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RELATIVITE
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inentaires tels que ds, nous obtenons l’Intervalle total entre les Points-Evénements A et B, mesuré le long de la ligue d’Univers de la Terre. C’est une opération analogue à celle de l’arpenteur quimesure avec son mètre la longueur d’une route sinueuse.
Quel que soit l’observateur, chacun des intervalles rfsa la même valeur : c’est une conséquence de l’Invariance de l’Intervalle défini en Relativité restreinte. Donc l’Intervalle total de A à B a une signification absolue : il ne varie pas avec l’observateur, alors que varie la longueur totale de la trajectoire, décrite par la Terre dans i’espace à trois dimensions, ainsi que le temps total que dure ce mouvement.
Pour aller de A en B, un mobile pourrait prendre un autre chemin que celui qu’a suivi la Terre ; et l’Intervalle total varierait avec ce chemin. Par exemple, supposons un mobile marchant avec la vitesse de la lumière : il part de A avec la Terre ; faisons-lui faire tous les tours et détours nécessaires pour qu’il rejoigne la Terre en B. Quel est l’Intervalle total de la Ligne d’Univers qu’il a suivie V Cet Intervalle est égal à zéro ; car nous avons vu que l’Intervalle de deux Points pris sur la trajectoire rectiligne d’un rayon lumineux est toujours nul (n° 9), et une trajectoire quelconque peut être décomposée en éléments reclilignes.
Donc, de toutes les Lignes d’Univers possibles qui vont de A en B, toutes celles que pourrait suivre un rayon lumineux ont la valeur minimum zéro. (Nous laissons de côté les Lignes à intervalles imaginaires : aucun mobile ne peut les suivre).
Mais il existe une Ligne pour laquelle l’Intervalle total a une valeur maximum ; car, pour toute ligne, ds ne peut dépassere 7 ; donc la somme de tous les ds, c’est-à-dire l’Intervalle total, ne peut dépasser la somme de tous les cdt.
Or, les Lignes d’Univers ont une signification absolue. Donc tous les observateurs 6'accoideront pour désigner celle qui réalise l’Intervalle total maximum.
C’est cette Ligne là que les Relativistes identifient avec la Ligne naturelle d’Univers suivie par un corps qui se meut librement dans un champ de gravitation.
Et ils formulent ainsi la loi du mouvement : 31. — Tout point matériel se meut, entre un Point-Evénement A et un Point-Evénement B, de façon à suivre la Ligne d’Univers dont l’arc AU (tracé dans l’Espace-Temps à quatre dimensions) réalise l’Intervalle total maximum ; sauf les cas où il subit des chocs d’autres points matériels, ou bien est soumis à des perturbations provenant de forces électromagnétiques.
C’est la généralisation de la loi dite de l’Inertie : Un corps isolé de toute action extérieure se meut d’un mouvement rectiligne uniforme. Dans l’EspaceTemps à quatre dimensions, c’est la ligne droite qui réalise l’Intervalle maximum, quand il n’y a pas de champ de gravitation : on peut le démontrer facilement.
Mais supposons maintenant le cas de la gravitation, et prenons comme exemple le mouvement de la Terre.
Pour un observateur qui serait au centre du Soleil, la Terre décrit annuellement un cercle (plus exactement, une ellipse). Deux coordonnéesd’espace suffisent pour situer la position de la 1 erre dans le plan de cette orbite. Marquons l'écoulement régulier du temps sur un axe perpendiculaire au plan du cercle, et mené par son centre : nous aurons ainsi la coordonnée de temps. L’assemblage de ces trois coordonnées transformera le cercle en hélice. Nous obtenons ainsi, par cette hélice, un diagramme à
trois dimensions, facile à uous imaginer. C’est la Ligne d’Univers de la Terre, ligne naturelle, comme nous l’avons appelée précédemment, parce qu’en la suivant, la Terre tombe en chute libre : rien ne fait obstacle à son mouvement de gravitation autour du Soleil.
C’est cette ligne naturelle qui réalise l’Iuvervalle maximum. (Prenons garde que l’Intervalle n’est pas représenté par la longueur de l’arc d’hélice j car on a la formule hyperbolique :
ds* = c*dt* — dret non pas la formule Euclidienne : ds 2 = cW + <// 2).
Car nous ne sommes pas en Géométrie Euclidienne, mais dans l’Espace-Temps déformé par le voisinage du Soleil, et devenu non Euclidien. Dans ce milieu, la Terre obéit sans obstacle à la loi de l’inertie : elle suit la ligne naturelle d’Intervalle maximum ; de même que dans un milieu Euclidien, non déformé, la loi d’inertie lui fait suivre une ligne droite, d’un mouvement uniforme. Dans aucun des deux cas il n’a fallu l’intervention d’une force.
Ces lignes naturelles, à signification absolue, identiques pour tous les observateurs, sont les Géodésiques du milieu où elles sont tracées.
Une surface plane est Euclidienne ; la géodésique est la ligne droite ; elle réalise la distance minimum entre deux points.
Une surface sphérique est un espace à deux dimensions non Euclidien ; la géodésique est un arc de grand cercle ; elle réalise encore la distance minimum de deux points, distance tracée sur la surface.
L’Espace-Temps à quatre dimensions de la Relativité restreinte est de nature hyperbolique ; sa géodésique réalise l’Intervalle maximum, mais c’est une ligne droite, et c’est pourquoi on dit souvent que cet Espace-Temps est Euclidien.
Enfin l’Espace-Temps déformé par un champ de gravitation est non Euclidien ; sa géodésique est une courbe qui réalise l’Intervalle maximum entre deux Points-Evénements.
Dans tous les cas, la géodésique a une signification absolue ; et c’eslelle que suivent les corps libres, en vertu de la Loi d’inertie, sans intervention d’une force.
En résumé, nous avons ramené l'élude des Champs de gravitation à celle de la Géométrie de l’EspaceTemps non Euclidien. Dans cette géométrie-là, comme dans toutes les géométries, ce sont les propriétés de la géodésique qui donnent le point de départ d’où s’enchaînent tous les théorèmes.
Par conséquent, pour trouver la Loi de la Gravitation, qui doit remplacer celle de Newton, il faut établir les Equations qui caractérisent d’une façon absolue la structure géométrique de notre EspaceTemps.
La Loi de Gravitation dans le vide. — 32. — Il s’agit en premier lieu de formuler algébriquement la structure de l’Espace-Temps, dans les régions où il est déformé par le voisinage delà matière, mais qui sont elles-mêmes vides de matière.
Les Equations cherchées doivent remplir une première condition ; garder leur forme, quel que soit l’observateur, quel que soit son mouvement. — C’est le Principe initial de la Relativité.
Une deuxième condition sera que ces Equations soient vérifiées dans le cas particulier où le champ de gravitation disparait, et où l’Espace-Temps redevient Euclidien.
