Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Théorie des variations séculaires des éléments des Planètes/2

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des variations séculaires des éléments des Planètes. (Seconde Partie.)

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome V (p. 211-344).

THÉORIE
DES VARIATIONS SÉCULAIRES
DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES.

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SECONDE PARTIE

CONTENANT LA DÉTERMINATION DE CES VARIATIONS
POUR CHACUNE DES PLANÈTES PRINCIPALES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1782.)

Newton avait démontré que les inégalités elliptiques du mouvement des Planètes sont l’effet de leur gravitation vers le Soleil, et il avait indiqué en même temps leur attraction mutuelle comme là cause de toutes les irrégularités qu’on y pourrait observer. Ses successeurs, Euler, Clairaut, d’Alembert, ont recherché et calculé les altérations des mouvements elliptiques, dues à cette attraction. Il restait à déterminer les changements qu’elle produit dans les éléments mêmes des ellipses, et qui influent sur la forme du système planétaire. C’est l’objet qui nous occupe, et que nous nous sommes proposé de remplir dans toute son étendue.

On ne compte encore que deux siècles d’observations exactes ; et il en faudrait une suite très-longue pour démêler et fixer à posteriori les petites inégalités qui altèrent insensiblement les dimensions et la position des orbites des Planètes. Cependant l’accord qui s’est déjà trouvé dans les principaux phénomènes célestes, entre les observations et la Théorie fondée sur le système de la gravitation universelle, autorise à penser que le même accord aura lieu aussi dans les autres phénomènes moins sensibles, et à profiter par conséquent des secours que cette Théorie offre pour prédire les variations que les éléments des Planètes doivent éprouver à la longue, et qui empêchent que les Tables actuelles, quelque exactes qu’on les suppose, ne puissent servir avec la même précision pour des temps fort éloignés. Par cette raison, après avoir donné les formules les plus générales et les plus simples pour déterminer ces variations, j’ai cru devoir donner aussi une application détaillée de ces formules à chacune des Planètes principales, afin de mettre les Astronomes à portée d’en faire usage dans la construction des Tables et dans la comparaison des observations anciennes avec les modernes. C’est le but de cette seconde Partie de mon travail, dans laquelle j’aurai soin de donner aux résultats numériques toute l’exactitude possible et la forme la plus commode pour le calcul astronomique.

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SECTION PREMIÈRE.

APPLICATION DES FORMULES DIFFÉRENTIELLES DES VARIATIONS SÉCULAIRES
AUX ORBITES DES PLANÈTES PRINCIPALES.

1. Cette application n’aurait d’autre difficulté que la longueur des calculs arithmétiques, si les données astronomiques qu’elle demande étaient toutes bien connues et déterminées avec une précision suffisante. Ces données sont : 1^o les distances moyennes des Planètes au Soleil, exprimées en parties de la distance moyenne du Soleil à la Terre ; 2^o les rapports des masses des Planètes à celle du Soleil, ou la valeur de leurs masses, en prenant celle du Soleil pour l’unité ; 3^o les excentricités et les inclinaisons des orbites, ainsi que les lieux des aphélies et des nœuds pour une époque donnée. Les données de la première et de la seconde espèce entrent dans les équations différentielles mêmes, et sont par conséquent la base de tout le calcul les autres ne sont nécessaires que pour déterminer les constantes arbitraires des intégrales, et ce n’est qu’auprès l’intégration qu’on en a besoin.

Or, de ces différentes données, il n’y a guère que les premières et les dernières sur l’exactitude desquelles on puisse compter jusqu’à un certain point. Nous les prendrons dans les Tables de Halley, qui sont les plus généralement suivies pour les Planètes ; d’ailleurs elles sont à peu près les mêmes dans les autres Tables ; et si elles ont encore besoin de quelque correction, ce ne sera qu’après une longue suite d’observations qu’on sera en état de leur donner toute la précision dont elles sont susceptibles.

À l’égard des masses des Planètes, on sait qu’il n’y a de connues que celles de la Terre, de Jupiter et de Saturne, parce que ces Planètes sont les seules qui aient des satellites ; mais la détermination de ces masses dépend d’éléments trop délicats pour qu’il n’y reste pas encore beaucoup d’incertitude ; aussi les trouve+on déterminées différemment dans divers Ouvrages, et nous aurons soin de les déterminer de nouveau d’après les éléments qui paraîtront les plus sûrs. Quant aux masses des autres Planètes, nous les conclurons d’abord, par une espèce d’analogie, de leurs volumes et de leurs densités ; mais nous donnerons ensuite le moyen de rectifier les unes et les autres par la comparaison de notre Théorie avec les observations.

2. Pour mettre dans nos calculs le plus de liaison et de netteté qu’il est possible, nous conserverons les noms employés jusqu’ici ; mais, comme nous avons représenté les mêmes quantités relativement aux différentes Planètes par les mêmes lettres, sans trait, ou marquées d’un, deux, $\ldots$ traits, nous supposerons désormais que toutes les lettres qui n’ont point de trait se rapportent à Saturne, que celles qui n’ont qu’un trait se rapportent à Jupiter, que celles qui en ont deux se rapportent à Mars, et ainsi de suite à la Terre, à Vénus, à Mercure, en suivant l’ordre contraire des distances au Soleil.

Ainsi $r$ sera la distance moyenne de Saturne au Soleil, $\mathrm {T}$ sa masse, ou plutôt le rapport de cette masse à celle du Soleil, $\lambda$ son excentricité en parties de sa distance moyenne, $\varphi$ la longitude de son aphélie, comptée depuis un point fixe dans le ciel, $\theta$ la tangente de l’inclinaison de son orbite sur l’écliptique regardée comme un plan fixe, et $\omega$ la longitude de son nœud ascendant sur ce même plan. Ces mêmes lettres marquées d’un trait représenteront les mêmes quantités pour Jupiter, et ainsi de suite.

On aura donc à considérer six orbites mobiles et variables en même temps, et par conséquent on aura à résoudre deux systèmes d’équations semblables à celles des n^os 40 et 50 de la première Partie, et qui dans chaque système seront au nombre de douze et contiendront trente coefficients différents qu’il faudra calculer numériquement. Ces coefficients, suivant la notation des mêmes numéros, seront représentés par les symboles $(m,n)$ et $[m,n],$ en prenant pour $m$ et $n$ deux termes quelconque de la série $0,1,2,3,4,5\,;$ et voici la suite des opérations qu’il faudra faire pour en trouver les valeurs.

3. Soient, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&1+\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}z^{4}+\gamma ^{2}z^{6}+\delta ^{2}z^{8}+\ldots ,\\\mathrm {N} =&\alpha z-\alpha \beta z^{3}-\beta \gamma z^{5}-\gamma \delta z^{7}-\ldots ,\end{aligned}}$

en désignant par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ les coefficients de la série qui exprime la racine carrée d’un binôme, c’est-à-dire

$\alpha ={\frac {1}{2}},\quad \beta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}},\quad \gamma ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}},\quad \delta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {3}{6}}.{\frac {5}{8}},\ldots .$

On calculera les valeurs de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ en faisant successivement

$z={\frac {r'}{r}},\ {\frac {r''}{r}},\ldots ,\quad {\frac {r''}{r'}},\ {\frac {r'''}{r'}},\ldots ,$

et ainsi de suite, suivant toutes les combinaisons des six distances moyennes

$r,r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$

prises deux à deux, de manière que là plus grande soit toujours au dénominateur et la plus petite au numérateur ; le nombre de ces combinaisons monte à quinze, de sorte que les valeurs qu’il faudra déterminer de cette manière seront au nombre de trente.

Soient ensuite

$\mathrm {P} ={\frac {{\frac {3}{2}}z\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {3\left(1+z^{2}\right)\mathrm {N} -{\frac {3}{2}}z\mathrm {M} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}}.$

On calculera de même les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui répondent aux quinze valeurs de $z$ ci-dessus.

On aura alors

${\begin{alignedat}{3}(0,1)=&{\frac {\mathrm {P} }{\sqrt {r^{3}}}}\mathrm {T} ',\qquad &[0,1]=&{\frac {\mathrm {Q} }{\sqrt {r^{3}}}}\mathrm {T} ',\qquad &z\mathrm {\ {\acute {e}}tant} =&{\frac {r'}{r}}\,;\\(0,2)=&{\frac {\mathrm {P} }{\sqrt {r^{3}}}}\mathrm {T} '',&[0,2]=&{\frac {\mathrm {Q} }{\sqrt {r^{3}}}}\mathrm {T} '',&z\mathrm {\ {\acute {e}}tant} =&{\frac {r''}{r}}\,;\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

${\begin{alignedat}{3}(1,2)=&{\frac {\mathrm {P} }{\sqrt {r'^{3}}}}\mathrm {T} '',\qquad &[1,2]=&{\frac {\mathrm {Q} }{\sqrt {r'^{3}}}}\mathrm {T} '',\qquad &z\mathrm {\ {\acute {e}}tant} =&{\frac {r''}{r'}}\,;\\(1,3)=&{\frac {\mathrm {P} }{\sqrt {r'^{3}}}}\mathrm {T} ''',&[1,3]=&{\frac {\mathrm {Q} }{\sqrt {r'^{3}}}}\mathrm {T} ''',&z\mathrm {\ {\acute {e}}tant} =&{\frac {r'''}{r'}}\,;\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

et ainsi de suite pour toutes les quantités où des deux nombres renfermés entre les crochets le premier est moindre que le second.

Quant à celles où le premier des deux nombres renfermés entre des crochets est plus grand que le second, il suffit de remarquer que, comme dans les fonctions $(r,r'),(r,r')_{1},\ldots ,$ les quantités $r,r',\ldots$ sont permutables (46), si dans les expressions des quantités dont il s’agit on échange entre elles les lettres $r,r',r'',\ldots ,$ il viendra

$(1,0)=(0,1){\sqrt {\frac {r}{r'}}}\mathrm {\frac {T}{T'}} ,\quad (2,0)=(0,2){\sqrt {\frac {r}{r''}}}\mathrm {\frac {T}{T''}} ,\ldots ,$

et de même

$[1,0]=[0,1]{\sqrt {\frac {r}{r'}}}\mathrm {\frac {T}{T'}} ,\quad [2,0]=[0,2]{\sqrt {\frac {r}{r''}}}\mathrm {\frac {T}{T''}} ,\ldots ,$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, en général,

$(n,m)={\frac {(m,n)}{\sqrt {z}}}{\frac {\mathrm {T} ^{(m)}}{\mathrm {T} ^{(n)}}},\quad [n,m]={\frac {[m,n]}{\sqrt {z}}}{\frac {\mathrm {T} ^{[m]}}{\mathrm {T} ^{[n]}}},$

$z$ étant $={\frac {r^{(m)}}{r^{(n)}}},$ où les lettres $m,n$ en exposant représentent des traits et non des puissances.

4. Les Tables de Halley nous donnent les valeurs suivantes des distances moyennes $r,r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$

${\begin{alignedat}{2}r\ \,\ =&9{,}54007,\qquad &\log .\quad &0{,}9796515,\\r'\ \,=&5{,}20098,&&0{,}7160852,\\r''\ =&1{,}52369,&&0{,}1828966,\\r'''=&1{,}00000,&&0{,}0000000,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&0{,}72333,&&9{,}8593365,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&0{,}38710,&&9{,}5878232.\end{alignedat}}$

Par le moyen de ces valeurs on a calculé celles des quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ pour les quinze valeurs de $z,$ en poussant l’exactitude jusqu’à six décimales on a cherché ensuite les valeurs correspondantes des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et enfin celles des quantités représentées par des crochets ronds et carrés. On a trouvé ainsi les valeurs suivantes, sur l’exactitude desquelles on peut compter.

Pour $z={\frac {r'}{r}}=0{,}545172$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}075800,&\mathrm {N} =&0{,}262042,\\\mathrm {P} =&0{,}433858,&\mathrm {Q} =&0{,}283512,\\(0,1)=&0{,}014724\mathrm {T} '\qquad \qquad &[0,1]=&0{,}009622\mathrm {T} '\\&8{,}1680204,&&7{,}9832443,\\(1,0)=&0{,}019941\mathrm {T} &[1,0]=&0{,}013031\mathrm {T} \\&8{,}2997537,&&8{,}1149776.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r''}{r}}=0{,}159715$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}006387,&\mathrm {N} =&0{,}079602,\\\mathrm {P} =&0{,}020082,&\mathrm {Q} =&0{,}003964,\\(0,2)=&0{,}000682\mathrm {T} ''\qquad \qquad &[0,2]=&0{,}000135\mathrm {T} ''\\&6{,}8334798,&&6{,}1288064,\\(2,0)=&0{,}001708\mathrm {T} &[2,0]=&0{,}060337\mathrm {T} \\&7{,}2318070,&&6{,}5271336.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r'''}{r}}=0{,}104821$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}002749,&\mathrm {N} =&0{,}052338,\\\mathrm {P} =&0{,}008412,&\mathrm {Q} =&0{,}001099,\\(0,3)=&0{,}000285\mathrm {T} '''\qquad \qquad &[0,3]=&0{,}000037\mathrm {T} '''\\&6{,}4555721,&&5{,}5716705,\\(3,0)=&0{,}000882\mathrm {T} &[3,0]=&0{,}000115\mathrm {T} \\&6{,}9453479,&&6{,}0614463.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r}}=0{,}075820$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}001437,&\mathrm {N} =&0{,}037883,\\\mathrm {P} =&0{,}004360,&\mathrm {Q} =&0{,}000412,\\(0,4)=&0{,}000148\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\qquad \qquad &[0,4]=&0{,}000014\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&6{,}1700597,&&5{,}1455700,\\(4,0)=&0{,}000537\mathrm {T} &[4,0]=&0{,}000051\mathrm {T} \\&6{,}7301678,&&5{,}7056781.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r}}=0{,}040576$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}000411,&\mathrm {N} =&0{,}020284,\\\mathrm {P} =&0{,}001239,&\mathrm {Q} =&0{,}000063,\\(0,5)=&0{,}000042\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad \qquad &[0,5]=&0{,}0000021\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&5{,}6237441,&&4{,}3300133,\\(5,0)=&0{,}000209\mathrm {T} &[5,0]=&0{,}000011\mathrm {T} \\&6{,}3196095,&&5{,}0258787.\\\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r''}{r'}}=0{,}292962$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}021574,&\mathrm {N} =&0{,}144893,\\\mathrm {P} =&0{,}076189,&\mathrm {Q} =&0{,}027698,\\(1,2)=&0{,}006423\mathrm {T} ''\qquad \qquad &[1,2]=&0{,}002327\mathrm {T} ''\\&7{,}8077645,&&7{,}3667498,\\(2,1)=&0{,}011867\mathrm {T} '&[2,1]=&0{,}004299\mathrm {T} '\\&8{,}0743589,&&7{,}6333442.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r'''}{r'}}=0{,}192271$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}009263,&\mathrm {N} =&0{,}095689,\\\mathrm {P} =&0{,}029757,&\mathrm {Q} =&0{,}007116,\\(1,3)=&0{,}0902509\mathrm {T} '''\qquad \qquad &[1,3]=&0{,}000600\mathrm {T} '''\\&7{,}3994613,&&6{,}7781081,\\(3,1)=&0{,}005721\mathrm {T} '&[3,1]=&0{,}001368\mathrm {T} '\\&7{,}7575044,&&7{,}1361512.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r'}}=0{,}130076$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}004841,&\mathrm {N} =&0{,}069370,\\\mathrm {P} =&0{,}015048,&\mathrm {Q} =&0{,}002611,\\(1,4)=&0{,}001269\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\qquad \qquad &[1,4]=&0{,}000220\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&7{,}1033510,&&6{,}3426591,\\(4,1)=&0{,}003402\mathrm {T} '&[4,1]=&0{,}000590\mathrm {T} '\\&7{,}5317249,&&6{,}7710530.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r'}}=0{,}074428$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}001385,&\mathrm {N} =&0{,}037188,\\\mathrm {P} =&0{,}004198,&\mathrm {Q} =&0{,}000390,\\(1,5)=&0{,}000354\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad \qquad &[1,5]=&0{,}000033\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&6{,}6489146,&&5{,}5169368,\\(5,1)=&0{,}001297\mathrm {T} '&[5,1]=&0{,}000121\mathrm {T} '\\&7{,}1130465,&&6{,}0810687.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r'''}{r''}}=0{,}656301$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}110961,&\mathrm {N} =&0{,}309374,\\\mathrm {P} =&0{,}939816,&\mathrm {Q} =&0{,}722709,\\(2,3)=&0{,}499687\mathrm {T} '''\qquad \qquad &[2,3]=&0{,}384256\mathrm {T} '''\\&9{,}6986980,&&9{,}5846187,\\(3,2)=&0{,}616803\mathrm {T} ''&[3,2]=&0{,}474315\mathrm {T} ''\\&9{,}7901465,&&9{,}6760672.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r''}}=0{,}474723$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}057182,&\mathrm {N} =&0{,}230473,\\\mathrm {P} =&0{,}273498,&\mathrm {Q} =&0{,}157378,\\(2,4)=&0{,}145415\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\qquad \qquad &[2,4]=&6{,}0836757\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&9{,}1626092,&&8{,}9225991,\\(4,2)=&0{,}211052\mathrm {T} ''&[4,2]=&0{,}121445\mathrm {T} ''\\&9{,}3243891,&&9{,}0843790.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r''}}=0{,}254054$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}016565,&\mathrm {N} =&0{,}125947,\\\mathrm {P} =&0{,}053451,&\mathrm {Q} =&0{,}016553,\\(2,5)=&0{,}028420\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad \qquad &[2,5]=&0{,}008785\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&8{,}4536109,&&7{,}9437440,\\(5,2)=&0{,}056383\mathrm {T} ''&[5,2]=&0{,}017429\mathrm {T} ''\\&8{,}7511479,&&8{,}2412810.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r'''}}=0{,}723330$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}135763,&\mathrm {N} =&0{,}386131,\\\mathrm {P} =&1{,}604256,&\mathrm {Q} =&1{,}335909,\\(3,4)=&1{,}604256\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\qquad \qquad &[3,4]=&1{,}335909\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&0{,}2052730,&&0{,}1257768,\\(4,3)=&1{,}886275\mathrm {T} '''&[4,3]=&1{,}570756\mathrm {T} '''\\&0{,}2756048,&&0{,}1961086.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r'''}}=0{,}38710$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}037828,&\mathrm {N} =&0{,}189854,\\\mathrm {P} =&0{,}152524,&\mathrm {Q} =&0{,}072352,\\(3,5)=&0{,}152524\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad \qquad &[3,5]=&0{,}072362\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&9{,}1833382,&&8{,}8594505,\\(5,3)=&0{,}245147\mathrm {T} '''&[5,3]=&0{,}116289\mathrm {T} '''\\&9{,}3894266,&&9{,}0655389.\end{alignedat}}$

Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=0{,}535164$ :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}072986,&\mathrm {N} =&0{,}257625,\\\mathrm {P} =&0{,}406122,&\mathrm {Q} =&0{,}260961,\\(4,5)=&0{,}660164\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad \qquad &[4,5]=&0{,}424200\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&9{,}8196618,&&9{,}6275709,\\(5,4)=&0{,}902419\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[5,4]=&0{,}579866\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&9{,}9554084,&&9{,}7633275.\end{alignedat}}$

Les nombres placés sous les valeurs des quantités marquées par des crochets sont les logarithme des coefficients numériques qui se trouvent au-dessus ; j’ai cru devoir donner aussi ces logarithme, non-seulement pour servir de confirmation aux nombres qui leur répondent, mais encore parce qu’étant plus exacts que ces nombres, ils pourraient servir, s’il était nécessaire, à pousser la précision plus loin.

5. Il reste encore à déterminer les valeurs des six quantités $\mathrm {T,T'} ,$$\mathrm {T} '',\ldots ,\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ c’est-à-dire des rapports des masses, ou forces attractives absolues des Planètes principales, à celle du Soleil ; mais cette détermination est sujette à beaucoup de difficultés. D’abord il n’y a que trois Planètes, Saturne, Jupiter et la Terre, pour lesquelles on ait les données qu’elle demande, parce que ce sont les seules qui aient des satellites. ; encore ces données sont-elles peu sûres. À l’égard des autres Planètes, on n’en peut connaître par observation que le volume ; et, pour en déduire la masse, il faut ensuite adopter quelque hypothèse sur la densité, ce qui rend les résultats douteux et précaires. Cet objet mérite donc une discussion particulière ; elle est même d’autant plus nécessaire qu’on trouve dans plusieurs Ouvrages des valeurs assez différentes des masses des Planètes et de leurs densités, sans que les Auteurs y aient donné les détails convenables pour justifier ces différences.

On sait par les Théorèmes de Newton que la force attractive absolue d’un corps, autour duquel un autre corps décrit une ellipse quelconque, est en raison directe du cube de la distance moyenne et inverse du carré du temps périodique ; et cette Proposition, que Newton a démontrée pour les corps qui décrivent des ellipse invariables, est vraie aussi lorsqu’on a égard aux variations séculaires des éléments. Car nous avons vu dans la première Partie (34) que dans ce cas la vitesse de la longitude moyenne est toujours représentée par ${\frac {\Delta ^{\frac {3}{2}}}{g}},$ et la distance moyenne par ${\frac {g}{\Delta }},$ $g$ étant la force attractive absolue du centre, c’est-à-dire la force centrale à la distance $1\,;$ ainsi, en nommant $r$ la distance moyenne et $m$ la vitesse du mouvement moyen, on a

$\Delta ={\frac {g}{r}},\quad {\frac {\sqrt {g}}{r^{\frac {3}{2}}}}=m\,;$

donc

$g=m^{2}r^{3}\,;$

mais il est évident que la vitesse $m$ est toujours réciproquement proportionnelle au temps périodique ; par conséquent, si l’on nomme $t$ ce temps, on aura, en général,

$g={\frac {r^{3}}{t^{2}}}.$

Soient maintenant $\mathrm {S}$ la masse du Soleil, $\mathrm {P}$ celle d’une Planète principale, $r$ la distance moyenne de cette Planète au Soleil, et $t$ son temps périodique soient de plus $\rho$ la distance moyenne d’un satellite de la même Planète à cette Planète, et $\theta$ son temps périodique. Les forces attractives absolues étant proportionnelles aux masses ou quantités de matière, on aura

$\mathrm {S} ={\frac {r^{3}}{t^{2}}},$

et par la même raison

$\mathrm {P} ={\frac {\rho ^{3}}{\theta ^{2}}}\,;$

donc

$\mathrm {\frac {P}{S}} =\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}\left({\frac {t}{\theta }}\right)^{2}.$

Soit de plus $\mathrm {D}$ la densité de la Planète $\mathrm {P} ,$ et $d$ son demi-diamètre ; comme les volumes des sphères sont en raison triplée des rayons, ou aura $d^{3}$ proportionnelle au volume de la planète $\mathrm {P} \,;$ donc $\mathrm {D}$ sera proportionnelle à $\left({\frac {\rho }{d}}\right)^{3}{\frac {1}{\theta ^{2}}}.$

Appliquons ces formules aux Planètes.

6. Pour la Terre on a

$t=$ année sidérale $=\mathrm {365^{j}6^{h}9^{m}15^{s}}$

suivant la Caille, et

$\theta =$ mois périodique $=\mathrm {27^{j}7^{h}43^{m}12^{s}}$

suivant Mayer. Réduisant en décimales de jour, on a donc

$t=365^{\text{j}}{,}25639,\quad \theta =27^{\text{j}}{,}32167,$

et de là on trouve

$\log \left({\frac {t}{\theta }}\right)=1,1260907.$

Ces valeurs ne sont sujettes à aucune incertitude ; par conséquent les résultats ne sauraient pécher de ce côté-là.

Soit $p$ la parallaxe horizontale du Soleil et $\varpi$ celle de la Lune ; on aura, comme on sait,

${\frac {d}{r}}=\sin p,\quad {\frac {d}{\rho }}=\sin \varpi ,$

pourvu qu’on prenne pour $\varpi$ la parallaxe qui répond à la distance moyenne de la Lune à la Terre. Or, comme il ne s’agit ici que de comparer les effets de la force attractive du Soleil sur la Terre et de la force attractive de la Terre sur la Lune, il est clair qu’il ne faut considérer que le simple mouvement elliptique de la Lune, qui dépend uniquement de cette dernière force, et faire abstraction de toutes les inégalités dues à l’action du Soleil. Ainsi, dans les Tables de la parallaxe de la Lune, on ne considérera que celle qui a pour argument l’anomalie de la Lune ; et voici comment on déterminera la parallaxe $\varpi .$

Soient $\rho '$ et $\rho ''$ les distances qui répondent à zéro et à $180$ degrés d’anomalie, et $\varpi ',\varpi ''$ les parallaxes correspondantes ; on aura, par les propriétés connues des orbites elliptiques,

$\rho ={\frac {\rho '+\rho ''}{2}}\,;$

d’ailleurs

${\frac {d}{\rho '}}=\sin \varpi ',\quad {\frac {d}{\rho ''}}=\sin \varpi ''\,;$

donc

${\frac {\rho '+\rho ''}{2}}={\frac {d}{2}}\left({\frac {1}{\sin \varpi '}}+{\frac {1}{\sin \varpi ''}}\right)={\frac {d}{2}}{\frac {\sin \varpi ''+\sin \varpi '}{\sin \varpi '\sin \varpi ''}}$

$=d{\frac {\sin {\cfrac {\varpi '+\varpi ''}{2}}\cos {\cfrac {\varpi ''-\varpi '}{2}}}{\sin \varpi '\sin \varpi ''}}.$

Donc

${\frac {d}{\rho }}={\frac {\sin \varpi '\sin \varpi ''}{\sin {\cfrac {\varpi '+\varpi ''}{2}}\cos {\cfrac {\varpi ''-\varpi '}{2}}}}=\sin \varpi .$

La Table XI de Mayer pour la parallaxe de la Lune donne

$\varpi '=54'13'',\quad \varpi ''=60'29''\,;$

de là on trouve

$\log \sin \varpi =8{,}2209410,\quad {\text{et}}\quad \varpi =57'10''{,}3\,;$

c’est la parallaxe sous l’équateur. Pour la réduire à la latitude moyenne de $45$ degrés, il en faut retrancher $7''{\tfrac {1}{2}}.$ Ainsi l’on aura en nombres ronds

$\varpi =57'3''.$

À l’égard de la parallaxe du Soleil, les Astronomes ne sont pas encore bien décidés sur sa quantité, les uns la faisant de $8''{,}5,$ les autres de $8''{,}6\,;$ nous supposerons donc successivement

$p=8''{,}5\quad {\text{et}}\quad =8''{,}6.$

On aura d’abord

${\frac {\rho }{r}}={\frac {\sin 8''{,}5}{\sin 57'3''}},$

dont le logarithme est égal à $7{,}3950320\,;$ donc le logarithme de $\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}\left({\frac {t}{\theta }}\right)^{2}$ sera $4{,}4372774,$ auquel répond la fraction ${\frac {1}{365361}}.$ C’est la valeur de la masse de la Terre, exprimée en parties de celle du Soleil, c’est-à-dire de la quantité $\mathrm {T} '''.$ Ainsi, en supposant la parallaxe du Soleil de $8''{\tfrac {1}{2}},$ on a

$\log \mathrm {T} '''=4{,}4372774,\quad \mathrm {T} '''={\frac {1}{365361}}.$

Si l’on fait cette parallaxe de $8''{,}6,$ la valeur de $\mathrm {T} '''$ se trouve augmentée dans la raison de $1$ à $\left({\frac {86}{85}}\right)^{3},$ et l’on aura alors

$\log \mathrm {T} '''=4{,}4487158,\quad \mathrm {T} '''={\frac {1}{355864}}.$

Dans la suite nous nous en tiendrons simplement à la première de ces valeurs de $\mathrm {T} '''.$

7. Évaluons maintenant la quantité $\mathrm {D}$ d’après la formule

$\mathrm {D} =\left({\frac {\rho }{d}}\right)^{3}{\frac {1}{\theta ^{2}}}={\frac {1}{\theta ^{2}\sin ^{3}\varpi }}\,;$

en employant les mêmes éléments que ci-dessus, on trouve

$\log \mathrm {D} =2{,}4671004.$

Cette valeur est, comme on voit, indépendante de la parallaxe du Soleil, et étant comparée avec les valeurs de $\mathrm {D}$ pour les autres Planètes, elle donnera les rapports de leurs densités à celle de la Terre.

8. Pour Jupiter, on a suivant Halley

$t=\mathrm {4332^{j}8^{h}28^{m}1^{s}} ,$

et, réduisant en décimales de jour,

$t=4332^{\text{j}}{,}35279.$

À l’égard de la valeur de $\theta ,$ nous prendrons celle qui convient au quatrième satellite, dont la révolution périodique et la distance étant plus grandes que celles des autres satellites sont aussi plus faciles à déterininer exactement ; et nous aurons d’après les déterminations de M. Wargentin

$\theta =\mathrm {16^{j}16^{h}32^{m}8^{s}} =16^{\text{j}}{,}68898.$

De là on trouvera

$\log {\frac {t}{\theta }}=2{,}4142939,$

valeur qui peut être regardée comme aussi exacte que la valeur analogue trouvée pour la Terre.

On ne peut pas s’attendre à un pareil degré d’exactitude relativement à la valeur de ${\frac {\rho }{r}}$ qui exprime le rapport entre la distance moyenne du satellite à Jupiter, et celle de Jupiter au Soleil. Il est clair que ce rapport est égal au sinus de la plus grande digression du satellite vu du Soleil, à la distance moyenne de Jupiter ; et cette digression héliocentrique est toujours facile à conclure de la plus grande digression géocentrique observée dans un temps quelconque. Mais ces sortes d’observations sont très-rares ; et je ne connais que celles que Newton rapporte au commencement du troisième Livre des Principes (Phén. I) et qu’il dit avoir été faites par Pound avec d’excellents micromètres.

La plus grande élongation héliocentrique du quatrième satellite, réduite à la distance moyenne de Jupiter, a été trouvée par cet Astronome, avec une lunette de $15$ pieds, de $8'16''\,;$ et celle du troisième satellite, réduite de même, a été trouvée de $4'42''$ avec une lunette de $123$ pieds. Ces deux observations sont si bien d’accord avec la loi des temps périodiques que l’une confirme l’autre tout à fait. Car la révolution périodique du troisième satellite étant par les Tables de Wargentin de $\mathrm {7^{j}3^{h}42^{m}33^{s}} ,$ ou bien en décimales de jour de $7^{\text{j}}{,}15455,$ on a pour le rapport des temps périodiques du quatrième et du troisième le nombre $2{,}33264,$ dont le carré est $5{,}44121\,;$ or le rapport de leurs distances à Jupiter est évidemment égal à celui des sinus des élongations $8'16''$ et $4'42'',$ lequel se trouve de $1{,}75886,$ dont le cube est $5{,}44123.$

Les Cassini avaient sans doute fait beaucoup d’observations sur les satellites de Jupiter ; mais on n’en trouve que les résultats dans les Éléments d’Astronomie ; encore les élongations n’y sont pas déterminées directement, mais par le moyen du diamètre apparent de Jupiter et des distances des satellites évaluées en parties de ce diamètre. La distance du quatrième y est supposée de $25{,}3$ demi-diamètres de Jupiter, et le diamètre apparent de cette Planète, vu du Soleil dans sa moyenne distance, y est de $41''{\tfrac {1}{2}}\,;$ ce qui donne $8'45''$ pour la plus grande élongation. Mais la détermination de Pound me paraît plus sûre.

Faisant donc

${\frac {\rho }{r}}=\sin 8'16'',$

et employant la valeur de ${\frac {t}{\theta }}$ trouvée ci-dessus, on a

$\log \left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}\left({\frac {t}{\theta }}\right)^{2}=\log \mathrm {T} '=6{,}9717561,$

et de là

$\mathrm {T} '={\frac {1}{1067{,}195}},$

valeur de la masse de Jupiter en parties de celle du Soleil. Cette valseur s’accorde avec celle que Newton avait trouvée (Livre III, Proposition VIII) et dont tous les Géomètres ont fait usage jusqu’ici.

9. Cherchons maintenant la densité de Jupiter ou plutôt le rapport de cette densité à celle de la Terre. Il faut pour cela évaluer la formule

$\mathrm {D} =\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}{\frac {1}{\theta ^{2}}},$

où $\theta$ la même valeur que ci-dessus, et où ${\frac {\rho }{d}}$ exprime la distance du satellite à Jupiter en demi-diamètres de cette Planète. Suivant Cassini cette distance est de $25{,}3$ pour le quatrième satellite. Or Newton rapporte dans l’endroit cité des Principes, que le diamètre de Jupiter observé par Pound avec la même lunette de $123$ pieds, et réduit à la distance moyenne de Jupiter, s’est toujours trouvé plus petit que $40'',$ jamais au-dessous de $38'',$ mais le plus souvent de $39''.$ Supposons-le donc de $39''\,;$ il est clair qu’en le comparant à la plus grande élongation de $8'16''$ du quatrième satellite, on aura

${\frac {\rho }{d}}={\frac {\sin 8'16''}{\sin 19''{\frac {1}{2}}}}=25{,}436\,;$

valeur qui s’éloigne peu de celle de Cassini, mais que nous adopterons de préférence à celle-ci, comme plus exacte, vu la longueur des lunettes avec lesquelles elle a été trouvée. Nous aurons ainsi

$\log \mathrm {D} =1{,}7714800,$

et, retranchant la valeur de $\log \mathrm {D}$ trouvée pour la Terre (7), il viendra pour le logarithme du rapport cherché

$9{,}3043796,$

auquel répond le nombre

$0{,}20155\,;$

c’est la densité de Jupiter, en prenant celle de la Terre pour l’unité.

Au reste Newton préfère déduire le diamètre de Jupiter de l’observation des passages du premier et du troisième satellite sur le disque de Jupiter, et il le conclut de $37''{\tfrac {1}{4}}\,;$ mais, outre que cette valeur s’éloigne trop de celles que Cassini et Pound ont trouvées, il est clair que, comme il ne s’agit ici que du rapport du diamètre de Jupiter à la distance du quatrième satellite, il est plus sûr de s’en tenir aux observations immédiates du diamètre apparent et de l’élongation ; surtout parce que ces observations ont été faites avec la même lunette, du moins, relativement au troisième satellite, dont l’élongation observée s’accorde d’ailleurs entièrement avec celle du quatrième, d’après la loi des temps périodiques et des distances, ainsi qu’on l’a vu plus haut.

10. Venons à Saturne ; nous aurons d’abord par les Tables de Halley

$t=\mathrm {10762^{j}20^{h}33^{m}41^{s}} =$ (en décimales de jour) $10762^{\text{j}}{,}85673\,;$

ensuite on aura d’après Cassini pour le quatrième satellite, qui étant le plus gros de tous est aussi le plus facile à observer,

$\theta =\mathrm {15^{j}22^{h}41^{m}23^{s}} =$ (en décimales de jour) $15^{\text{j}}{,}94541.$

De là on tire

$\log {\frac {t}{\theta }}=2{,}8292920.$

Pour ce qui concerne la valeur de ${\frac {\rho }{r}},$ c’est-à-dire du rapport entre la distance du satellite à Saturne et la distance moyenne de Saturne au Soleil, nous pouvons la déduires des observations de Pound rapportées par Newton (Phén. II). Pound trouva, avec une lunette de $123$ pieds armée d’un bon micromètre, la plus grande élongation du quatrième satellite, de $8{,}7$ demi-diamètres de l’anneau, et le diamètre de l’anneau à celui de Saturne comme $7$ à $3\,;$ il trouva de plus avec la même lunette le diamètre de l’anneau de $43''$ les 28 et 29 mai 1719, vieux style. En multipliant $43''$ par $8{,}7,$ on a $374''$ dont la moitié est $187'',$ ou bien $3'7''\,;$ ainsi d’après ces observations la plus grande élongation du quatrième satellite aurait été les mêmes jours de $3'7''.$ M. de Lalande dit en effet dans son Astronomie que Pound avait observé cette élongation le 9 juin 1719 à 10 heures ; mais, comme il ne cite point la source d’où il a tiré cette observation de Pound, on pourrait soupçonner qu’il l’a simplement déduite, comme nous venons de le faire, de celles que Newton avait rapportées.

Quoi qu’il en soit, Newton réduit le diamètre observé de l’anneau à $42''$ et celui de Saturne à $18''$ pour la moyenne distance de Saturne à la Terre ; ensuite il réduit encore ce dernier à $16''$ à cause de l’irradiation ; enfin dans la Proposition VIII, où il calcule les masses de la Terre, de Jupiter et de Saturne en parties de celle du Soleil, il prend $3'4''$ pour la plus grande élongation du quatrième satellite de Saturne, réduite à la moyenne distance de cette Planète ; ce qui ne s’accorde pas avec le diamètre apparent de l’anneau supposé de $42''\,;$ car, en multipliant $21''$ par $8{,}7,$ on a $182''{,}7,$ c’est-à-dire $3'2''{,}7$ seulement ; et l’on trouverait moins encore si l’on avait égard à la correction due à l’irradiation supposée par Newton.

D’ailleurs, en calculant les lieux de Saturne et de la Terre pour le 29 mai 1719, vieux style, c’est-à-dire pour le 9 juin de la même année, on trouve que la distance de Saturne à la Terre était alors à la distance moyenne de Saturne au Soleil dans le rapport de $953$ à $1000\,;$ par là le diamètre de l’anneau, observé par Pound de $43'',$ se réduit à $40''{,}97$ pour la distance moyenne de Saturne ; et, ce diamètre étant multiplié par la moitié de $8{,}7,$ il vient $178''{,}3,$ ou $2'58''{,}3$ pour la plus grande élongation du quatrième satellite réduite à la même distance moyenne.

Suivant les déterminations de Bradley rapportées dans l’Astronomie de M. de Lalande, la distance de ce satellite est, en demi-diamètres de Saturne, de $20{,}295,$ et en demi-diamètres de l’anneau, de $8{,}698\,;$ ainsi, en multipliant $40''{,}97$ par $4{,}359,$ on aurait $178''{,}18,$ ou bien $2'58''{,}18$ pour la plus grande élongation du même satellite.

Cassini établit, dans ses Éléments d’Astronomie, la distance du quatrième satellite de Saturne, en demi-diamètres de l’anneau, de $8$ seulement mais il donne ensuite $45''$ au diamètre apparent de l’anneau, ce qui rend la plus grande élongation de $3'.$ Il y a peut-être lieu de croire que ces éléments sont moins exacts que ceux qui résultent des observations de Pound, d’autant plus que suivant Cassini le diamètre apparent de Saturne est de $20'',$ ce qui donne le rapport de ce diamètre à celui de l’anneau dans la proportion de $4$ à $9,$ tandis que par les ohservations de Pound et de Bradley faites avec de très-longues lunettes cette proportion est de $3$ à $7.$

Nous supposerons cependant par un milieu la plus grande élongation du satellite en question de $2'59''\,;$ nous aurons ainsi

${\frac {\rho }{r}}=\sin 2'59''\,;$

et, employant la valeur de ${\frac {t}{\theta }}$ donnée ci-dessus, il viendra

$\log \left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}\left({\frac {t}{\theta }}\right)^{2}=\log \mathrm {T} =6{,}4788674\,;$

d’où

$\mathrm {T} ={\frac {1}{3358{,}40}},$

valeur de la masse de Saturne en parties de celle du Soleil.

Si l’on supposait avec Newton

${\frac {\rho }{r}}=\sin 3'4'',$

on trouverait

$\log \mathrm {T} =6{,}5097618,$

et par conséquent

$\mathrm {T} ={\frac {1}{3091{,}9}},$

valeur très-peu différente de celle qu’il a donnée dans la Proposition VIII, du Livre III. Mais, d’après la discussion où nous sommes entrés sur la vraie élongation du quatrième satellite de Saturne, on ne peut que regarder cette valeur comme beaucoup trop forte.

Au reste il est surprenant que dans ces derniers temps, où le nombre des Observatoires et des Observateurs s’est si fort accru, et où les instruments optiques ont été portés à une si. grande perfection, on n’ait pas cherché à rectifier de nouveau des éléments si essentiels pour la Théorie du système du monde ; nous exhortons les Astronomes à réparer cette omission et à déterminer par de nouvelles observations les distances des satellites de Jupiter et de Saturne à leurs Planètes principales avec toute l’exactitude que l’on peut attendre dans l’état actuel de l’Astronomie.

11. Quant à la densité de Saturne, laquelle dépend de la formule

$\mathrm {D} =\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{3}{\frac {1}{\theta ^{2}}},$

en prenant pour ${\frac {\rho }{d}}$ la valeur trouvée par Bradley de $20{,}295,$ il vient

$\log \mathrm {D} =1{,}5166958\,;$

d’où, retranchant la valeur de $\log \mathrm {D}$ pour la Terre (7), on a

$9{,}0497954$

pour le logarithme du rapport de la densité de Saturne à celle de la Terre ; en sorte que la densité de Saturne sera

$0{,}11215,$

celle de la Terre étant prise pour l’unité.

Au reste cette détermination suppose que l’on fasse abstraction de l’attraction de l’anneau sur les satellites, et que la force centrale de ceux-ci soit due uniquement à la masse de Saturne. Si une partie $m$^ième de cette force provenait de l’anneau, alors la valeur que nous venons de trouver pour la densité devrait être diminuée de la $m$^ième partie.

12. À l’égard des masses des autres Planètes qui n’ont point de satellites, il faut, comme nous l’avons dit plus haut, les conclure de leurs volumes combinés avec leurs densités. C’est ainsi que M. Euler en a usé le premier dans ses Recherches sur les perturbations des Planètes (Prix de l’Académie des Sciences de Paris, tome VIII, page 123). Newton avait trouvé que les densités de la Terre, de Jupiter et de Saturne étaient dans la proportion des nombres $400{,}94{\tfrac {1}{2}}$ et $67$ (Livre III, Proposition VIII), ou bien en divisant par $400,$ de ceux-ci $1,$$\ 0{,}23625,$$\ 0{,}1675.$ M. Euler a remarqué que ces nombres sont presque comme les racines des mouvements moyens de ces Planètes ; en effet, comme les carrés des mouvements moyens sont en raison inverse des cubes des distances moyennes, il s’ensuit que les racines des mouvements moyens seront en raison inverse des puissances ${\frac {3}{4}}$ de ces mêmes distances ; or d’après les valeurs du n^o 4 on trouve

${\frac {1}{r'''^{\frac {3}{4}}}}=1,\quad {\frac {1}{r'^{\frac {3}{4}}}}=0{,}29036,\quad {\frac {1}{r^{\frac {3}{4}}}}=0{,}18422\,;$

et l’on voit que ces deux derniers nombres ne s’éloignent pas beaucoup de ceux qui expriment, suivant Newton, les densités de Jupiter et de Saturne en parties de celle de la Terre. De là M. Euler a conclu qu’on pouvait supposer que les densités inconnues de Mars, Vénus et Mercure suivent la même loi des racines des mouvements moyens ; et c’est d’après cette hypothèse qu’ont été calculées les densités et les masses de ces Planètes qu’on trouve dans la Connaissance des Temps, et dont nous avons fait usage dans nos Recherches sur Les équations séculaires des nœuds et des inclinaisons, quoique d’ailleurs les densités de la Terre, de Jupiter et de Saturne y soient assez différentes de celles de Newton, et s’éloignent considérablement de la loi supposée.

Suivant les déterminations précédentes, les densités de la Terre, de Jupiter et de Saturne sont comme les nombres $1,\ 0{,}20155$ et $0{,}11215.$ Or ces nombres sont à peu près en raison inverse des distances moyennes ; car on a

${\frac {1}{r'''}}=1,\quad {\frac {1}{r'}}=0{,}19228,\quad {\frac {1}{r}}=0{,}10482.$

Pour Jupiter la différence est moindre qu’un vingtième de la densité ; pour Saturne elle est environ d’un quinzième ; mais nous avons remarqué que la force attractive de l’anneau doit diminuer la densité de Saturne ainsi cette considération peut l’approcher davantage de la valeur ${\frac {1}{r}}.$ Dans la Connaissance des Temps cette densité est seulement de $0{,}1045,$ et par conséquent presque égale à ${\frac {1}{r}}\,;$ mais, comme j’ignore sur quelles données elle a été calculée, je ne puis savoir quel degré de confiance elle mérite.

Quoi qu’il en soit, s’il y a une loi entre les densités des Planètes et leurs distances au Soleil, on peut regarder celle que nous venons de découvrir et qui fait ces densités réciproquement proportionnelles aux distances, comme la plus plausible par sa simplicité et par son accord avec les densités connues ; nous l’adopterons donc aussi pour Mars, Vénus et Mercure, et nous supposerons leurs densités égales respectivement aux quantités ${\frac {1}{r''}},{\frac {1}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},{\frac {1}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}$ c’est-à-dire, à

$0{,}65630,\quad 1{,}38250,\quad 2{,}58331,$

d’après les valeurs du n^o 4.

13. Comme ces densités sont exprimées en parties de celle de la Terre, il est clair que si on les multiplie respectivement par les cubes des diamètres exprimés pareillement en parties de celui de la Terre, on aura les masses correspondantes, exprimées aussi en parties de la masse de la Terre ; car on sait que les volumes des sphères et de tous les corps semblables sont en raison triplée des côtés homologues. Il ne s’agit donc que d’avoir les diamètres des trois Planètes Mars, Vénus et Mercure ; mais le manque d’observations rend de nouveau cette détermination difficile et incertaine.

M. le Monnier rapporte dans les Institutions astronomiques que Picard avait observé, le 5 septembre 1672, le diamètre de Mars de $26''\,;$ mais que Flamsteed l’avait trouvé à peu près dans le même temps tantôt de $2'',$ tantôt de $7''$ plus grand ; ainsi, suivant Flamsteed, ce diamètre aurait été alors par un milieu d’environ $30''\,;$ sur quoi M. de Lalande observe dans son Astronomie que Picard lui-même dit l’avoir trouvé de $30''$ dans le temps de l’opposition qui a eu lieu le 8 septembre 1672. Or la distance de Mars à la Terre était alors de $0{,}3815$ en parties de la distance moyenne de la Terre au Soleil ; ainsi le diamètre apparent de Mars vu à cette dernière distance sera de $11''{,}4\,;$ c’est ainsi qu’il se trouve dans la Connaissance des Temps. Mais dans les Suppléments à l’Astronomie, M. de Lalande réduit ce diamètre à $10''{,}175$ d’après les observations faites par M. l’Abbé Rochon en 1777 avec son nouveau micromètre. Nous le supposerons cependant encore de $11''{,}4$ avec Picard et Flamsteed.

Le passage de Vénus sur le disque du Soleil, arrivé le 6 juin 1761, a fourni aux Astronomes l’occasion de rectifier le diamètre de Vénus, que les observations d’Horroccius avaient donné d’environ $20''$ à la distance moyenne du Soleil. M. de Lalande l’a déterminé de $16''{,}7$ à cette même distance, tant par ses propres observations que par celles que Short avait faites en Angleterre ; et il ne paraît pas que les observations du passage de 1769 aient rien changé à cette détermination (Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1762, page 260).

Le diamètre de Mercure ayant été mesuré par Bradley en 1723, dans le temps du passage de cette Planète sur le disque du Soleil, avec un micromètre appliqué à un télescope d’Huyghens de $120$ pieds, fut trouvé de $10''45'''$ (Transactions philosophiques, n^o 386). Or le calcul donne pour la distance de Mercure à la Terre à cette époque $0{,}67657\,;$ de sorte que ce diamètre, réduit à la distance moyenne du Soleil, devient $7''{,}27.$ Mais M. de Lalande, dans le passage de 1753, ne l’a trouvé pour cette même distance que de $6''{\tfrac {1}{2}}\,;$ et il le fixe en conséquence par une espèce de milieu à $6''{,}9.$ Nous le supposerons en nombres ronds de $7'',$ tel qu’il se trouve dans la Connaissance des Temps.

14. Les valeurs que nous venons d’assigner aux diamètres de Mars, Vénus et Mercure, réduits à la distance moyenne du Soleil à la Terre, étant maintenant divisés par $17'',$ diamètre de la Terre vue du Soleil dans la supposition de la parallaxe de cet astre de $8''{\tfrac {1}{2}},$ on a les nombres suivants

$0{,}67059,\quad 0{,}98235,\quad 0{,}41176$

pour les valeurs de ces diamètres exprimées en parties de celui de la Terre. Les cubes de ces nombres, étant multipliés respectivement par les densités (12)

$0{,}65630,\quad 1{,}38250,\quad 2{,}58331,$

donneront les masses en parties de celle de la Terre ; et ces masses étant ensuite multipliées par ${\frac {1}{365361}},$ rapport de la masse de la Terre à celle du Soleil, donneront enfin les rapports des masses de Mars, de Vénus et Mercure à celle du Soleil, ou, ce qui revient au même, les masses de ces Planètes exprimées en parties de celle du Soleil, c’est-à-dire, les valeurs des

quantités $\mathrm {T'',T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},T^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,$ D’après ce calcul on trouve

${\begin{alignedat}{2}\log \mathrm {T} ''\ =&3{,}7337488,\qquad &\mathrm {T} ''\ =&{\frac {1}{1846082}},\\\log \mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&4{,}5547437,&\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {1}{278777}},\\\log \mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&3{,}6934015,&\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&{\frac {1}{2025810}}.\end{alignedat}}$

Et les autres masses seront, comme on les a trouvées ci-dessus,

${\begin{alignedat}{2}\log \mathrm {T} \ \ \ =&6{,}4788674,\qquad &\mathrm {T} \ \ \ =&{\frac {1}{3358{,}40}},\\\log \mathrm {T} '\ \ =&6{,}9717561,&\mathrm {T} '\ \ =&{\frac {1}{1067{,}195}},\\\log \mathrm {T} '''=&4{,}4372774,&\mathrm {T} '''=&{\frac {1}{36561}}.\end{alignedat}}$

15. Après avoir ainsi déterminé les valeurs des quantités $\mathrm {T,T',\ldots ,T^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,$ il n’y a plus qu’à les substituer dans les expressions des quantités marquées par des crochets ronds et carrés (4) mais avant de faire cette substitution nous remarquerons que, dans les équations différentielles dont ces quantités doivent être les coefficients, la variable $t$ est censée représentée par l’angle du mouvement moyen de la Terre autour du Soleil. Or il est beaucoup plus commode pour le calcul et pour les usages astronomiques d’exprimer le temps en années Juliennes de $365$ jours et $6$ heures. Soit donc $\alpha$ l’angle que la Terre ou le Soleil parcourt relativement aux étoiles fixes dans l’espace d’une année Julienne, il est clair qu’il n’y a qu’à changer $t$ en $\alpha t$ pour que la quantité $t$ se trouve exprimée en années et en parties d’année. Mettant ainsi $\alpha t$ à la place de $t,$ et par conséquent $\alpha dt$ à la place de $dt,$ dans les équations dont il s’agit, et les multipliant ensuite par $\alpha ,$ elles ne recevront d’autre changement, si ce n’est que tous leurs coefficients représentés par des crochets ronds et carrés se trouveront eux-mêmes multipliés par $\alpha .$ D’où il s’ensuit que, pour faire en sorte que le temps $t$ se trouve exprimé en nombres qui représentent des années Juliennes, il suffira de multiplier par $\alpha$ les valeurs de toutes les quantités marquées par des crochets, ou encore de multiplier simplement par les valeurs des six quantités $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,T^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,$ puisque chacune de celles-là est multipliée par une de celles-ci.

Mais il faut déterminer la valeur de $\alpha \,;$ pour cela je prends dans les Tables de Mayer pour le Soleil le mouvement pour $100$ années Juliennes, que je trouve de cent circonférences complètes plus $46'23'',$ ce qui fait $129602783''\,;$ j’en retranche le mouvement séculaire des équinoxes, qui est, suivant les mêmes Tables, de $1^{\circ }23'50'',$ ou bien de $5030''\,;$ reste $129597753''$ pour le mouvement séculaire du Soleil ou de la Terre relativement aux étoiles fixes ; d’où l’on a

$1295977''{,}53$

pour le mouvement annuel que nous avons dénoté par $\alpha .$

Je multiplie donc les valeurs des quantités $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,T^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}$ trouvées dans les numéros précédents par le nombre $1295977''{,}53\,;$ j’ai comme il suit

${\begin{alignedat}{3}\log \mathrm {T} \ \ \ =&2{,}5864648,\qquad \qquad &\mathrm {T} \ \ \ =&\ \ 385''{,}801,\\\log \mathrm {T} '\ \ =&3{,}0843535,&\mathrm {T} '\ \ =&1214''{,}376,\\\log \mathrm {T} ''\ =&9{,}8463462,&\mathrm {T} ''\ =&\quad \ \ 0''{,}702,\\\log \mathrm {T} '''=&0{,}5498748,&\mathrm {T} '''=&\quad \ \ 3''{,}547,\\\log \mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&0{,}6673411,&\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\quad \ \ 4''{,}649,\\\log \mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&9{,}8059989,&\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&\quad \ \ 0''{,}640.\end{alignedat}}$

Ce sont les valeurs des masses des six Planètes Saturne, Jupiter, Mars, la Terre, Vénus et Mercure, en supposant la masse du Soleil représentée par l’angle que cet astre décrit dans l’espace d’une année Julienne.

16. On substituera maintenant ces valeurs dans celles des quantités marquées par des crochets (4) ; mais, comme les masses que nous venons de trouver pourraient encore avoir besoin de quelque correction, surtout celles de Mars, Vénus et Mercure qui n’ont été déterminées qu’hypothétiquement, il sera bon de multiplier auparavant les valeurs précédentes de $\mathrm {T,T',T'',T'''} ,$$\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},T^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,$ par des coefficients indéterminés, $m,m',m'',m''',$ $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ qui seront par conséquent censés représenter des nombres peu différents de l’unité. On verra dans la Section suivante comment on peut déterminer ces coefficients d’après les observations.

On aura donc comme il suit

${\begin{alignedat}{4}(0,1)&=&17''{,}&8804m'&[0,1]&=&11''{,}&6842m'\\&&1{,}&2523739,\qquad \qquad &&&1{,}&0675978,\\(0,2)&=&0''{,}&0006m''&[0,2]&=&0''{,}&0001m''\\&&6{,}&698260,&&&5{,}&9751526,\\(0,3)&=&0''{,}&00o10m'''&[0,3]&=&0''{,}&0001m'''\\&&7{,}&0054469,&&&6{,}&1215453,\\(0,4)&=&0''{,}&0007m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[0,4]&=&0''{,}&0001m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&&6{,}&8374008,&&&5{,}&8129111,\\(0,5)&=&0''{,}&0000m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&[0,5]&=&0''{,}&0000m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&&5{,}&4297430,&&&4{,}&1360122,\\(1,0)&=&7''{,}&6952m&[1,0]&=&5''{,}&0286m\\&&0{,}&8862185,&&&0{,}&7014424,\\(1,2)&=&0''{,}&0045m''&[1,2]&=&0''{,}&0016m''\\&&7{,}&6541107,&&&7{,}&2130960,\\(1,3)&=&0''{,}&0089m'''&[1,3]&=&0''{,}&0021m'''\\&&7{,}&9493361,&&&7{,}&3279829,\\(1,4)&=&0''{,}&0059m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[1,4]&=&0''{,}&0010m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&&7{,}&79706921&&&7{,}&0100202,\\(1,5)&=&0''{,}&0002m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&[1,5]&=&0''{,}&0000m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&&6{,}&3549135,&&&5{,}&3229357,\\(2,0)&=&0''{,}&6581m&[2,0]&=&0''{,}&1299m\\&&9{,}&8182718,&&&9{,}&1135984,\\(2,1)&=&14''{,}&4116m'&[2,1]&=&5''{,}&2203m'\\&&1{,}&1587124,&&&0{,}&7176977,\\(2,3)&=&1''{,}&7724ms'''&[2,3]&=&1''{,}&3630m'''\\&&0{,}&2485728,&&&0{,}&1344935,\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{4}(2,4)&=&0''{,}&6760m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[2,4]&=&0''{,}&3889m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&&9{,}&8299503,\qquad \qquad &&&9{,}&5899402,\\(2,5)&=&0''{,}&8182m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&[2,5]&=&0''{,}&0086m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&&8{,}&2596098,&&&7{,}&7497429,\\(3,0)&=&0''{,}&3403m&[3,0]&=&0''{,}&0445m\\&&9{,}&5318127,&&&8{,}&647g111,\\(3,1)&=&6''{,}&9480m'&[3,1]&=&1''{,}&6615m'\\&&0{,}&8418589,&&&0{,}&2205047,\\(3,2)&=&0''{,}&4330m''&[3,2]&=&0''{,}&3330m''\\&&9{,}&6364927,&&&9{,}&5224134,\\(3,4)&=&7''{,}&4579m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[3,4]&=&6''{,}&2104m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&&0{,}&8726141,&&&0{,}&7931179,\\(3,5)&=&0''{,}&0976m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&[3,5]&=&0''{,}&0463m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&&8{,}&0893371,&&&8{,}&6654494,\\(4,0)&=&0''{,}&2073m&[4,0]&=&0''{,}&0196m\\&&9{,}&3166326,&&&8{,}&2921429,\\(4,1)&=&4''{,}&1312m'&[4,1]&=&0''{,}&7168m'\\&&0{,}&6160784,&&&9{,}&8554065,\\(4,2)&=&0''{,}&1482m''&[4,2]&=&0''{,}&0853m''\\&&9{,}&1707353,&&&8{,}&9307255,\\(4,3)&=&6''{,}&6908m'''&[4,3]&=&5''{,}&5716m'''\\&&0{,}&8254796,&&&0{,}&7459834,\\(4,5)&=&0''{,}&4223m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&[4,5]&=&0''{,}&2714m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&&9{,}&6256507,&&&9{,}&4335698,\\(5,0)&=&0''{,}&0806m&[5,0]&=&0''{,}&0041m\\&&8{,}&9060743,&&&7{,}&6123435,\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{4}(5,1)&=&1''{,}&5754m'&[5,1]&=&0''{,}&1464m'\\&&0{,}&1974000,\qquad \qquad &&&9{,}&1654222,\\(5,2)&=&0''{,}&0396m''&[5,2]&=&0''{,}&0122m''\\&&8{,}&5974941,&&&8{,}&0876272,\\(5,3)&=&0''{,}&8696m'''&[5,3]&=&0''{,}&4125m'''\\&&9{,}&9393014,&&&9{,}&6154137,\\(5,4)&=&4''{,}&1952m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&[5,4]&=&2''{,}&6957m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&&0{,}&6225495,&&&0{,}&4306686.\end{alignedat}}$

J’ai placé aussi sous les coefficients numériques leurs logarithme, comme je l’ai déjà fait plus haut (4), et par la même raison. C’est ainsi que j’en userai toujours dans la suite.

17. Voilà donc les valeurs numériques de tous les coefficients des différentes équations différentielles qui doivent servir à déterminer les variations séculaires des aphélies, des excentricités, des nœuds et des inclinaisons des six Planètes principales. Ces équations, au nombre de vingt-quatre, auront la forme que voici.

1^o Pour les variations des aphélies et des excentricités, en nommant $\varphi ,\varphi ',\ldots$ les longitudes des aphélies de Saturne, Jupier,\ldots, $\lambda ,\lambda ',\ldots$ les excentricités de leurs orbites, en parties de leurs moyennes distances au Soleil, et supposant $x=\lambda \sin \varphi ,\ y=\lambda \cos \varphi ,\ x'=\lambda '\sin \varphi ',$$\ y'=\lambda '\cos \varphi ',\ldots ,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{dt}}\ &-{\Bigl [}(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5){\Bigr ]}y\\&+[0,1]y'+[0,2]y''+[0,3]y'''+[0,4]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[0,5]y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {dy}{dt}}\ &+{\Bigl [}(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5){\Bigr ]}x\\&-[0,1]x'-[0,2]x''-[0,3]x'''-[0,4]x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-[0,5]x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {dx'}{dt}}&-{\Bigl [}(1,0)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5){\Bigr ]}y'\\&+[1,0]y+[1,2]y''+[1,3]y'''+[1,4]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[1,5]y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy'}{dt}}\ \ &-{\Bigl [}(1,0)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5){\Bigr ]}x'\\&-[1,0]x-[1,2]x''-[1,3]x'''-[1,4]x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-[1,5]x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {dx''}{dt}}\ &-{\Bigl [}(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4)+(2,5){\Bigr ]}y''\\&+[2,0]y+[2,1]y'+[2,3]y'''+[2,4]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[2,5]y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {dy''}{dt}}\ &+{\Bigl [}(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4)+(2,5){\Bigr ]}x''\\&-[2,0]x-[2,1]x'-[2,3]x'''-[2,4]x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-[2,5]x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {dx'''}{dt}}&-{\Bigl [}(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4)+(3,5){\Bigr ]}y'''\\&+[3,0]y+[3,1]y'+[3,2]y''+[3,4]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[3,5]y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {dy'''}{dt}}&+{\Bigl [}(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4)+(3,5){\Bigr ]}x'''\\&-[3,0]x-[3,1]x'-[3,2]x''-[3,4]x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-[3,5]x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {dx^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}\ &-{\Bigl [}(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,5){\Bigr ]}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&+[4,0]y+[4,1]y'+[4,2]y''+[4,3]y'''+[4,5]y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}\ &+{\Bigl [}(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,5){\Bigr ]}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&-[4,0]x-[4,1]x'-[4,2]x''-[4,3]x'''-[4,5]x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {dx^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &-{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&+[5,0]y+[5,1]y'+[5,2]y''+[5,3]y'''+[5,4]y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0,\\{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &+{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&-[5,0]x-[5,1]x'-[5,2]x''-[5,3]x'''-[5,4]x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0.\\\end{alignedat}}$

2^o Pour les variations des nœuds et des inclinaisons, en nommant $\omega ,\omega ',\ldots$ les longitudes des nœuds ascendants de Saturne, Jupiter, $\ldots ,$ $\theta ,\theta ',\ldots$ les tangentes des inclinaisons de leurs orbites sur le plan de l’écliptique supposée fixe, et faisant $s=\theta \sin \omega ,\ u=\theta \cos \omega ,\ s'=\theta '\sin \omega ',$$u'=\theta '\cos \omega ',\ldots ,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {ds}{dt}}\ \ \ &+{\Bigl [}(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5){\Bigr ]}u\\&-(0,1)u'-(0,2)u''-(0,3)u'''-(0,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(0,5)u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {du}{dt}}\ \ \ &-{\Bigl [}(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5){\Bigr ]}s\\&+(0,1)s'+(0,2)s''+(0,3)s'''+(0,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(0,5)s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {ds'}{dt}}\ \ &+{\Bigl [}(1,0)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5){\Bigr ]}u'\\&-(1,0)u-(1,2)u''-(1,3)u'''-(1,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(1,5)u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {du'}{dt}}\ \ &-{\Bigl [}(1,0)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5){\Bigr ]}s'\\&+(1,0)s+(1,2)s''+(1,3)s'''+(1,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(1,5)s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {ds''}{dt}}\ &+{\Bigl [}(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4)+(2,5){\Bigr ]}u''\\&-(2,0)u-(2,1)u'-(2,3)u'''-(2,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(2,5)u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {du''}{dt}}\ &-{\Bigl [}(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4)+(2,5){\Bigr ]}s''\\&+(2,0)s+(2,1)s'+(2,3)s'''+(2,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(2,5)s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {ds'''}{dt}}\ &+{\Bigl [}(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4)+(3,5){\Bigr ]}u'''\\&-(3,0)u-(3,1)u'-(3,2)u''-(3,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(3,5)u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {du'''}{dt}}\ &-{\Bigl [}(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4)+(3,5){\Bigr ]}s'''\\&+(3,0)s+(3,1)s'+(3,2)s''+(3,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(3,5)s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\{\frac {ds^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}\ &+{\Bigl [}(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,5){\Bigr ]}u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&-(4,0)u-(4,1)u'-(4,2)u''-(4,3)u'''-(4,5)u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0,\\{\frac {du^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}\ &-{\Bigl [}(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,5){\Bigr ]}s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&+(4,0)s+(4,1)s'+(4,2)s''+(4,3)s'''+(4,5)s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&0\,;\\\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {ds^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &+{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&-(5,0)u-(5,1)u'-(5,2)u''-(5,3)u'''-(5,4)u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0,\\{\frac {du^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ &-{\Bigl [}(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4){\Bigr ]}s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&+(5,0)s+(5,1)s'+(5,2)s''+(5,3)s'''+(5,4)s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&0.\end{alignedat}}$

Quant à la variable $t,$ elle représente, dans ces équations, le nombre entier ou fractionnaire des années Juliennes écoulées depuis une époque fixe qui est encore arbitraire, de sorte que $t$ sera positif pour les temps postérieurs à cette époque et négatif pour les antérieurs.

18. Nous avons supposé jusqu’ici que les orbites des Planètes étaient rapportées à une écliptique fixe, c’est-à-dire au plan dans lequel la Terre s’est mue à une époque donnée ; et nous avons rapporté également à ce même plan la position variable de l’écliptique réelle ou de la vraie orbite de la Terre, pour un instant quelconque. Mais en Astronomie on a coutume de rapporter immédiatement les orbites des Planètes à cette écliptique réelle ; on rapporte ensuite la position variable de celle-ci à celle de l’équateur, en tenant compte des changements auxquels ce dernier plan est lui-même sujet. Ainsi, pour rapprocher autant qu’il est possible nos formules des méthodes astronomiques, il faut encore faire voir comment elles peuvent servir à déterminer directement la position des orbites des Planètes par rapport au vrai plan de l’écliptique.

Pour cela on se rappellera que la tangente de la latitude correspondante à une longitude $q,$ pour un point quelconque d’une-orbite dont la tangente d’inclinaison est $\theta$ et la longitude du nœud est $\omega ,$ est exprimée, en général, par $\theta \sin(q-\omega ),$ comme on l’a vu dans la première Partie ; ce qui est d’ailleurs connu par les propriétés des triangles sphériques rectangles. Ainsi, en supposant deux orbites rapportées premièrement à l’écliptique fixe, et ensuite l’une à l’autre, et nommant, $\theta ,\theta '$ les tangentes de leurs inclinaisons à l’écliptique, $\omega ,\omega '$ les longitudes de leurs nœuds ascendants sur ce plan, $\vartheta$ la tangente de l’inclinaison de l’une à l’autre, et $\Omega$ la longitude du nœud ascendant de la première sur la seconde, comptée sur celle-ci, les tangentes des latitudes correspondantes à une même longitude $q$ seront, pour les deux orbites relativement à l’écliptique, $\theta \sin(q-\omega ),\ \theta '\sin(q-\omega '),$ et pour la première orbite relativement à la seconde $\vartheta \sin(q-\Omega ).$

Or, si l’inclinaison des deux orbites à l’écliptique est supposée très-petite, en sorte que $\theta$ et $\theta '$ soient des quantités fort petites, ainsi que, les tangentes des latitudes seront à très-peu près égales aux latitudes elles-mêmes, et le cercle de latitude correspondant à la longitude q comptée sur l’écliptique se confondra à très-peu près avec le cercle de latitude correspondant à la même longitude $q$ comptée sur l’une des orbites. D’où il est aisé de conclure que la latitude $\vartheta \sin(q-\Omega )$ sera à très-peu près égale à la différence des deux latitudes $\theta \sin(q-\omega )$ et $\theta '\sin(q-\omega ')\,;$ ce qui donnera cette équation

$\vartheta \sin(q-\Omega )=\theta \sin(q-\omega )-\theta '\sin(q-\omega '),$

laquelle sera vraie quelle que soit la longitude $q.$ De sorte qu’en développant les sinus et comparant séparément les termes qui contiennent $\sin q$ et $\cos q,$ on aura ces deux équations

${\begin{aligned}\vartheta \sin \Omega =&\theta \sin \omega -\theta '\,\sin \omega '=s-s',\\\vartheta \cos \Omega =&\theta \cos \omega -\theta '\cos \omega '=u-u',\end{aligned}}$

par lesquelles on déterminera facilement le lieu du nœud commun et l’inclinaison mutuelle des deux orbites.

Or, puisque $\vartheta \sin \Omega$ et $\vartheta \cos \Omega$ sont des quantités analogues à $s$ et $u,$ pour l’orbite rapportée non à l’écliptique fixe, mais à une autre orbite dépendante de $s'$ et $u',$ il s’ensuit, en général, que si des éléments $s$ et $u$ relatifs à une orbite quelconque on retranche les éléments correspondants pour une autre orbite, on aura sur-le-champ ceux de la première orbite rapportée à la seconde.

Ainsi, pour rapporter les orbites de Saturne, Jupiter, $\ldots$ à l’écliptique vraie ou à l’orbite de la Terre, il n’y aura qu’à prendre, à la place des éléments $s,u,s',u',\ldots ,$ les différences $s-s''',\ u-u''',\ s'-s''',\ u'-u''',\ldots$ de ces mêmes éléments avec les éléments analogues $s''',u'''$ pour cette dernière orbite.

Quant au degré de précision de ces réductions, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elles sont exactes aux quantités du troisième ordre près, en regardant les inclinaisons à l’écliptique comme des quantités du premier ordre ; ainsi, vu la petitesse effective de ces inclinaisons pour les Planètes de notre système, on pourra toujours employer les réductions dont il s’agit comme si elles étaient tout à fait rigoureuses.

19. À l’égard du changement de position de l’écliptique vraie par rapport à l’équateur, on le déterminera facilement d’après celui qui a lieu relativement à l’écliptique fixe, et qui dépend des quantités $s'''=\theta '''\sin \omega ''',$$u'''=\theta '''\cos \omega ''',$

En effet, comme $\theta '''$ est la tangente d’inclinaison, ou l’inclinaison elle-même (à cause de sa petitesse) de l’écliptique vraie avec l’écliptique fixe, et $\omega '''$ la longitude du nœud ou du point d’intersection de ces écliptiques ; si l’on nomme de plus $\mathrm {I}$ l’inclinaison ou l’obliquité de l’écliptique fixe de 1700 sur l’équateur, $\mathrm {I} +i$ l’obliquité de l’écliptique vraie, $\omega '''-\eta$ la longitude du nœud des deux écliptiques comptée sur l’écliptique vraie, tandis que la longitude $\omega '''$ du même nœud est comptée sur l’écliptique fixe ; enfin $\varepsilon$ l’arc de l’équateur compris entre les deux écliptiques ; on aura évidemment un triangle sphérique formé par les trois côtés $\varepsilon ,\omega ''',\omega '''-\eta ,$ et dans lequel les angles opposés à ces côtés seront $\theta ''',\ 180^{\circ }-\mathrm {I} -i,\ \mathrm {I} .$ De sorte que par les propriétés connues on aura ces formules

$\cos(\mathrm {I} +i)=\cos \mathrm {I} \cos \theta '''-\sin \mathrm {I} \sin \theta '''\cos \omega ''',$

${\frac {\sin \omega '''}{\sin(\mathrm {I} +i)}}={\frac {\sin \varepsilon }{\sin \theta '''}}={\frac {\sin(\omega '''-\eta )}{\sin \mathrm {I} }},$

d’où l’on tirera $i,\varepsilon$ et $\eta .$

Or, en regardant $\theta '''$ comme très-petit, $i$ et $\eta$ seront également très-petits du même ordre, et l’on trouvera par la méthode différentielle

$i=\theta '''\cos \omega ''',\quad \varepsilon ={\frac {\theta '''\sin \omega '''}{\sin \mathrm {I} }},\quad \eta ={\frac {i\operatorname {tang} \omega '''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}={\frac {\theta '''\sin \omega '''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}\,;$

donc

$i=u''',\quad \varepsilon ={\frac {s'''}{\sin \mathrm {I} }},\quad \eta ={\frac {s'''}{\operatorname {tang} \mathrm {I} }}.$

Il est clair, d’après les dénominations précédentes, que $i$ sera l’accroissement de l’obliquité de l’écliptique, $\varepsilon$ le mouvement des points équinoxiaux en ascension droite, et $\eta$ leur mouvement en longitude.

Ces éléments étant connus, on déterminera facilement les variations séculaires de la latitude et de la longitude des étoiles, dues au déplacement de l’écliptique ; et il n’est pas difficile de voir que, si $\mathrm {X}$ est la longitude d’une étoile, $\mathrm {Y}$ sa latitude supposée boréale, l’une et l’autre rapportées à l’écliptique fixe de 1700, on aura à très-peu près

$\theta '''\sin(\mathrm {X} -\omega '''),$

pour la quantité dont la latitude sera diminuée, et

$\theta '''\cos(\mathrm {X} -\omega )\operatorname {tang} \mathrm {Y} -\eta ,$

pour celle dont la longitude se trouvera augmentée.

De sorte que l’augmentation de la latitude sera représentée par

$s'''\cos \mathrm {X} -u'''\sin \mathrm {X} ,\quad {\text{ou}}\quad \eta \operatorname {tang} \mathrm {I} \cos \mathrm {X} -i\sin \mathrm {X} ,$

et l’augmentation de la longitude sera

$(u'''\cos \mathrm {X} +s'''\sin \mathrm {X} )\operatorname {tang} \mathrm {Y} -\eta ,$

${\text{ou}}\quad i\cos \mathrm {X} \operatorname {tang} \mathrm {Y} -\eta (1-\operatorname {tang} \mathrm {I} \sin \mathrm {X} \operatorname {tang} \mathrm {Y} ).$

Au reste, comme nous avons supposé que les longitudes étaient comptées depuis un point fixe de l’écliptique fixe, pour avoir égard à la précession des équinoxes, provenant du mouvement rétrograde de l’équateur, et qu’on estime communément de $50''{\tfrac {1}{3}}$ par an, il faudra augmenter ces longitudes de $50''{\tfrac {1}{3}}\times t\,;$ c’est pourquoi il faudra mettre dans les formules que nous venons de donner $\omega '''+50''{\tfrac {1}{3}}\times t$ au lieu de ce qui changera la quantité $s'''$ en

$s'''\cos \left(50''{\tfrac {1}{3}}\times t\right)+u'''\sin \left(50''{\tfrac {1}{3}}\times t\right),$

et $u'''$ en

$u'''\cos \left(50''{\tfrac {1}{3}}\times t\right)-s'''\sin \left(50''{\tfrac {1}{3}}\times t\right).$

Il en sera de même pour les longitudes des nœuds et des aphélies de toutes les Planètes.

20. On sera peut-être surpris de ce que dans les calculs précédents nous n’avons point tenu compte de l’action de la nouvelle Planète. Mais 1^o il n’est peut-être pas encore suffisamment constaté que c’en soit une ; 2^o sa distance au Soleil est trop grande, et sa masse paraît être trop petite pour pouvoir produire des effets sensibles sur les autres Planètes.

En effet, quant à la distance moyenne de cette Planète, d’après les derniers calculs appuyés sur les observations faites depuis deux ans, elle est à peu près double de celle de Saturne, et son diamètre apparent n’est, suivant les observations de \mathrm M. Herschel, que d’environ $4''\,;$ ainsi ce diamètre n’est que ${\frac {2}{9}}$ de celui de Saturne ; de sorte que le diamètre vrai de la nouvelle Planète sera ${\frac {4}{9}}$ de celui de Saturne, et son volume ${\frac {64}{729}},$ à peu près ${\frac {1}{11{\frac {1}{2}}}}$ de celui de Saturne. Ce rapport serait aussi celui de leurs masses, si la densité était la même de part et d’autre ; mais, suivant la loi des densités trouvée dans le n^o 12, celle de la nouvelle Planète serait la moitié moindre que celle de Saturne, et par conséquent sa masse ne serait qu’environ ${\frac {1}{23}}$ de la masse même de Saturne. D’après ces données il est facile de se convaincre que l’action de la nouvelle Planète doit être très-peu, sensible sur Saturne même, et à plus forte raison sur les autres Planètes plus éloignées d’elle ; et cette raison, jointe à l’incertitude qui peut rester encore sur les éléments de cet astre, nous a paru suffisante pour nous déterminer à faire quant à présent entièrement abstraction de son action, dans la Théorie des variations séculaires des éléments des Planètes.

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SECTION SECONDE.

VALEURS DES VARIATIONS ANNUELLES DES ÉLÉMENTS DES SIX PLANÈTES PRINCIPALES, POUR L’ÉPOQUE DE 1700. COMPARAISON DE CES VALEURS AVEC CELLES QUI RÉSULTENT DES OBSERVATIONS.

21. Nous venons de présenter les équations différentielles qui renferment la loi des variations séculaires des éléments des six Planètes principales et ces équations n’ont besoin que d’être intégrées pour donner cette loi sous une forme finie et générale pour un temps quelconque ; mais dans l’état où elles sont, elles peuvent servir à déterminer les variations annuelles des mêmes éléments, puisque, ces variations étant très-petites, il est permis de les supposer égales aux rapports de leurs différentielles à celle du temps, que nous exprimons en années Juliennes. Quoique la quantité de ces variations change d’une année à l’autre, on pourra cependant la regarder et la traiter comme constante pendant plusieurs années, et même pendant un ou deux siècles ; ainsi, si l’on détermine les variations dont il s’agit pour le commencement de ce siècle, on pourra y comparer les résultats des observations faites depuis le renouvellement de l’Astronomie, et fixer par là jusqu’à un certain point l’incertitude qui reste encore dans les rapports des masses des Planètes.

Cette époque a de plus l’avantage de répondre à peu près au milieu de l’intervalle dans lequel Flamsteed et Halley ont fait les observations qui ont servi à ce dernier pour calculer ses Tables des Planètes ; de sorte qu’il est à présumer que les éléments de ces Tables ont été principalement établis pour l’époque dont nous parlons, ou que du moins ils sont, par rapport à elle, les résultats moyens de toutes les observations sur lesquelles les Tables sont fondées ; et qu’ainsi ils peuvent être employés avec confiance comme des données fournies immédiatement par l’observation.

22. Pour avoir les expressions des variations annuelles des aphélies et des excentricités, il ne s’agit donc que de trouver celles des quantités ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\varphi '}{dt}},$$\ldots ,{\frac {d\lambda }{dt}},{\frac {d\lambda '}{dt}},\ldots \,;$ or ayant supposé dans les éduations du n^o 17

$x=\lambda \sin \varphi ,\quad y=\lambda \cos \varphi ,\quad x'=\lambda '\sin \varphi ',\quad y'=\lambda '\cos \varphi ',\ldots ,$

on aura

$ydx-xdy=\lambda ^{2}d\varphi ,\quad x^{2}+y^{2}=\lambda ^{2},$

$xx'+yy'=\lambda \lambda '\cos(\varphi '-\varphi ),\quad x'y-y'x=\lambda \lambda '\sin(\varphi -\varphi '),$

et ainsi de suite ; ainsi ces équations donneront :

1^o Pour les mouvements, annuels des aphélies

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}\ \ \ =&(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5)\\-[0,1]&{\frac {\lambda '\cos(\varphi '-\varphi )}{\lambda }}-[0,2]{\frac {\lambda ''\cos(\varphi ''-\varphi )}{\lambda }}-[0,3]{\frac {\lambda '''\cos(\varphi '''-\varphi )}{\lambda }}\\-[0,4]&{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi )}{\lambda }}-[0,5]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi )}{\lambda }},\\\\{\frac {d\varphi '}{dt}}\ \ =&(1,0)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5)\\-[1,0]&{\frac {\lambda \cos(\varphi -\varphi ')}{\lambda '}}-[1,2]{\frac {\lambda ''\cos(\varphi ''-\varphi ')}{\lambda '}}-[1,3]{\frac {\lambda '''\cos(\varphi '''-\varphi ')}{\lambda '}}\\-[1,4]&{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ')}{\lambda '}}-[1,5]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ')}{\lambda '}},\\\\{\frac {d\varphi ''}{dt}}\ =&(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4)+(2,5)\\-[2,0]&{\frac {\lambda \cos(\varphi -\varphi '')}{\lambda ''}}-[2,1]{\frac {\lambda '\cos(\varphi '-\varphi '')}{\lambda ''}}-[2,3]{\frac {\lambda '''\cos(\varphi '''-\varphi '')}{\lambda ''}}\\-[2,4]&{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi '')}{\lambda ''}}-[2,5]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi '')}{\lambda ''}},\\\\{\frac {d\varphi '''}{dt}}=&(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4)+(3,5)\\-[3,0]&{\frac {\lambda \cos(\varphi -\varphi ''')}{\lambda '''}}-[3,1]{\frac {\lambda '\cos(\varphi '-\varphi ''')}{\lambda '''}}-[3,2]{\frac {\lambda ''\cos(\varphi ''-\varphi ''')}{\lambda '''}}\\-[3,4]&{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ''')}{\lambda '''}}-[3,5]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ''')}{\lambda '''}},\\\\{\frac {d\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dt}}=&(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,5)\\-[4,0]&{\frac {\lambda \cos(\varphi -\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-[4,1]{\frac {\lambda '\cos(\varphi '-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-[4,2]{\frac {\lambda ''\cos(\varphi ''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\\-[4,3]&{\frac {\lambda '''\cos(\varphi '''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-[4,5]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\\\\{\frac {d\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dt}}\ =&(5,0)+(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4)\\-[5,0]&{\frac {\lambda \cos(\varphi -\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}-[5,1]{\frac {\lambda '\cos(\varphi '-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}-[5,2]{\frac {\lambda ''\cos(\varphi ''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}\\-[5,3]&{\frac {\lambda '''\cos(\varphi '''-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}-[5,4]{\frac {\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})}{\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}.\end{aligned}}$

2^o Pour les variations annuelles des excentricités