SUR LES
COURBES TAUTOCHRONES[1].
(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXI, 1765.)
On appelle en général courbe tautochrone une courbe telle, que si un corps se meut le long de sa concavité, soit en montant, soit en descendant, il emploie toujours le même temps à parcourir un arc quelconque pris du point le plus bas.
M. Huygens ayant démontré, dans son fameux ouvrage intitulé : Horologium oscillatorium, que la cycloïde était la tautochrone des corps pesants dans le vide, cette découverte excita la curiosité des Géomètres, et les engagea à chercher une méthode directe et analytique pour résoudre le Problème du tautochronisme dans une hypothèse quelconque, Problème qui est peut-être un des plus curieux et en même temps des plus difficiles de la Mécanique.
MM. Jean Bernoulli et Euler se sont particulièrement appliqués à cette recherche, et ont donné presque en même temps, l’un dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1730, et l’autre dans le tome IV des Commentaires de l’Académie de Pétersbourg, et ensuite dans le second volume de sa Mécanique, des méthodes très-ingénieuses pour déterminer les tautochrones dans un milieu résistant, comme le carré de la vitesse, et dans quelque hypothèse de pesanteur que ce soit. Ces méthodes, qui sont les mêmes quant au fond, consistent à faire en sorte que l’expression générale du temps
devienne égale à une fonction de dimension nulle de deux quantités quelconques, l’une constante
et l’autre variable
telles qu’en faisant
on ait le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à sa fin. Car alors la quantité
qui dépend de l’arc total que le corps doit parcourir, s’évanouit nécessairement de la formule
lorsque
et par conséquent l’expression du temps se trouve entièrement indépendante de la longueur de cet arc. Or, pour cela il suffit que la quantité différentielle
soit elle-même une fonction de dimension nulle de
et de
comme par exemple
et d’autres semblables ; condition à laquelle il n’est pas difficile de satisfaire lorsqu’on peut avoir l’expression de la vitesse
ce qui arrive quand la résistance est nulle et quand elle est proportionnelle au carré de la vitesse ; mais il n’en est pas tout à fait de même dans les autres cas où l’équation en
n’est point intégrable. Aussi les deux grands Géomètres dont nous venons de parler n’ont-ils considéré d’autres hypothèses de résistance que celle du carré de la vitesse, et M. Fontaine est le seul qui ait fait jusqu’ici quelques pas de plus dans cette recherche. Sa méthode est fondée sur un calcul particulier qu’il appelle fluxio-différentiel et qui consiste à faire varier les mêmes quantités de deux manières différentes ; et l’on peut regarder l’ouvrage qu’il a donné sur cette matière comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, et surtout comme celui qui a le plus contribué à la célébrité de cet illustre Mathématicien.
Mais, quelque profonde et quelque ingénieuse que soit cette nouvelle théorie des tautochrones, il faut avouer qu’elle laisse encore beaucoup à désirer. Lorsqu’il n’y a point de résistance, et que par conséquent la force accélératrice du corps est entièrement indépendante de la vitesse, on sait depuis longtemps que le tautochronisisme exige que cette force soit proportionnelle à l’espace qui reste à parcourir. Mais quelle est en général la force nécessaire pour produire le tautochronisisme, en la regardant comme une fonction quelconque de l’espace et de la vitesse ? Voilà le Problème qu’il faut résoudre pour avoir une théorie générale et complète des tautochrones. M’étant occupé de ce Problème, voici la solution que j’en ai trouvée, et qui est, si je ne me trompe, générale et nouvelle.
Solution du Problème des tautochrones.
Soient
la vitesse du corps en un point quelconque de la ligne qu’il décrit,
sa force accélératrice dans ce point,
l’espace qu’il a encore à parcourir, et
l’espace total depuis le point d’où le corps est parti jusqu’à celui où il doit arriver ; on aura, comme on sait (à cause que,
croissant,
diminue), l’équation
![{\displaystyle udu+pdx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b79f43aaedbf08efc3dbd74626f165198ba70f5)
Et le temps que le corps doit employer à parcourir l’espace
sera exprimé par
de sorte qu’en faisant, après l’intégration,
on aura le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à la fin. Or, ce temps doit être indépendant de l’espace parcouru
par la nature du Problème ; donc il faut que la valeur de
soit telle, qu’en faisant
s’évanouisse entièrement.
Soient
une fonction quelconque de
et
une pareille fonction de
il est clair que la condition dont il s’agit aura lieu si, en faisant
et substituant la valeur de
tirée de cette équation dans la formule
cette substitution y fait disparaître la quantité
et la réduit à n’être qu’une fonction de
car alors la supposition de
donnera
et par conséquent
de sorte que la formule
aura dans ce cas une valeur déterminée et indépendante de
Donc, si l’on différentie cette formule en faisant varier
et
qu’ensuite on suppose
(
étant une fonction de
ou
et
une pareille fonction de
ou
), et qu’on mette à la place de
sa valeur
il faudra que le coefficient de
soit égal à zéro. Cela posé, comme la vitesse
doit dépendre des deux quantités
et
supposons qu’en les faisant varier toutes deux en même temps on ait la différentielle
![{\displaystyle du=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e348bd6eb1400703e0a103e8c08d82efcb867e9)
il est clair qu’on aura d’abord, en vertu de l’équation ![{\displaystyle udu+pdx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6896309aaffa5cc260b134873938c1b8fe9fc7d)
![{\displaystyle \mathrm {P} =-{\frac {p}{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189354d39c4e6d45daa34c0dbeae5b812d3cfd50)
ensuite la différentielle de
sera, dans la même supposition,
![{\displaystyle {\frac {dx}{u}}-da\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268deb6e11d043cf06a56939667feb955335df5e)
laquelle, en faisant les substitutions convenables, c’est-à-dire en mettant
au lieu de
et
au lieu de
deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} \mathrm {X} 'dz}{u}}+\left({\frac {\mathrm {X} 'z}{u}}-\mathrm {A} '\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\right)d\mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b93a0a86c247cb52a57e104a6b5dfbd15ed4cb)
Donc il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} 'z}{u}}-\mathrm {A} '\int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec39739334739762d623c5e2d0769525e8bb531b)
c’est-à-dire, en remettant pour
sa valeur
et faisant, pour plus de simplicité,
et ![{\displaystyle \mathrm {AA'} =\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e780b68136900cecaeb37962ef82fd73ad675a5)
![{\displaystyle {\frac {\xi }{u}}-\alpha \int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa8524d14636f59f701275b0ebc03a44f0a52a)
D’où, en faisant varier
seul, on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {ud\xi -\xi du}{\alpha dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4093aa81d0fd397b91b65a23f63b134dd2812ad9)
et mettant pour
sa valeur
ou bien ![{\displaystyle -{\frac {p}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f71af2b5cf9cca7c45d444b62ecd5d30756a6fb)
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {{\cfrac {ud\xi }{dx}}+{\cfrac {p\xi }{u}}}{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e8a5d54ff00cb1d1580b332737f1c989896ce5)
De sorte que la valeur complète de
![{\displaystyle du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33341cb51d52b43431e85e57ffceadeb44b04a2)
sera en général
![{\displaystyle du=-{\frac {pdx}{u}}+\left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right){\frac {da}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be2e0d46ed0632730fc3a0f62645f6029bb60ad)
étant une fonction quelconque de
et
une pareille fonction de ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Maintenant, soit
le facteur composé de
et de
qui, multipliant l’équation
![{\displaystyle du+{\frac {pdx}{u}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906b08c1b8a9449d70d768dc4a0098ed73b42ad4)
dans laquelle
est supposé constant, la rendrait intégrable, il est évident que ce même facteur étant regardé comme une fonction de
et
doit aussi rendre intégrable l’équation
![{\displaystyle du+{\frac {pdx}{u}}-\left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right){\frac {da}{\alpha }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2ecc62d09cee3d35a8129e23d8f35a1994a313)
donc il faut que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {ud\xi }{dx}}+{\frac {p\xi }{u}}\right)\left({\frac {udu+pdx}{{\cfrac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi }}+{\frac {da}{\alpha }}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9199ff2309c4ebbe665b62b628d48c783a6e3c54)
soit intégrable ; et comme le terme
est une fonction de
seul, et que les termes
ne contiennent point
mais seulement
et
il s’ensuit : 1o que le multiplicateur commun
doit être une quantité constante, c’est-à-dire que
doit être réciproquement proportionnel à
2o que par conséquent la quantité
doit être une différentielle complète de
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Soit
![{\displaystyle {\frac {u^{2}d\xi }{dx}}+p\xi =r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e52a2aa9bb585d12d608d7925957c698ea859b5)
ce qui donne
![{\displaystyle p={\frac {r}{\xi }}-{\frac {u^{2}d\xi }{\xi dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1b949674a4c5d34efab44557b3ca27298d9931)
et l’on aura la transformée
![{\displaystyle {\frac {\zeta udu-u^{2}d\xi }{\xi r}}+{\frac {dx}{\xi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f02711cefd11d9118bf4a05151986223ef9972)
laquelle, en faisant
se changera en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {u^{2}dy}{ry}}+{\frac {dx}{\xi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3aa6dd14d7e5209361743e95c34ed9307e5cd5)
Or, comme
est une fonction de
il est visible que cette quantité ne saurait être une différentielle complète, à moins que
ne soit une fonction de
seule.
Donc, si l’on dénote par
une fonction quelconque de
, il faudra que l’on ait
c’est-à-dire, à cause de
Donc, en substituant cette valeur de
dans l’équation
on aura
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93ee36890254dde24e8b8b2248d222ce1f18dd4)
Telle est l’expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme, où
peut être une fonction quelconque de
et
une fonction quelconque de
Remarque. — La solution précédente est fondée sur cette considération qu’en faisant
l’expression du temps
doit devenir une fonction de la seule variable
Soit donc
cette fonction ; on aura en général
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{u}}=\Pi (z)+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932119419ebb680847a610c9cd45a61e1de22795)
la constante
devant être telle que
soit nul lorsque
Or, puisque
est une fonction quelconque de
supposons qu’elle devienne
égale à
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
quand
![{\displaystyle x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca7577ee374a03f9415b23289d748ea32535979)
et l’on aura dans ce cas
![{\displaystyle z={\frac {f}{\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401a0209f235ad8a3b796e0fb0171ea4c78904fd)
donc il faudra que
![{\displaystyle \Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right)+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6819465f338ef35e33718d41660516506211d290)
et par conséquent que
![{\displaystyle c=-\Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafc5a1106e4d79ffc535e4f07247741ccd0251a)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{u}}=\Pi (z)-\Pi \left({\frac {f}{\mathrm {A} }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc169d394cb6e1fc60436cc89f28cf93e98efc57)
d’où l’on voit que la valeur de
contiendra nécessairement la quantité
à moins que
ne soit égal à zéro. Donc il faut, pour l’exactitude de la solution, que la fonction
soit telle qu’elle s’évanouisse lorsque
et comme
il faudra aussi que la quantité
devienne nulle dans le même cas.
Exemple. — Supposons
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)=f+g{\frac {\xi }{u}}+h{\frac {\xi ^{2}}{u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9676d7404664a7fe83dcbe8ab42757cb11ddbb)
étant des constantes quelconques, nous aurons
![{\displaystyle p=h\xi +gu+\left({\frac {f}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right)u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8107fbfbcfcf7a97e93118b4217abafd58c555)
Soit
en sorte que
![{\displaystyle p=h\xi +gu+ku^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91efb037a6a6a72fc79c90cc8947759de4e334a8)
et l’on trouvera par l’intégration
![{\displaystyle \xi =\mathrm {C} e^{-kx}+{\frac {f}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc864957918d1a872a250f5283adf3b1b2c84cf)
étant une constante arbitraire qu’on déterminera par la condition que
lorsque
(Remarque précédente) ; de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} =-{\frac {f}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049256762e9f21f1824edb5c5c523e3cfc31901a)
et par conséquent
![{\displaystyle \xi =f{\frac {1-e^{-kx}}{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd563d5f27b75e0b715676ddc22b6ff5ad1ac94)
On voit par là que pour que le tautochronisme ait lieu dans un milieu dont la résistance serait en général
il faut que le mobile soit sollicité par une force proportionnelle à
c’est-à-dire à
étant l’espace à parcourir.
Si
c’est-à-dire si la résistance du milieu était simplement proportionnelle à la vitesse, on aurait (en supposant
infiniment petit) la force proportionnelle à
et il en serait de même si la résistance était tout à fait nulle. Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.
Au reste, ces cas sont les seuls où l’on ait pu jusqu’ici déterminer les lois du tautochronisme ; notre méthode donne, comme on voit, le moyen d’étendre cette recherche aussi loin qu’il est possible.
Corollaire I. — C’est une chose digne de remarque que l’expression de la force sollicitatrice qu’on vient de trouver pour le cas de la résistance
ne dépende en aucune manière du terme
de sorte que la même courbe qui est tautochrone dans le vide, ou dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, doit l’être aussi dans un milieu dont la résistance serait proportionnelle à la vitesse, ou en partie aq carré de la vitesse. Pour en trouver la raison, il n’y a qu’à examiner l’expression générale de
et l’on verra que, comme la quantité
exprime une fonction quelconque de
on peut écrire
au lieu de
ce qui donnera simplement dans la valeur de
le nouveau terme
D’où l’on peut conclure en général que toute courbe, qui est tautochrone dans une hypothèse quelconque de force et de résistance, l’est aussi en supposant la résistance augmentée d’une quantité proportionnelle à la vitesse.
Corollaire II. — L’équation
![{\displaystyle pudu+pdx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6db5f5518ef8884f1c4f317de135d762c5b1081)
donne, en mettant pour
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
sa valeur
![{\displaystyle u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ea7b1416d798571de6080b35b68182281655b8)
et faisant, comme ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfdcb77647e8cd8aa0ffe4093c03cc397d63b15)
d’où l’on tirera la valeur de
en
et par conséquent aussi celle de
à cause que ![{\displaystyle u=\xi y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03c9e75c997d7b9b3d37d8c416b1d159d51555a)
Soit
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{y\varphi (y)}}=\Phi (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f97453315d1b7b351738e3ccd0e560299dd82b)
l’intégrale étant prise de manière qu’elle soit nulle lorsque
on aura, en substituant
au lieu de
et intégrant ensuite,
![{\displaystyle \Phi (y)+\log \mathrm {X=C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30d5ac62a1fdfdf1f62e618209bd3fa85412de2)
étant la valeur de
lorsque
Or, puisque
et que
doit être égal à zéro au commencement du mouvement lorsque
et par conséquent
on aura
donc
![{\displaystyle \Phi (y)=\log \mathrm {\frac {A}{X}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a33b97776e2aacbe2edc6d49b63f58a505f7a98)
et faisant ![{\displaystyle \mathrm {X} =z\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed9359bd5bc00e53eed09188bbe807f6a847f06)
![{\displaystyle \Phi (y)=-\log z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3906a4ceff9a920eeb1d899004b812823428657)
Dénotons par
la fonction réciproque de
c’est-à-dire une fonction telle que
et l’on aura
donc
donc
![{\displaystyle {\frac {dx}{u}}={\frac {dx}{\xi \Psi (-\log z)}}={\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} \Psi (-\log z)}}={\frac {dz}{z\Psi (-\log z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4594340af3afc936c2910c71087df6aeabe96510)
quantité qui doit être intégrée de manière qu’elle soit nulle lorsque
Or
est donnée en
par l’équation
donc on connaîtra Cdx aussi la vitesse
et le temps
en
Si l’on veut avoir le temps total
employé à décrire l’arc
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
il faudra faire
![{\displaystyle x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b)
ou bien
![{\displaystyle z=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f5901e0550e54f5184ccc2fc83627dbb2bdf2e)
et comme l’expression du temps est une fonction de
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
seul, il est clair que le temps total sera indépendant de la longueur de l’arc parcouru
Corollaire III. — Soit
le temps employé à parcourir un arc quelconque
pris du point où le corps commence à se mouvoir, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle dt=-{\frac {dx}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e19de81f08d60cb764e4827d11ac9adcb1e58f)
et comme
on aura
![{\displaystyle dt=-{\frac {dx}{\xi y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab69fe408c516d87a54da202254129a6c1637d87)
et mettant au lieu de
valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfdcb77647e8cd8aa0ffe4093c03cc397d63b15)
il viendra
![{\displaystyle dt={\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3350ceadcc170906cf4ebd962c39b750d6d9a54d)
Or, au commencement du mouvement, on a
et
donc
et à la fin on a
et par conséquent aussi
(par la Remarque précédente), donc
Ainsi, pour déterminer le mouvement du corps, il n’y a qu’à intégrer les équations
![{\displaystyle {\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0,\quad {\text{et}}\quad dt={\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09221313e16a068faea73da5df6ab921f99df7b0)
de manière que
soit nulle lorsque
et
et l’on aura
en
et
en
ou bien, à cause de
on aura
en
et
en
et
À l’égard du temps total, on le trouvera en faisant, dans l’expression de
![{\displaystyle y=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41dfa1aa4a75080507cf4617726153a0bd9da4f)
Corollaire IV. — Soit, comme dans l’exemple ci-dessus,
![{\displaystyle \varphi (y)=f+{\frac {g}{y}}+{\frac {h}{y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \xi =f{\frac {1-e^{-kx}}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941b275c53896bcb17c6906781ad76cba10efb74)
en sorte que la résistance du milieu soit
![{\displaystyle gu+ku^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37e9d517b709c0b401ad9b8c0fe7ec3984afceb)
et la force sollicitatrice
![{\displaystyle hf{\frac {1-e^{-kx}}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffd2281759863adb5522b995442954c9b5d6379)
l’équation
![{\displaystyle {\frac {dy}{y\varphi (y)}}+{\frac {dx}{\xi }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc978a013f279a93b5e29eaaa9e94c4e05f221f)
deviendra
![{\displaystyle {\frac {dy}{fy+g+{\cfrac {h}{y}}}}+{\frac {kdx}{f\left(1-e^{-kx}\right)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0ae3df366809834e24210f80da962bc7f43b7d)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {ydy}{h+gy+fy^{2}}}+{\frac {ke^{kx}dx}{f\left(e^{kx}-1\right)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a3fb26db624356f65dc907e692d97d35156c3b)
dont l’intégrale, prise de manière que
lorsque
est
![{\displaystyle \log {\frac {h+gy+fy^{2}}{h}}-{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79b0c069b6d8a119661b517cbaa1bb406133ed6)
![{\displaystyle \times \left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right)+{\frac {1}{f}}\log {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020f2211f1c0d48d79872b60ed82e5a1afd8d423)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}{\sqrt {1+{\frac {g}{h}}y+{\frac {f}{h}}y^{2}}}={\frac {e^{{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}}{e^{{\frac {g}{2f{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1be30fbd72b48d060a6db2e00f599b06ec04a16)
d’où l’on tirera la valeur de
en
Ensuite on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&fy{\frac {1-e^{kx}}{k}},\\t=&\int {\frac {dy}{y^{2}\varphi (y)}}=\int {\frac {dy}{h+gy+fy^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c889f7baae9714778b9d923e9ac2e9b9c9273763)
c’est-à-dire, en intégrant de manière que
lorsque ![{\displaystyle y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5a09dd8418fea11ba6000cc2e4ecf0f533bcf3)
![{\displaystyle t={\frac {1}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy+{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb134c3226fe925f0c7801a9f7e4388eeb0ddbd)
Faisant
![{\displaystyle y=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee23d78668f990743d92be29ffa33f3aff2546ef)
on aura le temps total égal à
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\left({\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {{\frac {1}{2}}g}{\sqrt {fh-{\frac {1}{4}}g^{2}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d169c05bf4abf234bdd98b0d4342d08f2a9e8be)
étant l’angle de
degrés.
Soit
on aura
![{\displaystyle {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}}{\sqrt {1+{\frac {fy^{2}}{h}}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e6b4572b15e05072e2f57f322e14f9039e72fa)
d’où
![{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {fy^{2}}{h}}}}={\frac {e^{ka}-1}{e^{kx}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878eaef37d9c57b72669c0563f6126a4fd5acd98)
On aura de plus
![{\displaystyle t={\frac {1}{\sqrt {fh}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy}{\sqrt {fh}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0438d7263e209bda4c6d540f7e957540cd8ee689)
Or
![{\displaystyle \operatorname {arc} \operatorname {tang} {\frac {fy}{\sqrt {fh}}}=\operatorname {arc} \cos {\frac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {fy^{2}}{h}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b6ce568122ed2e7c265537b897507c79e63b33)
donc
![{\displaystyle t={\frac {1}{fh}}\operatorname {arc} \cos {\frac {e^{kx}-1}{e^{ka}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c0a6b6bef5cd30c525b1acc0e4cd47b05dc2e4)
et faisant
on aura pour le temps total
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {fh}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc37361d2e860990e19f1665eed9ab04c7faa8e)
Scolie. — Si l’on voulait que le temps employé à parcourir l’espace
fût proportionnel à
le Problème pourrait se résoudre de la même manière, en supposant
(
étant une fonction quelconque de
), ce qui donnerait par la différentiation
![{\displaystyle {\frac {d\int {\cfrac {dx}{u}}}{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}+{\frac {md\mathrm {A} }{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a4ce37e9a5780c96fb6997060047575baacbcc)
c’est-à-dire, en substituant à la place de la différence de
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03ffd54487ab41bcd547f666815150a3b59b1d1)
sa valeur trouvée dans le Problème précédent,
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {\mathrm {AX'} dz}{u}}+\left({\cfrac {\mathrm {X} 'z}{\mathrm {Z} }}-\mathrm {A} '\int {\cfrac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}\right)d\mathrm {A} }{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}+{\frac {md\mathrm {A} }{\mathrm {A} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599434f05e3c3997b4585c762f0d8848241560a3)
Donc, comparant ensemble les termes de ![{\displaystyle d\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c67fc455bfd35e93d93a15a602836fa37556fd4)
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {\mathrm {X} 'z}{\mathrm {Z} }}-\mathrm {A} '\int {\cfrac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}}{\int {\cfrac {dx}{u}}}}={\frac {m}{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4992efe8e365ad5133d651d81509817e86e4a183)
c’est-à-dire, en multipliant par
et substituant
à la place de
à la place de
et
à la place de ![{\displaystyle \mathrm {AA} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb6cd49dab9a0127f767573d933be1d9a4c0777)
![{\displaystyle {\frac {\xi }{u}}-\alpha \int {\frac {\mathrm {Q} dx}{u^{2}}}=m\int {\frac {dx}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22419a0077a1bd60e10bbe1ecf1a33e950b32107)
d’où, en différentiant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {u(d\xi -mdx)-\xi du}{\alpha dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323d06b77d1288ea4a7ac69fc0dbc10cd053f935)
ou bien, à cause de ![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69f0f976e098a14e3dda4b66170e26194369bfa)
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {u\left({\cfrac {d\xi }{dx}}-m\right)+{\cfrac {p\xi }{u}}}{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67062fec6f35eabb74e493412e694afd2dd0c78d)
Ainsi on trouvera que la quantité
![{\displaystyle {\frac {udu+pdx}{u^{2}\left({\cfrac {d\xi }{dx}}-m\right)+p\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb8186da2eb8e701cc5920a55eb4e352c5ddb65)
doit être une différentielle complète ; de sorte qu’en faisant
![{\displaystyle u^{2}\left({\frac {d\xi }{dx}}-m\right)+p\xi =r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03363e36a7b46dfd3b74861680fafd64bf69f8ec)
la question se réduira à rendre la quantité
![{\displaystyle {\frac {\xi udu-u^{2}(d\xi -mdx)}{\xi r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b89fe89b761335934ff203185161714104644c)
une différentielle exacte.
Qu’on mette
à la place de
et qu’on divise le haut et le bas de la fraction par
elle se changera en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {du}{u}}-{\cfrac {d\xi }{\xi }}+{\cfrac {md\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}}{\cfrac {r}{u^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022b99b12a3e5a2f2b29663655b81925b0522547)
c’est-à-dire en
![{\displaystyle {\frac {d\log {\cfrac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}}{\cfrac {r}{u^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f88f3752a4e52a478708f521e2882960ee3e418)
d’où l’on voit que
doit être une fonction de
c’est-à-dire de
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r=u^{2}\varphi \left({\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a770f2c9f847bd3c8a9adad1e6720bf0a01795c7)
et par conséquent
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}+{\frac {m}{\xi }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9504176663efcbf4e16917c05c6e1407ed55c3fc)
À l’égard de la valeur de
on la déterminera par le moyen de l’équation
laquelle donne
Au reste, on prouvera encore ici, comme on a fait dans la Remarque précédente, que la valeur de
doit être nulle lorsque ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Soit
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {u\mathrm {X} ^{m}}{\xi }}\right)=f+{\frac {h\xi ^{2}}{u^{2}\mathrm {X} ^{2m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0d4970103aa16c68e59f78029011c2433f6649)
on aura
![{\displaystyle p={\frac {h\xi }{\mathrm {X} ^{2m}}}+u^{2}\left({\frac {f+m}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d8911f5e76dcd21b332e57ff3348cf34b9bc62)
et faisant
![{\displaystyle {\frac {f+m}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5030daa7a22cbf80fa08ccd5a921153ae632071)
on aura
![{\displaystyle \xi ={\frac {f+m}{k}}\left(1-e^{-kx}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8edcb609a61d596bd5f85fa589e3031c0dce7b)
donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}={\frac {dx}{\xi }}={\frac {ke^{kx}dx}{(f+m)\left(e^{kx}-1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a483d197aa78582617d49ee0e93b5cdae83dbcfb)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \log \mathrm {X} ={\frac {1}{f+m}}\log {\frac {e^{kx}-1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb153bfbadd7dad5c113d879a303727aafdc90b)
et ensuite
![{\displaystyle \mathrm {X} =\left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{\frac {1}{f+m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd483a10381a8f9ff293beb72643d1c9cb8da7)
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {m}{f+m}}=n\quad {\text{et}}\quad h(f+m)=g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cde845699d715ecbd0b783dad2b2108dc1ee4cf)
on aura
![{\displaystyle p=ge^{-kx}\left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{1-2n}+ku^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51670ab5f66f6a1a68b8922595930846614dce1e)
et le temps total employé à parcourir l’espace
sera proportionnel à ![{\displaystyle \left({\frac {e^{kx}-1}{k}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17e7fc69dc4b932716817ebe6f01ba7888dc6d8)
Si
alors
et le temps total devient proportionnel à
En examinant la solution que nous venons de donner du Problème des tautochrones, il est aisé de voir qu’elle se réduit à faire en sorte que l’élément du temps
soit de cette forme
dénotant une fonction quelconque de
, et
étant égal à
En effet, puisque au commencement du mouvement on a
et à la fin
et par conséquent aussi
(hypothèse), il est clair que le temps total sera égal à l’intégrale de
prise de manière qu’elle soit nulle lorsque
et qu’elle finisse lorsque
et qu’ainsi il sera tout à fait indépendant de l’arc parcouru, comme la nature du Problème exige.
De là il s’ensuit que l’on peut rendre notre solution beaucoup plus générale en prenant pour y une fonction quelconque de
et de
pourvu qu’elle soit nulle lorsque
et qu’elle soit infinie lorsque
conditions qui peuvent avoir lieu d’une infinité de manières.
Soit donc
une fonction quelconque de
et de
telle, que
quand
et
quand
et soit
qu’on dénote par
une fonction quelconque de
, et l’on aura en général, dans le cas du tautochronisme,
![{\displaystyle dt=\mathrm {Y} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9658ac62b364a4e4062f9dafc49ae6fcf8099e94)
c’est-à-dire, en mettant pour
sa valeur
et pour
![{\displaystyle \mathrm {M} du+\mathrm {N} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670cece4aafa17dba3faa909a17d8e0202d9d3e1)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} \right)dx-\mathrm {YM} du=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788f65d2c1ac1876d578599b5b442f2f8a67548c)
Or l’équation
donne
donc, faisant cette substitution, et divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} +{\frac {\mathrm {YM} p}{u}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f548a9f928d2b910fe3e077d4fa2400427debc1e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle p={\frac {\mathrm {N} u}{\mathrm {M} }}-\mathrm {\frac {1}{MY}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c625e1b82eaf2628998dbb29118aa17e4196c81b)
C’est là, ce me semble, la solution la plus simple et en même temps la plus générale qu’on puisse donner du Problème dont il s’agit.