Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Recherches d’Arithmétique

Joseph-Louis Lagrange

Recherches d’Arithmétique

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 695-795).

RECHERCHES D’ARITHMÉTIQUE.

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[Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, années 1773 et 1775^[1].]

PREMIÈRE PARTIE.

Ces Recherches ont pour objet les nombres qui peuvent être représentés par la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

où $\mathrm {B,C,D}$ sont supposés des nombres entiers donnés, et $t,u$ des nombres aussi entiers, mais indéterminés. Je donnerai d’abord la manière de trouver toutes les différentes formes dont les diviseurs de ces sortes de nombres sont susceptibles ; je donnerai ensuite une méthode pour réduire ces formes au plus petit nombre possible ; je montrerai comment on en peut dresser des Tables pour la pratique, et je ferai voir l’usage de ces Tables dans la recherche des diviseurs des nombres. Je donnerai enfin la démonstration de plusieurs Théorèmes sur les nombres premiers de la même forme $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$ dont quelques-uns sont déjà connus, mais n’ont pas encore été démontrés, et dont les autres sont entièrement nouveaux.

1. Avertissement. — On suppose toujours dans la suite que toutes les lettres désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on représentera ordinairement par les premières lettres de l’alphabet les nombres donnés, et par les dernières les nombres indéterminés.

2. Observation. — La formule du premier degré $\mathrm {B} t+\mathrm {C} u,$ où $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont des nombres quelconques donnés et premiers entre eux, peut représenter un nombre quelconque ; mais il n’en est pas de même de la formule du second degré $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}\,;$ car nous avons prouvé ailleurs [voyez les Mémoires de l’Académie pour les années 1767 et 1768^[2]] que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$

est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres $\mathrm {A,B,C} ,$ pourvu que les deux derniers soient premiers entre eux ; mais que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

ne l’est que dans certains cas, et lorsque certaines conditions ont lieu entre les nombres donnés $\mathrm {A,B,C,D} .$ On doit dire la même chose, à plus forte raison, des formules du troisième degré et au delà.

3. Scolie. — Il y a donc une grande différence entre les formules du premier degré et celles des degrés supérieurs, celles-là pouvant représenter tous les nombres possibles, au lieu que celles-ci ne peuvent représenter que certains nombres qui doivent être distingués de tous les autres par des caractères particuliers. De très-grands Géomètres ont déjà considéré les propriétés des nombres qui peuvent être représentés par quelques-unes des formules du second degré ou des degrés ultérieurs, comme celles-ci

$t^{2}+u^{2},\quad t^{2}+2u^{2},\quad t^{2}+3u^{2},\quad t^{4}+u^{4},\quad t^{5}+u^{5},\ldots .$

(Voyez les Ouvrages de M. Fermat et les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. I, IV, V, VI, VIII). Mais personne, que je sache, n’a encore traité cette matière d’une manière directe et générale, ni donné des règles pour trouver à priori les principales propriétés des nombres qui peuvent se rapporter à des formules quelconques données.

Comme ce sujet est un des plus curieux de l’Arithmétique, et qu’il mérite particulièrement l’attention des Géomètres par les grandes difficultés qu’il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu’on ne l’a encore fait ; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.

Théorème I.

4. Si le nombres $\mathrm {A}$ est un diviseur d’un nombre représenté par la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

en supposant $t$ et $u$ premiers entre eux, je dis que ce nombre $\mathrm {A}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},$

où l’on aura

$\mathrm {4LN-M^{2}=4BD-C^{2}} ,$

$s$ et $x$ étant aussi premiers entre eux.

Car soit $a$ le quotient de la division de $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ par $\mathrm {A} ,$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {A} a=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

et soit $b$ la plus grande commune mesure entre $a$ et $u$ (si $a$ et $u$ sont premiers entre eux, on aura $b=1$) ; de manière qu’en faisant

$a=bc,\quad u=bs,$

$c$ et $s$ soient premiers entre eux ; on aura donc

$\mathrm {A} bc=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} bts+\mathrm {D} b^{2}s^{2}\,;$

par conséquent $\mathrm {B} t^{2}$ sera divisible par $b\,;$ mais $t$ et $u$ étant premiers entre eux (hypothèse), $t$ sera aussi premier à $b,$ qui est un diviseur de $u\,;$ donc il faudra que $\mathrm {B}$ soit divisible par $b\,;$ de sorte qu’on aura $\mathrm {B=E} b,$ et l’équatiou étant divisée par $b,$ elle deviendra

$\mathrm {A} c=\mathrm {E} t^{2}+\mathrm {C} ts+\mathrm {D} bs^{2}.$

Maintenant, puisque $c$ et $s$ sont premiers entre eux, on peut supposer (par l’Observation précédente)

$t=\theta s+cx,$

ce qui, étant substitué, donnera

$\mathrm {A} c=\left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)s^{2}+(2\mathrm {E} \theta c+\mathrm {C} c)sx+\mathrm {E} c^{2}x^{2},$

de sorte qu’il faudra que le nombre $\left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)s^{2}$ soit divisible par $c\,;$ et comme $c$ et $s$ sont premiers entre eux, il faudra que $\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b$ soit divisible par $c\,;$ donc divisant toute l’équation par $c,$ et faisant

$\mathrm {L} ={\frac {\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b}{c}},\quad \mathrm {M=2E\theta +C} ,\quad \mathrm {N=E} c,$

on aura

$\mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2}.$

Or $4\mathrm {LN-M^{2}}$ sera égal à

$4\mathrm {E} \left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)-\left(\mathrm {2E\theta +C} \right)^{2}=4\mathrm {ED} b-\mathrm {C^{2}=4BD-C^{2}} ,$

à cause de $\mathrm {B=E} b.$ Donc, etc.

Maintenant, comme $t$ et $u$ sont premiers entre eux (hypothèse), $t$ et $s$ le seront aussi, à cause de $u=bs\,;$ mais si $x$ et $s$ n’étaient pas premiers entre eux, il est clair que $t$ devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de $t=\theta s+cx\,;$ ce qui ne pouvant être, il s’ensuit que $x$ et $s$ seront nécessairement premiers entre eux si $t$ et $u$ le sont.

Théorème II.

5. Toute formule du second degré telle que celle-ci

$\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},$

dans laquelle $\mathrm {M}$ est plus grand que $\mathrm {L}$ ou $\mathrm {N}$ (abstraction faite des signes de ces quantités), peut se transformer en une autre du même degré, comme

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

dans laquelle on aura

$\mathrm {4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,$

et où $\mathrm {M} '$ sera plus petit que $\mathrm {M} .$

Car soit par exemple $\mathrm {M>L} ,$ on fera

$s=mx+s',$

et la formule proposée deviendra

$\left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)x^{2}+(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )xs'+\mathrm {L} s'^{2},$

ou bien, en changeant $x$ en $x',$

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} '\,=&\mathrm {L} ,\\\mathrm {M} '=&2\mathrm {L} m+\mathrm {M} ,\\\mathrm {N} '\,=&\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura d’abord, quel que soit le nombre $m,$

$\mathrm {4L'N'-M'^{2}=4L} \left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)-(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )^{2}=\mathrm {4LN-M^{2}} .$

Or, puisque $\mathrm {L}$ est moindre que $\mathrm {M}$ (hypothèse), il est clair qu’on peut déterminer le nombre $m$ en sorte que $2\mathrm {L} m+\mathrm {M}$ devienne moindre que $\mathrm {M} \,;$ donc, etc.

6. Corollaire I. — Donc, si dans la transformée

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

l’un des nombres $\mathrm {L} '$ ou $\mathrm {N} '$ est moindre que $\mathrm {M} ',$ on pourra parvenir à une autre transformée telle que

$\mathrm {L} ''s''^{2}+\mathrm {M} ''s''x''+\mathrm {N} ''x''^{2},$

dans laquelle on aura pareillement

$\mathrm {4L''N''-M''^{2}=4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,$

et où $\mathrm {M} ''$ sera plus petit que $\mathrm {M} ',$ et ainsi de suite ; donc, comme la série des nombres

$\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$

ne saurait aller à l’infini, à cause que ces nombres doivent être tous entiers et décroissants de l’un à l’autre, il faudra nécessairement qu’on vprive à une transformée, que je représenterai ainsi

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

dans laquelle $\mathrm {Q}$ ne sera pas plus grand que $\mathrm {P} ,$ ni que $\mathrm {R} ,$ et où l’on aura

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4LN-M^{2}} .$

7. Corollaire II. — Si les nombres $s$ et $x$ de la formule proposée sont premiers entre eux, il est clair que les nombres $s'$ et $x'$ de la transformée seront aussi premiers entre eux ; car si ceux-ci ne l’étaient pas il faudrait, à cause de $x'=x$ et de $s=mx+s',$ que $s$ fût divisible par la plus grande commune mesure entre $s'$ et $x.$

Donc les nombres $s''$ et $x''$ de la seconde transformée seront aussi par la même raison premiers entre eux, et ainsi de suite ; d’où l’on peut conclure que les nombres $y$ et $z$ de la dernière transformée seront nécessairement premiers entre eux, si les nombres $s$ et $x$ le sont.

Théorème III.

8. Si $\mathrm {A}$ est un diviseur d’un nombre de la forme

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

$t$ et $u$ élant premiers entre eux, je dis que ce nombre $\mathrm {A}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

$y$ et $z$ étant aussi premiers entre eux, et $\mathrm {P,Q,R}$ étant tels, qu’on ait

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}} ,$

et de plus $\mathrm {Q}$ n’étant ni plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P,Q}$ et $\mathrm {R} .$

La démonstration de ce Théorème suit naturellement des deux Théorèmes hrécédents et de leurs Corollaires.

9. Corollaire I. — Si $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est un nombre positif, il faudra que $\mathrm {4PR}$ soit aussi positif ; donc, à cause que $\mathrm {P} =$ ou $>\mathrm {Q} ,$ et $\mathrm {R} =$ ou $>\mathrm {Q} ,$ il est clair que $4\mathrm {PR}$ sera aussi $=$ ou $>4\mathrm {Q} ^{2},$ et par conséquent

$\mathrm {4PR-Q^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2}\,;$

donc on aura aussi

$\mathrm {4BD-C^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2},$

et de là

$\mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {4BD-C^{2}} }{3}}}.$

10. Corollaire II. — Soit maintenant $\mathrm {4BD-C^{2}}$ un nombre négatif, en sorte que $\mathrm {C^{2}-4BD}$ soit positif ; on aura donc dans ce cas $\mathrm {Q^{2}-4PR} >0,$ ce qui, à cause que $\mathrm {Q}$ n’est jamais plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ ne peut avoir lieu à moins que $\mathrm {4PR}$ ne soit un nombre négatif ; ainsi $-\mathrm {4PR}$ sera un nombre positif $=$ ou $>4\mathrm {Q} ^{2},$ à cause de $\mathrm {P} =$ ou $>\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} =$ ou $>\mathrm {Q} \,;$ de sorte que $\mathrm {Q^{2}-4PR}$ sera $=$ ou $>5\mathrm {Q} ^{2},$ et par conséquent $\mathrm {C^{2}-4BD}$ sera aussi $=$ ou $>5\mathrm {Q} ^{2}\,;$ donc il faudra que

$\mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {C^{2}-4BD} }{5}}}.$

11. Corollaire III. — Donc, puisque $\mathrm {Q}$ doit être un nombre entier, on ne pourra prendre pour $\mathrm {Q}$ que les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne surpasseront pas les limites trouvées, en comprenantaussi le zéro parmi les nombres entiers ; d’où l’on voit que $\mathrm {Q}$ ne pourra jamais avoir qu’un certain nombre de valeurs différentes.

De plus, il est clair que pour que l’équation

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}}$

puisse subsister en nombres entiers, il faut que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair, suivant que $\mathrm {C}$ sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre des valeurs de $\mathrm {Q} .$

Connaissant $\mathrm {Q} ,$ on trouvera facilement $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par la même équation ; car, à cause de

$\mathrm {PR={\frac {4BD-C^{2}+Q^{2}}{4}}} ,$

il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ les facteurs du nombre entier

${\frac {\mathrm {Q^{2}+4BD-C^{2}} }{4}},$

en avant soin de rejeter ceux dont l’un ou tous les deux seraient plus grands que $\mathrm {Q} .$

Problème I.

12. Trouver toutes les formespossibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

$t$ et $u$ étant des nombres premiers entre eux.

Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

$y$ et $z$ étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,$ lorsque celles de $\mathrm {B,C}$ et $\mathrm {D}$ sont données.

Pour cet effet je distingue deux cas, l’un lorsque le nombre $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est positif, et l’autre lorsque ce nombre est négatif.

1^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=K}$ ($\mathrm {K}$ désignant un nombre positif) ; on déterminera d’abord $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{3}}}\,;$ ensuite on déterminera $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions-ci que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre $\mathrm {\frac {K+Q^{2}}{4}} ,$ et que chacun de ces facteurs ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (9 et 11).

2^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=-K} \,;$ on déterminera $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{5}}}\,;$ après quoi l’on déterminera les valeurs correspondantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions, que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre ${\frac {\mathrm {Q^{2}-K} }{4}},$ et que chacun d’eux ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (10 et 11).

13. Remarque I. — Si l’on avait $\mathrm {4BD-C^{2}} =0,$ alors $\mathrm {K}$ étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que $\mathrm {Q} =0,$ et ensuite on aurait aussi $\mathrm {PR} =0,$ de sorte que l’un des nombres $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {R}$ serait nul et l’autre serait tout ce qu’on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

se réduit à celle-ci

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }}\,;$

de sorte que, comme $2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$ peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.

14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que $at+bu$ et $ct+du,$ dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2) ; c’est ce qui arrive quand $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est égal à un nombre carré pris négativement ; car supposant

$\mathrm {4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

on a

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}={\frac {\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C+H} )u\right]\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C-H} )u\right]}{4\mathrm {B} }}.$

Or, quoique dans ce cas tout nombre puisse être un diviseur de la formule dont il s’agit, cependant si l’on cherche les formules des diviseurs

par le Problème précédent, on les trouvera comme dans les autres cas, de sorte qu’il en faudra conclure que ces formules renfermeront tous les nombres possibles.

Au reste, comme on a

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

il est clair que la formule générale des diviseurs

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2}$

sera aussi résoluble en deux formules rationnelles du premier degré.

15. Remarque III. — Il est remarquableque les formules des diviseurs ne dépendent que de la valeur de $\mathrm {K} ,$ c’est-à-dire du nombre $\mathrm {4BD-C^{2}} \,;$ mais il est facile d’en voir la raison en remarquant que la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

peut se réduire à

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}+\mathrm {\left(4BD-C^{2}\right)} u^{2}}{4\mathrm {B} }},$

de sorte que les diviseurs de la formule $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ peuvent étre regardés aussi comme diviseurs de cette formule plus simple

$x^{2}\pm \mathrm {K} u^{2}.$

Il résulte de là qu’il suffit de considérer les formules de cette dernière espèce ; et pour cela nous ajouterons encore le Problème suivant, qui peut être regardé comme un cas particulier du précédent, mais qui dans le fond a la même généralité.

Problème II.

16. Trouver toutes les formes possibles des diviseuts des nombres de la forme

$t^{2}\pm au^{2},$

$a$ étant un nombre quelconque positif donné, et $t$ et $u$ étant des nombres indéterminés premiers entre eux.

1^o Considérons la formule

$t^{2}+au^{2},$

et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =a\,;$

donc $\mathrm {K} =4a\,;$ donc $\mathrm {Q}$ devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que $\pm {\sqrt {\frac {4a}{3}}}\,;$ ainsi, faisant $\mathrm {Q} =\pm 2q$ et regardant $q$ comme positif, il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{3}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} ={\frac {4a+4q^{2}}{4}}=a+q^{2}\,;$

de sorte que si $p$ et $r$ dénotent deux facteurs de $a+q^{2},$ dont aucun ne soit moindre que $2q,$ on aura

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

pour la formule générale des diviseurs de $t^{2}+au^{2}.$

Il est bon de remarquer que comme $pr=a+q^{2},$ il faudra que $p$ et $r$ soient de même signe, et il est clair qu’il faudra les prendre positivement pour que la formule

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme cette formule ne change point de forme en y mettant $p$ à la place de $r,$ il ne sera pas nécessaire de prendre successivement pour $p$ chacun des facteurs de $a+q^{2},$ et pour $r$ tous les facteurs correspondants ; c’est pourquoi dans chaque couple de facteurs de $a+q^{2}$ il suffira de prendre toujours le plus petit pour $p,$ et le plus grand pour $r\,;$ et c’est ainsi que nous en userons dans la suite.

2^o Considérons maintenant la formule

$t^{2}-au^{2},$

et l’on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =-a,$

donc $\mathrm {K} =4a,$ comme ci-dessus ; c’est pourquoi on fera de même $\mathrm {Q} =\pm 2q,$ et il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{5}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} =q^{2}-a\,;$

de sorte que si l’on désigne par $p$ et $r$ deux facteurs de $a-q^{2}$ dont aucun ne soit plus petit que $2q,$ on aura

$\mathrm {P} =p,\quad \mathrm {R} =-r,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {P} =-p,\quad \mathrm {R} =r\,;$

ce qui donnera ces deux formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2},$

pour les diviseurs de $t^{2}-au^{2}\,;$ et l’on trouverait la même chose pour la formule $au^{2}-t^{2}.$

Quant aux nombres $p$ et $r,$ nous les prendrons tous les deux positifs, et nous supposerons toujours que $p$ soit le plus petit des deux facteurs de $a-q^{2},$ et $r$ le plus grand, comme nous l’avons dit plus haut ; car il est visible qu’en changeant les signes de $p$ et $r,$ ou mettant l’un de ces nombres à la place de l’autre, on n’aurait pas de nouvelles formules.

17. Corollaire. — Si l’on multiplie la formule

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$

par $p,$ elle pourra se mettre sous cette forme

$(py\pm qz)^{2}+\left(pr-q^{2}\right)z^{2},$

c’est-à-dire ${\big (}\!$ à cause de $pr=a+q^{2}{\big )}$ sous celle-ci

$(py\pm qz)^{2}+az^{2},$

qui est la même que celle de la formule $t^{2}+au^{2}.$ D’où il s’ensuit que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}$ sera aussi nécessairement de la même forme si $p$ n’a d’autres valeurs que l’unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

étant multipliées par $p$ deviendront, à cause de $pr=a-q^{2},$

$(py\pm qz)^{2}-az^{2},\quad -(py\pm qz)^{2}+az^{2}.$

De sorte que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}$ ou $au^{2}-t^{2}$ sera nécessairement de l’une ou de l’autre de ces deux formes si $p$ n’est que l’unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plus d’une.

théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$
$t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

18. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{3}}}$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+u^{2}$

sont nécessairement renfermés dans la formule

$y^{2}+z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal la somme de deux carrés est aussi la somme de deux carrés.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{3}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=2,$ donc

$p=1,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+2u^{2}$

sont renfermés dans la formule

$y^{2}+2z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal à la somme d’un carré et d’un double carré est aussi la somme d’un carré et d’un double carré.

III. Soit $a=3,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {3}{3}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=3,$ donc

$p=1,\quad r=3\,;$

ensuite faisant $q=1,$ on aura

$pr=3+1=4\,;$

donc, comme ni $p$ ni $r$ ne doivent être $<2q,$ on aura

$p=2,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+3u^{2}$

seront renfermés dans ces deux formules

$y^{2}+3z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+2z^{2}.$

Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu’à des nombres pairs, étant toute divisible par $2,$ il s’ensuit que tout diviseur impair de

$t^{2}+3u^{2}$

sera nécessairement renfermé dans la formule

$y^{2}+3z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur impair d’un nombre qui est la somme d’un

carré et d’un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d’un carré et d’un triple carré.

Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu’à des diviseurs pairs ; c’est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de $p$ et $r$ qui seraient paires à la fois.

IV. Soit $a=4,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {4}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=4\,;$ donc

$p=1,\quad r=4$

(car nous rejetons les valeurs $p=2,$ $r=2,$ parce qu’elles sont toutes deux paires) ; faisant $q=1$ on a $pr=5\,;$ donc

$p=1,\quad r=5,$

ce qui doit être rejeté à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+4u^{2}$

seront aussi de la forme

$y^{2}+4z^{2}$

V. Soit $a=5,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {5}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=5,$ donc

$p=2,\quad r=5,$

et faisant $q=1,$ on a $pr=6,$ donc

$p=2,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+5u^{2}$

sont nécessairement de l’une ou de l’autre de ces formes-ci

$y^{2}+5z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles sont toujours (17) de la forme $t^{2}+5u^{2}.$

VI. Soit $a=6,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {6}{3}}},$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=1,\quad r=6,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=3\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=7,$ donc

$p=1,\quad r=7,$

ce qui doit être rejeté parce que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+6u^{2}$

seront de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+6z^{2},\quad 2y^{2}+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront de la même forme $t^{2}+6u^{2}.$

VII. Soit $a=7,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {7}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=7\,;$ donc

$p=1,\quad q=7\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=2,\quad q=4\,;$

ce qui ne peut convenir qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+7u^{2}$

seront nécessairement aussi de la forme

$y^{2}+7z^{2}.$

VIII. Soit $a=8,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {8}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=1,\quad r=8\,;$

et l’on rejettera les valeurs $p=2,$ $r=4$ comme ne pouvant appartenir qu’à des diviseurs pairs ; faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=3,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+8u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+8z^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs triples, seront toujours de la même forme

$t^{2}+8u^{2}.$

IX. Soit $a=9,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {9}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=1,\quad r=9,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=3\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=2,\quad r=5.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+9u^{2}$

sont nécessairement de l’une de ces trois formes

$y^{2}+9z^{2},\quad 3y^{2}+3z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+5z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs doubles ou leurs triples, pourront toujours se rapporter à la même forme $t^{2}+9u^{2}.$

X. Soit $a=10,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {10}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=1,\quad r=10,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11,$

ce qui n’est point admissible à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+10u^{2}$

sont toujours de l’une de ces formes

$y^{2}+10z^{2},\quad 2y^{2}+5z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront nécessairement de la même forme

$t^{2}+10u^{2}.$

XI. Soit $a=11,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {11}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11\,;$

faisant $q=1,$ on a $pr=12\,;$ donc

$p=3,\quad q=4\,;$

car les valeurs $p=2$ et $r=6$ sont à rejeter à cause qu’elles ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+11u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+11z^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz+4z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront toujours de la même forme

$t^{2}+11u^{2}.$

XII. Soit $a=12,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {12}{3}}}=2\,;$ donc $q=0$ ou $=1$ ou $=2.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=12\,;$ donc

$p=1,\quad r=2,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=4,$

en rejetant les valeurs $p=2,$ $r=2,$ qui ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs ; faisant $q=1,$ on aura $pr=13\,;$ donc

$p=1,\quad r=13,$

ce qui doit être rejeté à cause que $p$ serait $<2q\,;$ faisant $q=2,$ on aura $pr=12+4=16\,;$ donc

$p=4,\quad r=4$

${\big (}\!$ car, à cause de $q=2,$ $p$ ne doit pas être $<4{\big )},$ ce qui doit être rejeté si l’on ne considère que les diviseurs impairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la formule

$t^{2}+12u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+12z^{2},\quad 3y^{2}+4z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront de la même forme

$t^{2}+12u^{2}.$

Nous n’étendrons pas ces Recherches plus loin, d’autant que les Exemples que nous venons de donner sont plus que suffisants pour montreur l’application de nos méthodes et pour mettre sur la voie ceux qui voudront en faire usage pour découvrirde nouveaux Théorèmes sur la forme des diviseurs des nombres $t^{2}+au_{2}.$

19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sont connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermat ; mais M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n’est d’ailleurs applicable qu’aux cas où le nombre $a$ ne surpasse pas $3\,;$ c’est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.

À l’égard des Théorèmes qu’il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblvble qu’il ne les a trouvés que par induction, d’autant qu’il n’en a fait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s’étendre à d’autres nombres qu’à ceux de la forme $t^{2}+u^{2},\ t^{2}+2u^{2}$ et $t^{2}+3u^{2}$ (tome VI, page 214).

Théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-au^{2}$
ou $au^{2}-t^{2},$ $t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

20. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{5}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-u^{2}$

sont de la forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre est réductible à cette forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

c’est ce qu’on sait d’ailleurs.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=2\,;$ donc

$p=1,\quad r=2\,;$

de sorte que les formes des diviseurs de

$t^{2}-2u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2u^{2}-t^{2}$

seront

$y^{2}-2z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2z^{2}-y^{2}\,;$

mais je remarque que ces deux formes reviennent à la même ; car faisant

$y=y'+2z',\quad z=y'+z'$

(ce qui donne $y'=2z-y$ et $z'=y-z,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'$), la formule $y^{2}-2z^{2}$ devient $2z'^{2}-y'^{2}.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-2u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2u^{2}-t^{2}$

sont nécessairement de l’une et de l’autre de ces formes

$y^{2}-2z^{2},\quad 2z^{2}-y^{2}.$

III. Soit $a=3,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {3}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=3\,;$ donc

$p=1,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-3u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 3u^{2}-t^{2}$

sont de l’une et de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-3z^{2},\quad 3z^{2}-y^{2}.$

IV. Soit $a=4,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {4}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=4\,;$ donc

$p=1,\quad r=4,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-4u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4u^{2}-t^{2}$

seront nécessairement renfermés dans les formule

$y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-2z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre quelconque sera de l’une de ces formes.

Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu’à des diviseurs pairs, telles que celle-ci $2y^{2}-2z^{2}\,;$ ainsi nous rejetterons dans la suite, comme-nous l’avons déjà fait plus haut, les valeurs de $p$ et de $r$ qui se trouveront paires en même temps.

V. Soit $a=5,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {5}{5}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=5\,;$ donc

$p=1,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aurait $pr=4\,;$ de sorte qu’à cause que $p$ et $r$ doivent n’être pas $<2q,$ on ne pourrait faire que

$p=2,\quad r=2\,;$

mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu’elles sont toutes deux paires ; ainsi l’on n’aura que ces deux formes de diviseurs

$y^{2}-5z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5z^{2}-y^{2},$

lesquelles se réduisent d’ailleurs à la même, comme on peut s’en convaincre en faisant

$y=2y'+5z'\quad {\text{et}}\quad z=y'+2z'$

(ce qui donnerait $z'=y-2z$ et $y'=5z-2y,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'$) dans la formule $y^{2}-5z^{2},$ laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci, $5z'^{2}-y'^{2}.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-5u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5u^{2}-t^{2},$

sont en même temps de chacune de ces deux formes

$y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-y^{2}.$

VI. Soit $a=6,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {6}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=1,\quad r=6,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=3\,;$

faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=5,$ ce qui ne donnerait que

$p=1,\quad r=5,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q\,;$ de sorte que les formules des diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-6u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 6u^{2}-t^{2}$

seront

$y^{2}-6z^{2}\quad 6z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-3z^{2},\quad 3z^{2}-2y^{2}.$

Mais j’observe que ces dernières se réduisent aux deux premières en faisant

$2y+3z=y',\quad y+z=z',$

ce qui donne

$y=3z'-y',\quad z=y'-2z',$

et par conséquent

$2y^{2}-3z^{2}=6z'^{2}-y'^{2},\quad 3z^{2}-2y^{2}=y'^{2}-6z'^{2}.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-6u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 6u^{2}-t^{2}$

seront toujours aussi de l’une ou de l’autre de ces formes.

VII. Soit $a=7,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {7}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=7\,;$ donc

$p=1,\quad r=7,$

et faisant $q=1,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=2,\quad r=3\,;$

de sorte que les formules des diviseurs de

$t^{2}-7u^{2}$

seront

$y^{2}-7z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-7z^{2}$

et leurs inverses

$7z^{2}-y^{2},\quad 7z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

Mais je remarque ici que les deux premières de ces formules reviennent à la même, aussi bien que les deux dernières ; car faisant

$y=y'-2z'\quad {\text{et}}\quad \pm z=y'-3z'$

(ce qui donne $y'=3y\mp 2z$ et $z'=y\mp z,$ c’est-à-dire des nombres entiers pour $y'$ et $z'$), la formule

$2y^{2}\pm 2yz-3z^{2}$

deviendra

$y'^{2}-7z'^{2},$

et la formule

$3z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

deviendra de même

$7z'^{2}-y'^{2}.$

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-7u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 7u^{2}-t^{2}$

seront nécessairement aussi de la forme

$y^{2}-7z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 7z^{2}-y^{2}.$

VIII. Soit $a=8,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {8}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=1,\quad r=8\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=4\,;$

mais ces dernières valeurs peuvent être rejetées à cause qu’elles sont

toutes deux paires ; faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=7,$ ce qui ne donnerait que

$p=1\quad {\text{et}}\quad r=7,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-8u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 8u^{2}-t^{2},$

seront de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-8z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 8z^{2}-y^{2}.$

IX. Soit $a=9,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {9}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=1,\quad r=9,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=3\,;$

et faisant $q=1,$ on aura $pr=8,$ ce qui, à cause de $p$ non plus petit que $2q,$ donnerait

$p=2,\quad r=4,$

valeurs qu’on peut rejeter à cause qu’elles sont l’une et l’autre paires.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-9u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 9u^{2}-t^{2}$

seront toujours de quelqu’une de ces formes

$y^{2}-9z^{2},\quad 9z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}-3z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre quelconque impair sera réductible à l’une de ces formes.

X. Soit $a=10,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {10}{5}}}={\sqrt {2}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=1,\quad r=10,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=3,\quad r=3\,;$

de sorte que les formules des diviseurs de

$t^{2}-10u^{2}$

seront

$y^{2}-10z^{2},\quad 10z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-2y^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz-3z^{2}.$

Or je remarque d’abord que cette dernière formule peut se réduire à ces deux-ci

$2y'^{2}-5z'^{2},\quad 5z'^{2}-2y'^{2},$

en faisant

$\pm y=y'+z',\quad z=y'+2z'$

ou

$\pm y=y'+2z',\quad z=y'+z',$

ce qui donne toujours pour $y'$ et $z'$ des nombres entiers ; je remarque ensuite que les deux formules

$y^{2}-10z^{2},\quad 10z^{2}-y^{2}$

peuvent aussi se réduire à la même en faisant dans la première

$y=10z'+3y',\quad z=3z'+y',$

ce qui la transformera en $10z'^{2}-y'^{2}\,;$ et quant aux nombres $y'$ et $z'$ il est clair qu’ils seront toujours entiers, puisque l’on aura

$z'=y-3z,\quad y'=10z-3y.$

De là je conclus que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-10u^{2},\quad 10u^{2}-t^{2}$

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-10z^{2},\quad 2y^{2}-5z^{2},$

aussi bien que de celles-ci

$10z^{2}-y^{2},\quad 5z^{2}-2y^{2}.$

XI. Soit $a=11,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {11}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $q=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11\,;$

faisant $q=1,$ on a $pr=10\,;$ donc

$p=2,\quad r=5.$

De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-5z^{2},\quad 5z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières ; car en faisant

$\pm y=y'+4z',\quad z=y'+3z'$

(ce qui donne $z'=\pm y-z$ et $y'=4z\mp 3y,$ et par conséquent toujours des nombres entiers pour $y'$ et $z'$), la formule

$2y^{2}\pm 2yz-5z^{2}$

devient

$11z'^{2}-y'^{2},$

et la formule

$5z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

devient de même

$y'^{2}-11z'^{2}.$

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-11u^{2},\quad 11u^{2}-t^{2}$

sont toujours de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2}.$

XII. Soit $a=12,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {12}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=12\,;$ donc

$p=1,\quad r=12,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=4,$

en rejetant les valeurs paires $p=2$ et $r=6\,;$ faisant ensuite, $q=1,$ on aurait $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q\,;$ ainsi l’on n’aura que ces formules

$y^{2}-12z^{2},\quad 12z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-3y^{2},$

sur lesquelles je remarque que les deux dernières sont réductibles aux deux premières, en faisant

$y=4y'+z'\quad {\text{et}}\quad z=3y'+z',$

ce qui donne $y'=y-z$ et $z'=4z-3y,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'.$

D’où l’on peut conclure que les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-12u^{2},\quad 12u^{2}-t^{2},$

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-12z^{2},\quad 12z^{2}-y^{2},$

aussi bien que de ces deux-ci

$3y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-3y^{2}.$

21. Remarque. — Telle est la méthode qu’il faudra suivre pour trouver les formules des diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-au^{2},\quad au^{2}-t^{2},$

en donnant à $a$ des valeurs quelconques au delà de $12\,;$ cette méthode est, comme on voit, d’un usage très-facile et très-simple ; mais elle paraît sujette à une espèce d’inconvénient, c’est qu’elle donne quelquefois plus de formules qu’il n’en faut pour représenter tous les diviseurs des nombres d’une forme donnée ; de sorte qu’il arrive que quelques-unes de ces formules reviennent à la même, comme nous l’avons vu dans les Exemples précédents. Pour y remédier il faudrait donc avoir une règle

générale par laquelle on pût reconnaître facilement les formules qui sont identiques entre elles : c’est ce que nous allons examiner, avec toute la généralité dont la matière est susceptible ; et comme il n’est pas démontré jusqu’ici que cette identité de formules ne puisse avoir lieu dans les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$ quoique les différents cas du n^o 18 n’en fournissent aucun exemple, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, nous considérerons également les formules de l’une et de l’autre espèce.

Problème III.

22. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés et $p,q,r$ sont des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr-q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ absfraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre de la même espèce et qui soit assujettie aux même conditions.

Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu’on ne saurait employer d’autres substitutions que celles-ci

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

$s$ et $x$ étant deux nouvelles indéterminées, et $\mathrm {M,N} ,m,n$ des nombres arbitraires. En effet ces substitutions donneront une transformée de cette forme

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx+\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m+rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)+rmn,\\\mathrm {R} =&p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},\end{aligned}}$

et il ne s’agira que de voir si l’on peut déterminer les nombres $\mathrm {M,N} ,m,n,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {PR-Q^{2}} =a,$

et que $2\mathrm {Q}$ ne soit ni $>\mathrm {P}$ ni $>\mathrm {R} .$

Pour satisfaire à la première condition je substitue dans la quantité $\mathrm {PR-Q^{2}}$ les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,$ et je trouve, en effaçant ce qui se détruit,

$\mathrm {PR-Q^{2}} =\left(pr-q^{2}\right)(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}\,;$

mais (hypothèse)

$pr-q^{2}=a,$

donc, pour que $\mathrm {PR-Q^{2}}$ soit aussi égal à $a,$ il faudra que l’on ait

$(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=1,$

et par conséquent

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1.$

À l’égard de la seconde condition, il est clair qu’elle ne saurait avoir lieu à moins que $\mathrm {Q}$ ne soit en même temps $<\mathrm {P}$ et $<\mathrm {R} \,;$ ainsi nous supposerons que $\mathrm {Q}$ soit en effet $<\mathrm {P}$ et $<\mathrm {R} ,$ et nous allons voir ce qui doit s’ensuivre.

Soit $\mathrm {M>N}$ (le raisonnement serait le même si $\mathrm {N}$ était $>\mathrm {M} ,$ en prenant seulement $\mathrm {N}$ à la place de $\mathrm {M}$), il est clair qu’on peut faire

$\mathrm {M=\mu N+M'} ,$

et qu’on peut prendre $\mu$ tel que $\mathrm {M} '$ devienne moindre que $\mathrm {N} \,;$ car il n’y a qu’à prendre pour $\mu$ le quotient de la division de $\mathrm {M}$ par $\mathrm {N} ,$ et $\mathrm {M} '$ sera le reste ; de plus il est facile de voir qu’on peut toujours supposer que $\mu$ ne soit pas moindre que $2\,;$ car si l’on trouvait $\mu =1,$ en sorte que $\mathrm {M=N+M'} ,$ on pourrait faire

$\mathrm {M=2N-(N-M')} ,$

c’est-à-dire prendre $\mu =2$ et $\mathrm {N-M'}$ à la place de $\mathrm {M} '.$ Or si l’on suppose aussi, ce qui est permis,

$m=\mu n+m',$

$m'$ étant un nombre quelconque, et qu’on substitue ces valeurs de $\mathrm {M}$ et

de $m$ dans l’expression de $\mathrm {Q} ,$ elle deviendra

$\mathrm {Q} =\mu \left(p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2}\right)+p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {Q} '=p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

on aura

$\mathrm {Q=\mu R+Q'} .$

Or il faut que $\mathrm {Q}$ soit $<\mathrm {R} \,;$ donc, puisque $\mu$ est $=$ ou $>2,$ il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités $\mu \mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} '$ ne soient de signes différents et que $\mathrm {Q} '$ ne soit en même temps $>\mathrm {R} ,$ abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

$y=(\mu \mathrm {N+M'} )s+\mathrm {N} x,\quad z=(\mu n+m')s+nx\,;$

de sorte que si l’on fait

$x'=\mu s+x,$

on aura

$y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',$

et la substitution de ces valeurs dans la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2}$

donnera la nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'+\mathrm {R} x'^{2},$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,\end{aligned}}$

et

$\mathrm {R} \ =p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},$

comme plus haut.

Or à cause de

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,$

on aura

$(\mu \mathrm {N+M'} )n-\mathrm {N} (\mu n+m')=\pm 1,$

ei par conséquent

$\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1.$

On trouvera aussi

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =\left(pr-q^{2}\right)(\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m')^{2},$

et par conséquent

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =a.$

De sorte que, comme $a$ est positif et que $\mathrm {Q} '$ est $>\mathrm {R} ,$ il faudra que $\mathrm {P} '$ soit $>\mathrm {Q} '\,;$ ainsi la transformée précédente sera telle, que $\mathrm {Q} '$ sera $>\mathrm {R}$ et $<\mathrm {P} '.$

De la même manière, à cause que $\mathrm {N}$ est $>\mathrm {M} ',$ on pourra supposer

$\mathrm {N=\mu 'M'+N'} ,$

et prendre $\mu '$ en sorte qu’il ne soit pas $<2$ et que $\mathrm {N} '$ soit $<\mathrm {M} '\,;$ et faisant ensuite

$n=\mu 'm'+n',\quad s'=\mu 'x'+s,$

en sorte que l’on ait

$y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x',$

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'+\mathrm {R} 'x'^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')+rm'n',\\\mathrm {R} '=&p\mathrm {N} '^{2}+2q\mathrm {N} 'n'+rn'^{2},\end{aligned}}$

et où l’on aura aussi

${\begin{aligned}&\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,\\&\mathrm {Q'=\mu 'P'+Q''} ,\\&\mathrm {P'R'-Q''^{2}} =a,\end{aligned}}$

en sorte que $\mathrm {Q} ''$ sera $>\mathrm {P} '$ et $<\mathrm {R} ',$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P',R'}$ et $\mathrm {Q} ''.$

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

$\mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x''+\mathrm {R} 'x''^{2},$

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

$\mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots$

forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que $\mathrm {N} '$ soit ce terme, en sorte que l’on ait $\mathrm {N} '=0\,;$ donc à cause de

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1$

on aura

$\mathrm {M} 'n'=\pm 1\,;$

donc

$\mathrm {M} '=\pm 1\quad {\text{et}}\quad n'=\pm 1,$

donc

$\mathrm {P} '=p\pm 2qm'+rm'^{2},\quad \mathrm {Q} ''=\pm q\pm rm',\quad \mathrm {R} '=r,$

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

1^o Que l’on ait $\mathrm {Q''<R'} ,$ abstraction faite des signes de ces nombres ; mais $\mathrm {R} '=r$ et $q<r,$ à cause de $2q$ non plus grand que $r$ (hypothèse), donc $\mathrm {Q} ''$ ne pourra être $<\mathrm {R} ',\ <r$ à moins que $m'$ ne soit égal à zéro ou égal à $\pm 1.$

2^o Que $\mathrm {Q} ''$ soit en même temps $>\mathrm {P} '\,;$ or si $m'=0,$ on a

$\mathrm {Q} ''=\pm q,\quad \mathrm {P} '=p\,;$

de sorte qu’à cause de $2q$ non plus grand que $p$ (hypothèse), $\mathrm {Q} ''$ sera toujours $<\mathrm {P} '$ au lieu d’être plus grand ; si $m'=\pm 1,$ on aura

$\mathrm {P} '=p\pm 2q+r,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} ''=q\pm r\,;$

mais on suppose que $\mathrm {Q} ''$ soit $<r\,;$ donc, pour que $\mathrm {Q} ''$ soit $>\mathrm {P} ',$ il faudrait que $r$ pût être $>p\pm 2q+r,$ ce qui ne se peut à cause que $2q$ n’est jamais $>p,$ et que d’ailleurs $p$ et $r$ doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation

$pr-q^{2}=$ un nombre positif.

De là je conclus qu’il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu ; de sorte que si l’on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement diflérentes entre elles, et qu’elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.

23. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés, et $p,q,r$ des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr+q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ abstraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.

Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

on aura la transformée

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m-rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)-rmn,\\\mathrm {R} =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N$