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Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Recherches d’Arithmétique

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RECHERCHES D’ARITHMÉTIQUE.


[Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin
, années 1773 et 1775[1].]


Séparateur

PREMIÈRE PARTIE.

Ces Recherches ont pour objet les nombres qui peuvent être représentés par la formule

sont supposés des nombres entiers donnés, et des nombres aussi entiers, mais indéterminés. Je donnerai d’abord la manière de trouver toutes les différentes formes dont les diviseurs de ces sortes de nombres sont susceptibles ; je donnerai ensuite une méthode pour réduire ces formes au plus petit nombre possible ; je montrerai comment on en peut dresser des Tables pour la pratique, et je ferai voir l’usage de ces Tables dans la recherche des diviseurs des nombres. Je donnerai enfin la démonstration de plusieurs Théorèmes sur les nombres premiers de la même forme dont quelques-uns sont déjà connus, mais n’ont pas encore été démontrés, et dont les autres sont entièrement nouveaux.

1. Avertissement. — On suppose toujours dans la suite que toutes les lettres désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on représentera ordinairement par les premières lettres de l’alphabet les nombres donnés, et par les dernières les nombres indéterminés.

2. Observation. — La formule du premier degré et sont des nombres quelconques donnés et premiers entre eux, peut représenter un nombre quelconque ; mais il n’en est pas de même de la formule du second degré car nous avons prouvé ailleurs [voyez les Mémoires de l’Académie pour les années 1767 et 1768[2]] que l’équation

est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres pourvu que les deux derniers soient premiers entre eux ; mais que l’équation

ne l’est que dans certains cas, et lorsque certaines conditions ont lieu entre les nombres donnés On doit dire la même chose, à plus forte raison, des formules du troisième degré et au delà.

3. Scolie. — Il y a donc une grande différence entre les formules du premier degré et celles des degrés supérieurs, celles-là pouvant représenter tous les nombres possibles, au lieu que celles-ci ne peuvent représenter que certains nombres qui doivent être distingués de tous les autres par des caractères particuliers. De très-grands Géomètres ont déjà considéré les propriétés des nombres qui peuvent être représentés par quelques-unes des formules du second degré ou des degrés ultérieurs, comme celles-ci

(Voyez les Ouvrages de M. Fermat et les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. I, IV, V, VI, VIII). Mais personne, que je sache, n’a encore traité cette matière d’une manière directe et générale, ni donné des règles pour trouver à priori les principales propriétés des nombres qui peuvent se rapporter à des formules quelconques données.

Comme ce sujet est un des plus curieux de l’Arithmétique, et qu’il mérite particulièrement l’attention des Géomètres par les grandes difficultés qu’il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu’on ne l’a encore fait ; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.

Théorème I.

4. Si le nombres est un diviseur d’un nombre représenté par la formule

en supposant et premiers entre eux, je dis que ce nombre sera nécessairement de la forme

où l’on aura

et étant aussi premiers entre eux.

Car soit le quotient de la division de par en sorte qu’on ait

et soit la plus grande commune mesure entre et (si et sont premiers entre eux, on aura ) ; de manière qu’en faisant

et soient premiers entre eux ; on aura donc

par conséquent sera divisible par mais et étant premiers entre eux (hypothèse), sera aussi premier à qui est un diviseur de donc il faudra que soit divisible par de sorte qu’on aura et l’équatiou étant divisée par elle deviendra

Maintenant, puisque et sont premiers entre eux, on peut supposer (par l’Observation précédente)

ce qui, étant substitué, donnera

de sorte qu’il faudra que le nombre soit divisible par et comme et sont premiers entre eux, il faudra que soit divisible par donc divisant toute l’équation par et faisant

on aura

Or sera égal à

à cause de Donc, etc.

Maintenant, comme et sont premiers entre eux (hypothèse), et le seront aussi, à cause de mais si et n’étaient pas premiers entre eux, il est clair que devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de ce qui ne pouvant être, il s’ensuit que et seront nécessairement premiers entre eux si et le sont.

Théorème II.

5. Toute formule du second degré telle que celle-ci

dans laquelle est plus grand que ou (abstraction faite des signes de ces quantités), peut se transformer en une autre du même degré, comme

dans laquelle on aura

et où sera plus petit que

Car soit par exemple on fera

et la formule proposée deviendra

ou bien, en changeant en

où l’on aura

de sorte qu’on aura d’abord, quel que soit le nombre

Or, puisque est moindre que (hypothèse), il est clair qu’on peut déterminer le nombre en sorte que devienne moindre que donc, etc.

6. Corollaire I. — Donc, si dans la transformée

l’un des nombres ou est moindre que on pourra parvenir à une autre transformée telle que

dans laquelle on aura pareillement

et où sera plus petit que et ainsi de suite ; donc, comme la série des nombres

ne saurait aller à l’infini, à cause que ces nombres doivent être tous entiers et décroissants de l’un à l’autre, il faudra nécessairement qu’on vprive à une transformée, que je représenterai ainsi

dans laquelle ne sera pas plus grand que ni que et où l’on aura

7. Corollaire II. — Si les nombres et de la formule proposée sont premiers entre eux, il est clair que les nombres et de la transformée seront aussi premiers entre eux ; car si ceux-ci ne l’étaient pas il faudrait, à cause de et de que fût divisible par la plus grande commune mesure entre et

Donc les nombres et de la seconde transformée seront aussi par la même raison premiers entre eux, et ainsi de suite ; d’où l’on peut conclure que les nombres et de la dernière transformée seront nécessairement premiers entre eux, si les nombres et le sont.

Théorème III.

8. Si est un diviseur d’un nombre de la forme

et élant premiers entre eux, je dis que ce nombre sera nécessairement de la forme

et étant aussi premiers entre eux, et étant tels, qu’on ait

et de plus n’étant ni plus grand que ni plus grand que abstraction faite des signes de et

La démonstration de ce Théorème suit naturellement des deux Théorèmes hrécédents et de leurs Corollaires.

9. Corollaire I. — Si est un nombre positif, il faudra que soit aussi positif ; donc, à cause que ou et ou il est clair que sera aussi ou et par conséquent

donc on aura aussi

et de là

10. Corollaire II. — Soit maintenant un nombre négatif, en sorte que soit positif ; on aura donc dans ce cas ce qui, à cause que n’est jamais plus grand que ni plus grand que ne peut avoir lieu à moins que ne soit un nombre négatif ; ainsi sera un nombre positif ou à cause de ou et ou de sorte que sera ou et par conséquent sera aussi ou donc il faudra que

11. Corollaire III. — Donc, puisque doit être un nombre entier, on ne pourra prendre pour que les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne surpasseront pas les limites trouvées, en comprenantaussi le zéro parmi les nombres entiers ; d’où l’on voit que ne pourra jamais avoir qu’un certain nombre de valeurs différentes.

De plus, il est clair que pour que l’équation

puisse subsister en nombres entiers, il faut que soit pair ou impair, suivant que sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre des valeurs de

Connaissant on trouvera facilement et par la même équation ; car, à cause de

il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre pour et les facteurs du nombre entier

en avant soin de rejeter ceux dont l’un ou tous les deux seraient plus grands que

Problème I.

12. Trouver toutes les formespossibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré

et étant des nombres premiers entre eux.

Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme

et étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients lorsque celles de et sont données.

Pour cet effet je distingue deux cas, l’un lorsque le nombre est positif, et l’autre lorsque ce nombre est négatif.

1o Soit ( désignant un nombre positif) ; on déterminera d’abord par ces conditions que soit pair ou impair suivant que le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre ensuite on déterminera et par ces conditions-ci que et soient deux facteurs du nombre et que chacun de ces facteurs ne soit pas moindre que (9 et 11).

2o Soit on déterminera par ces conditions que soit pair ou impair suivant que le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre après quoi l’on déterminera les valeurs correspondantes de et par ces conditions, que et soient deux facteurs du nombre et que chacun d’eux ne soit pas moindre que (10 et 11).

13. Remarque I. — Si l’on avait alors étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que et ensuite on aurait aussi de sorte que l’un des nombres ou serait nul et l’autre serait tout ce qu’on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule

se réduit à celle-ci

de sorte que, comme peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.

14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule

est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que et dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2) ; c’est ce qui arrive quand est égal à un nombre carré pris négativement ; car supposant

on a

Or, quoique dans ce cas tout nombre puisse être un diviseur de la formule dont il s’agit, cependant si l’on cherche les formules des diviseurs

par le Problème précédent, on les trouvera comme dans les autres cas, de sorte qu’il en faudra conclure que ces formules renfermeront tous les nombres possibles.

Au reste, comme on a

il est clair que la formule générale des diviseurs

sera aussi résoluble en deux formules rationnelles du premier degré.

15. Remarque III. — Il est remarquableque les formules des diviseurs ne dépendent que de la valeur de c’est-à-dire du nombre mais il est facile d’en voir la raison en remarquant que la formule

peut se réduire à

de sorte que les diviseurs de la formule peuvent étre regardés aussi comme diviseurs de cette formule plus simple

Il résulte de là qu’il suffit de considérer les formules de cette dernière espèce ; et pour cela nous ajouterons encore le Problème suivant, qui peut être regardé comme un cas particulier du précédent, mais qui dans le fond a la même généralité.

Problème II.

16. Trouver toutes les formes possibles des diviseuts des nombres de la forme

étant un nombre quelconque positif donné, et et étant des nombres indéterminés premiers entre eux.

1o Considérons la formule

et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura

donc donc devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que ainsi, faisant et regardant comme positif, il faudra que ne soit pas plus grand que ensuite on aura

de sorte que si et dénotent deux facteurs de dont aucun ne soit moindre que on aura

pour la formule générale des diviseurs de

Il est bon de remarquer que comme il faudra que et soient de même signe, et il est clair qu’il faudra les prendre positivement pour que la formule

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme cette formule ne change point de forme en y mettant à la place de il ne sera pas nécessaire de prendre successivement pour chacun des facteurs de et pour tous les facteurs correspondants ; c’est pourquoi dans chaque couple de facteurs de il suffira de prendre toujours le plus petit pour et le plus grand pour et c’est ainsi que nous en userons dans la suite.

2o Considérons maintenant la formule

et l’on aura

donc comme ci-dessus ; c’est pourquoi on fera de même et il faudra que ne soit pas plus grand que ensuite on aura

de sorte que si l’on désigne par et deux facteurs de dont aucun ne soit plus petit que on aura

ce qui donnera ces deux formules

pour les diviseurs de et l’on trouverait la même chose pour la formule

Quant aux nombres et nous les prendrons tous les deux positifs, et nous supposerons toujours que soit le plus petit des deux facteurs de et le plus grand, comme nous l’avons dit plus haut ; car il est visible qu’en changeant les signes de et ou mettant l’un de ces nombres à la place de l’autre, on n’aurait pas de nouvelles formules.

17. Corollaire. — Si l’on multiplie la formule

par elle pourra se mettre sous cette forme

c’est-à-dire à cause de sous celle-ci

qui est la même que celle de la formule D’où il s’ensuit que tout diviseur d’un nombre de la forme sera aussi nécessairement de la même forme si n’a d’autres valeurs que l’unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de s’il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules

étant multipliées par deviendront, à cause de

De sorte que tout diviseur d’un nombre de la forme ou sera nécessairement de l’une ou de l’autre de ces deux formes si n’est que l’unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de s’il y en a plus d’une.

théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme
et étant supposés premiers entre eux.

18. I. Soit donc non plus grand que donc donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont nécessairement renfermés dans la formule

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal la somme de deux carrés est aussi la somme de deux carrés.

II. Soit donc non plus grand que donc donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont renfermés dans la formule

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal à la somme d’un carré et d’un double carré est aussi la somme d’un carré et d’un double carré.

III. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

ensuite faisant on aura

donc, comme ni ni ne doivent être on aura

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront renfermés dans ces deux formules

Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu’à des nombres pairs, étant toute divisible par il s’ensuit que tout diviseur impair de

sera nécessairement renfermé dans la formule

c’est-à-dire que : Tout diviseur impair d’un nombre qui est la somme d’un

carré et d’un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d’un carré et d’un triple carré.

Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu’à des diviseurs pairs ; c’est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de et qui seraient paires à la fois.

IV. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on a donc

(car nous rejetons les valeurs parce qu’elles sont toutes deux paires) ; faisant on a donc

ce qui doit être rejeté à cause que serait

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

seront aussi de la forme

V. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on a donc

et faisant on a donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont nécessairement de l’une ou de l’autre de ces formes-ci

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles sont toujours (17) de la forme

VI. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on aura donc

ce qui doit être rejeté parce que serait

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront de l’une ou de l’autre de ces formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront de la même forme

VII. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on aura donc

ce qui ne peut convenir qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

seront nécessairement aussi de la forme

VIII. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

et l’on rejettera les valeurs comme ne pouvant appartenir qu’à des diviseurs pairs ; faisant ensuite on aura donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs triples, seront toujours de la même forme

IX. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on aura donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont nécessairement de l’une de ces trois formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs doubles ou leurs triples, pourront toujours se rapporter à la même forme

X. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on aura donc

ce qui n’est point admissible à cause que serait

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont toujours de l’une de ces formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront nécessairement de la même forme

XI. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on a donc

faisant on a donc

car les valeurs et sont à rejeter à cause qu’elles ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront toujours de la même forme

XII. Soit donc non plus grand que donc ou ou Faisant on aura donc

en rejetant les valeurs qui ne conviendraient qu’aux diviseurs pairs ; faisant on aura donc

ce qui doit être rejeté à cause que serait faisant on aura donc

car, à cause de ne doit pas être ce qui doit être rejeté si l’on ne considère que les diviseurs impairs.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la formule

sont de l’une ou de l’autre de ces formes

de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront de la même forme

Nous n’étendrons pas ces Recherches plus loin, d’autant que les Exemples que nous venons de donner sont plus que suffisants pour montreur l’application de nos méthodes et pour mettre sur la voie ceux qui voudront en faire usage pour découvrirde nouveaux Théorèmes sur la forme des diviseurs des nombres

19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sont connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermat ; mais M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n’est d’ailleurs applicable qu’aux cas où le nombre ne surpasse pas c’est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.

À l’égard des Théorèmes qu’il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblvble qu’il ne les a trouvés que par induction, d’autant qu’il n’en a fait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s’étendre à d’autres nombres qu’à ceux de la forme et (tome VI, page 214).

Théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme
ou et étant supposés premiers entre eux.

20. I. Soit donc non plus grand que donc donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont de la forme

par conséquent (14) tout nombre est réductible à cette forme

c’est ce qu’on sait d’ailleurs.

II. Soit donc non plus grand que donc donc

de sorte que les formes des diviseurs de

seront

mais je remarque que ces deux formes reviennent à la même ; car faisant

(ce qui donne et et par conséquent des valeurs entières pour et ), la formule devient

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont nécessairement de l’une et de l’autre de ces formes

III. Soit donc non plus grand que donc donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont de l’une et de l’autre de ces deux formes

IV. Soit donc non plus grand que donc donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront nécessairement renfermés dans les formule

par conséquent (14) tout nombre quelconque sera de l’une de ces formes.

Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu’à des diviseurs pairs, telles que celle-ci ainsi nous rejetterons dans la suite, comme-nous l’avons déjà fait plus haut, les valeurs de et de qui se trouveront paires en même temps.

V. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on a donc

faisant on aurait de sorte qu’à cause que et doivent n’être pas on ne pourrait faire que

mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu’elles sont toutes deux paires ; ainsi l’on n’aura que ces deux formes de diviseurs

lesquelles se réduisent d’ailleurs à la même, comme on peut s’en convaincre en faisant

(ce qui donnerait et et par conséquent des valeurs entières pour et ) dans la formule laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci,

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

sont en même temps de chacune de ces deux formes

VI. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant ensuite on aura ce qui ne donnerait que

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que serait de sorte que les formules des diviseurs des nombres de la forme

seront

Mais j’observe que ces dernières se réduisent aux deux premières en faisant

ce qui donne

et par conséquent

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront toujours aussi de l’une ou de l’autre de ces formes.

VII. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

et faisant on aura donc

de sorte que les formules des diviseurs de

seront

et leurs inverses

Mais je remarque ici que les deux premières de ces formules reviennent à la même, aussi bien que les deux dernières ; car faisant

(ce qui donne et c’est-à-dire des nombres entiers pour et ), la formule

deviendra

et la formule

deviendra de même

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

seront nécessairement aussi de la forme

VIII. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

mais ces dernières valeurs peuvent être rejetées à cause qu’elles sont

toutes deux paires ; faisant ensuite on aura ce qui ne donnerait que

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que serait

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

seront de l’une ou de l’autre de ces deux formes

IX. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

et faisant on aura ce qui, à cause de non plus petit que donnerait

valeurs qu’on peut rejeter à cause qu’elles sont l’une et l’autre paires.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

seront toujours de quelqu’une de ces formes

par conséquent (14) tout nombre quelconque impair sera réductible à l’une de ces formes.

X. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on aura donc

de sorte que les formules des diviseurs de

seront

Or je remarque d’abord que cette dernière formule peut se réduire à ces deux-ci

en faisant

ou

ce qui donne toujours pour et des nombres entiers ; je remarque ensuite que les deux formules

peuvent aussi se réduire à la même en faisant dans la première

ce qui la transformera en et quant aux nombres et il est clair qu’ils seront toujours entiers, puisque l’on aura

De là je conclus que les diviseurs des nombres de la forme

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

aussi bien que de celles-ci

XI. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

faisant on a donc

De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,

Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières ; car en faisant

(ce qui donne et et par conséquent toujours des nombres entiers pour et ), la formule

devient

et la formule

devient de même

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

sont toujours de l’une ou de l’autre de ces formes

XII. Soit donc non plus grand que donc ou Faisant on aura donc

en rejetant les valeurs paires et faisant ensuite, on aurait donc

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que serait ainsi l’on n’aura que ces formules

sur lesquelles je remarque que les deux dernières sont réductibles aux deux premières, en faisant

ce qui donne et et par conséquent des valeurs entières pour et

D’où l’on peut conclure que les diviseurs impairs des nombres de la forme

seront toujours de l’une ou de l’autre de ces deux formes

aussi bien que de ces deux-ci

21. Remarque. — Telle est la méthode qu’il faudra suivre pour trouver les formules des diviseurs des nombres de la forme

en donnant à des valeurs quelconques au delà de cette méthode est, comme on voit, d’un usage très-facile et très-simple ; mais elle paraît sujette à une espèce d’inconvénient, c’est qu’elle donne quelquefois plus de formules qu’il n’en faut pour représenter tous les diviseurs des nombres d’une forme donnée ; de sorte qu’il arrive que quelques-unes de ces formules reviennent à la même, comme nous l’avons vu dans les Exemples précédents. Pour y remédier il faudrait donc avoir une règle

générale par laquelle on pût reconnaître facilement les formules qui sont identiques entre elles : c’est ce que nous allons examiner, avec toute la généralité dont la matière est susceptible ; et comme il n’est pas démontré jusqu’ici que cette identité de formules ne puisse avoir lieu dans les diviseurs des nombres de la forme quoique les différents cas du no 18 n’en fournissent aucun exemple, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, nous considérerons également les formules de l’une et de l’autre espèce.
Problème III.

22. Étant donnée la formule

dans laquelle et sont des nombres indéterminés et sont des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

( étant un nombre positif donné) et que ne soit ni ni absfraction faite des signes de et trouver si cette formule peut se transformer en une autre de la même espèce et qui soit assujettie aux même conditions.

Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu’on ne saurait employer d’autres substitutions que celles-ci

et étant deux nouvelles indéterminées, et des nombres arbitraires. En effet ces substitutions donneront une transformée de cette forme

dans laquelle on aura

et il ne s’agira que de voir si l’on peut déterminer les nombres en sorte que l’on ait

et que ne soit ni ni

Pour satisfaire à la première condition je substitue dans la quantité les valeurs de et je trouve, en effaçant ce qui se détruit,

mais (hypothèse)

donc, pour que soit aussi égal à il faudra que l’on ait

et par conséquent

À l’égard de la seconde condition, il est clair qu’elle ne saurait avoir lieu à moins que ne soit en même temps et ainsi nous supposerons que soit en effet et et nous allons voir ce qui doit s’ensuivre.

Soit (le raisonnement serait le même si était en prenant seulement à la place de ), il est clair qu’on peut faire

et qu’on peut prendre tel que devienne moindre que car il n’y a qu’à prendre pour le quotient de la division de par et sera le reste ; de plus il est facile de voir qu’on peut toujours supposer que ne soit pas moindre que car si l’on trouvait en sorte que on pourrait faire

c’est-à-dire prendre et à la place de Or si l’on suppose aussi, ce qui est permis,

étant un nombre quelconque, et qu’on substitue ces valeurs de et

de dans l’expression de elle deviendra

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

on aura

Or il faut que soit donc, puisque est ou il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités et ne soient de signes différents et que ne soit en même temps abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

de sorte que si l’on fait

on aura

et la substitution de ces valeurs dans la formule

donnera la nouvelle transformée

en supposant

et

comme plus haut.

Or à cause de

on aura

ei par conséquent

On trouvera aussi

et par conséquent

De sorte que, comme est positif et que est il faudra que soit ainsi la transformée précédente sera telle, que sera et

De la même manière, à cause que est on pourra supposer

et prendre en sorte qu’il ne soit pas et que soit et faisant ensuite

en sorte que l’on ait

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

dans laquelle on aura

et où l’on aura aussi

en sorte que sera et abstraction faite des signes de et

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que soit ce terme, en sorte que l’on ait donc à cause de

on aura

donc

donc

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

1o Que l’on ait abstraction faite des signes de ces nombres ; mais et à cause de non plus grand que (hypothèse), donc ne pourra être à moins que ne soit égal à zéro ou égal à

2o Que soit en même temps or si on a

de sorte qu’à cause de non plus grand que (hypothèse), sera toujours au lieu d’être plus grand ; si on aura

mais on suppose que soit donc, pour que soit il faudrait que pût être ce qui ne se peut à cause que n’est jamais et que d’ailleurs et doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation
un nombre positif.

De là je conclus qu’il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu ; de sorte que si l’on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement diflérentes entre elles, et qu’elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.

23. Étant donnée la formule

dans laquelle et sont des nombres indéterminés, et des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

( étant un nombre positif donné) et que ne soit ni ni abstraction faite des signes de et trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.

Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,

on aura la transformée

dans laquelle