SUR L’USAGE DES FRACTIONS CONTINUES DANS LE CALCUL INTÉGRAL[1].
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1776.)
J’ai fait voir ailleurs combien la méthode des fractions continues est utile dans l’Algèbre ; je me propose maintenant d’en montrer aussi l’usage dans le Calcul intégral. On connaît depuis longtemps la méthode des séries pour intégrer par approximation les équations différentielles dont l’intégrale finie est impossible, ou du moins très-difficile à trouver ; mais cette méthode a l’inconvénient de donner des suites infinies lors même que ces suites peuvent être représentées par des expressions rationnelles finies. La méthode des fractions continues a tous les avantages de celle des séries et est en même temps exempte de l’inconvénient dont nous venons de parler ; car, par cette méthode, on est assuré de trouver directement la valeur rationnelle et finie de la quantité cherchée lorsqu’elle en a une, parce qu’alors l’opération se termine d’elle-même ; et quand l’opération va à l’infini, on a une marque certaine que la quantité cherchée ne peut être exprimée par une fonction rationnelle et finie. Enfin cette méthode sert à ramener à l’intégration beaucoup d’équations différentielles qui échappent aux autres méthodes du Calcul intégral.
1. Soit une équation différentielle quelconque entre deux variables et d’où il s’agisse de tirer la valeur de en par approximation.
Pour employer dans cette recherche la méthode des fractions continues, on commencera par chercher par les méthodes connues le premier terme de la valeur de en lorsque est supposée très-petite, et nommant ce terme on fera
substituant ensuite cette expression de dans l’équation proposée, on aura une nouvelle équation du même ordre et du même degré entre et dans laquelle, en supposant très-petite, sera aussi nécessairement très-petite.
Soit le premier terme de la valeur de en dans le cas de très-petite on fera
et, substituant cette expression de dans l’équation entre et on aura une nouvelle équation du même ordre et du même degré entre et dans laquelle sera nécessairement très-petite lorsque sera supposée très-petite. Soit donc le premier terme de la valeur de en dans le cas de très-petite ; on fera
et, substituant cette expression de dans l’équation, on en aura une nouvelle entre et dans laquelle sera nécessairement très-petite lorsqu’on supposera très-petite. On nommera le premier terme de la valeur de en dans le cas de très-petite, et l’on fera
et ainsi de suite.
De cette manière, en substituant successivement les valeurs de on aura
S’il arrive que quelqu’une des équations transformées soit intégrable exactement, en sorte qu’on ait la valeur finie d’une des en il n’y aura qu’à substituer cette valeur dans la fraction continue, on aura la valeur exacte de en Dans tous les autres cas la fraction continue ira à l’infini ; mais comme nous avons vu que les quantités sont toujours nécessairement très-petites lorsque est supposée très-petite, il s’ensuit que les quantités seront aussi très-petites dans la même supposition ; par conséquent la fraction continue sera toujours d’autant plus convergente que sera plus-petite, et approchera d’autant plus de la vraie valeur de qu’on y prendra plus de termes. À l’égard des quantités il est clair qu’elles seront nécessairement de la forme l’exposant devant être un nombre positif pour chacune de ces quanti tés excepté la première pour laquelle le nombre pourra être positif, ou négatif, ou zéro. Ainsi toute la difficulté consiste à déterminer cet exposant avec le coefficient
2. Considérons, en général, une équation quelconque entre les deux variables et d’où il s’agisse de tirer la valeur de en dans l’hypothèse de très-petite ; comme cette valeur ne peut être représentée que par qu’on substitue partout à la place de et de ses différentielles, s’il y en a, et après avoir délivré l’équation des irrationnalités et des fractions complexes, il est clair qu’elle se réduira à une suite de termes de la forme or, puisque cette équation n’est censée avoir lieu que dans le cas de très-petite, il faudra négliger vis-à-vis d’un quelconque de ses termes tous ceux qui seront affectés d’une puissance plus haute de de sorte que l’équation se réduira à un certain nombre de termes tous affectés de la même puissance de cette puissance étant la plus basse qu’il y ait dans l’équation proposée ; par ce moyen l’x disparaîtra, et il restera une équation entre les coefficients, laquelle servira à déterminer la constante .
Si l’exposant était connu, il n’y aurait, comme on voit, aucune difficulté à déterminer le coefficient or, comme est indéterminé, on peut lui donner telle valeur que l’on veut ; il faut seulement que cette valeur soit telle, que la plus petite puissance de se trouve au moins dans deux termes de l’équation, afin qu’après la division par cette puissance de on ait une équation entre les seuls coefficients, à laquelle on puisse satisfaire par la détermination du coefficient
Tout se réduit donc à déterminer la quantité par cette condition, que la plus petite puissance de se trouve au moins dans deux termes de l’équation. MM. Tailor et Stirling ont donné pour cela des méthodes qu’on peut voir dans le Methodus incrementorum (Proposition 9) et dans les Lineæ tertii ordinis (Problème II) ; mais comme la méthode du premier demande une espèce de construction géométrique, et que celle du second dépend du parallélogramme de Newton, et par conséquent ne peut être regardée que comme une méthode mécanique, je crois que les Géomètres seront bien aises de voir comment on peut résoudre cette question par une méthode purement analytique.
3. J’observe d’abord que, si, après avoir réduit l’équation à une suite de termes de la forme on a différents termes dans l’exposant desquels le nombre soit le même, il suffira d’avoir égard à celui de ces termes où le nombre sera le plus petit, parce qu’il est évident que dans la supposition de très-petite le terme dont il s’agit sera comme infiniment plus grand que les autres. De cette manière on n’aura dans l’équation que des termes où le nombre sera différent de l’un à l’autre. Ainsi dénotant ces différentes valeurs de par en sorte que ces nombres forment une suite croissante, et désignant par et par les valeurs correspondantes de et de on aura l’équation
dans laquelle il s’agira de déterminer le nombre en sorte que les exposants de deux ou de plusieurs termes deviennent égaux et en même temps plus petits que ceux des autres termes.
Ce Problème se réduit donc, comme on voit, à celui-ci :
4. Étant donnée une série telle que
dans laquelle soient des nombres connus qui forment une progression croissante quelconque, des nombres aussi connus quelconques, et un nombre inconnu ; déterminer le nombre en sorte que deux ou plusieurs termes de cette série deviennent égaux, et soient en même temps moindres qu’aucun des autres termes.
Il est clair qu’on pourrait résoudre cette question en égalant successivement deux à deux tous les termes de la série proposée, et substituant ensuite dans tous les autres termes les valeurs de tirées de chacune de ces égalités ; on trouverait sûrement de cette manière toutes les valeurs convenables de en rejetant celles qui n’auraient pas la condition requise mais ce calcul demanderait plusieurs opérations inutiles c’est pourquoi il est bon de chercher des moyens de l’abréger.
Je commence par comparer le premier terme à chacun des suivants et j’en tire ces valeurs de
que je dénote pour plus de simplicité par nommant ensuite
le premier terme je mets la série proposée sous cette forme
Ici l’on voit clairement que, si l’on fait égal à la plus grande des quantités le terme qui répond à cette quantité deviendra égal au premier terme et que tous les autres termes seront plus grands que à cause que les quantités sont (hypothèse) toutes positives.
Si parmi les quantités il y en avait deux ou plusieurs égales entre elles et qui fussent en même temps plus grandes qu’aucune des autres, en faisant égale à ces quantités, on aurait tout autant de termes égaux au premier terme et les autres termes seraient tous plus grands que
Ayant trouvé ainsi une valeur de l qui résout le Problème, voyons comment on en pourra trouver encore d’autres, s’il y en a.
Et d’abord il est facile de voir qu’en donnant à une valeur plus grande que la plus grande des quantités tous les termes qui suivent le premier seront nécessairement plus grands que celui-ci ; ainsi il est impossible de trouver, par ce moyen, deux termes égaux, et qui soient en même temps les plus petits ; par conséquent, s’il existe d’autres valeurs de qui aient la condition requise, elles doivent être moindres que la plus grande des quantités Supposons, pour fixer les idées, que soit cette plus grande quantité, et si deux ou plusieurs, de ces quantités sont à la fois les plus grandes, soit la dernière d’entre elles ; il est facile de voir que dans la série proposée tous les termes qui précéderont le terme seront nécessairement toujours plus grands que celui-ci, tant qu’on donnera à une valeur moindre que et cela parce que les quantités forment une suite croissante de quantités toutes positives on pourra donc faire abstraction de ces termes, et ne considérer que le terme avec tous les suivants ; car il est clair que les plus petits d’entre ces termes seront en même temps moindres qu’aucun des termes qui précèdent celui dont nous venons de parler. Or le terme dont il s’agit est dans la série primitive ; ainsi il n’y aura qu’à considérer la série
et y appliquer la méthode précédente ; et ainsi de suite.
Voici donc à quoi se réduit la solution du Problème proposé.
On égalera successivement le premier terme de la série donnée à chacun des suivants, et l’on tirera la valeur de de chacune de ces égalités ; la plus grande de ces différentes valeurs de résoudra la question ; et les termes, qui forment l’égalité ou les égalités d’où, elle est déduite, deviendront les plus petits. On partira ensuite du dernier de ces termes, c’est-à-dire de celui qui est le plus éloigné du commencement de la série, et on l’égalera successivement à chacun des suivants, en tirant la valeur de de chacune de ces égalités ; la plus grande de ces différentes valeurs de résoudra aussi la question, et rendra les plus petits les termes qui ont produit l’égalité ou les égalités d’où cette valeur de résulte. On partira de nouveau du dernier de ces termes et l’on opérera comme nous venons de le dire ; et ainsi de suite, tant qu’il y aura des termes dans la série. On trouvera de cette manière toutes les valeurs de qui peuvent résoudre la question, et on trouvera d’abord la plus grande, ensuite les autres suivant l’ordre de leur grandeur en diminuant.
Cette méthode a sur celles de MM. Taylor et Stirling non-seulement l’avantage d’être purement analytique, mais encore celui de pouvoir toujours être appliquée avec la même facilité, quels que soient les nombres donnés entiers ou fractionnaires, ou même irrationnels.
Soit, par exemple, la série de six termes
en égalant d’abord le premier terme à chacun des suivants, on trouve ces valeurs de
dont la plus grande est qui résulte de la comparaison du premier et du quatrième terme ; on égalera maintenant le quatrième terme à chacun des deux suivants, et l’on trouvera ces valeurs de
dont la plus grande est qui résulte de la comparaison du quatrième terme et du dernier. Ainsi l’opération est achevée, et les valeurs conveaàbles de sont et En effet, si l’on substitue ces valeurs, la série devient dans le premier cas
et dans le second cas
5. La méthode précédente servira donc à trouver toutes les valeurs qu’on peut donner à l’exposant (3) ; et pour déterminer les valeurs correspondantes du coefficient il n’y aura qu’à égaler à zéro la somme des coefficients des termes de l’équation, dont les exposants deviendront égaux et en même temps les plus petits.
Ainsi, par exemple, la quantité étant la plus grande (numéro précédent), pour avoir la valeur correspondante du coefficient il faudra égaler à zéro la somme des deux coefficients et ce qui donne l’équation
et si les deux quantités et étaient en même temps égales et les plus grandes, on égalerait à zéro la somme des trois coefficients ce qui donnerait
savoir, en divisant par
d’où l’on tirerait et ainsi du reste.
Il peut arriver au reste que, par les réductions du no 3, l’équation se trouve réduite à un seul terme comme dans ce cas il faudra faire ce qui donnera une équation qui servira à déterminer la quantité, c’est-à-dire l’exposant ; et le coefficient demeurera absolument indéterminé et par conséquentarbitraire. Ce cas doit nécessairement arriver dans la résolution des équations différentielles, qui admettent des constantes arbitraires ; mais il ne pourra jamais avoir lieu lorsqu’il s’agira d’équations finies.
6. Si, dans le Problème du no 4, on voulait déterminer le nombre, en sorte que deux ou plusieurs fermes de la série donnée devinssent égaux, et en même temps plus grands qu’aucun des autres termes, la solution serait la même, avec cette seule différence qu’au lieu de prendre pour la valeur de la plus grande des quantités il faudrait au contraire en prendre la plus petite, et il faudrait continuer ainsi à prendre toujours la plus petite des valeurs de tirées des différentes égalités ; c’est ce qui est aisé à démontrer par les mêmes principes. Par cette méthode on pourra déterminer la valeur de en dans l’hypothèse de infiniment grande, en suivant le même procédé que nous avons prescrit dans les nos 3 et 4, à cela près que, si après la substitution de à la place de il se trouve différentes puissances de dans les exposants desquelles il y ait le même multiple de il ne faudra retenir que celle de ces puissances dont l’exposant sera le plus grand.
Si l’on détermine de cette manière les termes de la fraction continue ; elle sera alors d’autant plus convergente que sera plus grande.
Ainsi l’on pourra toujours trouver pour chaque valeur de deux différentes fractions continues ; et si l’une de ces fractions est finie, l’autre le sera aussi nécessairement, puisque ces fractions étant réduites en fractions ordinaires doivent être identiques.
7. Soit proposée une équation différentielle de la forme suivante qui est très-générale
étant des fonctions quelconques de
Si l’on substitue, dans cette équation, à la place de (1), on aura cette transformée en
dans laquelle
En substituant de même, dans cette dernière équation, à la place de on aura cette nouvelle transformée
dans laquelle
et ainsi de suite.
Maintenant, pour déterminer les quantités il n’y aura qu’à faire dans ces différentes équations
et déterminer ensuite les exposants ainsi que les coefficients correspondants par les méthodes exposées ci-dessus.
On aura ainsi
S’il arrive que dans quelqu’une des équations transformées le premier terme qui ne renferme point s’évanouisse, on pourra alors satisfaire à cette équation en faisant de cette manière l’opération sera terminée, et l’on aura pour la valeur de une fraction continue finie.
Cela arrivera donc lorsque l’une de ces quantités sera nulle.
On n’aura cependant par ce moyen qu’une valeur incomplète de , à moins que les coefficients ne renferment déjà une constante arbitraire. Pour trouver dans tous les autres cas la valeur complète de , il faudra intégrer l’équation en ce qui est toujours possible.
En effet, comme cette équation sera
laquelle, en faisant se change en celle-ci
qu’on voit bien être intégrable par les méthodes connues, puisque n’y est qu’à la première dimension.
Appliquons ces règles à quelques Exemples.
8. Soit l’équation
dans laquelle on demande la valeur de en par une fraction continue d’autant plus convergente que sera plus petite.
Substituant d’abord à la place de et divisant par on a
dans l’hypothèse de très-petite cette équation se réduit à donc
et le coefficient demeure indéterminé. On aura ainsi
et la transformée en sera, après les réductions,
On fera dans cette équation ce qui la réduira à
négligeant la puissance vis-à-vis de on aura simplement
donc
On aura donc
et la transformée en deviendra
Faisant et négligeant d’abord la puissance vis-à-vis de on aura l’équation
je range les trois exposants ainsi, et égalant successivement le premier terme de cette série aux deux suivants, j’ai la plus grande de ces deux valeurs étant la première, je l’adopte pow et comme cette valeur vient de la comparaison du premier terme avec le second, je puis encore égaler le second au troisième, ce qui donnera
mais cette valeur n’est point admissible, parce que doit être (1). J’ai donc uniquement
et, égalant à zéro la somme des coefficients des deux puissances et je trouve, à cause de
Ainsi l’on aura
et la transformée en sera
On fera et l’on trouvera par le même procédé que ci-dessus
Donc on aura
et la transformée en se trouvera de cette forme
On tirera de là
et ensuite viendra la transformée en
On en conclura
et il en résultera cette transformée en
De là on trouvera
et l’on aura cette transformée en
On tirera de là
et la transformée en sera
Et ainsi de suite.
Donc on aura pour la valeur de cette fraction continue
Et comme cette expression de renferme une constante arbitraire elle doit être regardée comme complète. Si est un nombre entier quelconque positif ou négatif, la fraction continue s’arrête, et par conséquent la valeur de est finie ; sinon la fraction continue ira à l’infini.
9. Si l’on prend l’équation proposée
et qu’on l’intègre après l’avoir multipliée par on aura
étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire
or en faisant on a ici et dans l’expression du numéro précédent on a lorsque donc donc
donc
Cette expression de la puissance d’un binôme, en fraction continue, est assez remarquable, tant par sa simplicité que parce qu’elle a l’avantage d’être finie pour toutes les puissances entières tant positives que négatives. On pourrait aussi la déduire de la formule de Newton par une division continuelle, en opérant comme si l’on voulait chercher le plus grand commun diviseur entre l’unité et cette formule ; c’est ce qu’a déjà fait M. Lambert dans le second volume de ses Beytroege, etc. ; mais, quoique la fraction continue qu’on trouve de cette manière s’accorde dans le fond avec la précédente, elle se présente néanmoins sous une forme beaucoup moins simple et moins élégante. (Voyez le § 30 du troisième Mémoire de l’Ouvrage cité.)
10. Comme la quantité devient, dans le cas de infiniment petit, on aura, en supposant infiniment petit dans la fraction continue ci-dessus, et divisant par après avoir retranché l’unité de part et d’autre,
Et si l’on met à la place de qu’ensuite on suppose infiniment grand, ce qui donne
11. On peut encore simplifier ces fractions continues, et, en général, toute fraction continue de la forme
Pour cela je considère la fraction
se réduit à celle-ci
ainsi l’on aura d’abord
et, transformant de même
et ainsi de suite, la fraction proposée deviendra de cette forme
et, si l’on ne commence les transformations précédentes qu’au second terme on aura une fraction de la forme suivante
12. Si l’on applique ces réductions à la formule du no 9, on aura ces deux-ci
D’où, en supposant infiniment petit ou infiniment grand, on déduira les suivantes
13. Soit, pour abréger,
on aura, par la dernière formule,
d’où l’on tire
donc si l’on met partout, à la place de la valeur de sera
de sorte qu’on aura donc
Cette expression de la tangente par l’arc s’accorde dans le fond avec celle que M. Lambert a donnée dans les Mémoires de 1761, et qu’il a déduite des séries connues du sinus et du cosinus, divisées l’une par l’autre suivant le procédé qui sert à trouver le plus grand commun diviseur.
14. Considérons maintenant l’équation
et cherchons par notre méthode la valeur de en exprimée par une fraction continue d’autant plus convergente que est plus petite dans la supposition de
1o On trouvera et l’on aura cette transformée en
2o On aura et de là
3o On aura et de là
4o On aura et de là
5o On aura et de là
6o On aura et de là
7o On aura et de là
8o On aura et de là …
Ainsi l’on aura pour la valeur de cette fraction continue
Or l’équation différentielle proposée donne par l’intégration
par conséquent la valeur de cette intégrale sera représentée par la fraction continue que nous venons de trouver.
15. Si l’on fait alors et la fraction continue qui exprime la valeur de reviendra au même que celle que nous avons trouvée plus haut (10).
Si l’on fait alors ainsi l’on aura, pour l’expression de l’arc par sa tangente, cette fraction continue
Cette dernière expression a aussi déjà été trouvée par M. Lambert dans l’Ouvrage cité, d’après la série mais sous une forme moins simple que la précédente.
16. On voit, par le no 14, que les valeurs ne vont pas en diminuant ; de sorte que quelque loin que l’on pousse la fraction continue, on ne sera jamais en droit de négliger les termes suivants. Mais, si les valeurs dont il s’agit ne vont pas en diminuant, elles convergent cependant vers une même quantité, et cette circonstance donne le moyen de trouver à très-peu près la valeur du reste de la fraction continue.
Pour cet effet on n’a qu’à considérer les différentes transformées en et l’on verra que la transformée ième sera représentée ainsi
si est pair, et de cette manière
si est impair.
Or, si est un nombre fort grand, alors il est visible que le premier terme se réduit toujours à et que les autres termes se réduisent à ceux-ci de sorte qu’on a, dans ce cas, la transformée
d’où l’on tire, en général,
mais les valeurs de devant être nulles lorsque on aura
Donc, lorsqu’on aura poussé assez loin la fraction continue du no 14, il faudra, si l’on veut s’arrêter, ajouter après l’unité dans le dénominateur de la dernière fraction la quantité que nous venons de trouver, ou bien on donnera à la dernière fraction pour dénominateur la quantité
On pourra en user de même dans tous les cas semblables.
17. Soit encore proposée cette équation différentielle
dans laquelle on demande la valeur de en par une fraction continue d’autant plus convergente que sera plus petite.
1o On trouvera et la transformée en sera
2o On aura et de là
3o On aura et de là
4o On aura et de là
5o On aura et de là
6o On aura et de là
7o On aura et de là ….
Ainsi la valeur de sera exprimée par cette fraction continue
laquelle se terminera, comme l’on voit, toutes les fois que l’on aura étant un nombre quelconque entier positif ou négatif.
Dans ce cas on aura donc une valeur finie de mais cette valeur ne sera pas complète, puisqu’elle ne contient aucune constante arbitraire.
Pour la compléter on suivra la méthode enseignée dans le no 7.
En effet, en considérant les différentes transformées en on voit aisément que la transformée ième sera, en supposant lorsque est pair, et lorsque est impair,
laquelle en faisant devient
d’où l’on tire, par l’intégration,
étant une constante arbitraire.
Donc, lorsque dans la fraction continue qui exprime la valeur de il arrivera qu’un des numérateurs deviendra nul, ce qui fera disparaître le reste de la fraction, il faudra, pour avoir la valeur complète de écrire après l’unité dans le dénominateur de la dernière fraction partielle la quantité en prenant pour le rang de cette fraction.
Par exemple, lorsque on a comme la série se termine à la seconde fraction, je fais ce qui me donne
et j’ai, pour la valeur complète de l’expression
Et ainsi des autres cas semblables.
18. Si dans l’équation différentielle du numéro précédent on fait
et étant de nouvelles variables, elle devient, après les substitutions et les réductions,
laquelle, étant comparée à la forme générale de l’équation de Riccati
donne
de sorte qu’il reste encore une indéterminée qu’on peut faire égale à tout ce que l’on veut.
L’équation dont il s’agit sera donc intégrable toutes les fois que les exposants et seront tels, que la valeur de savoir la quantité sera égale à un nombre entier quelconque positif ou négatif ; ainsi les conditions de l’intégrabilité de l’équation
seront renfermées dans cette égalité
étant un nombre entier quelconque positif ou négatif ; ce qui s’accorde avec ce que l’on sait déjà.
19. Comme la forme des fractions continues est peu commode pour les opérations algébriques, nous allons réduire ces fractions en fractions ordinaires, ce qui donnera lieu à des conséquences importantes sur la nature de ces mêmes fractions.
Pour cela il n’y a qu’à reprendre les formules
du no 1 et substituer successivement dans la première les valeurs de données par les suivantes ; ce qui donnera