantités de l’ordre de
D’ailleurs il est visible que la valeur du radical
sera nécessairement renfermée entre ces deux-ci,
et
par conséquent, l’intégrale de la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979e2c8b6f76e0f078b6a7e4afceee33f38b0c07)
aura pour limites celle de la différentielle
et cette même inté-
grale divisée par
![{\displaystyle {\sqrt {1\pm \alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656362149d1b2f0c63ea1444a35f3be7c7c059f)
Ainsi, comme on est le maître de rendre la valeur de
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
aussi petite que l’on veut, on pourra aussi resserrer à volonté les limites dont il s’agit.
Si cependant on voulait s’arrêter à une valeur de
qui ne fût pas assez petite pour fournir des limites données, il n’y aurait qu’à résoudre en série le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1\pm \alpha t^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c328833164f5aecdb1fa8008cce6d199ac48e5)
et prendre autant de termes qu’on le jugerait à propos.
Cette série est, comme on sait,
![{\displaystyle 1\mp {\frac {1}{2}}\alpha t^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{2}t^{4}\mp {\frac {1.3.5}{2.4.6}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4dd88b0fc8d8fb404b2cd9b1f77ba8a27849de9)
Soit
\varpi
le nombre des termes qu’on en veut prendre et
le dernier de ces termes ; pour embrasser tous les termes suivants, il faudrait multiplier
par la série
![{\displaystyle 1\mp {\frac {2\varpi -1}{2\varpi }}\alpha t^{2}+{\frac {(2\varpi -1)(2\varpi +1)}{2\varpi (2\varpi +2)}}\alpha ^{2}t^{4}\mp {\frac {(2\varpi -1)(2\varpi +1)(2\varpi +3)}{2\varpi (2\varpi +2)(2\varpi +4)}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e28899f5a5f0f5d29ed7a1fd582a4d39596c43)
or cette série est évidemment toujours renfermée entre ces limites
et
c’est-à-dire entre
et
Donc, en général, la somme exacte de tous les termes de la série continuée à l’infini sera toujours renfermée entre la valeur de la somme d’un certain nombre de termes pris depuis le commencement, et la valeur de la somme des mêmes termes, mais en divisant le dernier par ![{\displaystyle 1\pm \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c25f8b526d2079056ac97579ed2f7f430ad7a)
Par conséquent, l’erreur résultant des termes qu’on aura négligés sera toujours moindre que la valeur du dernier terme multiplié par
ainsi l’on peut l’apprécier facilement et la diminuer à volonté.
Il serait facile au reste de trouver des limites plus exactes et plus resserrées, mais cela n’est pas nécessaire ici, où l’on suppose que
est une quantité fort petite et même aussi petite que l’on veut.
Mais depuis
jusqu’à
le terme
étant toujours
l’approximation précédente ne saurait plus avoir lieu. On fera donc alors
et la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979e2c8b6f76e0f078b6a7e4afceee33f38b0c07)
se changera en
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {U} du}{\sqrt {\left(\alpha \pm u^{2}\right)\left(1\pm \alpha u^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d507e85e515c8fb272d4a2b4b3c46a1addc54bea)
étant ce que devient
par la substitution de
à la place de
Cette transformée est, comme on voit, semblable à la différentielle en
du moins pour la partie irrationnelle, et la variable
est ici renfermée entre les limites
et
comme la variable
l’était ci-dessus ; ainsi l’on pourra traiter cette différentielle en
de la même manière que l’autre en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Donc, en général, si l’intégration doit s’étendre depuis
jusqu’à
on distinguera trois cas : 1o lorsque
et
sont renfermées entre
et
on aura alors le cas de
2o lorsque
et
sont renfermées entre
et
ou
et
ce sera le cas de
et l’on emploiera la substitution
laquelle rendra
3o lorsque
sera entre les premières limites et
entre les secondes, ou réciproquement ; dans ce cas il faudra partager l’intégrale en deux parties, la première qui s’étende depuis
jusqu’à
et la seconde depuis
jusqu’à
et chacune de ces parties rentrera, comme on voit, dans l’un des cas précédents.
10. Au reste il est à propos d’observer que quand on a à intégrer une différentielle en série de la forme
![{\displaystyle \mathrm {\left(A+A'\xi +A''\xi ^{2}+A'''\xi ^{3}+\ldots \right)} \mathrm {X} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6279aa912c5eb08360e7adfed4fff6c6f16751a4)
et
étant des fonctions de
et
des coefficients constants, au lieu d’intégrer chaque terme à part, ce qui demande souvent
des réductions pénibles, il suffit (
a
étant une constante indéterminée) d’intégrer tout d’un coup la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} dx}{1-a\xi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2763db9350c101faefe90c80ac105a43f602322)
dont l’intégration n’est guère plus difficile que celle de
surtout si
est une fonction rationnelle. Alors, nommant
l’intégrale complétée d’après les conditions du Problème, il n’y aura qu’à dégager la quantité
en développant par les méthodes connues la fonction
dans une série de la forme
![{\displaystyle u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be0f263e4439f844d3af44fce256b4c58dedd6)
et l’on aura pour l’intégrale de la proposée la série
![{\displaystyle \mathrm {A} u+\mathrm {A} 'u'+\mathrm {A} ''u''+\mathrm {A} '''u'''+\ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd19f4dfd18c8ebcd53afef6d61df0f6e4e16ad)
On sait que l’on a, en faisant
après les différentiations,
![{\displaystyle u=\mathrm {V} ,\quad u'={\frac {d\mathrm {V} }{da}},\quad u''={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{da^{2}}},\quad u'''={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {V} }{da^{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46843a6fd7ed0ad634a6049bdc1bdbb19177461)
Donc l’intégrale cherchée sera aussi représentée par
![{\displaystyle \mathrm {AV} +\mathrm {A} '{\frac {d\mathrm {V} }{da}}+{\frac {\mathrm {A} ''}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{da^{2}}}+{\frac {\mathrm {A} '''}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {V} }{da^{3}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26abbed3c0b7e433e4f3ea695d020a35a940139)
en faisant varier
seul dans
et supposant ensuite ![{\displaystyle a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adb639dec639e79645601d9b80ac8173567b4cc)
11. Reprenons les transformations du no 7, et remarquons que, puisque les deux séries
sont divergentes l’une par rapport à l’autre (8), si on les continue en arrière ainsi :
elles deviendront convergentes, en sorte qu’on parviendra à des termes
et
égaux, ou presque égaux entre eux ; ce qui fera rentrer la différentielle correspondante
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccfc90c0e296717a6cc074f70019918aef90001)
dans le second cas d’intégration dont on a parlé dans le no 5. Voici pour cela le procédé du calcul.
On fera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p&={\text{ʽ}}p\ +{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},&q&={\text{ʽ}}p\ -{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\text{ʽ}}p&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p+{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}q&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p-{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb76ee1203c5b14e643a0697e87765ec644598ff)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{ʽ}}p=&{\frac {p+q}{2}},&{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {pq}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p=&{\frac {{\text{ʽ}}p+{\text{ʽ}}q}{2}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}q}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accc54559190a6657208bf9a4c99dfb70f45f69f)
De sorte qu’il est très-facile de continuer les séries ![{\displaystyle p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a06a0ba1791b9938af55dadfa2216de9fb2cdf5)
![{\displaystyle q,{\text{ʽ}}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b960e9c6d1ceedfec1f8901b6a6c12a1cd46df)
aussi loin que l’on veut, puisque les termes correspondants sont toujours moyens arithmétiques et géométriques entre les deux précédents. Et l’on voit en même temps que, quelle que soit la différence des deux premiers termes
elle doit aller toujours en diminuant dans les termes suivants, jusqu’à devenir nulle ; car
étant
on a évidemment
et en même temps
puisque
![{\displaystyle {\text{ʽ}}p-{\text{ʽ}}q={\frac {p+q}{2}}-{\sqrt {pq}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a0886beb21be293feea3c902aaa3e23e94b542)
donc aussi
et
et ainsi de suite ; en sorte que la série
est décroissante, et la série
est au contraire croissante, mais toujours séparée de l’autre par un intervalle qui diminue à l’infini.
12. Cela posé, on fera successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b14f7a1c788e4cfba4e9a6708d5e5ccf84efe56)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89234532cd7850304ee72d7c81b976256fe9c94)
ce qui donnera (7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}-1+\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}-1+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}-1+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf3994ae227ddbb0097bf344bf6c5ad2e5ae1fe)
et
![{\displaystyle {\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}=\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d49e9fc63bbe70a24ef1591c2d0fedd7dc02475)
Et l’on observera que les nouvelles variables
seront nécessairement réelles, ainsi que les radicaux
Car d’abord il est clair que,
et
étant réels,
sera réelle : et l’on voit en même temps que lorsque les signes supérieurs ont lieu, la valeur de
sera positive, puisque dans ce cas
est évidemment
lorsque les signes inférieurs ont lieu, on aura
car en mettant pour
sa valeur
et prenant les carrés, on aura d’un côté
![{\displaystyle \left(1-p^{2}y^{2}\right)\left(1-q^{2}y^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5aa6e16377cf18f400a04db8e06c8554b3c4d5)
savoir
![{\displaystyle 1-\left(p^{2}+q^{2}\right)y^{2}+p^{2}q^{2}y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4401156ab702ea8e45160a43e3f83962d72dbea6)
et de l’autre
![{\displaystyle 1+2pqy^{2}+p^{2}q^{2}y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba40675c80e6590227a96144340a85df53a1cc2)
en sorte que l’excès de
sur
sera
quantité toujours positive ; donc, comme dans ce cas
![{\displaystyle {\text{ʽ}}y^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b7b9493121708c2b37564d426c320eef789d49)
il s’ensuit que la valeur de
![{\displaystyle {\text{ʽ}}y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbff9925c10b2f13c865126782edb5622a905028)
sera aussi positive. Donc
![{\displaystyle {\text{ʽ}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ef64af4377a54f2941b353062eac3942631699)
sera réelle dans l’un et l’autre cas. Donc aussi
![{\displaystyle {\text{ʽ}}\mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84520d5251ebbf511d50cb0bd2cecda84628354)
sera réel en vertu de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917791a385dc41efcdde620933308855799e687c)
Et de là on démontrera pareillement la réalité de
et de
et ainsi des autres.
Par les substitutions précédentes, la différentielle
se changera donc d’abord en
et
étant des fonctions rationnelles de
ensuite la différentielle
se changera de même en
![{\displaystyle {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y+{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {M} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819d67847870b2e7da99f773b757ce605dd1f74a)
et
étant aussi des fonctions rationnelles de
et ainsi de suite.
Donc la différentielle
![{\displaystyle \mathrm {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa11df75437cbcf1cc0b15dc3e931cfd5427405)
du no 5 se trouvera transformée en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} dy+{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}y+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y+\ldots +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2625826966605de9fcd6556f79381da22f6031f)
en nommant
les derniers termes des séries
![{\displaystyle \mathrm {M} ,{\text{ʽ}}\mathrm {M} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {M} ,\ldots ,y,{\text{ʽ}}y,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,\ldots ,p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09f807913b1332e41b12bf51e7393303b0b0a8e)
et comme les membres
sont chacun intégrables en particulier, l’intégration de la proposée sera ainsi réduite à celle de la nouvelle différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54847ee336db49e17fe1ad10a318910fe78cd56)
où
est une fonction rationnelle de
et où
et
sont des constantes aussi peu différentes entre elles qu’on voudra.
13. Il faut remarquer encore que lorsque
est une fonction sans dénominateur, on peut toujours réduire
à n’être qu’une pareille fonction, et du même ordre ; car on a d’abord
![{\displaystyle {\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917791a385dc41efcdde620933308855799e687c)
Ensuite, avant
![{\displaystyle y^{2}={\frac {-\mathrm {R} +1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28abd1a30a5def34bac3d41c28c75e241d7fcb6f)
on aura
![{\displaystyle {\frac {y^{2}dy}{\mathrm {R} }}=-{\frac {dy}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)d{\text{ʽ}}y}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6612faa0905e40d57d00525bb8f469dcc6a8bd98)
Maintenant, l’équation
![{\displaystyle \pm {\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+\mathrm {R} =1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635b46bfd0c9295c3bc9c3957decd74a5ab1968f)
étant carrée, si l’on y substitue à la place de
sa valeur en
et qu’ensuite on substitue aussi pour
dans les termes qui ne contiennent point
la valeur ci-dessus, on en tirera
![{\displaystyle y^{4}=\mathrm {YR} +{\text{ʽ}}\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52c839e51ea627ef881ea9b1052c0531f73a3d1)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} =&{\frac {p^{2}+q^{2}\mp 2{\text{ʽ}}q^{4}y^{2}}{\left(p^{2}q^{2}+{\text{ʽ}}q^{4}\right){\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\text{ʽ}}\mathrm {Y} =&{\frac {-q^{2}+\left(p^{2}+q^{2}\right)\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)+{\text{ʽ}}q^{2}\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)^{2}}{\left(p^{2}q^{2}+{\text{ʽ}}q^{4}\right){\text{ʽ}}q^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2c1594bfc8c1514e6b51d5d46488b0e0ccd1b0)
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {y^{4}dy}{\mathrm {R} }}=\mathrm {Y} dy+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {Y} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e69f2929dabb67f4a80fe61e53adfa18c81dc9)
On réduira de la même manière, par des substitutions successives,
à la forme
où
sera une fonction rationnelle et entière de
de l’ordre quatrième, sixième, …, et
sera une pareille fonction de
de l’ordre sixième, huitième, … ; et l’on aura par conséquent aussi
![{\displaystyle {\frac {y^{6}dy}{\mathrm {R} }}=\mathrm {Y} dy+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {Y} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38d38bc2ad98993fb9e84ae200c0dd5b4237f13)
et ainsi de suite.
D’où l’on voit qu’en général la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(a+by^{2}+cy^{4}+\ldots \right)dy}{\mathrm {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f098918033db3b031bab0a37089af9f60a8d2546)
se réduira toujours à la différentielle
![{\displaystyle \mathrm {Y} dy+{\frac {\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} {\text{ʽ}}y^{2}+\mathrm {C} {\text{ʽ}}y^{4}+\ldots \right)d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bbb68946d46d311e89b0cd2d99b3ba6017e779)
où
sera une fonction rationnelle et entière de ![{\displaystyle y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ef5b03d47f8192b11b2a3bafc721b4583c6728)
On fera les mêmes opérations sur les autres transformées en ![{\displaystyle {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0007c90b8dd9fbbb990f788ef379526738658a0)
et l’on en conclura en général que si dans la différentielle primitive
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f60ad50f65a691f7a129aa659a0f319aeef539)
est une fonction sans dénominateur, auquel cas nous avons déjà démontré plus haut que
sera aussi une fonction de même forme et de même ordre, cette fonction sera réductible à celle-ci
![{\displaystyle d\mathrm {V} +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222cfabb27be7b445a6e3889eefebefb391613ff)
dans laquelle
sera une fonction rationnelle et entière de
et
une fonction rationnelle et entière de
du même ordre que la fonction ![{\displaystyle \mathrm {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d634dbc1633d46a2ff22bb7269b4970135327c4)
14. Il ne s’agira donc plus que d’intégrer la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54847ee336db49e17fe1ad10a318910fe78cd56)
dans laquelle
et
seront des quantités aussi peu différentes entre elles qu’on voudra ; et il est d’abord clair qu’en les supposant égales l’irrationnalité disparaîtra, et l’intégration n’aura plus de difficulté. En même temps il est visible que puisque
le radical
sera nécessairement renfermé entre les deux quantités
et
par conséquent, l’intégrale de la proposée aura pour limites
les intégrales de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0aac0f94c445da623907dbbac87900688de8c7)
et de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058a89aa391c871165e486b9ecc29881ef8ce27a)
limites qu’on pourra resserrer autant qu’on voudra, puisqu’on est le maître de diminuer à volonté la différence de
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
et
Mais si l’on voulait tenir compte de l’effet de cette différence, il n’y aurait qu’à y employer la méthode ordinaire des séries ; et, pour en rendre l’emploi plus exact relativement à la différentielle proposée, on la mettra d’abord sous la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{rs{\sqrt {\left({\frac {1}{r^{2}}}\pm z^{2}\right)\left({\frac {1}{s^{2}}}\pm z^{2}\right)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355778c0b7ed14fe7e155d0f0e615c23cb359707)
ensuite on supposera
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}=b^{2}+\beta ,\quad {\frac {1}{r^{2}}}=b^{2}-\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1095b09f185b3bd1e54dbef70619bff649e9ce87)
c’est-à-dire
![{\displaystyle b^{2}={\frac {r^{2}+s^{2}}{2r^{2}s^{2}}},\quad \beta ={\frac {r^{2}-s^{2}}{2r^{2}s^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb49038460041d779140c307350f055762395a0)
en sorte que
sera une quantité fort petite de l’ordre de
et la différentielle en question se changera en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{rs{\sqrt {\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{2}-\beta ^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f291224b5905ab69be5d76ca0f320fff00ced541)
laquelle, par le développement du radical, deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{rs}}\left[{\frac {1}{b^{2}\pm z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\beta ^{2}}{\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\beta ^{4}}{\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32210fb9657f002a1fdbeadc53b718718568b373)
série dont chaque terme est rationnel et par conséquent intégrable par les arcs de cercle ou par les logarithmes selon que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu.
Mais, pour n’avoir pas à intégrer à part chaque terme de cette série, on intégrera la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{rs\left(b^{2}+a\pm z^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cf61b0486e93fde7064bad761ddcd0f72d9a63)
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
étant une constante indéterminée, et, nommant
![{\displaystyle \mathrm {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664209da7650f00b3507efe25f89aeff9783146c)
l’intégrale complétée suivant les conditions des Problèmes, on dégagera ensuite
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
en développant
![{\displaystyle \mathrm {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664209da7650f00b3507efe25f89aeff9783146c)
dans une série de la forme
![{\displaystyle u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+a^{4}u^{\text{ıv}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e637aa921361f25381b169851fb7493b8a11a27)
on aura alors, pour l’intégrale de la série dont il s’agit, celle-ci
![{\displaystyle u+{\frac {\beta ^{2}}{2}}u''+{\frac {1.3\times \beta ^{4}}{2.4}}u^{\text{ıv}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2158095a3bbb1c783b8de4134efa8083f1f063a)
Cette série sera, comme on voit, fort convergente lorsque
sera une très-petite quantité ; en sorte qu’il suffira le plus souvent de n’en prendre qu’un ou deux termes. Il y a cependant un cas où l’approximation serait toujours inexacte, quelque petite que fût la quantité
c’est celui où, en prenant dans la formule le signe inférieur, on aurait dans l’un des termes de l’intégrale
étant une quantité du même ordre que
alors
serait une quantité du même ordre que
et par conséquent la série cesserait d’être convergente.
15. Pour résoudre ce cas d’une manière générale, je considère la formule
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(m^{2}-z^{2}\right)\left(n^{2}-z^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004d0e938b8d17fa00feb2a69d1b7746584748cb)
dans laquelle la différence entre
et
est supposée très-petite, et qui doit être intégrée depuis
jusqu’à
les quantités
étant l’une ou l’autre, ou toutes deux, peu différentes de ![{\displaystyle \pm m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c7bd34e7717f0cb03afa765e6b340ce661e786)
Supposons d’abord l’une de ces quantités peu différente de
et par conséquent aussi de
tandis que l’autre est assez différente de
comme la quantité sous le signe est
![{\displaystyle (m-z)(n-z)(m+z)(n+z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b695380a166dda188e89c0d92249deae0fdc09d)
et que
![{\displaystyle (m+z)(n+z)=\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec165007ab5c6a8715966d09c8af4128d1e02f7)
on pourra donner à la différentielle cette forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} dz}{{\sqrt {(m-z)(n-z)}}{\sqrt {\left(z+{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfdd83f300a952933c8e2bb7c3e9ec2eeaa417b)
et il est clair que
sera toujours très-petite vis-à-vis de
en sorte que la résolution du radical
![{\displaystyle {\sqrt {\left(z+{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b913fff08b4fc1da3c3ca3ecc2e9ca70377d6f)
ne sera sujette à aucun inconvénient. On aura donc à intégrer la formule
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {(m-z)(n-z)}}}\left[{\frac {1}{z+{\frac {m+n}{2}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2}}{\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{4}}{\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76116cdf246e318eba24317805bfb57bfb5ef688)
dont chaque terme est intégrable par les logarithmes ou les arcs de cercle.
Si l’une des quantité
était peu différente de
on donnerait alors au radical
la forme
![{\displaystyle {\sqrt {(m+z)(n+z)}}{\sqrt {\left(z-{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a75c64c7a3f660fc943f79cce740a931ec569c)
et l’on aurait à intégrer cette autre série
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {(m+z)(n+z)}}}\left[{\frac {1}{z-{\frac {m+n}{2}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2}}{\left(z-{\frac {m+n}{2}}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{4}}{\left(z-{\frac {m+n}{2}}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db976a313da4f1bc0ac3c453289dc8c98ff3ac0)
qu’on voit être nécessairement convergente, et dont l’intégration est toujours facile.
Enfin, si l’une des quantités
était très-proche de
et que l’autre fût en même temps peu différente de
on partagerait alors l’intégrale en deux parties, dont l’une se prendrait depuis
jusqu’à zéro et l’autre depuis zéro jusqu’à
et pour la première on emploierait la première série, et pour la seconde la seconde série.
16. Nous finirons par présenter encore un moyen de simplification relativement à la manière de compléter l’intégrale cherchée. Nous remonterons pour cela à la différentielle en y du no 6, et nous remarquerons que si l’intégration de cette différentielle doit commencer au point où
alors, comme
donne aussi
ainsi que
toutes les autres différentielles transformées devront aussi commencer au point où leur variable sera nulle ; de sorte qu’il n’y aura dans ce cas aucune constante à ajouter. Mais si l’intégration doit commencer dans un autre point quelconque, il faudra alors, pour compléter l’intégrale, en retrancher la valeur correspondant à ce point, ce qui rendra l’intégrale moins simple et même quelquefois sujette à des difficultés, si la valeur de
devait être infinie au commencement de l’intégration.
On obviera en général à ces inconvénients en ramenant tous les cas au premier, c’est-à-dire à celui où l’intégrale commence à
Pour cet effet, soit
la valeur de
au point où l’on veut faire commencer l’intégration de la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2319e3614fd6a0e4f9dcfece562dc95be84b1ffe)
on substituera au lieu de
une autre variable
déterminée par l’équation
![{\displaystyle f^{2}-u^{2}-y^{2}+2uy{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}+p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}y^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bf78168792a403b93484621a73bdcf8d6213e7)
laquelle donne
![{\displaystyle u={\frac {y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}-f{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}{1-p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f7cd15b10af63541d9596a0547ad62534746c7)
et réciproquement
![{\displaystyle u={\frac {u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}+f{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}{1-p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd78b16060f28eec1dd1ebf8738a24a9a96d4b2f)
où l’on voit que
donne
et que
donne ![{\displaystyle u={\frac {1}{pqf}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fbf8b49da62c1ea16e5f4784548207101aaa96)
Or l’équation précédente, étant différentiée et divisée en croix, donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{u\left(p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}-1\right)+y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}}}\\&\qquad +{\frac {du}{y\left(p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}-1\right)+u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18af1a61f237a45bc41f6fd721e108dcb160c913)
et, mettant dans le dénominateur de
la valeur précédente de
en
ainsi que dans le dénominateur de
la valeur de
en
on aura
![{\displaystyle {\frac {dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8ae7b4f0fbf2a3345efb37917067d6b18e7c63)
Soit maintenant
![{\displaystyle u^{2}+y^{2}=s,\quad uy=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeabbf3e37ba7ef015812bd5ad9ad4cff4d3dab6)
on aura par la même équation
![{\displaystyle s=f^{2}+2\mathrm {F} t+p^{2}q^{2}f^{2}t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d14d9974affb0188a14c8949f98fe01f6bcca31)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fd42ec8a6ff5a4d4ac108b0084d392898f545d)
De là on aura
![{\displaystyle y^{2}-u^{2}={\sqrt {s^{2}-4t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3df018aded477031fdc5b577626be1296a1b25f)
par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}=&{\frac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}},\\u^{2}=&{\frac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb69a2302f1f1b3077f3d07bdbc21fa5445ea570)
Qu’on substitue cette valeur de
dans la quantité
qui est supposée une fonction rationnelle de
et faisant disparaître le radical du dénominateur s’il y en a un, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {M=P+Q} {\sqrt {s^{2}-4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffa736b393961cad35e8addd868bdf55f63cf7b)
et
étant des fonctions rationnelles de
et ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Et, comme la valeur de
ne diffère de celle de
que par le signe du radical, il est visible que
sera pareillement la valeur d’une fonction
de
semblable à la fonction
de
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=L+Q} {\sqrt {s^{2}-4t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591236f0d8d1c8a6abe134056d34599fdbf1886c)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {M=L+2Q} {\sqrt {s^{2}-4t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39f553488ebde0a10d3d6fb0df078e4cffdcfe7)
Or
est, comme nous venons de le voir, une fonction rationnelle de
et de
donc, en y substituant pour
sa valeur en
trouvée ci-dessus, on aura pour
une fonction rationnelle de
De plus,
et les valeurs de
et de
données plus haut étant multipliées l’une par
l’autre par
et ensuite retranchées l’une de l’autre, on a
![{\displaystyle y^{2}-u^{2}=fy{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}+fu{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072aa2f3716568dd56cae8595c16cd53297a50b9)
donc
![{\displaystyle \mathrm {M=L} +2f\mathrm {Q} \left[y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}+u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2ff1a0b738d32a980a6d1483d13fe4481bc9cc)
cette équation étant combinée avec l’équation différentielle
![{\displaystyle {\frac {dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89984a288415b447c20c868194cea7c7e46b77)
on aura (à cause de
)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {\mathrm {L} du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}+2f\mathrm {Q} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81b55738eb59d4476f2a0d051f4ae9c06cc2547)
où la partie
est intégrable, puisque
est une fonction rationnelle de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
De cette manière, la substitution de
à la place de
réduit l’intégration de la différentielle proposée à celle d’une autre différentielle semblable, puisque
est une fonction de
semblable à la fonction
de
et elle a en même temps cet avantage que l’intégration relative à
commencera toujours à
quelle que soit la valeur initiale
de
17. Par la méthode générale que nous venons d’exposer, on est donc assuré de pouvoir intégrer aussi exactement qu’on voudra toute différen tielle affectée d’un radical carré, où la variable sous le signe monte jusqu’à la quatrième puissance) ; ce qui est le cas d’un grand nombre de Problèmes géométriques et mécaniques qu’on ne pouvait résoudre jusqu’ici que d’une manière incomplète et limitée.
Comme cette méthode est d’un genre assez nouveau, et qu’on pourrait rencontrer encore quelques difficultés dans son usage, nous allons appliquer en détail à la rectification des arcs elliptiques et hyperboliques.
Rectification de l’ellipse et de l’hyperbole.
18. Soit, dans une ellipse dont le demi-grand axe est pris pour l’unité et le demi-petit axe est
l’abscisse prise du centre sur le grand axe, on aura l’ordonnée rectangle
![{\displaystyle y=b{\sqrt {1-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05137fd47a1beafb3b8ac040e9f15cfcfd4beeb7)
et l’élément de l’arc elliptique sera
![{\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+y^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}}dx={\frac {\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd02f9e6396a7de1aa410543e83d7eae0bc8781)
en faisant
l’excentricité de l’ellipse.
Cette expression trouvée pour l’ellipse a lieu également pour l’hyperbole ; tant que
elle se rapporte à l’ellipse, et si
elle appartient alors à l’hyperbole, dans laquelle, le demi-petit axe
devenant imaginaire,
est une quantité négative, et par conséquent
19. Lorsque
est une quantité fort petite ou très-peu différente de l’unité, on peut, dans l’expression de l’élément de l’arc, réduire le radical du numérateur en une série convergente, et-ensuite intégrer chaque terme en particulier par les méthodes connues ; mais à mesure qu’on s’éloigne de ces deux cas, la convergence des séries diminue, et il faudrait souvent pousser les séries très-loin pour avoir des déterminations de l’arc suffisamment exactes. Feu M. Euler a donné pour ces deux cas, dans ses Opuscules, des séries qui représentent le quart de l’ellipse.
Le premier n’a point de difficulté, parce que la série est toujours convergente lorsque
est une petite quantité, la variable
ne pouvant jamais excéder l’unité. Il n’en est pas de même du second ; car en supposant
peu différent de l’unité et mettant en conséquence le radical
sous la forme
il est clair que la série dans laquelle on développerait ce radical en prenant
pour premier terme, et
pour second terme, cessera d’être convergente près du sommet de l’ellipse où
est une quantité très-petite ou nulle, et qu’ainsi elle ne pourra servir pour déterminer la longueur du quart entier de l’ellipse, mais seulement pour une partie de cette longueur. M. Euler n’a résolu ce cas que par des méthodes indirectes ; mais, comme il est analogue à celui dont nous avons traité dans le no 15, il peut l’être par des principes semblables.
Pour ne rien laisser à désirer ici sur l’objet présent, nous allons donner succinctement la solution des deux cas dont il s’agit, en présentant les formules les plus simples et les plus générales pour la rectification des ellipses peu excentriques ou très-aplaties.
20. Et d’abord, lorsque l’excentricité
de l’ellipse proposée est fort petite, il n’y aura qu’à résoudre le radical
en série à la manière ordinaire, et la différentielle de l’arc elliptique deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e^{2}x^{2}-{\frac {1.1}{2.4}}e^{4}x^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}e^{6}x^{6}-\ldots \right)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce348c85cdf49074f0b3a919a18c1d6b96ed63ce)
dont chaque terme est intégrable.
En effet, on a, par les réductions connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&\operatorname {arc} \sin x,\\\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arc} \sin x,\\\int {\frac {x^{4}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&-\left({\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1.3}{2.4}}x\right){\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}\operatorname {arc} \sin x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47763f0910258bfe1862973937fa08750eb7a9f4)
et ainsi de suite.
Mais on peut avoir directement l’intégrale de toute la série par la méthode du no 10, en intégrant simplement la différentielle
![{\displaystyle {\frac {dx}{\left(1-ax^{2}\right){\sqrt {1-x^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2319fd7a32c442509a4fcc05c0165c88192285)
laquelle, en supposant
se change en celle-ci
![{\displaystyle -{\frac {dy}{{\sqrt {1-a}}{\sqrt {1-y^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd5d15dd1a3a4558acca1296caf5d5f80af4b55)
dont l’intégrale est
de sorte que l’intégrale de la proposée sera
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-a}}}\operatorname {arc} \cos {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1-ax^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217129e733626923f49843f7410ae4d06c739091)
et comme cette intégrale s’évanouit d’elle-même lorsque
elle ne demande point de constante.
Dénotant donc en général cette quantité par
il n’y aura qu’a regarder
comme une fonction de
et à la résoudre en une série ascendante de la forme,
![{\displaystyle u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be0f263e4439f844d3af44fce256b4c58dedd6)
soit par la méthode des séries, soit par des différentiations relatives à
on aura alors, pour l’arc elliptique répondant à l’abscisse
prise du centre sur le grand axe, la formule
![{\displaystyle u-{\frac {1}{2}}e^{2}u'-{\frac {1.1}{2.4}}e^{4}u''-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}e^{6}u'''-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cb595052a059f9700b6e696b5db920a53eeadf)
Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {90^{\circ }}{\sqrt {1-a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326184fe6719257f6995e1f25ba7be0835191d31)
en désignant par
l’angle droit ou le quart d’un cercle dont le rayon est l’unité. On aura donc dans ce cas, en résolvant
en série,
![{\displaystyle u=90^{\circ },\quad u'={\frac {1}{2}}90^{\circ },\quad u''={\frac {1.3}{2.4}}90^{\circ },\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a2abdf404d496b7600c9c6db144ca0554ea8c7)
par conséquent, le quart d’ellipse sera exprimé par la série
![{\displaystyle 90^{\circ }\left(1-{\frac {1.1}{2.2}}e^{2}-{\frac {1.1.1.3}{2.2.4.4}}e^{4}-{\frac {1.1.1.3.3.5}{2.2.4.4.6.6}}e^{6}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bed3580f31abe106ffdd0fd477466aa88af7cf)
qu’on voit être toujours convergente lorsque
est une fraction assez petite.
21. Supposons maintenant
peu différente de l’unité, ce qui est le cas d’une ellipse ou d’une hyperbole très-aplatie suivant que
sera
ou
on mettra alors la différentielle
sous la forme
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {\frac {1+ex}{1+x}}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b217940d6fed8d75a6bf17d4a51d6cdcfc704711)
et l’on représentera le radical
ainsi
où l’on voit qu’à cause de
très-petite, le terme
sera toujours fort petit du même ordre dans tout le quart d’ellipse où
croît depuis
jusqu’à
de sorte que la réduction de ce radical en série ne sera sujette à aucune difficulté.
Mais, pour rendre le calcul plus simple, on donnera au même radical la forme
et faisant
on aura à intégrer la différentielle en série
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n}{1+x}}-{\frac {1.1}{2.4}}{\frac {n^{2}}{(1+x)^{2}}}+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}{\frac {n^{3}}{(1+x)^{3}}}-\ldots \right)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4be7c7c51ab253622b9151105a4997d8d72e98)
dont chaque terme est intégrable en partie algébriquement et en partie par logarithmes.
Suivant la méthode du no 10, il n’y aura donc qu’à intégrer la différentielle
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\frac {\sqrt {e}}{1-{\cfrac {a}{1+x}}dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868e7ff36cfb238344130f96defe3758f91c7bc7)
qu’on nommera
et à résoudre ensuite la quantité
regardée comme une fonction de
en une série ascendante de la forme
![{\displaystyle u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb6cc49aadbb7fab1d283ed66ade636ec2c1c52)
alors on aura sur-le-champ la série
![{\displaystyle u+{\frac {1}{2}}nu'-{\frac {1.1}{2.4}}n^{2}u''+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}n^{3}u'''-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f0a09dcc886d943193153f357b905db639064f)
pour l’intégrale de la différentielle proposée, c’est-à-dire pour la longueur de l’arc elliptique ou hyperbolique.
Or, comme
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\cfrac {a}{1+x}}}}={\frac {1+x}{1-a+x}}=1+{\frac {a}{1-a+x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cc8baa3280fc2da50ee3123ea20891e8955ed9)
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}dx+a{\sqrt {e}}{\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}d\left[\log(1-a+x)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7e0a633cab3043a4db787e20e0d30d144fed60)
et faisant
ce qui donne
![{\displaystyle x={\frac {1-y^{2}}{1-ey^{2}}},\quad dx=-{\frac {2(1-e)y}{\left(1-ey^{2}\right)^{2}}}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d34558272111e96fd714f758d825dc4835703a1)
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {V} =-{\frac {2(1-e){\sqrt {e}}}{\left(1-ey^{2}\right)^{2}}}dy+2ae{\sqrt {e}}{\frac {1}{1-ey^{2}}}dy-{\frac {2a{\sqrt {e}}(1+e-ae)}{2-a-(1+e-ae)y^{2}}}dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d403769e33b732d3cb1f447fc8fc96b389ab8fe8)
donc, en intégrant par les méthodes connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =&-{\frac {(1-e)y{\sqrt {e}}}{1-ey^{2}}}+\left({\frac {1-e}{2}}-ea\right)\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)\\&+a{\sqrt {\frac {e(1+e-ea)}{2-a}}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {\cfrac {1+e-ea}{2-a}}}}{1+y{\sqrt {\cfrac {1+e-ea}{2-a}}}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee78a773bf89a24bf5cbd526f7cec3ad0d6e58fa)
Cette intégrale est nulle lorsque
auquel cas
ainsi elle répond aux arcs elliptiques ou hyperboliques pris depuis le sommet ou l’extrémité du grand axe ; mais, dans le cas de l’ellipse, il faudra prendre l’expression de l’arc négativement puisqu’il diminue tandis que l’abscisse
augmente. On aura donc en général, pour l’arc d’ellipse ou d’hyperbole pris depuis le sommet et terminé au point qui répond à l’abscisse
prise du centre, la valeur en série
![{\displaystyle \mp u\mp {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)u'\pm {\frac {1.1}{2.4}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)^{2}u''\mp {\frac {1.1.3}{2.4.6}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)^{3}u'''\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4639c56db7d78e32430450496b217f36bb6bd7)
les signes supérieurs étant pour l’ellipse où
et les inférieurs pour l’hyperbole où
Et pour avoir le quart entier de l’ellipse il faudra faire
et par conséquent ![{\displaystyle y=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef7c33df0c4a9c6b609f8a1f2502d74e003f5f)
Au reste, puisque
est le développement de la fonction
on voit d’abord qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&-(1-e)\left[{\frac {y{\sqrt {e}}}{1-ey^{2}}}-{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)\right],\\u'=&-e\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)+{\sqrt {\frac {e(1+e)}{2}}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {\cfrac {1+e}{2}}}}{1+y{\sqrt {\cfrac {1+e}{2}}}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd73018d590dfc2676fedda32d437a8237bd669)
et les quantités suivantes
![{\displaystyle u'',u''',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47313a5e636293819053f50480f0a17e9c2982ad)
seront les coefficients des puissances
![{\displaystyle a,a^{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ceb069d3097734e1e58fee9fa297456053333a9)
dans le développement de la fonction
![{\displaystyle {\sqrt {e\left[{\frac {1+e}{2}}+{\frac {(1-e)a}{2(2-a)}}\right]}}\times \log \left({\frac {1-y{\sqrt {{\cfrac {1+e}{2}}+{\cfrac {(1-e)a}{2(2-a)}}}}}{1+y{\sqrt {{\cfrac {1+e}{2}}+{\cfrac {(1-e)a}{2(2-a)}}}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00beb0b4e877a2f4b9bea978283aecd71f6c5bbd)
coefficients qu’on trouvera aisément par la méthode des séries, ou par des différentiations successives.
22. Après avoir ainsi résolu d’une manière nouvelle et plus simple qu’on ne l’avait Fait, les deux cas extrêmes de la rectification des arcs elliptiques et hyperboliques, nous allons appliquer notre méthode générale à la rectification d’une ellipse ou d’une hyperbole quelconque.
Et d’abord il est clair que la différentielle à intégrer étant (18)
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299903dd4117efa9502fabaf9a9b6cfb2dc5db3c)
il n’y aura qu’à multiplier le haut et le bas de la fraction par
pour la ramener à la forme de celle du no 6, laquelle sera dans notre cas
![{\displaystyle {\frac {\left(1-e^{2}x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-e^{2}x^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd32226fe8f5e5062fc7fd4fc4c6f420618180fc)
Mais, pour rendre le calcul plus général, nous nous proposerons la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbee0961e3ba0340f28abc35b100eed7e68950f)
dans laquelle on suppose
ainsi pour l’ellipse on prendra
et pour l’hyperbole ![{\displaystyle p=e,\ q=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba073065d4928590c13f1c7f7f617a9e55dfcb3)
On fera donc, conformément aux transformations du no 7,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p'\ &=p\ +{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},&q'\ &=p\ -{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\\p''&=p'+{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\qquad &q''&=p'-{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb96659cfc2da908891a83e81a52ba1f603544bb)
![{\displaystyle {\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}}=x',\qquad {\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}}=x'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4204ad23379b89f67e653b077e7af7436c4023)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} \ &={\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}},\\\mathrm {R} '&={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909662e7d83209b419c103a2991f19e47d7dfe78)
et l’on aura par là
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ &={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}},\\x'^{2}&={\frac {1+q'^{2}x''^{2}-\mathrm {R} ''}{2p'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb37c28176fbb39db05caf8ce51e7f3940560344)
![{\displaystyle {\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {dx'}{\mathrm {R} '}}={\frac {dx''}{\mathrm {R} ''}}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f38d94c536902f83e03b9ca216f615b318ae5c)
où
seront nécessairement réels, puisque
et
le sont.
Par ces substitutions la différentielle
deviendra successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\left(\mathrm {A'\ \ +B'\,\ } x'^{2}\ \ \right)dx'\ \ }{\mathrm {R} '}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A''\ +B''\ } x''^{2}\ \right)dx''\ }{\mathrm {R} ''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A'''+B'''} x'''^{2}\right)dx'''}{\mathrm {R} '''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} ''dx'''}{2p''^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693c17d1a58836f7fd20ca3a9c1481d2ce1eb666)
et ainsi de suite, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A'=A} +{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}},\quad \mathrm {A''=A'} +{\frac {\mathrm {B} '}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {A'''=A''} +{\frac {\mathrm {B} ''}{2p''^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d897e020cb0f85802d369d23b1f5f736f654f4a0)
![{\displaystyle \mathrm {B} '={\frac {\mathrm {B} q^{2}}{2p^{2}}},\quad \mathrm {B} ''={\frac {\mathrm {B} 'q'^{2}}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {B} '''={\frac {\mathrm {B} ''q''^{2}}{2p''^{2}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f2d2ef2044c12684532a6300521cc29e59ba33)
Donc, en général, si
est un terme quelconque de la série
et
les deux termes correspondants dans les séries
et ![{\displaystyle q,q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb32c3b0c8700cbe72ce4f139bc363d0d12ce182)
et
les deux termes qui les précèdent dans les mêmes séries, la différentielle proposée sera transformée en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(dx'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}dx''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}dx'''+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}d\xi \right)\\&+{\frac {\mathrm {\left(C+D\xi ^{2}\right)} d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031b7e69f86d22c7c3314068df46b70d891a69dd)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} =&\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(1+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\right)\\\mathrm {D} =&\mathrm {B} \times {\frac {q^{2}q'^{2}q''^{2}\ldots {\text{ʽ}}s^{2}}{2p^{2}\times 2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebb4fc84c09e876f8cf3712fc8fe34582e747fb)
23. Maintenant pour l’ellipse on a
![{\displaystyle \mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =-e^{2},\quad p=1,\quad q=e<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4905ac1db1d2e87f3097e386039f4cdc1ca662cf)
ainsi les nombres
forment une série croissante depuis l’unité, et les nombres correspondants
forment une série décroissante depuis la valeur de l’excentricité (8). Or, par la nature de l’ellipse, la variable
est renfermée entre
et
donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}=\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)<\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79da44addf8fc905b112e12b9ea690c9abe12d66)
par conséquent
![{\displaystyle x'^{2}={\frac {x^{2}\mathrm {R} ^{2}}{\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2}}}<x^{2}<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcff1cad070084f22d7be8cec0e6614c6f09a0ee)
donc aussi
![{\displaystyle \mathrm {R} '^{2}<\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359d776f663563804ddc8bfc1969ea6d501ad513)
car
![{\displaystyle \left(1-q'^{2}x'^{2}\right)^{2}-\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)=\left(p'^{2}-q'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)x'^{2}>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5569574dec98709847a5bf2e9c69573e7de2f91e)
et de là
![{\displaystyle x''^{2}<x'^{2}<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627f2089b4a878f7b01e2bc9f4762b9e85343746)
et ainsi de suite.
Donc
étant des quantités positives, la réalité déjà démontrée des radicaux
demande que les facteurs corrélatifs
soient positifs ; par conséquent on aura
donc aussi
Puis donc que
on pourra faire
et la différentielle
deviendra
![{\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d838d7f21e81c60d4f56d51bc1239f60ac10e01)
où l’on voit que le radical
ne sera jamais ni
ni
de sorte que l’intégrale de la différentielle dont il s’agit aura pour limites celle de
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08f1400bbc78eb81e58e43829990e0a2ac793fa)
laquelle est
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}\right)\varphi -{\frac {\mathrm {D} \sin 2\varphi }{4r^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d7f8bc3d3bafb56df7a95903b7bc5ef4b9a267)
et cette même intégrale divisée par
limites qu’on pourra resserrer autant qu’on voudra, en diminuant de plus en plus la valeur de
par la continuation des séries
et ![{\displaystyle q,q',q'',\ldots ,s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce61dd056a224f2743e756e016ab0ea26c2f116)
Mais, pour approcher davantage de la vraie valeur de l’intégrale en question, il n’y aura qu’à développer le radical par la méthode ordinaire, et la différentielle proposée deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} }{r}}d\varphi +{\frac {1}{r^{3}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {1}{2}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{2}\varphi d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9754618a8516cb15012e714300c58263fb267f13)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}{\frac {s^{2}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{4}\varphi d\varphi +{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{6}\varphi d\varphi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eeda519b0a35b6aebf69ce06eefb8078f66f7eb)
dont l’intégrale sera
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right)\varphi -\mathrm {\left(F\sin \varphi +G\sin ^{3}\varphi +H\sin ^{5}\varphi +I\sin ^{7}\varphi +\ldots \right)} \cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1623064373228b245ecb7a88beabf52760e0a131)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &={\frac {1}{2}}{\frac {1}{r^{3}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {1}{2}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3}{2^{2}.4}}{\frac {s^{2}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)\\&\quad +{\frac {3^{2}5}{2^{2}.4^{2}.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3^{2}.5^{2}.7}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8}}{\frac {s^{6}}{r^{9}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {7}{8}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots ,\\\mathrm {G} &={\frac {1}{2.4.6}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3.5}{2.4^{2}.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots ,\\\mathrm {H} &={\frac {3}{2.4.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856d3a751087294dabf721ec86118f5a10ca383b)
Donc, puisque
rend
par conséquent aussi
on aura pour la valeur de l’arc elliptique qui répond à l’abscisse
prise depuis le centre sur le grand axe,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}x'''+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\xi \right)\\&+\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right)\varphi -\mathrm {\left(F\sin \varphi +G\sin ^{3}\varphi +H\sin ^{5}\varphi +\ldots \right)} \cos \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278b5c5e7509c784e34c3136022bb0dd26773cbe)
en faisant, dans les formules du numéro précédent,
![{\displaystyle p=1,\quad q=e,\quad \mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =-e^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05927f0cf50c4486e5f8721a045d297bba146f5)
24. Il y a cependant une remarque importante à faire sur l’emploi de cette valeur : comme l’angle
n’est déterminé que par son sinus
il est clair qu’il peut avoir une infinité de valeurs différentes, et l’on voit aussi que les valeurs de
peuvent être également positives et négatives à cause de l’ambiguïté des radicaux
qui entrent dans leurs expressions, de sorte que le signe de
est aussi indéterminé.
Nous remarquerons donc que, puisque
![{\displaystyle {\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}={\frac {d\varphi }{r{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafc4f3e99cfcace67c88807ae604a4582daf517)
et que
est toujours positif depuis
jusqu’à
que, de plus,
le radical
![{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfdc4f7f6fc644df683bd9582090eee37e34b4b)
ne peut devenir nul, ni par conséquent changer de signe, il faut que
![{\displaystyle d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d81d72e9b18525cf9e86ef3120260903d16bd0)
soit positif en même temps que
![{\displaystyle dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011c704296200acfd381fb2db9b61161451e459e)
par conséquent, l’angle
![{\displaystyle \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614)
qu’on a vu être nul lorsque
![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
devra être toujours positif et augmenter continuellement depuis
![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
jusqu’à
![{\displaystyle x=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939231be7fd013dfca9f1a23d93fd556672d927d)
de sorte que la valeur de
![{\displaystyle \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614)
répondant à une valeur de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
sera nécessairement toujours plus grande ou moindre que celle qui répondra à une plus grande ou moindre valeur de
![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Or, à cause de l’ambiguïté du signe des radicaux
![{\displaystyle \mathrm {R',R''} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716e96f54bd1ac077bdc58f0e0bb7f9267982d1c)
il est clair que les valeurs de
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
en
![{\displaystyle x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314a2fa1e6337c921dda6eadaba167ee344546ef)
de
![{\displaystyle x'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c807613031bf264d5ec0d9e9b64948c57419c4)
en
![{\displaystyle x''^{2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24fb78c70c162135fce559694807013b5d32c82)
sont chacune doubles (22) ; de manière que la valeur de
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
en
![{\displaystyle x'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c807613031bf264d5ec0d9e9b64948c57419c4)
sera double, celle de
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
en
![{\displaystyle x''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b230dbb9b96189f6a43567a0e2c1161bb4eb13)
sera quadruple, et qu’en général la valeur de
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
en
![{\displaystyle \xi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14a7412ba80c50047290cd802500bb8c8d1089f)
sera
![{\displaystyle 2^{\mu tuple},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fd9f29bda58fa91397ac4b317e59f0813e82e1)
en dénotant par
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
l’exposant du rang de
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
dans la série
![{\displaystyle x',x'',\ldots ,\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a74d599b76bd2bb0ad5b90f96afdd28870416a)
Donc, quoique toutes ces valeurs de
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93)
répondent à une même valeur de
![{\displaystyle \xi ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa60c89080589807e9a7bc7957feff052dcfb90)
elles ne répondront pas pour cela au même angle
![{\displaystyle \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a79e9f2a1262c83f0f667552b13226ebc73516b)
mais, en les rangeant suivant l’ordre de leur grandeurs, la plus petite répondra au plus petit angle, qui aura pour sinus
![{\displaystyle \pm r\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7461cf530d5be8651eaa2b740911a4ea262214cb)
(en supposant ce sinus positif), et que nous dénoterons par
![{\displaystyle \omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c05e8eebfa2aa9139266ef8dc06f4c1b8f2f32)
les autres répondront aux angles suivants, qui auront pour sinus
![{\displaystyle \pm r\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3caca469028e44d57f8d9e17f6d4c79148f0327a)
Ainsi, la seconde répondra à l’angle
![{\displaystyle 180^{\circ }-\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8cc8d0c13bf1a3705d454229e5cd6d28c34809)
la troisième à l’angle
![{\displaystyle 180^{\circ }+\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b678430c99a5e875e7039f8799655d5c50380bec)
la quatrième à l’angle
![{\displaystyle 2.180^{\circ }-\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5945ec10a33b6353477b6c876094a01ee32deaf)
et ainsi de suite ; et, en général, la
ième répondra à l’angle
![{\displaystyle {\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebb738f1e79c7df03207fc5044dbc0bbcf45180)
ou
![{\displaystyle {\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4626f5431c545f0dffa05134aeeb8acad9133a6)
selon que
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
sera impair ou pair.
Il s’ensuit de là qu’après avoir déduit de la valeur donnée de
celle de
par les formules
![{\displaystyle x^{2}\left({\frac {1-p^{2}x^{2}}{1-q^{2}x^{2}}}\right)=x'^{2},\quad x'^{2}\left({\frac {1-p'^{2}x'^{2}}{1-q'^{2}x'^{2}}}\right)=x''^{2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74dab96f30989077219f312cf47d31062adedd55)
lesquelles ne donnent chacune qu’une valeur simple, il faudra remonter de celle-ci à celle-là par les formules
![{\displaystyle x^{2}={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}},\quad x'^{2}={\frac {1+q'^{2}x''^{2}-\mathrm {R} ''}{2p'^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2342ec4fed259160529edc5a37991c7f3cbc7a58)
en commençant par la dernière et avant soin de donner aux radicaux
![{\displaystyle \mathrm {R} '={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},\quad \mathrm {R} ''={\sqrt {\left(1-p''^{2}x''^{2}\right)\left(1-q''^{2}x''^{2}\right)}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69c554670de7b768f59d4db3c83c7d379b6d58e)
les signes
et
ce qui donnera toujours des valeurs doubles, en sorte qu’il en résultera
valeurs différentes de
toutes positives (12) et renfermées entre les mêmes limites
et
parmi lesquelles se trouvera donc nécessairement la valeur donnée de ![{\displaystyle x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1a303560dc80c8b384c576fcc2a8ff7dedc1c5)
Soit
l’exposant du rang que celle-ci tiendra parmi toutes ces valeurs rangées selon leur grandeur, à commencer par la plus petite, on fera donc
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega ,\quad {\text{ou}}\quad ={\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ab4d11ebbf86c4bf059564984e9541bfd9e5ea)
selon que
sera impair ou pair, en prenant pour
l’angle qui dans les tables, répond à ![{\displaystyle r\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6dd7ea38fe402306c31c6db63ba09449d3db29)
À l’égard des signes qu’il faudra donner ensuite aux valeurs même de
on les déterminera toujours par les expressions
![{\displaystyle x'={\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}},\quad x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43bdc80e685aceb2198f770cd22d328a950fd55)
en prenant les radicaux
avec les signes qui répondent à la valeur donnée de
et il est clair que puisque l’on a ici
les signes de
seront les mêmes que ceux de ![{\displaystyle x\mathrm {R} ,x\mathrm {RR} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8ff7a11b1f2222354b0b34dc98baec44c3a12d)
ou (puisque
est positif) de ![{\displaystyle +1,\mathrm {R',R'R'',R'R''R'''} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f35c7f4f25ad658d4e8979fc9fe790cdfcb775f)
25. Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera
ce qui donne
par conséquent aussi
et, comme cette valeur est la plus grande que
puisse avoir, on aura nécessairement dans ce cas
donc,
et
Donc la longueur du quart de l’ellipse sera exprimée simplement par
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right).2^{\mu -1}.180^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dbf30daaa3a5fb1822eab86f4f3f235050d8fa)
Si l’ellipse devenait circulaire, on aurait alors
donc
et, de là,
et comme, dans ce cas,
on aurait aussi
donc
ce qui réduirait l’équation précédente à
comme elle doit être.
26. Au reste, cette multiplicité des valeurs de
qui répondent à une même valeur de
fait qu’on a tout d’un coup, et par une même formule, non-seulement la longueur de l’arc elliptique qui répond à l’abscisse donnée, mais encore celle des arcs qui répondent à différentes autres abscisses ; et si c’est un inconvénient dans le cas où l’on ne demande que l’arc d’une abscisse donnée, ce sera au contraire un avantage lorsqu’on voudra construire une table de la longueur des arcs pour toutes les abscisses. Nous verrons d’ailleurs que cette multiplicité de valeurs cesse d’avoir lieu lorsqu’on emploie les transformations du no 2, lesquelles conduisent à des différentielles intégrables par les logarithmes.
27. Pour l’hyperbole où
et
aussi
on mettra d’abord, pour éviter les imaginaires, l’élément de l’arc sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a1d5b9628d7d430c3291b0dd1101cdfea1ea00)
multipliant ensuite le haut et le bas par, on aura la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(e^{2}x^{2}-1\right)dx}{\sqrt {\left(e^{2}x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)}}}\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {\left(e^{2}x^{2}-1\right)dx}{\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dd6ab4908bf8f7679d3d0a12c3ef444c0fc47d)
qui se rapporte à la formule
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\mathrm {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6823dd33da6c0fdaa42675f5f05e0fbaab5f2e)
du no 22, en y faisant
Ainsi, les nombres
augmenteront depuis la valeur de
et les nombres
iront en diminuant depuis l’unité.
Or, puisque
par la nature de l’hyperbole, on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}>\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fae57b9dcfe299b1ac2802652ebc2619fab398)
par conséquent,
![{\displaystyle x'^{2}>x^{2}>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7754bd2e7e45762e64c31c12858795e8319e9205)
et de là on trouvera aussi
![{\displaystyle x''^{2}>x'^{2}>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4d76beffb8ffe392d8618a7d5bb849452e1aee)
et ainsi de suite.
Donc,
étant des quantités négatives, la réalité déjà prouvée des radicaux
demande que les facteurs corrélatifs
soient aussi négatifs ; donc on aura
![{\displaystyle q'^{2}x'^{2}>1,\quad q''^{2}x''^{2}>1,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238bb46bb611ec2bfeafa6612a78ff9fac8f47ba)
par conséquent,
![{\displaystyle x'^{2}>{\frac {1}{q'^{2}}},\quad x''^{2}>{\frac {1}{q''^{2}}},\ldots ,\quad \xi '^{2}>{\frac {1}{s^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f11297701b929661f48af84c5badb473e34a74)
et de là
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}\xi ^{2}}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44723a5114d0cd9deaa1fe451d1875120d99c0b9)
On pourra donc supposer
c’est-à-dire
et cette substitution changera la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba00158c81b11c69ed196688913c84ab1bcbb6)
en celle-ci
![{\displaystyle -{\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{rs^{2}\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c830b39e55d377d956ecf167e108101f49b4b30)
dont l’intégrale aura évidemment pour limites celle de
![{\displaystyle -\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634d3bd38aad9d39dbfe3f8e0f97f541b840a5fc)
et cette même intégrale divisée par ![{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943ba7767eb112fc5bd72cc41c9a8d33f5e4072d)
Mais, pour avoir une valeur plus approchée, on réduira en série le radical
et la différentielle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}{\frac {d\varphi }{\sin ^{2}\varphi }}-{\frac {1}{r}}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {D} }{2r^{2}}}\right)d\varphi -{\frac {1}{2}}{\frac {s^{2}}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {3}{4}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi d\varphi \\&-{\frac {3}{2.4}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)\sin ^{4}d\varphi -\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be19faf152f83ac263e295b901c33b5127348bd9)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi -\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}+f\right)\varphi +\left(f\sin \varphi +g\sin ^{3}\varphi +h\sin ^{5}\varphi +\ldots \right)\cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8133856d7ec979c58c8ea6573c64aea5b69947c3)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {1}{2^{2}}}{\frac {s^{2}}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {3}{4}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3^{2}}{2^{2}.4^{2}}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3^{2}.5^{2}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\g&={\frac {3}{2.4^{2}}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3.5^{2}}{2.4^{2}.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\h&={\frac {3.5}{2.4.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66eba9ce2a8ab0477595e2852c616376cad85b4a)
Ainsi, il n’y aura qu’a ajouter à cette intégrale la partie algébrique
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ab197c599d004d6b9f0d01de282fa6efdfb388)
conformément aux formules du no 22, et en y faisant
![{\displaystyle p=e,\quad q=1,\quad \mathrm {A} =-1,\quad \mathrm {B} =e^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205f1843b20d4b77c90d094ec0e5f8bbb50d1243)
pour avoir l’expression complète de l’arc hyperbolique.
28. Mais il faut faire ici des remarques semblables à celles du no 24. On remarquera donc que, puisque la différentielle est transformée en
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}={\frac {d\varphi }{r{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e253d65a61da92d577be5f85f0b70e3a54b697)
l’angle
diminuera continuellement tandis que
augmente, de sorte que, comme (22)
donne
et par conséquent
l’angle
sera toujours négatif depuis le point où
![{\displaystyle x=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0954524da2f040331897141e1bfa00761a40126)
c’est-à-dire depuis le sommet de l’hyperbole ; de sorte qu’en changeant le signe de
![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
dans l’expression précédente, l’angle
![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
croîtra toujours avec l’arc hyperbolique compté depuis le sommet, et l’on y pourra appliquer la règle donnée dans le numéro cité.
Ainsi, nommant
l’angle tabulaire qui aura pour sinus
(en supposant ce sinus positif) et
l’exposant du rang que la valeur donnée de
tiendra parmi toutes celles qui répondent à la valeur trouvée de
après les avoir rangées suivant l’ordre de leur grandeur, à commencer par la plus petite, on fera
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega \quad {\text{ou}}\quad \varphi ={\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1060604d1675d6eb9d62feb9b75b71059b969464)
suivant que
sera impair ou pair.
Et, pour les signes de
on les déterminera, d’après ceux des radicaux
par les formules
![{\displaystyle x'={\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}},\quad x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43bdc80e685aceb2198f770cd22d328a950fd55)
de sorte que, comme
sont des quantités toujours négatives, ainsi qu’on l’a démontré dans le numéro précédent, il est clair que les signes de
seront les mêmes que ceux de ![{\displaystyle -x\mathrm {R} ,x\mathrm {RR} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b9d2a758eeaac15bbf4d52283bce7a43164fb4)
ou (puisque
est positif) de ![{\displaystyle -1,\mathrm {R',-R'R'',R'R''R'''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4099364e0c37bef6f6b5be7a1c3a03e1535fbd98)
![{\displaystyle \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c70874374019000ada94cfc5d8a558f89a75c5f)
D’après ces déterminations, on aura donc, pour la valeur de l’arc hyperbolique (en changeant le signe de
),
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}x'''+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\xi \right)\\&-{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi +\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}+f\right)\varphi -\left(f\sin \varphi +g\sin ^{3}\varphi +\ldots \right)\cos \varphi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e2789c1fced87c1962632ba6f908fc8964afee)
et, comme cette formule devient nulle lorsque
(ce que nous allons démontrer), il s’ensuit qu’elle représentera exactement l’arc hyperbolique pris depuis le sommet de l’hyperbole, et qui répondra à l’abscisse
comptée depuis le centre sur le grand axe.
29. Pour voir ce que cette formule donne lorsque
auquel cas on a
il faut chercher les expressions de
en
et, pour cela, il faut commencer par chercher celles des radicaux
Or, puisque à
répond
il est d’abord clair que dans l’expression de
en
il faut donner au radical
une valéur positive ; ayant
![{\displaystyle x^{2}={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} '={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f0f9df965827cf5364dbe00a96a3c0e75ee229)
on aura, lorsque ![{\displaystyle x'=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a89ad36fdc90ad4ef8a281896d4f4164df6af9)
![{\displaystyle \mathrm {R} '=p'q'x'^{2}-{\frac {p'^{2}+q'^{2}}{2p'q'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0391ff759ae9f688646d8ff11705e81434e8cb)
de sorte qu’à cause de
la valeur de
sera
![{\displaystyle {\frac {2q^{2}+p'^{2}+q'^{2}}{4p^{2}q^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cacca02560d7aa0222ced31b2359d5903dc80c)
mais
donc
![{\displaystyle x^{2}={\frac {1}{q^{2}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fa040a7810e04a8e15e4ea53fc7a4032c39636)
Au contraire, puisque à
il répond aussi
il faudra, dans l’expression de
en
donner au radical
une valeur négative ; car, en prenant sa valeur positive, on trouverait aussi
et, par la même raison, il faudra prendre négativement les valeurs de tous les radicaux suivants
On aura done, lorsque
et
infinis,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} '\ \ &=p'q'x'^{2}-{\frac {p'^{2}+q'^{2}}{2p'q'}},\\\mathrm {R} ''\ &=-p''q''x''^{2}+{\frac {p''^{2}+q''^{2}}{2p''q''}},\\\mathrm {R} '''&=-p'''q'''x'''^{2}+{\frac {p'''^{2}+q'''^{2}}{2p'''q'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac628b14bfc37900db0597e7d70c09c6d4c4521)
et, ces valeurs étant substituées dans les expressions
![{\displaystyle x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\quad x'''={\frac {x''\mathrm {R} ''}{1-q''^{2}x''^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe2031628edb431c23edb98b101893b57f1f03e)
on aura (en rejetant les termes que la supposition
infinis rend nuls)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x''\ &=-{\frac {p'}{q'}}x',\\x'''&={\frac {p''}{q''}}x''=-{\frac {p'p''}{q'q''}}x',\\x^{\text{ıv}}&={\frac {p'''}{q'''}}x'''=-{\frac {p'p''p'''}{q'q''q'''}}x',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bae8abd3e443405e9106c61348cfa7619fae18a)
donc aussi ![{\displaystyle \xi =-{\frac {p'p''p'''\ldots {\text{ʽ}}r}{q'q''q'''\ldots {\text{ʽ}}s}}x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210c8e64159545681758f96b5584fac22e8aa004)
Par conséquent, à cause de
les termes
deviendront
et le terme
deviendra
en supposant
D’un autre côté, puisque
on a, lorsque
donc
![{\displaystyle \cot \varphi ={\frac {\cos \varphi }{\sin \varphi }}={\frac {1}{\sin \varphi }}=s\xi =-s{\frac {p'p''\ldots {\text{ʽ}}r}{q'q''\ldots {\text{ʽ}}s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b257798f853eeec5b61a19069e56de17b6ebc3)
donc, comme
![{\displaystyle \mathrm {D=B} \times {\frac {q^{2}q'^{2}\ldots {\text{ʽ}}s^{2}}{2p^{2}\times 2p'^{2}\ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\quad {\text{et}}\quad sr={\text{ʽ}}s^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1838f90a6302a152ef7f80397e7002a0bf71b569)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi =-{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}\times 2^{\mu -1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfdfbe3d6378ae7f80e29909eb9c8e93d7fa79c)
La formule du numéro précédent deviendra done, par ces substitutions,
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}}}\left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-\ldots -{\frac {1}{2^{\mu -1}}}\right)+{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}}}{\frac {1}{2^{\mu -1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68951f8e5a57872f3b8a9d076343134807f5d3a)
dont la valeur est évidemment nulle, puisque
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-\ldots -{\frac {1}{2^{\mu -1}}}={\frac {1}{2^{\mu -1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f509f13312a68cc261512684742b37d183192064)
30. Au reste, pour éviter l’embarras que peuvent causer, dans le calcul de la longueur des arcs hyperboliques, les valeurs fort grandes des quantités
près du sommet de l’hyperbole où
diffère peu de
on peut employer la transformation indiquée dans le no 16, par le moyen de laquelle la différentielle à intégrer se trouve réduite à une autre de la même forme, mais dont la variable sera renfermée, pour toute l’étendue de l’hyperbole, entre
et
Pour cet effet on fera, dans les formules du numéro que nous venons de citer,
et prenant les signes inférieurs, on aura, pour la nouvelle variable
l’expression
![{\displaystyle u={\frac {\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}{e^{2}x^{2}-1}}={\frac {\sqrt {\left(e^{2}x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)}}{e^{2}x^{2}-1}}={\sqrt {\frac {x^{2}-1}{e^{2}x^{2}-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13c77449284ac28b7cf9100cfd46bf1c265f5b2)
qu’on voit être égale à zéro lorsque
et égale à
lorsque
de sorte que la valeur de
commencera avec l’arc hyperbolique et ira ensuite en augmentant avec lui jusqu’au maximum
qui répondra à la branche infinie de l’hyperbole.
Par cette substitution, la différentielle
![{\displaystyle {\frac {(e^{2}x^{2}-1)dx}{\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382dc834c1f8a8ca051faf0c4fd777a2173f778b)
sera transformée en
![{\displaystyle {\frac {(e^{2}u^{2}-1)du}{\sqrt {\left(1-e^{2}u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right)}}}+2\mathrm {Q} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b8756cc836da2bbb6e091009acd3d994b64d31)
en supposant que la fonction
devienne
par la substitution de
à la place de
et faisant ![{\displaystyle t=xu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f046f5ce34c6ebcfae041933e19ff4e1e7fe776)
à cause de
et
ce qui donnera
et par conséquent ![{\displaystyle 2\mathrm {Q} dt=e^{2}d(xu).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7781de102cd6baa5f9f5db96a92c52f66d4d31)
Ainsi, l’arc hyperbolique répondant à l’abscisse
sera égal à la quantité algébrique
![{\displaystyle e^{2}xu={\frac {e^{2}x{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d3c31eef7f42c8c601527398d36d1761b1a808)
moins l’intégrale de
![{\displaystyle {\frac {\left(1-e^{2}u^{2}\right)du}{\sqrt {\left(1-e^{2}u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6607647d4907ae63c9181399d2b7779527f42167)
prise depuis
Et il est évident que cette différentielle rentre dans le cas de celle de l’arc elliptique, dont nous avons donné l’intégrale dans le no 23 : car si l’on fait
elle devient
![{\displaystyle {\frac {\left(1-y^{2}\right)dy}{e{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-{\cfrac {y^{2}}{e^{2}}}\right)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa5da82d52bd8c44f5a65278a47143feab37913)
en sorte qu’il n’y aura qu’a supposer dans les formules de ce numéro
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {1}{e}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{e}},\quad p=1,\quad q={\frac {1}{e}},\quad x=y=eu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28f048e162f9f8ba2523c1a2b4f868df687b732)
et prendre l’intégrale depuis
jusqu’à
pour toute la longueur de l’arc hyperbolique.
À l’égard de la partie algébrique
il n’est pas difficile de voir qu’elle représente la tangente à l’hyperbole prise entre le point de contact et la rencontre de la perpendiculaire menée du centre de l’hyperbole sur la même tangente ; car la partie de la tangente prise entre la courbe et l’axe est
et la partie entre l’axe et la perpendiculaire est
dont la somme est
Ainsi, l’intégrale de
![{\displaystyle {\frac {\left(1-y^{2}\right)dy}{e{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-{\cfrac {y^{2}}{e^{2}}}\right)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68bd35b9f34411393d2ad63050a6c04ec0255f)
exprimera proprement la différence ou l’excès de la tangente prise entre la courbe et la perpendiculaire menée du centre sur l’arc hyperbolique qui répond à cette tangente.
31. Nous avons employé jusqu’ici, pour la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole, les transformations qui servent à augmenter l’inégalité des facteurs sous le signe ; nous allons maintenant faire usage de celles qui diminuent cette inégalité, et que nous avons exposées dans le no 11 et les suivants, et nous les appliquerons d’abord en général à la formule
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d10b1fd836b847d043ff5c9a4a381dd2f9a0317)
On fera donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{ʽ}}p&={\frac {p+q}{2}},\qquad &{\text{ʽ}}q&={\sqrt {pq}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p&={\frac {{\text{ʽ}}p+{\text{ʽ}}q}{2}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q&={\sqrt {{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}q}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b64e0b80c7b39fb73ffe833febefbd79bbef650)
![{\displaystyle {\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},\quad {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}+1-{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5518759d1af6a627ae45364d002e37f2289fd6f3)
en supposant
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}},\quad {\text{ʽ}}\mathrm {R} ={\sqrt {\left(1-{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)\left(1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a886132dd3fbf0f75e65c851a2873018a1b8fc4)
ce qui donnera
![{\displaystyle x={\frac {{\text{ʽ}}x{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}}},\quad {\text{ʽ}}x={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550d48ba3a189da1a3308ba485eafa09e02552f0)
![{\displaystyle {\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed504034fb938a69a21e1e75b9708c686d09616c)
et, par le no 13,
![{\displaystyle {\frac {x^{2}dx}{\mathrm {R} }}={\frac {dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}-{\frac {\left(1-2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348124c195e9761bd16198f04eebfe14835b0a4b)
où les nouvelles variables
seront nécessairement réelles, ainsi que les quantités radicales
(no 12).
Ainsi, la différentielle
deviendra successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\left({\text{ʽ}}\mathrm {A} \ \ +{\text{ʽ}}\mathrm {B} \ \ {\text{ʽ}}x^{2}\quad \right)d{\text{ʽ}}x\ \ }{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\frac {\left({\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} \ +{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} \ {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}\ \ \right)d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x\ }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\frac {\left({\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} +{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}\right)d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c8ff75fcfe9331336fb8d89bb0f435a6817f2a)
et ainsi de suite, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&{\text{ʽ}}\mathrm {A} -{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} -{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\ldots ,\\{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f26bde4a4242288c55ff2f949b9b198f106eb37)
De sorte que si
est un terme quelconque de la série
le terme qui le précède dans la même série, et
les deux termes correspondants des séries
les termes qui les précèdent, la différentielle proposée sera transformée en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(dx+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}d\xi '\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df777ae56cc4cd53121979287e1d737e27b33b8a)
![{\displaystyle +{\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee60e324ef0f6d4b52ea1ea4cc177669b3ed243)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {C=A} +{\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(1+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\right),\\&\mathrm {D=B} \times {\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f90af416f15042158bd534c9e99c546ed8811)
32. Pour l’ellipse, on fera, comme dans le no 23,
et les nombres
formeront donc deux séries, la première descendante depuis l’unité, et la seconde ascendante depuis la valeur de l’excentricité, lesquelles se trouveront toujours séparées par un intervalle qui ira en diminuant de plus en plus, en sorte que les termes retsseront renfermés entre
et
et approcheront d’autant plus de l’égalité que le nombre des termes qui les précèdent sera plus grand.
Et il est facile de se convaincre par le calcul que, quelque petite que soit la valeur de
peu de termes suffiront pour rendre les valeurs de
et
presque égales.
Or, dans l’ellipse, on a
ou
donc
sera
en sorte que
sera
mais
comme on peut s’en convaincre par le calcul, à cause de
donc
et
ainsi, comme
on aura
![{\displaystyle {\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2}}<{\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} }{2}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8de498b18562860b554603d2c38a3024211832)
D’où l’on voit que
étant
on aura nécessairement
et cela, soit qu’on prenne dans la valeur de
le radical
positif ou négatif.
Or,
étant
on aura donc aussi
et de là on trouvera, par un raisonnement semblable,
et ainsi de suite. Donc
et à plus forte raison
On pourra donc-supposer
ce qui changera la différentielle en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba00158c81b11c69ed196688913c84ab1bcbb6)
en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}\sin ^{2}\varphi }{r^{2}}}}}}={\cfrac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right){\cfrac {d\varphi }{\cos \varphi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\cos \varphi d\varphi }{\sqrt {1+{\cfrac {r^{2}-s^{2}}{r^{2}}}\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333cdc9979ebea974a798c5259f31e502afd868c)
qui sera, comme on voit, toujours plus petite que
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right){\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}-{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\cos \varphi d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea06f4353b3dfceb2a2477c665ffe0be20d8bd)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\varphi \right)-{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46ead0917c8b5050430a58cd1785657de7c917c)
De même, en faisant
on aura la transformée
![{\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right){\cfrac {d\psi }{\cos \psi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\sin \psi d\psi }{\sqrt {1-{\cfrac {r^{2}-s^{2}}{s^{2}}}\operatorname {tang} ^{2}\psi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe26a2c14a5b15e5e39c99677d8e661b6602644e)
qui sera par conséquent plus grande que
![{\displaystyle \left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right){\cfrac {d\psi }{\cos \psi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\cos \psi d\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d316ced8f8e47cc25efda26f6ed3583ce5165b8)
dont l’intégrale est pareillement
![{\displaystyle \left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\psi \right)-{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\sin \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fdecbd2b6c6ca10ecda8f591870cadb14e7fac)
De sorte qu’on aura parce moyen deux limites entre lesquelles la valeur de l’intégrale de la différentielle en question sera nécessairement renfermée, et qui seront d’autant plus resserrées que les coefficients
et
seront moins inégaux.
Mais, pour avoir une intégrale plus approchée, on emploiera les séries, et pour cet effet il sera à propos de faire
ce qui réduira la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\left(C+D\xi ^{2}\right)} d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0834a98a22379b397609c1206fc07ec0b9bbd12)
à cette forme
![{\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+\gamma \cos \varphi \right)d\varphi }{\sqrt {\left(1-\alpha ^{2}\operatorname {tang} ^{4}\varphi \right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209fb7962fc6d48c4aab10109f4575be7b0669b3)
en supposant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {r^{2}-s^{2}}{r^{2}+s^{2}}},\ \ \beta =\mathrm {C} {\sqrt {\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}}+\mathrm {D} \left({\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}},\ \ \gamma =-\mathrm {D} \left({\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbadfce8c9d2a927f80ab76459cb4646eebe790)
Or, le coefficient
étant fort petit, on pourra réduire en série le radical
de sorte que la différentielle deviendra
![{\displaystyle \left({\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+\gamma \cos \varphi \right)\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\operatorname {tang} ^{4}\varphi +{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\operatorname {tang} ^{8}\varphi +{\frac {3,5\alpha ^{6}}{2.4.6}}\operatorname {tang} ^{12}\varphi +\ldots \right)d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1cfbc21fdb98804f98e49e16fc6a9a8295f6f5)
laquelle, à cause de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {tang} ^{m}\varphi }{cos\psi }}=\left(\operatorname {tang} ^{m}\varphi +\operatorname {tang} ^{m+2}\varphi \right)\cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a4b485b651cbd9846eed062206d3e93e199cb1)
est réductible à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\frac {\beta d\varphi }{\cos \varphi }}\left[\gamma +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{4}\varphi +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta \operatorname {tang} ^{6}\varphi +{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{8}\varphi \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae55149e77eed0f535b2c1479ea96d368fe604de)
![{\displaystyle \left.+{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\beta \operatorname {tang} ^{1}0\varphi +{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{1}2\varphi +\ldots \right]\cos \varphi d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3073fc997e0719e14b96f3136fe65bbc75df3335)
et aura pour intégrale
![{\displaystyle a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245a3e569798c4f98bfb75417f38f58059de479a)
![{\displaystyle +\left(\beta +\gamma -a+f\operatorname {tang} ^{2}\varphi +g\operatorname {tang} ^{4}\varphi +h\operatorname {tang} ^{6}\varphi +i\operatorname {tang} ^{8}\varphi +\ldots \right)\sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7330a442c71e9b555d86223136ae518c7180971b)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\beta -{\frac {3}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )+{\frac {3.5}{2.4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta -{\frac {3.5.7}{2.4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )\\&\quad +{\frac {3.5.7.9}{2.4.6.8}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\beta -{\frac {3.5.7.9.11}{2.4.6.8.10}}{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}(\beta +\gamma )+\ldots ,\\f&={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )-{\frac {5}{2.4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta +{\frac {5.7}{2.4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )-\ldots ,\\g&={\frac {1}{4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta -{\frac {7}{4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )+\ldots ,\\h&={\frac {1}{6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79936cb0b08ab973c270c4e406676a2d255a59f)
33. Cette expression n’est sujette à aucune ambiguïté de la part de la valeur de
car on voit qu’elle demeure la même en augmentant ou diminuant
d’un multiple quelconque de la circonférence, et si l’on voulait mettre
à la place de
alors
deviendrait négative, et son logarithme imaginaire ; c’est pourquoi il faudra toujours prendre pour
l’angle tabulaire qui répond au sinus
À l’égard des radicaux
on pourra les prendre à volonté positifs ou négatifs ; seulement, il faudra avoir soin de donner ensuite aux quantités
les signes convenables d’après les formules du no 31. En prenant ces radicaux positivement, toutes les quantités
seront positives et deviendront nulles lorsque
comme on le voit par les formules du numéro cité ; on aura donc aussi
lorsque
et comme l’intégrale précédente devient aussi nulle dans ce cas, on aura donc, pour l’arc elliptique répondant à l’abscisse
prise depuis le centre de l’ellipse sur le grand axe, cette expression complète
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\ldots 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\xi '\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d1715a02e7e6c8d8dfa9a3fcfaef7553c0b2dd)
![{\displaystyle +a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left(\beta +\gamma -a+f\operatorname {tang} ^{2}\varphi +g\operatorname {tang} ^{4}\varphi +\ldots \right)\sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee263c981c09044cb9c5f2689c35e1068ba665ad)
Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera
ce qui donne
et
donc
et de même les autres quantités
seront de plus en plus au-dessous de l’unité, ce qu’on peut démontrer généralement ainsi.
Puisque
et
on aura (32)
mais
à cause de
donc
et de la même manière on prouvera que
de sorte que les quantités ![{\displaystyle px,{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3381e7e13acaa41fbdf4182a2dfe0a3acdf6582)
formeront une série décroissante. Ainsi, lors même que
la valeur de
sera toujours moindre que
par conséquent l’angle
sera moindre que
degrés, et d’autant moindre que le terme
sera plus éloigné de
ainsi, on n’aura jamais à craindre que l’expression précédente contienne des termes infinis et devienne par conséquent fautive.
34. Pour l’hyperbole, on fera, comme dans le no 27,
![{\displaystyle \mathrm {A} =-1,\quad \mathrm {B} =e^{2},\quad p=e^{2}>1,\quad q=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15450be349872934466ee5f96ccb7083d68722b0)
Ainsi, les nombres
iront en diminuant depuis la valeur de
et les nombres
iront en augmentant depuis l’unité, en sorte que ceux-là s’approcheront de plus en plus de ceux-ci, mais en demeurant toujours plus grands ; cependant la différence sera bientôt si petite, qu’on pourra regarder
et
comme presque égales.
Maintenant, on a dans l’hyperbole
ou
donc
par conséquent, puisque
on aura
et
Or
![{\displaystyle {\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}}={\frac {\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1\right)^{2}-\mathrm {R} ^{2}}{2{\text{ʽ}}p^{2}\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} \right)}}={\frac {2x^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa07805770749c3ede380ac8eed88f01db90681)
à cause de
donc
et par conséquent
Et cette même conclusion aurait lieu à plus forte raison en donnant au radical
une valeur négative, puisque alors la valeur de
en deviendrait plus grande. Ayant donc
on aura aussi
et de là on prouvera par un raisonnement semblable que
et ainsi de suite.
Donc en général
et à plus forte raison
On pourra donc supposer
ou
et l’on trouvera, comme dans le no 32, que la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba00158c81b11c69ed196688913c84ab1bcbb6)
sera renfermée entre ces deux-ci
![{\displaystyle -\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}\sin ^{2}\varphi }}\right){\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}\quad {\text{et}}\quad -\left({\frac {\mathrm {C} }{s}}+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}\sin ^{2}\varphi }}\right){\frac {d\psi }{\cos \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4454243b61cdd9c288c60afce36107ef6f1827ce)
dont les intégrales sont
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}\sin \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64f641b68ae0c022eb00c63121d4d2869d7185a)
et
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {C} }{s}}+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\psi }{2}}\right)+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}\sin \psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d3643fee7c54aefae0747746c028a9e89d9e01)
Mais, pour avoir une intégrale plus approchée, on fera
![{\displaystyle \xi {\sqrt {\frac {r^{2}+s^{2}}{2}}}={\frac {1}{\sin \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5e6c26b554729eeb7bfc1ec47f9ce3f3dc5967)
et la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba00158c81b11c69ed196688913c84ab1bcbb6)
deviendra par cette substitution
![{\displaystyle {\frac {\left(-{\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+{\cfrac {\gamma \cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi }{\sqrt {\left(1-{\cfrac {\alpha ^{2}}{\cos ^{4}\varphi }}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7085c7c0ebd8079bcb608f56e4c6a0626c57a5bd)
en conservant les valeurs de
du no 32. Ainsi, puisque
est une quantité fort petite, on pourra réduire en série le radical, ce qui donnera cette transformée
![{\displaystyle \left(-{\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+{\frac {\gamma \cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{4}\varphi }}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\alpha ^{4}}{\cos ^{8}\varphi }}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\alpha ^{6}}{\cos ^{12}\varphi }}+\ldots \right)d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef513a63d7e2145c66e4983cd6df7f125c585f60)
laquelle peut être changée en celle-ci
![{\displaystyle -{\frac {\beta d\varphi }{\cos \varphi }}+\left(\gamma \cos \varphi +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{3}\varphi }}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {\beta }{\cos ^{5}\varphi }}+{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{7}\varphi }}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d992fa63e1fc167120503ac2358755b8a7ed700)
![{\displaystyle \left.-{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}{\frac {\beta }{\cos ^{9}\varphi }}+{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{11}\varphi }}-\ldots \right){\frac {d\varphi }{\sin ^{2}\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8059f8dedb1240e598755b58327ec2663ef3efeb)
dont l’intégrale sera de la forme
![{\displaystyle a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca06ae255c54cec45a76be20df89c804e78ad0d)
![{\displaystyle -\left(\beta +\gamma -a-{\frac {f}{\cos ^{2}\varphi }}+{\frac {g}{\cos ^{4}\varphi }}-{\frac {h}{\cos ^{6}\varphi }}+{\frac {i}{\cos ^{8}\varphi }}-\ldots \right){\frac {1}{\sin \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b43d2d7eb299d0b209a5ce70376f6a9116e4088)
en conservant les expressions des quantités
données dans le no 32.
35. Comme l’arc hyperbolique ne commence qu’au point où
il faudra, pour avoir la valeur exacte de l’arc qui répond à une abscisse quelconque
retrancher de l’intégrale la valeur qui répond à
Ainsi, en supposant
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times ^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times ^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\ldots 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\xi '\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21be7929b7dea681c1fbc47fba9db1f4a559b14f)
![{\displaystyle +a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738a706f279c56dde5ae8840d460d02ef010ed01)
![{\displaystyle -\left(\beta +\gamma -a-{\frac {f}{\cos ^{2}\varphi }}+{\frac {g}{\cos ^{4}\varphi }}-{\frac {h}{\cos ^{6}\varphi }}+\ldots \right){\frac {1}{\sin \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c958f8f73fb4e57d95451f26e9b57edc2c76585)
et nommant
la valeur de
lorsque
y devient égal à
on aura
pour l’expression complète de l’arc hyperbolique qui répond à l’abscisse
prise depuis le centre sur le grand axe.
Quant à l’angle
on prendra celui qui dans les tables répond au sinus
et comme nous avons vu que
et
sont toujours
il s’ensuit que cet angle sera, dans tous les cas, moindre que
degrés, en sorte que
et
ne seront jamais nuls.
Pour les radicaux
il sera libre de les prendre positivement ou négativement, pourvu qu’on ait soin de donner les signes convenables aux quantités
d’après les formules du no 31. Mais, en les prenant tous négativement, on aura l’avantage que les valeurs de
seront plus grandes, et qu’ainsi l’angle
sera moindre ; de plus, les valeurs de
seront alors toutes positives, puisque ![{\displaystyle 1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143161c938fa20a6fb37651ce84051fb597b0091)
sont nécessairement négatives.
On pourrait enfin faire servir aussi pour l’hyperbole les résultats trouvés précédemment pour l’ellipse, en employant la transformation indiquée dans le no 30 ; il n’y aurait pour cela qu’à faire dans la formule générale du no 33
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {1}{e}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{e}},\quad p=1,\quad q={\frac {1}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4110cf4aaa0b24647c640000727bd0b0aa7b25)
et mettre au lieu de ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle e{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{e^{2}x^{2}-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5619b52cb584c412222b8c0a2d3e8b9a27199632)
Cette formule donnerait alors, pour une abscisse quelconques, l’excès de la tangente prise entre la courbe et la perpendiculaire menée du centre sur l’arc hyperbolique qui répond à cette tangente.