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Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Théorie géométrique du mouvement des aphélies des Planètes pour servir d’addition aux Principes de Newton

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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE
DU
MOUVEMENT DES APHÉLIES DES PLANÈTES
POUR SERVIR D’ADDITION
AUX PRINCIPES DE NEWTON.


(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin
, année 1786.)


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La Théorie du mouvement des aphélies est une des parties les plus importantes du Système du monde. Si les Planètes n’étaient soumises qu’à l’action du Soleil, leurs aphélies seraient immobiles. Mais l’observation a montré que les aphélies changent de place et il est naturel de regarder ce déplacement comme un effet de l’attraction mutuelle des Planètes. La détermination précise de cet effet est un Problème dont les difficultés n’ont pu être vaincues que dans ces derniers temps par le moyen d’une analyse aussi délicate que pénible[1]. Si cette analyse ne laisse rien à désirer pour la solution complète de la question, on peut néanmoins désirer encore une solution plus simple, plus à portée des Astronomes, une solution surtout du genre de celles des Principes mathématiques, et qui puisse servir de supplément à ce grand Ouvrage. Un siècle s’est bientôt écoulé depuis qu’il a vu le jour, et un grand nombre d’Auteurs ont travaillé pour l’éclaircir et pour le compléter ; mais il ne paraît pas que les parties, qui ont en effet besoin d’être perfectionnées, l’aient encore été d’une manière propre à former un véritable Commentaire. Ce sont surtout celles qui traitent du mouvement des fluides, et de l’effet de l’attraction mutuelle des Planètes, c’est-à-dire une partie du second Livre et presque tout le troisième, où l’on ne trouve plus cette rigueur et cette précision qui caractérisent le reste de l’Ouvrage.

Les Problèmes, que Newton n’avait pu résoudre avec les secours que son siècle et son génie lui avaient fournis, l’ont été ensuite en grande partie par les Géomètres de ce siècle ; mais leurs solutions, fondées sur des principes différents et sur des analyses plus ou moins longues et compliquées, sont peu propres à servir de suite à un Ouvrage qui brille surtout par l’élégance et la simplicité des démonstrations.

Ce serait donc un travail très-intéressant, de traduire, pour ainsi dire, ces mêmes solutions dans la langue des Principes mathématiques, d’y ajouter celles qui manquent encore et de donner ainsi à la plus grande production de l’esprit humain la perfection dont elle est susceptible.

Je n’aurai pas la témérité de me charger de ce travail ; mon objet est simplement de préparer les matériaux pour un Ouvrage dont l’exécution ferait peut-être autant d’honneur à notre siècle que l’Ouvrage même de Newton en a fait au siècle dernier.

1. Il n’y a dans les Principes mathématiques que deux endroits relatifs au mouvement des aphélies. L’un est la Proposition XLV du premier Livre, dans laquelle Newton donne une méthode générale de déterminer le mouvement des apsides dans les orbites décrites par une force tendante à un point fixe et proportionnelle à une fonction quelconque de la distance, lorsque ces orbites sont supposées presque circulaires ; mais cette méthode ne s’applique point aux Planètes, parce que leurs forces perturbatrices ne sont point dirigées vers le Soleil, et ne sont point exprimées par de simples fonctions de leurs distances à cet astre.

L’autre endroit est le Scolie de la Proposition XIV du troisième Livre, où Newton avance sans démonstration que l’action réciproque des Planètes doit donner à leurs aphélies un mouvement direct en raison sesquiplée des distances moyennes, c’est-à-dire proportionnel aux temps périodiques. Halley et d’autres Astronomes ont adopté cette loi dans les Tables des Planètes ; mais elle se trouve contredite par le calcul rigoureux des effets de l’attraction.

2. Si l’Ouvrage de Newton n’offre pas une Théorie exacte du mouvement des aphélies, il en contient néanmoins le germe ; mais la difficulté de le développer a peut-être empêché qu’on en ait encore profité. On le trouve dans la Proposition XVII du premier Livre, laquelle enseigne à déterminer les éléments de la section conique que doit décrire un corps lancé avec une certaine vitesse de projection suivant une direction donnée, et soumis à l’action continuelle d’une force centrale en raison réciproque du carré des distances. Dans le troisième Corollaire de cette Proposition, Newton remarque que, si le corps se meut dans une section conique et qu’il soit dérangé de son orbite par une impulsion quelconque, on pourra connaître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera ensuite, en composant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impulsion seule lui aurait imprimé ; car par ce moyen on aura le mouvement du corps, lorsqu’il part du lieu donné dans lequel il a reçu l’impulsion suivant une ligne droite donnée de position.

Or, comme les éléments de la section conique, c’est-à-dire ses dimensions et sa position, ne dépendent que du mouvement que le corps a dans un lieu quelconque, il s’ensuit que l’effet de l’impulsion qui dérange le corps de son orbite ne consistera qu’à changer les éléments de cette orbite, et qu’on pourra toujours déterminer ce changement par la Proposition dont il s’agit ; et, si les dérangements sont continuels, on aura les changements continuels des éléments par la même Proposition.

Mais on peut regarder les forces perturbatrices qui résultent de l’attraction mutuelle des Planètes comme des impulsions instantanées et continuelles, qui dérangent l’orbite que chaque Planète décrirait sans elles autour du Soleil ; par conséquent on peut déduire de la Proposition, que nous venons de citer, la méthode générale de déterminer les variations des éléments des Planètes et principalement celles des excentricités et des aphélies.

Ce n’est pas que Newton n’ait entrevu lui-même l’usage qu’on pouvait faire de cette Proposition pour déterminer les dérangements des Planètes car il ajoute dans le Corollaire quatrième que, si le corps est continuellement troublé dans sa révolution par quelque force qui lui soit imprimée extérieurement, on connaîtra à peu près la courbe qu’il décrira, en prenant les changements que cette force produit dans plusieurs points quelconques, et en estimant par l’ordre de la série les changements continuels dans les lieux intermédiaires. Mais cette manière d’envisager le Problème serait peu exacte, et s’appliquerait difficilement aux Planètes en tant qu’elles sont dérangées par l’action continuelle de leur attraction réciproque. Aussi personne, que je sache, n’a cherché à faire cette application, ni à déduire des Théorèmes de Newton une Théorie qui en découle naturellement.

3. Nous commencerons par rappeler la construction qu’il donne pour déterminer la section conique, lorsqu’on connaît la vitesse et la direction dans un point donné.

Que soit ce point (fig. 1), et que le corps en parte suivant la direction

Fig. 1
détermination de la section conique connaissant vitesse et direction
détermination de la section conique connaissant vitesse et direction

tion et avec une vitesse capable de lui faire décrire la petite ligne dans un espace de temps infiniment petit. Que dans le même temps la force centripète tendante au foyer lui fasse décrire l’espace ayant

mené perpendiculaire sur le rayon on aura d’abord pour le paramètre de la section conique l’expression en supposant que les lignes soient diminuées à l’infini (voyez le Corollaire second de la Proposition XIII du premier Livre).

Or, si du foyer on tire la perpendiculaire à la tangente on a

donc

par conséquent le paramètre sera exprimé, en général, par

Ainsi l’on connaîtra d’abord le paramètre de la section conique que le corps tend à décrire ; car dans un temps donné est comme la vitesse et comme la force centripète en de sorte que, puisque la force centripète est en raison de la masse attirante divisée par le carré de la distance, si l’on nomme cette masse et la vitesse en le paramètre sera comme

Pour avoir la valeur absolue de ce paramètre, il suilira de le rapporter à celui d’une orbite connue. Par exemple, en considérant le mouvement moyen de la Terre autour du Soleil dans une orbite supposée circulaire, il n’y aura qu’à exprimer la perpendiculaire en parties de la distance moyenne du Soleil, la vitesse en parties de sa vitesse moyenne et la masse en parties de sa masse ; alors la formule

donnera le paramètre cherché en parties de la même distance moyenne.

Pour avoir les autres éléments de l’orbite, on fera, suivant la Proposition XVII du même Livre, l’angle égal au complément à deux droits de l’angle et l’on aura ainsi la position de la ligne qui passera par l’autre foyer Pour déterminer la longueur on tirera perpendiculaire à et, nommant le paramètre déjà connu, on fera cette proportion

Ainsi sera donnée tant de longueur que de position, et la section conique sera par là entièrement déterminée.

4. Telle est la construction donnée par Newton ; on peut la simplifier un peu en considérant que l’angle est égal à l’angle puisqu’ils sont l’un et l’autre compléments de l’angle à deux droits, que par conséquent, si l’on mène la perpendiculaire à la droite elle divisera en deux parties égales l’angle ainsi que la droite tirée du point parallèlement à la droite et terminée à la ligne d’où il est aisé de conclure que sera égale à égale à égale à donc

donc

et

Substituant donc dans la proportion donnée par Newton pour sa valeur elle deviendra

d’où l’on tire

et de là on aura directement

ce qui donne le grand axe ainsi que la longueur de en quantités connues.

5. On peut au reste déterminer la position de l’autre foyer d’une manière plus directe, que nous donnerons ici, parce qu’elle nous sera utile pour notre objet. Elle consiste à trouver la valeur de la ligne (fig. 2), menée du foyer perpendiculairement au rayon ainsi que la valeur de la partie de ce rayon.

Fig. 2.
autre défintion de conique connaissant vitesse et direction
autre défintion de conique connaissant vitesse et direction

Pour cela on considérera que, puisque est perpendiculaire sur comme est perpendiculaire sur dans la fig. 1, la proportion de Newton

étant transportée à la fig. 2, deviendra

mais

donc

d’où l’on tire aisément

Maintenant, si est le point où la droite qui coupe l’angle en deux parties égales rencontre la droite on aura par la propriété connue

mais étant perpendiculaire à le triangle sera semblable au triangle et l’on aura

d’ailleurs par la proportion donnée plus haut on a

donc, substituant ces valeurs, on aura

d’où l’on tire

Or la valeur du grand axe est déjà connue par l’expression trouvée dans le no 5 ; donc on aura aussi les lignes en quantités toutes connues.

6. Considérons maintenant l’effet des forces perturbatrices.

D’abord, quelles que soient ces forces dans le lieu on peut les réduire par la décomposition à trois, dont l’une agisse dans la direction de la tangente l’autre agisse dans la direction perpendiculaire à la tangente dans le plan qui passe par cette tangente et par le foyer et la troisième agisse perpendiculairement à ce plan.

Il est clair que la première de ces forces n’aura d’effet que sur la vitesse du corps, que la seconde et la troisième n’en auront que sur sa direction, et en particulier la seconde y produira une déviation dans le plan de la tangente et du foyer, et la troisième y produira une déviation perpendiculaire au même plan. Or, ce plan étant celui de l’orbite que le corps décrirait sans les forces perturbatrices, il s’ensuit que la troisième des forces dont il s’agit ne fera que changer la position de l’orbite, tandis que les deux premières en changeront la figure même. D’où l’on peut conclure qu’il est permis de considérer séparément l’effet de ces deux forces réunies et celui de la troisième force ; l’un consistera à faire varier le paramètre, l’excentricité et la position de l’aphélie ; l’autre se réduira à faire varier l’inclinaison et la ligne des nœuds par rapport à un plan fixe. Newton a donné dans la Proposition XXXI du troisième Livre et dans les suivantes la méthode de déterminer ces dernières variations relativement à la Lune ; cette méthode est générale et s’applique facilement aux Planètes ; elle contient de plus les principes nécessaires pour la détermination des autres variations que Newton n’a point examinées et qui font l’objet de ces recherches. C’est ce que nous allons développer, pour remplir autant qu’il est possible le plan, que nous nous sommes proposé, de faire naître des Théories données par Newton celles qui manquent encore à son Ouvrage.

7. Supposons que la force perturbatrice suivant la tangente (fig. 1 page 568) soit à la force centripète en comme à et que la force perturbatrice suivant la perpendiculaire à la tangente soit à la même force centripète comme à comme ces forces sont toutes de la même nature et que est l’espace que la force centripète fait décrire d’un mouvement accéléré dans le temps que le corps avec la vitesse qu’il a en décrirait uniformément la ligne il s’ensuit que et g\times\mathrm{RQ} seront aussi les espaces que les forces perturbatrices feront décrire dans le même temps d’un mouvement accéléré dans les directions et Mais on peut supposer que les vitesses imprimées par ces forces durant ce temps soient imprimées dans le premier instant ; alors les espaces décrits en vertu de ces vitesses seront doubles, comme l’on sait par la Théorie de Galilée, et le corps, au lieu de décrire uniformément la ligne décrira uniformément dans le même temps la ligne \mathrm Pt, telle que

en supposant la petite ligne perpendiculaire à De sorte que la tangente sera transportée en et la perpendiculaire devenant sera diminuée de la partie à cause des triangles semblables et

D’où il suit que, pour tenir compte des forces perturbatrices dont il s’agit, il n’y aura qu’à mettre, dans la construction donnée dans le no 3,

à la place de et

à la place de

8. Donc, en premier lieu, le paramètre de la section conique, qu’on a trouvé (3) égal à deviendra par l’effet des forces perturbatrices

par conséquent l’incrément du paramètre sera

c’est-à-dire, en développant les termes du numérateur et faisant attention que la flèche est infiniment plus petite que la tangente

ce qui se réduit à

Ainsi le paramètre, qui sans les forces perturbatrices serait deviendra par l’action de ces forces

9. On peut déterminer de même la variation du grand axe. Car, comme dans l’ellipse cet axe est toujours égal à la somme des distances aux foyers si on le nomme on aura, par la formule du no 4,

Or la distance étant donnée demeure la même ; mais les quantités et deviennent par l’action des forces perturbatrices (5 et 6)

donc le terme de l’équation précédente deviendra

c’est-à-dire, en développant les termes et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de la quantité infiniment petite et de la infiniment plus petite que

Mais (6)

donc

substituant cette valeur dans le dernier terme de l’expression précédente, ce terme détruira le précédent, et elle se réduira à de sorte que sera l’incrément de la quantité par conséquent sera le décrément de puisque le terme demeure invariable.

Ainsi la quantité deviendra et par conséquent la quantité deviendra

c’est-à-dire, à cause de infiniment petite,

D’où il s’ensuit que le grand axe de l’orbite, qui sans les forces perturbatrices serait sera augmenté par l’action de ces forces de la quantité

10. Voyons maintenant les changements que cette même action doit produire dans l’excentricité de l’orbite et dans la position même du grand axe.

Il est clair que tout se réduit à déterminer ceux qui en résultent dans le lieu du second foyer

D’abord, puisque le grand axe dont nous venons de déterminer la variation, est égal à la somme des deux rayons et et que le rayon est constant, les points et étant censés donnés, il s’ensuit que la variation de sera aussi celle de la ligne par conséquent cette ligne recevra par l’action des forces perturbatrices une augmentation exprimée par la quantité

Ensuite, comme l’angle est toujours le complément à deux droits du double de l’angle fait par le rayon et la tangente, le premier de ces angles augmentera d’une quantité double de celle dont le second sera diminué.

Or, la tangente étant transportée par l’action des forces perturhatrices en en sorte que la perpendiculaire devient (7)

il est clair que l’angle se trouvera diminué de l’angle

donc, puisque (3)

l’incrément de l’angle sera exprimé par

11. Ainsi, dans le triangle le côté étant constant, le côté augmentant de et l’angle augmentant de il s’agira de déterminer les variations du côté et de l’angle l’une sera la variation de l’excentricité et l’autre celle du lieu de l’aphélie.

Comme ces variations sont infiniment petites à cause de la supposée infiniment petite, on pourra les considérer chacune à part, et la somme des variations partielles sera la variation totale.

Ainsi :

1o Ayant (fig. 3) pris dans le prolongement de la partie infiniment petite et mené la ainsi que la perpendiculaire sur on aura pour l’incrément de et pour celui de l’angle en vertu de l’incrément du côté

Fig. 3.
triangles semblables dans un triangle scalène
triangles semblables dans un triangle scalène

Ayant abaissé la perpendiculaire sur le côté les triangles semblables et donneront

et, comme ou est la mesure de l’angle infiniment petit cet angle sera exprimé par

Donc l’incrément de sera

et celui de l’angle sera

2o Ayant tiré la ligne égale à la (fig. 4.), et faisant avec elle l’angle infiniment petit ligne sera ce que devient la par la variation de l’angle Si donc on abaisse la perpendiculaire sur on aura pour l’incrément de et pour le décrément de l’angle Or, ayant joint la et abaissé la perpendiculaire

Fig. 4.
2 autres triangles semblables dans un triangle scalène
2 autres triangles semblables dans un triangle scalène

sur la base on a le triangle infiniment petit semblable au triangle par conséquent

Mais, étant la mesure de l’angle on aura

Donc l’incrément de sera exprimé par

et le décrément de l’angle le sera par

ou bien, en mettant pour sa valeur tirée de l’équation du no 4, c’est-à-dire (7) on aura

pour l’incrément de et

pour le décrément de l’angle

De sorte que, réunissant les incréments et les décréments des mêmes quantités dus aux variations de et de l’angle on aura entin pour l’incrément total de la ligne

et pour celui de l’angle

La première de ces deux quantités représentera la variation du double de l’excentricité (fig. I, page 568), et la seconde exprimera celle du lieu de l’aphélie

12. La manière dont nous venons de déterminer ces variations est celle qui se présente naturellement d’après la construction donnée par Newton ; mais on y peut parvenir plus facilement par les formules que nous avons trouvées dans le no 5.

Ces formules sont, en mettant pour (fig. 2, page 571),

Ainsi :

1o Comme est censée constante, l’incrément de sera égal à en représentant par l’incrément de mais cet incrément a été trouvé dans le no 8 de

donc, substituant cette quantité pour on aura l’incrément de égal à

2o L’incrément de sera exprimé par

puisque et sont les incréments des lignes (fig. 1, page 568) ; je donne à le signe parce que c’est la quantité dont diminue, au lieu d’augmenter, par le changement de position de la tangente Or il est clair que les triangles semblables et donnent

et par conséquent

de plus on a trouvé dans le no 7

d’ailleurs, puisque on aura

on aura

Ainsi la seconde partie de la valeur de l’incrément dont il s’agit se réduira d’abord à

ou bien, à cause de à

et, mettant pour sa valeur

elle deviendra

À l’égard de la première partie de la même valeur, il n’y a qu’à y substituer la valeur de déjà trouvée, ce qui la change en

Donc la valeur totale de l’incrément de sera

et cette expression, à cause de , peut encore se changer en celle-ci

13. Si l’on voulait comparer ces formules avec celles qu’on a trouvées dans le numéro précédent, et en montrer l’accord, on y parviendrait facilement en employant le calcul algébrique.

Soit le rayon la distance des foyers l’angle l’angle et le petit espace parcouru il est aisé de traduire les formules du no 11 en celles-ci, dans lesquelles j’emploie la caractéristique pour représenter les incréments relatifs aux variations des éléments de l’orbite,

Ces formules donnent directement les transformées suivantes

Mais la somme des angles et étant le complément à deux droits de l’angle si l’on nomme ce dernier angle on a

par conséquent on aura

Or on a trouvé dans le no 9

ainsi l’on aura

Si maintenant on nomme le rayon on aura, par la propriété connue,

et l’on pourra mettre les équations précédentes sous la forme

Or dans le triangle on a évidemment

donc

Enfin on sait que l’angle ou est le complément à deux droits du double de l’angle de sorte qu’en nommant ce dernier angle, on aura

par ces substitutions, les équations trouvées en dernier lieu deviendront

ou bien

Il est visible qu’on a dans la fig. 2, page 571,

ainsi les formules précédentes sont identiques avec celles du no 12.

14. On peut au reste mettre ces formules sous une forme plus simple, en réduisant les forces perturbatrices à la direction du rayon et à la perpendiculaire à ce rayon.

Supposons donc ces forces réduites à deux, l’une suivant et l’autre suivant (fig. 1, page 568) ; que la première soit à la force centripète en comme à et que la seconde soit à la même force centripète comme à il est aisé de prouver par les Théorèmes connus sur la composition et la décomposition des forces, que les deux forces suivant et suivant (7), étant réduites aux directions et donneront

De plus il est clair que

puisque mais étant égal à sera et, si l’on nomme le petit angle décrit autour du foyer on aura Par le moyen de ces substitutions, les formules ci-dessus deviendront

15. Puisque est l’angle élémentaire décrit par le rayon sera l’angle que ce rayon fait avec une ligne fixe ; soit l’angle que le grand axe fait avec la même ligne, on aura

et, supposant

on aura

et, comme la caractéristique ne se rapporte qu’à la variation des éléments de l’ellipse et nullement à celle de l’angle qui est censé con-

stant relativement à ces variations, on aura

Donc, en substituant les valeurs du numéro précédenet, et changeant la caractéristique en puisque, les quantités et étant maintenant regardées comme variables en même temps que et leurs variations sont de la même nature que les différences de celles-ci, on aura ces formules

lesquelles s’accordent avec celles que nous avons trouvées dans la Théorie des variations séculaires, en observant que dans cette Théorie les quantités et représentent tes forces perturbatrices suivant et suivant (fig. 1, page 568), et que la force centripète en y est supposée en sorte que et y sont ce que nous avons désigné par et

16. Si l’on voulait introduire ces quantités et à la place des quantités et dans les premières formules du no 11, il n’y aurait qu’à tirer des équations

les valeurs de et lesquelles seront

et les substituer dans les formules dont il s’agit.

Puisque

on aura

et l’on aura par le no  13

Mais on pourra avoir des formules plus simples à quelques égards, en les déduisant immédiatement de celles du no  14. Car, puisque

on aura sur-le-champ

Enfin, si l’on voulait aussi exprimer par des formules analytiques les variations du paramètre et du grand axe on aurait par les nos 8 et 9


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  1. Voyez la Théorie des variations séculaires, page 125 de ce volume.