Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Solutions de quelques Problèmes d’Astronomie sphérique par le moyen des séries

Joseph-Louis Lagrange

Solutions de quelques Problèmes d’Astronomie sphérique par le moyen des séries

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 275-298).

SOLUTIONS
DE QUELQUES
PROBLÈMES D’ASTRONOMIE SPHÉRIQUE
PAR LE MOYEN DES SÉRIES^[1].

---

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1776.)

1. Dans un Mémoire que j’ai lu il y a quelque temps à cette Assemblée, j’ai donné une formule nouvelle et fort simple pour exprimer la réduction à l’écliptique ou en général la différence entre l’hypoténuse et la base d’un triangle sphérique rectangle dont on connaît l’angle adjacent. M. Lambert me dit alors qu’il avait aussi trouvé, de son côté, une pareille formule, et eut la bonté de me communiquer sa méthode, que je trouvai fort différente de la mienne : J’ignore si M. Lambert a poussé plus loin son travail sur ce sujet, mais comme il n’en a jusqu’à présent rien publié^[2], j’ai cru que les Géomètres ne me sauraient pas mauvais gré de leur faire part des recherches ultérieures que j’ai eu occasion de faire depuis peu sur la même matière ; c’est l’objet du Mémoire suivant. J’exposerai d’abord ma première méthode, ensuite j’en donnerai une autre beaucoup plus simple pour arriver à la formule dont il s’agit, et je tâcherai de l’étendre encore à des cas plus compliqués ; j’en ferai de plus voir l’usage pour résoudre plusieurs cas des triangles sphériques rectangles ou obliquangles, ainsi que différents Problèmes d’Astronomie sphérique qui en dépendent ; enfin je montrerai comment on peut appliquer les mêmes principes à trouver généralement la valeur en série d’un angle dont la tangente est donnée par une fonction rationnelle de sinus et de cosinus d’un autre angle.

2. Si $x$ est la base d’un triangle sphérique rectangle, $y$ l’hypoténuse et $\omega$ l’angle compris entre les arcs $x$ et $y,$ on a, par la Trigonométrie,

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y\,;$

et la formule que j’ai trouvée dans le Mémoire cité est celle-ci

$x=y-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\sin 2y+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\omega }{2}}\sin 4y-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\omega }{2}}\sin 6y+\ldots .$

De sorte que la différence entre les arcs $x,y$ se trouve exprimée par une suite de sinus d’angles multiples de $2y$ et ayant pour coefficients les puissances du carré de la tangente de la moitié de l’angle $\omega ,$ divisées encore par les nombres naturels $1,2,3,\ldots ,$ ce qui rend cette série fort convergente lorsque l’angle $\omega$ est moindre que $90$ degrés.

3. Voici la manière dont je suis arrivé d’abord à cette formule.

Regardant $x$ et $y$ comme variables, et $\omega$ comme constante, on trouve

${\begin{aligned}dx=&{\frac {d\operatorname {tang} x}{1+\operatorname {tang} ^{2}x}}={\frac {\cos \omega d\operatorname {tang} y}{1+\cos ^{2}\omega \operatorname {tang} ^{2}y}}={\frac {\cos \omega dy}{\cos ^{2}y+\cos ^{2}\omega \sin ^{2}y}}\\=&{\frac {2\cos \omega dy}{1+\cos ^{2}\omega +\sin ^{2}\omega \cos 2y}}={\frac {\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }}{\frac {2dy}{1+{\cfrac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }}\cos 2y}}\,:\end{aligned}}$

or il est démontré que toute fraction de la forme ${\frac {1}{1+m\cos \varphi }}$ se réduit en

une série, telle que

${\frac {1}{\sqrt {1-m^{2}}}}\left(1-2n\cos \varphi +2n^{2}\cos 2\varphi -2n^{3}\cos 3\varphi +\ldots \right),$

$n$ étant $={\frac {1-{\sqrt {1-m^{2}}}}{m}}.$

Substituant pour $m,$ ${\frac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }}={\frac {1-\cos ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }},$ on trouve

${\sqrt {1-m^{2}}}={\frac {2\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }},$

donc

$n={\frac {(1-\cos \omega )^{2}}{\sin ^{2}\omega }}={\frac {1-\cos \omega }{1+\cos \omega }}={\frac {\sin ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}{\cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}},$

et la fraction

${\frac {\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }}{\frac {1}{1+{\cfrac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }}\cos 2y}}$

se réduit par conséquent en cette série

${\frac {1}{2}}-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\cos 2y+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\omega }{2}}\cos 4y-\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\omega }{2}}\cos 6y+\ldots ,$

laquelle étant multipliée par $2dy$ et ensuile intégrée donnera la valeur de $x,$ savoir

$x=y-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\sin 2y+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\omega }{2}}\sin 4y-\ldots ,$

comme ci-dessus.

4. Voyons maintenant comment on peut trouver la même chose plus simplement et plus directement.

L’équation proposée

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y$

donne, en employant les expressions exponentielles imaginaires des tangentes, celle-ci

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}}=\cos \omega {\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}}{e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}}},$

ou bien

${\frac {e^{2x{\sqrt {-1}}}-1}{e^{2x{\sqrt {-1}}}+1}}=\cos \omega {\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}-1}{e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

d’où l’on tire sur-le-champ

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+1+\cos \omega \left(e^{2y{\sqrt {-1}}}-1\right)}{e^{2y{\sqrt {-1}}}+1-\cos \omega \left(e^{2y{\sqrt {-1}}}-1\right)}}$

$={\frac {(1+\cos \omega )e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-\cos \omega )}{(1-\cos \omega )e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1+\cos \omega )}}\,;$

mais

${\frac {1-\cos \omega }{1+\cos \omega }}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\,;$

donc, dénotant pour plus de simplicité $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}$ par $\theta ,$ on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

équation qu’on peut aussi mettre sous cette forme

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{1+\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}}}\,;$

d’où, en prenant les logarithmes et divisant ensuite par $2{\sqrt {-1}},$ on a

$x=y+{\frac {\log \left(1+\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}\right)-\log \left(1+\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}.$

Or on sait que

$\log(1+u)=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots \,;$

donc, réduisant en série les deux logarithmes de l’équation précédente

et substituant ensuite à la place des expressions exponentielles imaginaires les sinus qui y répondent, on aura

$x=y-\theta \sin 2y+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4y-{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6y+\ldots .$

5. Pour généraliser, s’il est possible, la formule précédente, considérons l’équation

$\operatorname {tang} x=m\operatorname {tang} y\,;$

on parviendra, par la méthode du numéro précédent, à l’équation

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {(1+m)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-m)}{(1-m)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1+m)}},$

et, faisant ensuite, pour plus de simplicité,

$\theta ={\frac {1-m}{1+m}},$

on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\,;$

d’où l’on tirera pour $x$ la même expression que ci-dessus.

6. Supposons maintenant

$m={\frac {\cos \omega }{\cos \varphi }},$

en sorte que l’équation à résoudre soit

$\operatorname {tang} x={\frac {\cos \omega \operatorname {tang} y}{\cos \varphi }},$

ou bien

$\cos \varphi \operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y\,;$

on aura, dans ce cas,

$\theta ={\frac {\cos \varphi -\cos \omega }{\cos \varphi +\cos \omega }}={\frac {\sin {\cfrac {\omega +\varphi }{2}}\sin {\cfrac {\omega -\varphi }{2}}}{\cos {\cfrac {\omega +\varphi }{2}}\cos {\cfrac {\omega -\varphi }{2}}}},$

c’est-à-dire

$\theta =\operatorname {tang} {\frac {\omega +\varphi }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\omega -\varphi }{2}},$

et l’expression de $x$ en $y$ sera, comme ci-dessus,

$x=y-\theta \sin 2y+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4y-{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6y+\ldots .$

7. Si l’on voulait avoir l’expression de $y$ en $x,$ il est clair qu’il n’y aurait qu’à changer $x$ en $y,$ $\varphi$ en $\omega$ et réciproquement ; or par ces changements il est visible que la valeur de $\theta$ ne fera que changer de signe ; ainsi, conservant la même valeur de $\theta$ue ci-devant, on aura

$y=x+\theta \sin 2x+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4x+{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6x+\ldots .$

Donc, en combinant les deux formules, on aura

${\begin{aligned}y-x=&\theta \sin 2y-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4y+{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6y-\ldots \\=&\theta \sin 2x+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4x+{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6x+\ldots .\end{aligned}}$

8. Si l’on fait

$\varphi =90^{\circ }-\omega ,$

de manière que l’équation soit

$\sin \omega \operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y,$

ou bien

$\operatorname {tang} x={\frac {\operatorname {tang} y}{\operatorname {tang} \omega }},$

on aura

$\theta =\operatorname {tang} 45^{\circ }\operatorname {tang} \left(\omega -45^{\circ }\right),$

c’est-à-dire

$\theta =\operatorname {tang} \left(\omega -45^{\circ }\right)\,;$

et si l’on met $90^{\circ }-\omega$ à la place de $\omega$ pour avoir l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

on aura

$\theta =\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-\omega \right).$

9. Si l’on change les angles $\varphi$ et $\omega$ en leurs compléments $90^{\circ }-\varphi ,$$90^{\circ }-\omega ,$ de sorte que l’on ait l’équation

$\sin \varphi \operatorname {tang} x=\sin \omega \operatorname {tang} y,$

on aura alors

$\theta =\operatorname {tang} \left(90^{\circ }-{\frac {\omega +\varphi }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\varphi -\omega }{2}},$

savoir

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\varphi -\omega }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\varphi +\omega }{2}}}}.$

10. Si l’on avait dans les formules du n^o 5

$m={\frac {\operatorname {tang} \omega }{\operatorname {tang} \varphi }},$

en sorte que l’équation fût de la forme

$\operatorname {tang} \varphi \operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

on aurait

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} \varphi -\operatorname {tang} \omega }{\operatorname {tang} \varphi +\operatorname {tang} \omega }},$

ce qui se réduit à

$\theta ={\frac {\sin(\varphi -\omega )}{\sin(\varphi +\omega )}}.$

Et si l’on avait l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \varphi \operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

il n’y aurait qu’à mettre $90^{\circ }-\varphi$ à la place de $\varphi$ dans l’expression précé-

dente de $\theta$, ce qui la réduisait à

$\theta ={\frac {\cos(\varphi +\omega )}{\cos(\varphi -\omega )}}.$

Si l’on avait enfin l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} ^{2}\omega \operatorname {tang} y,$

il n’y aurait qu’à faire $\varphi =\omega ,$ ce qui donnerait

$\theta =\cos 2\omega .$

11. On aura donc dans tous ces cas la valeur de $x$ en $y,$ ou de $y$ en $x$, par les formules des n^os 6 et 7, et il est visible que pourvu que $\theta$ ne soit pas plus grande que l’unité, la série, tant pour $x$ que pour $y,$ sera nécessairement toujours convergente, parce que les sinus ne peuvent jamais surpasser l’unité.

12. Nous n’avons cherché jusqu’ici que la valeur de l’arc $x,$ mais on peut avoir aussi avec la même facilité celles des sinus et cosinus des multiples ou sous-multiplesquelconques du même arc.

Je reprends pour cela l’équation du n^o  5

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

et l’élevant à la puissance $\mu ,$ j’ai

$e^{2\mu x{\sqrt {-1}}}=\left({\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }\,;$

et comme le radical ${\sqrt {-1}}$ peut avoir indifféremment le signe $+$ et $-,$ on aura de même

$e^{-2\mu x{\sqrt {-1}}}=\left({\frac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu },$

d’où je tire ces deux formules

${\begin{aligned}\sin 2\mu x=&{\frac {\left({\cfrac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }-\left({\cfrac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }}{2{\sqrt {-1}}}}\\\cos 2\mu x=&{\frac {\left({\cfrac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }+\left({\cfrac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }}{2}}\,;\end{aligned}}$

où il ne s’agit plus que de développer les termes, et d’y changer ensuite les exponentielles imaginaires en sinus ou cosinus d’angles.

13. Pour y parvenir avec toute la généralité possible, considérons la quantité

$\left({\frac {u+\theta }{\theta u+1}}\right)^{\mu },$

et voyons comment elle peut se développer en une série de la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}+\mathrm {F} u^{5}+\ldots .$

Je mets la fraction ${\frac {\theta +u}{1+\theta u}}$ sous cette forme $\theta +{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)u}{1+\theta u}},$ ensuite je développe la puissance $\mu$ de ce binôme, j’aurai

$\theta ^{\mu }+\mu \theta ^{\mu -1}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)u}{1+\theta u}}+{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -2}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}u^{2}}{(1+\theta u)^{2}}}$

$+{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -3}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}u^{3}}{(1+\theta u)^{3}}}+\ldots .$

Je développe maintenant les puissances du binôme $1+\theta u$ qui sont au dénominateur, et ordonnant les termes par rapport à $u,$ je trouve

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\theta ^{\mu },\\\mathrm {B} =&\mu \theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right),\\\mathrm {C} =&-\mu \theta ^{\mu }\left(1-\theta ^{2}\right)+{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -2}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2},\\\mathrm {D} =&\mu \theta ^{\mu +1}\left(1-\theta ^{2}\right)-2{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -3}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathrm {E} =-\mu \theta ^{\mu +2}\left(1-\theta ^{2}\right)+3{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu }\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&-3{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -2}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}+{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{2.3.4}}\theta ^{\mu -4}\left(1-\theta ^{2}\right)^{4},\\&\mathrm {F} =-\mu \theta ^{\mu +3}\left(1-\theta ^{2}\right)-4{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu +1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&+6{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}-4{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{2.3.4}}\theta ^{\mu -3}\left(1-\theta ^{2}\right)^{4},\\&+{\frac {\mu (\mu -1)\ldots (\mu -4)(\mu -3)}{2.3.4.5}}\theta ^{\mu -5}\left(1-\theta ^{2}\right)^{5},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

De sorte que, si l’on nomme, en général $\mathrm {M}$ le coefficient du terme $\mathrm {M} u^{m},$ on aura

${\begin{aligned}\pm \mathrm {M} =&\mu \theta ^{\mu +m-1}\left(1-\mu ^{2}\right)-(m-1){\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu +m-4}\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}\\&+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu +m-6}\left(1-\mu ^{2}\right)^{3}-\ldots ,\end{aligned}}$

le signe supérieur étant pour le cas où $m$ est impair et l’inférieur pour celui où $m$ est pair.

14. Ayant ainsi trouvé les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ il n’y aura plus qu’à mettre successivement $e^{2y{\sqrt {-1}}}$ et $e^{-2y{\sqrt {-1}}}$ à la place de $u$ pour avoir les valeurs des puissances dont la différence ou la somme forment les valeurs de $\sin 2\mu x$ et de $\cos 2\mu x\,;$ et l’on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}\sin 2\mu x=&\mathrm {B} \sin \mu y+\mathrm {C} \sin 2\mu y+\mathrm {D} \sin 3\mu y+\ldots ,\\\cos 2\mu x=&\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos \mu y+\mathrm {C} \cos 2\mu y+\mathrm {D} \sin 3\mu y+\ldots .\end{aligned}}$

15. Donc, si $\mu =1,$ on aura

${\begin{aligned}\sin 2x=&\left(1-\theta ^{2}\right)\left[\sin y-\theta \sin 2y+\theta ^{2}\sin 3y-\theta ^{3}\sin 4y+\ldots \right],\\\cos 2x=&\theta +\left(1-\theta ^{2}\right)\left[\cos y-\theta \cos 2y+\theta ^{2}\cos 3y-\theta ^{3}\cos 4y+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si $\mu =2,$ on aura

$\sin 4x=\left(1-\theta ^{2}\right)\left[2\theta \sin 2y+\left(1-3\theta ^{2}\right)\sin 4y-\theta \left(2-4\theta ^{2}\right)\sin 6y\right.$

$\left.+\theta ^{2}\left(3-5\theta ^{2}\right)\sin 8y-\theta ^{3}\left(4-6\theta ^{2}\right)\sin 10y+\ldots \right],$

$\cos 4x=\theta ^{2}+\left(1-\theta ^{2}\right)\left[2\theta \cos 2y+\left(1-3\theta ^{2}\right)\cos 4y-\theta \left(2-4\theta ^{2}\right)\cos 6y\right.$

$\left.+\theta ^{2}\left(3-5\theta ^{2}\right)\cos 8y-\theta ^{3}\left(4-6\theta ^{2}\right)\cos 10y+\ldots \right],$

et ainsi du reste.

16. Appliquons maintenant les formules que nous venons de trouver à la Trigonométrie sphérique, et considérons d’abord les cas des triangles sphériques rectangles qui peuvent s’y rapporter.

Soit donc un triangle sphérique rectangle dont l’hypoténuse soit $a,$ les deux côtés $b,c,$ et les angles opposés à ces côtés, $\beta ,\gamma \,;$ si l’on examine toutes les analogies connues pour ces sortes de triangles, on ne trouvera que les trois suivantes qui renferment des tangentes :

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} b=\cos \gamma \operatorname {tang} a,$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} c=\sin b\operatorname {tang} \gamma ,$

3^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} \beta ={\frac {\cot \gamma }{\cos a}}={\frac {\operatorname {tang} (90^{\circ }-\gamma )}{\cos a}}.$

17. Comparant donc ces équations avec celles des n^os 6 et 9, on aura d’abord

$x=b,\quad y=a,\quad \omega =\gamma \quad \varphi =0\,;$

donc

$\theta =\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\,;$

donc (7)

${\begin{aligned}a-b=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a-{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 4a+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\gamma }{2}}\sin 6a-\ldots \\=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2b\,+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 4b\,+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\gamma }{2}}\sin 6b+\ldots .\end{aligned}}$

On a donc par ces formules la différence entre l’hypoténuse et un des côtés exprimée par une suite de sinus multiples du double de l’hypoténuse même ou du côté ; et il est visible que cette suite sera toujours convergente, parce que la plus grande valeur de $\gamma$ étant $90$ degrés, la plus grande valeur de $\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}$ sera $1.$ Ces formules sont donc, comme l’on voit, très-commodes pour trouver la réduction des planètes à l’écliptique, en prenant $\gamma$ pour l’inclinaison, ou bien la différence entre la longitude et l’ascension droite du Soleil en prenant pour l’obliquité de l’écliptique.

Dans ce dernier cas, on aura

$\gamma =23^{\circ }28'$ environ ;

donc

$\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}=0{,}004\,313\,7,\ \ \operatorname {tang} ^{4}{\frac {\gamma }{2}}=0{,}000\,186\,1,\ \ \operatorname {tang} ^{6}{\frac {\gamma }{2}}=0{,}000\,008\,03,\ldots ,$

d’où l’on peut juger de l’extrême convergence de la série.

18. La seconde équation, étant comparée avec la formule du n^o 9, donnera

$x=c,\quad y=\gamma ,\quad \varphi =90^{\circ },\quad \omega =b\,;$

donc

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\cfrac {b}{2}}\right)}{\operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\cfrac {b}{2}}\right)}}=\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\,;$

et de là on aura (7) les formules

${\begin{aligned}\gamma -c=&\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 2\gamma -{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 4\gamma \\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 6\gamma -\ldots \\=&\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 2c\,+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 4c\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}\left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)\sin 6c+\ldots ,\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra trouver la différence entre un angle et le côté opposé exprimée par une suite-de sinus d’angles multiples du double de

l’angle ou du côté ; et ces suites seront toujours aussi convergentes, parce que $\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {b}{2}}\right)$ ne peut jamais être $>1,$ tant que $b$ est positif et $<180$ degrés.

19. La troisième équation, étant comparée de même avec celle du n^o 6, donnera

$x=\beta ,\quad y=90^{\circ }-\gamma ,\quad \varphi =a,\quad \omega =0\,;$

donc

$\theta =-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {a}{2}}\,;$

donc (7)

${\begin{aligned}\beta +\gamma -90^{\circ }=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {a}{2}}\sin 2\gamma -{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {a}{2}}\sin 4\gamma +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {a}{2}}\sin 6\gamma -\ldots \\=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {a}{2}}\sin 2\beta -{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {a}{2}}\sin 4\beta +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {a}{2}}\sin 6\beta -\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on pourra faire sur ces formules des remarques analogues à celles qu’on a faites sur les précédentes.

20. Considérons à présent les triangles sphériques obliquangles, et voyons quels sont les cas auxquels nos formules peuvent être applicables.

Comme la méthode ordinaire de résoudre ces triangles consiste à les partager en deux triangles rectangles par l’abaissement d’une perpendiculaire d’un des angles sur le côté opposé, et à calculer ensuite à part les segments de l’angle ou du côté coupé par la perpendiculaire, il est clair que les analogies qui servent communément à la résolution de ces triangles ne peuvent se rapporter à nos formules. Mais il y a d’autres analogies moins connues et qui sont générales pour des triangles quelconques on les nomme les analogues de Neper, qui en est l’inventeur, et elles se réduisent aux équations suivantes, dans lesquelles $a,b,c$ dénotent les trois côtés d’un triangle sphérique quelconque, et $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qui leur sont respectivement opposés :

1^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}={\frac {\cot {\cfrac {\alpha }{2}}\sin {\cfrac {b-c}{2}}}{\sin {\cfrac {b+c}{2}}}}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}={\frac {\cot {\cfrac {\alpha }{2}}\cos {\cfrac {b-c}{2}}}{\cos {\cfrac {b+c}{2}}}}\,;$

3^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {b-c}{2}}={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\cfrac {\beta +\gamma }{2}}}}\,;$

4^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {b+c}{2}}={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {a}{2}}\cos {\cfrac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\cfrac {\beta +\gamma }{2}}}}\,;$

d’où l’on déduit encore cette cinquième

5^o$\quad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta -\gamma }{2}}\operatorname {tang} {\frac {b+c}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}\operatorname {tang} {\frac {b-c}{2}}.$

Comme ces équations renferment toutes des tangentes, elles peuvent être traitées par notre méthode, ainsi qu’on va le voir.

21. La première des équations précédentes étant comparée à celle du n^o 9, on aura

$\varphi ={\frac {b+c}{2}},\quad \omega ={\frac {b-c}{2}},\quad x={\frac {\beta -\gamma }{2}},\quad y=90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\,;$

donc

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}},$

et de là (7)

${\begin{aligned}&{\frac {\gamma -\alpha -\beta }{2}}+90^{\circ }\\&={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\sin \alpha +{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\right)^{2}\sin 2\alpha +{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\right)^{3}\sin 3\alpha +\ldots \\&={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\sin(\beta -\gamma )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\right)^{2}\sin 2(\beta -\gamma )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}\right)^{3}\sin 3(\beta -\gamma )+\ldots .\end{aligned}}$

22. La seconde étant comparée de même à celle du n^o 6, on aura les mêmes valeurs de $\varphi ,\omega ,y$ que ci-dessus, mais celle de $x$ sera ${\frac {\beta +\gamma }{2}}\,;$ on aura donc dans ce cas

$\theta =-\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\,;$

donc (7)

${\begin{aligned}&{\frac {\gamma +\alpha +\beta }{2}}-90^{\circ }\\&\quad =\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin \alpha -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\right)^{2}\sin 2\alpha \\&\qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\right)^{3}\sin 3\alpha -\ldots .\\\\&\quad =\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin(\beta +\gamma )-{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\right)^{2}\sin 2(\beta +\gamma )\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\right)^{3}\sin 3(\beta +\gamma )-\ldots .\end{aligned}}$

23. La troisième et la quatrième équation donneront des formules analogues aux précédentes en y changeant seulement $\beta$ en $b,$ $\gamma$ en $c$ et $\alpha$ en $180^{\circ }-a.$ Ainsi l’on aura, en premier lieu,

${\begin{aligned}&{\frac {c+a-b}{2}}\\&={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\sin a-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\right)^{2}\sin 2a+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\right)^{3}\sin 3a-\ldots \\&={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\sin(b-c)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\right)^{2}\sin 2(b-c)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}}\right)^{3}\sin 3(b-c)+\ldots .\end{aligned}}$

24. En second lieu, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {c+b-a}{2}}\\&\quad =\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin a+{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\right)^{2}\sin 2a\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\right)^{3}\sin 3a+\ldots \\&\quad =\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin(b+c)-{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\right)^{2}\sin 2(b+c)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\right)^{3}\sin 3(b+c)-\ldots .\end{aligned}}$

25. Enfin la cinquième équation du n^o 20, étant comparée à celle du n^o 10, donnera

$\varphi ={\frac {\beta -\gamma }{2}},\quad \omega ={\frac {\beta +\gamma }{2}},\quad x={\frac {b+c}{2}},\quad y={\frac {b-c}{2}}\,;$

donc

$\theta =-{\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }},$

et par conséquent

${\begin{aligned}c=&{\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\sin(b-c)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\right)^{2}\sin 2(b-c)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\right)^{3}\sin 3(b-c)+\ldots \\=&{\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\sin(b+c)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\right)^{2}\sin 2(b+c)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}\right)^{3}\sin 3(b+c)-\ldots .\end{aligned}}$

On peut aussi comparer d’une autre manière la même équation avec celle du numéro cité, en faisant

$\varphi ={\frac {b+c}{2}},\quad \omega ={\frac {b-c}{2}},\quad x={\frac {\beta -\gamma }{2}},\quad y={\frac {\beta +\gamma }{2}},$

ce qui donnera

$\theta ={\frac {\sin c}{\sin b}},$

et de là par le n^o 7

${\begin{aligned}\gamma =&{\frac {\sin c}{\sin b}}\sin(\beta +\gamma )-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin c}{\sin b}}\right)^{2}\sin 2(\beta +\gamma )+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\sin c}{\sin b}}\right)^{3}\sin 3(\beta +\gamma )-\ldots \\=&{\frac {\sin c}{\sin b}}\sin(\beta -\gamma )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin c}{\sin b}}\right)^{2}\sin 2(\beta -\gamma )+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\sin c}{\sin b}}\right)^{3}\sin 3(\beta -\gamma )+\ldots .\end{aligned}}$

26. Les premières formules des n^os 21 et 22 donnent, par l’addition et la soustraction, ces deux-ci, dans lesquelles au lieu de ${\frac {1}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}$ j’écris $\cot {\frac {b}{2}},$

${\begin{aligned}\gamma =&\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}+\cot {\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin \alpha \\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {b}{2}}-\cot ^{2}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\alpha \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {b}{2}}+\cot ^{3}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\sin 3\alpha -\ldots ,\\\\\beta =&180^{\circ }-\alpha +\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}-\cot {\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin \alpha \\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {b}{2}}+\cot ^{2}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\alpha \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {b}{2}}-\cot ^{3}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\sin 3\alpha -\ldots .\end{aligned}}$

Et de même les premières formules des n^os 23 et 24 donneront

${\begin{aligned}c=&\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin a\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\beta }{2}}-\cot ^{2}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\beta }{2}}+\cot ^{3}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\gamma }{2}}\sin 3a+\ldots ,\\\\b=&a+\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}-\cot {\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin a\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cot ^{2}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\beta }{2}}-\cot ^{3}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\gamma }{2}}\sin 3a+\ldots .\end{aligned}}$

Ainsi lorsqu’on connaît, dans un triangle sphérique quelconque, deux côtés $b,c$ et l’angle $\alpha$ compris entre ces côtés, on pourra, par les deux premières formules, trouver les deux autres angles $\beta$ et $\gamma$ opposés aux côtés $b$ et $c,$ et ces formules seront d’autant plus convergentes que le côté $c$ sera plus petit et que le côté $b$ sera plus près de $90$ degrés.

Pareillement, si l’on connaît un côté $a$ et les deux angles $\beta ,\gamma$ adjacents à ce côté, on aura par les deux dernières formules les deux autres côtés $b$ et $c$ opposés aux angles $\beta$ et $\gamma \,;$ et ces formules seront d’autant plus convergentes que l’angle $\gamma$ sera plus petit et que l’autre angle $\beta$ sera plus près de $90$ degrés.

27. Si l’on imagine que le pôle de l’équateur, celui de l’écliptique et le lieu d’un astre quelconque soient joints par trois arcs de grands cercles, et qu’on dénote par $c$ l’arc qui joint les deux pôles, par $a$ l’arc qui joint le lieu de l’astre et le pôle de l’équateur, et par $b$ l’arc qui joint le lieu de l’astre et le pôle de l’écliptique, il est clair qu’on aura un triangle sphérique dont les trois côtés seront $a,b,c,$ et il est visible que le côté $c$ sera égal à l’obliquité de l’écliptique, que le côté $a$ sera le complément à $90$ degrés de la déclinaison de l’astre, et que le côté $b$ sera le complément à $90$ degrés de la latitude de l’astre. Ensuite, si l’on nomme, comme plus haut, $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles respectivement opposés aux côtés $a,b,c,$ il n’est pas difficile de voir que l’angle $\gamma$ sera l’angle de position de l’astre, que l’angle $\alpha$ sera le complément à $90$ degrés de la longitude de l’astre, et que l’angle $\beta$ sera l’ascension droite de l’astre augmentée de $90$ degrés.

Soit donc un astre dont la longitude soit $\mathrm {L} ,$ la latitude $\lambda ,$ l’ascension droite $\mathrm {D} ,$ la déclinaison $\delta ,$ son angle de position $p,$ on aura

$a=90^{\circ }-\delta ,\quad b=90^{\circ }-\lambda ,\quad \alpha =90^{\circ }-\mathrm {L} ,\quad \beta =90^{\circ }+\mathrm {D} ,\quad \gamma =p,$

et nommant $c$ l’obliquité de l’écliptique, les deux premières formules du n^o 26, à cause de

$\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right),\quad \cot {\frac {b}{2}}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right),$

donneront

${\begin{aligned}p&=\quad \left[\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} \,{\frac {c}{2}}\cos \mathrm {L} \\&+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\mathrm {L} \\&-{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\cos 3\mathrm {L} \\&-{\frac {1}{4}}\left[\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{4}{\frac {c}{2}}\sin 4\mathrm {L} \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&\mathrm {L} -\ \left[\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} \ \left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} \,{\frac {c}{2}}\cos \mathrm {L} \\&-{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\mathrm {L} \\&+{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\cos 3\mathrm {L} \\&+{\frac {1}{4}}\left[\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{4}{\frac {c}{2}}\sin 4\mathrm {L} \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Ces deux formules sont fort remarquables par leur simplicité et par l’usage dont elles peuvent être dans l’Astronomie ; la seconde surtout peut être d’une grande utilité pour réduire les longitudes et les latitudes des planètes en ascensions droites et en déclinaisons ; car à cause que $\lambda$ n’est jamais $>9$ degrés pour les planètes, on aura immédiatement la différence entre la longitude $\mathrm {L}$ et l’ascension droite $\mathrm {D}$ par une série fort convergente ; dès qu’on aura trouvé $\mathrm {D} ,$ on aura la déclinaison $\delta$ par une seule analogie, parce que dans le triangle dont les côtés sont $a,b,c,$ et les angles opposés $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on a

$\sin a:\sin b=\sin \alpha :\sin \beta ,$

et, mettant pour $a,b,\alpha ,\beta$ les valeurs ci-dessus,

$\cos \delta :\cos \lambda =\cos \mathrm {L} :\cos \mathrm {D} \,;$

d’où

$\cos \delta ={\frac {\cos \lambda \cos \mathrm {L} }{\cos \mathrm {D} }}$^[3].

28. L’analyse que nous avons exposée au commencement de ce Mémoire peut aussi être employée directement à résoudre d’autres équations plus compliquées que celle laquelle nous l’avons appliquée. C’est ce que je vais indiquer en peu de mots.

Soit, par exemple, l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin y}{\cos y+p}},$

$a$ étant une quantité qui diffère peu de l’unité, et $p$ une quantité très-petite ; je forme l’équation

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos y+p+a\sin y{\sqrt {-1}}}{\cos y+p-a\sin y{\sqrt {-1}}}},$

laquelle, en introduisant les exponentielles imaginaires, se réduit à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p+a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p-a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soient

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z$

les deux facteurs du trinôme

$1+{\frac {2p}{1+a}}z+{\frac {1-a}{1+a}}z^{2},$

l’équation précédente pourra se mettre sous cette forme

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}}\,;$

prenant les logarithmes des deux membres, réduisant en série les logarithmes des facteurs $1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}},\ldots ,$ et remettant à la place des exponentielles imaginaires les sinus correspondants, on aura sur-le-champ

$x=y-(\mathrm {P+Q} )\sin y+\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}}{2}} \sin 2y-\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}}{3}} \sin 3y+\ldots \,;$

or, comme les quantités $p$ et $1-a$ sont très-petites (hypothèse), il est clair que les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ le seront aussi ; d’où il s’ensuit que la série précédente sera nécessairement convergente.

29. Soit encore l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin 2y+b\sin y}{\cos 2y+p\cos y+q}},$

$a$ étant peu différent de l’unité, et $b,p,q$ des coefficients fort petits ; on aura d’abord

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos 2y+p\cos y+q+(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}{\cos 2y+p\cos y+q-(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}},$

ce qui se réduit à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

${\frac {(1+a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+2q}{(1+a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{y{\sqrt {-1}}}+2q}},$

ou bien à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{4y{\sqrt {-1}}}=$

${\frac {1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{-3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-4y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{4y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soient maintenant

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z,\quad 1+\mathrm {R} z,\quad 1+\mathrm {S} z$

les facteurs simples du quadrinôme

$1+{\frac {p+b}{1+a}}z+{\frac {2q}{1+a}}z^{2}+{\frac {p-b}{1+a}}z^{3}+{\frac {1-a}{1+a}}z^{4}\,;$

l’équation précédente deviendra

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

$e^{4y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}},$

d’où l’on tire, en prenant les logarithmes, réduisant en série, et remettant les sinus à la place des exponentielles imaginaires,

${\begin{aligned}x=&2y-\mathrm {\left(P+Q+R+S\right)} \sin y+\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}+R^{2}+S^{2}}{2}} \sin 2y\\&-\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}+R^{3}+S^{3}}{3}} \sin 3y+\mathrm {\frac {P^{4}+Q^{4}+R^{4}+S^{4}}{4}} \sin 4y-\ldots .\end{aligned}}$

On pourrait de même résoudre l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin 3y+b\sin 2y+c\sin y}{\cos 3y+p\cos 2y+q\cos y+r}},$

et ainsi de suite.

30. Supposons enfin que l’on ait à résoudre une équation de cette forme

$\operatorname {tang} x={\frac {\sin y+p\sin 2y+q\sin 3y+\ldots }{\cos y+p\cos 2y+q\cos 3y+\ldots }},$

$p,q,\ldots$ étant des coefficients très-petits ; on la réduira d’abord à la forme

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\left(\cos y+\sin y{\sqrt {-1}}\right)+p\left(\cos 2y+\sin 2y{\sqrt {-1}}\right)+\ldots }{\left(\cos y-\sin y{\sqrt {-1}}\right)+p\left(\cos 2y-\sin 2y{\sqrt {-1}}\right)+\ldots }},$

savoir

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}+pe^{2y{\sqrt {-1}}}+qe^{3y{\sqrt {-1}}}+\ldots }{e^{-y{\sqrt {-1}}}+pe^{-2y{\sqrt {-1}}}+qe^{-3y{\sqrt {-1}}}+\ldots }},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+pe^{y{\sqrt {-1}}}+qe^{2y{\sqrt {-1}}}+\ldots }{1+pe^{-y{\sqrt {-1}}}+qe^{-2y{\sqrt {-1}}}+\ldots }}.$

Soient à présent

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z,\ldots$

les facteurs du multinôme

$1+pz+qz^{2}+\ldots \,;$

l’équation précédente deviendra

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }{\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }},$

d’où l’on tire par les logarithmes, comme plus haut,

$x=y+\mathrm {\left(P+Q+\ldots \right)} \sin y-\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}+\ldots }{2}} \sin 2y+\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}+\ldots }{3}} \sin 3y-\ldots .$

31. Si la valeur de $\operatorname {tang} x$ contenait des sinus et des cosinus tant au numérateur qu’au dénominateur, comme si l’on avait à résoudre l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin y+b\cos y}{\cos y+p\sin y}},$

on pourrait aussi par la même méthode trouver une série convergente pour exprimer la valeur de $x,$ en $y,$ pourvu que $a$ fût toujours peu différent de l’unité, et $b,p$ des coefficients fort petits relativement à $a.$

En effet on aura alors

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {(\cos y+p\sin y)+(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}{(\cos y+p\sin y)-(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}},$

et passant aux exponentielles

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}{\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soit maintenant

${\frac {b-p}{1+a}}=\operatorname {tang} \alpha ,\quad {\frac {b+p}{1-a}}=\operatorname {tang} \beta ,$

on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

$e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {(1+a)\left(1+\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1+\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{(1+a)\left(1-\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1-\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{2y{\sqrt {-1}}}}}\,;$

mais

$1\pm \operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}={\frac {e^{\pm \alpha {\sqrt {-1}}}}{\cos \alpha }},\quad 1\pm \operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}={\frac {e^{\pm \beta {\sqrt {-1}}}}{\cos \beta }}\,;$

donc substituant ces valeurs, divisant le haut et le bas de la fraction par ${\frac {1+a}{\cos \alpha }},$ et faisant, pour abréger,

${\frac {1-a}{1+a}}{\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}=k,$

on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+ke^{\beta {\sqrt {-1}}}\times e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}+ke^{-\beta {\sqrt {-1}}}\times e^{2y{\sqrt {-1}}}}},$

savoir

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2(y+\alpha ){\sqrt {-1}}}{\frac {1+ke^{-(2y+\alpha -\beta ){\sqrt {-1}}}}{1+ke^{(2y+\alpha -\beta ){\sqrt {-1}}}}},$

d’où en prenant les logarithmes, réduisant en série, divisant par $2{\sqrt {-1}},$ et repassant des exponentielles imaginaires aux sinus et cosinus réels, on tire sur-le-champ

$x=y+\alpha -k\sin(2y+\alpha -\beta )+{\frac {k^{2}}{2}}\sin 2(2y+\alpha -\beta )$

$-{\frac {k^{3}}{3}}\sin 3(2y+\alpha -\beta )+\ldots .$

Or on a

$\cos \alpha ={\frac {1+a}{\sqrt {(1+a)^{2}+(b-p)^{2}}}},\quad \cos \beta ={\frac {1-a}{\sqrt {(1-a)^{2}+(b+p)^{2}}}}\,;$

donc on aura

$k={\frac {\sqrt {(1-a)^{2}+(b+p)^{2}}}{\sqrt {(1+a)^{2}+(b-p)^{2}}}},$

quantité qui est, comme on voit, très-petite de l’ordre de $1-a,\ b,p\,;$ ainsi la série précédente sera nécessairement convergente.

Au reste on voit par là que pourvu que $a$ diffère peu de l’unité, et que $b$ diffère en même temps peu de $-p,$ la quantité $k$ sera nécessairement très-petite du même ordre que ces différences ; par conséquent la série sera convergente, sans qu’il soit nécessaire que $b$ et $p$ soient à la fois très-petites l’une et l’autre.

1. Lu en 1774.
2. Cela était vrai lors de la lecture de ce Mémoire ; depuis, M. Lambert a donné sa méthode dans le volume des Éphémérides pour 1780.
3. Les deux formules précédentes ont déjà été publiées sans démonstration dans le troisième volume des Tables astronomiques de Académie.