Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre, lorsque ces différences ne sont que linéaires

Joseph-Louis Lagrange

Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre, lorsque ces différences ne sont que linéaires

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome V (p. 543-562).

MÉTHODE GÉNÉRALE
POUR INTÉGRER
LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES
DU PREMIER ORDRE,
LORSQUE CES DIFFÉRENCES NE SONT QUE LINÉAIRES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1785.)

Si la naissance du Calcul intégral appartient au siècle dernier, il y a une branche importante de ce Calcul qui n’a été inventée qu’au milieu de celui-ci ; c’est celle qui concerne les équations aux différences partielles, c’est-à-dire ces équations qui contiennent les différentielles d’une fonction de plusieurs variables, prises relativement à chacune de ces variables en particulier.

Tous les Problèmes de Géométrie où l’on considère des surfaces, et tous ceux de Mécanique où l’on considère des corps ou flexibles ou fluides, dépendent de la Théorie de ces équations. Les solutions qu’on peut trouver indépendamment de cette Théorie sont nécessairement incomplètes ou hypothétiques ; et, si l’on est souvent obligé de se contenter de ces solutions limitées, c’est faute de pouvoir intégrer les équations aux différences partielles dans lesquelles les solutions rigoureuses et générales sont renfermées.

La plupart des recherches analytiques qu’on a faites depuis vingt ans ont eu pour objet l’intégration de ce genre d’équations ; et elles ont produit différentes méthodes plus ou moins générales et plus ou moins utiles. Une des plus étendues et des plus simples tout à la fois est, je crois, celle que j’ai donnée dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1779^[1], et qui apprend à intégrer toutes les équations aux différences partielles du premier ordre, dans lesquelles ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire. Mais, comme cette méthode n’y est exposée qu’en passant et presque sans démonstration, j’ai cru qu’il serait avantageux aux progrès du Calcul intégral de la présenter de nouveau de la manière la plus directe et avec toute la généralité dont elle est susceptible. C’est l’objet de ce Mémoire, qui contiendra aussi de nouvelles recherches sur le Problème des trajectoires.

1. On appelle différences partielles celles qui résultent de la différentiation d’une fonction de plusieurs variables, en y faisant varier chacune des variables à part. Ainsi, regardant $u$ comme une fonction des variables $x,y,z,\ldots ,$ la différentielle complète $du$ sera de la forme

$pdx+qdy+rdz+\ldots ,$

et les différents termes $pdx,qdy,rdz,\ldots$ de cette différentielle seront les différences partielles de $u$ du premier ordre. On a coutume de représenter les coefficients $p,q,r,\ldots$ des différences $dx,dy,dz,\ldots$ dans la différentielle de $u$ par ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},\ldots \,;$ de sorte que l’expression complète de $du$ sera

${\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy+{\frac {du}{dz}}dz+\ldots .$

Si donc on a une équation entre

$u,\ \ x,\ \ y,\ \ z,\ldots ,\ \ {\frac {du}{dx}},\ \ {\frac {du}{dy}},\ \ {\frac {du}{dz}},\ldots ,$

ce sera une équation aux différences partielles du premier ordre ; et, si

cette équation ne contient que les premières dimensions des quantités ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},$${\frac {du}{dz}},\ldots ,$ en sorte qu’elle soit représentée ainsi

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {du}{dz}}+\ldots =\mathrm {U} ,$

les quantités $\mathrm {X,Y,Z,\ldots ,U}$ étant des fonctions quelconques de $x,y,$$z,\ldots ,u,$ on aura la forme générale des équations intégrables par la méthode que nous allons exposer.

2. Supposons d’abord que l’équation ne contienne que trois variables $u,x,y,$ dont la première soit regardée comme une fonction des deux autres ; en employant pour plus de simplicité les quantités $p$ et $q$ à la place de ${\frac {du}{dx}}$ et ${\frac {du}{dy}},$ on aura donc cette équation

$\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q=\mathrm {U} ,$

dans laquelle $\mathrm {X,Y,U}$ seront des fonctions quelconques de $u,x,y.$

Or les quantités $p$ et $q$ doivent satisfaire à l’équation différentielle

$du=pdx+qdy\,;$

par conséquent il faudra qu’en éliminant, par le moyen de l’équation donnée entre $p$ et $q,$ l’une de ces inconnues, l’autre soit telle, que l’équation différentielle dont il s’agit puisse venir de la différentiation d’une équation finie ; et cette équation finie donnera alors la valeur de $u$ en fonction de $x$ et $y.$

Mais, sans employer l’élimination, on obtiendra le même but d’une manière plus simple en multipliant ensemble les deux équations

$\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q=\mathrm {U} ,\quad du=pdx+qdy\,;$

car on aura ainsi

$(\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q)du=\mathrm {U} (pdx+qdr),$

ou bien

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)=0,$

équation qui étant divisée par $p$ ne contiendra plus qu’une seule inconnue ${\frac {q}{p}}.$

3. Je suppose maintenant

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=o\,;$

j’ai deux équations différentielles du premier ordre entre les trois variables $u,x,$$y\,;$ et les intégrales complètes de ces équations contiendront deux constantes arbitraires $\alpha$ et $\beta ,$ en sorte qu’on aura

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions données des trois variables $x,y,u.$ Ainsi, en différentiant et regardant $\alpha$ et $\beta$ comme variables, on aura

${\begin{aligned}d\alpha =&{\frac {d\mathrm {A} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}dy,\\d\beta =&{\frac {d\mathrm {B} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}dy.\end{aligned}}$

Mais, puisque

$\mathrm {A} =\alpha \quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =\beta$

sont les intégrales des équations

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,$

$\alpha$ et $\beta$ étant les constantes arbitraires, il faudra que ces équations coïncident avec les précédentes en y faisant

$d\alpha =0,\quad d\beta =0\,;$

par conséquent il faudra qu’en substituant pour $dx$ et $dy$ leurs valeurs ${\frac {\mathrm {X} du}{\mathrm {U} }},$${\frac {\mathrm {Y} du}{\mathrm {U} }},$ tirées des mêmes équations, dans celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}dy=0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}dy=0,\end{aligned}}$

on ait des équations identiques qui seront

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}=0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}+{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}=0,\end{aligned}}$

et qui donneront

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}=-{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}-{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }},\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}=-{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {U} }}-{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {U} }}.\end{aligned}}$

Ainsi les différentielles $d\alpha$ et $d\beta$ se trouveront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}d\alpha =&{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)+{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du),\\d\beta =&{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)+{\frac {1}{\mathrm {U} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du),\end{aligned}}$

d’où l’on tirera

${\begin{aligned}\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=&{\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {T} }}\left({\frac {d\mathrm {B} }{dy}}d\alpha -{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}d\beta \right),\\\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=&\mathrm {\frac {U}{T}} \left({\frac {d\mathrm {A} }{dx}}d\beta -{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}d\alpha \right),\end{aligned}}$

en supposant

$\mathrm {T} ={\frac {d\mathrm {A} }{dy}}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}.$

Je conclus de là que, si à la place des variables $x$ et $y$ on veut introduire les variables $\alpha$ et $\beta$ telles que

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} ,$

dans les formules

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy,$

elles deviendront de la forme précédente, dans laquelle il ne paraît que les deux différences $d\alpha$ et $d\beta .$

4. Faisant donc cette substitution dans l’équation

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)=0$

à laquelle il s’agit de satisfaire, elle deviendra

$\left(p{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}\right)d\alpha +\left(q{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}\right)d\beta =0,$

ou bien

$d\alpha +{\frac {q{\dfrac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\dfrac {d\mathrm {A} }{dy}}}{p{\dfrac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\dfrac {d\mathrm {B} }{dx}}}}=0.$

Comme cette équation ne contient que les deux différences $d\alpha$ et $d\beta ,$ elle ne peut subsister à moins que le coefficient de $d\beta$ ne soit aussi une simple fonction de $\alpha$ et $\beta \,;$ par conséquent il faudra qu’en substituant dans ce coefficient pour $x$ et $y$ leurs valeurs en $\alpha ,\beta ,u,$ tirées des équations

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

la quantité $u$ disparaisse d’elle-même.

On aura donc, en dénotant par la caractéristique $f$ une fonction quelconque,

${\frac {q{\cfrac {d\mathrm {A} }{dx}}-p{\cfrac {d\mathrm {A} }{dy}}}{p{\cfrac {d\mathrm {B} }{dy}}-q{\cfrac {d\mathrm {B} }{dx}}}}=f(\alpha ,\beta ),$

condition à laquelle on pourra toujours satisfaire par le moyen de la quantité arbitraure ${\frac {q}{p}}\,;$ alors l’équation

$d\alpha +f(\alpha ,\beta )d\beta =0$

sera toujours intégrable, étant multipliée par un facteur convenable ; et l’intégrale sera

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0,$

en dénotant par $\operatorname {F}$ une autre fonction de $\alpha$ et $\beta \,;$ et, comme la fonction

$f(\alpha ,\beta )$ peut être quelconque, la fonction $\operatorname {F} (\alpha ,\beta )$ pourra être aussi quelconque.

Mais on a supposé

$\alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =\mathrm {B} \,;$

donc, remettant ces valeurs à la place de $\alpha$ et $\beta ,$ on aura l’équation finie

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0,$

laquelle donnera la valeur cherchée de $u$ en $x$ et $y,$ la fonction désignée par $\operatorname {F}$ demeurant arbitraire.

5. L’intégration de toute équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}=\mathrm {U} ,$

$\mathrm {X,Y,U}$ étant des fonctions quelconques de $u,x,y,$ se réduit donc à ce procédé fort simple.

On intégrera par les règles connues les équations différentielles

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,$

et, ayant réduit les deux intégrales à la forme

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

où $\mathrm {A,B}$ sont des fonctions de $u,x,y,$ et $\alpha ,\beta$ sont les deux constantes arbitraires introduites par l’intégration, on établira une équation quelconque entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qu’on pourra désigner par

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0,\quad {\text{ou bien par}}\quad \mathrm {A} =\varphi (\mathrm {B} ),$

les caractéristiques $\operatorname {F} ,\varphi$ désignant des fonctions quelconques, et cette équation sera l’intégrale complètes de la proposée.

De cette manière l’intégration de l’équation aux différences partielles est réduite à celle de deux équations aux différences ordinaires ; c’est tout ce qu’on peut désirer, dans le Calcul intégral des différences partielles, de le ramener à celui des différences totales et ordinaires.

6. Considérons à présent l’équation à quatre variables $u,x,y,z,$ dont la forme est

$\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q+\mathrm {Z} r=\mathrm {U} ,$

en désignant par $p,q,r$ les différences partielles ${\frac {du}{dx}},{\frac {du}{dy}},{\frac {du}{dz}},$ et par $\mathrm {X,Y,Z,U}$ des fonctions quelconques de $u,x,y,z.$

On aura ici

$du=pdx+qdy+rdz\,;$

donc, multipliant cette équation par celle qui est donnée entre $p,q,r,$ on aura

$(\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q+\mathrm {Z} r)du=\mathrm {U} (pdx+qdy+rdz),$

ou bien

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)+r(\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz)=0,$

laquelle étant divisée par $p$ ne contiendra plus réellement que deux inconnues ${\frac {q}{p}},{\frac {r}{p}}\,;$ et la question sera réduite à déterminer ces deux inconnues en sorte que l’équation dont il s’agit devienne intégrable.

Supposons, à l’imitation de ce que nous avons fait plus haut,

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0\,;$

en intégrant ces équations, on aura trois équations finies entre $u,x,y,z$ qui contiendront trois constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ de sorte qu’on pourra mettre ces équations sous la forme

$\mathrm {A=\alpha ,\quad B=\beta ,\quad C} =\gamma ,$

où $\mathrm {A,B,C}$ seront des fonctions connues de $u,x,y,z.$

Il est clair qu’on peut, à la place des variables $x,y,z,$ introduire dans l’équation qu’il s’agit de rendre intégrable les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ regardées maintenant comme variables, et supposées telles que

$\alpha =\mathrm {A,\quad \beta =B,\quad \gamma =C} \,;$

or, en différentiant, on aura

${\begin{alignedat}{4}d\alpha =&{\frac {d\mathrm {A} }{du}}du&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}dx&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}dy&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}dz,\\d\beta =&{\frac {d\mathrm {B} }{du}}du&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}dx&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}dy&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}dz,\\d\gamma =&{\frac {d\mathrm {C} }{du}}du&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}dx&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dy}}dy&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dz}}dz,\\\end{alignedat}}$

mais, en faisant

$d\alpha =0,\quad d\beta =0,\quad d\gamma =0,$

on doit avoir des équations identiques avec celles-ci

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0,$

dont

$\mathrm {A=\alpha ,\quad B=\beta ,\quad C=\gamma }$

sont supposées être les intégrales complètes ; donc, en substituant, pour $dx,dy,$$dz$ les valeurs ${\frac {\mathrm {X} du}{\mathrm {U} }},{\frac {\mathrm {Y} du}{\mathrm {U} }},{\frac {\mathrm {Z} du}{\mathrm {U} }},$ on aura

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d\mathrm {A} }{du}}&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}\mathrm {\frac {X}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}\mathrm {\frac {Y}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}\mathrm {\frac {Z}{U}} =&0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{du}}&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}\mathrm {\frac {X}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}\mathrm {\frac {Y}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}\mathrm {\frac {Z}{U}} =&0,\\{\frac {d\mathrm {C} }{du}}&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}\mathrm {\frac {X}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {C} }{dy}}\mathrm {\frac {Y}{U}} &+&{\frac {d\mathrm {C} }{dz}}\mathrm {\frac {Z}{U}} =&0\,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tirera les valeurs ${\frac {d\mathrm {A} }{du}},{\frac {d\mathrm {B} }{du}},{\frac {d\mathrm {C} }{du}}$ lesquelles donneront par la substitution

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {U} d\alpha =&{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du)&+&{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}(\mathrm {U} dz-\mathrm {Z} du),\\\mathrm {U} d\beta =&{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du)&+&{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}(\mathrm {U} dz-\mathrm {Z} du),\\\mathrm {U} d\gamma =&{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}(\mathrm {U} dx-\mathrm {X} du)&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dy}}(\mathrm {U} dy-\mathrm {Y} du)&+&{\frac {d\mathrm {C} }{dz}}(\mathrm {U} dz-\mathrm {Z} du)\,;\end{alignedat}}$

et de là on aura celles de

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz$

en $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,$ valeurs qui seront de la forme

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=&\mathrm {L} d\alpha &+&\mathrm {M} d\beta &+&\mathrm {N} d\gamma ,\\\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=&\mathrm {L} 'd\alpha &+&\mathrm {M} 'd\beta &+&\mathrm {N} 'd\gamma ,\\\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=&\mathrm {L} ''d\alpha &+&\mathrm {M} ''d\beta &+&\mathrm {N} ''d\gamma .\end{alignedat}}$

Ainsi l’équation

$p(\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx)+q(\mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy)+r(\mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz)=0$

deviendra, par l’introduction des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ à la place de $x,y,z,$

$(p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} '')d\alpha +(p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} '')d\beta +(p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} '')d\gamma =0,$

ou bien

$d\alpha +{\frac {p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}d\beta +{\frac {p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}d\gamma =0,$

équation qui contient, comme l’on voit, les deux indéterminées ${\frac {q}{p}}$ et ${\frac {r}{p}}.$ Cette équation ne peut subsister, c’est-à-dire résulter de la différentiation d’une équation finie, qu’en n’y admettant pour variables que les trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Soit donc

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma )=0$

l’équation finie ; la différentielle sera de la forme

$\mathrm {Pd\alpha +Qd\beta +R} d\gamma =0,$

ou bien

$d\alpha +\mathrm {\frac {Q}{P}} d\beta +\mathrm {\frac {R}{P}} d\gamma =0\,;$

ainsi il faudra que l’on ait

${\frac {p\mathrm {M} +q\mathrm {M} '+r\mathrm {M} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}=\mathrm {\frac {Q}{P}} ,\quad {\frac {p\mathrm {N} +q\mathrm {N} '+r\mathrm {N} ''}{p\mathrm {L} +q\mathrm {L} '+r\mathrm {L} ''}}=\mathrm {\frac {R}{P}} ,$

équations auxquelles on pourra toujours satisfaire par le moyen des deux

arbitraires ${\frac {q}{p}},{\frac {r}{p}}$ quelles que soient les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} \,;$ de sorte que ces valeurs, et par conséquent aussi la fonction finie $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ),$ demeureront à volonté. Donc, puisque les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont des fonctions des variables $x,y,z,u,$ représentées par $\mathrm {A,B,C} ,$ on aura l’équation

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B,C} )=0,$

pour la valeur cherchée de $u$ en $x,y,z.$

7. De là résulte cette méthode fort simple d’intégrer toute équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {du}{dz}}=\mathrm {U} ,$

dans laquelle $\mathrm {X,Y,Z,U}$ sont des fonctions quelconques de $u,x,y,z.$

On intégrera par les méthodes ordinaires les trois équations différentielles

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0\,;$

on réduira les trois intégrales à la forme

$\mathrm {A=\alpha ,\quad B=\beta ,\quad C=\gamma } ,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant les trois constantes arbitraires introduites par les trois intégrations et l’on supposera entre $\mathrm {A,B,C}$ une équation quelconque à volonté qu’on pourra désigner par

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B,C} )=0,\quad {\text{ou par}}\quad \mathrm {A=\varphi (B,C)} ,$

les caractéristiques $\operatorname {F} ,\varphi$ dénotant des fonctions arbitraires ; ce sera l’intégrale demandée.

En général, quelle que soit la forme sous laquelle les trois intégrales des équations

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0$

se présenteront, si $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les trois constantes arbitraires, on y supposera $\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ),$ et l’on éliminera ensuite les inconnues $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$

l’équation résultante sera l’intégrale de la proposée, laquelle contiendra toujours la fonction arbitraire désignée par $\varphi .$

8. Il est aisé maintenant d’appliquer la même méthode à toute équation qui contiendra autant de différences linéaires qu’on voudra ; on en trouvera toujours l’intégrale par des procédés semblables, à l’aide des intégrales de différentes équations aux différences ordinaires. Il serait superflu d’entrer là-dessus dans un plus grand détail.

9. Par la méthode que nous venons d’exposer on pourra résoudre tout Problème qui conduira à une équation aux différences partielles du premier ordre, lorsque la fonction cherchée sera, par la nature même de la question, une quantité très-petite.

Car, en négligeant les dimensions de $u$ plus hautes que la première, on parviendra toujours à une équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {du}{dz}}+\ldots =\mathrm {S+T} u,$

dans laquelle $\mathrm {X,Y,Z,\ldots ,S,T}$ seront des fonctions de $x,y,z,\ldots$ sans $u.$ Or cette équation n’est qu’un cas particulier de celles que nous avons intégrées.

La difficulté d’intégrer l’équation dont il s’agit se réduira à intégrer celles-ci aux différences ordinaires

${\begin{aligned}\mathrm {X} du-(\mathrm {S+T} u)dx&=0,\\\mathrm {Y} du-(\mathrm {S+T} u)dy&=0,\\\mathrm {Z} du-(\mathrm {S+T} u)dz&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}$

En combinant la première avec chacune des autres, on aura celles-ci

$\mathrm {Y} dx-\mathrm {X} dy=0,\quad \mathrm {Z} dx-\mathrm {X} dz=0,\ldots ,$

dans lesquelles la variable $u$ n’entre plus ; ainsi l’on en tirera par l’inté-

gration les valeurs de $y,z,\ldots$ en $x$ et en autant de constantes arbitraires $\beta ,\gamma ,\ldots .$

Ensuite la première donnera

$ue^{-\int {\frac {\mathrm {T} dx}{\mathrm {X} }}}=\int {\frac {e^{-\int {\frac {\mathrm {T} dx}{\mathrm {X} }}}\mathrm {S} dx}{\mathrm {X} }}+\alpha \,;$

de sorte qu’on aura aussi $u$ en $x$ après la substitution des valeurs précédentes de $y,z,\ldots .$

Ayant ainsi toutes les intégrales particulières, on en tirera par la règle générale du n^o 7 l’intégrale complète de la proposée.

Application de la méthode précédente à la question des trajectoires rectangles considérées par rapport aux surfaces.

10. Parmi les Problèmes qui occupèrent les Géomètres dans les premières années après la naissance des nouveaux Calculs, un des plus fameux est celui des trajectoires, lequel consiste à trouver une courbe, ou plutôt une famille de courbes qui coupent à angles droits ou sous des angles donnés une infinité d’autres courbes toutes du même genre, comme des cercles, des paraboles, des ellipses, etc.

La première idée de ce Problème est due à Jean Bernoulli, comme on le voit par la lettre sixième du Commercium episiolicum ; il le proposa à Leibnitz en 1694, en y joignant la solution de quelques cas particuliers, et celui-ci en donna immédiatement après une solution générale pour tous les cas où les courbes à couper sont données par des équations en termes finis. Jean Bernoulli le proposa ensuite publiquement dans les Actes de Leipzig de 1698 avec toute la généralité dont il est susceptible. La plupart des Géomètres de ce temps-là s’en occupèrent, mais aucun ne le résolut complétement ; de sorte qu’en 1716, à l’occasion de la fameuse contestation sur la découverte du Calcul différentiel, Leibnitz crut pouvoir se servir de ce Problème pour attaquer les Géomètres anglais et leur fit là-dessus un défi dans les mêmes Actes de Leipzig.

En effet, ce Problème étant d’un genre supérieur aux Problèmes ordinaires des tangentes, et demandant des méthodes et des artifices particuliers qui ne se présentent pas facilement, il paraissait très-propre à embarrasser tous ceux qui n’auraient pas inventé eux-mêmes le Calcul infinitésimal, ou qui du moins ne le posséderaient pas comme s’ils l’eussent inventé. Newton, à qui le défi était indirectement adressé, était aussi plus en état que personne d’y satisfaire mais l’esquisse de solution qu’il a cru pouvoir en donner en deux mots dans les Transactions philosophiques de 1716 ne prouve, ce me semble, autre chose, sinon qu’il n’en avait pas connu les difficultés. Taylor est, à proprement parler, le seul parmi les Anglais qui ait résolu le Problème des trajectoires d’une manière suffisante ; mais sa méthode, fondée sur les séries, est indirecte et peu lumineuse. Nicolas Bernoulli et Hermann en ont donné des solutions plus satisfaisantes et plus générales, qu’on peut lire dans le second volume des Œuvres de Jean Bernoulli. Enfin feu M. Euler, pour réveiller l’attention des Géomètres sur les trajectoires qu’on avait presque déjà oubliées, a donné dans les derniers volumes des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg une nouvelle Théorie qui paraît ne rien laisser à désirer sur cette matière.

Quoique la question des trajectoires ne soit dans le fond que de pure curiosité, on aurait tort cependant de regarder les recherches dont nous venons de parler comme des spéculations arides et inutiles ; il faut même convenir que peu de Problèmes ont autant contribué que celui-ci à l’avancement et à la perfection de l’Analyse. La méthode de différentier sous le signe et de trouver les équations nommées modulaires, où l’on suppose le paramètre variable ; les Théorèmes sur les équations de condition pour l’intégrabilité des équations différentielles du premier ordre à deux variables, et pour la possibilité de celles à trois variables, sont autant de Théories dont on est redevable au Problème des trajectoires ; et l’on sait que ces Théories ont été le germe des plus belles découvertes analytiques qui aient été faites dans ce siècle.

Par ces raisons j’ai cru qu’il ne serait pas inutile d’attirer de nouveau les regards des Géomètres sur ce Problème, en le traitant d’une manière nouvelle et sous un point de vue plus étendu qu’on ne l’a fait. On n’avait jusqu’ici considéré les trajectoires que relativement aux lignes courbes ; mon dessein est de les transporter aux surfaces, et par conséquent de chercher la nature de celles qui pourront couper sous des angles donnés une infinité d’autres surfaces du même genre et représentées par des équations données en termes finis ou différentiels. Cette question conduit naturellement à une équation aux différences partielles, laquelle, dans le cas des trajectoires rectangles, est intégrable par la méthode générale que nous avons exposée. Elle servira donc d’exemple pour l’usage de cette méthode, et donnera peut-être occasion d’en découvrir de plus générales encore.

11. Soient $x,y,z$ les coordonnées rectangles des surfaces données, on aura une équation entre les trois variables $x,y,z$ et une autre quantité qui sera constante pour chaque surface, mais qui variera d’une surface à l’autre, et que nous appellerons le paramètre. Cette équation étant donnée, le Problème consiste à trouver celle de la surface qui coupera partout à angle droit, ou sous un angle quelconque donné, toutes les surfaces représentées par l’équation dont il s’agit ; et il est clair qu’il n’y aura pour cela qu’à faire en sorte que la perpendiculaire menée à un point quelconque d’une des surfaces à couper fasse un angle donné avec la perpendiculaire menée par le même point à la surface coupante ; ainsi tout se réduit à déterminer la position de la perpendiculaire à une surface donnée.

12. Soit

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy$

l’équation différentielle de la surface proposée, et supposons que la perpendiculaire menée par un point quelconque de cette surface rencontre le plan des coordonnées $x,y$ dans un point auquel répondent les coordonnées $a,b\,;$ il est facile de voir qu’en nommant cette perpendiculaire $f,$ on aura

$f={\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+z^{2}}}.$

Or, comme la perpendiculaire à une surface quelconque doit être la plus petite ou la plus grande de toutes les lignes qui d’un point donné peuvent être menées à la même surface, il s’ensuit que la valeur de $f$ devra être un maximum ou un minimum en faisant varier les coordonnées $x,y,z$ et regardant les quantités $a,b$ comme constantes. Ainsi l’on aura l’équation différentielle

$-(a-x)dx-(b-y)dy+zdz=0\,;$

mais l’équation à la surface donne

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy\,;$

donc on aura

$\left[\mathrm {X} z-(a-x)\right]dx+\left[\mathrm {Y} z-(b-y)\right]dy=0,$

d’où l’on tire les deux équations

$\mathrm {X} z-a+x=0,\quad \mathrm {Y} z-b+y=0,$

lesquelles donnent

$a=x+\mathrm {X} z,\quad b=y+\mathrm {Y} z,$

et par conséquent

$f=z\mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} .$

Maintenant, comme dans les points où les deux surfaces se coupent, elles doivent avoir les mêmes coordonnées, on pourra prendre aussi $x,y,z$ pour les coordonnées de la surface qui doit couper la proposée, et, si l’on représente par

$dz=pdx+qdy$

l’équation différentielle de cette surface, on aura de même, en nommant $r$ la perpendiculaire et $m,n$ les coordonnées qui déterminent le point où cette perpendiculaire coupe le plan des $x$ et $y,$ on trouvera, dis-je,

$m=x+pz,\quad n=y+qz,\quad r=z{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.$

Donc, si l’on désigne par $h$ la distance des deux points où les perpendiculaires $f$ et $r$ rencontrent le plan des coordonnées $x,y,$ on aura

$h={\sqrt {(a-m)^{2}+(b-n)^{2}}},$

et, substituant les valeurs de $a,b,m,n,$

$h=z{\sqrt {(\mathrm {X} -p)^{2}+(\mathrm {Y} -q)^{2}}}.$

13. Or soit $\omega$ l’angle sous lequel on veut que les deux surfaces se coupent, il faudra que les deux perpendiculaires f et $r$ fassent entre elles l’angle $\omega \,;$ donc, dans le triangle rectiligne dont les côtés sont $f,r,$ et la base est $h,$ il faudra que $\omega$ soit l’angle du sommet ; de sorte que par le Théorème connu on aura

$h^{2}=f^{2}+r^{2}-2fr\cos \omega ,$

ce qui donne, par la substitution des valeurs de $h,f,r,$ l’équation

$(\mathrm {X} -p)^{2}+(\mathrm {Y} -q)^{2}=2+\mathrm {X^{2}+Y^{2}} +p^{2}+q^{2}$

$-2\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

c’est-à-dire, en développant les termes et effaçant ce qui se détruit,

$1+\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q-\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}=0.$

C’est l’équation qui renferme la condition du Problème.

14. Lorsque les surfaces à couper sont données par une équation finie, la formule précédente servira pour résoudre le Problème ; car, en éliminant le paramètre par la différentiation, on aura une équation différentielle de la forme supposée

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy,$

dans laquelle $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront des fonctions connues de $x,y,z\,;$ alors, l’équation des surfaces coupantes étant

$dz=pdx+qdy,$

il ne s’agira que-de trouver $z$ en fonction de $x$ et $y$ d’après la condition

$1+\mathrm {X} p+\mathrm {Y} q=\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+X^{2}+Y^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

$\omega$ étant un angle donné constant ou variable.

Ainsi, en mettant ${\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {dz}{dy}}$ pour $p$ et $q,$ on aura pour le Problème proposé cette équation aux différences partielles du premier ordre

$1+\mathrm {X} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {dz}{dy}}=\cos \omega \mathrm {\sqrt {1+\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}}} {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}}}.$

Il en sera de même lorsque les surfaces à couper ne seront données que par une équation différentielle, mais dans laquelle le paramètre n’entrera pas.

15. Mais cette équation n’est intégrable, en général, par aucune méthode connue ; pour qu’elle le devienne, il faut supposer $\cos \omega =0$ et par conséquent $\omega =90^{\circ },$ ce qui est le cas des trajectoires rectangles ; elle se réduit alors à cette forme plus simple

$\mathrm {X} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {dz}{dy}}+1=0,$

laquelle est susceptible de la méthode exposée ci-dessus.

Suivant la règle du n^o 5, on intégrera donc les deux équations

$\mathrm {X} dz+dx=0,\quad \mathrm {Y} dz+dy=0,$

et, ayant réduit les intégrales à la forme

$\mathrm {A} =\alpha ,\quad \mathrm {B} =\beta ,$

où $\alpha$ et $\beta$ sont les constantes arbitraires, on aura

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B} )=0$

pour l’intégrale de l’équation proposée, et par conséquent aussi pour l’équation finie des surfaces coupantes, la fonction désignée par la caractéristique $\operatorname {F}$ demeurant arbitraire.

16. Supposons, pour donner un exemple, que les surfaces à couper soient des sphéroïdes elliptiques semblables et ayant le même centre. L’équation finie d’un tel sphéroïde est, comme l’on sait,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

$a,b,c$ étant les trois demi-axes auxquels les coordonnées $x,y,z$ sont supposées parallèles.

Comme tous les sphéroïdes doivent être semblables, les rapports entre les axes $a,b,c$ seront constants ; ainsi

$a=mc,\quad b=nc,$

$m$ et $n$ étant des quantités constantes pour tous les sphéroïdes, et $c$ étant variable de l’un à l’autre ; donc l’équation générale de ces sphéroïdes sera

${\frac {x^{2}}{m^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}+z^{2}=c^{2},$

où $c$ sera le paramètre.

On différentiera donc en sorte que $c$ disparaisse, pour avoir l’équation différentielle commune à toutes les surfaces à couper ; et cette équation sera

${\frac {xdx}{m^{2}}}+{\frac {ydy}{n^{2}}}+zdz=0,$

laquelle, étant comparée à la formule générale

$dz=\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy,$

donne

$\mathrm {X} =-{\frac {x}{m^{2}z}},\quad \mathrm {Y} =-{\frac {y}{n^{2}z}}.$

Par conséquent les équations à intégrer seront

$-{\frac {xdz}{m^{2}z}}+dx=0,\quad -{\frac {ydz}{n^{2}z}}+dy=0,$

lesquelles sont intégrables chacune en particulier, et leurs intégrales seront

${\frac {x^{m^{2}}}{z}}=\alpha ,\quad {\frac {y^{n^{2}}}{z}}=\beta .$

Donc l’équation générale des surfaces coupantes sera

$\operatorname {F} \left({\frac {x^{m^{2}}}{z}},{\frac {y^{n^{2}}}{z}}\right)=0.$

Lorsque les sphéroïdes deviennent des sphères, les axes $a,b,c$ sont égaux, et par conséquent $m=1,$ $n=1\,;$ dans ce cas l’équation des surfaces coupantes sera

$\operatorname {F} \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)=0,$

c’est-à-dire une équation quelconque homogène entre les trois variable $x,y,z.$

Or il est aisé de prouver que cette équation renferme toutes les surfaces composées de lignes droites qui partent du centre des coordonnées ; car en prenant $y$ proportionnel à $x,$ ce qui donne une ligne droite dans le plan des $x$ et $y,$ on aura aussi $z$ proportionnel à $x,$ en sorte que la ligne tracée sur la surface et qui aura pour projection la droite dont il s’agit sera aussi elle-même une ligne droite ; cette propriété générale est évidemment celle des surfaces coniques ; par conséquent ces sortes de surfaces seront les seules trajectoires rectangles des sphères dont le centre coïncidera avec le sommet des cônes.

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 585.