Si l’on remplace respectivement les nombres 2 et 3 par des nombres quelconques, l’on vérifiera que leur somme est indépendante de l’ordre dans lequel ils sont écrits.
Mais vérifier n’est pas démontrer, car « il n’y a de science que du général (1) » et pour vérifier il faut choisir deux nombres particuliers.
Soient donc deux nombres entiers quelconques, a et b. Nous voulons démontrer le théorème :
| . |
M. Poincaré a prouvé péremptoirement qu’il n’est qu’une démonstration valable, celle-ci :
L’on part de l’identité :
| (1) | . |
L’on vérifie par des raisonnements analytiques que si l’on a
| (2) | , |
cela reste vrai lorsque a est remplacé par le nombre entier suivant (a + 1).
Alors l’on peut dire :
Puisque l’égalité (2) a lieu pour a = 1, [d’après l’identité (1)] elle a lieu encore pour a = 2.
Puisqu’elle a lieu pour a = 2 [d’après ce qui précède], elle a lieu pour a = 3… et ainsi indéfiniment.
Donc l’égalité (2) a lieu quel que soit (a). Poursuivons et partons de :
| (2) | . |
