THÉORIE
DES VARIATIONS PÉRIODIQUES
DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1783.)
Après avoir donné dans la Théorie des variations séculaires la partie la plus importante et la plus difficile du Calcul des perturbations des Planètes, j’ai cru devoir compléter ce Calcul, en donnant aussi l’autre partie qui concerne les variations périodiques.
Plusieurs Géomètres se sont déjà occupés de ce dernier objet ; mais leurs travaux se trouvent épars dans divers Ouvrages, et les résultats de ces travaux, dépendant de méthodes et de données différentes, présentent une variété embarrassante pour les Astronomes qui voudraient en faire usage. D’ailleurs ils n’ont point tenu compte de l’effet des variations séculaires, et, quoique cet effet ne puisse être que très-petit, la rigueur ne permet pas de le négliger, sans avoir auparavant démontré qu’il n’en saurait résulter que des altérations insensibles dans le mouvement des Planètes.
L’Analyse par laquelle nous avons déterminé les variations séculaires donne aussi directement les variations périodiques ; car nous avons commencé par réduire tout l’effet des perturbations à la variation des éléments des orbites ; nous avons ensuite séparé ce qui, dans ces variations, n’était que périodique de ce qui était indépendant des lieux des Planètes et cette dernière Partie nous a donné les variations séculaires qui affectent immédiatement et continuellement les dimensions et la position des orbites elliptiques. Il ne s’agit donc que d’avoir égard à la partie périodique des variations de ces mêmes éléments, et de tenir compte des termes négligés dans le premier calcul. On aura par là les variations totales des éléments des Planètes causées par leur attraction mutuelle ; et, en employant les éléments corrigés par ces variations, on pourra calculer pour chaque instant les lieux des Planètes par les règles ordinaires.
À la vérité, comme les variations périodiques demeurent toujours très-petites et n’ont, pour ainsi dire, qu’un effet passager et alternatif, il est peu important pour l’Astronomie de connaître en particulier les altérations qui en résultent dans chacun des éléments des orbites ; et il suffit d’avoir l’effet total de ces variations sur les lieux des Planètes. Aussi les Astronomes sont-ils dans l’usage de regarder les orbites comme constantes relativement aux variations périodiques, et de ne traiter ces variations que comme des corrections à faire aux lieux elliptiques calculés par les règles ordinaires. Mais après avoir déterminé par nos formules générales la partie périodique des variations des éléments, rien ne sera plus facile que d’en conclure les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. Il est vrai qu’on peut calculer ces inégalités d’une manière plus simple, en les déduisant immédiatement des équations différentielles de l’orbite ; mais cette méthode a, d’un autre côté, l’inconvénient de ne donner les variations séculaires qu’indirectement et par des réductions particulières ; et ne doit-il pas être plus satisfaisant de trouver toutes les inégalités du mouvement des Planètes par une même analyse et par des procédés directs et uniformes ?
1. Nous nous proposons donc ici d’appliquer à la détermination des inégalités périodiques des Planètes les formules générales trouvées dans la première Partie de la Théorie des variations séculaires ; mais auparavant il est bon de faire à ces formules un changement qui servira à les rendre plus simples et plus exactes à quelques égards, sans influer d’ailleurs en rien sur les résultats trouvés pour les variations séculaires. Ce changement est relatif à la manière dont nous avons déterminé l’anomalie vraie par l’anomalie moyenne dans une ellipse dont les éléments sont variables ; voici en quoi il consiste.
Après être parvenus dans le no 30 de la Partie citée à l’équation différentielle
dans laquelle est l’angle du mouvement moyen, celui du mouvement vrai, et des coefficients dépendant des éléments de l’ellipse, nous avons intégré le premier membre par approximation, et nous avons obtenu la formule
d’où nous avons ensuite déduit la valeur de en
J’ai reconnu depuis qu’au lieu de cette approximation il vaut mieux laisser le premier membre de l’intégrale sous la forme qu’il aurait si les éléments étaient constants, et appliquer à la valeur de qui constitue le second membre, les corrections résultantes de la variabilité des mêmes éléments.
Ainsi, en faisant
et ajoutant cette équation à l’équation différentielle ci-dessus, on aura, après l’intégration, cette formule
qu’on voit être de la même forme que la précédente, les coefficients étant changés en et la variable en
On fera donc ces mêmes changements dans les autres formules dépendantes de celle-ci ; et par conséquent les quantités et des nos 38 et suivants se réduiront d’abord à et réduction que nous avons faite aussi dans le no 49, mais d’après la considération de la petitesse des forces perturbatrices dont nous avons négligé les carrés. Par cette considération, on pourra donc aussi négliger dans les formules des variations des éléments la quantité, ou du moins la partie périodique de cette quantité, l’autre partie proportionnelle à se confondant avec le mouvement moyen ; de sorte que les équations différentielles des nos 40 et 50 demeureront les mêmes ; et toute la Théorie des variations séculaires des éléments des orbites planétaires subsistera en son entier.
À l’égard de la quantité il est clair qu’elle représentera la variation du mouvement moyen due aux forces perturbatrices, variation indépendante du grand axe de l’ellipse, et qu’on pourra rapporter à l’époque du moyen mouvement, laquelle, dans les orbites invariables, contient la sixième constante arbitraire des intégrales, et par conséquent le sixième élément du mouvement elliptique.
2. Pour avoir donc la formule de cette variation, il faut d’abord connaître les valeurs des coefficients, en or, par le no 30 de l’Ouvrage cité, on voit que la série
résulte du développement de la fraction
dans laquelle (nos 8, 29)
et
l’on trouve par les méthodes ordinaires, en poussant l’approximation
jusqu’aux troisièmes dimensions de
et faisant
conformément au
no 37 du même Ouvrage,
Après avoir différentié ces valeurs, on y substituera pour celles que nous avons données dans les nos 17 et 41 de l’Ouvrage cité ; on aura ainsi les expressions de qu’il faudra substituer dans celle de du numéro précédent.
3. Si dans cette expression de on veut se contenter d’avoir égard aux premières dimensions des quantités ainsi que nous l’avons fait dans les formules des variations des éléments de l’orbite, il suffira alors d’avoir égard aux secondes dimensions de ces quantités dans les valeurs de ce qui les réduira à celles-ci
et, comme les valeurs de et contiennent déjà les premières dimensions de et (ainsi qu’on le voit par les formules du no 39), il est clair qu’on pourra négliger les différences des termes et On aura
ainsi, après les substitutions, et en n’employant pour
et
que les valeurs du
no 42 du même Ouvrage,
et il n’y aura plus qu’à faire les autres substitutions de ce dernier numéro, en se souvenant d’y changer en et en
4. Dénotons par la valeur moyenne de l’angle c’est-à-dire la partie indépendante des sinus et cosinus, et proportionnelle au temps ; et par le demi-grand axe de l’ellipse invariable dans laquelle le mouvement moyen serait en sorte que l’on ait il est clair que, dans les termes dus aux forces perturbatrices, on pourra mettre partout au lieu de et au lieu de demi-grand axe de l’ellipse variable (37), du moins en tant qu’on néglige les carrés de ces forces, comme on l’a toujours pratiqué dans la Théorie des perturbations des corps célestes.
Ainsi les substitutions dont il s’agit se réduiront à faire
Négligeant donc dans ces substitutions les secondes dimensions des quantités et changeant les lettres en ainsi que nous l’avons fait dans le no 50 de l’Ouvrage cité, on aura pour la variation de cette formule
dans laquelle il ne s’agira plus que de substituer la valeur précédente de
5. Mais, pour avoir une formule intégrable, il est nécessaire de réduire en série les radicaux qui entrent dans l’expression de on supposera donc
et ainsi des autres radicaux semblables ; alors l’expression de se trouvera composée de termes tous intégrables, dont les uns, simplement proportionnels à seront
et dont les autres contiendront tous des sinus ou cosinus des angles et donneront par conséquent la partié périodique de la valeur de
Quant aux premiers termes, nous verrons ci-après comment, étant joints à un terme semblable provenant de la valeur de il en résulte le terme unique que nous avons supposé représenter la partie uniforme du mouvement moyen dans l’ellipse variable.
Ainsi, tant qu’on n’a égard qu’aux premières dimensions des excentricités et des inclinaisons, auxquelles les quantités ou sont proportionnelles, on ne trouve point de variation séculaire dans le mouvement moyen des Planètes ; mais, si l’on poussait l’approximation jusqu’aux, secondes dimensions de ces quantités dans l’expression de on trouverait alors des termes proportionnels à et indépendants des sinus et cosinus de lesquels auraient pour coefficients les quantités
ces termes donneraient donc, par la substitution des valeurs de relatives à chaque Planète, des variations séculaires dans leur mouvement moyen, variations qui n’affecteraient que le
mouvement circulatoire dans l’ellipse variable, mais nullement le demigrand axe ou la distance moyenne. Comme cet objet est de la plus grande importance dans la Théorie des Planètes, je me propose de le discuter à fond dans une autre occasion
[1].
6. Si dans l’expression de du no 4 on néglige les termes où se trouvent les quantités dues aux excentricités des orbites, elle se réduit à celle-ci
Soient
les coefficients étant constants et donnés par les rapports connus des mouvements moyens des Planètes puisque sera on aura, en substituant pour ou ou une équation intégrable, et dont l’intégrale sera
7. Si l’on voulait aussi tenir compte des excentricités dans la valeur de il n’y aurait qu’à substituer dans l’expression de les valeurs de déterminées dans la Théorie des variations séculaires ; ce qui ne donnerait que des termes en sinus et cosinus d’angles proportionnels à ou et par conséquent tous intégrables.
Mais pour simplifier ce calcul on remarquera :
1o Que l’on peut regarder les quantités comme constantes, puisque leurs différentielles étant de l’ordre des forces perturbatrices doivent être négligées, par la raison que ces quantités se trouvent ici déjà multipliées par la quantité qui est aussi du même ordre.
2o Qu’à cause de la petitesse des termes dont il s’agit, il suffira d’lavoir égard à ceux qui pourront augmenter beaucoup par l’intégration ; et il est clair que ce sont les termes qui contiendront des sinus ou cosinus d’angles dont la variation sera très-petite vis-à-vis de celle de l’angle car si, par exemple, désigne un de ces angles, et que étant un coefficients fort petit, la première intégration introduira au dénominateur le coefficient et la seconde y introduira le carré Comme l’angle ne peut être composé que de multiples des angles joints ensemble par les signes ou ce n’est que par les rapports connus des mouvements moyens des Planètes qu’on pourra juger dans chaque cas de la valeur du coefficient il faudra donc un examen particulier pour chaque Planète dont on voudra calculer les perturbations.
3o Que, s’il arrivait que le coefficient fût très-petit du même ordre que les coefficients de dans les sinus ou cosinus des valeurs de il faudrait alors, dans les termes qui contiendraient les sinus ou cosinus de substituer immédiatement ces valeurs, et intégrer ensuite, après avoir réduit les produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples. Mais ce cas ne paraît pas pouvoir exister dans notre Système planétaire.
8. Considérons maintenant les variations du demi-grand axe de l’ellipse. Nous avons trouvé, dans le no 35 de la Théorie citée, que ce grand axe est constant, relativement aux variations séculaires ; mais il ne l’est plus lorsqu’on a égard aux variations périodiques. Car la quantité qui est en raison inverse du demi-grand axe, est telle que
en désignant par la différentielle partielle de la fonction relativement aux seules-variables de la Planète troublée ; par conséquent cette quantité sera essentiellement variable, mais ses variations ne seront que périodiques, puisque l’expression de ne peut contenir que des termes affectés de sinus et cosinus.
Prenons pour un moment pour dénoter le demi-grand axe de l’ellipse variable dans laquelle est l’angle du mouvement moyen ; on aura par les nos 34 et 37 de la Théorie citée
Donc : 1o
et, intégrant,
La quantité est une constante arbitraire qui serait égale à la valeur moyenne de si l’intégrale ne contenait aucun terme constant. Mais nous supposerons que cette intégrale contienne encore une petite constante arbitraire, que nous déterminerons en sorte que le mouvement moyen dans l’ellipse qui aurait pour demi-grand axe soit le même que la partie uniforme de l’angle conformément à ce que nous avons supposé dans le no 4.
Si donc on fait la quantité exprimant ainsi les variations périodiques du demi-grand axe, et qu’on néglige les secondes puissances de cette quantité, on aura
2o On aura par conséquent
Mais
est la valeur de
qui aurait lieu dans l’ellipse dont le demi-grand axe serait
et que nous avons déjà désignée par
; donc, intégrant,
Donc, si l’on fait la quantité exprimant la partie périodique de l’angle on aura
et il faudra que dans cette expression il n’entre aucun terme proportionnel à .
9. Il ne s’agit maintenant que d’évaluer la quantité Or on a vu dans le no 41 de la Théorie citée que cette quantité est réductible à la forme
étant ici le rayon vecteur de l’orbite ; donc, négligeant le terme parce qu’il contiendrait les secondes puissances des inclinaisons des orbites, et faisant dans les autres les mêmes substitutions et réductions que dans le no 4 ci-dessus, on aura
Et l’on intégrera cette formule d’une manière semblable à celle que nous avons indiquée plus haut pour l’intégration de la différentielle
10. Si l’on néglige les excentricités et par conséquent les quantités qui en dépendent, on aura simplement
Cette différentielle est intégrable rigoureusement ; car en substituant la valeur de du no 4 ci-dessus, et faisant comme dans le no 6
on aura
étant une constante arbitraire.
Cette expression multipliée par et prise négativement donnera la valeur de c’est-à-dire les variations du demi-grand axe en tant qu’on néglige les excentricités des orbites. Mais pour en déduire ensuite celles du mouvement moyen qui en dépendent, il faudra une nouvelle intégration qui, n’étant pas possible en général, oblige d’avoir recours aux séries. On pourrait, à la vérité, construire l’intégrale par les méthodes connues pour la quadrature arithmétique des courbes, et l’on pourrait en faire de même pour la valeur de dans ce même cas ; mais on n’aurait pas de cette manière des formules générales qui fassent connaître la marche des variations, et l’on n’aurait pas même une plus grande exactitude que par les séries. Employant donc les séries du no 5 ci-dessus, on aura
et de là
Or il faut (8) que la valeur de c’est-à-dire
ne contienne aucun terme proportionnel à égalant donc à zéro la somme des coefficients de ces sortes de termes dans et dans
on aura l’équation
d’où l’on tire
Par le moyen de ces substitutions, les expressions de et de du no 8 deviendront
en supposant, pour abréger,
et ainsi des autres expressions semblables.
11. Après avoir vu comment on doit déterminer les variations périodiques de la distance moyenne et du mouvement moyen, passons à la recherche de celles des excentricités et des aphélies.
Celles-ci sont contenues dans les formules du no 41 de la Théorie citée, lesquelles donnent les variations des quantités et ou et car en nommant l’excentricité, la longitude de l’aphélie sur le plan de projection et sa latitude, nous avons supposé
Or on a vu dans le no 42 qu’en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons, les formules dont il s’agit se réduisent à celles-ci
Faisant donc dans ces formules les substitutions du no 4 ci-dessus, et changeant en on aura des équations de cette forme
dans lesquelles
12. Si maintenant on substitue dans ces expressions de et la valeur de en série (4 et 5), qu’ensuite on développe les différents produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples, on aura des termes proportionnels à et lesquels étant ensuite multipliés par et donneront, dans les valeurs de et des termes sans sinus ni cosinus ; ce sont ceux que nous avons déterminés à part dans les nos 43 et 49 de la Théorie citée, et auxquels nous avons eu uniquement égard dans les équations différentielles en et du no 50, parce que nous faisions alors abstraction des inégalités périodiques. Les autres termes de et ne pourront donner dans et que des termes affectés de sinus ou cosinus d’angles composés de multiples de et il faudra maintenant tenir compte aussi de ces termes, pour pouvoir déterminer la partie périodique des valeurs de et
Désignons, pour abréger, par la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans la valeur de
et par la totalité des termes pareils dans la valeur de
il faudra donc ajouter respectivement aux valeurs de des équations différentielles citées les quantités de sorte que ces quantités formeront maintenant les seconds membres des deux premières équations différentielles dont il s’agit.
Ainsi, puisque (4)
les équations complètes seront
De même, en dénotant par ce que deviennent les expressions de et lorsqu’on y change en et vice versâ, et par la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans les valeurs de
on aura les équations
et ainsi de suite.
13. Comme dans les premiers membres de ces équations les variations sont linéaires, et que les seconds membres peuvent être regardés comme des fonctions connues de la variable l’intégration est toujours possible par les méthodes connues. Dans la Théorie précédente nous avons déjà donné les intégrales complètes pour le cas où les seconds membres seraient nuls ; et ces mêmes intégrales, en y faisant varier les constantes arbitraires, donneront celles des équations dont il s’agit par la méthode indiquée dans le no 27 de la même Théorie.
Désignons, en général, par les expressions de trouvées dans cette Théorie (51), et soient les valeurs de dans les équations ci-dessus, en ayant égard à leurs seconds membres ; il est clair qu’en y substituant ces valeurs, les termes en s’en iront d’eux-mêmes, et que les transformées ne seront autre chose que les mêmes équations, en y changeant en et comme les valeurs de contiennent déjà toutes les constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète, il suffira que celles de satisfassent aux équations d’une manière quelconque.
Or les quantités qui forment les seconds membres des équations dont il s’agit étant dues aux forces perturbatrices, on peut supposer que les valeurs des variables soient très-petites du même ordre, et, dans cette supposition, les termes qui renferment ces mêmes variables sous une forme finie deviendront très-petits de l’ordre des carrés de ces forces, puisque les coefficients sont eux-mêmes très-petits de l’ordre des mêmes forces. Ainsi, comme nous négligeons dans les recherches présentes les carrés des forces perturbetrices, et toutes les quantités du même ordre, les équations en se réduiront simplement à
d’où l’on tire, en remettant pour
Et il en sera de même pour
14. Si dans les expressions de du no 11 on fait d’abord abstraction des excentricités, et que par conséquent on y néglige les termes multipliés par elles se réduisent aux quantités et comme par la substitutions de la valeur de en série il ne vient aucun terme proportionnel à et on aura simplement, dans ce cas,
L’intégration de et ne présente aucune difficulté, puisqu’on a (6)
mais on peut la simplilier beaucoup en remarquant, en général, que si est un terme quelconque de et le terme correspondant de étant un angle tel que
ces termes donneront dans l’intégrale de
deux termes de la forme
et dans l’intégrale de les termes correspondants
En effet, en différentiant et comparant les termes analogues, on parvient aux équations
Or dans le cas présent on a
Si donc on fait successivement
et qu’on prenne pour et les coefficients respectifs des sinus et cosinus dans les séries précédentes, on aura pour
c’est-à-dire pour
et
des expressions de cette forme
dans lesquelles
en supposant
et ainsi des autres fonctions semblables.
On pourra avec la même facilité tenir compte des termes multipliés par les variables dans les expressions de et pour cela on y changera d’abord ces variables en et l’on y substituera leurs valeurs trouvées dans la Théorie des variations séculaires on n’aura ainsi à intégrer que des termes en sinus et cosinus, et l’on pourra même simplifier beaucoup le calcul par des remarques semblables à celles que nous avons faites (7).
15. Il ne reste plus qu’à déterminer les inégalités des nœuds et des inclinaisons, lesquelles dépendent des équations différentielles du no 39 de la Théorie citée ; mais nous réduirons auparavant ces mêmes équations à une forme plus simple et plus générale à quelques égards.
En supposant, comme nous l’avons fait,
où représente la tangente de l’inclinaison et la longitude du nœud ascendant comptée depuis un point fixe, on a
Or
mais
donc
faisant ces substitutions dans les valeurs de
et de
et supposant, pour abréger,
on aura
et il n’y aura plus qu’à mettre pour leurs valeurs
et pour
les expressions en séries données dans le numéro cité, ensuite substituer partout les valeurs de en
En négligeant les quantités du second ordre ( étant regardées comme du premier, ainsi que ) il suffira de changer en en et en ainsi, à cause de
on aura alors simplement
et
les quantités étant les coefficients de la série
qui représente le radical