Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur l’élimination des inconnues dans les équations

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’élimination des inconnues dans les équations

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 141-154).

SUR
L’ÉLIMINATION DES INCONNUES
DANS LES ÉQUATIONS^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXV, 1771.)

Lorsqu’on a deux équations qui renferment la même inconnue élevée à des degrés quelconques, on peut toujours, par les règles ordinaires de l’Algèbre, éliminer cette inconnue ; mais on risque de tomber dans un inconvénient c’est que l’équation résultante de l’élimination monte à un degré plus élevé qu’elle ne doit. Plusieurs habiles Géomètres ont senti cet inconvénient et ont donné des moyens de l’éviter ; c’est ce que MM. Euler, Cramer, Bezout et d’autres ont fait par des méthodes qui leur sont propres, et qu’on peut voir dans les Mémoires de cette Académie pour les années 1748 et 1764, dans ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1764, dans l’Ouvrage de M. Cramer qui a pour titre Introduction à l’analyse des lignes courbes, et ailleurs.

La méthode que je vais exposer ici a l’avantage de réduire l’élimination des inconnues à des formules générales et très-simples dont les Analystes pourront faire usage au besoin.

I.

Soient

(A)

$1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots =0,$

(B)

$1+{\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{3}}}+{\frac {d}{x^{4}}}+\ldots =0,$

les deux équations proposées, dont la première soit d’un degré quelconque $m,$ et la seconde aussi d’un degré quelconque $n.$ Il est évident que quelles que soient les équations données elles peuvent toujours se mettre sous les deux formes précédentes ; car pour cela il n’y a qu’à les diviser, l’une par le coefficient tout connu du dernier terme, et l’autre par la plus haute puissance de l’inconnue.

Je suppose que $1-\alpha x,\ 1-\beta x,\ 1-\gamma x,\ 1-\delta x,\ldots$ soient les facteurs de l’équation (A), en sorte que ${\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\beta }},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\delta }},\ldots$ soient les racines de cette équation ; j’aurai donc

$1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots =(1-\alpha x)(1-\beta x)(1-\gamma x)(1-\delta x)\ldots .$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre,

$\log(1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots )$

$=\log(1-\alpha x)+\log(1-\beta x)+\log(1-\gamma x)+\log(1-\delta x)+\ldots .$

Or on sait que

$\log(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+\ldots ,$

donc on aura aussi

$\left.{\begin{aligned}x\ \ &\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)\\-{\frac {x^{2}}{2}}&\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{2}\\+{\frac {x^{3}}{3}}&\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=\left\{{\begin{aligned}-\ \ x\ \ &(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\ldots )\\-{\frac {x^{2}}{2}}&(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}+\ldots )\\-{\frac {x^{3}}{3}}&(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\delta ^{3}+\ldots )\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

On sait de plus que le carré, le cube, etc., de tout polynôme, tel que $\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots ,$ est aussi un polynôme de la même forme, mais dont le nombre des termes est double, triple, etc., de sorte qu’on peut supposer

${\begin{aligned}\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{2}=&\mathrm {A} '\ +\mathrm {B} 'x\,+\mathrm {C} 'x^{2}\,+\mathrm {D} 'x^{3}\,+\ldots ,\\\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{3}=&\mathrm {A} ''+\mathrm {B} ''x+\mathrm {C} ''x^{2}+\mathrm {D} ''x^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, les coefficients. $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ étant aisés à trouver par la formation actuelle de ces puissances ou par d’autres moyens que nous indiquerons dans la suite.

Donc, si l’on substitue ces valeurs et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \ \,+\beta \ \ +\gamma \ \,+\delta \ \,+\ldots =&-\mathrm {P} ,\\\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}+\ldots =&-2\mathrm {Q} ,\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\delta ^{3}+\ldots =&-3\mathrm {R} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, en ordonnant les termes par rapport aux dimensions de $x,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} x&+\mathrm {\left(B-{\frac {A'}{2}}\right)} x^{2}+\mathrm {\left(C-{\frac {B'}{2}}-{\frac {A''}{3}}\right)} x^{3}+\mathrm {\left(D-{\frac {C'}{2}}-{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}\right)} x^{4}+\ldots \\&=\mathrm {P} x+\mathrm {Q} x^{2}+\mathrm {R} x^{3}+\mathrm {S} x^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, à cause que l’équation doit être identique,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B-{\frac {A'}{2}}} \\\mathrm {R} =&\mathrm {C-{\frac {B'}{2}}-{\frac {A''}{3}}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D-{\frac {C'}{2}}-{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cela posé, je substitue successivement dans l’équation (B) les valeurs de $x$ résultant de l’équation (A), savoir ${\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\beta }},{\frac {1}{\gamma }},\ldots ,$ dont le nombre

est $m\,;$ j’aurai les $m$ équations suivantes

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots =0,\\&1+a\beta +b\beta ^{2}\,+c\beta ^{3}+d\beta ^{4}\,+\ldots =0,\\&1+a\gamma +b\gamma ^{2}\ +c\gamma ^{3}+d\gamma ^{4}\,+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Or il est clair que, pour que les deux équations (A) et (B) aient lieu en même temps, il faut nécessairement qu’une quelconque des $m$ équations (C) ait lieu ; donc, comme il n’y a pas de raison pour que l’une de ces équations doive plutôt avoir lieu que l’autre, il faudra que l’on ait une équation qui renferme toutes les équations (C) et qui ne puisse être vraie qu’en supposant que l’une quelconque de ces dernières équations le soit ; d’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit ne saurait être que le produit de toutes les équations (C), et cette équation sera par conséquent celle qui doit résulter de l’élimination de l’inconnue $x$ dans les deux équations proposées (A) et (B).

Donc, si l’on représente l’équation dont nous parlons par $\Pi =0,$ on aura

${\begin{aligned}\Pi &=\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\beta \,+b\beta ^{2}+c\beta ^{3}\,+d\beta ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\gamma \,+b\gamma ^{2}\,+c\gamma ^{3}\,+d\gamma ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\delta \ +b\delta ^{2}\ +c\delta ^{3}\ +d\delta ^{4}\,+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

le nombre des facteurs étant $m.$ Ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur de $\Pi$ sans connaître les racines, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$

Prenons les logarithmes des deux membres, et nous aurons

${\begin{aligned}\log \Pi &=\log \left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\beta \,+b\beta ^{2}+c\beta ^{3}\,+d\beta ^{4}\,+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\gamma \,+b\gamma ^{2}\,+c\gamma ^{3}\,+d\gamma ^{4}\,+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\delta \ +b\delta ^{2}\ +c\delta ^{3}\ +d\delta ^{4}\ +\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais on a

${\begin{aligned}\log &\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&=\ \alpha \ \left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&+{\frac {\alpha ^{3}}{3}}\left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on suppose que $a',b',c',\ldots ,a'',b'',c''$ soient des quantités formées de $a,b,c,$ comme les quantités $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ le sont de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\log &\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&=\ \alpha \ \,\left(a\ \,+b\ \,\alpha +c\ \,\alpha ^{2}+d\ \,\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\left(a'\,+b'\,\alpha +c'\,\alpha ^{2}+d'\,\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&+{\frac {\alpha ^{3}}{3}}\left(a''+b''\alpha +c''\alpha ^{2}+d''\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

ou bien en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}p=&a,\\q=&b-{\frac {a'}{2}},\\r=&c-{\frac {b'}{2}}+{\frac {a''}{3}},\\s=&d-{\frac {c'}{2}}+{\frac {b''}{3}}-{\frac {a'''}{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\log \left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)=p\alpha +q\alpha ^{2}+r\alpha ^{3}+s\alpha ^{4}+\ldots .$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}\log \left(1+a\beta +b\beta ^{2}+c\beta ^{3}+d\beta ^{4}+\ldots \right)=p\beta +q\beta ^{2}+r\beta ^{3}+s\beta ^{4}+\ldots ,\\\log \left(1+a\gamma +b\gamma ^{2}+c\gamma ^{3}+d\gamma ^{4}+\ldots \right)=p\gamma +q\gamma ^{2}+r\gamma ^{3}+s\gamma ^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Donc, ajoutant ensemble toutes ces quantités, et mettant à la place de $\alpha +\beta +\gamma +\ldots ,\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,$ les quantités $\mathrm {-P,-2Q,-3R} ,\ldots ,$ on aura

$\log \Pi =-p\mathrm {P} -2q\mathrm {Q} -3r\mathrm {R} -\ldots .$

Soit encore, pour abréger,

$\varphi =p\mathrm {P} +2q\mathrm {Q} +3r\mathrm {R} +\ldots ,$

et l’on aura

$\log \Pi =-\varphi ,\quad {\text{d’où}}\quad \Pi =e^{-\varphi },$

et résolvant en série la quantité exponentielle $e^{-\varphi },$ il viendra enfin

$\Pi =1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots .$

Ainsi le Problème est résolu.

II.

Comme la quantité $\Pi$ est le produit de $m$ facteurs tels que

$1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\beta +b\beta ^{2}+c\beta ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\gamma +b\gamma ^{2}+c\gamma ^{3}+\ldots ,$

il est visible qu’elle ne peut contenir d’autres produits des quantités $a,b,c,\ldots$ que ceux dont les dimensions ne passent pas le nombre $m\,;$ d’où il s’ensuit

1^o Que l’équation $\Pi =0,$ ou bien

(D)

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

ne doit contenir aucun terme dans lequel les quantités $a,b,c,\ldots$ forment ensemble des produits de plus de $m$ dimensions.

Or, si l’on met ${\frac {1}{x}}$ au lieu de $x$ dans les équations (B) et (A), elles deviennent celles-ci

${\begin{aligned}1+ax+bx^{2}+cx^{3}+dx^{4}+\ldots &=0,\\1+{\frac {\mathrm {A} }{x}}+\,{\frac {\mathrm {B} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} }{x^{3}}}+\,{\frac {\mathrm {D} }{x^{4}}}+\ldots &=0,\end{aligned}}$

lesquelles ne diffèrent des équations (A) et (B) qu’en ce que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont changés en $a,b,c,$ et l’exposant $m$ en $n,$ et vice versâ ; donc, si l’on fait sur ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous avons faites sur les équations (A) et (B), on parviendra à une équation imale qui sera la même que l’équation (D) ci-dessus, à la seule différence près que $a,b,c,$ seront au lieu de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ et réciproquement ; et l’on prouvera de même, à l’égard de cette équation, que les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ ne sauraient former ensemble des produits de plus de $n$ dimensions.

Or, en changeant $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ en $a,b,c,\ldots ,$ on ne fait que changer $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ en $p,q,r,$ et vice versâ, comme on le voit par les expressions de ces quantités donc, comme

$\varphi =p\mathrm {P} +2q\mathrm {Q} +3r\mathrm {R} +\ldots ,$

il s’ensuit que l’équation finale dont il s’agit sera exactement la même que l’équation (D) ; d’où je conclus :

2^o Que l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

ne doit pas non plus contenir aucun terme où les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ se trouvent formant ensemble des produits de plus de $n$ dimensions.

III.

Voici donc à quoi se réduit notre méthode d’élimination. Étant proposées les équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots &=0,\\1+\ {\frac {a}{x}}+\ \ {\frac {b}{x^{2}}}+\,\ {\frac {c}{x^{3}}}+\ {\frac {d}{x^{4}}}+\ldots &=0,\end{aligned}}$

dont la première soit du degré $m,$ et la seconde du degré $n,$ on commencera par former les quantités $\mathrm {A',B',C',D',\ldots ,A'',B'',C'',D'',\ldots ,}$$\mathrm {A''',B'''} ,$$\mathrm {C''',D'''} ,\ldots ,$ lesquelles sont les coefficients des séries qui expriment le

carré, le cube, la quatrième puissance, etc., de la série

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$

et l’on poussera cette opération jusqu’à la $n$^ième puissance. On formera ensuite de la même manière les quantités $a',b',c',d',\ldots ,a'',b'',c'',d'',\ldots ,$$a''',b''',$$c''',d''',\ldots$ jusqu’à la puissance $m\,;$ et pour cela il suffira de changer, dans les valeurs correspondantesde $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots ,$ les quantités $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ en $a,b,c,d,\ldots .$

Ayant ainsi toutes ces quantités, on les substituera dans la quantité

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {\left(B-{\frac {A'}{2}}\right)} \left(b-{\frac {a'}{2}}\right)\\&+3\mathrm {\left(C-{\frac {B'}{2}}+{\frac {A''}{3}}\right)} \left(c-{\frac {b'}{2}}+{\frac {a''}{3}}\right)\\&+4\mathrm {\left(D-{\frac {C'}{2}}+{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}\right)} \left(d-{\frac {c'}{2}}+{\frac {b''}{3}}-{\frac {a'''}{4}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

et l’on fera ensuite l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+{\frac {\varphi ^{4}}{2.3.4}}-\ldots =0,$

en observant de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de plus de $n$ dimensions, ou des produits de $a,b,c,$ de plus de $m$ dimensions ; on aura, par ce moyen, l’équation qui résulte de l’élimination de l’inconnue $x$ dans les deux équations proposées.

IV.

À l’égard des coefficients $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots ,$ on doit les déterminer à l’ordinaire par la formation des différentes puissances de $\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots \,;$ mais, comme le calcul des puissances fort haute serait assez laborieux, on peut l’abréger par la formule suivante, dont la démonstration se tire du calcul différentiel. Soit, en général,

$\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}+\ldots \right)^{n}=\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\mathrm {S} x^{3}+\mathrm {T} x^{4}+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ^{n},\\\mathrm {Q} =&{\frac {n\mathrm {BP} }{\mathrm {A} }},\\\mathrm {R} =&{\frac {(n-1)\mathrm {BQ} +2n\mathrm {CP} }{2\mathrm {A} }},\\\mathrm {S} =&{\frac {(n-2)\mathrm {BR} +(2n-1)\mathrm {CQ} +3n\mathrm {DP} }{3\mathrm {A} }},\\\mathrm {T} =&{\frac {(n-3)\mathrm {BS} +(2n-2)\mathrm {CR} +(3n-1)\mathrm {DQ} +4n\mathrm {EP} }{4\mathrm {A} }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et il est très-aisé de voir la loi de cette série, et de la continuer autant qu’on voudra.

Si l’on ne voulait pas faire dépendre les coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les uns des autres, on pourrait les déterminer immédiatement de la manière suivante.

Qu’on cherche, par exemple, le coefficient de $x^{m}$ dans la puissance $n$ du polynôme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$

je dis :

1^o Que ce coefficient sera formé de tous les termes qui peuvent être représentés par $\mathrm {A} ^{p},\mathrm {B} ^{q},\mathrm {C} ^{r},\mathrm {D} ^{s}\ldots ,$ $p,q,r,s,\ldots$ étant des nombres entiers positifs, et tels que

$p+q+r+s+\ldots =n\quad {\text{et}}\quad q+2r+3s+\ldots =m\,;$

2^o Que chacun de ses termes aura pour coefficients numérique

${\frac {1.2.3.4.5\ldots n}{(1.2.3\ldots p)(1.2.3\ldots q)(1.2.3\ldots r)\ldots }}.$

La démonstration de ce théorème est aisée à tirer de la théorie des combinaisons, et nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.

V.

Exemple I. Que l’on ait à éliminer $x$ des deux équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}=&0,\\1+\ {\frac {a}{x}}\,+\ {\frac {b}{x^{2}}}=&0,\\\end{aligned}}$

on trouvera, en faisant le carré de $\mathrm {A+B} x,$

$\mathrm {A'=A^{2},\quad B'=2AB,\quad C'=B^{2}} ,$

et de même donc

$a'=a^{2},\quad b'=2ab,\quad c'=b^{2},$

donc

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {\left(B-{\frac {A^{2}}{2}}\right)} \left(b-{\frac {a^{2}}{2}}\right)+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2},\\=&\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b-\mathrm {A} ^{2}b-\mathrm {B} a^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Donc, en négligeant les produits de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ aussi bien que ceux de $a$ et $b,$ qui seraient de plus de deux dimensions, on aura

${\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\mathrm {A} ^{2}a^{2}+4\mathrm {AB} ab+4\mathrm {B} ^{2}b^{2},\\\varphi ^{3}&=0,\\\varphi ^{4}&=0,\\\ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs dans l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-\ldots =0,$

on aura

$1-\mathrm {A} a-2\mathrm {B} b+\mathrm {A} ^{2}b+\mathrm {B} a^{2}-\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2}=0.$

VI.

Au reste, on peut encore trouver la valeur de $\varphi$ d’une manière plus simple sans être obligé de calculer les quantités $\mathrm {A',B',C',\ldots A'',B'',C''} ,\ldots$

Pour cela, on remarquera que

$\varphi =\mathrm {P} p+2\mathrm {Q} q+3\mathrm {R} r+4\mathrm {S} s+\ldots ,$

de sorte que la difficulté se réduit à trouver les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ et $p,q,r,\ldots$

Or il est facile de voir par l’Article I que

$\log \left(1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots \right)=\mathrm {P} x+\mathrm {Q} x^{2}+\mathrm {R} x^{3}+\mathrm {S} x^{4}+\ldots .$

Qu’on différentie cette équation en faisant varier $x,$ et l’on aura, après avoir divisé par $dx,$

${\frac {\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3\mathrm {C} x^{2}+\ldots }{1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots }}=\mathrm {P} +2\mathrm {Q} x+3\mathrm {R} x^{2}+4\mathrm {S} x^{3}+\ldots .$

Donc, multipliant en croix et comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\mathrm {P} ,\\2\mathrm {B} &=\mathrm {2Q+AP} ,\\3\mathrm {C} &=\mathrm {3R+2AQ+BP} ,\\4\mathrm {D} &=\mathrm {4S\,+3AR\,+2BQ+CP} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {\frac {2B-AP}{2}} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {\frac {3C-2AQ-BP}{3}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {\frac {4D-3AR-2BQ-CP}{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ayant déterminé ainsi les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ par les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ on changera ces dernières en $a,b,c,\ldots ,$ et l’on aura les valeurs des quantités $p,q,r,\ldots .$

On se souviendra seulement de rejeter dans les expressions de $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q,R} ,\ldots$ les termes où $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ formeraient des produits de plus de $n$ dimensions, et dans celles de $p,q,r,\ldots$ les termes où $a,b,c,\ldots$ formeraient des produits de plus de $m$ dimensions.

VII.

Si l’on met, pour plus de simplicité, $\mathrm {2Q,3R,4S} ,\ldots$ au lieu de $\mathrm {Q,R,S} ,\ldots$ et de même $2q,3r,4s,\ldots$ au lieu de $q,r,s,\ldots$ la valeur de $\varphi$ deviendra

$\varphi =\mathrm {P} p+{\frac {\mathrm {Q} q}{2}}+{\frac {\mathrm {R} r}{3}}+{\frac {\mathrm {S} s}{4}}+\ldots ,$

et l’on aura pour la détermination de $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les formules suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {2B-AP} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {3C-BP-AQ} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {4D-CP-BQ-AR} ,\\\mathrm {T} =&\mathrm {5E-DP-CQ-BR-AS} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il en sera de même pour les quantités $p,q,r,\ldots ,$ en changeant seulement $\mathrm {A}$ en $a,$ $\mathrm {B}$ en $b,$ $\mathrm {C}$ en $c,$ et l’équation sera, comme ci-dessus,

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

dans laquelle il ne faudra conserver que les termes où les dimensions des produits de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront égales ou plus petites que $n,$ et ceux où les dimensions des produits de $a,b,c,$ seront égales ou plus petites que $m.$

VIII.

Exemple II. On propose d’éliminer $x$ des équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}=&0,\\1+\ {\frac {a}{x}}\,+\ {\frac {b}{x^{2}}}+\,\ {\frac {c}{x^{3}}}=&0,\\\end{aligned}}$

On trouvera d’abord

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {2B-A^{2}} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {3C-3AB+A^{2}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {-4AC-2B^{2}+4A^{2}B} ,\\\mathrm {T} =&\mathrm {-5BC+5A^{2}C+5AB^{2}} ,\\\mathrm {U} =&\mathrm {-3C^{2}+12ABC+2B^{2}} ,\\\mathrm {V} =&\mathrm {7AC^{2}+7B^{2}C} ,\\\mathrm {W} =&\mathrm {8BC^{2}} \,;\end{aligned}}$

donc on aura

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+{\frac {1}{2}}\mathrm {\left(2B-A^{2}\right)} \left(2b-a^{2}\right),\\&+{\frac {1}{3}}\mathrm {\left(3C-3AB+A^{2}\right)} \left(3c-3ab+a^{2}\right),\\&+{\frac {1}{4}}\mathrm {\left(-4AC-2B^{2}+4A^{2}B\right)} \left(-4ac-2b^{2}+4a^{2}b\right),\\&+{\frac {1}{5}}\mathrm {\left(-5BC+5A^{2}C+5AB^{2}\right)} \left(-5bc+5a^{2}c+5ab^{2}\right),\\&+{\frac {1}{6}}\mathrm {\left(-3C^{2}+12ABC+2B^{2}\right)} \left(-3c^{2}+12abc+2b^{2}\right),\\&+{\frac {1}{7}}\mathrm {\left(7AC^{2}+7B^{2}C\right)} \left(7ac^{2}+7b^{2}c\right),\\&+{\frac {1}{8}}8\mathrm {BC} ^{2}\times 8bc^{2}.\end{aligned}}$

Or, en rejetant les termes où $\mathrm {A,B,C}$ et $a,b,c$ sont des produits de plus de deux dimensions, et ordonnant les autres par rapport aux dimensions de ces mêmes quantités, on aurait

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c\\&-\mathrm {B} a^{2}-3\mathrm {C} ab-b\mathrm {A} ^{2}-3c\mathrm {AB} \\&+{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {\left(2AC+B^{2}\right)} \left(2ac+b^{2}\right)+5\mathrm {BC} bc+{\frac {3}{2}}\mathrm {C} ^{2}c^{2},\end{aligned}}$

d’où je tire, en ne conservant que les produits de trois ou d’un moindre

nombre de dimensions,

$\varphi ^{2}=(\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c)^{2}$

$+2(\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c)\left[-\mathrm {B} a^{2}-3\mathrm {C} ab-b\mathrm {A} ^{2}-3c\mathrm {AB} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}+3\mathrm {AB} ab\right.$

$\left.+\mathrm {\left(2AC+B^{2}\right)} \left(2ac+b^{2}\right)+5\mathrm {BC} bc+{\frac {3}{2}}\mathrm {C} ^{2}c^{2}\right]$

$+2\left(\mathrm {B} a^{2}+3\mathrm {C} ab\right)(bA^{2}+3c\mathrm {AB} ),$

et

${\begin{aligned}\varphi ^{3}=&(\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c)^{3},\\\varphi ^{4}=&0,\end{aligned}}$

de sorte que l’équation sera

${\begin{aligned}1&-\mathrm {A} a-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left(2B-A^{2}\right)} (2b-a^{2}),\\&-{\frac {1}{3}}\mathrm {\left(3C-3AB+A^{3}\right)} (3c-3ab+a^{3}),\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {\left(-4AC-2B^{2}+4A^{2}B\right)} (-4ac-2b^{2}+4a^{2}b),\\&-{\frac {1}{5}}\mathrm {\left(-5BC+5A^{2}C+5AB^{2}\right)} (-5bc+5a^{2}c+5ab^{2}),\\&-{\frac {1}{6}}\mathrm {\left(-3C^{2}+12ABC+2B^{3}\right)} (-3c^{2}+12abc+2b^{3}),\\&-{\frac {1}{7}}\mathrm {\left(7AC^{2}+7B^{2}C\right)} (7ac^{2}+7b^{2}c)-8\mathrm {BC} ^{2}bc^{2},\\&+(\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c)\end{aligned}}$

$\times \left[{\frac {\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c}{2}}-\mathrm {B} a^{2}-3\mathrm {C} ab-b\mathrm {A} ^{2}-3c\mathrm {A} \mathrm {B} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}\right.$

$\left.+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {\left(2AC+B^{2}\right)} \left(2ac+b^{2}\right)+5\mathrm {BC} bc+{\frac {3}{2}}\mathrm {C} ^{2}c^{2}\right]$

$+\left(\mathrm {B} a^{2}+3\mathrm {C} ab\right)\left(b\mathrm {A} ^{2}+3c\mathrm {AB} \right)-{\frac {1}{2.3}}(\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c)^{3}=0.$

1. Lu à l’Académie le 29 octobre 1767.