Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur les intégrales particulières des équations différentielles

Joseph-Louis Lagrange

Sur les intégrales particulières des équations différentielles

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 5-108).

SUR LES
INTÉGRALES PARTICULIÈRES
DES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES^[1].

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1774.)

Dans un Mémoire de feu M. Clairaut, imprimé parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1734, on trouve cette remarque singulière, qu’il y a des équations différentielles qu’on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l’intégration, quoique d’ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très-bien les Problèmes géométriques qui conduisent à ces équations (voyez les Mémoires de 1734, pages 209 et suivantes).

M. Euler a mis ensuite ces deux espèces de paradoxes dans un plus grand jour, et il les a confirmés par différents Exemples tirés de la Géométrie c’est le sujet d’un Mémoire donné à cette Académie et imprimé dans le volume de 1756 sous le titre d’Exposition de quelques paradoxes dans le Calcul intégral. Ce grand Géomètre avait aussi déjà remarqué, dans sa Mécanique, qu’il y a souvent des solutions particulières qui échappent à la solution générale, et il avait même donné une formule pour trouver ces solutions particulières dans un grand nombre de cas (voyez Mechanica, tome II, Articles 268, 303, 335) ; mais ni M. Clairaut ni M. Euler n’avaient encore cherché les moyens de reconnaître à priori si une équation finie qui satisfait à une équation différentielle donnée est comprise ou non dans l’intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale.

Ce Problème, qui est d’une grande importance dans la Théorie du Calcul intégral, a depuis été résolu par M. Euler dans le premier volume de son Calcul intégral. M. d’Alembert s’en est occupé aussi et en a rendu la solution plus rigoureuse et plus générale dans les Mémoire de l’Académie des Sciences de Paris, année 1769 (voyez pages 84 et suivantes). On trouve de plus quelques principes généraux sur le même sujet dans les Ouvrages de M. le Marquis de Condorcet (voyez son Calcul intégral, page 67, les Mémoires de Turin, tome IV, pages 7 et suivantes). Enfin je viens de lire un Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles, que M. de Laplace a donné depuis peu à l’Académie des Sciences, et qui doit paraître dans le volume de 1772, mais dont l’Auteur a bien voulu m’envoyer d’avance un exemplaire imprimé. Dans ce Mémoire, M. de Laplace perfectionne et étend plus loin la théorie déjà connue des solutions particulières, et, ce que personne n’avait encore fait, il donne des méthodes pour trouver directement toutes les solutions particulières qui peuvent satisfaire à une équation différentielle donnée, et qui ne seraient point comprises dans la solution générale de cette équation.

Cette lecture a réveillé d’anciennes idées que j’avais sur la même matière et a occasionné les recherches suivantes, dans lesquelles je me flatte de pouvoir présenter aux Géomètres une Théorie nouvelle et complète sur le point d’Analyse dont il s’agit.

Article I^er. — Des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre à deux variables, et de la manière de les déduire des intégrales complètes.

1. J’entends, en général, par intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, une équation finie qui satisfait à cette équation différentielle et qui renferme une constante arbitraire ; si l’on donne à cette constante une valeur déterminée, l’intégrale devient alors incomplète, parce qu’elle ne renferme plus de constante arbitraire ; mais elle sera toujours comprise dans l’intégrale complète. Les intégrales particulières dont nous allons traiter ici sont celles qui, ne renfermant point de constante arbitraire, ne sont pas non plus comprises dans l’intégrale complète, et par conséquent échappent à la méthode ordinaire d’intégration. Par exemple, l’intégrale complète de l’équation

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}$

est

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=y+a,$

ou bien

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

$a$ étant une constante arbitraire. Si l’on donnait à $a$ une valeur déterminée quelconque, comme si l’on faisait $a=3b,$ on aurait

$x^{2}-6by-10b^{2}=0,$

qui serait une intégrale incomplète ; mais l’équation précédente, malgré la constante arbitraire $a,$ n’est pas la seule équation finie qui satisfasse à l’équation différentielle proposée ; car il est aisé de voir que l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

y satisfait aussi, équation qu’on voit bien n’être pas comprise dans celle-là, puisque l’une est à un cercle dont le rayon est $b,$ et l’autre est à une parabole ayant $2a$ pour paramètre.

L’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

sera donc une intégrale particulière de l’équation différentielle

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\,;$

on trouvera de même que l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

est l’intégrale particulière de l’équation différentielle

$ydx-xdy=b{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

dont l’intégrale complète est

$y-ax-b{\sqrt {1+a^{2}}},$

$a$ étant la constante arbitraire. Il en est de même d’une infinité d’autres équations différentielles qui admettent des intégrales particulières, lesquelles ne sauraient être comprises dans les intégrales complètes de ces équations.

2. Après nous être assurés à posteriori de l’existence des intégrales particulières, cherchons, maintenant à priori, et d’après les seuls principes du Calcul intégral, quelle est l’origine de ces sortes d’intégrales.

Pour considérer les choses d’une manière générale, soit

$\mathrm {Z} =0$

une équation différentielle quelconque, $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y$ et de ${\frac {dy}{dx}}\,;$ supposons que l’intégrale complète de cette équation soit

$\mathrm {V} =0,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction de $x,y$ et d’une constante arbitraire $a$ qui n’entre point dans la fonction $\mathrm {Z} ,$ et voyons comment cette équation $\mathrm {V} =0$ satisfait à l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$

L’équation $\mathrm {V} =0,$ étant différentiée, donne celle-ci

$dy=pdx,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dy}{dx}}=p,$

où $p$ est une fonction finie de $x,y$ et $a\,;$ puis donc que ces deux équations

$\mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dy}{dx}}-p=0$

ont lieu en même temps, on peut en éliminer la quantité $a,$ et l’on aura une équation entre $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}$ où $a$ n’entrera plus, et qui aura donc lieu en même temps que l’équation finie $\mathrm {V} =0\,;$ ce sera donc nécessairement l’équation $\mathrm {Z} =0.$

D’où l’on peut conclure que, si $\mathrm {V} =0$ est l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ celle-ci ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire $a,$ à l’aide des deux équations $\mathrm {V} =0$ et $dy=pdx.$

Ainsi, l’équation finie

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

donne par la différentiation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{a}}\,;$

éliminant $a,$ on aura

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\,;$

ce qui se réduit à

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\,;$

par conséquent, l’équation ci-dessus sera l’intégrale complète de cette équation différentielle, $a$ étant la constante arbitraire (1).

3. Maintenant, puisque l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ résulte des deux équations $\mathrm {V} =0$ et ${\frac {dy}{dx}}=p,$ en éliminant la constante $a,$ il est visible que l’on aura toujours la même équation $\mathrm {Z} =0,$ quelle que soit la valeur de la quantité $a$ qu’on doit éliminer ; ainsi, quand même cette quantité ne serait pas constante, comme on l’a supposé jusqu’ici, il est clair que l’équation finie $\mathrm {V} =0$ satisfera toujours à l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ pourvu que, par la différentiation de l’équation $\mathrm {V} =0,$ on ait également, dans le cas de $a$ variable, $dy=pdx.$ Or, en faisant varier dans l’équation $\mathrm {V} =0$ les quantités $x,y$ et $a$ à la fois, il est clair qu’on aura cette équation différentielle

$dy=pdx+qda,$

$p$ et $q$ étant des fonctions de $x,y$ et $a\,;$ et l’on voit que, pour que cette équation se réduise à $ay=pdx,$ comme dans le cas de $a$ constante, il n’y a qu’à supposer la quantité $q$ égale à zéro. Faisant donc

$q=0,$

on aura une équation par laquelle on pourra déterminer la valeur de $a$ en $x$ et $y,$ et cette valeur de $a$ étant ensuite substituée dans l’équation finie $\mathrm {V} =0,$ cette équation satisfera encore à l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ et en sera une intégrale particulière.

4. Comme en faisant varier à la fois les quantités $x,y$ et $a$ dans l’équation $\mathrm {V} =0$ on a

$dy=pdx+qda,$

on aura, en faisant varier seulement $y$ et $a,$

$dy=qda,$

et par conséquent

$q={\frac {dy}{da}}\,;$

donc si $\mathrm {V} =0$ est l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ et que $a$ soit la constante arbitraire introduite par l’intégration ; qu’on fasse varier dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ $y$ et $a,$ et qu’on suppose ensuite ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ qu’on détermine $a$ par le moyen de cette équa-

tion, et qu’on substitue sa valeur dans l’intégrale complète $\mathrm {V} =0,$ ou bien, ce qui revient au même, qu’on élimine $a$ par le moyen des deux équations ${\frac {dy}{da}}=0$ et $\mathrm {V} =0,$ on aura une intégrale particulière de la même équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$ Si l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ renferme la quantité $a$ mêlée avec les variables $x$ et $y,$ alors la valeur de $a$ tirée de cette équation sera une fonction des mêmes variables ; par conséquent l’intégrale particulière, qui résultera de la substitution de cette valeur de $a$ dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ sera nécessairement différente de l’intégrale complète $\mathrm {V} =0,$ dans laquelle $a$ est supposée constante.

Mais il peut arriver, ou que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ ne renferme que la quantité $a$ avec des constantes, mais sans $x$ ni $y\,;$ ou que cette équation ne renferme que $x$ et $y$ sans $a.$ Dans le premier cas, la valeur de $a$ sera nécessairement constante ; ainsi il n’y aura point alors d’intégrale particulière proprement dite.

Dans le second cas, l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ sera elle-même une intégrale de la proposée ; mais, pour pouvoir juger si c’est une intégrale particulière ou non, il faudra combiner cette équation avec l’équation $\mathrm {V} =0$ en éliminant $x$ ou $y,$ et voir si la résultante donne a variable ou constante. S’il arrivait que la valeur de $a$ demeurât indéterminée ou $={\frac {0}{0}},$ ce serait une marque que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ est un facteur de l’équation $\mathrm {V} =0,$ indépendant de la constante arbitraire $a,$ et par conséquent étranger à l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$

Au reste, si l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ avait des facteurs, il faudrait appliquer à chacune des équations qui en résulteraient ce que nous venons de dire en général sur l’équation ${\frac {dy}{da}}=0.$

5. Si, au lieu de faire varier $y$ et $a$ dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ on y fait varier $x$ et $a,$ et qu’on suppose ${\frac {dx}{da}}=0,$ cette équation, traitée comme l’équation ${\frac {dy}{da}}=0,$ servira aussi à déterminer les intégrales particulières de la même équation différentielle $\mathrm {Z} =0\,;$ ce qui est aisé à démontrer par les mêmes principes que nous avons établis ci-dessus. L’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera le plus souvent les mêmes résultats que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ mais il y a des cas où ces équations donnent des résultats différents il faudra donc avoir égard à ces deux équations, pour pouvoir trouver toutes les intégrales particulières de l’équation $\mathrm {Z} =0,$ et il est facile de démontrer qu’il n’y a pas d’autres combinaisons possibles qui puissent fournir des intégrales de cette espèce non comprises dans l’intégrale complète $\mathrm {V} =0.$

6. Pour éclaircir la théorie précédente par quelques exemples, je prends d’abord l’équation différentielle

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},$

dont nous avons déjà vu que l’intégrale complète est

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

où $a$ est la constante arbitraire. Faisant donc varier d’abord $y$ et $a,$ on aura

${\frac {dy}{da}}=-{\frac {a+y}{a}},$

et faisant varier $x$ et $a,$ on a

${\frac {dx}{da}}={\frac {a+y}{x}}\,;$

les deux équations.

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {dx}{da}}=0$

donnent également

$a+y=0,\quad {\text{d’où}}\quad a=-y\,;$

ce qui étant substitué dans l’intégrale complète, on a

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$

intégrale particulière de l’équation différentielle proposée, et la seule qui ait lieu.

Soit ensuite l’équation différentielle

$ydx-xdy=b{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

dont l’intégrale complète est.

$y-ax-b{\sqrt {1+a^{2}}}=0.$

En faisant varier $y$ et $a,$ on en tire

${\frac {dy}{da}}=x+{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

donc

$x+{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad x=-{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

et combinant cette équation avec la précédente, on aura

$y={\frac {b}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

donc

$x^{2}+y^{2}=b^{2},$

intégrale particulière de la proposée. Si l’on faisait varier $x$ et $a,$ on aurait

${\frac {dx}{da}}=-{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

de sorte que l’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera le même resultat que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ et qu’ainsi il n’y aura d’autre intégrale particulière possible que celle qu’on a trouvée.

Soit de plus l’équation différentielle

$ydx-xdy+bdy={\sqrt {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)-b^{2}dx^{2}}},$

dont on trouve que l’intégrale complète est

$y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},$

$a$ étant la constante arbitraire.

Faisant done varier $y$ et $a,$ on aura

${\frac {dy}{da}}=x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}.$

donc

$x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,$

par conséquent

$x-b=-{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,$

et combinant cette équation avec la précédente, on aura

$y={\frac {c^{2}-b^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},$

de sorte qu’on aura, en éliminant $a,$

${\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,$

intégrale particulière de la proposée, et qui n’est point comprise dans l’intégrale complète.

Si l’on fait varier $x$ et $a,$ on aura

${\frac {dx}{da}}=-{\frac {x-b}{a}}-{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},$

et l’équation ${\frac {dx}{da}}$ redonnera le même résultat que nous venons de trouver d’après l’équation ${\frac {dy}{da}}=0.$ Ainsi la proposée n’admet point d’autre intégrale particulière que la précédente. Voyez au reste, sur l’intégration de ces deux équations, les n^os 17 et 19 ci-après.

Considérions enfin l’équation différentielle séparée

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4},\\\mathrm {Y} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}\,;\end{aligned}}$

l’intégrale complète de cette équation est, comme j’ai fait voir ailleurs^[2],

${\sqrt {\mathrm {X} }}+{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }},$

où $a$ est la constante arbitraire, et

$\mathrm {U} =\mathrm {D} (x+y)+\mathrm {E} (x+y)^{2}.$

Faisant d’abord varier $y$ et $a,$ et ensuite $x$ et $a$ à la fois, et supposant, pour plus de simplicité,

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {X} ',\quad {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=\mathrm {Y} ',\quad {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}={\frac {d\mathrm {U} }{dy}}=\mathrm {U} ',$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {dy}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {Y} }}}{\mathrm {Y} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {Y} }}}}\\{\frac {dx}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {X} }}}{\mathrm {X} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {X} }}}}.\end{aligned}}$

Les équations ${\frac {dy}{da}}=0$ et ${\frac {dx}{da}}=0$ donnent d’abord la même équation

$x-y=0,$

laquelle, ne contenant point la quantité $a,$ peut être ou n’être pas une intégrale particulière. Pour pouvoir en juger, je reprends l’intégrale complète, et j’en tire

$a={\frac {\mathrm {\left({\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}\right)} ^{2}}{(x-y)^{2}}}-\mathrm {U} ,$

où l’on voit qu’en faisant $x=y,$ $a$ devient $=\infty$ par conséquent, l’équation $x-y=0$ n’est point une intégrale particulière, mais un cas de l’intégrale complète.

Rejetant donc le facteur $x-y,$ l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donne encore $\mathrm {Y} =0\,;$ mais, comme le dénominateur de la fraction se réduit alors à $\mathrm {Y} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }},$ qui devient aussi nul lorsque $\mathrm {Y} '$ est en même temps égal à zéro, il s’ensuit que l’équation $\mathrm {Y} =0$ peut être une intégrale particulière, pourvu que $\mathrm {Y} '$ ne soit pas à la fois égal à zéro. De même, l’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera $\mathrm {X} =0,$ pourvu que $\mathrm {X} '$ ne soit pas en même temps égal à zéro. Or il est clair, par l’expression de $a$ trouvée ci-dessus, que la valeur de $a$ ne devient point constante par la supposition de $\mathrm {Y} =0,$ ni par celle de $\mathrm {X} =0.$ Donc on peut conclure que les équations $\mathrm {Y} =0$ et $\mathrm {X} =0$ seront deux intégrales particulières de la proposée, pourvu que l’on n’ait pas en même temps $\mathrm {Y} '=0$ et $\mathrm {X} '=0\,;$ ainsi donc les intégrales particulières de l’équation dont il s’agit seront toutes comprises sous cette forme

$x=u\quad {\text{ou}}\quad y=u,$

en prenant pour $u$ une des racines simples quelconques de l’équation

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}=0.$

Si l’équation proposée était

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}+{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}=0,$

l’intégrale complète serait

${\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }}\,;$

d’où l’on tirerait les mêmes valeurs de ${\frac {dy}{da}}$ et ${\frac {dx}{da}}$ que ci-dessus, à l’exception que dans la première le radical ${\sqrt {\mathrm {Y} }}$ y serait avec un signe différent.

On aurait donc d’abord l’équation

$x-y=0\,;$

mais comme la valeur de $a,$ qui dans ce cas est

$\left({\frac {{\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}}{x-y}}\right)^{2}-\mathrm {U} ,$

devient, par la supposition de $x=y,$ égale à ${\frac {0}{0}},$ il s’ensuit que l’équation $x-y=0$ doit être rejetée comme étrangère à l’équation différentielle

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}+{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}=0,$

quoiqu’elle soit contenue (4) dans l’intégrale

${\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }}.$

Ensuite on trouvera, comme ous haut, les intégrales particulières

$x=u\quad {\text{ou}}\quad y=u,$

$u$ étant une des racines simples de l’équation

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}=0.$

7. On voit donc par ce que nous venons de démontrer comment, lorsqu’on a trouvé l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, on en peut aisément déduire les intégrales particulières qui satisfont à la même équation ; on voit aussi que si ces intégrales particulières ne sont pas comprises dans l’intégrale complète, ce n’est nullement une imperfection du Calcul intégral, comme on pourrait le croire, faute de donner à ce Calcul toute la généralité dont il est susceptible. Ainsi l’on doit regarder la théorie que nous venons de donner, moins comme une exception que comme un supplément nécessaire à la règle générale du Calcul intégral.

Article II. — De l’étendue des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre, et de la manière de trouver ces intégrales sans connaître les intégrales complète.

8. L’équation finie

$\mathrm {V} =0,$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est une fonction des variables $x,y$ et d’une arbitraire $a,$ donne par la différentiation, et en faisant varier à la fois $x,y$ et, $a,$

$dy=pdx+qda,$

$p,q$ étant des fonctions finies de $x,y$ et $a\,;$ différentiant $p$ et substituant pour $dy$ sa valeur, on aura

$dp=p'dx+q'da,$

et différentiant de même $p',$ on aura

$dp'=p''dx+q''da,$

et ainsi de suite. Maintenant si l’on regarde $a$ comme constante, on a pour le premier ordre

$dy=pdx\,;$

et toute équation différentielle du premier ordre, telle que

$\mathrm {Z} =0,$

à laquelle satisfera l’équation finie $\mathrm {V} =0,$ la constante $a$ demeurant arbitraire, sera nécessairement produite par la combinaison deux équations

$V=0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,$

de manière que $a$ s’évanouisse.

En regardant toujours $a$ comme constante, on a

${\frac {dy}{dx}}=p\quad {\text{et}}\quad dp=p'dx\,;$

donc (en prenant $dx$ pour constante)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p'\,;$

et toute équation différentielle du second ordre, telle que

$\mathrm {Z} '=0,$

à laquelle satisfera l’équation finie

$\mathrm {V} =0,$

la constante $a$ demeurant arbitraire, sera nécessairement formée par la combinaison des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',$

en sorte que $a$ disparaisse.

En continuant ainsi, dans l’hypothèse de $a$ constante, on aura

$dp'=p''dx,$

par conséquent

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=p''\,;$

et toute équation différentielle du troisième ordre, telle que

$\mathrm {Z} ''=0,$

à laquelle satisfera l’équation finie

$\mathrm {V} =0,$

$a$ demeurant arbitraire, sera formée par la combinaison des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=p'',$

de manière que $a$ disparaisse ; et ainsi de suite.

9. Voyons maintenant dans quels cas l’équation $\mathrm {V} =0$ pourra satisfaire aux mêmes équations

$\mathrm {Z=0,\quad Z'=0,\quad Z''} =0,\ldots ,$

en supposant que $a$ soit une quantité variable.

Et d’abord il est clair que cela aura lieu pour l’équation du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ si $q=0\,;$ parce qu’alors on aura également ${\frac {dy}{dx}}=p,$ comme dans le cas de $a$ constante. De là naissent les intégrales particulières, ainsi que nous l’avons vu dans l’Article précédent.

Pour l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ il faudra que l’on ait de plus $q'=0,$ afin que l’on ait aussi ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',$ comme dans l’hypothèse de $a$ constante.

De même pour l’équation du troisième ordre $\mathrm {Z} ''=0,$ il faudra que l’on ait encore $q''=0$ pour que la valeur de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ soit également $=p''\,;$ et ainsi de suite.

Donc, en général, l’équation finie $\mathrm {V} =0$ sera une intégrale particulière de l’équation du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ si $a$ est une quantité telle, que l’on ait $q=0$. Elle sera une intégrale particulière de l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ si l’on a à la fois $q=0$ et $q'=0.$ Elle sera une intégrale particulière de l’équation du troisième ordre $\mathrm {Z} ''=0,$ si l’on a en même temps $q=0,\ q'=0,\ q''=0\,;$ et ainsi de suite.

10. En regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ on a, suivant la notation reçue (8).

$p={\frac {dy}{dx}},\quad q={\frac {dy}{da}},$

ensuite

$p'={\frac {dp}{dx}},\quad q'={\frac {dp}{da}},\quad p''={\frac {dp'}{dx}},\quad q''={\frac {dp'}{da}},\ldots ,$

donc

$q={\frac {dy}{da}},\quad q'={\frac {d^{2}y}{dxda}},\quad q''={\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}},\ldots .$

Ainsi l’on aura pour les équations différentielles du premier ordre la condition

${\frac {dy}{da}}=0,$

pour celles du second ordre les deux conditions

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,$

pour celles du troisième ordre les trois conditions

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0\,;$

et ainsi de suite.

Et comme on peut échangera $y$ en $x,$ en regardant $x$ comme une fonction de $y$ et $a,$ on aura de même ($dy$ étant pris pour constante)

${\frac {dx}{da}}=0$

pour le premier ordre,

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0$

pour le second ordre,

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dy^{2}da}}=0$

pour le troisième ordre ; et ainsi de suite.

11. De là il s’ensuit que si $\mathrm {Z} '=0$ est une équation différentielle du second ordre dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ l’intégrale particulière de cette dernière, trouvée d’après la condition de

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,$

ne satisfera pas, en général, à l’équation proposée $\mathrm {Z} '=0,$ à moins que l’on n’ait à la fois

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0.$

De même, si $\mathrm {Z} ''=0$ est une équation différentielles du troisième ordre, dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation $\mathrm {Z} =0,$ l’intégrale particulière de cette dernière équation, déduite de la condition

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,$

ne satisfera pas à la proposée $\mathrm {Z} ''=0,$ à moins que l’on n’ait à la fois

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,$

ou bien

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dy^{2}da}}=0\,;$

et ainsi de suite.

Donc, en général, si dans la solution d’un Problème on a été conduit directement à une équation différentielle d’un ordre supérieur au premier, et qu’on ait déjà ramené cette équation au premier ordre à l’aide d’une ou de plusieurs intégrations, l’intégrale particulière de cette équation du premier ordre ne résoudra pas le Problème, à moins que toutes les conditions relatives à l’ordre de l’équation différentielle primitive ne se trouvent remplies.

Mais, si l’équation primitive du Problème n’est que du premier ordre, l’intégrale particulière de cette équation résoudra la question tout aussi bien que l’intégrale complète.

12. L’équation

$xd^{2}y-dydx=0$

a pour intégrale complète du premier ordre

$xdx+ydy-dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

et celle-ci a pour intégrale complète finie

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

d’où l’on tire

${\frac {dy}{da}}=-{\frac {a+y}{a}},$

ce qui, étant fait égal à zéro, donne, pour l’intégrale particulière,

$a+y=0,\quad \quad {\text{d’où}}\quad a=-y,$

et par conséquent

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$

comme on l’a déjà vu (6).

Maintenant, pour que cette intégrale particulière satisfasse aussi à l’équation différentio-diflérentielle, il faudra que l’on ait en même temps

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

différentiant donc la valeur trouvée de ${\frac {dy}{da}},$ on aura

${\frac {d^{2}y}{dxda}}=-{\frac {1}{a}}{\frac {dy}{dx}}\,;$

mais de l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

on tire

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{a}}\,;\quad {\text{donc}}\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=-{\frac {x}{a^{2}}},$

ce qui ne peut pas être égal à zéro, en général. D’où il faut conclure que, quoique l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

satisfasse à l’équation différentielle du premier ordre

$xdx+ydy-dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

elle ne satisfera cependant pas à l’équation différentio-différentielle

$xd^{2}y-dydx=0,$

qui en est dérivée. En effet, on trouve

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-b^{2}}{\left(b^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ce qui, comme l’on voit, ne satisfait pas à l’équation dont il s’agit.

Prenons maintenant l’équation différentio-difféuentielle

$\left(d^{2}y\right)^{2}+4xd^{2}ydx^{2}-4dydx^{3}=0,$

dont l’intégrale du premier ordre est

$x^{2}dx+dy=\left(b^{3}-x^{3}-3y\right)^{\frac {2}{3}}dx,$

laquelle a pour intégrale complète

$y-a^{2}x+ax^{2}+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0.$

On aura donc

${\frac {dy}{da}}=2ax-x^{2}-a^{2}=-(a-x)^{2}\,;$

ce qui, étant fait égal à zéro, donne $a-x=0,$ par conséquent $a=x,$ et

$y+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0$

pour l’intégrale particulière. Pour que cette intégrale satisfasse donc aussi à l’équation différentio-différentielle, il faudra que ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=2(a-x)$ soit

nul en même temps ; ce qui est en effet ; donc, etc : On peut s’assurer à posteriori que l’équation

$y={\frac {b^{3}-x^{3}}{3}}$

satisfait à la proposée : car on a

${\frac {dy}{dx}}=-x^{2}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-2x\,;$

ce qui étant substitué dans les termes

$\left(d^{2}y\right)^{2}+4xd^{2}ydx^{2}-4dydx^{3},$

tout se détruit de soi-même.

13. S’il arrivait que l’on eût en même temps

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,\ldots ,$

ou bien

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dy^{2}da}}=0,\ldots ,$

et ainsi de suite à l’infini ; alors l’intégrale particulière satisferait nonseulement à l’équation différentielle du premier ordre, mais aussi à toutes les équations différentielles des ordres ultérieurs qui en seraient dérivées. Cette intégrale aurait donc les mêmes propriétés que l’intégrale complète ; et nous allons prouver qu’elle sera alors effectivement comprise dans celle-ci ; de sorte qu’elle cessera d’être une intégrale particulière, et devra être rangée dans la classe des intégrales incomplètes. En effet, puisqu’en regardant la quantité $y$ comme une fonction de $x$ et de $a$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ on a

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dadx}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dadx^{2}}}=0,\ldots ,$ à l’infini,

il est visible que la quantité ${\frac {dy}{da}}$ ne doit pas contenir $x,$ et ne peut être,

par conséquent, qu’une fonction de $a$ mêlée avec des constantes. Ainsi, l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donnera $a$ égal à une constante ; donc, etc. Ce sera la même chose si, en regardant $x$ comme une fonction de $y$ et de $a,$ on a en même temps

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dady}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dady^{2}}}=0,\ldots ,$ à l’infini.

14. Cette considération nous conduit à une méthode directe pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre sans en connaître l’intégrale complète. Soit $\mathrm {Z} =0$ l’équation différentielle du premier ordre dont on cherche l’intégrale particulière, et dont l’intégrale complète est $\mathrm {V} =0,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},$ et $\mathrm {V}$ une fonction de $x,y$ et de l’arbitraire $a.$ Puisque l’équation $\mathrm {Z} =0$ est indépendante de la quantité $a,$ il s’ensuit qu’on aura également ${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}=0,$ en regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a,$ ou $x$ comme une fonction de $y$ et $a,$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0\,;$ et pour avoir la valeur de ${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}$ il faudra différentier $\mathrm {Z}$ en faisant varier $y$ seul dans le premier cas, ou $x$ seul dans le second.

Supposons, pour plus de simplicité, que l’équation $\mathrm {Z} =0$ ne renferme point de fonctions transcendantes, et imaginons, ce qui est toujours possible et ne change point la nature de l’équation, qu’elle soit délivrée des fractions et des radicaux, en sorte que $\mathrm {Z}$ soit une fonction entière et rationnelle de $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}\,;$ on aura, en général, par la différentiation,

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx,$

$\mathrm {A,B}$ et $\mathrm {C}$ étant aussi des fonctions rationnelles et entières des mêmes quantités ; donc, en regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a,$ on aura

${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}=\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}+\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}=0\,;$

or dans le cas de l’intégrale particulière on a ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ donc, puisque $\mathrm {B}$ ne peut devenir infini étant une fonction sans dénominateur, le terme $\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}$ deviendra nul, et il faudra qu’on ait

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

donc, si ${\frac {d^{2}y}{dxda}}$ n’est pas nul, il faudra que $\mathrm {A} =0.$

Si ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0$ en même temps que ${\frac {dy}{da}}=0,$ l’équation

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}+\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}=0\,;$

aura lieu d’elle-même ; mais en prenant la différentielle de cette équation, $x$ et $y$ variant à la fois et $a$ demeurant constante, j’aurai

$\mathrm {A} {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}+\left({\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+\mathrm {B} \right){\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {dy}{da}}=0\,;$

or on a ${\frac {dy}{da}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dxda}}$ nuls à la fois par l’hypothèse ; donc, puisque les coefiicients de ces quantités ne sauraient devenir infinis, étant des fonctions sans dénominateur, l’équation précédente se réduira à

$\mathrm {A} {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,$

laquelle, si ${\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}$ n’est pas nul, donne de nouveau $\mathrm {A} =0.$

Si ${\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}$ est nul aussi, on trouvera, par une nouvelle différentiation, que l’on aura nécessairement $\mathrm {A} =0,$ à moins que ${\frac {d^{4}y}{dx^{3}da}}$ ne soit nul ; et ainsi de suite à l’infini.

Mais nous avons vu ci-dessus que pour que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donne une intégrale particulière, il faut que les quantités

${\frac {d^{2}y}{dxda}},\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}},\ldots$ à l’infini

ne soient pas toutes nulles à la fois ; donc il faudra que quelqu’une de ces quantités ne soit pas nulle ; par conséquent il faudra nécessairement qu’on ait

$\mathrm {A} =0.$

Or l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0$ donne par la différentiation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\,;$

donc, puisque dans le cas de l’intégrale particulière $\mathrm {A}$ doit être nul, cette équation se réduira à

$\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {B} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {C} =0,$

laquelle devra s’accorder avec l’équation $\mathrm {A} =0,$ après avoir chassé la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$ au moyen de l’équation proposée $\mathrm {Z} =0.$

15. Donc, puisque la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ tirée de l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ au moyen de la différentiation est exprimée, en général, par

$-{\frac {\mathrm {B} {\cfrac {dy}{dx}}+\mathrm {C} }{\mathrm {A} }},$

il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer que cette valeur deviendra égale à ${\frac {0}{0}}$ dans le cas de l’intégrale particulière tirée de la condition ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ et l’on prouvera de même que la condition ${\frac {dx}{da}}=0$ rendra la valeur de ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ égale à ${\frac {0}{0}},$ en prenant ici $dy$ pour constante au lieu de $dx.$

Et quoique la démonstration précédente soit fondée sur l’hypothèse que l’équation proposée ne renferme aucune fonction transcendante, il n’est cependant pas difficile de se convaincre que la même conclusion aura lieu quelles que soient la nature et la forme de cette équation.

16. En supposant que l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0$ donne par la différentiation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\,;$

s’il arrive que les deux termes $\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx$ se détruisent d’eux-mêmes, on aura

$\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}=0,\quad$et par conséquent$\quad d{\frac {dy}{dx}}={\frac {0}{\mathrm {A} }}\,;$

de sorte que dans ce cas l’une et l’autre condition ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ sera remplie par la condition unique $\mathrm {A} =0$ ; ainsi il n’y aura qu’à éliminer la quantité ${\frac {dy}{dx}}$ au moyen des deux équations $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {Z} =0,$ et l’équation résultante entre $x$ et $y$ sera l’intégrale particulière de la proposée. Quant à l’intégrale complète, elle est facile à déduire de l’équation

$\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}=0\,;$

car cette équation, lorsque $\mathrm {A}$ n’est point nul, donne

$d{\frac {dy}{dx}}=0,\quad$et par conséquent$\quad {\frac {dy}{dx}}=a,$

$a$ étant une constante arbitraire ; il n’y aura donc qu’à substituer cette valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ dans l’équation donnée $\mathrm {Z} =0,$ et l’on aura l’intégrale complète où $a$ sera la constante arbitraire.

Voyons maintenant quels sont les cas où l’on aura

$\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0.$

Pour plus de simplicité, je fais ${\frac {dy}{dx}}=p,$ en sorte que $\mathrm {Z}$ soit une fonction de $x,y,p,$ dont la différentielle $d\mathrm {Z} =\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx\,;$ puis donc

que $\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0,$ on aura

$\mathrm {C} =-\mathrm {B} {\frac {dy}{dx}}=-\mathrm {B} p\,;$

donc

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} dp+\mathrm {B} (dy-pdx)=0\,;$

donc

$dy-pdx+{\frac {\mathrm {A} dp}{\mathrm {B} }}=0,$

et intégrant

$y-px+\int \left(\mathrm {\frac {A}{B}} +x\right)dp=0\,;$

de sorte qu’il faudra que la quantité $\mathrm {\frac {A}{B}} +x$ soit une fonction de $p$ sans $x$ ni $y\,;$ et alors l’équation sera

$y-px+f(p)=0,$

$f(p)$ dénotant une fonction quelconque de $p$ seul.

17. Toute équation donc de la forme

$y-px+f(p)=0,$

$p$ étant ${\frac {dy}{dx}},$ donnera par la différentiation $\left[{\text{en supposant }}f'(p)={\frac {df(p)}{dp}}\right]$ celle-ci

$\left[f'(p)-x\right]dp=0\,;$

en faisant $dp=0,$ on aura

$p=a,$

et

$y-ax+f(a)=0$

sera l’intégrale complète où $a$ est arbitraire ; en faisant

$f'(p)-x=0,$

et éliminant $p$ au moyen de cette équation et de la proposée

$y-px+f(p)=0,$

on aura l’intégrale particulière de cette dernière équation. On voit par là que l’intégrale complète ne donnera jamais autre chose qu’une ligne droite, tandis que l’intégrale particulière donnera toujours une courbe ; nous en donnerons la raison à priori dans l’Article suivant.

Ces sortes d’équations sont celles qui donnent lieu aux paradoxes dont il est question dans les Mémoires de MM. Clairaut et Euler que nous avons cités au commencement de ce Mémoire ; et l’on doit voir maintenant que le vrai dénouement de ces paradoxes tient à la théorie des intégrales particulières que nous venons d’exposer.

18. Reprenons les Exemples que nous avons apportés dans le n^o 6, et voyons si la règle ci-dessus donnera les mêmes intégrales particulières que nous avons trouvées d’après les intégrales complètes.

L’équation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y}}$

donne par la différentiation

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {y^{2}-b^{2}-xy{\cfrac {dy}{dx}}+\left(x{\cfrac {dy}{dx}}-y\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y\right)^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\,;$

faisant cette quantité égale à ${\frac {0}{0}},$ on a les deux équations

$y^{2}-b^{2}-xy{\frac {dy}{dx}}+\left(x{\frac {dy}{dx}}-y\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y\right)^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

la seconde donne d’abord,

${\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y=0,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0.$

Dans le premier cas, on aura donc

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=y,$

et la première équation deviendra par là

$-b^{2}=0,$

ce qui ne donne rien. Dans le second cas, la première équation deviendra

$y^{2}-b^{2}-xy{\frac {dy}{dx}}=0\,;$

mais la proposée donne, en supposant ${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$y^{2}+x^{2}-b^{2}=0,$

laquelle s’accorde avec

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

ainsi cette équation est une intégrale particulière de la proposée.

Si l’on cherche la valeur de ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ en prenant $dy$ pour constante, on aura

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\cfrac {dx}{dy}}+\left(y{\cfrac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},$

d’où l’on tire ces deux équations, en égalant le numérateur et le dénominateur chacun à zéro,

$yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}+\left(y{\frac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

$x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

la dernière de ces équations donne

${\text{ou}}\quad x=0,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

dans le premier cas, la première équation deviendra

$\left(y{\sqrt {y^{2}-b^{2}}}-y^{2}+b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;$

mais

${\frac {dx}{dy}}={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y}{x}}=\infty \quad {\text{lorsque}}\quad x=0\,;$

donc $x=0$ n’est pas une intégrale particulière ; reste donc le cas de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

dans lequel la première équation devient

$yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;$

mais on a, dans ce même cas,

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}\,;$

donc substituant cette valeur et multipliant par ${\frac {x}{y}},$ l’équation précédente deviendra

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$

qui s’accorde avec

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

en sorte que cette équation sera une intégrale particulière.

Ainsi les deux conditions ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ donnent, dans le cas présent, la même intégrale particulière

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0\,;$

ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé (6), d’où il s’ensuit que

cette équation est l’unique intégrale particulière dont l’équation différentielle proposée soit susceptible.

19. Les deux autres Exemples du n^o 6 appartiennent à la formule

$y-px+f(p)=0$

que nous avons considérée, en général, dans le n^o 17 ci-dessus. En effet, en faisant ${\frac {dy}{dx}}=p,$ les équations différentielles des deux Exemples dont nous parlons se réduisent à ces formes

$y-px-b{\sqrt {1+p^{2}}}=0$

et

$y-px+bp-{\sqrt {c^{2}\left(1+p^{2}\right)-b^{2}}}=0,$

qui sont évidemment des cas particuliers de la forme générale

$y-px+f(p)=0\,;$

or nous avons déjà vu (numéro cité) que cette équation admet toujours une intégrale particulière, laquelle est le résultat de l’élimination de $p$ des deux équations

$y-px+f(p)=0,\quad f'(p)-x=0\,;$

ainsi il ne s’agit que d’examiner si cette intégrale est la même qu’on tirerait de l’intégrale complète par la règle de l’Article I (n^os 4, 5).

L’intégrale dont il s’agit est (17)

$y-ax+f(a)=0,$

d’où l’on tire

${\frac {dy}{da}}=x-f'(x),\quad {\frac {dx}{da}}={\frac {f'(a)-x}{a}}\,;$

ainsi les deux conditions ${\frac {dy}{da}}=0$ et ${\frac {dx}{da}}=0$ donnent également $f'(a)-x=0\,;$

et l’intégrale particulière sera le résultat de l’élimination de $a$ au moyen de cette équation

$f'(a)-x=0,$

et de l’équation

$y-ax+f(a)=0\,;$

or il est visible que ce résultat sera le même que celui de l’élimination de $p$ au moyen des équations

$f'(p)-x=0,\quad y-px+f(p)=0\,;$

donc, etc.

20. Le dernier Exemple du n^o 6 est tiré de l’équation différentielle

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

dans laquelle $\mathrm {X}$ est un quinôme en $x,$ et $\mathrm {Y}$ un quinôme semblable en $y\,;$ mais nous supposerons ici que $\mathrm {X}$ soit, en général, un polynôme quelconque en $x,$ et $\mathrm {Y}$ un polynôme quelconque en $y,$ et nous désignerons par $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {Y} '$ les valeurs de ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ et de ${\frac {d\mathrm {Y} }{dy}},$ lesquelles seront par conséquent aussi des polynômes en $x$ et $y,$ mais d’un degré inférieur d’une unité.

Puis donc que

${\frac {dy}{dx}}=\mathrm {\frac {\sqrt {Y}}{\sqrt {X}}} ,$

on trouvera par la différentiation, après avoir réduit au dénominateur commun,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {XY} '{\cfrac {dy}{dx}}-\mathrm {YX} '}{2\mathrm {X{\sqrt {XY}}} }},\quad {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {\mathrm {YX} '{\cfrac {dx}{dy}}-\mathrm {XY} '}{2\mathrm {Y{\sqrt {XY}}} }},$

en prenant dans la première formule $dx$ constant et dans la seconde $dy$ constant.

Supposons d’abord que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ n’aient aucun diviseur commun, non plus que les quantités $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Y} ',$ ce qui arrive lorsque les équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0$ n’ont point de racines égales ; dans ce cas le numérateur et le dénominateur de l’une et de l’autre quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ n’auront non plus de diviseur commun.

Donc :

1^o En faisant ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ on aura les deux équations

$\mathrm {XY} '{\frac {dy}{dx}}-\mathrm {YX} '=0,\quad \mathrm {X{\sqrt {XY}}} =0,$

dont la seconde donne ou $\mathrm {X} =0$ ou $\mathrm {Y} =0\,;$ mais la première donne, par la substitution de la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$

$\mathrm {Y'{\sqrt {XY}}-YX'} =0\,;$

faisant $\mathrm {X} =0,$ cette équation se réduit à $\mathrm {YX} '=0,$ laquelle donnerait $\mathrm {X} '=0,$ ce qui est contre l’hypothèse ; faisant $\mathrm {Y} =0,$ l’équation précédente se trouve remplie d’elle-même ; ainsi $\mathrm {Y} =0$ est une intégrale particulière.

2^o Si l’on fait ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ on trouvera, par un raisonnement semblable, l’intégrale particulière $\mathrm {X} =0\,;$ de sorte que ces deux intégrales particulières auront lieu en même temps.

Si l’on suppose que $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Y} '$ aient un diviseur commun, alors il est aisé de voir que ce diviseur disparaîtra entièrement par la division du dénominateur de la quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ par conséquent il ne pourra servir à rendre cette quantité égale à ${\frac {0}{0}}\,;$ il en sera de même relativement à la quantité ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}},$ si $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ ont un diviseur commun.

D’où il faut conclure, en général, que l’équation proposée

${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {y}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$

aura pour intégrales particulières tous les facteurs simples des deux

équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0\,;$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n^o 6 pour le cas particulier où $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ étaient des quinômes semblables.

Article III. — Dans lequel on déduit la théorie des intégrales
particulières de la considération des courbes.

21. Soit $\mathrm {V} =0$ l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}\,;$ on sait que $\mathrm {V}$ sera une fonction finie de $x,y$ et d’une constante arbitraire $a\,;$ donc si l’on considère la courbe exprimée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ en prenant $x$ et $y$ pour les deux coordonnées, cette courbe exprimera aussi l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ quelque valeur qu’on donne à la constante $a\,;$ de sorte qu’en donnant successivement à $a$ toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à l’infini positif et négatif, on aura un assemblage d’une infinité de courbes toutes de la même famille, et infiniment peu différentes l’une de l’autre, dont chacune représentera également l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$

Je dis maintenant que la courbe, qui touchera toutes les courbes dont il s’agit, satisfera aussi à la même équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$ Car cette équation détermine la valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ par une fonction de $x$ et $y\,;$ par conséquent elle détermine la position de la tangente a chaque point par la position de ce point dans le plan des coordonnées $x$ et $y\,;$ donc toute courbe, qui dans un point quelconque aura la même tangente qu’une des courbes dont nous venons de parler, satisfera aussi nécessairement à l’équation $\mathrm {Z} =0\,;$ or il est visible que la courbe, qui touche toutes les courbes données par l’équation $\mathrm {V} =0,$ en faisant varier le paramètre $a,$ a cette propriété ; donc, etc.

22. Si l’on considère deux points infiniment proches de la courbe touchante, il est facile de concevoir que les deux courbes touchées dans ces points doivent nécessairement se couper dans un point intermédiaire ; par conséquent, en faisant coïncider les deux points d’attouchement, le point d’intersection des deux courbes touchées se confondra avec eux ; d’où il suit que la courbe touchante est formée par l’intersection mutuelle et successive des courbes données par l’équation $\mathrm {V} =0,$ en faisant varier le paramètre $a\,;$ donc cette courbe satisfera à l’équation $\mathrm {Z} =0\,;$ ce qui est d’ailleurs évident, puisque suivant ce point de vue la courbe dont nous parlons n’est composée que de portions infiniment petites des courbes représentées par l’équation $\mathrm {V} =0,$ et dont chacune satisfait à la même équation $\mathrm {Z} =0.$

23. Maintenant, si l’on regarde $y$ comme une fonction de $x$ et de $a$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ il est clair que, pour la même abscisse $x,$ les coordonnées qui répondent à deux courbes infiniment proches seront, en général, $y$ et $y+{\frac {dy}{da}}da\,;$ donc, au point d’intersection de ces deux courbes, on aura ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ par conséquent, si l’on élimine $a$ au moyen des deux équations $\mathrm {V} =0$ et ${\frac {dy}{da}}=0,$ on aura l’équation de la courbe formée par les intersections continuelles de toutes les courbes contenues dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ laquelle sera aussi la courbe qui touchera toutes ces mêmes courbes.

On prouvera de même, en regardant $x$ comme fonction de $y$ et de $a,$ que la condition ${\frac {dx}{da}}=0,$ combinée avec l’équation $\mathrm {V} =0$ en sorte que $a$ disparaisse, donnera aussi la courbe touchante des mêmes courbes.

D’où et de ce que nous avons démontré plus haut (4 et 5) on doit conclure que l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre est représentée par la courbe qui touche toutes les différentes courbes représentées par l’intégrale complète de cette équation, en faisant varier la constante arbitraire, c’est-à-dire toutes les différentes courbes qui peuvent être représentées à la fois par la même équation différentielle.

Ainsi les caustiques par réflexion et par réfraction ne sont autre chose que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime à la fois toutes les lignes droites suivant lesquelles les rayons sont réfléchis ou réfractés.

Et les développées ne sont que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime toutes les lignes droites qui coupent la développante à angles droits ; et ainsi du reste.

24. Toute équation différentielle du premier ordre représente donc premièrement une infinité de courbes de la même famille, qui ne diffèrent entre elles que par la valeur de la constante arbitraire, laquelle tient lieu de paramètre ; en second lieu, cette équation représente aussi la courbe qui touche toutes ces mêmes courbes ; en sorte qu’on peut regarder en quelque façon tant les courbes touchées que la courbe touchante comme une seule courbe ayant une infinité de branches liées entre elles par la même équation. Ainsi, à chaque point de la courbe touchante il y aura deux branches qui se rencontrent dans ce point et qui ont une tangente commune ; l’une c’est la courbe touchante même, et l’autre c’est la courbe qu’elle touche dans ce même point ; donc à chaque valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ il devra répondre une valeur double de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ par conséquent l’expression de la quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ tirée de l’équation différentielle proposée au moyen de la différentiation, devra devenir égale à ${\frac {0}{0}}$ pour tous les points de la courbe touchante, par une raison semblable à celle par laquelle on prouve que la valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ devient égale à ${\frac {0}{0}}$ dans les points doubles des courbes ; et l’on dira la même chose à l’égard de la quantité ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}},$ en supposant $dy$ constant au lieu de $dx.$ De cette manière on pourra donc déduire de l’équation différentielle même celle de la courbe qui toucherait toutes les différentes courbes représentées par cette équation différentielle ; et comme l’équation de la courbe touchante n’est autre chose que l’intégrale particulière de l’équation différentielle dont nous parlons, ainsi qu’on l’a démontré ci-dessus, il résulte de là la même règle pour trouver ces sortes d’intégrales, que nous avons donnée dans le n^o 15, d’après d’autres principes.

25. Pour jeter un plus grand jour sur la théorie précédente et rendre bien sensible la liaison qu’il y a entre les intégrales complètes et les intégrales particulières, nous allons apporter quelques Exemples tirés de la Géométrie dans lesquels l’application de cette théorie se présente naturellement.

Supposons qu’on demande une courbe telle, que toutes les perpendiculaires menées d’un point donné sur les tangentes de cette courbe soient d’une grandeur donnée.

Il est visible que le cercle résout d’abord la question, pourvu qu’on place le centre dans le point donné et qu’on fasse le rayon égal à la grandeur donnée ; mais comme le Problème conduit naturellement à une équation différentielle du premier ordre, il s’ensuit que la solution complète doit renfermer une constante arbitraire ; par conséquent, puisque le cercle qui résout le Problème est nécessairement donné de grandeur et de position, on ne peut pas avoir par son moyen une solution complète, mais seulement une solution particulière.

Or si l’on considère que la ligne droite satisfait aussi au même Problème, et que pour cela il suffit que la perpendiculaire menée du point donné sur cette ligne soit donnée, on verra qu’il y a une infinité de droites qui résolvent le Problème ; de sorte que ces droites en donnent la véritable solution complète, puisque dans l’équation qui les représente toutes il entre nécessairement une constante arbitraire ; et l’on verra de plus que toutes ces droites sont nécessairement les tangentes du cercle qui donne la solution particulière.

Pour confirmer par le calcul ce que nous venons de trouver synthétiquement, soient $x,y$ les coordonnées de la courbe cherchée, et $t,u$ les coordonnées d’une quelconque de ses tangentes considérée comme une ligne droite ; on aura donc, en général, entre $t$ et $u$ l’équation

$u=mt+n,$

$m$ et $n$ étant constantes pour la même tangente, mais variables d’une tangente à l’autre. Or, comme la droite et la courbe doivent d’abord se rencontrer dans un point, on aura dans ce point $u=y,$ $t=x\,;$ donc

$y=mx+n\,;$

ensuite, comme elles doivent de plus se toucher dans le même point, on aura encore ${\frac {du}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\,;$ mais ${\frac {du}{dt}}=m\,;$ donc $m={\frac {dy}{dx}}\,;$ et par conséquent $n=y-x{\frac {dy}{dx}}\,;$ donc l’équation à la tangente sera

$u=t{\frac {dy}{dx}}+y-x{\frac {dy}{dx}}.$

Prenons l’origine des coordonnées pour le point donné, et nommant $\rho$ une ligne menée de ce point à la tangente, on aura

$\rho ^{2}=t^{2}+u^{2}\,;$

donc, pour que cette ligne soit perpendiculaire, il faudra que $d\rho =0,$ ce qui donne

$tdt+udu=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {du}{dt}}=-{\frac {t}{u}}\,;$

donc

${\frac {t}{u}}=-{\frac {dy}{dx}},\quad t=-u{\frac {dy}{dx}}\,;$

donc, substituant cette valeur de $t$ dans l’équation ci-dessus, on en tire

$u={\frac {(ydx-xdy)dx}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

donc

$\rho ^{2}=u^{2}\left(1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}\right)={\frac {(ydx-xdy)^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

c’est le carré de la perpendiculaire menée du point donné sur la tan-

gente ; nommant donc cette perpendiculaire $b,$ on aura l’équation

$ydx-xdy=b{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

qui servira à résoudre le Problème. Or cette équation a déja été examinée dans le n^o 6, et nous avons vu qu’elle donne l’intégrale complète

$y-ax-b{\sqrt {1+a^{2}}}=0,$

et ensuite l’intégrale particulière

$x^{2}+y^{2}=b^{2}\,;$

ce qui s’accorde avec les résultats trouvés plus haut.

26. Ayant tiré d’un point donné acne perpendiculaire à la tangente d’une courbe, et menant du point où cette perpendiculaire rencontre la tangente à un autre point donné une droite, on demande quelle doit être la nature de la courbe pour que cette droite comprise entre les deux points dont il s’agit soit d’une grandeur donnée.

Par les propriétés connues des sections coniques il est facile de voir que si l’on décrit une section conique qui ait le premier des deux points donnés pour l’un des foyers, l’autre point pour centre, et la grandeur donnée pour demi-axe, cette section conique résoudra le Problème ; mais la section étant entièrement déterminée par ces données, elle ne pourra pas fournir une solution complète du Problème, lequel conduit naturellement à une équation différentielle du premier ordre, et par conséquent indéterminée.

Outre la section conique, on voit aisément qu’il y a une infinité de droites qui peuvent aussi résoudre la question ; car si l’on décrit autour du second point donné un cercle dont le rayon soit égal à la grandeur donnée, toute ligne droite qui coupera ce cercle en un point quelconque, de manière qu’elle fasse un angle droit avec la droite menée de ce point d’intersection au premier point donné, aura évidemment les propriétés requises.

L’équation générale de toutes ces lignes droites renfermant donc une constante arbitraire ; elle donnera nécessairement la solution complète du Problème ; et il est facile de prouver, par les propriétés connues des sections coniques, que toutes ces droites seront tangentes à la section conique que nous avons vu résoudre aussi le Problème ; de sorte que la solution par une section conique ne sera qu’une solution particulière.

En effet, pour réduire le Problème en équation, on remarquera que, si de l’origine des coordonnées on mène une perpendiculaire à une tangente quelconque d’une courbe dont les coordonnées soient $x$ et $y,$ et qu’on nomme $t$ et $u$ les coordonnées qui se rapportent au point de la tangente sur laquelle tombe la perpendiculaire, on remarquera, dis-je, que les formules trouvées dans le n^o 25 ci-dessus donneront

$u={\frac {(ydx-xdy)dx}{dx^{2}+dy^{2}}},\quad t=-u{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {(ydx-xdy)dy}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

maintenant si l’on fait passer l’axe des abscisses par les deux points donnés, qu’on prenne le premier de ces deux points pour l’origine, et qu’on nomme $b$ la distance entre les deux points et $c$ la grandeur donnée, il est aisé de concevoir qu’on aura

$c^{2}=(b-t)^{2}+u^{2}\,;$

donc

$t^{2}+u^{2}-2bt=c^{2}-b^{2},$

et substituant pour $t$ et $u$ les valeurs ci-dessus,

${\frac {(ydx-xdy)^{2}+2b(ydx-xdy)dy}{dx^{2}+dy^{2}}}=c^{2}-b^{2}\,;$

d’où, en multipliant par $dx^{2}+dy^{2},$ et extrayant la racine carrée après avoir ajouté de part et d’autre $b^{2}dy^{2},$ on aura l’équation du Problème

$ydx-xdy+bdy={\sqrt {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)-b^{2}dx^{2}}}.$

Nous avons déjà traité cette équation dans le n^o 6, et nous avons vu que

son intégrale complète est

$y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},$

ce qui donne différentes lignes droites suivant la valeur de la constante arbitraire $a\,;$ nous avons vu ensuite que cette même équation est susceptible d’une intégrale particulière, laquelle est

${\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,$

et représente par conséquent une ellipse dans laquelle les abscisses sont prisses depuis l’un des foyers, et où $b$ est l’excentricité etc le demi grand axe ; de sorte que cette ellipse est la même que celle dont nous avons parlé ci-dessus.

Article IV. — Des intégrales particulières des équations différentielles du second ordre et des ordres plus élevés.

27. Soit

$\mathrm {Z} '=0$

une équation différentielle du second ordre, $\mathrm {Z} '$ étant une fonction de $x,y,$${\frac {dy}{dx}},d{\frac {dy}{dx}}\,;$ et soit

$\mathrm {V} =0$

l’intégrale finie et complète de cette équation : $\mathrm {V}$ sera, dans ce cas, une fonction de $x,y$ et de deux constantes arbitraires $a$ et $b.$ Or, puisque $a$ et $b$ sont arbitraires, on peut supposer, en général, que $b$ soit une fonction quelconque de $a\,;$ alors $\mathrm {V}$ sera une fonction de $x,y$ et $a\,;$ et, de ce que nous avons démontré dans l’Article II, il s’ensuit que l’équation $\mathrm {V} =0$ satisfera également à l’équation $\mathrm {Z} '=0,$ en supposant $a$ variable, pourvu que l’on ait

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dadx}}=0,$

ou

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dady}}=0\,;$

et dans ce cas l’équation $\mathrm {V} =0$ deviendraune intégrale particulière (10).

28. Considérons les deux conditions

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

et supposant

$b=f(a),\quad db=f'(a)da,$

il est clair que si l’on regarde $y$ comme une fonction de $a$ et de $b,$ la valeur complète de ${\frac {dy}{da}}$ sera représente par ${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}f'(a),$ de sorte que les deux conditions dont il s’agit seront exprimées ainsi

${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}f'(a)=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}f'(a)=0.$

Au moyen de ces deux équations on déterminera les valeurs de $a$ et de $f(a)$ ou $b$ en $x$ et $y,$ et on les substituera ensuite dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ ou, ce qui revient au même, on éliminera $a$ et $f(a)$ au moyen des trois équations dont il s’agit ; et l’équation résultante sera l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0.$

Si l’on remet $db$ à la place de $f'(a)da,$ on aura les deux équations de condition

${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}{\frac {db}{da}}=0,$

au moyen desquelles et de l’équation $\mathrm {V} =0$ il faudra éliminer $a$ et $b.$.

En éliminant d’abord les différentiels ${\frac {db}{da}},$ on aura l’équation

${\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dxdb}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,$

laquelle, étant combinée avec l’équation $\mathrm {V} =0,$ servira à déterminer $a$

et $b$ en $x$ et $y\,;$ et il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs de $a$ et $b$ dans l’équation

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0\,;$

ce qui donnera une équation différentielle du premier ordre en $x$ et $y,$ laquelle sera par conséquent l’intégrale particulière cherchée de l’équation du second ordre

$\mathrm {Z} '=0.$

Mais puisque l’équation $\mathrm {V} =0$ donne par la différentiation, en faisant varier à la fois $x,y,a,b,$

$dy=pdx+{\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0,$

on aura

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=dy-pdx\,;$

par conséquent l’équation

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0$

sera équivalente à celle-ci

$dy-pdx=0\,;$

ainsi il n’y aura qu’à substituer les valeurs de $a$ et de $b$ dans cette dernière équation, ou, ce qui revient au même, éliminer les valeurs de $a$ et de $b$ au moyen des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dxdb}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad dy-pdx=0\,;$

l’équation du premier ordre qui en résultera sera l’intégrale particulière dont il s’agit.

29. De là je conclus, en général, que pour trouver l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0,$ dont l’intégrale finie et complète est $\mathrm {V} =0,$ il n’y a qu’à éliminer les quantités $a,b$ et ${\frac {db}{da}}$ au moyen des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}{\frac {db}{da}}=0\,;$

et comme au lieu de regarder $y$ comme une fonction de $x,a,b,$ on peut vice versâ regarder $x$ comme une fonction de $y,a,b,$ on pourra aussi, à la place des deux dernières équations, substituer ces deux-ci

${\frac {dx}{da}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}+{\frac {d^{2}x}{dydb}}{\frac {db}{da}}=0.$

30. Soit l’équation du second ordre

$y-x{\frac {dy}{dx}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {dy}{dx}}-x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2},$

dont l’intégrale finie et complète est

$y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+a^{2}+b^{2},$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires. On tire par la différentiation

${\frac {dy}{dx}}=ax+b,\quad {\frac {dy}{da}}={\frac {x^{2}}{2}}+2a,\quad {\frac {dy}{db}}=x+2b,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=x,\quad {\frac {d^{2}y}{dxdb}}=1\,;$

on aura donc ces quatre équations

${\begin{array}{ll}y={\dfrac {ax^{2}}{2}}+bx+a^{2}+b^{2},&{\dfrac {dy}{dx}}=ax+b,\\{\dfrac {x^{2}}{2}}+2a+(x+2b){\dfrac {db}{da}}=0,&x+{\dfrac {db}{da}}=0\,;\end{array}}$

au moyen desquelles, éliminant les quantités $a,b,{\frac {db}{da}},$ on aura pour résultante l’intégrale particulière de la proposée.

Les trois dernières donnent

$a={\frac {{\cfrac {x^{2}}{4}}+x{\cfrac {dy}{dx}}}{1+x^{2}}},\quad b={\frac {{\cfrac {dy}{dx}}-{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+x^{2}}},$

et ces valeurs étant substituées dans la première, on aura

$y={\frac {-x^{4}+\left(8x^{3}+16x\right){\cfrac {dy}{dx}}+16{\cfrac {dy^{2}}{dx^{2}}}}{16\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

c’est l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation différentio-différentielle dont il s’agit.

Si l’on intègre cette équation, on aura alors l’intégrale particulière finie de la proposée. Pour cela, je tire par l’extraction de la racine carrée la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$ j’ai

$4\frac{dy}{}$