Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Mémoire sur le passage de Vénus du 3 juin 1769

Joseph-Louis Lagrange

Mémoire sur le passage de Vénus du 3 juin 1769

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 335-374).

MÉMOIRE
SUR
LE PASSAGE DE VÉNUS
DU 3 JUIN 1769^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXII, 1766.)

Personne n’ignore les grands avantages que l’Astronomie peut retirer des observations des passages de Vénus sur le disque du Soleil. Non-seulement elles servent à rectifier les principaux éléments de la théorie de cette planète, elles sont encore très-utiles pour déterminer la parallaxe du Soleil, qui est, comme on sait, un des points fondamentaux de la Physique céleste. Le passage qui a été observé en 1761 a déjà beaucoup diminué l’incertitude où l’on était sur la vraie quantité de cette parallaxe ; mais c’est à celui que nous attendons, et qui sera le dernier qu’on puisse voir dans ce siècle, à la fixer d’une manière bien certaine et irrévocable. Cette considération m’a engagé à discuter dans ce Mémoire les moyens que l’observation de ce phénomène peut fournir de décider un point si important. On y verra : 1^o  comment on peut calculer l’effet que les parallaxes combinées de deux astres quelconques doivent produire sur la distance de ces deux astres ; 2^o on y trouvera une méthode très-simple et très-commode pour déterminer en général, dans les passages des planètes sur le Soleil, les parallaxes d’entrée, de sortie et de durée pour tous les pays de la Terre ; 3^o une méthode pour déduire la parallaxe du Soleil de trois observations d’un même passage faites dans trois endroits différents, indépendamment de la connaissance du mouvement de la planète ; 4^o enfin \thetan y trouvera l’application de notre théorie au passage de Vénus qui doit arriver le 3 juin 1769 au soir, avec quelques remarques relatives au choix des lieux où il pourra être observé avec le plus de fruit.

§ I. — De la parallaxe de distance des astres en général.

1. Soient $\mathrm {T}$ le centre de la Terre (fig. 1), $\mathrm {TAC}$ le plan de l’équateur, $\mathrm {TA}$ une ligne qui passe par le premier méridien pris à volonté, $\mathrm {S}$ un

Fig. 1.

astre quelconque, $\mathrm {SC}$ une perpendiculaire au plan de l’équateur, $\mathrm {CB}$ une perpendiculaire à la ligne $\mathrm {TA,\ TS}$ une ligne qui joigne les deux points $\mathrm {T}$ et $\mathrm {S} ,$ et $\mathrm {TC}$ une autre ligne qui passe par les points $\mathrm {T}$ et $\mathrm {C} \,;$ soient nommées ensuite

$\mathrm {TB}$

$l\qquad$

$\mathrm {BC}$

$m\qquad$

$\mathrm {CS}$

$n\qquad$

La distance $\mathrm {TS}$ de l’astre $\mathrm {S}$ au centre de la Terre.

$r\qquad$

L’angle $\mathrm {STC} ,$ qui exprime la déclinaison de l’astre $\mathrm {S}$

$p\qquad$

L’angle $\mathrm {CTA} ,$ qui représente la distance du même astre au premier méridien de la Terre ( cette distance n’est autre chose que l’angle horaire de l’astre par rapport au méridien donné) $\ldots \ldots \ldots \ \ q$

Il est clair : 1^o que les trois quantités $l,m,n$ pourront être regardées comme les coordonnées orthogonales qui déterminent la position du point $\mathrm {S}$ relativement au point $\mathrm {T} \,;$ 2^o qu’on aura

$l=r\cos p\cos q,\quad m=r\cos p\sin q,\quad n=r\sin p.$

2. Soient maintenant $\mathrm {L}$ un point quelconque de la surface de la Terre (fig. 2), $\mathrm {LM}$ une perpendiculaire au plan de l’équateur $\mathrm {TAM} ,$ et $\mathrm {MN}$ une

Fig. 2.

perpendiculaire à la ligne $\mathrm {TA} ,$ et soient nommées

$\mathrm {TN}$

$\lambda \quad \qquad$

$\mathrm {NM}$

$\mu \quad \qquad$

$\mathrm {ML}$

$\nu \quad \qquad$

le rayon $\mathrm {TL}$ de la Terre

$\rho \quad \qquad$

l’angle $\mathrm {LTM} ,$ c’est-à-dire la latitude terrestre du lieu L

$\psi \quad \qquad$

l’angle $\mathrm {MTN} ,$ c’est-à-dire la longitude du même lieu

$\varphi \quad \qquad$

Les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ seront les coordonnées rectangles du point $\mathrm {L}$ par rapport au point $\mathrm {T} ,$ et l’on aura, comme ci-dessus,

$\lambda =\rho \cos \psi \cos \varphi ,\quad \mu =\rho \cos \psi \sin \varphi ,\quad \nu =\rho \sin \psi .$

3. Ayant déterminé ainsi la position des points $\mathrm {S}$ et $\mathrm {L}$ par rapport au point $\mathrm {T} ,$ il est facile de déterminer la position respective des points $\mathrm {S}$ et $\mathrm {L} .$

En effet, si l’on dénote par $l',m',n'$ les coordonnées rectangles du point $\mathrm {S}$ par rapport au point $\mathrm {L} ,$ il est visible qu’on aura

$l'=l-\lambda ,\quad m'=m-\mu ,\quad n'=n-\nu \,;$

et si l’on fait, comme ci-dessus,

$l'=r'\cos p'\cos q',\quad m'=r'\cos p'\sin 'q',\quad n'=r'\sin p',$

on verra aisément que $r'$ sera la distance de l’astre $\mathrm {S}$ au lieu $\mathrm {L}$ de la Terre, que $p'$ exprimera la déclinaison apparente de cet astre vue du lieu $\mathrm {L}$ de la Terre, et que $q'$ exprimera la distance apparente du même astre au premier méridien de la Terre par rapport au même point $\mathrm {L} .$

4. Donc, pour déterminer le lieu apparent de l’astre par son lieu vrai, on aura les trois équations suivantes

${\begin{aligned}r'\cos p'\cos q'&=r\cos p\cos q-\rho \cos \psi \cos \varphi ,\\r'\cos p'\sin q'&=r\cos p\,\sin q-\rho \cos \psi \sin \varphi ,\\r'\,\sin p'\ =\ r&\sin p-\rho \sin \psi ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\sin p'=&{\frac {r\sin p-\rho \sin \psi }{\sqrt {r^{2}-2r\rho \left[\cos \psi \cos p\cos(q-\varphi )+\sin \psi \sin p\right]+\rho ^{2}}}}\\\sin q'=&{\frac {r\cos p\sin q-\rho \cos \psi \sin \varphi }{\sqrt {r^{2}\cos ^{2}p-2r\rho \cos \psi \cos p\cos(q-\varphi )+\rho ^{2}\cos ^{2}\psi }}},\end{aligned}}$

ou bien en faisant, pour plus de simplicité, ${\frac {\rho }{r}}$ (c’est-à-dire la parallaxe horizontale de l’astre $\mathrm {S}$) $=i,$ et divisant le haut et le bas de la seconde fraction par $\cos p,$

${\begin{aligned}\sin p'=&{\frac {\sin p-i\sin \psi }{\sqrt {1-2i\left[\cos \psi \cos p\cos(q-\varphi )+\sin \psi \sin p\right]+i^{2}}}}\\\sin q'=&{\frac {\sin q-{\cfrac {i\cos \psi \sin \varphi }{\cos p}}}{\sqrt {1-{\cfrac {2i\cos \psi \cos(q-\varphi )}{\cos p}}+{\cfrac {i^{2}\cos ^{2}\psi }{\cos ^{2}p}}}}},\end{aligned}}$

5. Considérons maintenant un autre astre quelconque $\mathrm {V} ,$ dont

la distance au centre de la Terre soit

$\mathrm {R} \quad \qquad$

la distance au premier méridien terrestre.

$\mathrm {Q} \quad \qquad$

la déclinaison

$\mathrm {P} \quad \qquad$

et supposons que, par rapport au lieu $\mathrm {L}$ de la Terre,

la distance apparente de l’astre $\mathrm {V}$ au premier méridien soit

$\mathrm {Q} '\quad \qquad$

la déclinaison apparente

$\mathrm {P} '\quad \qquad$

on aura, en nommant $\mathrm {I}$ la parallaxe horizontale de cet astre, en sorte que $\mathrm {I} ={\frac {\rho }{\mathrm {R} }},$

${\begin{aligned}\sin \mathrm {P} '=&{\frac {\sin \mathrm {P-I} \sin \psi }{\sqrt {1-2\mathrm {I} \left[\cos \psi \cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -\varphi )+\sin \psi \sin \mathrm {P} \right]+\mathrm {I} ^{2}}}}\\\sin \mathrm {Q} '=&{\frac {\sin \mathrm {Q} -{\cfrac {\mathrm {I} \cos \psi \sin \varphi }{\cos \mathrm {P} }}}{\sqrt {1-{\cfrac {2\mathrm {I} \cos \psi \cos(\mathrm {Q} -\varphi )}{\cos \mathrm {P} }}+{\cfrac {\mathrm {I} ^{2}\cos ^{2}\psi }{\cos ^{2}\mathrm {P} }}}}}.\end{aligned}}$

6. Or, soient $\mathrm {P}$ le pôle de l’équateur (fig. 3), $\mathrm {PS}$ le cercle de déclinaison

Fig. 3.

de l’astre $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {PV}$ le cercle de déclinaison de l’astre $\mathrm {V} ,$ et $\mathrm {VS}$ un grand arc de cercle qui passe par ces deux astres, on aura, dans le triangle $\mathrm {PVS} ,$

$\mathrm {PS} =90^{\circ }-p,\quad \mathrm {PV} =90^{\circ }-\mathrm {P} ,\quad \mathrm {SPV=Q} -q\,;$

donc, nommant $\mathrm {Z}$ la distance $\mathrm {SV}$ de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ on aura

$\cos \mathrm {Z} =\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} .$

De même, si l’on appelle $\mathrm {Z} '$ la distance apparente de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ par rapport au point $\mathrm {L}$ de la Terre, on aura

$\cos \mathrm {Z} '=\cos p'\cos \mathrm {P} '\cos(\mathrm {Q} '-q')+\sin p'\sin \mathrm {P} '.$

Ainsi l’on trouvera les valeurs de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {Z} ',$ dont la différence sera l’effet des parallaxes combinées des deux astres $\mathrm {V}$ et $\mathrm {S} .$

§ II — Simplification des formules précédentes en supposant les parallaxes des astres fort petites, et conséquences qui résultent de ces formules.

7. Supposons que les quantités $i$ et $\mathrm {I}$ soient très-petites (ce qui est vrai en général à l’égard de tous les astres), et nous aurons, en négligeant les termes très-petits du second ordre et des ordres ultérieurs,

${\begin{aligned}\sin p'=&\sin p+i\left[\cos \psi \sin p\cos p\cos(q-\varphi )-\sin \psi \cos ^{2}p\right],\\\sin q'=&\sin q+{\frac {i\cos \psi }{\cos p}}\left[\sin q\cos(q-\varphi )-\sin \varphi \right].\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

$p'=p+ix,\quad q'=q+iy,$

ce qui donne

$\sin p'=\sin p+ix\cos p,\quad \sin q'=\sin q+iy\cos q,$

on aura

${\begin{aligned}x=&\cos \psi \sin p\cos(q-\varphi )-\sin \psi \cos p,\\y=&{\frac {\cos \psi }{\cos p\cos q}}\left[\sin q\cos(q-\varphi )-\sin \varphi \right],\end{aligned}}$

ou bien

$y={\frac {\cos \psi \sin(q-\varphi )}{\cos p}}\,;$

et il est clair que les quantités $ix$ et $iy$ représenteront les parallaxes de déclinaison et d’ascension droite de l’astre $\mathrm {S} .$

8. Si l’on fait de même

$\mathrm {P'=P+IX,\quad Q'=Q+IY} ,$

en sorte que $\mathrm {IX}$ et $\mathrm {IY}$ soient les parallaxes de déclinaison et d’ascension droite de l’astre $\mathrm {V} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\cos \psi \sin \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -\varphi )-\sin \psi \cos \mathrm {P} ,\\\mathrm {Y} =&{\frac {\cos \psi \sin(\mathrm {Q} -\varphi )}{\cos \mathrm {P} }},\end{aligned}}$

et la valeur de $\cos \mathrm {Z} '$ deviendra

${\begin{aligned}\cos \mathrm {Z} '=&\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} \\&+ix\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+\mathrm {IX} \left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\\&+(iy-\mathrm {\mathrm {I} \mathrm {Y} } )\cos p\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q),\end{aligned}}$

où l’on remarquera que

$\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)+\sin p\sin \mathrm {P} =\cos \mathrm {Z} .$

9. Si l’on substitue maintenant, à la place de $x,y,\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ leurs valeurs, et qu’on fasse $\mathrm {I} =ik,$ c’est-à-dire $k={\frac {r}{\mathrm {R} }},$ et

${\begin{aligned}\mathrm {L} =\quad \ \,&\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\cos q\ \ +\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\sin q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} -\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\sin \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {M} =\quad \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin p\sin q\ \ \,-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\cos q\\+k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\sin \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} \,+\cos p\sin(\mathrm {Q} \,-q)\cos \mathrm {Q} ,\\\\\mathrm {N} =-\ \ &\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos p\\-k&[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)]\cos \mathrm {P} ,\end{aligned}}$

on aura la formule suivante

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +i(\mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi ),$

dans laquelle les quantités $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N}$ ne dépendent que de la situation des astres, en sorte qu’elles sont les mêmes pour tous les lieux de la Terre.

10. J’observe présentement que la quantité

$\mathrm {L} \cos \psi \cos \varphi +\mathrm {M} \cos \psi \sin \varphi +\mathrm {N} \sin \psi$

peut se ramener à cette forme

$\gamma [\cos \psi \cos \alpha \cos(\varphi -\beta )+\sin \psi \sin \alpha ]\,;$

car en mettant $\cos \beta \cos \varphi +\sin \beta \sin \varphi$ à la place de $\cos(\varphi -\beta ),$ et com-

parant les termes, on aura

$\gamma \cos \alpha \cos \beta =\mathrm {L} ,\quad \gamma \cos \alpha \sin \beta =\mathrm {M} ,\quad \gamma \sin \alpha =\mathrm {N} ,$

par où il est aisé de déterminer les quantités $\alpha ,\beta$ et $\gamma .$

Or, si par le pôle $\mathrm {P}$ du globe terrestre et par le lieu $\mathrm {L}$ (fig. 4), dont la

Fig. 4.

latitude est $\psi$ et la longitude $\varphi ,$ on décrit un triangle sphérique $\mathrm {PLH}$ tel, que la latitude du point $\mathrm {H}$ soit $\alpha$ et la longitude $\beta ,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {PL} =90^{\circ }-\psi ,\quad \mathrm {PH} =90^{\circ }-\alpha ,\quad \mathrm {HPL} =\varphi -\beta ,$

il est clair qu’en nommant $\zeta$ le côté $\mathrm {LH} ,$ c’est-à-dire la distance entre les lieux $\mathrm {L}$ et $\mathrm {H} ,$ on aura

$\cos \xi =\cos \alpha \cos \psi \cos(\varphi -\beta )+\sin \alpha \sin \psi ,$

et par conséquent

$\gamma \cos \zeta =\mathrm {L\cos \psi \cos \varphi +M\cos \psi \sin \varphi +N\sin \psi } \,;$

donc

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +i\gamma \cos \zeta .$

11. De là on voit que, si du point $\mathrm {H}$ comme pôle on décrit un cercle quelconque sur le globe terrestre, tous les lieux qui se trouveront sous la circonférence de ce cercle verront la même distance apparente des deux astres, et par conséquent seront sujets à la même parallaxe de distance.

Ainsi, nous appellerons dans la suite cercles de parallaxe ces cercles décrits sur le globe, et qui passent par tous les points où la parallaxe de distance est la même, et nous nommerons de même pôle de parallaxe le pôle $\mathrm {H}$ de tous ces cercles, dont nous allons maintenant chercher la position.

12. Les trois équations du n^o 10 se réduisent aisément à celles-ci

${\begin{aligned}&\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=\mathrm {L} \cos q+\mathrm {M} \sin q,\\&\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=\mathrm {M} \cos q-\mathrm {L} \sin q,\\&\gamma \sin \alpha =\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

lesquelles, par la substitution de $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N} ,$ se changent en

$\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=[(\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)]\sin p$

${\begin{aligned}+k\left\{\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\qquad \right.&\\\left.-\cos p\sin ^{2}(\mathrm {Q} -q)\right\},&\end{aligned}}$

$\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)$

${\begin{aligned}+k\left\{\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\sin \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)\qquad \right.&\\\left.+\cos p\sin(\mathrm {Q} -q)\cos(\mathrm {Q} -q)\right\},&\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\gamma \sin \alpha =&-\left[\cos p\sin \mathrm {P} -\sin p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos p\\&-k\left[\cos \mathrm {P} \sin p-\sin \mathrm {P} \cos p\cos(\mathrm {Q} -q)\right]\cos \mathrm {P} ,\end{aligned}}$

ou bien, à cause de

$\cos \mathrm {Z} =\sin p\sin \mathrm {P} +\cos p\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q),$

en celles-ci

${\begin{aligned}\gamma \cos \alpha \cos(\beta -q)=&\cos p\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\\&+k\left[\cos \mathrm {P} \cos(\mathrm {Q} -q)\cos \mathrm {Z} -\cos p\right],\\\gamma \cos \alpha \sin(\beta -q)=&-\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)(1-k\cos \mathrm {Z} ),\\\gamma \sin \alpha =\sin p\cos \mathrm {Z} &-\sin \mathrm {P} +k(\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {Z} -\sin p),\end{aligned}}$

d’où il est facile de tirer les valeurs de $\gamma ,\alpha$ et $\beta -q.$

13. En ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations, on aura d’abord

${\begin{aligned}\gamma ^{2}=&\cos ^{2}\mathrm {Z} -2\cos ^{2}\mathrm {Z} +1+2k\left(\cos ^{3}z+\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {Z} \right)\\&+k^{2}\left(\cos ^{2}\mathrm {Z} -2\cos ^{2}\mathrm {Z} +1\right)=\sin ^{2}\mathrm {Z} \left(1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}\right),\end{aligned}}$

et par conséquent

$\gamma =\sin \mathrm {Z} {\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}.$

Or $k={\frac {r}{\mathrm {R} }}$ (9) ; donc

${\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}={\frac {\sqrt {\mathrm {R^{2}-2R} r\cos \mathrm {Z} +r^{2}}}{\mathrm {R} }}.$

Mais, en considérant le triangle rectiligne $\mathrm {TVS}$ (fig. 5), dans lequel

Fig. 5.

$\mathrm {TS} =r,\ \mathrm {TV=R}$ et $\mathrm {VTS=Z} ,ilestclairque$

$\mathrm {VS} ={\sqrt {\mathrm {R^{2}-2R} r\cos \mathrm {Z} +r^{2}}}\,;$

d’où il s’ensuit que, si l’on nomme $f$ la distance rectiligne de l’astre $\mathrm {V}$ à l’astre $\mathrm {S} ,$ on aura

${\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}={\frac {f}{\mathrm {R} }}.$

Soit donc, pour abréger, $u={\frac {f}{\mathrm {R} }},$ et l’on aura $\gamma =u\sin \mathrm {Z} ,$ et par conséquent

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta .$

Donc, puisque $i$ est une quantité extrêmement petite, on aura à très-peu près

$\cos \mathrm {Z} '=\cos(\mathrm {Z} -iu\cos \zeta ),$

d’où

$\mathrm {Z'=Z} -iu\cos \zeta ,$

de sorte que $-iu\cos \zeta$ sera la parallaxe de distance des deux astres pour tous les lieux de la Terre $\mathrm {L}$ qui sont éloignés du pôle $\mathrm {H}$ de l’arc $\zeta .$

14. Supposons à présent que $\mathrm {P}$ soit le pôle de l’équateur (fig. 6), $\mathrm {S}$ le lieu vrai de l’astre $\mathrm {S} ,$ \mathrm V celui de l’astre $\mathrm {V} ,$ et $\mathrm {H}$ le pôle des parallaxes, nous aurons, dans le triangle $\mathrm {PSV} ,$

$\mathrm {PS} =90^{\circ }-p,\quad \mathrm {PV} =90^{\circ }-\mathrm {P} ,\quad \mathrm {SPV=Q} -q,\quad \mathrm {SV=Z} ,$

Fig. 6.

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et dans le triangle $\mathrm {PSH} ,$

$\mathrm {PH} =90^{\circ }-\alpha ,\quad \mathrm {SPH} =\beta -q,$

par conséquent

$\cos \mathrm {SH} =\sin p\sin \alpha +\cos p\cos \alpha \cos(\beta -q),$

et substituant pour $\sin \alpha$ et $\cos \alpha \cos(\beta -q)$ leurs valeurs tirées des équations du n^o 12,

${\begin{aligned}\cos \mathrm {SH} =&{\frac {\cos \mathrm {Z} -\cos \mathrm {Z} +k\left(\cos ^{2}\mathrm {Z} -1\right)}{\gamma }}\\=&-{\frac {k\sin ^{2}\mathrm {Z} }{\gamma }}=-{\frac {k\sin \mathrm {Z} }{\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en faisant ${\frac {f}{r}}=g,$

$\cos \mathrm {SH} =-{\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}}.$

De plus, on aura

$\sin \mathrm {PSH} ={\frac {sin(\beta -q)\cos \alpha }{sin\mathrm {SH} }},$

et, en substituant la valeur de $\sin(\beta -q)\cos \alpha ,$

$\sin \mathrm {PSH} ={\frac {\cos \mathrm {P} \sin(\mathrm {Q} -q)(k\cos \mathrm {Z} -1)}{\gamma \sin \mathrm {SH} }},$

ou bien, à cause de $\sin \mathrm {PSV} ={\frac {\sin(\mathrm {Q} -q)\cos \mathrm {P} }{\sin \mathrm {Z} }},$

$\sin \mathrm {PSH} ={\frac {\sin \mathrm {Z} (k\cos \mathrm {Z} -1)\sin \mathrm {PSV} }{\gamma \sin \mathrm {SH} }}\,;$

mais

$\sin \mathrm {SH} ={\frac {k\cos \mathrm {Z} -1}{\sqrt {1-2k\cos \mathrm {Z} +k^{2}}}}\,;$

donc

$\gamma \sin \mathrm {SH} =\sin \mathrm {Z} (k\cos \mathrm {Z} -1)\,;$

par conséquent

$\sin \mathrm {PSH=\sin PSV} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {PSH=PSV} \,;$

d’où il s’ensuit que, pour trouver le pôle $\mathrm {H}$ des parallaxes, il n’y a qu’à prolonger l’arc de grand cercle $\mathrm {SV}$ du côté de $\mathrm {V}$ (fig. 7), et prendre sur

Fig. 7.

ce prolongement un arc $\mathrm {SH}$ dont le cosinus soit $-{\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}},$ c’est-à-dire prendre un arc $s$ tel, que $\sin s={\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}},$ et faire ensuite l’arc $\mathrm {SH} =90^{\circ }+s.$

15. Si l’on voulait déterminer la position du pôle $\mathrm {H}$ sur le globe par latitude et par longitude, il n’y aurait qu’à chercher d’abord l’angle $\mathrm {PSV} ,$ c’est-à-dire l’angle que le cercle $\mathrm {SV}$ passant par les deux astres fait avec le cercle de déclinaison $\mathrm {PS}$ de l’astre $\mathrm {S} .$ Soit cet angle $\mathrm {PSV} =\varepsilon ,$ et l’on aura (comme nous l’avons trouvé ci-dessus)

$\sin \varepsilon ={\frac {\sin(\mathrm {Q} -q)\cos \mathrm {P} }{\sin \mathrm {Z} }}.$

Ainsi, dans le triangle $\mathrm {PSH} ,$ connaissant le côté $\mathrm {PS} =90^{\circ }-p,$ le côté $\mathrm {SH} =90^{\circ }+s$ et l’angle $\mathrm {PSH} =\varepsilon ,$ on trouvera le côté $\mathrm {PH} =90^{\circ }-\alpha$ et l’angle $\mathrm {SPH} =\beta -q\,;$ de sorte qu’on aura

$\sin \alpha =\cos p\cos s\cos \varepsilon -\sin p\sin s,$

$\sin(\beta -q)={\frac {\sin s\sin \varepsilon }{\cos p}}.$

16. Imaginons maintenant que les astres $\mathrm {S}$ et $\mathrm {V}$ soient en mouvement, et qu’au bout d’un temps quelconque ils se retrouvent à la même distance $\mathrm {Z}$ l’un de l’autre ; et supposons que les quantités $p,q,\varepsilon ,\alpha ,\beta ,u$ et $\zeta$ deviennent alors $p',q',\varepsilon ',\alpha ',\beta ',u'$ et $\zeta ',$ on aura les mêmes formules qu’auparavant, en marquant simplement ces lettres d’un trait.

Ainsi, la parallaxe de distance sera pour cette nouvelle position des astres $-iu'\cos \zeta '.$

17. Si l’on nomme $\theta$ le mouvement horaire de l’astre $\mathrm {V}$ pour s’approcher de l’astre $\mathrm {S} ,$ lorsque ces deux astres se trouvent pour la première fois a la distance $\mathrm {Z}$ l’un de l’autre, et $\theta '$ le mouvement horaire du même astre $\mathrm {V}$ pour s’éloigner de l’astre $\mathrm {S} ,$ lorsque ces astres se trouvent pour la seconde fois à la même distance, il est clair qu’on aura $-{\frac {iu}{\theta }}\cos \zeta$ et $-{\frac {iu}{\theta }}\cos \zeta '$ pour les deux parallaxes de distance réduites en temps.

De sorte que si $t$ est le temps au bout duquel les astres $\mathrm {V}$ et $\mathrm {S}$ se trouvent pour la première fois à la distance $\mathrm {Z} ,$ et $t'$ celui au bout duquel ils se retrouvent à la même distance par rapport au centre de la Terre, et que $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ soient les temps au bout desquels les mêmes apparences doivent avoir lieu pour un observateur placé en $\mathrm {L} ,$ on aura

$\mathrm {T} =t-{\frac {iu}{\theta }}\cos \zeta ,\quad \mathrm {T} '=t'+{\frac {iu'}{\theta '}}\cos \zeta '.$

18. De là on pourra trouver le temps qui doit s’écouler entre les deux moments où les astres $\mathrm {V}$ et $\mathrm {S}$ paraissent à la même distance $\mathrm {Z}$ l’un de l’autre. Ce temps sera

$\mathrm {T'-T} =t'-t+i\left({\frac {u}{\theta }}\cos \zeta +{\frac {u'}{\theta '}}cos\zeta '\right)\,;$

mais $t'-t$ est le temps par rapport au centre de la Terre ; donc l’effet de la parallaxe sera de

$i\left({\frac {u}{\theta }}\cos \zeta +{\frac {u'}{\theta '}}cos\zeta '\right),$

c’est-à-dire égal à la somme des deux parallaxes de distance.

Soient pour plus de simplicité

${\frac {u}{\theta }}=w\quad {\text{et}}\quad {\frac {u'}{\theta '}}=w',$

en sorte que l’effet de la somme des parallaxes soit exprimé par

$i(w\cos \zeta +w'\cos \zeta ')\,;$

substituons à la place de $\cos \zeta$ sa valeur trouvée (10)

$\cos \alpha \cos \psi \cos(\varphi -\beta )+\sin \alpha \sin \psi ,$

et à la place de $\cos \zeta '$ sa valeur correspondante

$\cos \alpha '\cos \psi \cos(\varphi -\beta ')+\sin \alpha '\sin \psi ,$

et la quantité $w\cos \zeta +w'\cos \zeta '$ deviendra, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}&\left(w\cos \alpha \cos \beta +w'\cos \alpha '\cos \beta '\right)\cos \psi \cos \varphi \\+&\left(w\cos \alpha \sin \beta \,+w'\cos \alpha '\sin \beta '\right)\cos \psi \sin \varphi \\+&(w\sin \alpha +w'\sin \alpha ')\sin \psi .\end{aligned}}$

Donc, si l’on suppose

${\begin{aligned}&\Gamma \cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} =w\cos \alpha \cos \beta +w'\cos \alpha '\cos \beta ',\\&\Gamma \cos \mathrm {A} \sin \mathrm {B} \,=w\cos \alpha \sin \beta +w'\cos \alpha '\sin \beta ',\\&\Gamma \sin \mathrm {A} =w\sin \alpha +w'\sin \alpha ',\end{aligned}}$

on aura

$w\cos \zeta +w'\cos \zeta '=\Gamma \left[\cos \mathrm {A} \cos \psi \cos(\varphi -\mathrm {B} )+\sin \mathrm {A} \sin \psi \right].$

Or, si l’on prend sur le globe terrestre un point $\mathrm {G}$ dont la latitude soit $\mathrm {A}$ et la longitude soit $\mathrm {B} ,$ et qu’on nomme $z$ la distance d’un lieu quelconque de la Terre à ce point $\mathrm {G} ,$ on aura en général

$\cos z=\cos \mathrm {A} \cos \psi \cos(\varphi -\mathrm {B} )+\sin \mathrm {A} \sin \psi \,;$

par conséquent la somme des deux parallaxes de distance par rapport au lieu $\mathrm {L}$ sera exprimée par $i\Gamma \cos z,$ c’est-à-dire d’une manière analogue à celle dont nous avons représenté chacune des deux parallaxes en particulier.

D’où il suit que le point $\mathrm {G}$ du globe terrestre pourra être regardé comme le pôle de la somme des parallaxes, de manière qu’en décrivant autour de ce pôle un cercle quelconque la somme des parallaxes sera la même pour tous les pays qui se trouveront sous la circonférence d’un tel cercle.

19. Les trois équations du numéro précédent donnent d’abord

$\Gamma ^{2}=w^{2}+w'^{2}+2ww'\left[\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta '-\beta )+\sin \alpha \sin \alpha '\right].$

Or, si $\mathrm {P}$ est le pôle du globe terrestre (fig. 8), $\mathrm {H}$ le pôle des parallaxes

Fig. 8.

pour la première situation des astres, $\mathrm {H} '$ le pôle des parallaxes pour la

seconde situation, en sorte que l’on ait

$\mathrm {PH=90^{\circ }-\alpha ,\quad PH'=90^{\circ }-\alpha ',\quad HPH'} =\beta '-\beta ,$

et qu’on nomme $\omega$ la distance $\mathrm {HH} '$ des deux pôles, on aura

$\cos \omega =\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha ',$

et par conséquent

$\Gamma ={\sqrt {w^{2}+2ww'\cos \omega +w'^{2}}}.$

Les mêmes équations donnent ensuite ces deux-ci

${\begin{aligned}\Gamma &\left[\cos \alpha \cos \mathrm {A} \cos(\beta -\mathrm {B} )+\sin \alpha \sin \mathrm {A} \right]\\&=w+w'\left[\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha '\right],\\\Gamma &\left[\cos \alpha '\cos \mathrm {A} \cos(\beta '-\mathrm {B} )+\sin \alpha '\sin \mathrm {A} \right]\\&=w'+w\left[\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha '\right].\end{aligned}}$

Or, en tirant (fig. 8, p. 349) des pôles $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ au pôle $\mathrm {G}$ de la somme des parallaxes, les arcs de grand cercle $\mathrm {HG}$ et $\mathrm {H'G} ,$ et nommant ces arcs $\chi$ et $\chi ',$ on aura

${\begin{aligned}cos\chi \ =&\cos \alpha \ \cos \mathrm {A} \cos(\beta \ -\mathrm {B} )+\sin \alpha \ \sin \mathrm {A} ,\\cos\chi '=&\cos \alpha '\cos \mathrm {A} \cos(\beta '-\mathrm {B} )+\sin \alpha '\sin \mathrm {A} ,\\\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}cos\chi \ =&{\frac {w+w'\cos w}{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos w+w'^{2}}}},\\cos\chi '=&{\frac {w\cos w+w'}{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos w+w'^{2}}}}.\end{aligned}}$

Ainsi, connaissant dans le triangle $\mathrm {HGH'}$ les trois côtés $\mathrm {HH'} =\omega ,$ $\mathrm {HG} =\chi$ et $\mathrm {H'G} =\chi ',$ on trouvera la position du pôle $\mathrm {G} .$

Au reste, si l’on voulait connaître les valeurs de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} ,$ c’est-à-dire la latitude et la longitude même du pôle $\mathrm {G} ,$ on trouverait immédiatement, par les équations du numéro précédent,

$\operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {w\cos \alpha \sin \beta +w'\cos \alpha '\sin \beta '}{w\cos \alpha \cos \beta +w'\cos \alpha '\cos \beta '}},$

ou bien

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (\mathrm {B} -\beta )=&{\frac {w'\cos \alpha '\sin(\beta '-\beta )}{w\cos \alpha +w'\cos \alpha '\cos(\beta '-\beta )}}\\\sin \mathrm {A} =&{\frac {w\sin \alpha +w'\sin \alpha '}{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos w+w'^{2}}}}\end{aligned}}$

20. Si l’on avait $w'=w,$ c’est-à-dire si la quantité $\omega$ était la même pour les deux situations des astres, on aurait

$\Gamma =w{\sqrt {2+2\cos w}}=2w\cos {\frac {w}{2}},$

et ensuite

$\cos \chi =\cos \chi '={\frac {1+\cos \omega }{2\cos {\frac {\omega }{2}}}}=\cos {\frac {\omega }{2}},$

et par conséquent

$\chi =\chi '={\frac {\omega }{2}},$

ce qui montre que le point $\mathrm {G}$ tombe au milieu de l’arc $\mathrm {HH'} .$

21. Nous avons trouvé ci-dessus (13) pour un lieu quelconque $\mathrm {L}$ de la Terre, dont la latitude est $\psi$ et la longitude $\varphi ,$ l’équation

$\mathrm {T} =t-iw\cos \zeta .$

Donc, si l’on suppose que les astres $\mathrm {S}$ et $\mathrm {V}$ aient été observés en même temps dans le lieu $\mathrm {L}$ et dans un autre lieu quelconque $\mathrm {M}$ dont la latitude soit $\Psi$ et la longitude $\Phi ,$ et qu’on fasse la distance de ce dernier lieu au pôle des parallaxes $\mathrm {H} ,$ égale à $\Sigma ,$ on aura aussi

$\Theta =t-iw\cos \Sigma ,$

$\Theta$ étant le temps au bout duquel les astres $\mathrm {S}$ et $\mathrm {V}$ paraissent à la distance $\mathrm {Z}$ l’un de l’autre à un observateur placé en $\mathrm {M} .$

Or, puisque ces deux quantités $\mathrm {T}$ et $\Theta$ sont données par l’observation, leur différence, que je nommerai $\Delta ,$ le sera aussi, de sorte qu’on aura l’équation

$\Delta =iw(\cos \Sigma -\cos \zeta ).$

Mais on a (10)

$\cos \zeta =\cos \alpha \cos \psi \cos(\varphi -\beta )+\sin \alpha \sin \psi \,;$

donc on aura aussi

$cos\Sigma =\cos \alpha \cos \Psi \cos(\Phi -\beta )+\sin \alpha \sin \Psi ,$

d’où

$cos\Sigma -\cos \zeta =(\cos \Psi \cos \Phi -\cos \psi \cos \varphi )\cos \alpha \cos \beta$

$+(\cos \Psi \sin \Phi -\cos \psi \sin \varphi )\cos \alpha \sin \beta +(\sin \Psi -\sin \psi )\sin \alpha .$

Maintenant, il est visible que cette quantité peut se ramènera à la forme

$\mathrm {V} \left[\cos \alpha \cos \mathrm {X} \cos(\mathrm {Y} -\beta )+\sin \mathrm {X} \sin \alpha \right],$

en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {V\cos X\cos Y} =\cos \Psi \cos \Phi -\cos \psi \cos \varphi ,\\&\mathrm {V\cos X\sin Y} \,=\cos \Psi \sin \Phi \,-\cos \psi \sin \varphi ,\\&\mathrm {V\sin X} =\sin \Psi -\sin \psi .\end{aligned}}$

De plus, il est évident que si, dans le triangle $\mathrm {PHF}$ (fig. 9), $\mathrm {P}$ est le pôle

Fig. 9.

de l’équateur, $\mathrm {H}$ celui des parallaxes et $\mathrm {F}$ le lieu qui répond à la latitude terrestre $\mathrm {X}$ et à la longitude $\mathrm {Y} ,$ en sorte que

$\mathrm {PH=90^{\circ }-\alpha ,\quad PF=90^{\circ }-X,\quad FPH=\beta -Y} ,$

on aura

$\mathrm {\cos FH=\cos \alpha \cos X\cos(\beta -Y)+\sin \alpha \sin X} ,$

de manière qu’en nommant $\xi$ la distance du pôle $\mathrm {H}$ au point $\mathrm {F}$ on aura

$cos\Sigma -\cos \zeta =\mathrm {V} \cos \xi .$

22. Pour trouver maintenant la valeur de la quantité $\mathrm {V}$ et la position du point $\mathrm {F}$ sur le globe, on traitera les trois équations du numéro précédent comme on a fait celles du n^o 17, auxquelles elles sont entièrement analogues, et l’on trouvera :

1^o Que si l’on nomme $\lambda$ la distance $\mathrm {LM}$ entre les deux lieux d’observation $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} ,$ on aura $\mathrm {V} =2\sin {\frac {\lambda }{2}}\,;$

2^o Que si l’on prolonge l’arc de grand cercle $\mathrm {LM}$ du côté de $\mathrm {M}$ (fig. 10),

Fig. 10.

et que du point du milieu $l$ on prenne $l\mathrm {F} =90^{\circ },$ on aura le point cherché $\mathrm {F} .$

Si l’on voulait connaître la latitude et la longitude même de ce point $\mathrm {F} ,$ on aurait sur-le-champ

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \mathrm {Y} =&{\frac {\cos \Psi \sin \Phi -\cos \psi \sin \varphi }{\cos \Psi \cos \Phi -\cos \psi \cos \varphi }},\\\sin \mathrm {X} =&{\frac {\sin \Psi -\sin \psi }{2\sin {\frac {\lambda }{2}}}}.\end{aligned}}$

Ayant déterminé ainsi la position du point $\mathrm {F} ,$ on aura pour le temps qui s’écoule entre l’observation en $\mathrm {L}$ et celle en $\mathrm {M}$ la formule

$2iw\cos {\frac {\lambda }{2}}\cos \xi ,$

$\xi$ étant la distance du point $\mathrm {F}$ au pôle des parallaxes $\mathrm {H} .$

23. S’il y avait trois observateurs placés en trois endroits différents $\mathrm {L,M,N}$ de la surface de la Terre (fig. 11), et qu’ayant décrit par ces trois

Fig. 11.

points les arcs de grand cercle $\mathrm {LMF,LNE,MND} ,$ on y prît des points du milieu $l,m,n$ les arcs $l\mathrm {F} ,m\mathrm {E} ,n\mathrm {D} ,$ chacun de $90$ degrés ; qu’ensuite on menât, par les extrémités $\mathrm {F,E,D}$ de ces arcs et par le pôle des parallaxes $\mathrm {H} ,$ les arcs de grand cercle $\mathrm {FH,EH,DH}$ et qu’on nommât

$\mathrm {LM}$

$\lambda ,\qquad \qquad \qquad$

$\mathrm {LN}$

$\mu ,\qquad \qquad \qquad$

$\mathrm {MN}$

$\nu ,\qquad \qquad \qquad$

$\cos \mathrm {FH}$

$x,\qquad \qquad \qquad$

$\cos \mathrm {EH}$

$y,\qquad \qquad \qquad$

$\cos \mathrm {DH}$

$z,\qquad \qquad \qquad$

on aurait

${\begin{aligned}\mathrm {temps\ en\ L-temps\ en\ M} =&2iwx\cos {\frac {\lambda }{2}},\\\mathrm {temps\ en\ L-temps\ en\ N} =&2iwy\cos {\frac {\mu }{2}},\\\mathrm {temps\ en\ M-temps\ en\ N} =&2iwz\cos {\frac {\nu }{2}}.\end{aligned}}$

Donc, puisque ces différences sont données immédiatement par les observations, si on les suppose égales à $a,b,c,$ on aura les trois équations

$a=2iwx\cos {\frac {\lambda }{2}},\quad b=2iwy\cos {\frac {\mu }{2}},\quad c=2iwz\cos {\frac {\nu }{2}},$

d’où l’on tire

$y={\frac {b\cos {\frac {\lambda }{2}}}{a\cos {\frac {\mu }{2}}}}x,\quad z={\frac {c\cos {\frac {\lambda }{2}}}{a\cos {\frac {\nu }{2}}}}x.$

Or, en supposant la position des lieux d’observation $\mathrm {L,M,N}$ donnée, il est clair que le triangle $\mathrm {EFD}$ sera donné, aussi bien que le rapport des cosinus des arcs $\mathrm {FH,EH,DH}$ qui aboutissent au même point $\mathrm {H} ,$ de sorte qu’on pourra, à l’aide des équations précédentes, trouver la position du pôle des parallaxes $\mathrm {H} .$

24. Pour cela nous nommerons $\mathrm {L,M,N}$ les distances $\mathrm {FE,FD,DE} ,$ et nous aurons dans le triande $\mathrm {FEH}$

$\cos \mathrm {FHE} ={\frac {\cos \mathrm {L} -xy}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}},$

dans le triangle $\mathrm {FDH}$

$\cos \mathrm {DHF} ={\frac {\cos \mathrm {M} -xz}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-z^{2}}}}},$

et dans le triangle $\mathrm {EDH}$

$\cos \mathrm {DHE} ={\frac {\cos \mathrm {N} -yz}{{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}}.$

Mais, comme la somme des angles qui sont autour de $\mathrm {F}$ doit faire quatre droits, on aura

$\cos \mathrm {(FHE+DHF)=\cos DHE} ,$

c’est-à-dire

$\cos \mathrm {FHE\times \cos DHF-\sin FHE\times \sin DHF=\cos DHE} ,$

ou bien, en carrant,

$\mathrm {\left(1-\cos ^{2}FHE\right)\left(1-\cos ^{2}DHF\right)=\left(\cos DHE-\cos FHE\times \cos DHF\right)^{2}} ,$

et réduisant,

$1-\mathrm {cos^{2}FHE-\cos ^{2}DHF-\cos ^{2}DHE+2\cos FHE\times \cos DHF\times \cos DHE} =0.$

Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus et ôtant les dénomina-

teurs, on aura

$\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)\left(1-z^{2}\right)-(\cos \mathrm {L} -xy)^{2}\left(1-z^{2}\right)-(\cos \mathrm {M} -xz)^{2}\left(1-y^{2}\right)$

$-(\cos \mathrm {N} -yz)^{2}(\left(1-x^{2}\right)+2(\cos \mathrm {L} -xy)(\cos \mathrm {M} -xz)(\cos \mathrm {N} -yz)=0,$

ce qui se réduit à

$1-\mathrm {\cos ^{2}L-\cos ^{2}M-\cos ^{2}N} +2\cos \mathrm {L\cos M\cos N}$

${\begin{aligned}&-x^{2}\sin ^{2}\mathrm {N} -y^{2}\sin ^{2}\mathrm {M} -z^{2}\sin ^{2}\mathrm {L} \\+2xy\mathrm {\left(\cos L-\cos M\cos N\right)} &+2xz\mathrm {\left(\cos M-\cos L\cos N\right)} \\&+2yz\mathrm {\left(\cos N-\cos L\cos M\right)} =0.\end{aligned}}$

Or, faisant pour plus de simplicité

${\frac {b\cos {\frac {\lambda }{2}}}{a\cos {\frac {\mu }{2}}}}=m,\quad {\frac {c\cos {\frac {\lambda }{2}}}{a\cos {\frac {\nu }{2}}}}=n,$

en sorte que l’on ait $y=mx$ et $z=nx,$ et substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on en tirera

$x={\frac {\sqrt {1-\mathrm {\cos ^{2}L-\cos ^{2}M-\cos ^{2}N} +2\cos \mathrm {L\cos M\cos N} }}{\sqrt {\begin{aligned}&\sin ^{2}\mathrm {N} +m^{2}\sin ^{2}\mathrm {M} +n^{2}\sin ^{2}\mathrm {L} -2m\mathrm {\left(\cos L-\cos M\cos N\right)} \\&-2n\mathrm {\left(\cos M-\cos L\cos N\right)} -2mn\mathrm {\left(\cos N-\cos L\cos M\right)} \end{aligned}}}}.$

Ainsi l’on connaîtra $x$ et par conséquent aussi $y$ et $z,$ ce qui suffit pour déterminer la position du point $\mathrm {H} .$

25. À l’égard des arcs $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N} ,$ il est facile de les déterminer par le moyen des arcs $\lambda ,\mu$ et $\nu ,$ qui sont supposés connus.

En effet, dans le triangle $\mathrm {FLE} ,$ on a

$\mathrm {FE=L,\quad LF={\frac {\lambda }{2}}+90^{\circ },\quad LE={\frac {\mu }{2}}+90^{\circ }} \,;$

donc, nommant $\eta$ l’angle en $\mathrm {L} ,$ on aura

$\cos \mathrm {L} =\cos {\frac {\lambda }{2}}\cos {\frac {\mu }{2}}\cos \eta +\sin {\frac {\lambda }{2}}\sin {\frac {\mu }{2}}.$

De plus, dans le triangle $\mathrm {LMN} ,$ on a

$\cos \eta ={\frac {\cos \nu -\cos \lambda \cos \mu }{\sin \lambda \sin \mu }}\,;$

donc on aura

$\cos \mathrm {L} ={\frac {\cos {\cfrac {\lambda }{2}}\cos {\cfrac {\mu }{2}}(\cos \nu -\cos \lambda \cos \mu )}{\sin \lambda \sin \mu }}+\sin {\frac {\lambda }{2}}\sin {\frac {\mu }{2}},$

ou bien

$\cos \mathrm {L} ={\frac {\cos \nu -\cos \lambda \cos \mu }{4\sin {\cfrac {\lambda }{2}}\sin {\cfrac {\mu }{2}}}}+\sin {\frac {\lambda }{2}}\sin {\frac {\mu }{2}},$

ou bien encore

$\cos \mathrm {L} ={\frac {1+\cos \nu -\cos \lambda -\cos \mu }{4\sin {\cfrac {\lambda }{2}}\sin {\cfrac {\mu }{2}}}},$

et l’on trouvera de même

${\begin{aligned}\cos \mathrm {M} =&{\frac {1+\cos \mu -\cos \lambda -\cos \nu }{4\sin {\cfrac {\lambda }{2}}\sin {\cfrac {\nu }{2}}}},\\\cos \mathrm {n} =&{\frac {1+\cos \lambda -\cos \mu -\cos \nu }{4\sin {\cfrac {\mu }{2}}\sin {\cfrac {\nu }{2}}}}.\end{aligned}}$

Ce que nous venons de démontrer touchant les différences des parallaxes observées en deux ou trois endroits différents doit s’appliquer de même aux différences des sommes des parallaxes, dont nous avons traité dans les n^os 16 et suivants ; il faudra seulement substituer, dans ce cas, au pôle $\mathrm {H}$ des parallaxes le pôle $\mathrm {G}$ de la somme des parallaxes.

26. Avant de passer à l’application de la théorie que nous venons de donner, il est bon de remarquer que, comme dans la projection ordinaire des mappemondes, qui est la projection stéréographique de Ptolémée, tous les cercles du globe deviennent aussi des cercles, on pourra également transporter sur la mappemonde les différents cercles des parallaxes et des sommes des parallaxes que nous avons enseigné à tracer sur le globe.

Si l’on connaissait pour chacun de ces cercles la position de trois points quelconques, il n’y aurait qu’à chercher sur la mappemonde les points correspondants, et le cercle qui passerait par ces trois points serait nécessairement la projection du cercle décrit sur le globe ; mais, lorsqu’on ne connaît que la position du pôle avec l’ouverture, c’est-à-dire l’arc qui mesure la distance du pôle à la circonférence, il est plus court de chercher directement le centre et le rayon de la projection.

Pour résoudre ce Problème, soient $\mathrm {AB}$ le diamètre du cercle de projection (fig. 12), $\mathrm {O}$ le lieu de l’œil, $\mathrm {H}$ le pôle d’un cercle décrit sur le globe,

Fig. 12.

dont $\mathrm {MN}$ est le diamètre, $\mathrm {AVBO}$ un grand cercle de la sphère qui passe par les points $\mathrm {O}$ et $\mathrm {H} ,$ il est facile de voir qu’en menant les rayons visuels $\mathrm {OM,ON} ,$ le cercle $\mathrm {MN}$ sera projeté par un autre cercle dont le diamètre sera $\mathrm {ST} \,:$ de sorte qu’en divisant la ligne $\mathrm {ST}$ en deux également en $\mathrm {R} ,$ le point $\mathrm {R}$ sera le centre, et la ligne $\mathrm {RS}$ le rayon du cercle dont il s’agit.

De plus, si l’on suppose, comme dans les mappemondes ordinaires (fig. 13), que le cercle de projection $\mathrm {EAPQB}$ est le premier méridien, et que $\mathrm {EQ}$ soit le diamètre de l’équateur qui y est perpendiculaire, et $\mathrm {P}$ le pôle du monde, il est clair qu’en menant par les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {H}$ l’arc de méridien $\mathrm {PH} ,$ on aura $\mathrm {PH}$ égal au complément de la latitude du point $\mathrm {H} ,$ et l’angle $\mathrm {HPA}$ égal à la longitude de ce même point.

Fig. 13.

Donc, si l’on nomme

$\mathrm {la\ latitude\ du\ point\ H}$

$\alpha ,\ \$

$\mathrm {la\ longitude\ du\ m{\hat {e}}me\ point}$

$\beta ,\ \$

$\mathrm {l'arc\ HM,\ c'est-{\grave {a}}-dire\ l'ouverture\ du\ cercle\ MN}$

$\zeta ,\ \$

$\mathrm {l'arc\ AE}$

$\mathrm {V} ,\$

$\mathrm {l'arc\ HA}$

$\mathrm {W} ,$

on aura d’abord, dans le triangle $\mathrm {HAP}$ rectangle en $\mathrm {A}$ (fig. 13),

$\operatorname {tang} \mathrm {AP=\operatorname {tang} PH\cos HAP\quad {\text{et}}\quad \sin HA=\sin PH\sin HPA} ,$

c’est-à-dire

$\operatorname {tang} \mathrm {V} ={\frac {\operatorname {tang} \alpha }{\cos \beta }}\quad {\text{et}}\quad \sin \mathrm {W} =\cos \alpha \sin \beta .$

Ensuite on aura (fig. 12)

$\mathrm {AN=W+\zeta ,\quad AM=W-\zeta ,\quad CT=\operatorname {tang} VON=\operatorname {tang} {\frac {VN}{2}}=\cot {\frac {W+\zeta }{2}}} ,$

et de même

$\mathrm {CS=\cot {\frac {W-\zeta }{2}}} .$

Donc

$\mathrm {CR={\frac {\cot {\frac {W-\zeta }{2}}+\cot {\frac {W+\zeta }{2}}}{2}},\quad RS={\frac {\cot {\frac {W-\zeta }{2}}-\cot {\frac {W+\zeta }{2}}}{2}}} ,$

ou bien

$\mathrm {CR={\frac {\sin W}{\cos W+\cos \zeta }},\quad RS={\frac {\sin \zeta }{\cos W+\cos \zeta }}} .$

Au reste, la solution de ce Problème deviendrait beaucoup plus facile si, dans la projection de la mappemonde, au lieu de supposer l’œil dans l’équateur, comme on le fait ordinairement, on le supposait au pôle même ; car alors tous les méridiens étant des lignes droites, il est clair que le centre du cercle sur la mappemonde se trouverait dans le même méridien que sur le globe, de sorte qu’il n’y aurait qu’à marquer sur ce méridien les deux points par où doit passer le cercle, et la portion de méridien interceptée entre ces deux points en serait nécessairement le diamètre.

§ III. — Application de la théorie précédente aux passages
des planètes sur le disque du Soleil.

27. Supposons maintenant que l’astre $\mathrm {S}$ soit le Soleil et que l’astre $\mathrm {V}$ soit une planète quelconque qui passe devant lui ; en faisant $\mathrm {Z}$ égal au demi-diamètre du Soleil, on aura (13) $-iw\cos \zeta$ pour la parallaxe d’entrée et $-iw'\cos \zeta '$ pour la parallaxe de sortie, c’est-à-dire pour les effets de la parallaxe sur le temps de l’entrée et de la sortie de la planète ; le signe $-$ marque l’accélération du contact, et le signe $+$ le retardement.

28. Soient (fig. 14) $\mathrm {S}$ le centre du Soleil, $\mathrm {ELC}$ son disque, $\mathrm {VV'}$ la route de la planète $\mathrm {V}$ sur ce disque, $\mathrm {EC}$ l’écliptique, $\mathrm {SL}$ le cercle de latitude du Soleil, $\mathrm {SD}$ le cercle de déclinaison ; en menant les rayons $\mathrm {SV,SV'}$ et la perpendiculaire $\mathrm {SR} ,$ on aura $\mathrm {SQ}$ égal à la latitude de la planète au temps de la conjonction, $\mathrm {RSQ}$ égal à l’angle de la ligne $\mathrm {VV'}$ avec la ligne $\mathrm {EC} ,$ c’est-à-dire à l’inclinaison de l’orbite relative $\mathrm {VV} '$ de la planète sur l’écliptique, $\mathrm {DSL}$ égal à l’angle de position du Soleil, et les angles $\mathrm {VSD}$ et $\mathrm {V'SD}$ seront ceux que nous avons nommés $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ dans les n^os 15 et 16.

Fig. 14.

Soient nommées donc

La latitude de la planète au temps de la conjonction

$\Lambda ,\$

L’inclinaison de son orbite relative sur l’écliptique

$\Upsilon ,\$

L’angle de position au moment de l’entrée

$\Pi ,\$

L’angle de position au moment de la sortie

$\Pi '.$

On trouvera d’abord la moindre distance de centre $\mathrm {SR} =\Lambda \cos \Upsilon \,;$ ensuite, faisant l’angle $\mathrm {VSR} =\eta ,$ on aura

$\cos \eta ={\frac {\Lambda \cos \Upsilon }{\mathrm {Z} }},$

et par conséquent

$\varepsilon =\eta -\Upsilon -\Pi ,\quad \varepsilon '=\eta +\Upsilon +\Pi '.$

Connaissant par ce moyen les angles $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ et connaissant aussi les déclinaisons du Soleil $p$ et $p'$ pour les moments de l’entrée et de la sortie, on trouvera aisément (14) la position des pôles $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} ',$ que nous nommerons dorénavant pôles d’entrée et de sortie ; ainsi on connaîtra pour chaque lieu de la Terre les angles $\zeta$ et $\zeta '.$

Nous remartperons seulement que, comme l’angle $\varepsilon '$ tombe de l’autre côté du cercle de déclinaison $\mathrm {SD} ,$ il faudra aussi, dans la fig. 7, p. 346, prendre l’arc $\mathrm {SH}$ de l’autre côté de $\mathrm {PS} \,;$ ainsi, l’angle $\mathrm {SPH}$ devra être regardé comme négatif, c’est-à-dire que cet angle, au lieu d’être supposé égal à $\beta '-q',$ devra être au contraire égal à $q'-\beta '.$

29. À l’égard des mouvements horaires $\theta$ et \theta', il est facile de voir que, si l’on nomme le mouvement horaire de la planète sur son orbite relative au moment de l’entrée ${\text{ϑ}}$ et au moment de la sortie ${\text{ϑ}}',$ on aura

$\theta =\mathrm {\frac {VR}{SV}} {\text{ϑ}},\quad \theta '=\mathrm {\frac {VR}{SV}} {\text{ϑ}}',$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\theta \ =&{\frac {{\text{ϑ}}{\sqrt {\mathrm {Z} ^{2}-\Lambda ^{2}\cos \Upsilon ^{2}}}}{\mathrm {Z} }}={\text{ϑ}}\sin \eta ,\\\theta '=&{\frac {{\text{ϑ}}'{\sqrt {\mathrm {Z} ^{2}-\Lambda ^{2}\cos \Upsilon ^{2}}}}{\mathrm {Z} }}={\text{ϑ}}'\sin \eta .\end{aligned}}$

Dans les passages de Mercure, les quantités ϑ et ϑ’ peuvent différer entre elles de quelques secondes, à cause de la grande excentricité de cette planète ; mais dans ceux de Vénus la différence de ces deux quantités est absolument insensible. Il en faut dire autant des quantités $u$ et $u',$ qui expriment les rapports des distances de la planète au Soleil et à la Terre (13), de sorte que dans ces derniers passages on peut supposer $w'=w.$

30. M. de Lisle est le premier qui ait eu l’idée de tracer sur le globe, aussi bien que sur la mappemonde, les différents cercles des parallaxes d’entrée et de sortie dans les passages des planètes sur le disque du Soleil. Il l’exécuta d’abord pour le passage de Mercure de 1753 et ensuite pour celui de Vénus de 1761, et M. de Lalande a rempli le même objet pour le passage de Vénus qui s’observera en 1769. Comme M. de Lisle n’a point donné les principes de sa méthode et que M. de Lalande n’a déduit la sienne que de la théorie des projections, j’ai cru qu’il n’était pas tout à fait inutile d’examiner cette matière par l’analyse ; d’ailleurs, suivant les méthodes dont nous venons de parler, pour trouver le pôle $\mathrm {H}$ d’entrée ou de sortie, il faut prolonger l’arc de grand cercle $\mathrm {SV}$ en $\mathrm {H} ,$ de manière que l’on ait (fig. 7, p. 346) $\mathrm {SH} =90^{\circ },$ au lieu que nous avons trouvé (14) que l’arc $\mathrm {SH}$ doit être égal à $90^{\circ }+s,$ l’arc $s$ étant tel que $\sin s={\frac {\sin \mathrm {Z} }{g}}.$ Il est vrai que, comme $\mathrm {Z}$ demi-diamètre du Soleil n’est que d’environ $16$ minutes, et que la quantité $g,$ rapport des distances de la planète et de la Terre au Soleil, est à peu près ${\frac {4}{10}}$ pour Mercure et ${\frac {7}{10}}$ pour Vénus, l’angle $s$ ne sera que d’environ $37$ minutes pour la première de ces deux planètes et de $22$ minutes pour la seconde, et qu’ainsi l’erreur sera toujours fort petite.

Cependant, comme on pourrait appliquer la même théorie à des cas où la distance $\mathrm {Z}$ ne serait plus très-petite, il m’a paru important de résoudre le Problème en toute rigueur.

31. Mais ce n’est pas là le seul avantage de notre méthode. On sait que la plus importante de toutes les observations que l’on puisse faire dans un passage de Vénus est celle de la durée du passage ; aussi, le principal objet des voyages qui ont été entrepris à l’occasion du passage de 1761 était de nous procurer des observations de la durée dans les lieux où les effets de la parallaxe devaient être les plus sensibles et les plus opposés, et tel est aussi, je crois, le but des voyages auxquels les Astronomes se disposent actuellement.

Or, suivant ce que nous avons démontré dans les n^os 18 et suivants, la parallaxe de durée est exprimée en général par

$i{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos \omega +w'^{2}\cos z}},$

$z$ étant la distance du lieu d’observation au pôle $\mathrm {G} ,$ dont la position est donnée sur le globe ; de sorte que la parallaxe dont il s’agit sera absolument nulle dans les lieux placés sous la circonférence du grand cercle qui aurait le même point $\mathrm {G}$ pour pôle, et qu’elle croîtra en raison des sinus des distances à ce même cercle. On pourrait donc aussi, si l’un voulait, tracer sur un globe ou sur une mappemonde différents cercles de durée, c’est-à-dire tels, que la durée du passage fût la même pour tous les pays qui se trouveraient dans la circonférence de chacun d’eux, l’opération serait absolument la même que pour les cercles d’entrée et de sortie de M. de Lisle, en prenant, au lieu du pôle $\mathrm {H}$ ou $\mathrm {H'} ,$ le pôle $\mathrm {G}$ (19).

32. Ma méthode donne de plus un moyen facile de comparer entre elles les observations, soit de l’entrée ou de la sortie, soit de la durée du passage, faites en plusieurs endroits ; car nous avons trouvé que la différence entre les moments de l’entrée ou de la sortie pour deux endroits quelconques est exprimée généralement par

$2iw\cos {\frac {\lambda }{2}}\cos \xi ,$

les angles $\lambda$ et $\xi$ dépendant de la position des lieux d’observation et de celle des pôles d’entrée ou de sortie (22).

Il en est de même des différences de durée, en prenant le pôle de durée à la place de celui d’entrée ou de sortie.

Ainsi, connaissant exactement la position des lieux d’observation, et ayant déterminé, soit par les tables, soit par l’observation même, les éléments d’où dépend la position des pôles (28), on trouvera immédiatement la valeur de $i,$ c’est-à-dire la parallaxe du Soleil, qui est le principal objet des observations des passages de Vénus.

33. Si l’on avait trois observations faites en trois endroits différents, on n’aurait besoin que de connaître la position de ces trois lieux pour pouvoir déterminer la parallaxe $i$ du Soleil ; car, dans les formules des n^os 23 et suivants, on aurait par observation les valeurs des quantités $a,b,c,$ différences entre les temps, soit de l’entrée, soit de la sortie ou de la durée, observés dans les trois lieux donnés ; ensuite, les distances respectives de ces mêmes lieux donneraient les valeurs des angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et par conséquent aussi celles des angles $\mathrm {L,M,N}$ (25) ; ainsi l’on trouverait la valeur de $x$c (24), laquelle étant mise dans l’équation

$a=2iwx\cos {\frac {\lambda }{2}},$

on en tirerait la valeur de $i$.

34. Cette méthode de connaître la parallaxe du Soleil par le moyen de trois observations me paraît la plus commode et la plus exacte de toutes ; il faut seulement remarquer que, si l’on veut se servir des observations de l’entrée ou de la sortie, il est nécessaire de connaître avec une très-grande précision les différences des méridiens des lieux d’observation pour avoir les valeurs exactes des différences des temps $a,b,c\,;$ mais, si l’on emploie les durées observées, les différences des méridiens n’entreront plus que dans la détermination des quantités $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et par conséquent il suffira qu’elles soient connues à très-peu près, aussi bien que les latitudes des lieux.

35. Au reste, pour savoir si le passage sera visible dans un lieu quelconque donné $\mathrm {L} ,$ il n’y aura qu’à chercher la hauteur du Soleil dans ce lieu aux moments de l’entrée et de la sortie.

Soient donc $\sigma$ la hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon du lieu $\mathrm {L}$ au moment de l’entrée, et $\sigma '$ la hauteur au moment de la sortie ; il est clair que les distances du même lieu $\mathrm {L}$ aux lieux de la Terre auxquels le Soleil sera perpendiculaire aux moments de l’entrée et de la sortie, et qui sont déterminées par les latitudes $\alpha$ et $\alpha '$ et par les longitudes $\beta$ et $\beta ',$ il est clair, dis-je, que ces distances seront les compléments des angles $\sigma$ et $\sigma '\,;$ c’est pourquoi l’on aura

${\begin{aligned}\sin \sigma \ =&\cos \alpha \ \cos \psi \cos(\beta \ -\varphi )+\sin \alpha \ \sin \psi ,\\\sin \sigma '=&\cos \alpha '\cos \psi \cos(\beta '-\varphi )+\sin \alpha '\sin \psi .\end{aligned}}$

36. Remarque. — Lorsque l’angle $\mathrm {Z}$ est fort petit, on pourrait avoir quelque scrupule sur la réduction que nous avons faite (13) de l’équation

$\cos \mathrm {Z} '=\cos \mathrm {Z} +iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta$

à

$\mathrm {Z} '=\mathrm {Z} -iu\cos \zeta \,;$

car, soit

$\mathrm {Z'=Z} +\pi ,$

on aura

$\cos \mathrm {Z'=\cos Z-\pi \sin Z-{\frac {\pi ^{2}}{2}}\cos Z} +\ldots \,;$

donc

$\pi \sin \mathrm {Z} +{\frac {\pi ^{2}}{2}}\cos \mathrm {Z} -\ldots =-iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta ,$

et par conséquent

$\pi +{\frac {\pi ^{2}\cot \mathrm {Z} }{2}}-\ldots =-iu\cos \zeta ,$

d’où l’on tire

1^o$\quad \pi =-iu\cos \zeta ,$

2^o$\quad \pi =-iu\cos \zeta -{\frac {i^{2}u^{2}\cot \mathrm {Z} \cos ^{2}\zeta }{2}},$

et ainsi de suite. Or, comme $i$ est une quantité fort petite, nous avons cru pouvoir nous en tenir à la première valeur approchée de $\pi ,$ savoir $-iu\cos \zeta ,$ d’où résulte l’équation

$\mathrm {Z'=Z} -iu\cos \zeta \,;$

cependant, lorsque l’angle $\mathrm {Z}$ est assez petit pour que la valeur de $\cot \mathrm {Z}$ soit fort considérable, il est clair que le terme ${\frac {i^{2}u^{2}\cot \mathrm {Z} \cos ^{2}\zeta }{2}}$ ne doit plus être négligé vis-à-vis du terme $iu\cos \zeta .$

Pour apprécier l’effet qui résulterait d’une telle négligence dans les passages des planètes sur le disque du Soleil, nous remarquerons que le rapport des termes dont il s’agit est exprimé en général par ${\frac {iu\cot \mathrm {Z} \cos \zeta }{2}}\,;$ de sorte que sa plus grande valeur est de ${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}.$ Or, on a environ $\mathrm {Z} =16',$$i=\sin 10'',\ u=0{,}6316$ pour Mercure, et $u=2{,}6144$ pour Vénus, d’où l’on trouvera pour les passages de Mercure

${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}=0,003284,$

et pour ceux de Vénus

${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}=0,013594.$

Ainsi, l’erreur ne sera dans le premier cas que de ${\frac {3}{1000}}$ du total, mais elle sera de ${\frac {13}{1000}}$ dans le second, de sorte que si le plus grand effet de la parallaxe était de $8$ minutes, comme il le sera à très-peu près dans le passage de 1769, la plus grande erreur serait d’environ $6$ secondes.

Au reste, quelque petite que soit cette erreur, si quelque calculateur scrupuleux voulait absolument l’éviter, il le pourrait aisément. Pour cela, il suffirait de remarquer que

$\mathrm {\cos Z'-\cos Z=2\sin {\frac {Z'-Z}{2}}\sin {\frac {Z'+Z}{2}}} ,$

et, en faisant dans le second membre $\mathrm {Z'=Z} +\pi ,$

$\mathrm {\cos Z'-\cos Z=2\sin {\frac {\pi }{2}}\sin \left(Z+{\frac {\pi }{2}}\right)} ,$

de sorte qu’on aurait rigoureusement l’équation

$2\mathrm {\sin {\frac {\pi }{2}}\sin \left(Z+{\frac {\pi }{2}}\right)} =-iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta ,$

ou bien, à cause que $\pi$ est un angle fort petit,

$\pi \sin \left(\mathrm {Z} +{\frac {\pi }{2}}\right)=-iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta ,$

d’où l’on tire

$\pi =-{\frac {iu\sin \mathrm {Z} }{\sin \left(\mathrm {Z} +{\cfrac {\pi }{2}}\right)}}\cos \zeta ,$

ou bien, en substituant pour $\pi$ sa première valeur approchée $-iu\cos \zeta ,$

$\pi =-{\frac {iu\sin \mathrm {Z} \cos \zeta }{\sin \left(\mathrm {Z} -{\cfrac {iu\cos \zeta }{2}}\right)}},$

d’où l’on voit qu’il n’y aura qu’à augmenter la parallaxe d’entrée en raison de ${\frac {\sin \mathrm {Z} }{\sin \left(\mathrm {Z} -{\cfrac {iu\cos \zeta }{2}}\right)}}$ à $1$ et la parallaxe de sortie en celle de ${\frac {\sin \mathrm {Z} }{\sin \left(\mathrm {Z} -{\cfrac {iu'\cos \zeta '}{2}}\right)}}$ à $1.$

À l’égard de la parallaxe de durée, comme elle doit être égale à la somme des deux parallaxes d’entrée et de sortie (18), il n’y aura qu’à y ajouter ces deux corrections

${\frac {i\cot \mathrm {Z} }{2}}u\cos \zeta \times \mathrm {parallaxe\ d'entr{\acute {e}}e} +{\frac {i\cot \mathrm {Z} }{2}}u'\cos \zeta '\times \mathrm {parallaxe\ de\ sortie} .$

Ainsi, lorsqu’on voudra faire usage de la méthode du n^o 23 pour déduire la parallaxe du Soleil de trois observations, il faudra ; pour plus d’exactitude, appliquer d’abord ces corrections aux observations mêmes ; mais je crois que cette précaution sera le plus souvent superflue.

§ IV. — Du passage de Vénus qui s’observera le 3 juin 1769 au soir.

37. Comme les circonstances de ce passage ont déjà été déterminées par différents Astronomes, et surtout par MM. Pingré et de Lalande, d’après les Tables de M. Halley, corrigées sur les observations du passage de 1761, et que leurs résultats s’accordent d’ailleurs à très-peu près, j’ai cru pouvoir me dispenser de les calculer de nouveau, et je me suis contenté d’emprunter de M. de Lalande les éléments suivants :

Temps vrai de la conjonction au méridien de Paris.

$10^{h}9^{m}53^{s}$

Longitude du Soleil

$2^{s}13^{\circ }27'10''$

Latitude géocentrique de Vénus

$10'13''{,}4$

Inclinaison de l’orbite relative de Vénus sur l’écliptique

$8^{\circ }29'$

Mouvement horaire de Vénus sur l’orbite relative

$4'$

Mouvement horaire du Soleil

$2'13''{,}5$

La distance du Soleil à la Terre (en supposant la moyenn $=1$)

$1{,}01514$

La distance de Vénus au Soleil

$0{,}72627$

Le demi-diamètre du Soleil

$15'47''$

Le demi-diamètre de Vénus

$29''$

38. Ainsi, on aura d’abord

$\Lambda$

$10'13''{,}4$

ϑ$=$ϑ’

$4'0''$

$\Upsilon$

$8^{\circ }29'0''$

$\mathrm {Z}$

$15'47''$

$r$

$1{,}0514$

$f$

$0{,}72627$

d’où l’on trouvera

$\Lambda \Upsilon$

$10'6''{,}7$

$\eta$

$50^{\circ }9'37''$

$\theta =\theta '$

$184''{,}26$

$\mathrm {R} =r-f$

$0{,}28887$

$\log g$

$9{,}8545722$

$s$

$22'3''$

$\log u=\log u'$

$0{,}4003957$

$\log w=\log w'$

$1{,}6912165$

d’où

$w=w'$

$49{,}115$

(J’ai multiplié ici la valeur de ${\frac {u}{\theta }}$ par $3600$ pour avoir la valeur de $w$mi secondes.)

À l’égard de $i,$ on remarquera que, comme le mouvement horaire $\theta$ est exprimé en secondes, il faudra de même exprimer en secondes la parallaxe du Soleil ; de sorte que la quantité $i$ dénotera le nombre des secondes qui déterminent cette parallaxe.

39. Maintenant, on trouvera dans la fig. 14 du paragraphe précédent (p. 361)

${\begin{aligned}\log \mathrm {VR} =&2,8616200,\\\log \mathrm {QR} =&1,9565997,\end{aligned}}$

d’où, en réduisant ces quantités en temps, à raison de $4'0''$ par heure, on aura

La demi-demeure du centre de Vénus sur le disque

$3^{\overset {\mathrm {h} }{\,}}1{\overset {^{\mathrm {m} }}{.}}47^{\overset {\mathrm {s} }{\,}}$

La différence entre la conjonction et le milieu du passage, laquelle doit s’ajouter à la conjonction

$\ \ 22.37$

De sorte qu’on aura au méridien de Paris

L’entrée du centre à

$7{\overset {^{\mathrm {h} }}{.}}30{\overset {^{\mathrm {m} }}{.}}43{\overset {^{\mathrm {s} }}{\,}}$

Le milieu du passage à

$10.\ 32.\ 30\$

La sortie du centre à

$13.\ 34.\ 17\$

Or, l’intervalle entre le commencement du passage et la conjonction étant de $2^{\mathrm {h} }39^{\mathrm {m} }10^{\mathrm {s} },$ et l’intervalle entre la conjonction et la fin du passage étant de $3^{\mathrm {h} }24^{\mathrm {m} }24^{\mathrm {s} },$ on trouvera $6'20''$ à retrancher de la longitude du Soleil au temps de la conjonction, et $8'8''$ à y ajouter, pour avoir les longitudes aux moments de l’entrée et de la sortie ; de sorte qu’on aura

Longitude du Soleil pour l’entrée

$2^{s}.13^{\circ }.20'.50''$

Longitude du Soleil pour la sortie

$2\,\ \ .13\ \ .35\ .18\,\$

d’où l’on trouvera, en supposant l’obliquité de l’écliptique de $23^{\circ }28'10'',$ telle qu’elle sera au mois de juin 1769,

${\begin{alignedat}{2}p=&22^{\circ }.25'.46'',\qquad &p'=&22^{\circ }.27'.33'',\\\Pi =&\ \ 7\ \,.\,\ 5\ .30,\ &\Pi '=&\ \ 6\ \,.59\,\ .35\ \ ,\end{alignedat}}$

et par conséquent

$\varepsilon =34^{\circ }35'7'',\quad \varepsilon '=65^{\circ }38'l2''.$

Enfin, en convertissant les temps de l’entrée et de la sortie en degrés à raison de $15$ degrés par heure, on aura les angles horaires du Soleil par rapport à Paris, comptés d’Orient en Occident ; donc, en prenant les compléments de ces angles à $360$ degrés et y $ajoutant_{2}0$ degrés longitude de Paris, on aura, par rapport au premier méridien,

$q=267^{\circ }19'15'',\quad q'=176^{\circ }25'45''.$

40. Cela posé, on aura dans le triangle $\mathrm {PSH}$ (fig. 7, p. 346)

$\mathrm {PS} =90^{\circ }-p,\quad \mathrm {SH} =90^{\circ }+s,\quad \mathrm {PSH} =\varepsilon$

pour l’entrée, et

$\mathrm {PS} =90^{\circ }-p',\quad \mathrm {SH} =90^{\circ }+s,\quad \mathrm {PSH} =\varepsilon '$

pour la sortie (14 et suivants) ; ainsi l’on trouvera : 1^o le côté $\mathrm {PH,}$ qui sera dans le premier cas égal à $90^{\circ }-\alpha ,$ et dans le second égal à $90^{\circ }-\alpha '\,;$ 2^o l’angle $\mathrm {SPH} ,$ qui sera dans le premier cas égal à $\beta -q$ et dans le second égal à $q'-\beta '\,;$ de sorte qu’on connaîtra par ce moyen les latitudes $\alpha ,\alpha '$ et les longitudes $\beta ,\beta '$ des pôles d’entrée et de sortie.

On trouvera donc

${\begin{alignedat}{2}\alpha \ =&49{\overset {^{\circ }}{.}}20{\overset {'}{.}}\ \ 7{\overset {''}{,}}\qquad &\beta \ =&20{\overset {^{\circ }}{.}}44{\overset {'}{.}}13{\overset {''}{,}}\\\alpha '=&22\,.15.27,&\beta '=&76\,.15.\ \,8.\end{alignedat}}$

41. Pour trouver maintenant le pôle de durée, on remarquera qu’à cause de $w=w'$ ce pôle tombera précisément au milieu de l’arc qui passe par les deux pôles d’entrée et de sortie (19).

Soient donc (fig. 15) $\mathrm {P}$ le pôle du globe terrestre, $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ les pôles

d’entrée et de sortie, et $\mathrm {G}$ le pôle de durée, en sorte que $\mathrm {H'G={\frac {1}{2}}HH'} \,;$ on aura dans le triangle $\mathrm {HPH} '$

$\mathrm {PH=90^{\circ }-\alpha ,\quad PH'=90^{\circ }-\alpha ',\quad HPH'=\beta '-\beta } \,;$

ainsi l’on trouvera le côté $\mathrm {HH} '=\omega$ et l’angle $\mathrm {H} '\,;$ ensuite, dans le triangle $\mathrm {PHG} ,$ connaissant les côtés $\mathrm {H'P}$ et $\mathrm {H'G} ,$ avec l’angle compris $\mathrm {H} ',$ on trouvera le côté $\mathrm {PG=90^{\circ }-A}$ et l’angle $\mathrm {H'PG=\beta '-B} .$

On aura donc

${\begin{aligned}\omega =&47{\overset {^{\circ }}{.}}14{\overset {'}{.}}44{\overset {''}{,}}\\\mathrm {A} =&38\,.21.53,\\\mathrm {B} =&56\,.\ 4\,.23\,;\end{aligned}}$

et comme $\Gamma =2w\cos {\frac {\omega }{2}}$ (20), on aura

${\frac {\Gamma }{2}}=45''{,}000\times \log 1{,}6532083.$

42. Voilà tous les éléments nécessaires pour calculer les parallaxes d’entrée, de sortie et de durée dans le prochain passage de Vénus sur le Soleil ; nous allons les remettre ici en peu de mots sous les yeux de l’Académie.

Le lieu du pôle d’entrée est à $49^{\circ }20'7''$ de latitude et à $26^{\circ }44'13'',$ de longitude ; ainsi, ce pôle tombe entre Francfort et Nuremberg, près de Miltenberg.

Le lieu du pôle de sortie est à $22^{\circ }15'27''$ de latitude et à $76^{\circ }15'8''$ de longitude ; de sorte qu’il tombe près de Mascate, en Arabie.

Enfin le pôle de durée est à $38^{\circ }21'53''$ de latitude et à $56^{\circ }4'23''$ de longitude, c’est-à-dire à environ $2$ degrés, tant à l’Orient qu’au Nord de la ville d’Alexandrette.

Ces trois pôles étant ainsi déterminés, si l’on nomme $\zeta$ la distance d’un lieu quelconque de la Terre au pôle d’entrée, $\zeta '$ sa distance au pôle de sortie et $z$ la distance du même lieu au pôle de durée, on aura, en dénotant par $i$ le nombre des secondes de la parallaxe du Soleil :

$\mathrm {Effet\ de\ la\ parallaxe} \left\{{\begin{aligned}\mathrm {sur\ l'entr{\acute {e}}e\ du\ centre} \ldots \ldots \ldots &-49{\overset {^{\mathrm {s} }}{,}}115i\cos \zeta ,\\\mathrm {sur\ lasortie\ du\ centre} \ldots \ldots \ldots &+49{,}115i\cos \zeta ',\\\mathrm {sur\ la\ demi-dur{\acute {e}}e\ du\ passage} &+45{,}000i\cos z\,;\end{aligned}}\right.$

le signe $-$ marque l’accélération et le signe $+$ le retardement par rapport au centre de la Terre.

De là on voit : 1^o qu’en supposant la parallaxe du Soleil de $10$ secondes, le plus grand effet de la parallaxe sur l’entrée et la sortie sera de $491$ secondes ou de $8^{\mathrm {m} }11^{\mathrm {s} },$ et, sur la durée, de $900$ secondes ou de $15^{\mathrm {m} }0^{\mathrm {s} }\,;$ 2^o que les lieux les plus favorables pour observer ce passage sont ceux qui sont le plus près de l’un des trois pôles ou des points qui leur sont diamétralement opposés ; et comme, dans la plus grande partie de l’Europe, on ne pourra guère voir que l’entrée de Vénus, il sera avantageux de l’observer le plus près qu’il sera possible du pôle d’entrée.

43. La différence des méridiens entre Berlin et Paris étant de $44'25''$ orientale, on aura, pour le méridien de Berlin, l’entrée du centre à $8^{\mathrm {h} }15^{\mathrm {m} }8^{\mathrm {s} }.$ Or, la latitude de Berlin étant de $52^{\circ }32'30'',$ et la longitude de $31^{\circ }6'15'',$ on trouvera

$\cos \zeta =0{,}9658485,$

et l’entrée y sera accélérée de $47^{\mathrm {s} },438i\,;$ de sorte qu’en faisant $i=10$ on aura $7^{\mathrm {m} }54^{\mathrm {s} }$ pour l’effet de la parallaxe à Berlin.

Si l’on voulait corriger ce résultat suivant la remarque du n^o 36, il faudrait le multiplier par ${\frac {\sin 15'47''}{\sin 15'35''}},$ c’est-à-dire par $1{,}012826,$ ce qui donnerait $48^{\mathrm {s} }{,}047i$ pour l’effet de la parallaxe, laquelle, en faisant $i=10,$ serait donc de $8^{\mathrm {m} }0^{\mathrm {s} },$ c’est-à-dire de $6$ secondes plus grande. Ainsi l’entrée du centre de Vénus se verra à Berlin à $8^{\mathrm {h} }7^{\mathrm {m} }8^{\mathrm {s} }.$

On voit par là que Berlin est un des pays de l’Europe où l’effet de la parallaxe sur l’entrée sera le plus sensible ; mais comme le Soleil sera près de se coucher, l’observation ne pourra guère se faire avec succès. En effet, ayant calculé la hauteur du Soleil à $8^{\mathrm {h} }7^{\mathrm {m} },$ j’ai trouvé qu’elle ne doit être que de $1^{\circ }43'\,;$ de sorte que l’observation de l’entrée de Vénus sera nécessairement fort équivoque et ne sera presque d’aucune utilité.

44. En jetant les yeux sur la carte de l’Allemagne, je vois que la ville d’Embden aura à peu près le même avantage que Berlin par rapport à l’effet de la parallaxe ; mais elle aura de plus l’avantage que l’entrée y pourra être observée à quelques degrés d’élévation au-dessus de l’horizon, condition nécessaire pour le succès de l’observation.

Je trouve par la carte de M. Mayer que la position d’Embden est environ à $53^{\circ }20'$ de latitude et à $24'48''$ de longitude, ce qui donne dd

$\cos \zeta =0{,}9973457,$

et par conséquent $48^{\mathrm {s} }{,}985i$ pour l’accélération de l’entrée causée par la parallaxe, à quoi il faudra encore ajouter $6$ secondes pour plus d’exactitude, comme nous avons fait pour Berlin.

Ainsi, faisant $i=10,$ on aura pour Embden $8^{\mathrm {m} }16^{\mathrm {s} }$ d’accélération sur l’entrée de Vénus, c’est-à-dire $16$ secondes de plus que pour Berlin. Outre cela, la hauteur du centre du Soleil y sera, au temps de l’entrée, de $3^{\circ }57',$ ce qui paraît suffisant pour le succès de l’observation ; ainsi je crois que Embden est de toutes les villes des États du Roi celle où l’observation du passage de 1769 pourra se faire avec le plus d’exactitude et de fruit.

45. Nous n’avons considéré jusqu’ici que l’entrée et la sortie du centre de Vénus ; or, le demi-diamètre de Vénus étant de $29$ secondes, il n’y aura qu’à diviser cette quantité par le mouvement horaire $\theta$ de Vénus par rapport au centre du Soleil, pour avoir le temps dont les contacts des bords de Vénus et du Soleil précéderont ou suivront l’entrée et la sortie du centre ; et l’on trouvera, en réduisant ce temps en secondes, $567$ secondes ou bien $9^{\mathrm {m} }27^{\mathrm {s} }.$ Ainsi, en retranchant du temps de rentrée du centre $9^{\mathrm {m} }27^{\mathrm {s} },$ ou les ajoutant à celui de la sortie, on aura les temps des deux contacts extérieurs, et réciproquement, en ajoutant $9^{\mathrm {m} }27^{\mathrm {s} },$ au temps de l’entrée, et les retranchant du temps de la sortie, on aura les moments des deux contacts intérieurs.

46. Lorsqu’on ne peut observer ni l’entrée ni la sortie, on doit s’attacher principalement à déterminer la moindre distance apparente des centres.

Or, il est aisé de trouver par notre théorie l’effet que la parallaxe doit produire sur cette distance ; pour cela il n’y aura qu’à faire $\mathrm {Z} =\Lambda \cos \Upsilon ,$ $\varepsilon =\Upsilon ,$ et chercher ensuite le pôle des parallaxes de la même manière que pour l’entrée ou la sortie, ayant soin seulement de prendre pour $p$ et $q$ les valeurs qui conviennent au temps du milieu du passage ; après quoi, nommant en général $\xi$ la distance d’un lieu quelconque de la Terre à ce pôle, on aura (13) $-iu\cos \xi$ pour la parallaxe de la moindre distance des centres.

1. Lu à l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin le 12 novembre 1767.