Le mathématicien fait usage d’une sorte d’induction, induction, d’ailleurs, qui entraîne la certitude, car elle n’est que « l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible (1) ».
Nous avons ainsi, dès l’abord, rencontré l’infini. « Après tout nombre entier il en existe un autre (2) » ; — voilà l’infini de l’Arithmétique, l’infini dénombrable.
L’Analyse introduit les notions très subtiles de continu, d’infiniment petit, d’infini non dénombrable ou transfini (3) avec l’opération fondamentale de « passage à la limite ».
Ce n’est point ici le lieu d’insister sur la méthode ; il nous suffit d’avoir noté, avec M. Henry Poincaré, l’importance fondamentale du raisonnement par récurrence dans la Mathématique pure.
Au premier rang, après l’Arithmétique, l’Algèbre et l’Analyse vient la Géométrie, science mathématique, non expérimentale, car elle n’a demandé à l’expérience que l’occasion, le prétexte de se constituer.
Il serait intéressant d’exposer l’équivalence (4) de la géométrie euclidienne et des géométries non euclidiennes. Il faudrait avouer que, dans la Géométrie ordinaire, il est des postulats plus ou moins implicitement admis dont le dé-
