53. Soient & les directions de deux puissances en équilibre sur le levier , & que & soient entr’elles comme ces puissances ; je décompose la puissance en deux autres, dont les directions & prolongées, passent, l’une par , l’autre par , & de même la puissance en deux autres, dont les directions & passent par & par . En menant les perpendiculaires , , , sur , , , j’ai[1], & . Mais à cause de l’équilibre . Donc . Donc les puissances , sont entr’elles en raison inverse des distances de leurs directions au point fixe [2].
↑; en effet les côtés , du triangle doivent être entr’eux comme les sinus des angles , , ou de leurs égaux , , c’est-à-dire en prenant pour rayon, que .
↑L’équation ou fait voir que quand deux puissances sont en équilibre sur un levier, si on multiplie chaque puissance par sa distance à l’appui, la différence des produits doit être zéro. En général, pour que tant de puissances qu’on voudra dirigées dans un même plan se fassent équilibre, il faut que la somme des produits de chaque puissance par sa distance à l’appui, soit zéro, en prenant avec des signes contraires celles qui agissant dans des sens différens. Quoique cette proposition soit demontrée dans tous les Livres de Statique, cependant comme nous en ferons usage par la suite, & que nous voulons épargner
au Lecteur la peine de recourir ailleurs, nous allons la démontrer ici pour
trois puissances seulement, mais de maniere à faire voir que la démonstration
réussiroit de même pour un plus grand nombre.
Soit le levier (Pl. V. fig. 4.) dont l’appui est en , & aux trois points , , soient appliquées trois puissances représentées par , , . La force peut se décomposer en deux , , dont la premiere passe par l’appui, la seconde par le point ; cette seconde peut se décomposer de nouveau en deux autres , , la premiere couchée sur , la seconde dirigée à l’appui.
Fig. V-04
Les deux forces & peuvent chacune se décomposer en deux, l’une dirigée à l’appui, l’autre couchée sur la ligne . Cela posé, les forces dirigées aux appuis y sont détruites, il faut donc que les forces , , se détruisent entr’elles, c’est-à-dire que .
Or 1º. ou , & ; donc , & par conséquent ; 2º. , & ; donc , & ; donc l’équation sera , ou . Ce qu’il falloit démontrer.
En suivant la même méthode que dans les Corollaires V. & VI. on démontre de même, que les puissances appliquées en , , agissent sur l’appui , comme si elles étoient immédiatement appliquées à ce point.
