SUR LES
INTÉGRALES PARTICULIÈRES
DES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES[1].
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1774.)
Dans un Mémoire de feu M. Clairaut, imprimé parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1734, on trouve cette remarque singulière, qu’il y a des équations différentielles qu’on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l’intégration, quoique d’ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très-bien les Problèmes géométriques qui conduisent à ces équations (voyez les Mémoires de 1734, pages 209 et suivantes).
M. Euler a mis ensuite ces deux espèces de paradoxes dans un plus grand jour, et il les a confirmés par différents Exemples tirés de la Géométrie c’est le sujet d’un Mémoire donné à cette Académie et imprimé dans le volume de 1756 sous le titre d’Exposition de quelques paradoxes dans le Calcul intégral. Ce grand Géomètre avait aussi déjà remarqué, dans sa Mécanique, qu’il y a souvent des solutions particulières qui échappent à la solution générale, et il avait même donné une formule pour trouver ces solutions particulières dans un grand nombre de cas (voyez Mechanica, tome II, Articles 268, 303, 335) ; mais ni M. Clairaut ni M. Euler n’avaient encore cherché les moyens de reconnaître à priori si une équation finie qui satisfait à une équation différentielle donnée est comprise ou non dans l’intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale.
Ce Problème, qui est d’une grande importance dans la Théorie du Calcul intégral, a depuis été résolu par M. Euler dans le premier volume de son Calcul intégral. M. d’Alembert s’en est occupé aussi et en a rendu la solution plus rigoureuse et plus générale dans les Mémoire de l’Académie des Sciences de Paris, année 1769 (voyez pages 84 et suivantes). On trouve de plus quelques principes généraux sur le même sujet dans les Ouvrages de M. le Marquis de Condorcet (voyez son Calcul intégral, page 67, les Mémoires de Turin, tome IV, pages 7 et suivantes). Enfin je viens de lire un Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles, que M. de Laplace a donné depuis peu à l’Académie des Sciences, et qui doit paraître dans le volume de 1772, mais dont l’Auteur a bien voulu m’envoyer d’avance un exemplaire imprimé. Dans ce Mémoire, M. de Laplace perfectionne et étend plus loin la théorie déjà connue des solutions particulières, et, ce que personne n’avait encore fait, il donne des méthodes pour trouver directement toutes les solutions particulières qui peuvent satisfaire à une équation différentielle donnée, et qui ne seraient point comprises dans la solution générale de cette équation.
Cette lecture a réveillé d’anciennes idées que j’avais sur la même matière et a occasionné les recherches suivantes, dans lesquelles je me flatte de pouvoir présenter aux Géomètres une Théorie nouvelle et complète sur le point d’Analyse dont il s’agit.
Article Ier. — Des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre à deux variables, et de la manière de les déduire des intégrales complètes.
1. J’entends, en général, par intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, une équation finie qui satisfait à cette équation différentielle et qui renferme une constante arbitraire ; si l’on donne à cette constante une valeur déterminée, l’intégrale devient alors incomplète, parce qu’elle ne renferme plus de constante arbitraire ; mais elle sera toujours comprise dans l’intégrale complète. Les intégrales particulières dont nous allons traiter ici sont celles qui, ne renfermant point de constante arbitraire, ne sont pas non plus comprises dans l’intégrale complète, et par conséquent échappent à la méthode ordinaire d’intégration. Par exemple, l’intégrale complète de l’équation
est
ou bien
étant une constante arbitraire. Si l’on donnait à une valeur déterminée quelconque, comme si l’on faisait on aurait
qui serait une intégrale incomplète ; mais l’équation précédente, malgré la constante arbitraire n’est pas la seule équation finie qui satisfasse à l’équation différentielle proposée ; car il est aisé de voir que l’équation
y satisfait aussi, équation qu’on voit bien n’être pas comprise dans celle-là, puisque l’une est à un cercle dont le rayon est et l’autre est à une parabole ayant pour paramètre.
L’équation
sera donc une intégrale particulière de l’équation différentielle
on trouvera de même que l’équation
est l’intégrale particulière de l’équation différentielle
dont l’intégrale complète est
étant la constante arbitraire. Il en est de même d’une infinité d’autres équations différentielles qui admettent des intégrales particulières, lesquelles ne sauraient être comprises dans les intégrales complètes de ces équations.
2. Après nous être assurés à posteriori de l’existence des intégrales particulières, cherchons, maintenant à priori, et d’après les seuls principes du Calcul intégral, quelle est l’origine de ces sortes d’intégrales.
Pour considérer les choses d’une manière générale, soit
une équation différentielle quelconque, étant une fonction de et de supposons que l’intégrale complète de cette équation soit
étant une fonction de et d’une constante arbitraire qui n’entre point dans la fonction et voyons comment cette équation satisfait à l’équation différentielle
L’équation étant différentiée, donne celle-ci
où est une fonction finie de et puis donc que ces deux équations
ont lieu en même temps, on peut en éliminer la quantité et l’on aura une équation entre et où n’entrera plus, et qui aura donc lieu en même temps que l’équation finie ce sera donc nécessairement l’équation
D’où l’on peut conclure que, si est l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre celle-ci ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire à l’aide des deux équations et
Ainsi, l’équation finie
donne par la différentiation
éliminant on aura
ce qui se réduit à
par conséquent, l’équation ci-dessus sera l’intégrale complète de cette équation différentielle, étant la constante arbitraire (1).
3. Maintenant, puisque l’équation différentielle résulte des deux équations et en éliminant la constante il est visible que l’on aura toujours la même équation quelle que soit la valeur de la quantité qu’on doit éliminer ; ainsi, quand même cette quantité ne serait pas constante, comme on l’a supposé jusqu’ici, il est clair que l’équation finie satisfera toujours à l’équation différentielle pourvu que, par la différentiation de l’équation on ait également, dans le cas de variable, Or, en faisant varier dans l’équation les quantités et à la fois, il est clair qu’on aura cette équation différentielle
et étant des fonctions de et et l’on voit que, pour que cette équation se réduise à comme dans le cas de constante, il n’y a qu’à supposer la quantité égale à zéro. Faisant donc
on aura une équation par laquelle on pourra déterminer la valeur de en et et cette valeur de étant ensuite substituée dans l’équation finie cette équation satisfera encore à l’équation différentielle et en sera une intégrale particulière.
4. Comme en faisant varier à la fois les quantités et dans l’équation on a
on aura, en faisant varier seulement et
et par conséquent
donc si est l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre et que soit la constante arbitraire introduite par l’intégration ; qu’on fasse varier dans l’équation et et qu’on suppose ensuite qu’on détermine par le moyen de cette équa-
tion, et qu’on substitue sa valeur dans l’intégrale complète
ou bien, ce qui revient au même, qu’on élimine
par le moyen des deux équations
et
on aura une intégrale particulière de la même équation différentielle
Si l’équation
renferme la quantité
mêlée avec les variables
et
alors la valeur de
tirée de cette équation sera une fonction des mêmes variables ; par conséquent l’intégrale particulière, qui résultera de la substitution de cette valeur de
dans l’équation
sera nécessairement différente de l’intégrale complète
dans laquelle
est supposée constante.
Mais il peut arriver, ou que l’équation ne renferme que la quantité avec des constantes, mais sans ni ou que cette équation ne renferme que et sans Dans le premier cas, la valeur de sera nécessairement constante ; ainsi il n’y aura point alors d’intégrale particulière proprement dite.
Dans le second cas, l’équation sera elle-même une intégrale de la proposée ; mais, pour pouvoir juger si c’est une intégrale particulière ou non, il faudra combiner cette équation avec l’équation en éliminant ou et voir si la résultante donne a variable ou constante. S’il arrivait que la valeur de demeurât indéterminée ou ce serait une marque que l’équation est un facteur de l’équation indépendant de la constante arbitraire et par conséquent étranger à l’équation différentielle
Au reste, si l’équation avait des facteurs, il faudrait appliquer à chacune des équations qui en résulteraient ce que nous venons de dire en général sur l’équation
5. Si, au lieu de faire varier et dans l’équation on y fait varier et et qu’on suppose cette équation, traitée comme l’équation servira aussi à déterminer les intégrales particulières de la même équation différentielle ce qui est aisé à démontrer par les mêmes principes que nous avons établis ci-dessus. L’équation donnera le plus souvent les mêmes résultats que l’équation mais il y a des cas où ces équations donnent des résultats différents il faudra donc avoir égard à ces deux équations, pour pouvoir trouver toutes les intégrales particulières de l’équation et il est facile de démontrer qu’il n’y a pas d’autres combinaisons possibles qui puissent fournir des intégrales de cette espèce non comprises dans l’intégrale complète
6. Pour éclaircir la théorie précédente par quelques exemples, je prends d’abord l’équation différentielle
dont nous avons déjà vu que l’intégrale complète est
où est la constante arbitraire. Faisant donc varier d’abord et on aura
et faisant varier et on a
les deux équations.
donnent également
ce qui étant substitué dans l’intégrale complète, on a
intégrale particulière de l’équation différentielle proposée, et la seule qui ait lieu.
Soit ensuite l’équation différentielle
dont l’intégrale complète est.
En faisant varier et on en tire
donc
et combinant cette équation avec la précédente, on aura
donc
intégrale particulière de la proposée. Si l’on faisait varier et on aurait
de sorte que l’équation donnera le même resultat que l’équation et qu’ainsi il n’y aura d’autre intégrale particulière possible que celle qu’on a trouvée.
Soit de plus l’équation différentielle
dont on trouve que l’intégrale complète est
étant la constante arbitraire.
Faisant done varier et on aura
donc
par conséquent
et combinant cette équation avec la précédente, on aura
de sorte qu’on aura, en éliminant
intégrale particulière de la proposée, et qui n’est point comprise dans l’intégrale complète.
Si l’on fait varier et on aura
et l’équation redonnera le même résultat que nous venons de trouver d’après l’équation Ainsi la proposée n’admet point d’autre intégrale particulière que la précédente. Voyez au reste, sur l’intégration de ces deux équations, les nos 17 et 19 ci-après.
Considérions enfin l’équation différentielle séparée
dans laquelle
l’intégrale complète de cette équation est, comme j’ai fait voir ailleurs[2],
où est la constante arbitraire, et
Faisant d’abord varier et et ensuite et à la fois, et supposant, pour plus de simplicité,
on aura
Les équations et donnent d’abord la même équation
laquelle, ne contenant point la quantité peut être ou n’être pas une intégrale particulière. Pour pouvoir en juger, je reprends l’intégrale complète, et j’en tire
où l’on voit qu’en faisant
devient
par conséquent, l’équation
n’est point une intégrale particulière, mais un cas de l’intégrale complète.
Rejetant donc le facteur l’équation donne encore mais, comme le dénominateur de la fraction se réduit alors à qui devient aussi nul lorsque est en même temps égal à zéro, il s’ensuit que l’équation peut être une intégrale particulière, pourvu que ne soit pas à la fois égal à zéro. De même, l’équation donnera pourvu que ne soit pas en même temps égal à zéro. Or il est clair, par l’expression de trouvée ci-dessus, que la valeur de ne devient point constante par la supposition de ni par celle de Donc on peut conclure que les équations et seront deux intégrales particulières de la proposée, pourvu que l’on n’ait pas en même temps et ainsi donc les intégrales particulières de l’équation dont il s’agit seront toutes comprises sous cette forme
en prenant pour une des racines simples quelconques de l’équation
Si l’équation proposée était
l’intégrale complète serait
d’où l’on tirerait les mêmes valeurs de et que ci-dessus, à l’exception que dans la première le radical y serait avec un signe différent.
On aurait donc d’abord l’équation
mais comme la valeur de qui dans ce cas est
devient, par la supposition de égale à il s’ensuit que l’équation doit être rejetée comme étrangère à l’équation différentielle
quoiqu’elle soit contenue (4) dans l’intégrale
Ensuite on trouvera, comme ous haut, les intégrales particulières
étant une des racines simples de l’équation
7. On voit donc par ce que nous venons de démontrer comment, lorsqu’on a trouvé l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, on en peut aisément déduire les intégrales particulières qui satisfont à la même équation ; on voit aussi que si ces intégrales particulières ne sont pas comprises dans l’intégrale complète, ce n’est nullement une imperfection du Calcul intégral, comme on pourrait le croire, faute de donner à ce Calcul toute la généralité dont il est susceptible. Ainsi l’on doit regarder la théorie que nous venons de donner, moins comme une exception que comme un supplément nécessaire à la règle générale du Calcul intégral.
Article II. — De l’étendue des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre, et de la manière de trouver ces intégrales sans connaître les intégrales complète.
8. L’équation finie
dans laquelle est une fonction des variables et d’une arbitraire donne par la différentiation, et en faisant varier à la fois et,
étant des fonctions finies de et différentiant et substituant pour sa valeur, on aura
et différentiant de même on aura
et ainsi de suite. Maintenant si l’on regarde comme constante, on a pour le premier ordre
et toute équation différentielle du premier ordre, telle que
à laquelle satisfera l’équation finie la constante demeurant arbitraire, sera nécessairement produite par la combinaison deux équations
de manière que s’évanouisse.
En regardant toujours comme constante, on a
donc (en prenant pour constante)
et toute équation différentielle du second ordre, telle que
à laquelle satisfera l’équation finie
la constante demeurant arbitraire, sera nécessairement formée par la combinaison des équations
en sorte que disparaisse.
En continuant ainsi, dans l’hypothèse de constante, on aura
par conséquent
et toute équation différentielle du troisième ordre, telle que
à laquelle satisfera l’équation finie
demeurant arbitraire, sera formée par la combinaison des équations
de manière que disparaisse ; et ainsi de suite.
9. Voyons maintenant dans quels cas l’équation pourra satisfaire aux mêmes équations
en supposant que soit une quantité variable.
Et d’abord il est clair que cela aura lieu pour l’équation du premier ordre si parce qu’alors on aura également comme dans le cas de constante. De là naissent les intégrales particulières, ainsi que nous l’avons vu dans l’Article précédent.
Pour l’équation du second ordre il faudra que l’on ait de plus afin que l’on ait aussi comme dans l’hypothèse de constante.
De même pour l’équation du troisième ordre il faudra que l’on ait encore pour que la valeur de soit également et ainsi de suite.
Donc, en général, l’équation finie sera une intégrale particulière de l’équation du premier ordre si est une quantité telle, que l’on ait . Elle sera une intégrale particulière de l’équation du second ordre si l’on a à la fois et Elle sera une intégrale particulière de l’équation du troisième ordre si l’on a en même temps et ainsi de suite.
10. En regardant comme une fonction de et donnée par l’équation on a, suivant la notation reçue (8).
ensuite
donc
Ainsi l’on aura pour les équations différentielles du premier ordre la condition
pour celles du second ordre les deux conditions
pour celles du troisième ordre les trois conditions
et ainsi de suite.
Et comme on peut échangera en en regardant comme une fonction de et on aura de même ( étant pris pour constante)
pour le premier ordre,
pour le second ordre,
pour le troisième ordre ; et ainsi de suite.
11. De là il s’ensuit que si est une équation différentielle du second ordre dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation différentielle l’intégrale particulière de cette dernière, trouvée d’après la condition de
ne satisfera pas, en général, à l’équation proposée à moins que l’on n’ait à la fois
De même, si est une équation différentielles du troisième ordre, dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation l’intégrale particulière de cette dernière équation, déduite de la condition
ne satisfera pas à la proposée à moins que l’on n’ait à la fois
ou bien
et ainsi de suite.
Donc, en général, si dans la solution d’un Problème on a été conduit directement à une équation différentielle d’un ordre supérieur au premier, et qu’on ait déjà ramené cette équation au premier ordre à l’aide d’une ou de plusieurs intégrations, l’intégrale particulière de cette équation du premier ordre ne résoudra pas le Problème, à moins que toutes les conditions relatives à l’ordre de l’équation différentielle primitive ne se trouvent remplies.
Mais, si l’équation primitive du Problème n’est que du premier ordre, l’intégrale particulière de cette équation résoudra la question tout aussi bien que l’intégrale complète.
12. L’équation
a pour intégrale complète du premier ordre
et celle-ci a pour intégrale complète finie
d’où l’on tire
ce qui, étant fait égal à zéro, donne, pour l’intégrale particulière,
et par conséquent
comme on l’a déjà vu (6).
Maintenant, pour que cette intégrale particulière satisfasse aussi à l’équation différentio-diflérentielle, il faudra que l’on ait en même temps
différentiant donc la valeur trouvée de on aura
mais de l’équation
on tire
ce qui ne peut pas être égal à zéro, en général. D’où il faut conclure que, quoique l’équation
satisfasse à l’équation différentielle du premier ordre
elle ne satisfera cependant pas à l’équation différentio-différentielle
qui en est dérivée. En effet, on trouve
ce qui, comme l’on voit, ne satisfait pas à l’équation dont il s’agit.
Prenons maintenant l’équation différentio-difféuentielle
dont l’intégrale du premier ordre est
laquelle a pour intégrale complète
On aura donc
ce qui, étant fait égal à zéro, donne par conséquent et
pour l’intégrale particulière. Pour que cette intégrale satisfasse donc aussi à l’équation différentio-différentielle, il faudra que soit
nul en même temps ; ce qui est en effet ; donc, etc : On peut s’assurer
à posteriori que l’équation
satisfait à la proposée : car on a
ce qui étant substitué dans les termes
tout se détruit de soi-même.
13. S’il arrivait que l’on eût en même temps
ou bien
et ainsi de suite à l’infini ; alors l’intégrale particulière satisferait nonseulement à l’équation différentielle du premier ordre, mais aussi à toutes les équations différentielles des ordres ultérieurs qui en seraient dérivées. Cette intégrale aurait donc les mêmes propriétés que l’intégrale complète ; et nous allons prouver qu’elle sera alors effectivement comprise dans celle-ci ; de sorte qu’elle cessera d’être une intégrale particulière, et devra être rangée dans la classe des intégrales incomplètes. En effet, puisqu’en regardant la quantité comme une fonction de et de donnée par l’équation on a
à l’infini,
il est visible que la quantité ne doit pas contenir et ne peut être,
par conséquent, qu’une fonction de
mêlée avec des constantes. Ainsi, l’équation
donnera
égal à une constante ; donc, etc. Ce sera la même chose si, en regardant
comme une fonction de
et de
on a en même temps
à l’infini.
14. Cette considération nous conduit à une méthode directe pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre sans en connaître l’intégrale complète. Soit l’équation différentielle du premier ordre dont on cherche l’intégrale particulière, et dont l’intégrale complète est étant une fonction de et une fonction de et de l’arbitraire Puisque l’équation est indépendante de la quantité il s’ensuit qu’on aura également en regardant comme une fonction de et ou comme une fonction de et donnée par l’équation et pour avoir la valeur de il faudra différentier en faisant varier seul dans le premier cas, ou seul dans le second.
Supposons, pour plus de simplicité, que l’équation ne renferme point de fonctions transcendantes, et imaginons, ce qui est toujours possible et ne change point la nature de l’équation, qu’elle soit délivrée des fractions et des radicaux, en sorte que soit une fonction entière et rationnelle de et on aura, en général, par la différentiation,
et étant aussi des fonctions rationnelles et entières des mêmes quantités ; donc, en regardant comme une fonction de et on aura
or dans le cas de l’intégrale particulière on a
donc, puisque
ne peut devenir infini étant une fonction sans dénominateur, le terme
deviendra nul, et il faudra qu’on ait
donc, si n’est pas nul, il faudra que
Si en même temps que l’équation
aura lieu d’elle-même ; mais en prenant la différentielle de cette équation, et variant à la fois et demeurant constante, j’aurai
or on a et nuls à la fois par l’hypothèse ; donc, puisque les coefiicients de ces quantités ne sauraient devenir infinis, étant des fonctions sans dénominateur, l’équation précédente se réduira à
laquelle, si n’est pas nul, donne de nouveau
Si est nul aussi, on trouvera, par une nouvelle différentiation, que l’on aura nécessairement à moins que ne soit nul ; et ainsi de suite à l’infini.
Mais nous avons vu ci-dessus que pour que l’équation donne une intégrale particulière, il faut que les quantités
à l’infini
ne soient pas toutes nulles à la fois ; donc il faudra que quelqu’une de ces quantités ne soit pas nulle ; par conséquent il faudra nécessairement qu’on ait
Or l’équation différentielle proposée donne par la différentiation
donc, puisque dans le cas de l’intégrale particulière doit être nul, cette équation se réduira à
laquelle devra s’accorder avec l’équation après avoir chassé la valeur de au moyen de l’équation proposée
15. Donc, puisque la valeur de tirée de l’équation différentielle au moyen de la différentiation est exprimée, en général, par
il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer que cette valeur deviendra égale à dans le cas de l’intégrale particulière tirée de la condition et l’on prouvera de même que la condition rendra la valeur de égale à en prenant ici pour constante au lieu de
Et quoique la démonstration précédente soit fondée sur l’hypothèse que l’équation proposée ne renferme aucune fonction transcendante, il n’est cependant pas difficile de se convaincre que la même conclusion aura lieu quelles que soient la nature et la forme de cette équation.
16. En supposant que l’équation différentielle proposée donne par la différentiation
s’il arrive que les deux termes se détruisent d’eux-mêmes, on aura
et par conséquent
de sorte que dans ce cas l’une et l’autre condition et sera remplie par la condition unique ; ainsi il n’y aura qu’à éliminer la quantité au moyen des deux équations et et l’équation résultante entre et sera l’intégrale particulière de la proposée. Quant à l’intégrale complète, elle est facile à déduire de l’équation
car cette équation, lorsque n’est point nul, donne
et par conséquent
étant une constante arbitraire ; il n’y aura donc qu’à substituer cette valeur de dans l’équation donnée et l’on aura l’intégrale complète où sera la constante arbitraire.
Voyons maintenant quels sont les cas où l’on aura
Pour plus de simplicité, je fais en sorte que soit une fonction de dont la différentielle puis donc
que
on aura
donc
donc
et intégrant
de sorte qu’il faudra que la quantité soit une fonction de sans ni et alors l’équation sera
dénotant une fonction quelconque de seul.
17. Toute équation donc de la forme
étant donnera par la différentiation celle-ci
en faisant on aura
et
sera l’intégrale complète où est arbitraire ; en faisant
et éliminant
au moyen de cette équation et de la proposée
on aura l’intégrale particulière de cette dernière équation. On voit par là que l’intégrale complète ne donnera jamais autre chose qu’une ligne droite, tandis que l’intégrale particulière donnera toujours une courbe ; nous en donnerons la raison à priori dans l’Article suivant.
Ces sortes d’équations sont celles qui donnent lieu aux paradoxes dont il est question dans les Mémoires de MM. Clairaut et Euler que nous avons cités au commencement de ce Mémoire ; et l’on doit voir maintenant que le vrai dénouement de ces paradoxes tient à la théorie des intégrales particulières que nous venons d’exposer.
18. Reprenons les Exemples que nous avons apportés dans le no 6, et voyons si la règle ci-dessus donnera les mêmes intégrales particulières que nous avons trouvées d’après les intégrales complètes.
L’équation
donne par la différentiation
faisant cette quantité égale à on a les deux équations
la seconde donne d’abord,
Dans le premier cas, on aura donc
et la première équation deviendra par là
ce qui ne donne rien. Dans le second cas, la première équation deviendra
mais la proposée donne, en supposant
donc l’équation précédente deviendra
laquelle s’accorde avec
ainsi cette équation est une intégrale particulière de la proposée.
Si l’on cherche la valeur de en prenant pour constante, on aura
d’où l’on tire ces deux équations, en égalant le numérateur et le dénominateur chacun à zéro,
la dernière de ces équations donne
dans le premier cas, la première équation deviendra
mais
donc n’est pas une intégrale particulière ; reste donc le cas de
dans lequel la première équation devient
mais on a, dans ce même cas,
donc substituant cette valeur et multipliant par l’équation précédente deviendra
qui s’accorde avec
en sorte que cette équation sera une intégrale particulière.
Ainsi les deux conditions et donnent, dans le cas présent, la même intégrale particulière
ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé (6), d’où il s’ensuit que
cette équation est l’unique intégrale particulière dont l’équation différentielle proposée soit susceptible.
19. Les deux autres Exemples du no 6 appartiennent à la formule
que nous avons considérée, en général, dans le no 17 ci-dessus. En effet, en faisant les équations différentielles des deux Exemples dont nous parlons se réduisent à ces formes
et
qui sont évidemment des cas particuliers de la forme générale
or nous avons déjà vu (numéro cité) que cette équation admet toujours une intégrale particulière, laquelle est le résultat de l’élimination de des deux équations
ainsi il ne s’agit que d’examiner si cette intégrale est la même qu’on tirerait de l’intégrale complète par la règle de l’Article I (nos 4, 5).
L’intégrale dont il s’agit est (17)
d’où l’on tire
ainsi les deux conditions et donnent également
et l’intégrale particulière sera le résultat de l’élimination de
au moyen de cette équation
et de l’équation
or il est visible que ce résultat sera le même que celui de l’élimination de au moyen des équations
donc, etc.
20. Le dernier Exemple du no 6 est tiré de l’équation différentielle
dans laquelle est un quinôme en et un quinôme semblable en mais nous supposerons ici que soit, en général, un polynôme quelconque en et un polynôme quelconque en et nous désignerons par et les valeurs de et de lesquelles seront par conséquent aussi des polynômes en et mais d’un degré inférieur d’une unité.
Puis donc que
on trouvera par la différentiation, après avoir réduit au dénominateur commun,
en prenant dans la première formule constant et dans la seconde constant.
Supposons d’abord que les quantités et n’aient aucun diviseur commun, non plus que les quantités et ce qui arrive lorsque les équations et n’ont point de racines égales ; dans ce cas le numérateur et le dénominateur de l’une et de l’autre quantité et n’auront non plus de diviseur commun.
Donc :
1o En faisant on aura les deux équations
dont la seconde donne ou ou mais la première donne, par la substitution de la valeur de
faisant cette équation se réduit à laquelle donnerait ce qui est contre l’hypothèse ; faisant l’équation précédente se trouve remplie d’elle-même ; ainsi est une intégrale particulière.
2o Si l’on fait on trouvera, par un raisonnement semblable, l’intégrale particulière de sorte que ces deux intégrales particulières auront lieu en même temps.
Si l’on suppose que et aient un diviseur commun, alors il est aisé de voir que ce diviseur disparaîtra entièrement par la division du dénominateur de la quantité par conséquent il ne pourra servir à rendre cette quantité égale à il en sera de même relativement à la quantité si et ont un diviseur commun.
D’où il faut conclure, en général, que l’équation proposée
aura pour intégrales particulières tous les facteurs simples des deux
équations
et
ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le
no 6 pour le cas particulier où
et
étaient des quinômes semblables.
Article III. — Dans lequel on déduit la théorie des intégrales
particulières de la considération des courbes.
21. Soit l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre étant une fonction de et on sait que sera une fonction finie de et d’une constante arbitraire donc si l’on considère la courbe exprimée par l’équation en prenant et pour les deux coordonnées, cette courbe exprimera aussi l’équation différentielle quelque valeur qu’on donne à la constante de sorte qu’en donnant successivement à toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à l’infini positif et négatif, on aura un assemblage d’une infinité de courbes toutes de la même famille, et infiniment peu différentes l’une de l’autre, dont chacune représentera également l’équation différentielle
Je dis maintenant que la courbe, qui touchera toutes les courbes dont il s’agit, satisfera aussi à la même équation différentielle Car cette équation détermine la valeur de par une fonction de et par conséquent elle détermine la position de la tangente a chaque point par la position de ce point dans le plan des coordonnées et donc toute courbe, qui dans un point quelconque aura la même tangente qu’une des courbes dont nous venons de parler, satisfera aussi nécessairement à l’équation or il est visible que la courbe, qui touche toutes les courbes données par l’équation en faisant varier le paramètre a cette propriété ; donc, etc.
22. Si l’on considère deux points infiniment proches de la courbe touchante, il est facile de concevoir que les deux courbes touchées dans ces points doivent nécessairement se couper dans un point intermédiaire ; par conséquent, en faisant coïncider les deux points d’attouchement, le point d’intersection des deux courbes touchées se confondra avec eux ; d’où il suit que la courbe touchante est formée par l’intersection mutuelle et successive des courbes données par l’équation en faisant varier le paramètre donc cette courbe satisfera à l’équation ce qui est d’ailleurs évident, puisque suivant ce point de vue la courbe dont nous parlons n’est composée que de portions infiniment petites des courbes représentées par l’équation et dont chacune satisfait à la même équation
23. Maintenant, si l’on regarde comme une fonction de et de donnée par l’équation il est clair que, pour la même abscisse les coordonnées qui répondent à deux courbes infiniment proches seront, en général, et donc, au point d’intersection de ces deux courbes, on aura par conséquent, si l’on élimine au moyen des deux équations et on aura l’équation de la courbe formée par les intersections continuelles de toutes les courbes contenues dans l’équation laquelle sera aussi la courbe qui touchera toutes ces mêmes courbes.
On prouvera de même, en regardant comme fonction de et de que la condition combinée avec l’équation en sorte que disparaisse, donnera aussi la courbe touchante des mêmes courbes.
D’où et de ce que nous avons démontré plus haut (4 et 5) on doit conclure que l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre est représentée par la courbe qui touche toutes les différentes courbes représentées par l’intégrale complète de cette équation, en faisant varier la constante arbitraire, c’est-à-dire toutes les différentes courbes qui peuvent être représentées à la fois par la même équation différentielle.
Ainsi les caustiques par réflexion et par réfraction ne sont autre chose que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime à la fois toutes les lignes droites suivant lesquelles les rayons sont réfléchis ou réfractés.
Et les développées ne sont que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime toutes les lignes droites qui coupent la développante à angles droits ; et ainsi du reste.
24. Toute équation différentielle du premier ordre représente donc premièrement une infinité de courbes de la même famille, qui ne diffèrent entre elles que par la valeur de la constante arbitraire, laquelle tient lieu de paramètre ; en second lieu, cette équation représente aussi la courbe qui touche toutes ces mêmes courbes ; en sorte qu’on peut regarder en quelque façon tant les courbes touchées que la courbe touchante comme une seule courbe ayant une infinité de branches liées entre elles par la même équation. Ainsi, à chaque point de la courbe touchante il y aura deux branches qui se rencontrent dans ce point et qui ont une tangente commune ; l’une c’est la courbe touchante même, et l’autre c’est la courbe qu’elle touche dans ce même point ; donc à chaque valeur de il devra répondre une valeur double de par conséquent l’expression de la quantité tirée de l’équation différentielle proposée au moyen de la différentiation, devra devenir égale à pour tous les points de la courbe touchante, par une raison semblable à celle par laquelle on prouve que la valeur de devient égale à dans les points doubles des courbes ; et l’on dira la même chose à l’égard de la quantité en supposant constant au lieu de De cette manière on pourra donc déduire de l’équation différentielle même celle de la courbe qui toucherait toutes les différentes courbes représentées par cette équation différentielle ; et comme l’équation de la courbe touchante n’est autre chose que l’intégrale particulière de l’équation différentielle dont nous parlons, ainsi qu’on l’a démontré ci-dessus, il résulte de là la même règle pour trouver ces sortes d’intégrales, que nous avons donnée dans le no 15, d’après d’autres principes.
25. Pour jeter un plus grand jour sur la théorie précédente et rendre bien sensible la liaison qu’il y a entre les intégrales complètes et les intégrales particulières, nous allons apporter quelques Exemples tirés de la Géométrie dans lesquels l’application de cette théorie se présente naturellement.
Supposons qu’on demande une courbe telle, que toutes les perpendiculaires menées d’un point donné sur les tangentes de cette courbe soient d’une grandeur donnée.
Il est visible que le cercle résout d’abord la question, pourvu qu’on place le centre dans le point donné et qu’on fasse le rayon égal à la grandeur donnée ; mais comme le Problème conduit naturellement à une équation différentielle du premier ordre, il s’ensuit que la solution complète doit renfermer une constante arbitraire ; par conséquent, puisque le cercle qui résout le Problème est nécessairement donné de grandeur et de position, on ne peut pas avoir par son moyen une solution complète, mais seulement une solution particulière.
Or si l’on considère que la ligne droite satisfait aussi au même Problème, et que pour cela il suffit que la perpendiculaire menée du point donné sur cette ligne soit donnée, on verra qu’il y a une infinité de droites qui résolvent le Problème ; de sorte que ces droites en donnent la véritable solution complète, puisque dans l’équation qui les représente toutes il entre nécessairement une constante arbitraire ; et l’on verra de plus que toutes ces droites sont nécessairement les tangentes du cercle qui donne la solution particulière.
Pour confirmer par le calcul ce que nous venons de trouver synthétiquement, soient les coordonnées de la courbe cherchée, et les coordonnées d’une quelconque de ses tangentes considérée comme une ligne droite ; on aura donc, en général, entre et l’équation
et étant constantes pour la même tangente, mais variables d’une tangente à l’autre. Or, comme la droite et la courbe doivent d’abord se rencontrer dans un point, on aura dans ce point donc
ensuite, comme elles doivent de plus se toucher dans le même point, on aura encore mais donc et par conséquent donc l’équation à la tangente sera
Prenons l’origine des coordonnées pour le point donné, et nommant une ligne menée de ce point à la tangente, on aura
donc, pour que cette ligne soit perpendiculaire, il faudra que ce qui donne
donc
donc, substituant cette valeur de dans l’équation ci-dessus, on en tire
donc
c’est le carré de la perpendiculaire menée du point donné sur la tan-
gente ; nommant donc cette perpendiculaire
on aura l’équation
qui servira à résoudre le Problème. Or cette équation a déja été examinée dans le no 6, et nous avons vu qu’elle donne l’intégrale complète
et ensuite l’intégrale particulière
ce qui s’accorde avec les résultats trouvés plus haut.
26. Ayant tiré d’un point donné acne perpendiculaire à la tangente d’une courbe, et menant du point où cette perpendiculaire rencontre la tangente à un autre point donné une droite, on demande quelle doit être la nature de la courbe pour que cette droite comprise entre les deux points dont il s’agit soit d’une grandeur donnée.
Par les propriétés connues des sections coniques il est facile de voir que si l’on décrit une section conique qui ait le premier des deux points donnés pour l’un des foyers, l’autre point pour centre, et la grandeur donnée pour demi-axe, cette section conique résoudra le Problème ; mais la section étant entièrement déterminée par ces données, elle ne pourra pas fournir une solution complète du Problème, lequel conduit naturellement à une équation différentielle du premier ordre, et par conséquent indéterminée.
Outre la section conique, on voit aisément qu’il y a une infinité de droites qui peuvent aussi résoudre la question ; car si l’on décrit autour du second point donné un cercle dont le rayon soit égal à la grandeur donnée, toute ligne droite qui coupera ce cercle en un point quelconque, de manière qu’elle fasse un angle droit avec la droite menée de ce point d’intersection au premier point donné, aura évidemment les propriétés requises.
L’équation générale de toutes ces lignes droites renfermant donc une constante arbitraire ; elle donnera nécessairement la solution complète du Problème ; et il est facile de prouver, par les propriétés connues des sections coniques, que toutes ces droites seront tangentes à la section conique que nous avons vu résoudre aussi le Problème ; de sorte que la solution par une section conique ne sera qu’une solution particulière.
En effet, pour réduire le Problème en équation, on remarquera que, si de l’origine des coordonnées on mène une perpendiculaire à une tangente quelconque d’une courbe dont les coordonnées soient et et qu’on nomme et les coordonnées qui se rapportent au point de la tangente sur laquelle tombe la perpendiculaire, on remarquera, dis-je, que les formules trouvées dans le no 25 ci-dessus donneront
maintenant si l’on fait passer l’axe des abscisses par les deux points donnés, qu’on prenne le premier de ces deux points pour l’origine, et qu’on nomme la distance entre les deux points et la grandeur donnée, il est aisé de concevoir qu’on aura
donc
et substituant pour et les valeurs ci-dessus,
d’où, en multipliant par et extrayant la racine carrée après avoir ajouté de part et d’autre on aura l’équation du Problème
Nous avons déjà traité cette équation dans le no 6, et nous avons vu que
son intégrale complète est
ce qui donne différentes lignes droites suivant la valeur de la constante arbitraire nous avons vu ensuite que cette même équation est susceptible d’une intégrale particulière, laquelle est
et représente par conséquent une ellipse dans laquelle les abscisses sont prisses depuis l’un des foyers, et où est l’excentricité etc le demi grand axe ; de sorte que cette ellipse est la même que celle dont nous avons parlé ci-dessus.
Article IV. — Des intégrales particulières des équations différentielles du second ordre et des ordres plus élevés.
27. Soit
une équation différentielle du second ordre, étant une fonction de et soit
l’intégrale finie et complète de cette équation : sera, dans ce cas, une fonction de et de deux constantes arbitraires et Or, puisque et sont arbitraires, on peut supposer, en général, que soit une fonction quelconque de alors sera une fonction de et et, de ce que nous avons démontré dans l’Article II, il s’ensuit que l’équation satisfera également à l’équation en supposant variable, pourvu que l’on ait
ou
et dans ce cas l’équation deviendraune intégrale particulière (10).
28. Considérons les deux conditions
et supposant
il est clair que si l’on regarde comme une fonction de et de la valeur complète de sera représente par de sorte que les deux conditions dont il s’agit seront exprimées ainsi
Au moyen de ces deux équations on déterminera les valeurs de et de ou en et et on les substituera ensuite dans l’équation ou, ce qui revient au même, on éliminera et au moyen des trois équations dont il s’agit ; et l’équation résultante sera l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle
Si l’on remet à la place de on aura les deux équations de condition
au moyen desquelles et de l’équation il faudra éliminer et .
En éliminant d’abord les différentiels on aura l’équation
laquelle, étant combinée avec l’équation servira à déterminer
et
en
et
et il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs de
et
dans l’équation
ce qui donnera une équation différentielle du premier ordre en et laquelle sera par conséquent l’intégrale particulière cherchée de l’équation du second ordre
Mais puisque l’équation donne par la différentiation, en faisant varier à la fois
on aura
par conséquent l’équation
sera équivalente à celle-ci
ainsi il n’y aura qu’à substituer les valeurs de et de dans cette dernière équation, ou, ce qui revient au même, éliminer les valeurs de et de au moyen des équations
l’équation du premier ordre qui en résultera sera l’intégrale particulière dont il s’agit.
29. De là je conclus, en général, que pour trouver l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle dont l’intégrale finie et complète est il n’y a qu’à éliminer les quantités et au moyen des équations
et comme au lieu de regarder comme une fonction de on peut vice versâ regarder comme une fonction de on pourra aussi, à la place des deux dernières équations, substituer ces deux-ci
30. Soit l’équation du second ordre
dont l’intégrale finie et complète est
et étant les deux constantes arbitraires. On tire par la différentiation
on aura donc ces quatre équations
au moyen desquelles, éliminant les quantités on aura pour résultante l’intégrale particulière de la proposée.
Les trois dernières donnent
et ces valeurs étant substituées dans la première, on aura
c’est l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation différentio-différentielle dont il s’agit.
Si l’on intègre cette équation, on aura alors l’intégrale particulière finie de la proposée. Pour cela, je tire par l’extraction de la racine carrée la valeur de j’ai
donc, divisant par et multipliant par on aura
équation intégrable, et dont l’intégrale est, en ajoutant une constante arbitraire
Il est remarquable que tandis que l’intégrale complète de la proposée est algébrique, l’intégrale particulière en est transcendante.
31. L’intégrale particulière aux différences premières que nous avons trouvée ci-dessus admet, outre l’intégrale complète précédente, encore une intégrale particulière finie, qu’on peut trouver par les méthodes des Articles I et II. Déduisons-la de l’intégrale complète au moyen de la condition la différentiation de la dernière équation donne
ainsi l’on aura
comme cette équation ne renferme point la quantité il faut la combiner avec l’intégrale complète en éliminant l’une des variables ou pour voir si la valeur résultante de est constante ou variable (4) ; or l’équation que nous venons de trouver donne
et cette valeur étant substituée dans l’intégrale complète (numéro précédent), on a
d’où l’on voit que est déterminée par une fonction de par conséquent l’équation dont il s’agit est une intégrale particulière.
Mais cette intégrale particulière, quoiqu’elle satisfasse à l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation proposée, il ne s’ensuit pas qu’elle doive aussi satisfaire à cette dernière équation ; au contraire, elle n’y satisfera pas à moins que l’on n’ait en même temps
à cause qu’il s’agit d’une équation différentielle du second ordre (11) ; or ayant
on aura
et mettant pour
sa valeur
il viendra
ce qui n’est pas nul ; d’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit, savoir
ne satisfait pas à la proposée du second ordre, comme on peut aisément s’en assurer. Cet Exemple peut servir de confirmation à la théorie donnée dans l’Article II,
Au reste, il est bon de remarquer que cette intégrale particulière
peut aussi se déduire immédiatement de l’intégrale finie et complète
en faisant en même temps
ce qui donne les deux équations
d’où l’on tire
ce qui, étant substitué dans l’intégrale complète, donne
Et cette règle est générale pour toutes les équations différentio-différentielles dont on connaît l’intégrale finie et complète.
32. Si, au moyen de l’équation finie et de l’équation aux premières différences qui en est dérivée par la différentiation, on élimine l’une des deux constantes on a une équation différentielle du premier ordre qui sera l’intégrale complète aux différences premièresde l’équation différentio-différentielle et, comme on peut éliminer à volonté l’une ou l’autre des deux constantes arbitraires on aura ainsi deux intégrales aux premières différences ; ce qui est connu des Géomètres.
Supposons maintenant qu’on ait éliminé en sorte que dans l’équation la quantité soit une fonction de et si l’on différentie cette équation en faisant varier et et qu’on suppose, en général,
on aura
donc, en faisant varier seul, on aura
et, faisant varier seul,
ces valeurs étant substituées dans l’équation de condition
du no 29, on aura
mais on doit avoir aussi (numéro cité)
donc on aura
or si dans l’équation on fait varier uniquement et en regardant et comme constantes, on a
d’où
ainsi l’équation de condition se réduira à
laquelle, étant combinée avec l’équation donnera par l’élimination de la même équation qu’on eût obtenue d’après les quatre équations du no 29.
Et si au lieu d’éliminer on eût éliminé en sorte que fût une fonction de et alors on aurait l’équation de condition
laquelle donnerait encore le même résultat en éliminant
au moyen de l’équation
33. Il s’ensuit de là que si l’on ne connait pas l’intégrale finie et complète de l’équation différentio-différentielle mais seulement une des deux intégrales aux premières différences de cette équation, telle que étant une fonction de et d’une constante arbitraire on pourra également trouver l’intégrale particulière de la même équation pour cela il n’y aura qu’à faire varier dans l’équation les deux quantités et et à supposer ensuite
cette équation, étant combinée avec l’équation en éliminant la quantité donnera l’intégrale cherchée.
Cette règle peut aussi se démontrer directement, et indépendamment de la considération de l’intégrale finie et complète En effet, puisque l’équation du premier ordre satisfait à l’équation du second ordre quelle que soit la valeur de la constante contenue danse, il s’ensuit que cette équation ne peut être que le résultat de l’élimination de au moyen de l’équation et de l’équation déduite de celle-là au moyen d’une différentiation. Or il est clair que ce résultat sera toujours le même, quelle que soit la quantité à éliminer constante ou non, pourvu que les deux équations
soient les mêmes ; mais en regardant comme variable, on a
équation qui se réduira à la forme précédente en faisant
donc si l’on détermine
en sorte que
ou ce qui est la même chose
ou bien
soit nul, l’équation
satisfera encore à l’équation
et, comme
devient dans ce cas égal à une quantité variable, l’équation
ne sera plus qu’une intégrale particulière de la même équation.
34. Pour confirmer cette règle par un Exemple, reprenons l’équation différentio-différentielledu no 30, et nous trouverons aisément, d’après l’intégrale finie et complète qu’on connaît déjà, ces deux intégrales aux premières différences
et étant les constantes arbitraires.
Faisant varier dans la première les quantités et on en tire
et supposant cette quantité égale à zéro, on aura l’équation
d’où résulte
et cette valeur étant substituée dans l’équation ci-dessus, il viendra,
après les réductions,
ou bien
c’est, comme l’on voit, la même équation qu’on a trouvée dans le no 30.
On trouvera encore le même résultat si, dans la seconde équation ci-dessus, on fait varier les quantités et et qu’on suppose ensuite on aura en effet, par la différentiation de cette équation,
ce qui étant supposé égal à zéro donne
et cette valeur étant substituée à la place de on aura, après les réductions,
ou bien
Ainsi les deux intégrales aux premières différences, quoique très-différentes entre elles, donnent cependant la même intégrale particulière ; la raison en est claire par l’analyse du no 32.
35. La méthode du no 33 pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentio-différelltielle lorsqu’on connaît seulement une de ses intégrales complètes aux premières différences est, comme l’on voit, absolument analogue à celle du no 4 pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premierordre au moyen de son intégrale finie et complète ; l’une et l’autre sont fondées sur les mêmes principes, et doivent par conséquent donner lieu à des conséquences semblables. Ainsi tout ce qu’on a dit dans l’Article II relativement à l’étendue des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre, pourra s’appliquer aussi aux intégrales particulières des équations différentio-différentielles.
Donc, si l’équation différentio-différentielle est elle-même l’intégrale d’une équation différentielle du troisième ordre l’intégrale particulière de l’équation déduite de la condition ne satisfera pas à l’équation à moins que l’on n’ait en même temps et et ainsi de suite.
Si l’on a
à l’infini
on prouvera, comme dans le no 13, que la condition ne donnera plus une intégrale particulière ; et de là, par un raisonnement semblable à celui du no 14, on déduira une règle pour trouver immédiatement l’intégrale particulière d’une équation différentio-différentielle sans connaître aucune de ses intégrales complètes.
Cette règle consiste à supposer égale à la valeur de tirée de l’équation proposée au moyen de la différentiation ; on aura ainsi deux équations en d’où éliminant à l’aide de la même équation on aura deux équations en qui devront s’accorder entre elles et se réduire à une même équation, si la proposée est susceptible d’une intégrale particulière ; et alors cette équation sera l’intégrale particulière cherchée.
36. Si l’équation différentio-différentielle était telle, que l’on eût
alors la condition de donnerait cette équation unique par conséquent, en chassant la quantité au moyen des deux équations
la résultante sera toujours une intégrale particulière de la proposée
Or dans ce cas on peut aussi trouver aisément l’intégrale finie et complète de la même équation. En effet, puisque on aura aussi, en différentiant,
donc ou ce qui, comme nous venons de le voir, donne l’intégrale particulière, ou et par conséquent
étant trois constantes arbitraires ; or comme l’équation n’est (hypothèse) que du second ordre, il s’ensuit que son intégrale finie et complète ne peut renfermer que deux constantes arbitraires ; ainsi, si l’on y substitue les valeurs précédentes de et il viendra nécessairement une équation entre les constantes sans ni par laquelle il faudra déterminer l’une de ces constantes par les deux autres, qui resteront par conséquent arbitraires.
De là on peut déduire la forme générale de ces sortes d’équations ; car soit, en général, une fonction de et représentée par et puisqu’on a
on aura
donc, substituant ces valeurs dans l’équation
on aura celle-ci
ou bien, si Pon fait pour plus de simplicité
toute équation donc qui sera réductible à cette forme aura, comme celle du no 17, la propriété de pouvoir être facilement intégrée au moyen d’une nouvelle différentiation, et son intégrale finie et complète sera
laquelle représente toujours une parabole.
De plus, l’équation précédente aura la propriété d’admettre toujours une intégrale particulière, qu’on trouvera en éliminant au moyen de l’équation
et qui pourra représenter différentes courbes.
L’équation qui a servi d’exemple dans le no 30 est comprise sous la forme précédente.
37. La théorie que nous venons de donner sur les intégrales particulières des équations différentielles du premier et du second ordre peut s’appliquer aisément aux équations d’un ordre quelconque plus élevé.
Soit par exemple une équation différentielle du troisième ordre, étant une fonction de si l’on connait son intégrale tinie et complète étant une fonction de et de trois constantes arbitraires on déterminera l’intégrale particulière de l’équation en éliminant les trois quantités et les deux de ces six équations
Si l’on connaît seulement une des intégrales complètes aux premières différences telle que étant une fonction de et de deux constantes arbitraires et on déterminera l’intégrale particulière en éliminant les quantités au moyen de ces quatre équations
Si l’on ne connaît qu’une intégrale complète aux secondes différences, telle que étant une fonction de et d’une constante arbitraire on pourra déterminer l’intégrale particulière en éliminant au moyen des deux équations
Enfin on pourra aussi déterminer cette intégrale d’après la seule équation différentielle pour cela il n’y aura qu’à chercher par la différentiation la valeur de et la supposer égale à les deux équations qu’on aura de cette manière devront revenir à la même, après l’élimination de faite par le moyen de la proposée si celle-ci est susceptible d’une intégrale particulière, et alors l’équation résultante de l’élimination dont il s’agit sera l’intégrale particulière en question.
On pourra faire au reste sur les intégrales particulières des équations différentielles du troisième ordre des remarques analogues à celles qu’on a faites plus haut sur les intégrales particulières des équations du second ordre ; c’est sur quoi nous ne croyons pas qu’il soit nécessaire de nous étendre davantage.
38. Nous terminerons cet Article par faire remarquer qu’il y dans chaque ordre, des équations différentielles qui ont des propriétés analogues à celles des équations des nos 17 et 36.
Soit la forme générale de ces sortes d’équations pour le troisième ordre, on aura par la différentiation
d’où l’on tire ou ce qui donnera une intégrale particulière après l’élimination de la quantité parce qu’alors ou bien ce qui donnera l’intégrale complète
d’où
or comme l’équation n’est que du troisième ordre, son intégrale finie et complète ne peut renfermer que trois constantes arbitraires ; par conséquent, si l’on substitue dans cette équation les valeurs précédentes de il arrivera nécessairement qu’on aura une équation entre les constantes sans ni par laquelle il faudra déterminer une de ces constantes par les trois autres.
Supposons donc, en général, que l’on ait
et si l’on fait pour plus de simplicité
on aura
donc substituant ces valeurs dans l’équation
on aura pour la forme générale des équations dont il s’agit
L’intégrale finie et complète sera
et l’intégrale particulière se trouvera en éliminant au moyen de l’équation
Article V. — Des intégrales particulière des équations aux différences partielles, avec des remarques nouvelles sur la nature et sur l’intégration de ces sortes d’équations.
39. Soit
une équation entre trois variables et deux constantes je dis qu’on en peut déduire une équation à différences partielles du premier ordre dans laquelle les constantes et ne se trouvent plus. En effet, supposons qu’en faisant varier à la fois, et on ait
et étant des fonctions connues de et donc en regardant comme une fonction de et on aura, suivant la notation ordinaire des différences partielles,
qu’on élimine les deux quantités et dans les trois équations
et l’on aura pour résultante une équation entre et où les constantes et ne se trouveront plus, et que nous représenterons, en général, par
On peut donc regarder l’équation finie comme l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles du premier ordre et comme les deux constantes et demeurent arbitraires dans l’équation il s’ensuit que l’intégrale complète de toute équation aux différences partielles du premier ordre entre trois variables doit nécessairement renfermer deux constantes arbitraires.
Soit par exemple l’équation finie
on a par la différentiation
donc
et éliminant et on aura
équation dont l’intégrale complète sera donc
et étant arbitraires.
Soit l’équation
dans laquelle soit une fonction quelconque de et que nous désignerons par on aura par la différentiation
donc
d’où
par conséquent l’équation différentielle sera
laquelle aura pour intégrale complète
Soit encore l’équation
on aura par la différentiation
donc l’équation différentielle sera
et son intégrale complète sera
40. Nous avons supposé les quantités et constantes ; mais si elles étaient variables on parviendrait toujours à la même équation différentielle pourvu que l’on eût également
comme dans le cas où ces quantités seraient constantes ; car il est clair que le résultat de l’élimination de et dans les équations :
sera toujours le même, quelles que soient les valeurs de et Or en faisant varier à la fois les quantités et on aura
donc la condition dont il s’agit aura lieu si par consé-
quent si l’on détermine les quantités
et
en sorte que l’on ait
et qu’on substitue ensuite leurs valeurs dans l’équation finie on aura une nouvelle intégrale de l’équation proposée
41. La manière la plus simple de satisfaire à l’équation
est de supposer séparément
ce qui donne deux équations qui serviront à déterminer et Or, en regardant comme fonction de et il est visible que
donc les deux conditions dont il s’agit seront représentées par
lesquelles étant analogues à la condition que nous avons trouvée dans l’Article I pour la détermination des intégrales particulières des équations à deux variables, on pourra regarder aussi les intégrales provenantes de ces conditions comme des intégrales particulières des équations à différences partielles entre trois variables.
42. Prenons par exemple l’équation
dont nous avons déjà vu que l’intégrale complète est (39)
En faisant varier successivement et on aura
ainsi on aura, pour la détermination de l’intégrale particulière, les deux équations
au moyen desquelles on éliminera et de l’équation
et la résultante sera l’intégrale particulière qu’on cherche.
Supposons que l’équation proposée soit
on aura dans ce cas
donc
ainsi on aura d’abord cette intégrale complète
ensuite, pour avoir l’intégrale particulière, il n’y aura qu’à éliminer dans cette équation les quantités et au moyen de ces deux-ci
lesquelles donnent
de sorte que l’intégrale particulière sera
43. Pour rendre plus sensible l’analogie qu’il y a entre les intégrales particulières des équations aux différences partielles et celles des équations différentiellesà deux variables, on remarquera que, si l’on exprime les variables par les coordonnées rectangles d’une surface courbe, l’équation pourra représenter une infinité de surfaces courbes, en donnant aux arbitraires et toutes les valeurs possibles, et chacune de ces différentes surfaces satisfera également à l’équation du premier ordre ensuite on prouvera, par un raisonnement semblable à celui des nos 21 et suivants, que la surface qui touchera toutes celles-ci satisfera aussi à la même équation différentielle enfin on démontrera aisément que, pour avoir l’équation de la surface touchante dont il s’agit, il n’y aura qu’à éliminer et de l’équation au moyen des deux équations
d’où il s’ensuit que cette surface touchante exprimera l’intégrale particulière de l’équation ce qui est conforme à la théorie donnée dans l’Article relativement aux lignes courbes.
44. Pour confirmer cette théorie par un exemple, supposons qu’on demande la surface courbe qui aura cette propriété, qu’en menant d’un point donné sur un quelconque des plans touchants de cette surface une perpendiculaire, elle soit toujours d’une même grandeur donnée.
Il est d’abord visible qu’une sphère décrite autour du point donné avec un rayon égal à la grandeur donnée satisfera à la question ; mais comme dans cette solution tout est déterminé et que le Problème conduit naturellement à une équation aux différences partielles du premier ordre, comme on le verra ci-après, il s’ensuit qu’on ne peut avoir de cette manière qu’une solution particulière du Problème.
De plus, il est clair qu’il y a une infinité de plans qui résolvent ce Problème ; car il suffit pour cela que la position du plan soit telle, que la perpendiculaire qu’on y abaisserait du point donné soit égale à la grandeur donnée ; et si l’on cherche l’équation générale de tous les, plans qui ont cette propriété, on verra sans peine que cette équation renfermera deux constantes arbitraires ; de sorte qu’on pourra la regarder comme l’intégrale complète de l’équation différentielle du Problème.
Enfin il est aisé de se convaincre que tous les différents plans dont il s’agit toucheront une surface sphérique décrite autour du point donné avec un rayon égal à la valeur donnée de la perpendiculaire ; c’est-à-dire la même surface qui nous a déjà donné une solution particulière du Problème.
Appliquons maintenant le calcul à cette question, et nommons il les trois coordonnées rectangles qui répondent à un point quelconque d’un des plans touchants de la surface cherchée dont les coordonnées rectangles et parallèles à celles-là sont on aura, par la nature du plan, l’équation
étant des constantes. Or, puisque le plan et la surface passent par un même point, on aura dans ce point donc
ensuite, puisque dans le même point le plan et la surface se touchent, on aura aussi
mais
donc
et par conséquent
donc, substituant ces valeurs dans l’équation du plan touchant, elle deviendra
Supposons, pour plus de simplicité, que le point donné soit l’origine des coordonnées, et cherchons l’expression générale de la perpendiculaire menée de ce point sur le plan dont l’équation est
soit la valeur d’une ligne menée du point dont il s’agit à un point quelconque de ce plan, on aura, en général,
et, dans le cas où cette ligne devient perpendiculaire, on aura et par conséquent
mais l’équation au plan donne
donc
et par conséquent
d’où l’on tire
donc
donc
donc
donc, substituant pour les valeurs trouvées ci-dessus, on aura enfin pour l’expression générale de la perpendiculaire
Supposant donc cette perpendiculaire égale à une constante donnée on aura enfin
pour l’équation du Problème.
Cette équation est la même que nous avons déjà traitée plus haut (42), et dont nous avons trouvé que l’intégrale complète est
et que l’intégrale particulière est
ce qui s’accorde avec les conclusions trouvées ci-dessus.
45. Si l’on rapproche la théorie que nous venons de donner sur les intégrales particulières des équations aux différences partielles de celle que nous avons donnée plus haut sur les intégrales particulières des équations différentielles à deux variables, on en pourra déduire une règle analogue à celle des nos 15 et 24 pour trouver les intégrales particulières sans connaître les intégrales complètes ; car on prouvera aisément, par des principes analogues à ceux qu’on a employés dans les endroits cités, que, dans le cas de l’intégrale particulière, les différences des quantités déduites de l’équation différentielle proposée au moyen d’une nouvelle différentiation, devront rester indéterminées.
Ainsi, si après avoir différentié l’équation et avoir fait dispapaître les fractions on a une équation de la forme
étant des fonctions connues et entières de il faudra, pour obtenir l’intégrale particulière de l’équation dont il s’agit, faire séparément les quantités chacune égale à zéro ; ce qui donnera, comme l’on voit, quatre équations, lesquelles étant combinées avec l’équation donneront, par l’élimination des deux quantités trois équations finales en qui devront avoir lieu en même temps. Par conséquent, si ces équations ont un facteur commun, ce facteur sera l’intégrale particulière cherchée sinon la proposée n’admettra point d’intégrale particulière.
46. Si l’équation était telle, que l’on eût par la différentiation
alors on aurait l’équation différentielle
et les conditions de l’intégrale particulière seraient remplies en faisant et on n’aurait donc, dans ce cas, que deux équations de condition, lesquelles serviraient a éliminer les deux quantités
dans l’équation
et l’équation résultante serait toujours l’intégrale particulière de cette même équation
Au reste on peut aussi trouver son intégrale complète en remarquant que l’équation
donne aussi
d’où
étant une constante et une fonction de sans mais, puisqu’on doit avoir en même temps il faudra que donc
et étant des constantes ; donc
si l’on substitue cette valeur de dans l’équation différentielle il arrivera nécessairement que les quantités et s’en iront et que l’on aura une équation entre les constantes par laquelle il faudra en déterminer une par les deux autres.
Soit donc, en général, l’intégrale complète sera alors
et l’équation différentielles sera, comme on l’a déjà vu (39),
c’est la forme générale des équations différentielles qui peuvent avoir la propriété dont il s’agit.
En effet, si l’on différentie cette équation, on aura, à cause de
celle-ci, où je mets, pour plus de simplicité, et à la place de et
ainsi l’on aura pour l’intégrale particulière les deux équations
à l’aide desquelles il faudra éliminer les quantités et dans la proposée
Et il est visible qu’on aura de cette manière le même résultat que par la méthode du no 42.
Les équations à différences partielles de la forme dont il s’agit répondent, comme l’on voit, à celles qu’on a considérées plus haut (17).
47. Nous avons vu ci-dessus (40) que, pour que l’équation finie satisfasse à l’équation aux différences partielles du premier ordre sans supposer que les arbitraires et soient constantes, il suffit que ces quantités soient telles, que l’on ait la condition
c’est-à-dire, à cause de
suivant la notation ordinaire,
Dans les nos 41 et suivants nous avons satisfait à cette condition en faisant séparément et ce qui nous a donné l’intégrale particulière de l’équation mais il est clair que cette supposition est trop limitée et qu’on peut remplir la condition dont il s’agit d’une manière plus générale. En effet, comme il y a deux indéterminées et on peut supposer que l’une soit une fonction quelconque de l’autre, par exemple,
(en prenant la caractéristique pour dénoter une fonction indéterminée) ; substituant cette valeur de en et faisant
on aura l’équation de condition
au moyen de laquelle on pourra éliminer dans l’équation L’équation résultante de cette élimination satisfera également à l’équation différentielle et comme elle renferme une fonction arbitraire, elle sera beaucoup plus générale que l’intégrale complète c’est pourquoi, et pour la distinguer de celle-ci, nous la nommerons l’intégrale générale de l’équation
48. Ainsi donc, connaissant l’intégrale complète d’une équation à différences partielles du premier ordre, on pourra toujours, par la méthode précédente, en déduire l’intégrale générale, laquelle résoudra la même équation dans toute son étendue. Il n’y aura pour cela qu’à supposer que dans l’intégrale complète l’une des deux arbitraires soit une fonction quelconque de l’autre, différentier ensuite cette intégrale en faisant varier uniquement l’arbitraire restante, et éliminer cette arbitraire. Appliquons cette méthode à quelques Exemples.
Soit proposée d’abord l’équation
dont nous avons vu ci-dessus que l’intégrale complète est
Je fais j’ai
je différentie en faisant varier seul et divisant par j’ai
au moyen de ces deux équations on éliminera et l’on aura l’intégrale générale. Or comme
on aura égale à une fonction de par conséquent
sera aussi nécessairement une fonction de fonction qui restera indéterminée, à cause que est une fonction indéterminée de Ainsi l’on aura pour l’intégrale générale de la proposée
la caractéristique dénotant une fonction quelconque.
49. Soit l’équation
dont l’intégrale complète est (39)
faisons
on aura
et faisant varier seul, on aura, après avoir divisé par
et il n’y aura plus qu’à éliminer au moyen de ces deux équations.
Si l’équation était par exemple
comme dans le Problème du no 44, on aurait
faisant donc on aurait ces deux équations
d’où il faudrait éliminer on aurait ainsi la solution générale du Problème dont il s’agit.
Cette élimination est impossible, en général, c’est-à-dire tant que la fonction est indéterminée ; ainsi nous nous contenterons d’examiner quelques cas particuliers.
Supposons, ce qui est le cas le plus simple,
et étant des coefficients constants quelconques, on aura
et les deux équations précédentes deviendront
Pour chasser de ces deux équations, je commence par tirer de la seconde la valeur du radical, j’ai
ce qui, étant substitué dans la première, donne
Maintenant je carre l’équation précédente et je la réduis à celle-ci
d’où je tire
cette valeur étant enfin substituée dans l’équation ci-dessus, on aura celle-ci
Cette équation est celle d’un cylindre droit qui a le rayon de la base égal à en effet, si l’on change les deux coordonnées rectangles en deux autres aussi rectangles telles, que
on aura
et si l’on change encore les deux coordonnées
en deux autres
telles, que
on aura cette équation-ci
laquelle est évidemment celle d’un cylindre droit dont l’axe coïncide avec l’axe des coordonnées et dont la base a le rayon égal à
Or, comme en changeant les coordonnées nous n’avons fait que changer la position du cylindre relativement aux coordonnées primitives il s’ensuit que tout cylindre droit dont l’axe passera par le point donné qui a été pris pour l’origine des coordonnées et dont la base aura la quantité pour rayon, satisfera au Problème du no 44 ; ce qui est évident par soi-même.
Supposons
ce qui donne
on aura alors ces deux équations
d’où, éliminant il viendra
équation à un cône droit dont l’axe coïncide avec l’axe des ordonnées le sommet est distant du plan des ordonnées de la quantité et la base prise dans ce plan est un cercle dont le rayon est de sorte que si du centre de la base on mène une perpendiculaire à la surface du
cône, cette perpendiculaire sera égale à
ce qui est la condition du Problème.
On trouverait un cône semblable, mais dans une situation oblique à l’axe des ordonnées si l’on prenait la quantité telle, que
le calcul en étant un peu long, nous ne nous y arrêterons pas.
Comme la forme de la fonction est arbitraire, on pourra trouver une infinité de solutions différentes du Problème proposé ;` mais il est remarquable que la solution qui donne une sphère, et qui est en quelque façon la plus simple, n’est point comprise dans cette infinité de solutions qui résultent de l’hypothèse que est une fonction quelconque de
En effet, si l’on reprend les équations générales et qu’on cherche à déterminer en sorte qu’il en résulte l’équation à la sphère
il faudra qu’en substituant pour sa valeur et éliminant ensuite l’une des deux variables ou l’autre disparaisse aussi, de manière que l’équation résultante soit uniquement entre les quantités et or en éliminant par exemple on aura une équation où montera au second degré, en sorte qu’il faudrait faire évanouir séparément les coefficients des trois termes de cette équation ordonnée par rapport à ce qui donnerait trois équations au lieu d’une ; et l’on se convaincra aisément par le calcul qu’il est impossible de satisfaire à ces trois équations à la fois.
Au reste ce résultat ne doit pas paraître surprenantquand on considère que la sphère est donnée par une intégrale particulière (44) ; et nous n’avons fait cette remarque, qui peut d’ailleurs être appliquée à toutes les intégrales particulières des équations à différences partielles, que pour montrer la nécessité d’avoir égard à ces sortes d’intégrales pour avoir toutes les solutions possibles des équations de l’espèce dont il s’agit.
Une autre chose digne d’être remarquée, c’est que les surfaces, qui représentent l’intégrale particulière et l’intégrale générale d’une même équation à différences partielles du premier ordre, touchent dans chaque point une des surfaces exprimées par l’intégrale complète de la même équation, mais avec cette différence que la surface représentée par l’intégrale particulière touche absolument toutes les surfaces possibles que donne l’intégrale complète (43), au lieu que la surface représentée par l’intégrale générale ne touche que celles de ces surfaces qui se rapportent à une certaine espèce dépendante du rapport qu’on établit entre les deux quantités et qui sont les constantes arbitraires de l’intégrale complète ; c’est de quoi on peut se convaincre, en général, par les principes de la méthode du no 48, et dont l’Exemple précédent fournit des preuves particulières, puisqu’il est visible que les cylindres et les cônes, que nous avons déduits de l’intégrale générale, sont touchés partout par desplans exprimés par l’intégrale complète.
50. Soit l’équation
les caractéristiques et dénotant des fonctions quelconques données de deux quantités.
Je suppose
étant une constantes ; je tire de cette équation la valeur de qui sera exprimée en et et après avoir multiplié par j’intègre en faisant varier seul ; j’aurai
étant une fonction connue de où entrera aussi la constante et une fonction quelconque indéterminée de j’aurai ensuite
et j’en tirerai de même
étant une fonction connue de où entrera aussi comme constante, et une fonction quelconque de donc, puisque ces deux valeurs de doivent être identiques, il faudra que
par conséquent la valeur de sera et il est visible qu’on peut ajouter à cette valeur une constante quelconque, puisque dans l’équation différentielle la quantité finie ne se trouve pas.
On aura donc
intégrale complète de la proposée, puisqu’elle renferme deux constantes arbitraires et
Pour en tirer l’intégrale générale, on fera ensuite on différentiera en faisant varier seul ; on aura ainsi les deux équations
au moyen desquelles on éliminera et la résultante sera l’intégrale cherchée.
51. Soit l’équation
Je fais
substituant ces valeurs, j’aurai une équation en et d’où je tirerai exprimé par une fonction de seul dans laquelle entrera aussi comme constante ; or l’équation
donnera, en intégrant,
étant une fonction de seul ; de même l’équation
donnera
étant une fonction de seul ; donc, pour que ces deux équations deviennent la même chose, il faudra que l’on ait
et alors on aura, en ajoutant une constante à l’intégrale cette intégrale complète
Je fais maintenant et je différentie en faisant varier seul j’aurai les deux équations
au moyen desquelles il faudra éliminer pour avoir l’intégrale générale de la proposée.
52. Soit l’équation
étant une fonction quelconque de et et une fonction quelconque de
Je multiplie l’équation par et j’ajoute ensuite à l’un et à l’autre membre la quantité j’ai à cause de
cette équation-ci
je suppose pour un moment
j’ai une équation entre deux variables et que j’intègre en ajoutant la constante arbitraire je regarde maintenant comme une fonction de et déterminée par cette même équation ; j’aurai par la différentiation
étant une fonction connue de et ainsi substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle deviendra
Or, si l’on substitue partout dans cette équation à la place de sa valeur en et on aura une équation entre les trois variables et, supposant constante, on aura l’équation
entre les deux variables et laquelle étant intégrée en y ajoutant une constante arbitraire, qui pourra être une fonction quelconque indéterminée de donnera sur-le-champ l’intégrale générale de la proposée ; car il n’y aura plus qu’à y remettre à la place de sa valeur en et
53. Soit encore l’équation
étant une fonction quelconque de
et
et
une fonction quelconque de
Je fais pour plus de simplicité
en sorte que soit une fonction quelconque de et et une fonction quelconque de je multiplie toute l’équation par et j’ajoute aux deux membres la quantité j’ai
or, puisque
et que
on aura
donc l’équation précédente deviendra
Je suppose
ce qui fait une équation entre et que j’intègre en y ajoutant une constante arbitraire de sorte que j’ai une équation finie entre et dans laquelle je puis regarder comme une fonction de et et qui donnera par la différentiation
étant une fonction connue de et ainsi l’équation précédente deviendra
Qu’on substitue partout dans cette équation à la place de sa valeur en et on aura une équation entre les trois variables laquelle, en supposant constante, sera
qu’on intègre donc cette équation entre les deux variables et et soit l’intégrale, dans laquelle on pourra supposer que la constante arbitraire soit une fonction quelconque indéterminée de faisant ensuite varier dans l’équation les trois quantités et à la fois, il viendra
étant une fonction connue de donc, substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, on aura
On a donc ainsi deux équations finies
entre les quantités et, comme est donnée par une fonction connue de et substituant cette valeur de on aura deux équations entre les trois quantités et à l’aide desquelles on pourra éliminer et c’est-à-dire et dans l’équation proposée
et l’équation résultante sera l’intégrale générale de cette même équation, puisqu’elle contient déjà une fonction indéterminée.
54. Soit enfin l’équation
étant une fonction quelconque de
et
et
une fonction quelconque de
Je fais
j’aurai l’équation
dans laquelle sera une fonction quelconque de et où sera une fonction quelconque de Je multiplie cette équation par et j’ajoute aux deux membres la quantité j’aurai, à cause de
j’aurai, dis-je, l’équation
Je suppose j’ai une équation entre et que j’intègre en y ajoutant une constante arbitraire ensuite, regardant comme variable, je différentie de nouveau, j’ai
étant une fonction connue de cette substitution ainsi que celle de la valeur de en et étant faites dans l’équation ci-dessus, elle deviendra
où et seront maintenant des fonctions connues de et Regardant donc comme constante, on aura l’équation
entre les variables et dont l’intégrale pourra contenir comme constante une fonction quelconque indéterminée de Soit
cette intégrale ; en y faisant varier à la fois
et
on en tirera
mais on a
donc
Cette équation étant combinée avec l’équation
on pourra éliminer après avoir remis pour sa valeur et pour sa valeur en et l’équation résultante ne contiendra que et sera l’intégrale générale de la proposée à cause de la fonction indéterminée qui s’y trouvera.
On pourra, par un procédé semblable, trouver l’intégrale générale de toute équation de la forme
étant une fonction de et une fonction de
Il n’y aura pour cela qu’à changer dans l’analyse précédente en et vice versâ.
On voit par là que les équations de la forme
ou
(la caractéristique dénotant une fonction quelconque donnée de trois quantités), sont intégrables en général car si l’on tire de la première la
valeur de
ou de la seconde celle de
on aura des équations de la forme
et par conséquent intégrables par la méthode ci-dessus.
55. Les Exemples précédents renferment d’une manière générale tous les cas connus d’intégration des équations de différences partielles du premier ordre entre trois variables ; et c’est pour cette raison que nous avons ajouté les trois derniers Exemples, quoique la méthode qu’on y a suivie n’ait pas un rapport immédiat avec la méthode générale du no 48 ; nous avions déjà donné ailleurs l’intégration de l’équation du no 52 [voyez les Mémoires pour 1772[3]] ; mais celle des équations des nos 53 et 54 est, si je ne me trompe, entièrement nouvelle.
56. On a vu ci-dessus que l’intégrale particulière n’est renfermée ni dans l’intégrale complète ni dans l’intégrale générale ; mais il n’en est pas de même de l’intégrale complète par rapport à l’intégrale générale ; car il est facile de se convaincre, soit d’après notre théorie de la formation des intégrales générales, soit d’après la seule considération de la nature de ces intégrales, laquelle consiste en ce qu’elles doivent renfermer une fonction arbitraire, il est aisé, dis-je, de se convaincre que ces sortes d’intégrales doivent toujours renfermer les intégrales complètes comme des cas particuliers. En effet, si dans l’intégrale générale on donne à la fonction indéterminée une valeur particulière dans laquelle il y ait des coefficients arbitraires, en sorte qu’il se trouve deux de ces coefficients dans l’intégrale, cette intégrale sera alors une intégrale complète, et conduira nécessairement par la différentiation à la même équation aux différences partielles du premier ordre que l’intégrale générale dont elle est dérivée. On voit par là qu’on peut donner différentes formes aux intégrales complètes, mais que ces formes différentes sont néanmoins liées entre elles, en sorte que dès qu’on en connaît une on peut en déduire toutes les autres, puisqu’il n’y a qu’à chercher d’abord, par notre méthode, l’intégrale générale, et ensuite donner à la fonction indéterminée des valeurs particulières.
57. Nous allons maintenant considérer les équations à différences partielles du second ordre ; et nous remarquerons d’abord que si est une équation finie entre les trois variables et cinq constantes on pourra en déduire une équation aux différences partielles du second ordre dans laquelle ces constantes ne se trouveront plus. Car, en regardant comme une fonction de et et faisant varier successivement ces deux quantités dans l’équation donnée, on en tirera par une double différentiation ces cinq équations-ci
étant des fonctions connues de , et des fonctions aussi connues de Si donc au moyen de ces cinq équations différentielles et de l’équation finie on élimine les cinq constantes on aura une équation finale entre les quantités
dans laquelle les constantes dont il s’agit ne se trouveront plus, et que nous représenterons, en général, par
On pourra donc regarder l’équation comme l’intégrale finie et complète de l’équation aux différences partielles du second ordre et comme les cinq constantes demeurent arbitraires, il s’ensuit que l’intégrale finie et complète de toute équation aux différences partielles du second ordre doit renfermer cinq constantes arbitraires.
Soit par exemple l’équation finie
on aura par la différentiation
donc, éliminant les constantes on aura cette équation finale
dont l’équation précédente sera par conséquent l’intégrale complète.
58. Soit encore l’équation
dans laquelle soit une fonction donnée de on aura par la différentiation
donc
donc, substituant ces valeurs, on aura l’équation différentielle du second ordre
dont l’intégrale complète sera
la caractéristique dénotant une fonction quelconque de cinq quantités.
59. En suivant les principes établis dans ce Mémoire, il est facile de démontrer que pour avoir l’intégrale particulière d’une équation à différences partielles du second ordre dont on connaît l’intégrale finie complète il n’y aura qu’à faire varier, tant dans la quantité que dans les deux quantités et des équations
les cinq constantes arbitraires et supposer les différences de ces trois quantités nulles ; ce qui donnera trois équations qui contiendront les cinq différentielles sous une forme linéaire ; on éliminera deux de ces différentielles, et l’on fera ensuite évanouir séparément dans l’équation résultante les coefficients des trois différentielles restantes ; on aura ainsi trois équations de condition qui étant combinées avec les trois équations
donneront, par l’élimination des cinq quantités une équation à différences partielles du premier ordre, laquelle sera l’intégrale particulière aux premières différences de la proposée du second ordre.
Par exemple, l’équation différentio-différentielle du numéro précédent donne
donc les équations de condition de l’intégrale particulière seront, en fai-
sant, pour abréger,
Mettant dans la première équation les valeurs de et tirées de ces deux dernières, et égalant ensuite à zéro les coefficients des différences on aura ces trois équations
à l’aide desquelles et des équations
on éliminera les cinq quantités et la résultante sera l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation dont il s’agit.
60. Soit à présent une équation entre les variables finies et les différences partielles du premier ordre dans laquelle entrent deux constantes arbitraires et on pourra en déduire par la différentiation une équation aux différences partielles du second ordre dans laquelle les deux constantes et ne se trouveront plus. Car, si l’on fait varier successivement et on aura les deux équations
à l’aide desquelles on pourra éliminer dans la proposée les deux constantes et et l’équation résultante sera entre les variables et leurs différences partielles nous la designerons, en général, par
Ainsi l’on pourra regarder l’équation comme l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second ordre et, comme les deux constantes et restent arbitraires, on peut conclure, en général, que toute intégrale complète du premier ordre d’une équation aux différences partielles du second ordre doit contenir deux constantes arbitraires.
Soit par exemple l’équation aux différences premières
et étant deux constantes qui doivent rester indéterminées, et deux coefficients donnés.
Faisant varier successivement et on aura les deux équations
d’où chassant il viendra l’équation
dont l’équation ci-dessus sera par conséquent l’intégrale complète du premier ordre.
Ainsi, ayant une équation du second ordre de la forme
il n’y aura qu’à chercher les racines de l’équation
et nommant ces racines on aura l’intégrale complète du premier ordre
et, comme on peut échanger entre elles les racines
et
on aura aussi cette autre intégrale du premier ordre
et étant d’autres constantes arbitraires.
Au moyen de ces deux intégrales du premier ordre on pourra, si l’on veut, trouver l’intégrale complète finie ; car en chassant par exemple on aura l’équation
qui peut être intégrée en faisant varier seul ; et l’on aura
étant une fonction quelconque de
Or, si des mêmes équations on chasse on a
et, intégrant par rapport à seul, on aura
et, comme ces deux équations doivent être la même chose, il faudra faire
étant une constante arbitraire.
Ainsi l’intégrale complète finie de la proposée sera
où sont les cinq arbitraires.
Au reste il est facile de voir que cette méthode de trouver l’intégrale complète finie d’une équation du second ordre, lorsqu’on connaît deux différentes intégrales complètes du premier ordre de la même équation, est générale et réussira toujours, quelle que soit la forme de ces intégrales complètes ; car en éliminant on aura toujours une équation où pourra être traitée comme constante, et en éliminant on en aura une où pourra être regardée elle-même comme constante ; et, l’intégration introduisant nécessairement une nouvelle constante arbitraire, on aura dans l’intégrale finie le nombre de cinq arbitraires ; ce qui est le caractère des intégrales complètes (57).
61. Lorsqu’on connaît l’intégrale complète du premier ordre d’une équation du second ordre on en peut déduire sans peine son intégrale particulière.
Car il ne faudra que faire varier dans l’équation les deux constantes arbitraires et et supposer ensuite les coefficients des deux différentielles et chacun égal à zéro ; on aura ainsi deux équations qui serviront à éliminer les quantités et dans l’équation et la résultante sera l’intégrale particulière aux premières différences de la proposée .
62. Enfin, si l’on ne connaît aucune des intégrales complètes de l’équation du second ordre, on pourra néanmoins trouver son intégrale particulière aux premières différences.
Il n’y aura pour cela qu’à différentier l’équation proposée, et, ayant fait disparaître les fractions pour avoir une équation de la forme
étant des fonctions connues et entières de
on supposera séparément égale à zéro chacune des cinq quantités ce qui donnera cinq équations, lesquelles étant combinées avec l’équation en sorte que les trois quantités disparaissent, il résultera trois équations finales en il faudra donc que ces trois équations puissent avoir lieu en même temps, c’est-à-dire qu’elles aient un facteur commun, pour que la proposée soit susceptible d’une intégrale particulière ; et ce facteur, s’il y en a un, sera l’intégrale cherchée.
La démonstration de cette méthode et de celle du numéro précédent est facile à déduire des principes exposés dans ce Mémoire, et nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.
63. Si l’équation est telle, que
alors on n’aura pour la détermination de l’intégrale particulière que les trois équations de condition
lesquelles serviront à éliminer les trois quantités dans l’équation et la résultante sera l’intégrale particulière de cette même équation
64. Pour trouver la forme générale des équations qui ont cette propriété, il n’y a qu’à remarquer qu’on peut satisfaire à l’équation en faisant séparément
ce qui donne, en prenant des constantes arbitraires,
et intégrant de nouveau
et enfin
où il se trouve, comme l’on voit, six constantes indéterminées. Or, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation il arrivera nécessairement que les quantités et s’en iront d’elles-mêmes, en sorte qu’il ne restera qu’une équation entre les constantes par laquelle il faudra en déterminer une par les autres.
Supposons donc qu’on ait déterminé en sorte que l’on ait, en général,
alors on aura l’équation finie
qui, contenant cinq constantes arbitraires, sera l’intégrale complète de la proposée et d’où l’on pourra par conséquent déduire la forme générale de cette même équation, ainsi que nous l’avons déjà fait plus haut (58).
L’équation différentio-différentielle, que nous avons trouvée dans le no 58, sera donc la formule générale de touttes les équations qui peuvent avoir la propriété en question ; et si l’on différentie cette équation, qu’ensuite on suppose égal à zéro chacun des coefficients des trois différences on aura trois équations, qui étant combinées avec l’équation proposée donneront, par l’élimination des quantités le même résultat que l’on aura par la méthode du no 62.
65. Après avoir vu comment on peut déduire les intégrales particulières des intégrales complètes, voyons comment on peut en déduire aussi les intégrales générales. Et d’abord il est facile de prouver d’après les principes exposés ci-dessus (57) que pour que l’équation qu’on suppose être l’intégrale complète finie de l’équation du second ordre satisfasse à cette même équation, en y regardant les cinq arbitraires comme variables, il suffira que ces quantités soient telles, qu’elles satisfassent aux trois équations différentielles qu’on aura en égalant à zéro les différences des quantités dans lesquelles on n’aura fait varier que les quantités
Or, comme de cette manière on n’a que trois équations pour la détermination des cinq variables il est clair qu’il y en aura deux à volonté qu’on pourra supposer être des fonctions quelconques indéterminées des trois autres ; il s’agira seulement de faire en sorte qu’on puisse déterminer ensuite les valeurs des cinq variables dont il s’agit d’une manière finie, en fonctions de alors il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs dans l’équation et l’on aura l’intégrale générale de la proposée du second ordre, laquelle intégrale contiendra deux fonctions indéterminées.
Nous avons vu ci-dessus (57) que l’équation du second ordre
a pour intégrale finie complète
De là on a
donc, faisant varier les quantités on a les équations de condition
J’ajoute ces deux dernières équations ensemble apyès en avoir multiplié une par un coefficient constant arbitraire ce qui donne
où l’on voit que, si l’on fait ce qui donne on aura
cette équation ne contenant plus que deux variables et il n’y aura qu’à supposer, à l’imitation de ce que nous avons pratiqué plus haut (47),
ce qui donnera
et l’on aura, après la substitution et la division par
d’où l’on tirera la valeur de en fonction de or, comme le radical peut être pris également en moins, on aura de
même l’équation
laquelle, en faisant
donnera
moyennant quoi on connaîtra séparément et en et
Soit, pour plus de simplicité,
et soient deux fonctions de et de il est clair qu’on aura
donc
par conséquent
On aura donc ainsi
et, substituant ces valeurs dans la première des trois équations de condition, on aura, après les réductions,
d’où l’on tire
Connaissant ainsi les valeurs des cinq quantités il n’y aura plus qu’à les substituer dans l’équation et l’on aura
ce qui se réduit à cette forme plus simple
or, étant une fonction quelconque de ou et une fonction quelconque de ou il est visible que et seront aussi des fonctions quelconques des mêmes quantités. De sorte qu’on aura, en général,
ce qui s’accorde avec ce que l’on sait depuis longtemps.
Au reste on voit par cet Exemple, qui est d’ailleurs un des plus simples, que la méthode dont il s’agit, quoique directe et générale, est en quelque façon plus curieuse qu’utile, à cause des difficultés qui peuvent se rencontrer dans l’intégration des équations de condition ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.
66. Il est beaucoup plus aisé de tirer l’intégrale générale aux premières différences de l’intégrale complète du premier ordre. Car nous avons vu (60) que, si est l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second ordre il suffit qu’il y ait dans l’équation deux constantes arbitraires et et il est facile de prouver que cette équation satisfera également à l’équation en y regardant et comme des variables, pourvu que l’on ait
de sorte qu’en faisant, en général,
on n’aura que cette seule équation de condition
laquelle servira à éliminer dans l’équation ; et la résultante contenant une fonction arbitraire sera nécessairement l’intégrale générale aux différences premières de la proposée il n’y a, comme l’on voit, aucune difficulté dans l’application de cette méthode.
L’équation
a pour intégrale complète du premier ordre
comme on l’a vu plus haut (60). Pour en déduire l’intégrale générale on fera donc varier et ce qui donnera
et faisant on aura
d’où l’on voit que
donc est égale à une fonction de et par conséquent est aussi
égal à une fonction de
donc aussi
est égal à une fonction de
que je dénoterai par
et il est visible que cette fonction pourra être quelconque. Ainsi l’intégrale générale du premier ordre sera
De plus on a vu que la même équation a aussi pour intégrale complet du premier ordre
d’où l’on tirera, par un procédé semblable au précédent, la nouvelle intégrale générale
la caractéristique dénotant aussi une fonction quelconque.
Maintenant de même que dans l’endroit cité on a tiré l’intégrale finie complète des deux intégrales complètes du premier ordre, de même aussi pourra-t-on déduire des deux intégrales générales du premier ordre qu’on vient de trouver l’intégrale générale finie de l’équation proposée du second ordre.
En effet on a d’abord, en éliminant
multipliant par et intégrant relativement à on aura
dénote une fonction quelconque de , et les caractéristiques dénotent les intégrales des fonctions exprimées par les En éliminant de même la quantité on a
et intégrant relativement à
seul, on aura
étant une fonction quelconque de or, comme ces deux valeurs de doivent être identiques, il faudra que
ce qui ne peut avoir lieu, à moins que les deux quantités et ne soient constantes ; mais, comme les caractéristiques expriment des fonctions quelconques, il serait superflu d’ajouter à ces fonctions une constante quelconque. Ainsi l’intégrale générale finie de la proposée sera
Cette méthode est générale, et l’on pourra toujours par son moyen trouver l’intégrale générale finie de toute équation à différences partielles du second ordre, dont on connaîtra deux intégrales complètes du premier ordre.
67. On pourrait croire qu’il suffit de connaître l’intégrale complète finie d’une équation à différences partielles du second ordre pour pouvoir trouver deux intégrales complètes du premier ordre de la même équation, comme cela a lieu pour les équations différentielles à deux variables (32) ; mais il n’en est pas ainsi des équations à différences partielles. En effet, dans ces sortes d’équations, lorsqu’il n’y a que trois variables, toute différentiation simple fournit deux équations, mais une différentiation double en fournit cinq, et une différentiation triple en fournira neuf, et ainsi de suite. De là vient que toute intégrale complète simple ou du premier ordre doit contenir deux constantes arbitraires, toute intégrale double ou du second ordre doit contenir cinq arbitraires, et ainsi du reste. Ainsi, pour pouvoir déduire une intégrale complète du premier ordre d’une intégrale complète du second, il faudrait pouvoir éliminer, par une simple différentiation de celle-ci, trois constantes vphitraires à la fois ; ou bien, si l’on n’en élimine que deux, il faudrait que la résultante fût telle, que les trois arbitraires restantes pussent être éliminées à la fois par une nouvelle différentiation simple ; or c’est ce qui est impossible, en général, et ne peut guère avoir lieu que dans des cas particuliers.
À plus forte raison sera-t-il impossible de déduire, en général, d’tune intégrale complète du troisième ordre une intégrale complète du second ou du premier, et ainsi du reste.
Nous allons rendre tout cela sensible par quelques Exemples.
68. Soit prise d’abord l’équation du no 58 ci-dessus, dont l’intégrale complète finie est
étant
Une différentiation simple donne les deux équations
il faut donc voir si en combinant ces deux équations avec la précédente on peut chasser à la fois trois des cinq arbitraires Je fais d’abord cette combinaison
et je remarque que si je retranche cette équation de celle ci-dessus multipliée par j’en aurai une du premier ordre qui ne contiendra plus que les deux arbitraires et pourvu qu’on suppose que soit une fonction de et seulement.
J’aurai donc dans ce cas l’équation
qui sera l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second
ordre
De là on pourra donc trouver, si l’on veut, l’intégrale générale du premier ordre de cette même équation (66).
Car en faisant varier et et supposant
on aura l’équation
par laquelle on éliminera dans l’intégrale complète après avoir mis partout à la place de la résultante sera l’intégrale générale cherchée.
Dans cet Exemple nous avons pu éliminer à la fois les trois arbitraires ce qui nous a donné une intégrale complète du premier ordre ; mais pour avoir une autre intégrale complète il faudrait pouvoir éliminer à la fois trois autres des cinq arbitraires ce qui n’est guère possible, comme on peut s’en assurer aisément par le calcul.
Au reste on voit aussi par l’Exemple précédent que, si la quantité était une fonction qui contînt les arbitraires il ne serait plus possible de parvenir à une intégrale complète du premier ordre, par l’élimination simultanée de trois arbitraires.
69. Soit maintenant l’équation
dont l’intégrale complète est
comme il est facile de s’en assurer par la substitution de cette valeur de
J’aurai par la différentiation
d’où l’on tire cette combinaison
et, retranchant cette équation de la précédente, j’aurai celle-ci
laquelle ne contenant plus que deux arbitraires sera par conséquent l’intégrale complète du premier ordre de la proposée.
On pourra donc tirer de celle-ci l’intégrale générale du premier ordre, laquelle sera
Je remarque de plus que l’on a
et que cette équation est telle, que les trois arbitraires qu’elle renferme peuvent être éliminées à la fois au moyen de ses deux différentielles
car, en ajoutant ces deux équations-ci ensemble après avoir multiplié la
seconde par
on a
qui est l’équation même proposée.
De là il s’ensuit donc que l’équation dont il s’agit sera aussi une intégrale complète du premier ordre, et même on y pourra pour plus de simplicité supposer égale à zéro une quelconque des trois arbitraires qu’elle renferme.
On aura donc de cette manière cette nouvelle intégrale complète
d’où l’on tirera aussi une nouvelle intégrale générale du premier ordre, laquelle sera
Au moyen de cette intégrale et de la précédente on pourra avoir sur-le-champ l’intégrale générale finie ; car multipliant la dernière par et l’ajoutant à la première on aura
et étant deux fonctions arbitraires de
70. Nous nous dispenserons d’examiner les équations à différences partielles des ordres plus élevés, comme aussi celles où il y aurait plus de trois variables ; l’application des principes que nous venons d’établir à ces sortes d’équations ne doit pas être difficile à présent, et d’ailleurs ce Mémoire n’est déjà que trop long.