Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Recherches d’Arithmétique

Joseph-Louis Lagrange

Recherches d’Arithmétique

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 695-795).

RECHERCHES D’ARITHMÉTIQUE.

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[Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, années 1773 et 1775^[1].]

PREMIÈRE PARTIE.

Ces Recherches ont pour objet les nombres qui peuvent être représentés par la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

où $\mathrm {B,C,D}$ sont supposés des nombres entiers donnés, et $t,u$ des nombres aussi entiers, mais indéterminés. Je donnerai d’abord la manière de trouver toutes les différentes formes dont les diviseurs de ces sortes de nombres sont susceptibles ; je donnerai ensuite une méthode pour réduire ces formes au plus petit nombre possible ; je montrerai comment on en peut dresser des Tables pour la pratique, et je ferai voir l’usage de ces Tables dans la recherche des diviseurs des nombres. Je donnerai enfin la démonstration de plusieurs Théorèmes sur les nombres premiers de la même forme $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$ dont quelques-uns sont déjà connus, mais n’ont pas encore été démontrés, et dont les autres sont entièrement nouveaux.

1. Avertissement. — On suppose toujours dans la suite que toutes les lettres désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on représentera ordinairement par les premières lettres de l’alphabet les nombres donnés, et par les dernières les nombres indéterminés.

2. Observation. — La formule du premier degré $\mathrm {B} t+\mathrm {C} u,$ où $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont des nombres quelconques donnés et premiers entre eux, peut représenter un nombre quelconque ; mais il n’en est pas de même de la formule du second degré $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}\,;$ car nous avons prouvé ailleurs [voyez les Mémoires de l’Académie pour les années 1767 et 1768^[2]] que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$

est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres $\mathrm {A,B,C} ,$ pourvu que les deux derniers soient premiers entre eux ; mais que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

ne l’est que dans certains cas, et lorsque certaines conditions ont lieu entre les nombres donnés $\mathrm {A,B,C,D} .$ On doit dire la même chose, à plus forte raison, des formules du troisième degré et au delà.

3. Scolie. — Il y a donc une grande différence entre les formules du premier degré et celles des degrés supérieurs, celles-là pouvant représenter tous les nombres possibles, au lieu que celles-ci ne peuvent représenter que certains nombres qui doivent être distingués de tous les autres par des caractères particuliers. De très-grands Géomètres ont déjà considéré les propriétés des nombres qui peuvent être représentés par quelques-unes des formules du second degré ou des degrés ultérieurs, comme celles-ci

$t^{2}+u^{2},\quad t^{2}+2u^{2},\quad t^{2}+3u^{2},\quad t^{4}+u^{4},\quad t^{5}+u^{5},\ldots .$

(Voyez les Ouvrages de M. Fermat et les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. I, IV, V, VI, VIII). Mais personne, que je sache, n’a encore traité cette matière d’une manière directe et générale, ni donné des règles pour trouver à priori les principales propriétés des nombres qui peuvent se rapporter à des formules quelconques données.

Comme ce sujet est un des plus curieux de l’Arithmétique, et qu’il mérite particulièrement l’attention des Géomètres par les grandes difficultés qu’il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu’on ne l’a encore fait ; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.

Théorème I.

4. Si le nombres $\mathrm {A}$ est un diviseur d’un nombre représenté par la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

en supposant $t$ et $u$ premiers entre eux, je dis que ce nombre $\mathrm {A}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},$

où l’on aura

$\mathrm {4LN-M^{2}=4BD-C^{2}} ,$

$s$ et $x$ étant aussi premiers entre eux.

Car soit $a$ le quotient de la division de $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ par $\mathrm {A} ,$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {A} a=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

et soit $b$ la plus grande commune mesure entre $a$ et $u$ (si $a$ et $u$ sont premiers entre eux, on aura $b=1$) ; de manière qu’en faisant

$a=bc,\quad u=bs,$

$c$ et $s$ soient premiers entre eux ; on aura donc

$\mathrm {A} bc=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} bts+\mathrm {D} b^{2}s^{2}\,;$

par conséquent $\mathrm {B} t^{2}$ sera divisible par $b\,;$ mais $t$ et $u$ étant premiers entre eux (hypothèse), $t$ sera aussi premier à $b,$ qui est un diviseur de $u\,;$ donc il faudra que $\mathrm {B}$ soit divisible par $b\,;$ de sorte qu’on aura $\mathrm {B=E} b,$ et l’équatiou étant divisée par $b,$ elle deviendra

$\mathrm {A} c=\mathrm {E} t^{2}+\mathrm {C} ts+\mathrm {D} bs^{2}.$

Maintenant, puisque $c$ et $s$ sont premiers entre eux, on peut supposer (par l’Observation précédente)

$t=\theta s+cx,$

ce qui, étant substitué, donnera

$\mathrm {A} c=\left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)s^{2}+(2\mathrm {E} \theta c+\mathrm {C} c)sx+\mathrm {E} c^{2}x^{2},$

de sorte qu’il faudra que le nombre $\left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)s^{2}$ soit divisible par $c\,;$ et comme $c$ et $s$ sont premiers entre eux, il faudra que $\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b$ soit divisible par $c\,;$ donc divisant toute l’équation par $c,$ et faisant

$\mathrm {L} ={\frac {\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b}{c}},\quad \mathrm {M=2E\theta +C} ,\quad \mathrm {N=E} c,$

on aura

$\mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2}.$

Or $4\mathrm {LN-M^{2}}$ sera égal à

$4\mathrm {E} \left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)-\left(\mathrm {2E\theta +C} \right)^{2}=4\mathrm {ED} b-\mathrm {C^{2}=4BD-C^{2}} ,$

à cause de $\mathrm {B=E} b.$ Donc, etc.

Maintenant, comme $t$ et $u$ sont premiers entre eux (hypothèse), $t$ et $s$ le seront aussi, à cause de $u=bs\,;$ mais si $x$ et $s$ n’étaient pas premiers entre eux, il est clair que $t$ devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de $t=\theta s+cx\,;$ ce qui ne pouvant être, il s’ensuit que $x$ et $s$ seront nécessairement premiers entre eux si $t$ et $u$ le sont.

Théorème II.

5. Toute formule du second degré telle que celle-ci

$\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},$

dans laquelle $\mathrm {M}$ est plus grand que $\mathrm {L}$ ou $\mathrm {N}$ (abstraction faite des signes de ces quantités), peut se transformer en une autre du même degré, comme

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

dans laquelle on aura

$\mathrm {4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,$

et où $\mathrm {M} '$ sera plus petit que $\mathrm {M} .$

Car soit par exemple $\mathrm {M>L} ,$ on fera

$s=mx+s',$

et la formule proposée deviendra

$\left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)x^{2}+(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )xs'+\mathrm {L} s'^{2},$

ou bien, en changeant $x$ en $x',$

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} '\,=&\mathrm {L} ,\\\mathrm {M} '=&2\mathrm {L} m+\mathrm {M} ,\\\mathrm {N} '\,=&\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura d’abord, quel que soit le nombre $m,$

$\mathrm {4L'N'-M'^{2}=4L} \left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)-(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )^{2}=\mathrm {4LN-M^{2}} .$

Or, puisque $\mathrm {L}$ est moindre que $\mathrm {M}$ (hypothèse), il est clair qu’on peut déterminer le nombre $m$ en sorte que $2\mathrm {L} m+\mathrm {M}$ devienne moindre que $\mathrm {M} \,;$ donc, etc.

6. Corollaire I. — Donc, si dans la transformée

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

l’un des nombres $\mathrm {L} '$ ou $\mathrm {N} '$ est moindre que $\mathrm {M} ',$ on pourra parvenir à une autre transformée telle que

$\mathrm {L} ''s''^{2}+\mathrm {M} ''s''x''+\mathrm {N} ''x''^{2},$

dans laquelle on aura pareillement

$\mathrm {4L''N''-M''^{2}=4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,$

et où $\mathrm {M} ''$ sera plus petit que $\mathrm {M} ',$ et ainsi de suite ; donc, comme la série des nombres

$\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$

ne saurait aller à l’infini, à cause que ces nombres doivent être tous entiers et décroissants de l’un à l’autre, il faudra nécessairement qu’on vprive à une transformée, que je représenterai ainsi

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

dans laquelle $\mathrm {Q}$ ne sera pas plus grand que $\mathrm {P} ,$ ni que $\mathrm {R} ,$ et où l’on aura

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4LN-M^{2}} .$

7. Corollaire II. — Si les nombres $s$ et $x$ de la formule proposée sont premiers entre eux, il est clair que les nombres $s'$ et $x'$ de la transformée seront aussi premiers entre eux ; car si ceux-ci ne l’étaient pas il faudrait, à cause de $x'=x$ et de $s=mx+s',$ que $s$ fût divisible par la plus grande commune mesure entre $s'$ et $x.$

Donc les nombres $s''$ et $x''$ de la seconde transformée seront aussi par la même raison premiers entre eux, et ainsi de suite ; d’où l’on peut conclure que les nombres $y$ et $z$ de la dernière transformée seront nécessairement premiers entre eux, si les nombres $s$ et $x$ le sont.

Théorème III.

8. Si $\mathrm {A}$ est un diviseur d’un nombre de la forme

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

$t$ et $u$ élant premiers entre eux, je dis que ce nombre $\mathrm {A}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

$y$ et $z$ étant aussi premiers entre eux, et $\mathrm {P,Q,R}$ étant tels, qu’on ait

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}} ,$

et de plus $\mathrm {Q}$ n’étant ni plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P,Q}$ et $\mathrm {R} .$

La démonstration de ce Théorème suit naturellement des deux Théorèmes hrécédents et de leurs Corollaires.

9. Corollaire I. — Si $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est un nombre positif, il faudra que $\mathrm {4PR}$ soit aussi positif ; donc, à cause que $\mathrm {P} =$ ou $>\mathrm {Q} ,$ et $\mathrm {R} =$ ou $>\mathrm {Q} ,$ il est clair que $4\mathrm {PR}$ sera aussi $=$ ou $>4\mathrm {Q} ^{2},$ et par conséquent

$\mathrm {4PR-Q^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2}\,;$

donc on aura aussi

$\mathrm {4BD-C^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2},$

et de là

$\mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {4BD-C^{2}} }{3}}}.$

10. Corollaire II. — Soit maintenant $\mathrm {4BD-C^{2}}$ un nombre négatif, en sorte que $\mathrm {C^{2}-4BD}$ soit positif ; on aura donc dans ce cas $\mathrm {Q^{2}-4PR} >0,$ ce qui, à cause que $\mathrm {Q}$ n’est jamais plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ ne peut avoir lieu à moins que $\mathrm {4PR}$ ne soit un nombre négatif ; ainsi $-\mathrm {4PR}$ sera un nombre positif $=$ ou $>4\mathrm {Q} ^{2},$ à cause de $\mathrm {P} =$ ou $>\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} =$ ou $>\mathrm {Q} \,;$ de sorte que $\mathrm {Q^{2}-4PR}$ sera $=$ ou $>5\mathrm {Q} ^{2},$ et par conséquent $\mathrm {C^{2}-4BD}$ sera aussi $=$ ou $>5\mathrm {Q} ^{2}\,;$ donc il faudra que

$\mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {C^{2}-4BD} }{5}}}.$

11. Corollaire III. — Donc, puisque $\mathrm {Q}$ doit être un nombre entier, on ne pourra prendre pour $\mathrm {Q}$ que les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne surpasseront pas les limites trouvées, en comprenantaussi le zéro parmi les nombres entiers ; d’où l’on voit que $\mathrm {Q}$ ne pourra jamais avoir qu’un certain nombre de valeurs différentes.

De plus, il est clair que pour que l’équation

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}}$

puisse subsister en nombres entiers, il faut que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair, suivant que $\mathrm {C}$ sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre des valeurs de $\mathrm {Q} .$

Connaissant $\mathrm {Q} ,$ on trouvera facilement $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par la même équation ; car, à cause de

$\mathrm {PR={\frac {4BD-C^{2}+Q^{2}}{4}}} ,$

il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ les facteurs du nombre entier

${\frac {\mathrm {Q^{2}+4BD-C^{2}} }{4}},$

en avant soin de rejeter ceux dont l’un ou tous les deux seraient plus grands que $\mathrm {Q} .$

Problème I.

12. Trouver toutes les formespossibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

$t$ et $u$ étant des nombres premiers entre eux.

Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

$y$ et $z$ étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,$ lorsque celles de $\mathrm {B,C}$ et $\mathrm {D}$ sont données.

Pour cet effet je distingue deux cas, l’un lorsque le nombre $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est positif, et l’autre lorsque ce nombre est négatif.

1^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=K}$ ($\mathrm {K}$ désignant un nombre positif) ; on déterminera d’abord $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{3}}}\,;$ ensuite on déterminera $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions-ci que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre $\mathrm {\frac {K+Q^{2}}{4}} ,$ et que chacun de ces facteurs ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (9 et 11).

2^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=-K} \,;$ on déterminera $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{5}}}\,;$ après quoi l’on déterminera les valeurs correspondantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions, que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre ${\frac {\mathrm {Q^{2}-K} }{4}},$ et que chacun d’eux ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (10 et 11).

13. Remarque I. — Si l’on avait $\mathrm {4BD-C^{2}} =0,$ alors $\mathrm {K}$ étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que $\mathrm {Q} =0,$ et ensuite on aurait aussi $\mathrm {PR} =0,$ de sorte que l’un des nombres $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {R}$ serait nul et l’autre serait tout ce qu’on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

se réduit à celle-ci

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }}\,;$

de sorte que, comme $2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$ peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.

14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que $at+bu$ et $ct+du,$ dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2) ; c’est ce qui arrive quand $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est égal à un nombre carré pris négativement ; car supposant

$\mathrm {4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

on a

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}={\frac {\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C+H} )u\right]\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C-H} )u\right]}{4\mathrm {B} }}.$

Or, quoique dans ce cas tout nombre puisse être un diviseur de la formule dont il s’agit, cependant si l’on cherche les formules des diviseurs

par le Problème précédent, on les trouvera comme dans les autres cas, de sorte qu’il en faudra conclure que ces formules renfermeront tous les nombres possibles.

Au reste, comme on a

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

il est clair que la formule générale des diviseurs

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2}$

sera aussi résoluble en deux formules rationnelles du premier degré.

15. Remarque III. — Il est remarquableque les formules des diviseurs ne dépendent que de la valeur de $\mathrm {K} ,$ c’est-à-dire du nombre $\mathrm {4BD-C^{2}} \,;$ mais il est facile d’en voir la raison en remarquant que la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

peut se réduire à

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}+\mathrm {\left(4BD-C^{2}\right)} u^{2}}{4\mathrm {B} }},$

de sorte que les diviseurs de la formule $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ peuvent étre regardés aussi comme diviseurs de cette formule plus simple

$x^{2}\pm \mathrm {K} u^{2}.$

Il résulte de là qu’il suffit de considérer les formules de cette dernière espèce ; et pour cela nous ajouterons encore le Problème suivant, qui peut être regardé comme un cas particulier du précédent, mais qui dans le fond a la même généralité.

Problème II.

16. Trouver toutes les formes possibles des diviseuts des nombres de la forme

$t^{2}\pm au^{2},$

$a$ étant un nombre quelconque positif donné, et $t$ et $u$ étant des nombres indéterminés premiers entre eux.

1^o Considérons la formule

$t^{2}+au^{2},$

et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =a\,;$

donc $\mathrm {K} =4a\,;$ donc $\mathrm {Q}$ devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que $\pm {\sqrt {\frac {4a}{3}}}\,;$ ainsi, faisant $\mathrm {Q} =\pm 2q$ et regardant $q$ comme positif, il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{3}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} ={\frac {4a+4q^{2}}{4}}=a+q^{2}\,;$

de sorte que si $p$ et $r$ dénotent deux facteurs de $a+q^{2},$ dont aucun ne soit moindre que $2q,$ on aura

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

pour la formule générale des diviseurs de $t^{2}+au^{2}.$

Il est bon de remarquer que comme $pr=a+q^{2},$ il faudra que $p$ et $r$ soient de même signe, et il est clair qu’il faudra les prendre positivement pour que la formule

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme cette formule ne change point de forme en y mettant $p$ à la place de $r,$ il ne sera pas nécessaire de prendre successivement pour $p$ chacun des facteurs de $a+q^{2},$ et pour $r$ tous les facteurs correspondants ; c’est pourquoi dans chaque couple de facteurs de $a+q^{2}$ il suffira de prendre toujours le plus petit pour $p,$ et le plus grand pour $r\,;$ et c’est ainsi que nous en userons dans la suite.

2^o Considérons maintenant la formule

$t^{2}-au^{2},$

et l’on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =-a,$

donc $\mathrm {K} =4a,$ comme ci-dessus ; c’est pourquoi on fera de même $\mathrm {Q} =\pm 2q,$ et il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{5}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} =q^{2}-a\,;$

de sorte que si l’on désigne par $p$ et $r$ deux facteurs de $a-q^{2}$ dont aucun ne soit plus petit que $2q,$ on aura

$\mathrm {P} =p,\quad \mathrm {R} =-r,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {P} =-p,\quad \mathrm {R} =r\,;$

ce qui donnera ces deux formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2},$

pour les diviseurs de $t^{2}-au^{2}\,;$ et l’on trouverait la même chose pour la formule $au^{2}-t^{2}.$

Quant aux nombres $p$ et $r,$ nous les prendrons tous les deux positifs, et nous supposerons toujours que $p$ soit le plus petit des deux facteurs de $a-q^{2},$ et $r$ le plus grand, comme nous l’avons dit plus haut ; car il est visible qu’en changeant les signes de $p$ et $r,$ ou mettant l’un de ces nombres à la place de l’autre, on n’aurait pas de nouvelles formules.

17. Corollaire. — Si l’on multiplie la formule

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$

par $p,$ elle pourra se mettre sous cette forme

$(py\pm qz)^{2}+\left(pr-q^{2}\right)z^{2},$

c’est-à-dire ${\big (}\!$ à cause de $pr=a+q^{2}{\big )}$ sous celle-ci

$(py\pm qz)^{2}+az^{2},$

qui est la même que celle de la formule $t^{2}+au^{2}.$ D’où il s’ensuit que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}$ sera aussi nécessairement de la même forme si $p$ n’a d’autres valeurs que l’unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

étant multipliées par $p$ deviendront, à cause de $pr=a-q^{2},$

$(py\pm qz)^{2}-az^{2},\quad -(py\pm qz)^{2}+az^{2}.$

De sorte que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}$ ou $au^{2}-t^{2}$ sera nécessairement de l’une ou de l’autre de ces deux formes si $p$ n’est que l’unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plus d’une.

théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$
$t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

18. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{3}}}$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+u^{2}$

sont nécessairement renfermés dans la formule

$y^{2}+z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal la somme de deux carrés est aussi la somme de deux carrés.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{3}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=2,$ donc

$p=1,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+2u^{2}$

sont renfermés dans la formule

$y^{2}+2z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal à la somme d’un carré et d’un double carré est aussi la somme d’un carré et d’un double carré.

III. Soit $a=3,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {3}{3}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=3,$ donc

$p=1,\quad r=3\,;$

ensuite faisant $q=1,$ on aura

$pr=3+1=4\,;$

donc, comme ni $p$ ni $r$ ne doivent être $<2q,$ on aura

$p=2,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+3u^{2}$

seront renfermés dans ces deux formules

$y^{2}+3z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+2z^{2}.$

Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu’à des nombres pairs, étant toute divisible par $2,$ il s’ensuit que tout diviseur impair de

$t^{2}+3u^{2}$

sera nécessairement renfermé dans la formule

$y^{2}+3z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur impair d’un nombre qui est la somme d’un

carré et d’un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d’un carré et d’un triple carré.

Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu’à des diviseurs pairs ; c’est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de $p$ et $r$ qui seraient paires à la fois.

IV. Soit $a=4,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {4}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=4\,;$ donc

$p=1,\quad r=4$

(car nous rejetons les valeurs $p=2,$ $r=2,$ parce qu’elles sont toutes deux paires) ; faisant $q=1$ on a $pr=5\,;$ donc

$p=1,\quad r=5,$

ce qui doit être rejeté à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+4u^{2}$

seront aussi de la forme

$y^{2}+4z^{2}$

V. Soit $a=5,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {5}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=5,$ donc

$p=2,\quad r=5,$

et faisant $q=1,$ on a $pr=6,$ donc

$p=2,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+5u^{2}$

sont nécessairement de l’une ou de l’autre de ces formes-ci

$y^{2}+5z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles sont toujours (17) de la forme $t^{2}+5u^{2}.$

VI. Soit $a=6,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {6}{3}}},$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=1,\quad r=6,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=3\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=7,$ donc

$p=1,\quad r=7,$

ce qui doit être rejeté parce que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+6u^{2}$

seront de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+6z^{2},\quad 2y^{2}+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront de la même forme $t^{2}+6u^{2}.$

VII. Soit $a=7,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {7}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=7\,;$ donc

$p=1,\quad q=7\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=2,\quad q=4\,;$

ce qui ne peut convenir qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+7u^{2}$

seront nécessairement aussi de la forme

$y^{2}+7z^{2}.$

VIII. Soit $a=8,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {8}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=1,\quad r=8\,;$

et l’on rejettera les valeurs $p=2,$ $r=4$ comme ne pouvant appartenir qu’à des diviseurs pairs ; faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=3,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+8u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+8z^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs triples, seront toujours de la même forme

$t^{2}+8u^{2}.$

IX. Soit $a=9,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {9}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=1,\quad r=9,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=3\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=2,\quad r=5.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+9u^{2}$

sont nécessairement de l’une de ces trois formes

$y^{2}+9z^{2},\quad 3y^{2}+3z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+5z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs doubles ou leurs triples, pourront toujours se rapporter à la même forme $t^{2}+9u^{2}.$

X. Soit $a=10,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {10}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=1,\quad r=10,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11,$

ce qui n’est point admissible à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+10u^{2}$

sont toujours de l’une de ces formes

$y^{2}+10z^{2},\quad 2y^{2}+5z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront nécessairement de la même forme

$t^{2}+10u^{2}.$

XI. Soit $a=11,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {11}{3}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11\,;$

faisant $q=1,$ on a $pr=12\,;$ donc

$p=3,\quad q=4\,;$

car les valeurs $p=2$ et $r=6$ sont à rejeter à cause qu’elles ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}+11u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+11z^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz+4z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront toujours de la même forme

$t^{2}+11u^{2}.$

XII. Soit $a=12,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {12}{3}}}=2\,;$ donc $q=0$ ou $=1$ ou $=2.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=12\,;$ donc

$p=1,\quad r=2,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=4,$

en rejetant les valeurs $p=2,$ $r=2,$ qui ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs ; faisant $q=1,$ on aura $pr=13\,;$ donc

$p=1,\quad r=13,$

ce qui doit être rejeté à cause que $p$ serait $<2q\,;$ faisant $q=2,$ on aura $pr=12+4=16\,;$ donc

$p=4,\quad r=4$

${\big (}\!$ car, à cause de $q=2,$ $p$ ne doit pas être $<4{\big )},$ ce qui doit être rejeté si l’on ne considère que les diviseurs impairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la formule

$t^{2}+12u^{2}$

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}+12z^{2},\quad 3y^{2}+4z^{2}\,;$

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront de la même forme

$t^{2}+12u^{2}.$

Nous n’étendrons pas ces Recherches plus loin, d’autant que les Exemples que nous venons de donner sont plus que suffisants pour montreur l’application de nos méthodes et pour mettre sur la voie ceux qui voudront en faire usage pour découvrirde nouveaux Théorèmes sur la forme des diviseurs des nombres $t^{2}+au_{2}.$

19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sont connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermat ; mais M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n’est d’ailleurs applicable qu’aux cas où le nombre $a$ ne surpasse pas $3\,;$ c’est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.

À l’égard des Théorèmes qu’il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblvble qu’il ne les a trouvés que par induction, d’autant qu’il n’en a fait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s’étendre à d’autres nombres qu’à ceux de la forme $t^{2}+u^{2},\ t^{2}+2u^{2}$ et $t^{2}+3u^{2}$ (tome VI, page 214).

Théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-au^{2}$
ou $au^{2}-t^{2},$ $t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

20. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{5}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-u^{2}$

sont de la forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre est réductible à cette forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

c’est ce qu’on sait d’ailleurs.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=2\,;$ donc

$p=1,\quad r=2\,;$

de sorte que les formes des diviseurs de

$t^{2}-2u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2u^{2}-t^{2}$

seront

$y^{2}-2z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2z^{2}-y^{2}\,;$

mais je remarque que ces deux formes reviennent à la même ; car faisant

$y=y'+2z',\quad z=y'+z'$

(ce qui donne $y'=2z-y$ et $z'=y-z,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'$), la formule $y^{2}-2z^{2}$ devient $2z'^{2}-y'^{2}.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-2u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 2u^{2}-t^{2}$

sont nécessairement de l’une et de l’autre de ces formes

$y^{2}-2z^{2},\quad 2z^{2}-y^{2}.$

III. Soit $a=3,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {3}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=3\,;$ donc

$p=1,\quad r=3.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-3u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 3u^{2}-t^{2}$

sont de l’une et de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-3z^{2},\quad 3z^{2}-y^{2}.$

IV. Soit $a=4,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {4}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=4\,;$ donc

$p=1,\quad r=4,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-4u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4u^{2}-t^{2}$

seront nécessairement renfermés dans les formule

$y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-2z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre quelconque sera de l’une de ces formes.

Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu’à des diviseurs pairs, telles que celle-ci $2y^{2}-2z^{2}\,;$ ainsi nous rejetterons dans la suite, comme-nous l’avons déjà fait plus haut, les valeurs de $p$ et de $r$ qui se trouveront paires en même temps.

V. Soit $a=5,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {5}{5}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=5\,;$ donc

$p=1,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aurait $pr=4\,;$ de sorte qu’à cause que $p$ et $r$ doivent n’être pas $<2q,$ on ne pourrait faire que

$p=2,\quad r=2\,;$

mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu’elles sont toutes deux paires ; ainsi l’on n’aura que ces deux formes de diviseurs

$y^{2}-5z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5z^{2}-y^{2},$

lesquelles se réduisent d’ailleurs à la même, comme on peut s’en convaincre en faisant

$y=2y'+5z'\quad {\text{et}}\quad z=y'+2z'$

(ce qui donnerait $z'=y-2z$ et $y'=5z-2y,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'$) dans la formule $y^{2}-5z^{2},$ laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci, $5z'^{2}-y'^{2}.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-5u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5u^{2}-t^{2},$

sont en même temps de chacune de ces deux formes

$y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-y^{2}.$

VI. Soit $a=6,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {6}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=1,\quad r=6,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=3\,;$

faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=5,$ ce qui ne donnerait que

$p=1,\quad r=5,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q\,;$ de sorte que les formules des diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-6u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 6u^{2}-t^{2}$

seront

$y^{2}-6z^{2}\quad 6z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-3z^{2},\quad 3z^{2}-2y^{2}.$

Mais j’observe que ces dernières se réduisent aux deux premières en faisant

$2y+3z=y',\quad y+z=z',$

ce qui donne

$y=3z'-y',\quad z=y'-2z',$

et par conséquent

$2y^{2}-3z^{2}=6z'^{2}-y'^{2},\quad 3z^{2}-2y^{2}=y'^{2}-6z'^{2}.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-6u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 6u^{2}-t^{2}$

seront toujours aussi de l’une ou de l’autre de ces formes.

VII. Soit $a=7,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {7}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=7\,;$ donc

$p=1,\quad r=7,$

et faisant $q=1,$ on aura $pr=6\,;$ donc

$p=2,\quad r=3\,;$

de sorte que les formules des diviseurs de

$t^{2}-7u^{2}$

seront

$y^{2}-7z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-7z^{2}$

et leurs inverses

$7z^{2}-y^{2},\quad 7z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

Mais je remarque ici que les deux premières de ces formules reviennent à la même, aussi bien que les deux dernières ; car faisant

$y=y'-2z'\quad {\text{et}}\quad \pm z=y'-3z'$

(ce qui donne $y'=3y\mp 2z$ et $z'=y\mp z,$ c’est-à-dire des nombres entiers pour $y'$ et $z'$), la formule

$2y^{2}\pm 2yz-3z^{2}$

deviendra

$y'^{2}-7z'^{2},$

et la formule

$3z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

deviendra de même

$7z'^{2}-y'^{2}.$

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-7u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 7u^{2}-t^{2}$

seront nécessairement aussi de la forme

$y^{2}-7z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 7z^{2}-y^{2}.$

VIII. Soit $a=8,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {8}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=8\,;$ donc

$p=1,\quad r=8\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=4\,;$

mais ces dernières valeurs peuvent être rejetées à cause qu’elles sont

toutes deux paires ; faisant ensuite $q=1,$ on aura $pr=7,$ ce qui ne donnerait que

$p=1\quad {\text{et}}\quad r=7,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-8u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 8u^{2}-t^{2},$

seront de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-8z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 8z^{2}-y^{2}.$

IX. Soit $a=9,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {9}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=1,\quad r=9,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=3\,;$

et faisant $q=1,$ on aura $pr=8,$ ce qui, à cause de $p$ non plus petit que $2q,$ donnerait

$p=2,\quad r=4,$

valeurs qu’on peut rejeter à cause qu’elles sont l’une et l’autre paires.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-9u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 9u^{2}-t^{2}$

seront toujours de quelqu’une de ces formes

$y^{2}-9z^{2},\quad 9z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}-3z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre quelconque impair sera réductible à l’une de ces formes.

X. Soit $a=10,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {10}{5}}}={\sqrt {2}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=10\,;$ donc

$p=1,\quad r=10,\quad {\text{ou}}\quad p=2,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=9\,;$ donc

$p=3,\quad r=3\,;$

de sorte que les formules des diviseurs de

$t^{2}-10u^{2}$

seront

$y^{2}-10z^{2},\quad 10z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-2y^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz-3z^{2}.$

Or je remarque d’abord que cette dernière formule peut se réduire à ces deux-ci

$2y'^{2}-5z'^{2},\quad 5z'^{2}-2y'^{2},$

en faisant

$\pm y=y'+z',\quad z=y'+2z'$

ou

$\pm y=y'+2z',\quad z=y'+z',$

ce qui donne toujours pour $y'$ et $z'$ des nombres entiers ; je remarque ensuite que les deux formules

$y^{2}-10z^{2},\quad 10z^{2}-y^{2}$

peuvent aussi se réduire à la même en faisant dans la première

$y=10z'+3y',\quad z=3z'+y',$

ce qui la transformera en $10z'^{2}-y'^{2}\,;$ et quant aux nombres $y'$ et $z'$ il est clair qu’ils seront toujours entiers, puisque l’on aura

$z'=y-3z,\quad y'=10z-3y.$

De là je conclus que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-10u^{2},\quad 10u^{2}-t^{2}$

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-10z^{2},\quad 2y^{2}-5z^{2},$

aussi bien que de celles-ci

$10z^{2}-y^{2},\quad 5z^{2}-2y^{2}.$

XI. Soit $a=11,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {11}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $q=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11\,;$

faisant $q=1,$ on a $pr=10\,;$ donc

$p=2,\quad r=5.$

De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-5z^{2},\quad 5z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières ; car en faisant

$\pm y=y'+4z',\quad z=y'+3z'$

(ce qui donne $z'=\pm y-z$ et $y'=4z\mp 3y,$ et par conséquent toujours des nombres entiers pour $y'$ et $z'$), la formule

$2y^{2}\pm 2yz-5z^{2}$

devient

$11z'^{2}-y'^{2},$

et la formule

$5z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

devient de même

$y'^{2}-11z'^{2}.$

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-11u^{2},\quad 11u^{2}-t^{2}$

sont toujours de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2}.$

XII. Soit $a=12,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {12}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=12\,;$ donc

$p=1,\quad r=12,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=4,$

en rejetant les valeurs paires $p=2$ et $r=6\,;$ faisant ensuite, $q=1,$ on aurait $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11,$

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que $p$ serait $<2q\,;$ ainsi l’on n’aura que ces formules

$y^{2}-12z^{2},\quad 12z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-3y^{2},$

sur lesquelles je remarque que les deux dernières sont réductibles aux deux premières, en faisant

$y=4y'+z'\quad {\text{et}}\quad z=3y'+z',$

ce qui donne $y'=y-z$ et $z'=4z-3y,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'.$

D’où l’on peut conclure que les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-12u^{2},\quad 12u^{2}-t^{2},$

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

$y^{2}-12z^{2},\quad 12z^{2}-y^{2},$

aussi bien que de ces deux-ci

$3y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-3y^{2}.$

21. Remarque. — Telle est la méthode qu’il faudra suivre pour trouver les formules des diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-au^{2},\quad au^{2}-t^{2},$

en donnant à $a$ des valeurs quelconques au delà de $12\,;$ cette méthode est, comme on voit, d’un usage très-facile et très-simple ; mais elle paraît sujette à une espèce d’inconvénient, c’est qu’elle donne quelquefois plus de formules qu’il n’en faut pour représenter tous les diviseurs des nombres d’une forme donnée ; de sorte qu’il arrive que quelques-unes de ces formules reviennent à la même, comme nous l’avons vu dans les Exemples précédents. Pour y remédier il faudrait donc avoir une règle

générale par laquelle on pût reconnaître facilement les formules qui sont identiques entre elles : c’est ce que nous allons examiner, avec toute la généralité dont la matière est susceptible ; et comme il n’est pas démontré jusqu’ici que cette identité de formules ne puisse avoir lieu dans les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$ quoique les différents cas du n^o 18 n’en fournissent aucun exemple, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, nous considérerons également les formules de l’une et de l’autre espèce.

Problème III.

22. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés et $p,q,r$ sont des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr-q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ absfraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre de la même espèce et qui soit assujettie aux même conditions.

Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu’on ne saurait employer d’autres substitutions que celles-ci

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

$s$ et $x$ étant deux nouvelles indéterminées, et $\mathrm {M,N} ,m,n$ des nombres arbitraires. En effet ces substitutions donneront une transformée de cette forme

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx+\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m+rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)+rmn,\\\mathrm {R} =&p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},\end{aligned}}$

et il ne s’agira que de voir si l’on peut déterminer les nombres $\mathrm {M,N} ,m,n,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {PR-Q^{2}} =a,$

et que $2\mathrm {Q}$ ne soit ni $>\mathrm {P}$ ni $>\mathrm {R} .$

Pour satisfaire à la première condition je substitue dans la quantité $\mathrm {PR-Q^{2}}$ les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,$ et je trouve, en effaçant ce qui se détruit,

$\mathrm {PR-Q^{2}} =\left(pr-q^{2}\right)(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}\,;$

mais (hypothèse)

$pr-q^{2}=a,$

donc, pour que $\mathrm {PR-Q^{2}}$ soit aussi égal à $a,$ il faudra que l’on ait

$(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=1,$

et par conséquent

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1.$

À l’égard de la seconde condition, il est clair qu’elle ne saurait avoir lieu à moins que $\mathrm {Q}$ ne soit en même temps $<\mathrm {P}$ et $<\mathrm {R} \,;$ ainsi nous supposerons que $\mathrm {Q}$ soit en effet $<\mathrm {P}$ et $<\mathrm {R} ,$ et nous allons voir ce qui doit s’ensuivre.

Soit $\mathrm {M>N}$ (le raisonnement serait le même si $\mathrm {N}$ était $>\mathrm {M} ,$ en prenant seulement $\mathrm {N}$ à la place de $\mathrm {M}$), il est clair qu’on peut faire

$\mathrm {M=\mu N+M'} ,$

et qu’on peut prendre $\mu$ tel que $\mathrm {M} '$ devienne moindre que $\mathrm {N} \,;$ car il n’y a qu’à prendre pour $\mu$ le quotient de la division de $\mathrm {M}$ par $\mathrm {N} ,$ et $\mathrm {M} '$ sera le reste ; de plus il est facile de voir qu’on peut toujours supposer que $\mu$ ne soit pas moindre que $2\,;$ car si l’on trouvait $\mu =1,$ en sorte que $\mathrm {M=N+M'} ,$ on pourrait faire

$\mathrm {M=2N-(N-M')} ,$

c’est-à-dire prendre $\mu =2$ et $\mathrm {N-M'}$ à la place de $\mathrm {M} '.$ Or si l’on suppose aussi, ce qui est permis,

$m=\mu n+m',$

$m'$ étant un nombre quelconque, et qu’on substitue ces valeurs de $\mathrm {M}$ et

de $m$ dans l’expression de $\mathrm {Q} ,$ elle deviendra

$\mathrm {Q} =\mu \left(p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2}\right)+p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {Q} '=p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,$

on aura

$\mathrm {Q=\mu R+Q'} .$

Or il faut que $\mathrm {Q}$ soit $<\mathrm {R} \,;$ donc, puisque $\mu$ est $=$ ou $>2,$ il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités $\mu \mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} '$ ne soient de signes différents et que $\mathrm {Q} '$ ne soit en même temps $>\mathrm {R} ,$ abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

$y=(\mu \mathrm {N+M'} )s+\mathrm {N} x,\quad z=(\mu n+m')s+nx\,;$

de sorte que si l’on fait

$x'=\mu s+x,$

on aura

$y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',$

et la substitution de ces valeurs dans la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2}$

donnera la nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'+\mathrm {R} x'^{2},$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,\end{aligned}}$

et

$\mathrm {R} \ =p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},$

comme plus haut.

Or à cause de

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,$

on aura

$(\mu \mathrm {N+M'} )n-\mathrm {N} (\mu n+m')=\pm 1,$

ei par conséquent

$\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1.$

On trouvera aussi

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =\left(pr-q^{2}\right)(\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m')^{2},$

et par conséquent

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =a.$

De sorte que, comme $a$ est positif et que $\mathrm {Q} '$ est $>\mathrm {R} ,$ il faudra que $\mathrm {P} '$ soit $>\mathrm {Q} '\,;$ ainsi la transformée précédente sera telle, que $\mathrm {Q} '$ sera $>\mathrm {R}$ et $<\mathrm {P} '.$

De la même manière, à cause que $\mathrm {N}$ est $>\mathrm {M} ',$ on pourra supposer

$\mathrm {N=\mu 'M'+N'} ,$

et prendre $\mu '$ en sorte qu’il ne soit pas $<2$ et que $\mathrm {N} '$ soit $<\mathrm {M} '\,;$ et faisant ensuite

$n=\mu 'm'+n',\quad s'=\mu 'x'+s,$

en sorte que l’on ait

$y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x',$

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'+\mathrm {R} 'x'^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')+rm'n',\\\mathrm {R} '=&p\mathrm {N} '^{2}+2q\mathrm {N} 'n'+rn'^{2},\end{aligned}}$

et où l’on aura aussi

${\begin{aligned}&\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,\\&\mathrm {Q'=\mu 'P'+Q''} ,\\&\mathrm {P'R'-Q''^{2}} =a,\end{aligned}}$

en sorte que $\mathrm {Q} ''$ sera $>\mathrm {P} '$ et $<\mathrm {R} ',$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P',R'}$ et $\mathrm {Q} ''.$

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

$\mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x''+\mathrm {R} 'x''^{2},$

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

$\mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots$

forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que $\mathrm {N} '$ soit ce terme, en sorte que l’on ait $\mathrm {N} '=0\,;$ donc à cause de

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1$

on aura

$\mathrm {M} 'n'=\pm 1\,;$

donc

$\mathrm {M} '=\pm 1\quad {\text{et}}\quad n'=\pm 1,$

donc

$\mathrm {P} '=p\pm 2qm'+rm'^{2},\quad \mathrm {Q} ''=\pm q\pm rm',\quad \mathrm {R} '=r,$

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

1^o Que l’on ait $\mathrm {Q''<R'} ,$ abstraction faite des signes de ces nombres ; mais $\mathrm {R} '=r$ et $q<r,$ à cause de $2q$ non plus grand que $r$ (hypothèse), donc $\mathrm {Q} ''$ ne pourra être $<\mathrm {R} ',\ <r$ à moins que $m'$ ne soit égal à zéro ou égal à $\pm 1.$

2^o Que $\mathrm {Q} ''$ soit en même temps $>\mathrm {P} '\,;$ or si $m'=0,$ on a

$\mathrm {Q} ''=\pm q,\quad \mathrm {P} '=p\,;$

de sorte qu’à cause de $2q$ non plus grand que $p$ (hypothèse), $\mathrm {Q} ''$ sera toujours $<\mathrm {P} '$ au lieu d’être plus grand ; si $m'=\pm 1,$ on aura

$\mathrm {P} '=p\pm 2q+r,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} ''=q\pm r\,;$

mais on suppose que $\mathrm {Q} ''$ soit $<r\,;$ donc, pour que $\mathrm {Q} ''$ soit $>\mathrm {P} ',$ il faudrait que $r$ pût être $>p\pm 2q+r,$ ce qui ne se peut à cause que $2q$ n’est jamais $>p,$ et que d’ailleurs $p$ et $r$ doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation

$pr-q^{2}=$ un nombre positif.

De là je conclus qu’il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu ; de sorte que si l’on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement diflérentes entre elles, et qu’elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.

23. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés, et $p,q,r$ des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr+q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ abstraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.

Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

on aura la transformée

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m-rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)-rmn,\\\mathrm {R} =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N} ^{2}\,;\end{aligned}}$

ainsi la difficulté consiste à déterminer, s’il est possible, les nombres $\mathrm {M,N} ,m,n,$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {PR+Q^{2}} =a,$

et qu’en même temps ni $\mathrm {P}$ ni $\mathrm {R}$ ne soient $<2\mathrm {Q} ,$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P,Q}$ et $\mathrm {R} .$

Je remarque d’abord que la quantité $\mathrm {PR+Q^{2}}$ devient, en mettant à la place de $\mathrm {P,Q}$ et $\mathrm {R}$ leurs valeurs,

$\left(pr+q^{2}\right)(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=a(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}\,;$

donc il faudra qu’on ait comme dans le Problème précédent

$(\mathrm {M} n-\mathrm {N} m)^{2}=1,$

et par conséquent

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1.$

Comme $\mathrm {M,N} ,m,n$ sont supposés des nombres entiers, il est clair que cette équation ne saurait subsister à moins que les produits $\mathrm {M} n$ et $\mathrm {N} m$ ne soient de mêmes signes ; de sorte que si $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont de mêmes signes, il faudra que $m$ et $n$ en soient aussi.

Or, puisqu’on peut donner aux nombres indéterminés $s$ et $x$ tels signes que l’on veut, il est évident qu’on peut, sans nuire à la généralité du Problème, prendre toujours les nombres $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ positifs ; et alors il faudra prendre les nombres $m$ et $n$ de mêmes signes, c’est-à-dire tous les deux positifs ou tous les deux négatifs ; ainsi il n’y aura qu’à mettre $\pm m$ et $\pm n$ à la place de $m$ et $n,$ ou, ce qui revient au même, il n’y aura qu’à donner le signe ambigu $\pm$ à la quantité $q,$ c’est-à-dire prendre la valeur de cette quantité en plus et en moins ; moyennant quoi on pourra regarder les quatre nombres $\mathrm {M,N} ,m,n$ comme positifs.

Maintenant il est clair que si $2\mathrm {Q}$ n’est ni $>\mathrm {P}$ ni $>\mathrm {R} ,$ comme on le suppose, $\mathrm {Q} ^{2}$ sera toujours moindre que $\mathrm {PR} ,$ de sorte que $\mathrm {PR+Q^{2}}$ ne pourra être égal à un nombre positif, à moins que $\mathrm {PR}$ ne soit un nombre positif ; d’où il s’ensuit qu’il faut nécessairement que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient de même signe ; et cette condition suffit, comme nous l’allons voir, pour faire trouver les nombres $\mathrm {M,N} ,m,n.$

Pour cela j’observe qu’à cause de

$pr+q^{2}=a,$

la quantité $\mathrm {P}$ peut se mettre sous cette forme

$\mathrm {P} =p\left(\mathrm {M} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}m\right)\left(\mathrm {M} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}m\right),$

et la quantité $\mathrm {R}$ sous celle-ci

$\mathrm {R} =-p\left(\mathrm {N} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}n\right)\left(\mathrm {N} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}n\right).$

Or, comme ${\sqrt {a}}$ est $>q,$ il est clair que la quantité $q+{\sqrt {a}}$ sera toujours positive, et la quantité $q-{\sqrt {a}}$ toujours négative ; de sorte que les deux quantités

${\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}},\quad {\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}$

seront nécessairement de signes différents. Nommant donc $\alpha$ celle de ces deux quantités qui sera positive, et $-\beta$ celle qui sera négative ($\alpha$ et $\beta$ dénotant des nombres positifs), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p(\mathrm {M} +\alpha m)(\mathrm {M} -\beta m),\\\mathrm {R} =&-p(\mathrm {N} +\alpha n)(\mathrm {N} -\beta n).\end{aligned}}$

D’où l’on voit que, pour que les nombres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient de mêmes signes, il faut que les facteurs $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {N} -\beta n$ soient de signes différents, parce que les facteurs $\mathrm {M} +\alpha m$ et $\mathrm {N} +\alpha n$ sont tous les deux positifs.

Cela posé, soit $\mathrm {M>N} ,$ on pourra faire

$\mathrm {M=\mu N+M'} ,$

et prendre pour $\mu$ un nombre entier positif tel, que $\mathrm {M} '$ soit aussi positif et moindre que $\mathrm {N} \,;$ car pour cela il n’y aura qu’à diviser $\mathrm {M}$ par $\mathrm {N} ,$ et faire le quotient égal à $\mu$ et le reste égal à $\mathrm {M} '.$ Qu’on fasse de même

$m=\mu n+m',$

$m'$ étant un nombre quelconque, et substituant ces valeurs dans l’équation

$\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,$

on aura celle-ci

$\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1,$

d’où l’on voit qu’à cause de $\mathrm {M',N}$ et $n$ positifs, il faudra que $m'$ soit aussi un nombre positif.

Or les valeurs de $y$ et de $z$ deviendront par ces mêmes substitutions

$y=(\mu s+x)\mathrm {N+M'} s,\quad z=(\mu s+x)n+m's,$

ou bien, en faisant comme plus haut $x'=\mu s+x,$

$y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',$

et, ces valeurs étant substituées dans la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

on aura la transformée

$\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'-\mathrm {R} x'^{2},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'-rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')-rm'n,\\\mathrm {R} \ =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N} ^{2}.\end{aligned}}$

Et je dis que les nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R}$ seront nécessairement de mêmes signes ; car on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p(\mathrm {M} '+\alpha m')(\mathrm {M} '-\beta m'),\\\mathrm {R} \ =&-p(\mathrm {N} +\alpha n)(\mathrm {N} -\beta n)\,;\end{aligned}}$

or

$\mathrm {\mathrm {M} } -\beta m=\mu (\mathrm {\mathrm {N} } -\beta n)+\mathrm {\mathrm {M} } '-\beta m'\,;$

donc, comme $\mu$ est un nombre positif et que $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {N} -\beta n$ sont de signes différents, il faudra, pour que cette équation puisse subsister, que les quantités $\mathrm {M} -\beta m$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ soient de mêmes signes, et par conséquent que $\mathrm {N} -\beta n$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ soient de signes différents ; mais $\mathrm {N} +\alpha n$ et $\mathrm {M} '-\beta m'$ sont des quantités positives, $\mathrm {N} ,n,\mathrm {M} ',m'$ et $\alpha$ étant

des nombres positifs ; donc les deux nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R}$ seront nécessairement de même signe.

De même, puisque $\mathrm {N>M'} ,$ on pourra supposer

$\mathrm {N=\mu 'M'+N'}$

et prendre $\mu '$ positif et tel, que $\mathrm {N} '$ soit aussi positif et moindre que $\mathrm {M} '\,;$ et faisant

$n=\mu 'm'+n',$

on aura (en substituant ces valeurs dans l’équation $\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1$)

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,$

de sorte que $n'$ sera nécessairement aussi positif.

Ensuite, si l’on fait

$s'=\mu 'x'+s,$

on aura

$y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x'\,;$

et, substituant ces valeurs dans la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

on aura cette autre transformée

$\mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'-\mathrm {R} 'x'^{2},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {P} '\ =&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'-rm'^{2},\\\mathrm {Q} ''=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')-rm'n',\\\mathrm {R} '\ =&rn'^{2}-q\mathrm {N} 'n'-p\mathrm {N} '^{2}.\end{aligned}}$

Et l’on prouvera, comme on a fait plus haut, que les nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ seront de mêmes signes.

On pourra trouver pareillement une troisième transformée telle que

$\mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} '''s'x''-\mathrm {R} 'x''^{2},$

dans laquelle

$x''=\mu ''s'+x',$

et où $\mathrm {P} ''$ et $\mathrm {R} '$ seront de mêmes signes, et ainsi de suite.

Maintenant, comme les nombres

$\mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots$

forment une suite décroissante de nombres entiers, il est clair qu’on doit parvenir nécessairement à un terme qui soit nul. Supposons donc, par exemple, que l’on ait $\mathrm {N} '=0,$ et à cause de

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,$

on aura

$\mathrm {M} 'n'=1$

(car, à cause que les nombres $\mathrm {M} '$ et $n'$ sont tous deux positifs, il est évident qu’il faut prendre dans ce cas le signe supérieur), donc

$\mathrm {M} '=1\quad {\text{et}}\quad n'=1\,;$

de sorte qu’on aura dans ce cas

$y=s',\quad z=m's'+x'.$

D’où je conclus que, pour transformer la formule proposée

$py^{2}+2qyz-rz^{2}$

en celle-ci

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle on ait

$\mathrm {PR+Q^{2}} =pr+q^{2}=a,$

et où $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient de mêmes signes, il faut faire les substitutions suivantes

$z=m'y+x',\quad y=\mu 'x'+s,\quad x'=\mu s+x,$

et prendre les nombres $m',\mu '$ et $\mu$ positifs et tels, que dans les transformées résultantes

${\begin{aligned}&\mathrm {P} 'y^{2}+2\mathrm {Q} ''yx'-\mathrm {R} 'x'^{2},\\&\mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} '\ sx'-\mathrm {R} \ x'^{2},\\&\mathrm {P} \,\ s^{2}+2\mathrm {Q} \ \ sx\ -\mathrm {R} \ x^{2},\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {R',P',R}$ et $\mathrm {P}$ soient tous de mêmes signes.

Voyons donc comment on pourra remplir ces conditions.

En faisant d’abord la substitution de $m'y+x'$ à la place de $z,$ on aura la première transformée, où

${\begin{aligned}\mathrm {R} '\ =&r,\\\mathrm {Q} ''=&q-rm',\\\mathrm {P} '\ =&p+2qm'-rm'^{2}={\frac {a-\mathrm {Q} ''^{2}}{\mathrm {R} '}}.\end{aligned}}$

Or

$\mathrm {P} '=-r\left(m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}\right)\left(m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\right)\,;$

donc, pour que $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ soient de mêmes signes, il faudra que les facteurs

$m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}},\quad m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$

soient de signes différents ; mais, à cause de ${\sqrt {a}}>q,$ il est clair que ${\sqrt {a}}\pm q$ sera toujours un nombre positif ; donc, si $r$ est positif, $m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}$ sera toujours positif, et il faudra que $m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$ soit négatif, et par conséquent que

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\,;$

si au contraire $r$ est négatif, $m'-{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}$ sera positif, et il faudra que $m'+{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r}}$ soit négatif, donc

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}}.$

Substituons ensuite $\mu 'x'+s$ à la place de $y,$ et l’on aura la seconde transformée, dans laquelle

${\begin{aligned}&\mathrm {Q'=Q''+P'} \mu ',\\&\mathrm {R\ =R'-2Q''\mu '-P'} \mu '^{2}={\frac {a-\mathrm {Q} '^{2}}{\mathrm {P} '}}\end{aligned}}$

J’observe que

$\mathrm {R} =-\mathrm {P} '\left(\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\right)\left(\mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\right),$

de sorte que pour que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} '$ soient de mêmes signes il faut que les deux facteurs

$\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\quad \mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$

soient de signes différents ; or comme

$\mathrm {P'R'} =a-\mathrm {Q} ''^{2}$

($\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ étant de mêmes signes), il s’ensuit que $\mathrm {Q} ''^{2}$ sera plus petit que $a,$ et par conséquent $\mathrm {Q} ''<{\sqrt {a}},$ de sorte que ${\sqrt {a}}\pm \mathrm {Q} ''$ sera toujours un nombre positif ; donc, si $\mathrm {P} '$ est positif, $\mu '+{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ sera positif, et il faudra que $\mu '-{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ soit négatif ; donc

$\mu '<{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}\,;$

mais, $\mu '$ devant être un nombre entier, il faudra que ${\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}$ soit plus grand que l’unité ; donc $\mathrm {P} '<{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''\,;$ donc, à cause de

$\mathrm {P'R'} =a-\mathrm {Q} ''^{2}=\left({\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''\right)\left({\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''\right),$

il faudra que $\mathrm {R} '$ soit plus grand que ${\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '',$ c’est-à-dire

$r>{\sqrt {a}}+q-rm',$

et par conséquent

$(m'+1)r>{\sqrt {a}}+q,$

et de là

$m'>{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}-1.$

Or $\mathrm {P} '$ doit être positif lorsque $r$ est positif, auquel cas on a déjà trouvé $m'<{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}\,;$ donc on aura dans ce cas

${\begin{alignedat}{2}m'<&{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}},&m'>{\frac {{\sqrt {a}}+q}{r}}-1,\\\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}.\end{alignedat}}$

On trouvera de même, pour le cas de $r$ négatif,

${\begin{alignedat}{2}m'<&{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}},\qquad &m'>{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}}-1,\\\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}.\end{alignedat}}$

D’où l’on voit que le nombre $m',$ devant être entier, sera nécessairement déterminé, puisque les deux limites entre lesquelles il doit se trouver ne diffèrent que de l’unité.

Enfin on substituera $\mu s+x$ à la place de $x',$ et l’on aura la troisième transformée dans laquelle

${\begin{aligned}&\mathrm {Q=Q'-R} \mu ,\\&\mathrm {R=P'+2Q'\mu -R\mu ^{2}} ={\frac {a-\mathrm {Q} ^{2}}{\mathrm {R} }}.\end{aligned}}$

Et, en faisant attention que

$\mathrm {P} =-\mathrm {R} \left(\mu +{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)\left(\mu -{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)$

(à cause de $\mathrm {RP} '=a-\mathrm {Q} '^{2}$), on prouvera comme ci-dessus que, dans le cas de $r$ positif, on aura

${\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }},\end{alignedat}}$

et dans le cas de $r$ négatif

${\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}.\end{alignedat}}$

De sorte que le nombre $\mu '$ sera aussi déterminé, et qu’il n’y aura d’indéterminé que le nombre $\mu .$

Or, si l’on veut de plus que $2\mathrm {Q}$ ne soit ni plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ comme les conditions du Problème l’exigent, il faudra d’abord déterminer $\mu$ en sorte que $\mathrm {Q=Q'-\mu R}$ ne soit pas plus grand que ${\frac {\mathrm {R} }{2}},$ abstraction faite des signes de $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} \,;$ et il est clair que prenant pour $\mu$ un nombre entier positif, il n’y aura qu’une seule valeur de $\mu$ qui puisse satisfaire à cette condition ; de sorte que le nombre $\mu$ sera par ce moyen entièrement déterminé. Ainsi il ne restera plus qu’à voir si $\mathrm {Q}$ est aussi $<{\frac {\mathrm {P} }{2}}\,;$ auquel cas la transformée

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2}$

aura les conditions requises.

On voit par là comment on peut résoudre la question proposée sans aucun tâtonnement, et voici la méthode qu’il faut suivre pour cet objet.

méthode pour transformer la formule $py^{2}+2qyz-rz^{2},$ dans laquelle on a $pr+q^{2}=a$ ($a$ étant nombre entier positif donné) et où $2q$ n’est ni $>p$ ni $>r$ (abstraction faite des signes de $p,q,r$), en d’autres formules semblables assujetties aux mêmes conditions.

24. Nous changerons d’abord, pour mieux conserver l’analogie dans nos formules, les lettres $z$ et $p$ en $y'$ et $r'\,;$ de sorte que notre formule deviendra

$r'y^{2}+2qyy'-ry'^{2},$

où

$rr'+q^{2}=a\quad {\text{et}}\quad q\ {\text{non}}>{\frac {r}{2}}\ {\text{ni}}>{\frac {r'}{2}}.$

Maintenant, comme $r$ et $r'$ doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation $r'r+q^{2}=a,$ nous les supposerons d’abord tous les deux positifs mais $q$ pourra être positif ou négatif, et devra même être pris successivement en plus et en moins. Cela posé

1^o On fera

$y=m'y'+y'',$

ce qui donnera cette première transformée

$r'y''^{2}+2q'y''y'-r''y'^{2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}q'=&q+r'm',\\r''=&r-2qm'-r'm'^{2}={\frac {a-q'^{2}}{r'}}.\end{aligned}}$

On prendra, s’il est possible, pour $m'$ un nombre entier positif, tel que $q+r'm'$ ne soit pas $>{\frac {r'}{2}}\,;$ ensuite on verra si $r''$ est $>q'$ ou non, et dans ce dernier cas la transformée trouvée aura les conditions requises.

2^o On déterminera $m'$ en sorte que

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r'}},\quad m'>{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r'}}-1.$

Ensuite on fera

$y'=m''y''+y''',$

ce qui donnera cette seconde transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

en faisant

${\begin{aligned}q''\ =&q'-r''m'',\\r'''=&r'+2q'm''-r''m''^{2}={\frac {a-q''^{2}}{r''}}.\end{aligned}}$

On prendra $m''$ entier positif et tel que $q'-r''m''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}\,;$ et si en même temps $q''$ ne surpasse pas ${\frac {r'''}{2}}$ la transformée précédente aura les conditions requises.

3^o On déterminera $m''$ en sorte que

$m''<{\frac {{\sqrt {a}}+q'}{r''}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {a}}+q'}{r''}}-1.$

Ensuite on fera

$y''=m'''y'''+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et l’on aura cette troisième transformée

$r'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''^{2},$

dans laquelle

${\begin{aligned}q'''=&q''+r'''m''',\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r''-2q''m'''-r'''m'''^{2}={\frac {a-q'''^{2}}{r'''}}.\end{aligned}}$

On prendra pour $m'''$ un nombre entier positif et tel que $q''+r'''m'''$ ne soit pas $>{\frac {r'''}{2}},$ et si la valeur de $q'''$ n’est pas en même temps $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},$ on sera assuré que la transformée trouvée aura les conditions requises.

4^o On déterminera $m'''$ en sorte que

$m'''<{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}}-1.$

Ensuite on fera

$y'''=m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$

ce qui donnera la quatrième transformée

$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},$

où

${\begin{aligned}q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&q'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&r'''+2q'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}={\frac {a-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.\end{aligned}}$

On prendra $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ tel que $q'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ ne soit pas $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},$ et si $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ n’est pas en même temps $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{2}}$ la transformée aura les conditions requises.

5^o On déterminera $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots .$

De cette manière on trouvera successivement toutes les transformées de la formule proposée, dans lesquelles les conditions prescrites pourront avoir lieu ; et il est clair que le nombre des tranformées différentes sera nécessairement limité ; car nous avons vu dans le Problème II qu’il ne peut y avoir qu’un nombre limité de formules différentes où les mêmes conditions soient observées.

Mais, pour avoir toutes les différentes transformées possibles d’une même formule, il faudra faire un double calcul en prenant la valeur de $q$ successivement en plus et en moins.

Si les nombres $r$ et $r',$ au lieu d’être tous deux positifs, comme nous l’avons supposé, étaient tous deux négatifs, il n’y aurait qu’à changer les signes de ces nombres aussi bien que celui du nombre $q,$ c’est-à-dire qu’on prendrait la formule

$r'y^{2}+2qyy'-ry'^{2}$

négativement ; et ensuite on changerait de même tous les signes des transformées qu’on aurait trouvées. Ou bien, ce qui est encore plus simple, on écrira $-r$ à la place de $r',$ $-r'$ à la place de $r,$ et $y'$ à la place de $y,$ ce qui donnera la formule

$-ry'^{2}+2qyy'+r'y^{2}$

où $r$ et $r'$ seront des nombres positifs.

25. Corollaire. — Il suit de l’analyse du Problème précédent que les nombres $r,r',r'',r''',\ldots$ seront tous de mêmes signes et tels que

$a=rr'+q^{2}=r'r''+q'^{2}=r''r'''+q''^{2}=\ldots \,;$

ainsi chacun de ces nombres sera moindre que le nombre donne $a,$ par conséquent en continuant la série $r,r',r'',\ldots$ il faudra nécessairement que le même nombre revienne plusieurs fois, et même que la même couple de deux nombres successifs revienne aussi ; donc, en continuant le calcul, suivant la méthode précédente, on retrouvera nécessairement une transformée identique avec quelqu’une de celles qu’on aura déjà eues ; c’est ce qu’on reconnaîtra aisément lorsqu’on trouvera, par exemple,

$q^{(\mu +\nu )}=q^{(\mu )},\quad r^{(\mu +\nu +1)}=r^{(\mu +1)},$

et que $\nu$ sera un nombre pair ; alors il sera inutile de pousser le calcul plus loin, parce que les transformées suivantes seraient les mêmes qu’on aurait déjà trouvées.

Donc, dès qu’on aura trouvé par le Problème II toutes les différentes formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$

qui peuvent représenter les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-au^{2},$

on pourra les réduire au plus petit nombre possible en excluant celles qui ne sont que des transformées de quelques-unes de ces formules. Ainsi, comme la formule $y^{2}-az^{2}$ est toujours une de celles des diviseurs de $t^{2}-au^{2}$ (en faisant $q=0$ et $p=1,\ r=a$), on commencera par chercher toutes les transformées de cette même formule, où les propriétés prescrites pourront avoir lieu, et comme ces transformées se trouveront nécessairement parmi les autres formules des diviseurs de $t^{2}-au^{2}$ on pourra d’abord les rejeter comme étant identiques entre elles. Ensuite on fera la même opération sur les formules qui resteront ; et après les avoir parcourues toutes, rejeté celles qui se trouveront identiques entre elles, on sera sûr que les restantes seront toutes différentes entre elles, et qu’elles seront en même temps toutes nécessaires pour représenter tous les diviseurs possibles des nombres de la forme donnée.

Au reste il arrivera le plus souvent que les transformées de la formule $y^{2}-az^{2}$ renfermeront toutes les autres formules des diviseurs de $t^{2}-au^{2},$ surtout lorsque $a$ est un nombre premier ; mais on aurait tort d’en faire une règle générale ; car nous apporterons des Exemples où elle se trouverait en défaut : ce qui servira en même temps à montrer l’utilité et l’importance des méthodes que nous venons de donner.

Exemples.

26. Soit proposée la formule

$y^{2}-2z^{2}\,;$

donc

$r'=1,\quad q=0,\quad r=2=a\,;$

ainsi l’on aura

$q'=m',\quad r''={\frac {2-q'^{2}}{1}}\,;$

or il est clair qu’on ne peut rendre $q'<r'<1\,;$ ainsi l’on passera à une seconde transformée.

Pour cela, on prendra donc

$m'<{\frac {\sqrt {2}}{1}},\quad m'>{\frac {\sqrt {2}}{1}}-1,$

c’est-à-dire $m'=1,$ ce qui donnera

$q'=1,\quad r''={\frac {2-1}{1}}=1\,;$

ensuite on aura

$q''=q'-r''m''=1-m'',\quad r'''={\frac {2-q''^{2}}{1}}\,;$

or, pour que $q''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}>{\frac {1}{2}},$ il faut prendre $m''=1,$ ce qui donne

$q''=0,\quad r'''=2\,;$

de sorte que, comme $q''$ est en même temps non $>{\frac {r''}{2}},$ on aura la transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

c’est-à-dire

$2y''^{2}-y'''^{2},$

qui aura les conditions requises ; or cette transformée est semblable à la formule

$2z^{2}-y^{2},$

de sorte que les deux formule

$y^{2}-2z^{2}\quad {\text{et}}\quad 2z^{2}-y^{2},$

que notre méthode générale donne pour les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-2u^{2},$ reviennent à la même, comme nous l’avons déjà remarqué (20, II).

On trouvera, de même, que les deux formules

$y^{2}-5z^{2}\quad {\text{et}}\quad 5z^{2}-y^{2}$

reviennent à la même, comme on l’a observé dans le numéro cité, V.

Considérons, pour donner un autre Exemple, le cas du n^o 20, VII, où nous avons trouvé que les formules des diviseurs de

$t^{2}-7u^{2}$

étaient

$y^{2}-7z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-3z^{2},\quad 7z^{2}-y^{2},\quad 3z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

1^o Soit donc

$r'=1,\quad q=0,\quad r=7=a\,;$

on aura

$q'=m',\quad r''={\frac {7-q'^{2}}{1}},$

où l’on voit que $q'$ ne saurait devenir $<{\frac {r'}{2}}<{\frac {1}{2}}.$

2^o On prendra donc

$m'<{\frac {\sqrt {7}}{1}},\quad m'>{\frac {\sqrt {7}}{1}}-1,$

donc

$m'=2,\quad q'=2,\quad r''=3\,;$

de là on aura donc

$q''=2-3m'',\quad r'''={\frac {7-q''^{2}}{3}},$

et pour que $q''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}>{\frac {3}{2}}$ il faudra faire $m''=1,$ ce qui donnera

$q''=-1,\quad r'''=2\,;$

de sorte que, comme $q''$ est en même temps non $>{\frac {r'''}{2}},$ la transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

c’est-à-dire

$2y''^{2}-2y''y'''-3y'''^{2},$

aura les conditions requises.

3^o On prendra

$m''<{\frac {{\sqrt {7}}+2}{3}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {7}}+2}{3}}-1\,;$

donc $m''=1\,;$ d’où

$q''=-1,\quad r'''=2\,;$

ensuite de quoi on aura

$q'''=-1+2m''',\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {7-q'''^{2}}{2}}\,;$

donc, pour que $q'''$ ne soit pas $>{\frac {r'''}{2}},$ il faudra prendre $m'''=1,$ ce qui donnera

$q'''=1,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=3\,;$

de là on aura la nouvelle transformée

$2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-3y'''^{2},$

qui aura aussi les conditions requises.

4^o On fera

$m'''<{\frac {{\sqrt {7}}+1}{2}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {7}}+1}{2}}-1\,;$

donc $m'''=1,$ et de là

$q'''=1,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=3\,;$

ensuite on aura

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1-3m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {7-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{3}}\,;$

où l’on voit qu’on ne saurait prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ en sorte que $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ ne devienne pas $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}}.$

5^o On fera

$m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<{\frac {{\sqrt {7}}+1}{3}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>{\frac {{\sqrt {7}}+1}{3}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1\,;$ et de là

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-2,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1\,;$

ensuite on aura

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-2+m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {7-q^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}}{1}}\,;$

donc, pour que $q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ ne soit pas $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{2}},$ on fera $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=2,$ ce qui donnera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=7\,;$

de sorte qu’on aura la transformée

$y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}-7y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},$

qui aura les conditions prescrites.

6^o On fera

$m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}<{\frac {{\sqrt {7}}+2}{1}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}>{\frac {{\sqrt {7}}+2}{1}}-1\,;$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=4,$ par conséquent

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=2,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=3\,;$

j’observe ici, sans aller plus loin, que ces valeurs de $q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ et $r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}$ sont les mêmes que celles de $q'$ et $r''$ (2^o, page 743) ; donc, puisque la différence des exposants de $q$ est paire, il s’ensuit que les transformées qu’on pourrait trouver en continuant le calcul seraient les mêmes que celles qu’on a déjà trouvées ci-dessus (25).

Ainsi la formule $y^{2}-7y'2$ ne saurait fournir d’autres transformées qui aient les conditions prescrites que ces deux-ci

$2y''^{2}-2y''y'''-3y'''^{2},\quad 2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y-3y'''^{2}\,;$

d’où l’on voit que les formules

$y^{2}-7z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-3z^{2}$

reviennent à la même, comme aussi les formules

$7z^{2}-y^{2},\quad 3z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

qui ne sont que les négatives de celles-là ; mais que les deux formules

$y^{2}-7z^{2},\quad 7z^{2}-y^{2}$

ne sauraient se réduire l’une à l’autre, comme cela a lieu dans les formules

$y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-y^{2}$

de l’Exemple précédent.

27. Pour développer davantage l’application de nos méthodes des Problèmes II et IV, nous allons chercher ici les formules des diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-79u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 79u^{2}-t^{2}.$

On aura donc ici $a=79\,;$ donc il faudra que $q$ ne soit pas $>{\sqrt {\frac {79}{5}}}>3,$ de sorte qu’on ne pourra faire que $q=0,1,2,3.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=79,$ donc

$p=1,\quad r=79\,;$

faisant $q=1,$ on aura $pr=78,$ donc

$p=2,\quad r=39,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=26,\quad {\text{ou}}\quad p=6,\quad r=13\,;$

faisant $q=2,$ on aura $pr=75,$ donc

$p=5,\quad r=15\,;$

enfin faisant $q=3,$ on aura $pr=70,$ donc

$p=7,\quad r=10.$

Ainsi l’on aura pour les diviseurs dont il s’agit les formoles suivantes

$y^{2}-79z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-39z^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz-26z^{2},$

$6y^{2}\pm 2yz-13z^{2},\quad 5y^{2}\pm 4yz-15z^{2},\quad 7y^{2}\pm 6yz-10z^{2},$

et leurs inverses

$79z^{2}-y^{2},\quad 39z^{2}\mp 2yz-2y^{2},\quad 26z^{2}\mp 2yz-3y^{2},$

$13z^{2}\mp 2yz-6y^{2},\quad 15z^{2}\mp 4yz-5y^{2},\quad 10z^{2}\mp 6yz-7y^{2},$

ce qui fait en tout douze formules ; mais il faut maintenant les trier, et en rejeter celles qui sont identiques entre elles.

Considérons d’abord la formule

$y^{2}-79z^{2}\quad {\text{ou bien}}\quad y^{2}-79y'^{2}.$

1^o On aura

$r'=1,\quad q=0,\quad r=79=a,$

donc

$q'=m',\quad r''={\frac {79-q'^{2}}{1}}\,;$

or $q'$ est toujours $>{\frac {r'}{2}},$ à moins qu’on ne fasse $m'=0,$ ce qui ne donnerait aucune nouvelle formule.

2^o Ainsi l’on fera

$m'<{\frac {\sqrt {79}}{1}},\quad m'>{\frac {\sqrt {79}}{1}}-1,$

donc $m'=8,$ par conséquent

$q'=8,\quad r''=15\,;$

ensuite, on aura

$q''=8-15m'',\quad r'''={\frac {79-q''^{2}}{15}},$

où l’on fera $m''=1$ pour que $q''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}\,;$ on aura donc

$q''=-7,\quad r'''=2\,;$

mais, comme $q''$ serait $>{\frac {r'''}{2}},$ ces valeurs ne donnent point de transformée convenable.

3^o On fera donc

$m''<{\frac {{\sqrt {79}}+8}{15}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {79}}+8}{15}}-1\,;$

donc $m''=1,$ et de là

$q''=-7,\quad r'''=2\,;$

ensuite on aura

$q'''=-7+2m''',\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {79-q'''^{2}}{2}}\,;$

qu’on prenne $m'''=3$ ou $=4$ pour avoir $q'''=\pm 1,$ non $>{\frac {r'''}{2}},$ et $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ deviendra égal à $39\,;$ de sorte qu’on aura cette transformée, qui aura toutes les conditions prescrites

$2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}\pm 2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-39y'''^{2}.$

4^o En poursuivant le calcul on fera

$m'''<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{2}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{2}}-1,$

c’est-à-dire $m'''=7\,;$ d’où

$q'''=7,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=15\,;$

ensuite, on fera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=7-15m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{15}},$

et l’on prendra $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1$ pour avoir $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ non $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}}\,;$ ainsi l’on aura

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-8,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1\,;$

mais, comme $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ est plus grand que ${\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{2}},$ on rejettera ces valeurs comme inutiles.

5^o On fera donc

$m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{15}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{15}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1,$ par conséquent

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-8,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1\,;$

après quoi on supposera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-8+m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}}{1}},$

et l’on prendra $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=8$ pour avoir

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=79,$

ce qui donnera la transformée

$y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}-79y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},$

qui est entièrement semblable à la première formule

$y'^{2}-79y^{2}.$

6^o Je fais

$m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+8}{1}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+8}{1}}-1,$

savoir $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=16,$ ce qui donne

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=8,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=15\,;$

or je remarque que ces valeurs de $q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ et $r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}$ sont les mêmes que celles de $q'$ et $r''$ du 2^o, page 747 ; de sorte que, comme la différence des exposants de $q$ est paire, on retrouvera les mêmes transformées qu’on a déjà eues ; d’où il s’ensuit que la formule

$y'^{2}-79y^{2}$

ne peut se changer en aucune autre qu’en celle-ci

$2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}\pm 2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-39y'''^{2},$

et qu’ainsi parmi toutes les formules trouvées pour les diviseurs de $t^{2}-79u^{2}$ il n’y a que ces deux-ci

$y^{2}-79z^{2}\quad {\text{et}}\quad 2y^{2}\pm 2yz-39z^{2}$

qui soient identiques entre elles, auxquelles on doit encore ajouter leurs inverses

$79z^{2}-y^{2}\quad {\text{et}}\quad 39z^{2}\mp 2yz-2y^{2},$

qui seront aussi identiques entre elles.

Considérons maintenant la formule

$3y^{2}\pm 2yz-26z^{2},$

savoir

$3y^{2}\pm 2yy'-26y'^{2}.$

1^o On aura

$r'=3,\quad q=1,\quad r=26,$

$a$ étant toujours égal à $79\,;$ ainsi l’on supposera

$q'=1+3m',\quad r''={\frac {79-q'^{2}}{3}},$

et comme on ne peut pas prendre $m'$ tel que $q'$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}},$ on passera à une autre transformée.

2^o On fera donc

$m'<{\frac {{\sqrt {79}}-1}{3}},\quad m'>{\frac {{\sqrt {79}}-1}{3}}-1\,;$

donc $m'=2$ et

$q'=7,\quad r''=10\,;$

ensuite on supposera

$q''=7-10m'',\quad r'''={\frac {79-q''^{2}}{10}}\,;$

on prendra donc $m''=1$ pour avoir

$q''=-3<{\frac {10}{2}},$

et l’on aura

$r'''=7>2q''\,;$

ainsi l’on aura la transformée

$7y''^{2}-6y''y'''-10y'''^{2},$

qui aura les conditions requises.

3^o Soit

$m''<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{10}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{10}}-1\,;$

donc $m''=1$ et

$q''=-3,\quad r'''=7\,;$

ensuite, soit supposé

$q'''=-3+7m'',\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {79-q'''^{2}}{7}},$

et comme on ne peut pas prendre $m'''$ tel que $q'''$ ne soit pas $>{\frac {r'''}{2}},$ on passera à la transformée suivante.

4^o On fera donc

$m'''<{\frac {{\sqrt {79}}+3}{7}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {79}}+3}{7}}-1,$

c’est-à-dire $m'''=1,$ et l’on aura

$q'''=4,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=9,$

ensuite de quoi on supposera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=4-9m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{9}}\,;$

or on ne peut prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ tel que $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ ne soit pas $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}}\,;$ donc, etc.

5^o On fera

$m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+4}{9}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+4}{9}}-1,$

c’est-à-dire $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1\,;$ donc

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-5,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=6\,;$

après quoi on fera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-5+6m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}}{6}}\,;$

ici l’on peut prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1,$ ce qui donne

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=13\,;$

valeurs qui ont les conditions requises ; de sorte qu’on aura la transformée

$6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-13y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}.$

6^o Soit maintenant

$m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+5}{6}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+5}{6}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=2$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=7,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=5\,;$

ensuite soit supposé

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=7-5m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}}{5}},$

et il est clair qu’en prenant $m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=1$ on aura $q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}<{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}{2}}\,;$ on aura donc

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=2,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=15\,;$

de sorte que la transformée

$15y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+4y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-5y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}$

aura les conditions requises.

7^o Qu’on prenne

$m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{5}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{5}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=3$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=-8,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=3\,;$

ensuite on supposera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=-8+3m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}}}{3}},$

et prenant $m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=3,$ on aura

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=1<{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{2}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}=26>2q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}\,;$

ce qui donnera la transformée

$3y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}-26y^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}}\,;$

qui est semblable à la proposée.

8^o On fera donc

$m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+8}{3}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+8}{3}}-1\,;$

c’est-à-dire $m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=5,$ et par conséquent

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=7,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}=10\,;$

valeurs qui sont les mêmes que celles de $q'$ et $r''\,:$ de sorte que les mêmes

transformées qu’on a déjà trouvées reviendraient si l’on continuait le calcul.

Reprenons maintenant les mêmes valeurs de $r'$ et $r$ du 1^o, page 750, mais au lieu de supposer $q=1$ qu’on fasse $q=-1\,;$ donc

$q'=-1+3m',\quad r''={\frac {79-q'^{2}}{3}}\,;$

or, comme on ne saurait déterminer $m'$ en sorte que $q'$ devienne $<{\frac {r'}{2}},$ il faudra passer immédiatement à une autre transformée.

2^o On fera donc

$m'<{\frac {{\sqrt {79}}+1}{3}},\quad m'>{\frac {{\sqrt {79}}+1}{3}}-1,$

donc $m'=3$ et

$q'=8,\quad r''=5\,;$

ensuite on supposera

$q''=8-5m'',\quad r'''={\frac {79-q''^{2}}{5}},$

et il est clair que prenant $m''=2,$ $q''$ ne sera pas $>{\frac {r''}{2}}\,;$ ainsi l’on aura

$q''=-2,\quad r'''=15\,;$

de sorte qu’il en résultera la transformée

$15y''^{2}-4y''y'''-5y''',$

qui a, comme on voit, les conditions requises.

3^o On fera

$m''<{\frac {{\sqrt {79}}+8}{5}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {79}}+8}{5}}-1,$

c’est-à-dire $m''=3,$ d’où

$q''=-7,\quad r'''=6\,;$

ensuite on supposera

$q'''=-7+6m''',\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {79-q'''^{2}}{6}}\,;$

et l’on prendra $m'''=1$ pour avoir

$q'''=-1,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=13,$

ce qui donnera la transformée

$6y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-13y'''^{2},$

qui a les conditions requises.

4^o Soit

$m'''<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{6}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{6}}-1\,;$

donc $m'''=2$ et

$q'''=5,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=9\,;$

ensuite on supposera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=5-9m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{7}}\,;$

et l’on pourra prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1,$ ce qui donnera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-4<{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}}\,;$

mais alors on aura

$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=7<2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

de sorte que ces valeurs ne sont pas convenables.

5^o Soit donc

$m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+5}{9}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+5}{9}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-4,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=7\,;$

ensuite on fera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-4+7m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}}{7}}$

et l’on pourra prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1,$ ce qui donnera

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=3<{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{2}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=10>2q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,;$

de sorte : qu’on aura cette transformée

$7y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-10y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}.$

6^o Soit

$m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+4}{7}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+4}{7}}-1\,;$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=1$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=3,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=10\,;$

qu’on fasse ensuite

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=3-10m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}}{10}},$

et, comme on ne peut pas prendre $m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}$ en sorte que $q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}$ devienne non $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}{2}},$ on passera d’abord à la transformée suivante.

7^o Soit donc

$m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+3}{10}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+3}{10}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=1$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=-7,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=3\,;$

qu’on fasse ensuite

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=-7+3m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}={\frac {79-q^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}}}{3}},$

et prenant $m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=2$ on aura

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=-1<{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{2}},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}=26>2q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}\,;$

donc on aura la transformée

$3y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII2}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}-26y^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}},$

qui est analogue à la proposée.

8^o Soit encore

$m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}<{\frac {{\sqrt {79}}+7}{3}},\quad m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}>{\frac {{\sqrt {79}}+7}{3}}-1,$

donc $m^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=5$ et

$q^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}=8,\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}=5,$

valeurs qui sont les mêmes que celles de $q'$ et $r''$ du 2^o, page 753 ; ainsi l’opération sera terminée.

On voit donc que la formule $3y^{2}\pm 2yy'-26y'^{2}$ n’a pu fournir que ces transformées

${\begin{array}{lll}\ \ 7y''^{2}-6y''y'''-10y'''^{2},&6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-13y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},&15y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+4y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-5y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},\\15y''^{2}-4y''y'''-5y'''^{2},&6y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-13y'''^{2},&\ \ 7y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-10y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}\,;\end{array}}$

d’où et de ce qui a déjà été trouvé ci-dessus, je conclus que les douze formules que nous avons données pour les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-79u^{2}$ peuvent se réduire à ces quatre-ci

$y^{2}-79z^{2},\quad 79z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz-26z^{2},\quad 26z^{2}\mp 2yz-3y^{2},$

lesquelles doivent être regardées comme essentiellement différentes l’une de l’autre, en sorte qu’elles n’admettent plus aucune réduction.

28. D’après ces principes on pourra construire deux Tables pour les formes des diviseurs impairs des nombres $t^{2}+au^{2}$ et $t^{2}-au^{2}$ en supposant successivement $a=1,2,3,\ldots .$

Voici ces Tables poussées jusqu’à $a=31\,;$ il serait bon de les continuer au moins jusqu’à $100\,;$ mais nous nous contentons ici de mettre sur la voie ceux qui voudront dans la suite se charger de ce travail.

On remarquera, à l’égard de la seconde Table, que les signes ambigus $\pm$ qu’on y trouve dénotent que les valeurs de $p$ et de $r$ qui en sont affectées peuvent être prises également avec les signes supérieurs ou avec les inférieurs ; ainsi, puisque à $a=2$ répond $p=\pm 1,\ q=0,\ r=\pm 2,$ il s’ensuit que tout diviseur impair de $t^{2}-2u^{2}$ sera en même temps de la forme $y^{2}-2z^{2}$ et $2z^{2}-y^{2},$ et ainsi des autres ; de sorte que, dans ce cas, on sera libre de prendre les signes supérieurs ou les inférieurs.

On doit remarquer encore que l’on a omis, pour plus de simplicité, toutes les valeurs de $a$ qui seraient égales à des carrés ou divisibles par des carrés ; c’est pourquoi dans la colonne des valeurs de $a$ on ne trouve ni le nombre $4,$ ni le nombre $8,$ ni, etc. ; en effet il est visible que la formule $t^{2}+4u^{2}$ est comprise sous celle-ci $t^{2}+u^{2}$ où $a=1.$ On voit de même que la formule $t^{2}+8u^{2}$ est réductible à celle-ci $t^{2}+2u^{2}$ où $a=2,$ et ainsi des autres.

TABLE I

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}+au^{2},$

Formule de leurs diviseurs impairs $\ldots py^{2}\pm 2qyz+rz^{2},\$ où $\ pr-q^{2}=a.$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\\&\overbrace {\,\ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}}$

${\begin{array}{|r|l|l|l|}\qquad a\qquad &\qquad \ \ p\qquad \ \ &\ \ \qquad q\qquad \ \ &\quad \qquad r\quad \qquad \\\hline 1\qquad &\quad 1&\quad 0&\quad 1\\2\qquad &\quad 1&\quad 0&\quad 2\\3\qquad &\quad 1&\quad 0&\quad 3\\5\qquad &\quad 1,2&\quad 0,1&\quad 5,3\\6\qquad &\quad 1,2&\quad 0,0&\quad 6,3\\7\qquad &\quad 1&\quad 0&\quad 7\\10\qquad &\quad 1,2&\quad 0,0&\quad 10,5\\11\qquad &\quad 1,3&\quad 0,1&\quad 11,4\\13\qquad &\quad 1,2&\quad 0,1&\quad 13,7\\14\qquad &\quad 1,2,3&\quad 0,0,1&\quad 14,7,5\\15\qquad &\quad 1,3&\quad 0,0&\quad 15,5\\17\qquad &\quad 1,2,3&\quad 0,1,1&\quad 17,9,6\\19\qquad &\quad 1,4&\quad 0,1&\quad 19,5\\21\qquad &\quad 1,3,2,5&\quad 0,0,1,2&\quad 21,7,11,5\ \ \\22\qquad &\quad 1,2&\quad 0,0&\quad 22,11\\23\qquad &\quad 1,3&\quad 0,1&\quad 23,8\\26\qquad &\quad 1,2,3,5&\quad 0,0,1,2&\quad 26,13,9,6\ \ \\29\qquad &\quad 1,2,3,5&\quad 0,1,1,1&\quad 29,15,10,6\\30\qquad &\quad 1,2,3,5&\quad 0,0,0,0&\quad 30,15,10,6\\31\qquad &\quad 1,5&\quad 0,2&\quad 31,7\\\hline \end{array}}$

TABLE II

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}-au^{2},$

Formule de leurs diviseurs impairs $\ldots py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\$ où $\ pr+q^{2}=a.$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\\&\overbrace {\,\ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}}$

${\begin{array}{|r|l|l|l|}\qquad a\qquad &\qquad \quad p\quad \qquad &\quad q\quad &\qquad \qquad r\qquad \qquad \\\hline 1\qquad &\quad 1&\quad 0&\quad 1\\2\qquad &\quad \pm 1&\quad 0&\quad \pm 2\\3\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 3,-3\\5\qquad &\quad \pm 1&\quad 0&\quad \pm 5\\6\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 6,-6\\7\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 7,-7\\10\qquad &\quad \pm 1,\pm 2&\quad 0&\quad \pm 10,\pm 5\\11\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 11,-11\\13\qquad &\quad \pm 1&\quad 0&\quad \pm 13\\14\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 14,-14\\15\qquad &\quad 1,-1,3,-3&\quad 0&\quad 15,-15,5,-5\\17\qquad &\quad \pm 1&\quad 0&\quad \pm 17\\19\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 19,-19\\21\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 21,-21\\22\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 22,-22\\23\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 23,-23\\26\qquad &\quad \pm 1,\pm 2&\quad 0&\quad \pm 26,\pm 13\\29\qquad &\quad \pm 1&\quad 0&\quad \pm 29\\30\qquad &\quad 1,-1,2,-2&\quad 0&\quad 30,-30,15,-15\\31\qquad &\quad 1,-1&\quad 0&\quad 31,-31\\\hline \end{array}}$

SECONDE PARTIE.

J’ai donné, dans les Recherches précédentes, des méthodes directes et générales pour trouver toutes les formes dont sont susceptibles les diviseurs premiers des nombres de la forme

$t^{2}\pm au^{2},$

$a$ étant un nombre entier donné, et $t,u$ des nombres quelconques entiers et premiers entre eux ; et j’ai prouvé que ces diviseurs sont toujours réductibles à la forme

$py^{2}\pm 2qyz\pm rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres entiers indéterminés, et où $p,q,r$ sont des nombres entiers dépendants du nombre $a,$ en sorte qu’ils ne peuvent avoir qu’un nombre fini de valeurs différentes, lesquelles sont faciles à trouver par les règles que j’ai données pour cet objet, et que j’ai déjà appliquées à toutes les valeurs non carrées de $a$ depuis $1$ jusqu’à $31.$

Je me propose maintenant de donner les moyens de ramener la mêmes formule

$py^{2}\pm 2qyz\pm rz^{2}$

à cette autre beaucoup plus simple

$4an+b,$

$n$ étant un nombre entier quelconque, et $b$ un nombre donné dépendant des nombres $p,q,r\,;$ je donnerai ensuite des Tables pour toutes les valeurs de $b$ répondantes aux valeurs non carrées de $a$ depuis $1$ jusqu’à $30,$ et je montrerai l’usage de ces Tables pour trouver facilement tous les diviseurs d’un nombre quelconque proposé ; je traiterai enfin des nombres premiers de la forme $4an+b$ qui sont en même temps de la forme $u^{2}\pm at^{2}\,;$ j’établirai les principes généraux de la théorie de ces nombres, et j’en déduirai un grand nombre de Théorèmes, dont quelques-uns sont déjà connus, mais dont la plupart sont entièrement nouveaux.

Au reste, comme ce Mémoire n’est, à proprement parler, qu’une suite de celui qui est imprimé dans le volume de 1773, j’y conserverai, pour la commodité des citations, l’ordre des numéros et des Propositions.

de la manière de ramener les diviseurs des nombres de la forme $u^{2}\pm at^{2}$ à la forme $4an+b.$

Comme nous avons déjà démontré que les diviseurs des nombres de la forme

$u^{2}\pm at^{2}$

sont nécessairement de la forme

$py^{2}\pm 2qyz\pm rz^{2},$

il est clair qu’il ne s’agit plus que de ramener cette formule à celle-ci

$4an+b\,;$

c’est à quoi sont destinés les deux Problèmes suivants.

Problème V.

29. Étant donnée l’expression

$py^{2}\pm rz^{2},$

où $p$ et $r$ sont des nombres entiers donnés, et $y,z$ des nombres entiers indéterminés, on propose de la réduire à la forme

$4an+b,$

$a$ étant égal à $pr,$ $b$ étant un nombre positif ou négatif, ébal ou moindre que $2a,$ et $n$ un nombre entier indéterminé.

Il est clair que, quels que soient les nombres $y$ et $z,$ on peut toujours les représenter par les formules $2mr\pm \rho$ et $2m'p\pm \varpi ,$ $m,m',\rho$ et $\varpi$ étant des nombres entiers indéterminés ; il est visible de plus qu’on pourra toujours prendre les nombres $m,m'$ avec les signes des nombres $\rho ,$ et $\varpi ,$ en sorte que ces derniers soient l’un, savoir $\rho ,$ moindre ou au moins non plus grand que $r,$ et l’autre, savoir $\varpi ,$ non plus grand que $p.$

Qu’on substitue donc ces valeurs dans l’expression $py^{2}\pm rz^{2},$ elle deviendra, à cause de $pr=a,$

$4a\left[m^{2}r\pm m\rho \pm \left(m'^{2}p\pm m'\varpi \right)\right]+p\rho ^{2}\pm r\varpi ^{2}\,;$

d’où l’on voit que la réduction proposée aura lieu en faisant

$b=p\rho ^{2}\pm r\varpi ^{2},$

et prenant successivement pour $\varpi$ tous les nombres entiers jusqu’à $p,$ et pour $\rho$ tous les nombres entiers jusqu’à $r\,;$ et il est clair que les valeurs de $b$ qu’on trouvera de cette manière pourront être augmentées ou diminuées de tels multiples de $4a$ qu’on voudra ; moyennant quoi on pourra toujours réduire ces valeurs à être au-dessous, ou au moins à n’être pas plus grandes que $2a\,;$ pour cela il n’y aura qu’à diviser d’abord $b$ par $4a,$ et si le reste est égal ou moindre que $2a,$ on le prendra pour la vraie valeur de $b\,;$ mais si ce reste est plus grand que $2a,$ on en retranchera $4a,$ et l’on aura un reste qui sera nécessairement moindre que $2a,$ et qu’on prendra à la place de $b.$

30. Corollaire. — Il est clair que si l’on change en même temps les signes des nombres $p$ et $r,$ la valeur $b$ devra aussi changer de signe ; par conséquent, si $4an+b$ est la forme des nombres $py^{2}-rz^{2},$ on aura sur-le-champ $4an-b$ pour celle des nombres $rz^{2}-py^{2},$ les valeurs de $b$ étant les mêmes.

31. Remarque. — Si l’on ne veut considérer que les nombres impairs qui peuvent être représentés par la formule $py^{2}\pm rz^{2},$ lorsque $p$ et $r$ ne sont pas pairs à la fois, il faudra dans ce cas rejeter toutes les valeurs paires de $b,$ et ne prendre par conséquent à la fois pour $\varpi$ et $\rho$ que des nombres qui rendent l’une des quantités $p\rho ^{2},\ r\varpi ^{2},$ paire et l’autre impaire.

Si l’on voulait de plus ne considérer que les nombres qui seraient premiers à $a=pr,$ il faudrait encore rejeter toutes les valeurs de $b$ qui ne seraient pas premières à $p$ ou à $r\,;$ et il est visible qu’il ne faudrait prendre alors pour $\varpi$ que des nombres moindres que $p$ et premiers à $p,$ et pour $\rho$ que nombres moindres que $r$ et premiers à $r.$

Problème VI.

32. Étant donnée l’expression

$py^{2}+2qyz\pm rz^{2},$

où $p,q,r$ sont des nombres entiers donnés dont le premier ou le dernier est supposé impair, et $y,z$ des nombres entiers indéterminés ; on propose de la ramener à la forme

$4an+b,$

en supposant $a=pr\mp q^{2},$ $b$ un nombre entier positif ou négatif qui ne soit pas plus grand que $2a,$ et $n$ un nombre entier indéterminé.

Supposons d’abord que $p$ soit un nombre impair, et faisant l’expression proposée égale à $\mathrm {X} ,$ en sorte que l’on ait

$py^{2}+2qyz\pm rz^{2}=\mathrm {X} ,$

qu’on multiplie cette équation par $p,$ elle deviendra

$p\mathrm {X} =(py+qz)^{2}\pm az^{2},$

à cause de $a=pr\mp q^{2}$ (hypothèse), ou bien en faisant $py+qz=y',$

$p\mathrm {X} =y'^{2}\pm az^{2}.$

Maintenant supposons, en général, que la plus grande commune mesure de $a$ et $p$ soit $p'c^{2},$ $p'$ étant un nombre non carré ni divisible par aucun carré ; et faisant

$p=\mathrm {P} p'c^{2},\quad a=r'p'c^{2},$

il est clair que $\mathrm {P}$ et $r'$ seront premiers entre eux, et que l’équation

$a=pr\mp q^{2},$

devenant

$r'p'c^{2}=\mathrm {P} rp'c^{2}\mp q^{2},$

ne pourra subsister en nombres entiers à moins que $q$ ne soit divisible par $p'c\,;$ ainsi l’on aura

$q=q'p'c,$

et divisant toute l’équation par $p'c^{2},$ il viendra

$r'=\mathrm {P} r\mp q'^{2}p',$

où je remarque que $\mathrm {P}$ sera nécessairement premier à $p'\,;$ car si ces deux nombres avaient une commune mesure autre que l’unité, il faudrait que le nombre $r'$ fût aussi divisible par cette commune mesure ; ainsi $\mathrm {P}$ et $r'$ ne seraient plus premiers entre eux contre l’hypothèse. Donc $\mathrm {P}$ sera en même temps premier à $p'$ et à $r',$ et par conséquent aussi à $p'r'.$

Cela posé, puisque $p$ et $q$ sont divisibles à la fois par $p'c,$ il est clair que $y'$ le sera aussi, de sorte qu’on aura

$y'=p'cx,$

et l’équation

$p\mathrm {X} =y'^{2}\pm az^{2},$

étant toute divisée par $p'c^{2},$ deviendra

$\mathrm {PX} =p'x^{2}\pm r'z^{2}.$

Or faisant $p'r'=a',$ on pourra réduire, par le Problème précédent, l’expression $p'x^{2}\pm r'z^{2}$ à la forme $4a'n+b',$ où $n$ sera un nombre entier indéterminé, et $b'$ aura des valeurs connues. Qu’on mette $\mathrm {Y}$ à la place de $n,$ et l’on aura l’équation

$\mathrm {PX} =4a'\mathrm {Y} +b',$

laquelle devra avoir lieu en prenant pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des nombres entiers, et qu’on pourra, par conséquent, résoudre par les méthodes connues [voyez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1768^[3]].

Or, comme on suppose que $p$ est impair, il est clair que $\mathrm {P} ,$ qui est un facteur de $p,$ sera aussi impair ; par conséquent $\mathrm {P}$ et $4a'$ seront premiers entre eux, puisqu’on a déjà prouvé que $\mathrm {P}$ est premier à $a'=p'r'\,;$ ainsi l’équation proposée sera toujours résoluble, quelques valeurs qu’on donne à $b'.$

Qu’on divise $4a'$ par $\mathrm {P} ,$ puis $\mathrm {P}$ par le premier reste, puis le premier reste par le second reste et ainsi de suite, jusqu’à ce que la division se fasse exactement, et nommant $l,l',l'',l''',\ldots$ les quotients provenant de ces divisions, on en formera les fractions convergentes

${\begin{array}{ccccccc}&l&l'&l''\ldots &&&l^{(\mu )}\\{\dfrac {1}{0}},&{\dfrac {l}{1}},&{\dfrac {ll'+1}{l'}},&{\dfrac {(ll'+1)l''+l}{l'l''+1}},\ldots ,&{\dfrac {\mathrm {L} }{\Lambda }},&{\dfrac {\mathrm {L} '}{\Lambda '}},&{\dfrac {\mathrm {L} 'l^{(\mu )}+\mathrm {L} }{\Lambda 'l^{(\mu )}+\Lambda }},\ldots ,\end{array}}$

dont la dernière sera la fraction même ${\frac {4a'}{\mathrm {P} }},$ et l’avant-dernière, que nous désignerons par ${\frac {\alpha }{\beta }},$ sera telle que $\alpha \mathrm {P} -4\beta a'=\pm 1,$ le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\alpha }{\beta }}$ est impair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est pair.

Cela fait, on aura, en général,

$\mathrm {X} =4a'n'\pm \alpha b',$

$n'$ étant un nombre quelconque entier.

Telle sera donc la forme de l’expression proposée $\mathrm {X} \,;$ d’où l’on voit que le Problème serait résolu si $a'$ était égal à $a\,;$ ce qui a lieu lorsque $c=1,$ c’est-à-dire lorsque la plus grande commune mesure entre $p$ et $a$ n’est divisible par aucun carré. Dans ce cas il n’y aura donc qu’à prendre $b=\pm \alpha b',$ en ajoutant ou retranchant de cette valeur, s’il est nécessaire, un multiple de $4a$ tel, que la valeur résultante de $b$ ne surpasse pas $2a,$ comme on l’a dit dans le Problème précédent.

Mais, si $c$ n’est pas égal à $1,$ alors, pour réduire la valeur de $\mathrm {X}$ à la forme

$4an+b\quad {\text{ou}}\quad 4a'c^{2}n+b$

${\bigl (}a$ étant égal à $a'c^{2}{\bigr )}$, on remarquera que, quel que soit le nombre entier $n',$ on pourra toujours le représenter par $c^{2}n+\gamma ,$ en prenant $\gamma <c^{2}\,;$ ainsi, substituant cette valeur dans l’expression de $\mathrm {X} ,$ on aura

$\mathrm {X} =4an\pm \alpha b'+4a'\gamma .$

C’est pourquoi il n’y aura qu’n prendre

$b=\pm \alpha b'+4a'\gamma ,$

en donnant successivement à $\gamma$ les valeurs $0,1,2,\ldots$ jusqu’à $c^{2}-1.$

Si les nombres $p$ et $a$ sont premiers entre eux, la solution sera plus simple, car on aura non-seulement $c=1$ mais aussi $p'=1,$ et de là $r'=a.$

Nous avons supposé jusqu’ici que $p$ était impair ; mais si $p$ était pair et $r$ impair, il n’y aurait alors qu’à prendre la valeur de $r$ à la place de celle de $p,$ et si dans la formule

$py^{2}+2qyz\pm rz^{2}$

le signe supérieur a lieu, il n’y aura aucun changement à faire aux valeurs de $b$ trouvées d’après cette valeur ; mais si c’est le signe inférieur qui a lieu, il n’y aura qu’à prendre les valeurs de $b$ avec des signes contraires ce qui est évident par la nature même de la formule dont il s’agit.

À l’égard du cas où $p$ et $r$ seraient pairs à la fois, nous pouvons en faire abstraction, puisque dans ce cas l’expression

$py^{2}+2qyz\pm rz^{2}$

ne donnerait que des nombres pairs.

33. Par l’application des méthodes précédentes on pourra donc construire deux nouvelles Tables correspondantes à celles du n^o 28, et qui donnent pour chaque valeur de $a$ et de $p$ les valeurs convenables de $b,$ en sorte qu’étant proposé un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}$ ou $t^{2}-au^{2},$ on ait sur-le-champ toutes les formes particulières de l’espèce $4an+b$ dont les diviseurs de ce nombre sont susceptibles.

La Table III, qui suit, répond, comme on voit, à la Table I, et la Table IV à la Table II ; on y a omis, poùr plus de simplicité, les valeurs paires de $b,$ ainsi que celles qui ne seraient pas premières à $4a\,;$ de sorte que ces Tables ne donnent que les formules des diviseurs impairs et premiers à $a.$ Lorsque deux valeurs différentes de $p$ ont donné les mêmes valeurs de $b,$ on a réuni ces valeurs de $p$ dans une même case.

TABLE III.

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}+au^{2}.$

Formule de leurs diviseurs impairs, et premiers à $a\ldots py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$$=4an+b.$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\\&\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}}$

${\begin{array}{|l|}&{\begin{array}{c|c|l}\ \ \quad a\ \quad &\quad p\ \quad &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad b\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\\hline \\1&\quad 1\quad &1\\2&1&1,3\\3&1&1,-5\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 5\ \ \ &\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,9\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\\ \ 2\quad \,\ &3,7\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 6\ \ \ &\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,7\\\ \ 2\quad \,\ &5,11\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|c|l}\ \quad 7\ \ \quad &\quad 1\ \quad &1,9,11,-3,-5,-13\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 10\ &\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,9,11,19\\\ \ 2\quad \,\ &7,13,-3,-17\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|c|l}\quad 11\ \quad &\ \,1,3\quad &1,3,5,9,15,-7,-13,-17,-19,-21\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 13\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,9,17,25,-3,-93\\\ \ 2\quad \,\ &7,11,15,19,-5,-21\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 14\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ 1,2\ \ \ &1,9,15,23,25,-17\\3&3,5,13,19,27,-11\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 15\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,19,-11,-29\\\ \ 3\quad \,\ &17,23,-7,-13\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 17\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ 1,2\ \ \ &1,9,13,21,25,33,-15,-19\\3&3,7,11,28,27,31,-5,-29\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|ll}\quad 19\ \quad &\ \ \ 1,4&\left\{{\begin{array}{ll}&1,5,7,11,17,28,25,85,-3,-13,-15,-21,\\&-27,-29,-31,-33,-37\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 21\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,25,37\\\ \ 2\quad \,\ &11,23,-13\\\ \ 3\quad \,\ &19,31,-29\\\ \ 5\quad \,\ &5,17,41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 22\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\quad \,\ &1,9,15,23,25,31,-7,-17,-39,-41\\\ \ 2\quad \,\ &13,19,21,29,35,43,-3,-5,27,-37\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|ll}\quad 23\ \quad &\ \ \ 1,3&\left\{{\begin{array}{l}&1,3,9,13,25,27,29,31,35,39,41,-5,-7,-11\\&-15,-17,-19,-21,-33,-37,-43,-45\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 26\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ 1,3\ \ \ &1,3,9,17,25,27,35,43,49,51,-23,-29\\2,5&5,7,15,21,32,87,45,47,-11,-19,-33,-41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 29\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ 1,5\ \ \ &1,5,9,13,95,33,45,49,53,57,-7,-23,-35,-51\\2,3&3,11,15,19,27,31,39,43,47,55,-17,-21,-37,-41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 30\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}\ \ 1\,\ \quad &1,31,49,-41\\\ \ 2\quad \,\ &17,23,47,-7\\\ \ 3\quad \,\ &13,37,43,-53\\\ \ 5\quad \,\ &11,29,59,-19\end{array}}\right.\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

TABLE IV.

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}-au^{2}.$

Formule de leurs diviseurs impairs, et premiers à $a\ldots py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$$=4an+b.$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\\&\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}}$

${\begin{array}{|l|}&{\begin{array}{c|r|l}\ \ \quad a\ \quad &\quad p\ \quad &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad b\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\\hline \\1&1\quad &\pm 1\\2&\pm 1\quad &\pm 1\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 3\ \ \ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1\\-1\quad \,&-1\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|r|l}\,\quad 5\ \ \quad &\ \pm 1\quad &\pm 1,\pm 9\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 6\ \ \ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,-5\\-1\quad \,&-1,5\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 7\ \ \ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,9,-3\\-1\quad \,&-1,-9,3\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 10\ \,&\left\{{\begin{array}{r|l}\pm 1\quad &\pm 1,\pm 9\\\pm 2\quad &\pm 3,\pm 13\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 11\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad &\ \ \ 1,5,9,-7,-19\\-1\quad &-1,-5,-9,7,19\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|r|l}\quad 13\ \quad &\ \pm 1\quad &\pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 17,\pm 23,\pm 25\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 14\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,9,11,25,-5,-13\\-1\quad \,&-1,-9,-11,-25,5,13\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 15\ \,&\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,-11\\-1\quad \,&-1,11\\3\quad \,&\ \ \ 7,-17\\-3\quad \,&-7,17\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|r|l}\quad 17\ \quad &\ \pm 1\quad &\pm 1,\pm 9,\pm 13,\pm 15,\pm 19,\pm 21,\pm 25,\pm 33\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 19\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,5,9,17,25,-3,-15,-27,-31\\-1\quad \,&-1,-5,-9,-17,-25,3,15,27,31\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 21\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,25,37,-5,-17,-41\\-1\quad \,&-1,-25,-37,5,17,41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 22\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,3,9,25,27,-7,-13,-21,-29,-39\\-1\quad \,&-1,-3,-9,-25,-27,7,13,21,29,39\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 23\,\ &\left\{{\begin{array}{r|l}1\quad \,&\ \ \ 1,9,13,25,29,41,-7,-11,-15,-19,-43\\-1\quad \,&-1,-9,-13,-25,-29,-41,7,11,15,19,43\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 26\,\ &\left\{{\begin{array}{c|l}\pm 1\quad \,&\pm 1,\pm 9,\pm 17,\pm 23,\pm 25,\pm 49\\\pm 2\quad \,&\pm 5,\pm 11,\pm 19,\pm 21,\pm 37,\pm 45\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|ll}\quad 29\ \quad &\ \pm 1\ &\left\{{\begin{array}{l}&\pm 1,\pm 5,\pm 7,\pm 9,\pm 13,\pm 23,\pm 25,\pm 33,\pm 35,\\&\pm 45,\pm 49,\pm 51,\pm 53,\pm 57\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 30\ \,&\left\{{\begin{array}{c|l}1\,\quad &\ \ \ 1,19,49,-29\\-1\quad \,&-1,-19,-49,29\\2\quad \,&\ \ \ 17,-7,-13,-37\\-2\quad \,&-17,7,13,37\end{array}}\right.\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

34. On voit, par les deux Tables précédentes, que les valeurs de $b$ ne renferment pas tous les nombres moindres que $2a$ et premiers à $2a,$ mais seulement une partie d’entre eux ; de sorte qu’il y en a toujours une partie d’exclue.

Ces nombres exclus, c’est-à-dire qui ne se trouvent point parmi les valeurs de $b,$ donneront donc les formes des nombres qui ne peuvent jamais être diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ et que nous appellerons simplement non-diviseurs.

Ainsi l’on pourra construire encore deux autres Tables qui donneront les formes des non-diviseurs de $t^{2}\pm au^{2}$ pour chaque valeur de $a,$ en prenant pour $b$ tous les nombres positifs ou négatifs moindres que $2a,$ et premiers à $2a,$ lesquels ne se trouveront pas parmi les valeurs de $b$ contenues dans les deux Tables précédentes c’est d’après ce principe qu’on a formé les Tables V et VI qui suivent.

TABLE V.

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}+au^{2}.$

Formule des non-diviseurs $\ldots 4an+b.$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\,\quad \qquad \qquad \scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\,\quad \qquad \qquad \\a&b\end{array}}$

${\begin{array}{|l|}&{\begin{array}{c|l}\hline \\\ \ \quad 1\quad \ \ &-1\\2&-1,-3\\3&\quad 5,-1\\5&-1,-3,-7,-9\\6&-1,-5,7,-11\\7&\quad 3,5,13,-1,-9,-11\\10&\quad 3,17,-1,-9,-11,-13,-19\\11&\quad 7,13,17,19,21,-1,-3,-5,-9,-15\qquad \qquad \qquad \end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 13\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&3,5,21,23,-1,-7,-9,-11,-15,-17,\\&\quad -19,-25\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 14\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&11,17,-1,-3,-5,-9,-13,-15,-19,-23,\\&\quad -25,-27\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|l}\quad 15\quad \ \ &\quad 7,11,13,29,-1,-17,-19,-23\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 17\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&5,15,19,29,-1,-3,-7,-9,-11,-13,-21,\\&\quad -23,-25,-27,-31,-33\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 19\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&3,13,15,21,27,29,31,33,37,-1,-5,-7,-9\\&\quad -11,-17,-23,-25,-35\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 21\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&13,29,-1,-5,-11,-17,-19,-23,-25,-31,\\&\quad -37,-41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 22\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&3,5,7,17,27,37,39,41,-1,-9,-13,-15,\\&\quad -19,-21,-23,-25,-29,-31,-35,-43\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 23\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&5,7,11,15,17,19,21,33,37,43,45,-1,-3,-9,\\&\quad -13,-25,-27,-29,-31,-35,-39,-41\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 26\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&11,19,23,29,33,41,-1,-3,-5,-7,-9,-15,\\&\quad -17,-21,-25,-27,-31,-35,-37,-43,\\&\quad -45,-47,-49\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 29\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&7,17,21,23,35,37,41,51,-1,-3,-5,-9,-11,\\&\quad -13,-15,-19,-25,-27,-31,-33,-39,\\&\quad -43,-45,-47,-49,-53,-55,-57\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 30\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&7,19,41,53,-1,-11,-13,-17,-23,-29,\\&\quad -31,-37,-43,-47,-49,-59\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|l}\qquad \quad \ \ &\end{array}}\\\hline \end{array}}$

TABLE VI.

Formule des nombres proposés $\ldots t^{2}-au^{2}.$

Formule des non-diviseurs $\ldots \ldots \ \ 4an+b,$

${\begin{array}{|c|c|}\hline \\\scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ DE} }&\ \qquad \qquad \scriptstyle {\mathrm {VALEURS\ CORRESPONDANTES\ DE} }\,\ \qquad \qquad \\a&b\end{array}}$

${\begin{array}{|l|}&{\begin{array}{c|l}\hline \\\ \ \quad 1\quad \ \ &\\2&\quad \,\pm 3\\3&\quad \,\pm 5\\5&\quad \,\pm 3,\pm 7\\6&\quad \,\pm 7,\pm 11\\7&\quad \,\pm 5,\pm 11,\pm 13\\10&\quad \,\pm 7,\pm 11,\pm 17,\pm 19\\11&\quad \,\pm 3,\pm 13,\pm 15,\pm 17,\pm 21\\13&\quad \,\pm 5,\pm 7,\pm 11,\pm 15,\pm 19,\pm 21\\14&\quad \,\pm 3,\pm 15,\pm 17,\pm 19,\pm 23,\pm 27\\15&\quad \,\pm 13,\pm 19,\pm 23,\pm 29\\17&\quad \,\pm 3,\pm 5,\pm 11,\pm 23,\pm 27,\pm 29,\pm 31\\19&\quad \,\pm 7,\pm 11,\pm 13,\pm 21,\pm 23,\pm 29,\pm 33,\pm 35,\pm 37\\21&\quad \,\pm 11,\pm 13,\pm 19,\pm 23,\pm 29,\pm 31\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 22\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&\pm 5,\pm 15,\pm 17,\pm 19,\pm 23,\pm 31,\pm 35,\pm 37\\&\quad \ \ \pm 41,\pm 43\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 23\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&\pm 3,\pm 5,\pm 17,\pm 21,\pm 27,\pm 31,\pm 33,\pm 35,\pm 37\\&\quad \ \ \pm 39,\pm 45\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 26\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&\pm 3,\pm 7,\pm 15,\pm 27,\pm 29,\pm 31,\pm 33,\pm 35,\pm 41,\\&\quad \ \ \pm 43,\pm 47,\pm 51\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{cl|l}\quad 29\ \ \,&\left\{{\begin{array}{l}&\pm 3,\pm 11,\pm 15,\pm 17,\pm 19,\pm 21,\pm 27,\pm 31,\pm 37,\\&\quad \ \ \pm 39,\pm 41,\pm 43,\pm 47,\pm 55\end{array}}\right.\\\end{array}}\\&{\begin{array}{c|l}\quad 30\quad \ \ &\quad \,\pm 11,\pm 23,\pm 31,\pm 41,\pm 43,\pm 47,\pm 53,\pm 59\\\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

usage des tables précédentes dans la recherche des diviseurs des nombres.

35. Cet usage se présente naturellement ; car il suffit de ramener le nombre proposé dont on cherche les diviseurs ou un quelconque de ses multiples à la forme $t^{2}\pm au^{2},$ ce qui est toujours possible de plusieurs manières, et si le nombre $a$ se trouve dans les Tables III et IV on aura sur-le-champ toutes les valeurs de $b$ que l’on peut admettre dans la forme générale $4an+b$ des diviseurs cherchés ; en sorte qu’on sera assuré d’avance qu’il n’y aura que les nombres qui, étant divisés par $4a,$ donneront pour restes quelques-unes des valeurs de $b,$ qui pourront être diviseurs du nombre proposé ; et comme pour trouver les diviseurs d’un nombre quelconque il suffit d’essayer successivement tous les nombres premiers moindres que la racine carrée de ce nombre, il est clair qu’on pourra d’abord exclure plusieurs de ces nombres premiers comme ne pouvant servir de diviseurs, ce qui épargnera beaucoup de tentatives inutiles, comme on va le voir par quelques Exemples.

Soit proposé de trouver les diviseurs du nombre $10\,001.$

Suivant la méthode ordinaire il faudrait tenter successivement la division par tous les nombres premiers moindres que $100,$ qui est la racine carrée la plus proche de $10\,001\,;$ de sorte que comme entre $2$ et $100$ il y a vingt-quatre nombres premiers, il faudrait faire vingt-quatre divisions particulières.

Or

1^o Je remarque que

$10\,001=(100)^{2}+1\,;$

de sorte qu’on a ici $a=1,$ et la Table III donne $b=1\,;$ c’est pourquoi aucun nombre ne pourra être diviseur de $10001,$ à moins qu’il ne soit de la forme $4n+1,$ c’est-à-dire qu’étant divisé par $4$ il donne $1$ de reste ; ce qui exclut déjà un grand nombre de nombres premiers tels que $3,7,11,19,\ldots \,;$

2^o Je remarque ensuite que si l’on fait le carré de $101$ on a $10\,201,$ dont la différence avec le nombre proposé est

$200=2(10)^{2},$

de sorte que le même nombre $10\,001$ peut aussi se représenter par

$(101)^{2}-2(10)^{2}\,;$

ainsi l’on aura $a=2,$ et la Table IV donnera $b=1,-1\,;$ d’où il s’ensuit que les diviseurs de $10\,001$ ne pourront être que de l’une ou de l’autre de ces deux formes $8n+1,8n-1\,;$ donc, puisqu’ils doivent être déjà de la forme $4n+1,$ il s’ensuit qu’ils ne pourront être que de la forme $8n+1\,;$ ainsi parmi tous les nombres premiers moindres que $100$ il ne faudra choisir que ceux qui, étant divisés par $8,$ donneront l’unité pour reste ; et l’on ne trouvera que ces cinq-ci

$17,\ \ 41,\ \ 73,\ \ 89,\ \ 97,$

qui seront admissibles ; de sorte que l’on n’aura plus que cinq diviseurs à essayer au lieu de vingt-quatre. On pourrait encore réduire le nombre de ces mêmes diviseurs en ramenant d’une autre manière le même nombre $10\,001$ à la forme $t^{2}\pm au^{2}\,;$ mais cela est presque inutile dans le cas présent où le nombre des diviseurs utiles est déjà si petit ; en effet, on trouvé que $17$ et $41$ ne divisent pas $10\,001,$ mais que $73$ le divise, et donne pour quotient le nombre $137$ qui est premier : d’où l’on conclut d’abord que les facteurs de $10\,001$ sont $73$ et $137.$

Je vais chercher de même les diviseurs du nombre suivant $10\,003.$

J’aurai d’abord la forme

$(100)^{2}+3,$

qui donne $a=3$ avec le signe $+\,;$ ensuite, à cause de $(101)^{2}=10\,201,$ j’aurai aussi

$10\,003=(101)^{2}-198=(101)^{2}-22(3)^{2}\,;$

donc $a=22$ avec le signe $-.$

LaTable III donne pour $a=3,\ b=1,-5\,;$ de sorte qu’on aura d’abord ces deux formes

$12n+1,\quad 12n-5\quad {\text{ou}}\quad 12n+7\,;$

ensuite la Table IV donnera pour $a=22,$

$b=\pm 1,\ \ \pm 3,\ \ \pm 9,\ \ \pm 25,\ \ \pm 27,\ \ \pm 7,\ \ \pm 13,\ \ \pm 21,\ \ \pm 29,\ \ \pm 39\,;$

d’où l’on tire les formes $88n\pm 1,\ 88n\pm 3,\ldots .$

Or puisqu’il suffit d’examiner les nombres premiers moindres que $100,$ on fera d’abord dans ces dernières formes $n=0$ ou $=1,$ et, rejetant les nombres qui ne seraient pas premiers, on ne trouvera que ceux-ci

$89,\ \ 3,\ \ 79,\ \ 97,\ \ 61,\ \ 7,\ \ 13,\ \ 67,\ \ 29,\ \ 59$

qui soient admissibles ; mais, en considérant les formes $12n+1,\ 12n+7,$ on voit qu’il faut encore rejeter tous ceux qui, étant diviséspar $12,$ donneront des restes différents de $1$ ou de $7\,;$ ainsi il n’y aura que ces six

$7,\ \ 13,\ \ 61,\ \ 67,\ \ 79,\ \ 97$

qui puissent servir. La division réussit d’abord par $7,$ et le quotient étant $1429$ qui est premier, il s’ensuit que les diviseurs de $10\,003$ sont seulement $7$ et $1429.$

Prenons encore pour exemple un nombre beaucoup plus grand, comme $100\,003.$

Il est visible qu’on aura d’abord la forme

$10(100)^{2}+3,$

ou bien en multipliantpar $10,$

$(1000)^{2}+30\,;$

de sorte qu’on aura $a=30$ avec le signe $+\,;$ ensuite je considère les carrés qui approchent le plus de $100\,003,$ je trouve $99\,856$ et $100\,489,$ dont les différences avec $100\,003$ sont $147=3(7)^{2}$ et $486=6(9)^{2},$ de sorte que j’aurai encore ces deux autres formes

$(316)^{2}+3(7)^{2}\quad {\text{et}}\quad (317)^{2}-6(9)^{2}\,;$

dont la première donne $a=3$ avec le signe $+,$ et la seconde $a=-6$ avec le signe $-.$

Considérons d’abord ces deux dernières formes, et elles donneront, suivant les Tables III et IV, l’une les formules $12n+1,\ 12n-5,$ et l’autre les formules $24n\pm 1\ 24n\pm 5,$ d’où l’on voit que l’on ne peut admettre que ces deux-ci $24n+1,\ 24n-5$ pour les diviseurs impairs du nombre proposé.

Maintenant la première forme où $a=30$ donnera, suivant la Table III, les formes suivantes :

${\begin{array}{llllll}120n+1,&120n+31,&120n+49,&120n-41,&120n+17,&120n+23,\\120n+47,&120n-7,&120n+13,&120n+37,&120n+43,&120n-53,\\120n+11,&120n+29,&120n+59,&120n-19\,;\end{array}}$

qu’il faudra comparer avec les précédentes $24n+1,\ 24n-5,$ pour en rejeter celles qui ne s’accorderont pas. Pour cela il n’y aura qu’à diviser successivement les expressions $120n+1,\ 120n+31,\ldots$ par $24,$ et l’on ne retiendra que celles qui donneront pour reste $1$ ou $-5,$ ou bien $19,$ et comme le nombre $120$ est divisible exactement par $24,$ il suffira de faire subir l’épreuve aux nombres $1,31,49,\ldots .$ De cette manière on ne trouvera que les nombres

$1,\ \ 49,\ \ 43,\ \ -53\,;$

de sorte que les formules utiles se réduiront à ces quatre-ci

$120n+1,\quad 120n+49,\quad 120n+43,\quad 120n-53\quad {\text{ou bien}}\quad 120n+67.$

Par conséquent, aucun nombre premier ne pourra être un diviseur du nombre $100\,003,$ à moins qu’il ne soit de l’une de ces formes, c’est-à-dire qu’étant divisé par $120$ il ne donne pour reste $1,$ ou $43,$ ou $49,$ ou $67.$ De plus, comme il suffit d’essayer pour diviseurs les nombres premiers qui sont moindres que ${\sqrt {100\,003}}$ c’est-à-dire moindres que $317,$ on fera dans les quatre formes précédentes $n=0,n=1$ et $n=2,$ et l’on ne retiendra des nombres résultants que ceux qui seront premiers, savoir

$43,\ \ 67,\ \ 163,\ \ 241,\ \ 283,\ \ 307\,;$

ainsi il n’y aura que ces six diviseurs à essayer, tandis que par la méthode ordinaire il faudrait en essayer soixante-quatre. Or on trouve que

la division ne réussit par aucun de ces six nombres premiers ; d’où l’on doit conclure sur-le-champ que le nombre $100\,003$ est premier.

En général, on voit par la comparaison des Tables V et VI avec les Tables III et IV, que le nombre des formes des non-diviseurs est égal à celui des formes des diviseurs ; de sorte que les formes admissibles ne composent que la moitié de toutes les formes possibles ; ce qui doit nécessairement réduire le nombre des essais à faire à la moitié ; mais en combinant ensemble plusieurs formes différentes, ainsi que nous l’avons fait dans les Exemples précédents, on parviendra encore à diminuer ce nombre autant qu’il sera possible.

des nombres premiers de la forme $4an+b,$ lesquels sont en même temps de la forme $u^{2}\pm at^{2}.$

36. M. Fermat a trouvé le premier les Théorèmes suivants :

1^o Tous les nombres premiers de la forme $4n+1$ sont aussi de la forme $y^{2}+z^{2}.$

2^o Tous les nombres premiers de la forme $6n+1$ sont de la forme $y^{2}+3z^{2}.$

3^o Tous les nombres premiers de la forme $8n+1$ sont de la forme $y^{2}+2z^{2}.$

4^o Tous les nombres premiers de la forme $8n+3$ sont aussi de la forme $y^{2}+2z^{2}.$

5^o Tous les nombres premiers de la forme $8n\pm 1$ sont de la forme $y^{2}-2t^{2}.$

6^o Le produit de deux nombres premiers de la forme $4n+3,$ et terminés par les caractères $3$ ou $7,$ est toujours de la forme $y^{2}+5z^{2}\,;$ et le carré de chacun de ces nombres en particulier est aussi de la même forme.

Les quatre premiers et le dernier de ces Théorèmes se trouvent dans une Lettre de M. Fermat à M. Digby insérée dans le Commercium epistolicum de M. Wallis (Wallisii Opera, t. II, p. 857) ; le cinquième ne se trouve, à la vérité, que dans les Lettres de M. Frenicle à M. Fermat, imprimées dans les Œuvres mathématiques de Fermat, pages 168, 170 ; mais il paraît, par ces Lettres mêmes, que ce dernier l’avait aussi déjà trouvé de son côté.

Quant à la démonstration de ces Théorèmes, M. Fermat ne l’a point donnée, du moins on n’en trouve aucune trace dans les Ouvrages de ce savant qui nous sont restés ; mais M. Euler a entrepris d’y suppléer, et a réussi en effet à démontrer les deux premiers Théorèmes, et même le troisième, quoiqu’il n’ait encore publié que la démonstration des deux premiers (voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. V, VI, VIII).

À l’égard des autres Théorèmes de M. Fermat, et surtout du quatrième, M. Euler avoue qu’il n’a pu parvenir à le démontrer ; il en est de même de quelques autres Théorèmes semblables que M. Euler a trouvés par induction (voyez t. VI, p. 221, et t. VIII, p. 127 des Commentaires cités), et que voici :

7^o Tous les nombres premiers des formes $20n+1$ et $20n+9$ sont de la forme $y^{2}+5z^{2}.$

8^o Tous les nombres premiers des formes $24n+1$ et $24n+7$ sont de la forme $y^{2}+6z^{2}.$

9^o Tous les nombres premiers des formes $24n+5$ et $24n+11$ sont de la forme $2y^{2}+3z^{2}.$

10^o Tous les nombres premiers de ces formes $28n+1,\ 28n+9,$$28n+11,\ 28n+15,\ 28n+23,\ 28n+25$ sont de la forme $y^{2}+7z^{2}.$

On trouve encore un plus grand nombre de pareils Théorèmes dans le tome XIV des anciens Commentaires de Pétersbourg, mais dont aucun n’a été démontré jusqu’à présent.

Les principes établis jusqu’ici peuvent servir à démontrer la plupart de ces Théorèmes et même à en trouver de nouveaux ; mais il faut pour cela poser les Lemmes suivants.

Lemme I.

37. Si $p$ est un nombre premier quelconque, et $x$ un nombre non divisible par $p,$ le nombre $x^{p-1}-1$ est toujours divisible par $p.$

C’est le Théorème connu de M. Fermat dont M. Euler a donné différentes démonstrations dans les Commentaires de Pétersbourg. Voyez aussi à ce sujet les Mémoires de 1771^[4]. Il y a donc un nombre $p-1$ de nombres entiers positifs ou négatifs, chacun moindre que ${\frac {p}{2}},$ qu’on peut prendre pour $x,$ en sorte que $x^{p-1}-1$ devienne divisible par $p\,;$ car ces nombres sont $\pm 1,\pm 2,\ldots ,$$\pm {\frac {p-1}{2}}.$

Lemme II.

38. Si le binôme $x^{p-1}-1$ est résoluble en deux facteurs rationnels et entiers $\mathrm {X}$ et $\xi ,$ dont les degrés soient $m$ et $\mu ,$ en sorte que $m+\mu =p-1\,;$ je dis qu’il y aura nécessairement $m$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ et $\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\xi$ aussi divisible par $p.$

Car puisque par le Lemme précédent il y a $p-1$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ qui rendent $x^{p-1}-1$ divisible par $p,$ il y aura donc $m+\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X} \xi$ divisible par $p\,;$ mais $p$ étant un nombre premier, $\mathrm {X} \xi$ ne peut être divisible par $p,$ à moins que $\mathrm {X}$ ou $\xi$ ne le soit ; d’autre part le nombre des valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles peuvent rendre le polynôme $\mathrm {X}$ ou $\xi$ divisible par $p,$ ne peut surpasser $m$ ou $\mu ,$ ainsi que nous l’avons démontré dans les Mémoires de 1768^[5] ; donc il faudra nécessairement que le nombre des valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ soit $m,$ et que celui des valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront divisible par $p,$ soit $\mu .$

En général, si $\Pi$ est un polynôme quelconque entier et rationnel en $x,$ dont le degré soit moindre que $p-1$ et que le polynôme $x^{p-1}\pm p\Pi -1$ soit résoluble dans les deux polynômes $\mathrm {X}$ et $\xi$ rationnels et entiers, il suit de la démonstration précédente qu’il y aura toujours $m$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ et $\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\xi$ divisible par $p.$

Lemme III.

39. Si un nombre premier $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ $a$ étant un nombre donné positif ou négatif et $t,u$ des nombres premiers entre eux, et non divisibles par $p\,;$ je dis que $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera nécessairement divisible par $p.$

Et réciproquement si $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ est divisible par $p,$ ce nombre $p$ pourra toujours être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}.$

Car :

1^o Supposant $t^{2}-au^{2}=p\mathrm {M} ,$ on aura

$t^{2}=au^{2}+p\mathrm {M} \,;$

or, par le Lemme I, $t^{p-1}-1$ et $u^{p-1}-1$ sont divisibles par $p\,;$ donc

$\left(au^{2}+p\mathrm {M} \right)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera aussi divisible par $p\,;$ mais en développant la puissance

$\left(au^{2}+p\mathrm {M} \right)^{\frac {p-1}{2}},$

on voit que tous les termes en sont d’eux-mêmes multiples de $p,$ excepté

le premier

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}\,;$

donc

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p\,;$ mais $u^{p-1}-1$ étant aussi divisible par $p,$

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}-a^{\frac {p-1}{2}}$

sera encore divisible par $p\,;$ par conséquent la différence de ces nombres, c’est-à-dire

$a^{\frac {p-1}{2}}-1,$

sera nécessairement divisible par $p.$

2^o Si $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ est supposé divisible par $p,$ alors, par le Lemme II, il y aura toujours quelques valeurs de $x$ qui rendront chacun des facteurs de

$x^{p-1}-a^{\frac {p-1}{2}}$

${\Bigl (}\!$ en prenant $a^{\frac {p-1}{2}}-1=p\Pi {\Bigr )}$ divisible par $p\,;$ mais ce binôme a pour facteur $x^{2}-a\,;$ donc $p$ pourra être diviseur de $x^{2}-a,$ c’est-à-dire d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}.$

Lemme IV.

40. Si l’on a un nombre premier $p$ de la forme $4n+1,$ lequel soit un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il le sera aussi nécessairement d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Et vice versâ si $p$ n’est jamais un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra jamais l’être d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Car si $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ on aura par le Lemme précédent $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ divisible par $p\,;$ mais ${\frac {p-1}{2}}=2n\,;$ donc $a^{2n}-1$ sera divisible par $p\,;$ donc aussi, changeant $a$ en $-a,$ $(-a)^{2n}-1$ sera divisible par $p\,;$ c’est-à-dire que

$(-a)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p\,;$ par conséquent, par la seconde partie du Lemme précédent, $p$ sera un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

De même, en changeant $a$ en $-a$ on prouvera que si $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2},$ il le sera aussi d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}\,;$ par conséquent, si $p$ ne peut être un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra l’être non plus d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Lemme V.

41. Si $p$ est de la forme $4n-1,$ et que ce nombre soit un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra jamais l’être d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Et réciproquement si $p$ ne peut être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il le sera nécessairement d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Car $p$ étant un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ il faudra que l’on ait $a^{\frac {p-1}{2}}-1,$ savoir $a^{2n-1}-1$ divisible par $p$ (Lemme III) ; de même, pour que $t^{2}+au^{2}$ fût divisible par $p,$ il faudrait que l’on eût, en changeant $a$ en $-a,$ $(-a)^{2n-1}-1$ divisible par $p,$ c’est-à-dire (à cause que l’exposant $2n-1$ est impair) que $a^{2n-1}+1$ fût aussi divisible par $p\,;$ ce qui ne se peut.

Si $p$ ne peut être un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ alors $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ ne sera pas divisible par $p$ (Lemme III). Or $a^{p-1}-1$ est toujours nécessairement divisible par $p$ (Lemme I) ; mais

$a^{p-1}-1=\left(a^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {p-1}{2}}+1\right)\,;$

donc puisque $p$ est premier et que $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ n’est pas divisible par $p,$ il

faut nécessairement que $a^{\frac {p-1}{2}}+1$ soit divisible par $p.$ Ainsi dans ce cas

$a^{\frac {p-1}{2}}+1\quad {\text{ou bien}}\quad a^{2n-1}+1$

sera divisible par $p\,;$ donc aussi

$(-a)^{2n-1}-1\quad {\text{ou bien}}\quad (-a)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p.$ Donc, par le Lemme III, le nombre $p$ sera diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

42. Corollaire. — Il suit des deux derniers Lemmes :

1^o Que si $4an+b$ est une des formes des diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}$ lorsque $b$ sera de la forme $4m+1\,;$ et que si $4an+b$ est une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}.$

2^o Que si $4an+b$ est une des formes des diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}$ lorsque $b$ sera de la forme $4m-1\,;$ et que si $4an+b$ est une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi nécessairement une des formes des diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}.$ Les quatre dernières Tables fournissent des exemples de la vérité de ces propositions.

Lemme VI.

43. Si un nombre premier $p$ est à la fois diviseur de différents nombres de ces formes $t^{2}-au^{2},\ t^{2}-a'u^{2},\ t^{2}-a''u^{2},\ldots ,$ je dis qu’il sera aussi diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-aa'a''\ldots u^{2}.$

Si $p$ divise en même temps les deux nombres $t^{2}-au^{2}$ et $t'^{2}-a'u'^{2},$ il divisera aussi le nombre

$t^{2}\left(t'^{2}-a'u'^{2}\right)+a'u'^{2}\left(t^{2}-au^{2}\right),$

c’est-à-dire

$(tt')^{2}-aa'(uu')^{2}\,;$

et, si le même nombre $p$ divise encore le nombre $t''^{2}-a''u''^{2},$ on prouvera pareillement qu’il divisera aussi le nombre

$(tt't'')^{2}-aa'a''(uu'u'')^{2}\,;$

et ainsi de suite. Au reste, on voit par cette démonstration que la proposition est vraie, en général, quel que soit le nombre $p,$ premier ou non.

Lemme VII.

44. Si le nombre premier $p$ ne peut jamais être diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ je dis qu’il sera nécessairement un diviseur d’un nombre de la forme

${\frac {\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}-\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}}{2t{\sqrt {a}}}},$

et même d’un facteur quelconque de cette formule.

Car si $p$ ne peut être un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ alors $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ ne sera pas divisible par $p$ (Lemme III) ; mais, $a^{p-1}-1$ étant toujours divisible par $p$ (Lemme I), il faudra que $a^{\frac {p-1}{2}}+1$ soit divisible par $p,$ puisque

$a^{p-1}-1=\left(a^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {p-1}{2}}+1\right).$

Maintenant si l’on considère la quantité $\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p}$ et qu’on la résolve en série par le Théorème de Newton, on verra qu’à cause que $p$ est un nombre premier, tous les termes seront d’eux-mêmes divisibles par $p,$ excepté le premier $t^{p}$ et le dernier $u^{p}a^{\frac {p}{2}},$ et cela indépendamment des valeurs de $t,u,a.$ Donc

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t^{p}-u^{p}a^{\frac {p}{2}}$

sera toujours divisible par $p.$ Mais $t$ et $u$ n’étant pas divisibles par $p,$ on a, par le Lemme I, $t^{p-1}-1$ et $u^{p-1}-1$ divisibles par $p\,;$ donc aussi

$t^{p}-1\quad {\text{et}}\quad \left(u^{p}-p\right)a^{\frac {p}{2}},$

et par conséquent

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t^{p}-u^{p}a^{\frac {p}{2}}$

seront divisibles par $p\,;$ or $a^{\frac {p-1}{2}}+1$ est divisible par $p\,;$ donc $u^{p}a^{\frac {p}{2}}+u{\sqrt {a}}$

le sera aussi ; donc

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t+u{\sqrt {a}}$

sera divisible par $p\,;$ donc, prenant le radical ${\sqrt {a}}$ en $-,$

$\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t-u{\sqrt {a}}$

sera également divisible par $p\,;$ donc enfin multipliant la première de ces quantités par $t+u{\sqrt {a}},$ et la seconde par $t-u{\sqrt {a}},$ et prenant la différence, cette différence sera encore divisible par $p\,;$ ainsi

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}-\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}$

sera toujours divisible par $p\,;$ mais si l’on développe cette quantité, on voit qu’à cause, que $p+1$ est pair, tous les termes sont divisibles par $2t{\sqrt {a}}\,;$ donc, puisque ni $t$ ni ${\sqrt {a}}$ n’est divisible par $p,$ il s’ensuit que la quantité

${\frac {\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}-\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}}{2t{\sqrt {a}}}}$

sera divisible par $p.$

Cette quantité étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de $t,$ devient un polynôme entier et rationnel du degré $p-1\,;$ ainsi, supposant $u$ donné, il y aura $p-1$ valeurs de $t$ tant positives que négatives, mais moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront ce polynôme divisible par $p,$ ces valeurs étant

$\pm 1,\quad \pm 2,\quad \pm 3,\ldots \quad \pm {\frac {p-1}{2}}.$

Donc on prouvera, comme dans le Lemme II, que si ce polynôme a un facteur rationnel et entier de l’ordre $m,$ il y aura nécessairement $m$ valeurs de $t$ qui rendront aussi ce facteur divisible par $p.$

théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n-1.$

45. Comme les nombres premiers de cette forme qui ne sont pas diviseurs de $t^{2}\pm au^{2}$ le sont nécessairement de $t^{2}\mp au^{2}$ par le Lemme V (41), on pourra appliquer à ces nombres les propriétés qui conviennent aux diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}\,;$ donc en combinant la Table V avec la Table II et la Table IV, et la Table VI avec la Table I et la Table III, et ne considérant que les valeurs de $b$ qui sont de la forme $4m-1,$ on aura les Théorèmes suivants :

1^o Tous les nombres premiers de la forme $8n+3$ sont de la forme $y^{2}+2z^{2}.$

2^o Tous les nombres premiers de la forme $8n-1$ sont en même temps de ces deux formes $y^{2}-2z^{2}$ et $2z^{2}-y^{2}.$

3^o Tous les nombres premiers de la forme $12n-5$ sont de la forme $y^{2}+3z^{2}.$

4^o Tous les nombres premiers de la forme $12n-s1$ sont de la forme $3z^{2}-y^{2}.$

5^o Tous les nombres premiers de ces formes $20n+3,\ 20n+7$ sont de la forme $2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}\,;$ ou bien ces nombres étant multipliés par $2$ deviendront de la forme $y^{2}+5z^{2}.$

6^o Tous les nombres premiers de ces formes $20n-1,\ 20n-9$ sont en même temps de l’une et de l’autre des deux formes $y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-y^{2}.$

7^o Tous les nombres premiers de la forme $24n+7$ sont de la forme $y^{2}+6z^{2}\,;$ et tous ceux de la forme $24n+11$ sont de la forme $2y^{2}+3z^{2}.$

8^o Tous les nombres premiers de la forme $24n+11$ sont de la forme $6z^{2}-y^{2}\,;$ et ceux de la forme $24n-5$ sont aussi de la forme $y^{2}-6z^{2}.$

9^o Tous les nombres premiers de ces formes $28n+11,\ 28n-5,$$28n-13$ sont de la forme $y^{2}+7z^{2}.$

10^o Tous les nombres premiers des formes $28n+3,\ 28n-1,\ 28n-9,$ sont de la forme $7z^{2}-y^{2}.$

11^o Tous les nombres premiers de ces formes $40n+11,\ 40n+19$ sont de la forme $y^{2}+10z^{2}\,;$ et ceux des formes $40n+7,\ 40n-17$ sont de la forme $2y^{2}+3z^{2}.$

12^o Tous les nombres premiers de ces forrnes $40n-1,\ 40n-9$ sont en même temps de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}-10z^{2}$ et $10z^{2}-y^{2}\,;$ et ceux des formes $40n+3,\ 40n-13$ sont de l’une et de l’autre des formes $2y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-2y^{2}.$

13^o Tous les nombres premiers de ces formes $44n+3,\ 44n+15,$$44n-13,\ 44n-17,\ 44n-21$ sont ou de la forme $y^{2}+11z^{2},$ ou bien de la forme $3y^{2}\pm 2yz+4z^{2}.$

14^o Tous les nombres premiers de ces formes $44n+7,\ 44n+19,$$44n-1,\ 44n-5,\ 44n-9$ sont de la forme $11z^{2}-y^{2}.$

15^o Tous les nombres premiers de ces formes $52n+7,\ 52n+11,$$52n+15,\ 52n+19,\ 52n-5,\ 52n-21$ sont de la forme $2y^{2}\pm 2yz+7z^{2},$ ou bien ces nombres étant multipliés par $2$ deviendrontde la forme $y^{2}+13z^{2}.$

16^o Tous les nombres premiers de ces formes $52n+3,\ 52n+23,$$52n-1,\ 52n-9,\ 52n-17,\ 52n-25$ sont en même temps de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}-13z^{2}$ et $13z^{2}-y^{2}.$

17^o Tous les nombres premiers des formes $56n+15,\ 56n+23,$$56n-17$ sont ou de la forme $y^{2}+14z^{2}$ ou de celle-ci $2y^{2}+7z^{2}\,;$ et les nombres premiers des formes $56n+3,\ 56n+19,\ 56n+27$ sont de la forme $3y^{2}\pm 2yz+5z^{2}\,;$ ou bien ces nombres étant multipliés par $3$ deviendront de la forme $y^{2}+14z^{2}.$

18^o Tous les nombres premiers de ces formes $56n+11,\ 56n-5,$$56n-13$ sont de la forme $y^{2}+14z^{2}\,;$ et tous ceux des formes $56n-1,$$56n-9,\ 56n-25$ sont de la forme $14z^{2}-y^{2}.$

19^o Tous les nombres premiers de ces formes $60n+19,\ 60n-29$ sont de la forme $y^{2}+15z^{2}\,;$ et tous ceux des formes $60n_{2}3,\ 60n-13$ sont de la forme $3y^{2}+5z^{2}.$

20^o Tous les nombres premiers de ces formes $60n+11,\ 60n-1$ sont de la forme $15z^{2}-y^{2}\,;$ et ceux des formes $60n+7,\ 60n-17$ sont de la forme $3y^{2}-5z^{2}.$

21^o Tous les nombres premiers de ces formes $68n+3,\ 68n+11,$$68n+23,\ 68n+27,\ 68n+31,\ 68n-5,\ 68n-29$ sont de la forme $3y^{2}\pm 2yz+6z^{2}\,;$ ou bien ces nombres étant multipliés par $3$ deviendront de la forme $y^{2}+17z^{2}.$

22^o Tous les nombres premiers de ces formes $68n+15,\ 68n+19,\$$68n-1,\ 68n-9,\ 68n-13,\ 68n-21,\ 68n-25,\ 68n-33$ sont en même temps de ces deux formes $y^{2}-17z^{2}$ et $17z^{2}-y^{2}.$

23^o Tous les nombres premiers de ces formes $76n+7,\ 76n+11,$$76n+23,\ 76n+35,\ 76n-13,\ 76n-21,\ 76n-29,\ 76n-33,\ 76n-37$ sont ou de laforme $y^{2}+19z^{2},$ ou bien de la forme $4y^{2}\pm 2yz+5z^{2}.$

24^o Tous les nombres premiers de ces formes $76n+3,\ 76n+15,$$76n+27,\ 76n+31,\ 76n-1,\ 76n-5,\ 76n-9,\ 76n-17,\ 76n-25$ sont de la forme $19z^{2}-y^{2}.$

25^o Tous les nombres premiers de ces formes $84n+19,\ 84n+31,$$84n-29$ sont de la forme $3y^{2}+7z^{2}\,;$ et ceux des formes $84n+11,$$84n+23,\ 84n-13$ sont de la forme $2y^{2}\pm 2yz+11z^{2},$ ou bien ces nombres étant multipliés par $2$ deviendront de la forme $y^{2}+21z^{2}.$

26^o Tous les nombres premiers de ces formes $84n-5,\ 84n-17,$$84n-41$ sont de la forme $y^{2}-21z^{2}\,;$ et ceux des formes $84n-1,$$84n-25,\ 84n-37$ sont de la forme $21z^{2}-y^{2}.$

27^o Tous les nombres premiers de ces formes $88n+15,\ 88n+23,$$88n+31,\ 88n-17,\ 88n-41$ sont de la forme $y^{2}+22z^{2}\,;$ et ceux des formes $88n+19,\ 88n+35,\ 88n+43,\ 88n-5,\ 88n-37$ sont de la forme $2y^{2}+11z^{2}.$

28^o Tous les nombres premiers de ces formes $88n+3,\ 88n+27,$$88n-13,\ 88n-21,\ 88n-29$ sont de la forme $y^{2}-22z^{2}\,;$ et ceux des formes $88n+7,\ 88n+39,\ 88n-1,\ 88n-9,\ 88n-25$ sont de la forme $22z^{2}-y^{2}.$

29^o Tous les nombres premiers de ces formes $92n+3,\ 92n+27,$$92+31,\ 92n+35,\ 92n+39,\ 92n-5,\ 92n-17,\ 92n-21,\ 92n-33,$$92n-37,\ 92n-45$ sont ou de la forme $y^{2}+23z^{2},$ ou bien de la forme $3y^{2}\pm 2yz+8z^{2}.$

30^o Tous les nombres premiers de ces formes $92n+7,\ 92n+11,$$92n+15,\ 92n+19,\ 92n+43,\ 92n-1,\ 92n-13,\ 92n-13,$$92n-25,\ 92n-29,\ 92n-41$ sont de la forme $23z^{2}-y^{2}.$

31^o Tous les nombres premiers de ces formes $104n+3,\ 104n+27,$$104n+35,\ 104n+43,\ 104n+51,\ 104n-29$ sont ou de la forme $y^{2}+26z^{2},$ ou bien de la forme $3y^{2}\pm 2yz+9z^{2}\,;$ et tous ceux de ces formes $104n+7,\ 104n+15,\ 104n+31,\ 104n+47,\ 104n-33,$$104n-41$ sont ou de la formes $2y^{2}+13z^{2},$ ou bien de la forme $5y^{2}\pm 4yz+6z^{2}.$

32^o Tous les nombres premiers de ces formes $104n+23,\ 104n-1,$$104n-9,\ 104n-17,\ 104n-25,\ 104-49$ sont de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}-26z^{2}$ et $26z^{2}-y^{2}\,;$ et ceux des formes $104n+11,$$104n+19,\ 104n-5,\ 104n-21,\ 104n-37,\ 104n-45$ sont en même temps de l’une et de l’autre de ces formes-ci $2y^{2}-13z^{2}$ et $13z^{2}-2y^{2}.$

33^o Tous les nombres premiers de ces formes $116n+3,\ 116n+11,$$116n+15,\ 116n+19,\ 116n+27,\ 116n+31,\ 116n+39.116n+43,$$116n+47,\ 116n+55,\ 116n-17,\ 116n-21,\ fl6n-37,\ 116n-41$ sont ou de la forme $2y^{2}\pm 2yz+15z^{2},$ ou bien de celle-ci $3y^{2}\pm 2yz+10z^{2}.$

34^o Tous les nombres premiers de ces formes $116n+7,\ 116n+23,$$116n+35,\ 116n+51,\ 116n-1,\ 116n-5,\ 116n-9,\ 116n-13,$$116n-25,\ 116n-33,\ 116n-45,\ 116n-49,\ 116n-53,\ 116n-57$ sont à la fois de ces deux formes $y^{2}-29z^{2}$ et $29z^{2}-y^{2}.$

35^o Tous les nombres premiers de ces formes $120n+31,\ 120n-41$ sont de la forme $y^{2}+30z^{2}\,;$ ceux des formes $120n+23,\ 120n+47$ sont de la forme $2y^{2}+15z^{2}\,;$ ceux des formes $120n+43,\ 120n-53$ sont de la forme $3y^{2}+10z^{2}\,;$ enfin ceux des formes $120n+11,\ 120n+59$ sont de la forme $5y^{2}+6z^{2}.$

36^o Tous les nombres premiers des formes $120n+19,\ 120n-29$ sont de la forme $y^{2}-30z^{2}\,;$ tous ceux des formes $120n-1,\ 120n-49$ sont de la forme $30z^{2}-y^{2}\,;$ tous ceux des formes $120n+7,\ 120n-17$ sont de la forme $15z^{2}-2y^{2}\,;$ enfin tous ceux des formes $120n-13,\ 120n-37$ sont de la forme $2y^{2}-15z^{2}.$

Nous nous arrêtons ici, n’ayant poussé nos Tables que jusqu’à $a=30\,;$ mais ceux qui sont curieux de ces sortes de Théorèmes pourront aisément les continuer aussi loin qu’ils voudront à l’aide des principes et des méthodes que nous avons donnés jusqu’ici.

46. Maintenant il est clair que le Théorème 10 du numéro précédent renferme le Théorème 4^o de M. Fermat (36) ; que le Théorème 2^o ci-dessus renferme une partie du Théorème 5^o de M. Fermat, et qu’il est même plus général que celui de ce Géomètre, en ce que le nôtre nous apprend que tous les nombres premiers de la forme $8n-1$ sont non-seulement de la forme $y^{2}-2z^{2},$ mais aussi de celle-ci $2z^{2}-y^{2}.$ Enfin il est visible que notre Théorème 3^o renferme aussi le Théorème 2^o de M. Fermat, mais pour le cas seulement où $n$ est impair.

Quant au Théorème 6^o de cet Auteur, quoiqu’il ne soit point contenu immédiatement dans le Théorème 5^o du numéro précédent, il est cependant facile de l’en déduire. En effet, on peut d’abord démontrer que tous les nombres de la forme $4m+3,$ qui sont terminés par les caractères $3$ ou $7,$ sont nécessairement de l’une de ces deux formes $20n+3,\ 20n+7\,;$ car en faisant successivement

$m=5n,\ \ 5n+1,\ \ 5n+2,\ \ 5n+3,\ \ 5n+4,$

la forme $4m+3$ donne celle-ci

$20n+3,\ \ 20n+7,\ \ 20n+11,\ \ 20n+15,\ \ 20n+19\,;$

où l’on voit qu’il n’y a que les deux premières qui puissent donner des nombres terminés par $3$ ou par $7.$ Ainsi le Théorème de M. Fermat se réduit à ce que le produit de deux nombres premiers de ces formes $20n+3,\ 20n+7$ est toujours de la forme $y^{2}+5z^{2}.$ Or notre Théorème 5^o nous apprend que tous les nombres premiers des formes $20n+3,\ 20n+7$ sont nécessairement de la forme $2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}.$ Donc il n’y a qu’à prouver que le produit de deux nombres de la forme

$2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}$ est de la forme $y^{2}+5z^{2}$ ce qui est facile, car on trouve que

$\left(2y^{2}+2yz+3z^{2}\right)\left(2y'^{2}+2y'z'+3z'^{2}\right)$

$=(2yy'+yz'+zy'+3zz')^{2}+5(yz'-zy')^{2}.$

À l’égard des autres Théorèmes de M. Fermat qui concernent les nombres premiers de la forme $4n+1,$ on en trouvera la démonstration ci-après.

47. Les Théorèmes du n^o 45 ne regardent que les nombres premiers de la forme $4n-1.$ Pour avoir de pareils Théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n+1,$ il faudrait pouvoir démontrer que les nombres premiers de la forme $4na+b,$ lorsque $b$ est de la forme $4m+1,$ peuvent toujours être diviseurs de quelque nombres de la forme $t^{2}+au^{2}$ ou $t^{2}-au^{2}\,;$ car nous avons déjà prouvé (40) que tout nombre premier de la forme $4n+1$ qui est un diviseur de $t^{2}\pm au^{2}$ l’est aussi de $t^{2}\mp au^{2}.$ Or quoique l’induction paraisse prouver que les nombres premiers des formes qui conviennent aux diviseurs de $t^{2}\pm au^{2}$ peuvent toujours être effectivement des diviseurs de pareils nombres, cette proposition ne peut être démontrée rigoureusement par rapport aux nombres premiers de la forme $4n+1$ que pour un très-petit nombre de cas ; du moins toutes les tentatives que j’ai faites pour en venir à bout ont été jusqu’à présent inutiles ; de sorte que je me bornerai ici à rapporter les résultats de mes Recherches dans quelques cas particuliers où j’ai réussi à trouver la démonstration de la proposition dont il s’agit ; ce sont ceux où $b=1$ et où $a=1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7$ ou $=$ au produit de quelques-uns de ces nombres, et où $b=9$ et $a=5,10.$

théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n+1.$

48. Nous avons vu (Lemmes I et II) qu’on peut toujours trouver une valeur des $x$ telle que $x^{p-1}-1,$ ou un quelconque des facteurs rationnels et entiers de ce binôme soit divisible par $p.$ Soit donc $p=4na+1,$ on aura

$x^{p-1}-1=x^{4na}-1=\left(x^{2na}-1\right)\left(x^{2na}+1\right)\,;$

ainsi $x^{2na}+1$ pourra être divisible par $4na+1,$ lorsque c’est un nombre premier. Faisons $x^{n}=r,$ et l’on aura le binôme $r^{2a}+1$ qui pourra être divisible par $4na+1\,;$ faisons de plus $r^{2}+1=s,$ et le binôme $r^{2a}+1$ pourra se réduire à cette forme

$s^{a}-as^{a-2}r^{2}+{\frac {a(a-3)}{2}}s^{a-4}r^{4}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{2.3}}s^{a-6}r^{6}$

$+{\frac {a(a-5)(a-6)(a-7)}{2.3.4}}s^{a-8}r^{8}-\ldots ,$

quantité que nous appellerons $\mathrm {R}$ pour plus de simplicité. Ainsi tout nombre premier de la forme $4na+1$ pourra être un diviseur du polynôme $\mathrm {R} ,$ ou même d’un facteur quelconque entier et rationnel de ce polynôme. Il faut seulement remarquer, à l’égard de la série qui représente ce polynôme, qu’elle ne doit être poussée que jusqu’aux termes exclusivement qui contiendraient des puissances négatives de $s\,;$ c’est de quoi il est facile de se convaincre par la nature même de cette série, laquelle, en y substituant $r^{2}+1$ à la place de $s,$ doit se réduire à $r^{2a+1}.$

Cela posé, soit d’abord $a=1\,;$ on aura

$\mathrm {R} =s=r^{2}+1\,;$

donc tout nombre premier de la forme $4n+1$ pourra être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+u^{2}\,;$ donc (18) :

1^o Tout nombre premier de la forme $4n+1$ est aussi de la forme $y^{2}+z^{2}.$

Soit ensuite $a=2,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{2}-r^{2}\,;$

d’où il s’ensuit que tout nombre premier de la forme $8n+1$ peut être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-2u^{2},$ et par conséquent aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+2u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

2^o Tout nombre premier de la forme $8n+1$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+2z^{2},\ y^{2}-2z^{2}$ et $2z^{2}-y^{2}.$ Soit en troisième lieu $a=3,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{3}-3sr^{2}=s\left(s^{2}-3r^{2}\right)\,;$

donc tout nombre premier de la forme $12n+1$ pourra être diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-3u^{2},$ et par conséquent aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+3u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

3^o Tout nombre premier de la forme $12n+1$ sera en même temps de la forme $y^{2}+3z^{2}$ et de l’une de ces deuxs $y^{2}-3z^{2}$ et $3z^{2}-y^{2}\,;$ mais on voit par la Table IV que la forme $-y^{2}+3z^{2}$ ne donne que des nombres de la forme $12n-1\,;$ donc tout nombre premier $12n+1$ sera nécessairement de ces deux formes $y^{2}+3z^{2}$ et $y^{2}-3z^{2}.$

Soit en quatrième lieu $a=5,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{5}-5s^{3}r^{2}+5sr^{4}=s\left(s^{4}-5s^{2}r^{2}+5r^{4}\right)\,;$

donc tout nombre premier de la forme $20n+1$ pourra être un diviseur de $s^{4}-5s^{2}r^{2}+5r^{4},$ par conséquent aussi de

$4s^{4}-20s^{2}r^{2}+20r^{4}=\left(2s^{2}-5r^{2}\right)^{2}-5r^{4},$

c’est-à-dire d’un nombre de la forme $t^{2}-5u^{2}\,;$ donc il pourra l’être aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+5u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

4^o Tout nonabre premier de la forme $20n+1$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+5z^{2},\ y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-y^{2}.$

En cinquième lieu, soit $a=7,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{7}-7s^{5}r^{2}+14s^{3}r^{4}-7sr^{6}=s\left[s^{6}-7\left(s^{2}-r^{2}\right)^{2}r^{2}\right]\,;$

donc tout nombre premier de la forme $20n+1$ pourra être un diviseur de $s^{6}-7\left(s^{2}-r^{2}\right)^{2}r^{2},$ et par conséquent d’un nombre de la forme $t^{2}-7u^{2},$ comme aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+7u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

5^o Tout nombre premier de la forme $28n+1$ sera en même temps de la forme $y^{2}+7z^{2}$ et de l’une de ces deux-ci $y^{2}-7z^{2},\ 7z^{2}-y^{2}\,;$ mais la Table IV montre que la forme $-y^{2}+7z^{2}$ ne peut donner des nombres de la forme $28n+1\,;$ donc tout nombre premier $28n+1$ sera nécessairement de ces deux formes $y^{2}+7z^{2}$ et $y^{2}-7z^{2}.$

Si l’on faisait encore $a=11,$ on aurait

$\mathrm {R} =s^{11}-11s^{9}r^{2}+11.4s^{7}r^{4}-11.7s^{5}r^{6}+11.5s^{3}r^{8}-11sr^{10}\,;$

de sorte que tout nombre premier de la forme $44n+1$ pourra être un diviseur de

$s^{11}-11\left(s^{8}-4s^{6}r^{2}+7s^{4}r^{4}-5s^{2}r^{6}+r^{8}\right)r^{2}\,;$

mais je ne vois pas comment cette quantité pourrait se réduire à la forme $t^{2}-11u^{2}\,;$ c’est pourquoi il me paraît que l’usage de la méthode précédente est borné aux seuls cas que nous venons d’examiner ; d’autant plus que ces cas sont les seuls où l’on ait pu jusqu’ici déterminer les racines de l’équation $r^{2a}+1=0,$ en supposant $a$ un nombre premier ; en effet, si l’on pouvait trouver, pour une valeur quelconque de $a,$ l’expression de la racine $r,$ et que cette expression contint d’une manière quelconque le radical ${\sqrt {a}}$ ou ${\sqrt {-a}},$ il est facile de voir qu’on pourrait toujours avoir un facteur de $r^{2a}+1$ qui serait de la forme $t^{2}\pm au^{2},$ et qui pourrait par conséquent être divisible par tout nombre premier de la forme $4na+1.$

Ayant trouvé jusqu’ici que tout nombre premier de la forme $4na+1$ est toujours un diviseur de $t^{2}\pm au^{2}$ lorsque $a=2,\ 3,\ 5,\ 7,$ il s’ensuit du Lemme VI que cela sera vrai aussi lorsque $a$ sera égal au produit de quelques-uns des nombres $2,\ 3,\ 5,\ 7.$ Ainsi, faisant successivement

$a=6,\ 10,\ 14,\ 15,\ 21,\ 30,$

on trouvera, d’après les Tables I et II combinées avec les Tables III et IV, les Théorèmes suivants :

6^o Tout nombre premier de la forme $24n+1$ est en même temps de l’une et de l’autre de ces deux formes $y^{2}+6z^{2}$ et $y^{2}-6z^{2}.$

7^o Tout nombre premier de la forme $40n+1$ est en même temps de chacune de ces trois formes $y^{2}+10z^{2},\ y^{2}-10z^{2}$ et $10z^{2}-y^{2}.$

8^o Tout nombre premier de la forme $56n+1$ est de la forme $y^{2}+14z^{2}$ ou $2y^{2}+7z^{2},$ et en même temps de la forme $y^{2}-14z^{2}.$

9^o Tout nombre premier de la forme $60n+1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+15z^{2}$ et $y^{2}-15z^{2}.$

10^o Tout nombre premier de la forme $84n-1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+21z^{2}$ et $y^{2}-21z^{2}.$

11^o Tout nombre premier de la forme $120n+1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+30z^{2}$ et $y^{2}-30z^{2}.$

Considérons maintenant les nombres premiers de la forme $20n+9,$ et je dis que ces nombres sont nécessairement diviseurs de quelques nombres de la forme $t^{2}-5u^{2}.$ Car si on le nie, il faudra qu’on admette (Lemme VII, n^o 45) que le nombre

${\frac {\left(t+u{\sqrt {5}}\right)^{20n+10}-\left(t-u{\sqrt {5}}\right)^{20n+10}}{2t{\sqrt {5}}}},$

et même qu’un facteur quelconque de ce nombre est divisible par le nombre premier $20n+9.$ Or l’expression précédente a évidemment ce facteur

${\frac {\left(t+u{\sqrt {5}}\right)^{5}-\left(t-u{\sqrt {5}}\right)^{5}}{2t{\sqrt {5}}}},$

c’est-à-dire, en développant les termes,

$5\left(t^{4}+10t^{2}u^{2}+5u^{4}\right)=25\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}-5\left(2t^{2}\right)^{2}\,;$

donc le nombre $20n+9$ sera nécessairement diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-5u^{2}.$ De là et des Tables citées résulte d’abord ce Théorème :

12^o Tout nombre premier de la forme $20n+9$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+5z^{2},\ y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-y^{2}.$

Enfin puisque les nombres de la forme $40n+9$ sont aussi de la forme $8n+1,$ et que nous avons déjà vu que les nombres premiers de cette dernière forme sont toujours diviseurs de quelques nombres de la forme $t^{2}-2u^{2}\,;$ il s’ensuit du Lemme VI qu’en faisant $a=2.5,$ les nombres premiers de la forme $4na+9,$ c’est-à-dire $40n+9,$ seront toujours diviseurs de quelques nombres de la forme $u^{2}-at^{2},$ c’est-à-dire de $u^{2}-10t^{2}.$ Donc

13^o Tout nombre premier de la forme $40n+9$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+10z^{2},\ y^{2}-10z^{2}$ et $10z^{2}-y^{2}.$

49. Scolie I. — Au reste, si l’on combine les Théorèmes que nous avons démontrés jusqu’ici avec le Lemme III, on en pourra déduire un grand nombre d’autres Théorèmes d’Arithmétique qui seraient peut-être bien difficiles à démontrer directement.

Ainsi, si $p$ est un nombre premier d’une de ces formes $8n\pm 1,$ $2^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p,$ et si $p$ est de la forme $8n\pm 3,$ $2^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera alors divisible par $p.$

De même, si $p$ est de la forme $12n\pm 1,$ $3^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p,$ et si $p$ est de la forme $12n\pm 5,$ $3^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera alors divisible par $p.$

Si $p$ est d’une de ces formes $20n\pm 1,\ 20n\pm 9,$ $5^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p\,;$ et si $p$ est d’une de ces formes $20n\pm 3,\ 20n\pm 7,$ alors $5^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera divisible par $p.$ Et ainsi de suite.

50. Scolie II. — Les nombres premiers de la forme $4n+1$ sont toujours la somme de deux carrés (48) ; mais les nombres premiers de la forme $4n-1$ ne pouvant jamais être la somme de deux carrés, seront nécessairement là somme de trois ou de quatre carrés, puisqu’il est démontré que tout nombre entier est ou carré ou la somme de deux ou trois ou quatre carrés [voyez les Mémoires pour 1770^[6]]. Or je remarque que la forme $4n-1$ se réduit à ces deux-ci $8n-1$ et $8n+3\,;$ à l’égard des nombres premiers de la forme $8n+3$ on a prouvé qu’ils sont toujours la somme d’un carré et du double d’un carré (45) ; et quant à ceux de la forme $8n-1,$ M. Fermat assure que le double de chacun de ces nombres est toujours aussi la somme d’un carré et du double d’un carré (voyez la Lettre à M. Digby citée ci-dessus, n^o 36) ; mais ce dernier Théorème est du nombre de ceux qui restent encore à démontrer. On peut observer que la forme $8n-1$ se réduit à ces trois-ci $24n-1,\ 24n+7,\ 24n+15,$ dont il n’y a que les deux premières qui puissent convenir à des nombres premiers ; or il est déjà démontré (45) que tout nombre premier de la forme $24n+7$ est de la forme $y^{2}+6z^{2}\,;$ donc le double d’un nombre premier de la même forme sera de la forme

$2y^{2}+12z^{2}=(y+2z)^{2}+(y-2z)^{2}+(2z)^{2},$

c’est-à-dire la somme de trois carrés. Ainsi le Théorème dont il s’agit est démontré pour tous les nombres premiers de la forme $8n-1$ lorsque $n$ n’est pas un multiple de $3\,;$ et il ne reste plus qu’à le démontrer pour les nombres de la forme $24n-1\,;$ mais je ne vois pas, quant à présent, comment on y pourrait parvenir.

J’ajouterai, en finissant, que j’ai remarqué que tout nombre premier de la forme $4n-1$ est la somme d’un nombre premier de la forme $4n+1$ et du double d’un nombre premier de la même forme ; ainsi

${\begin{array}{lll}\,\ 3=1+2.1,\qquad 7=5+2.1,&11=1+2.5,&19=17+2,\\23=13+2.5=1+2.11,&31=29+2,&43=41+2,\\47=37+2.5=1+2.23,\ldots \,;\end{array}}$

mais ce n’est que par induction que j’ai trouvé ce Théorème.

1. La première Partie de ce Mémoire a été insérée dans le volume de la seconde Partie dans le volume de 1775.$\qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
2. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377 et 655.
3. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 659.
4. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 425.
5. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 667.
6. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 189.