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TRIANGLE

tétraèdre tel que les sommets du premier se trouveront situés aux centres des moyennes distances de ses faces.

Remarque I. Les triangles inscrits les uns aux autres dont il a été question ci-dessus étant tels que les côtés de chacun sont moitiés de leurs homologues dans celui qui le précède immédiatement ; si l’on prend pour unité le contour du plus grand, la somme des contours des autres sera

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+\ldots =1.$

Et, si l’on prend pour unité l’aire du plus grand, la somme des aires des autres sera

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\ldots ={\frac {1}{3}}.$

Remarque II. Les tétraèdres inscrits les uns aux autres dont il a été question ci-dessus, étant tels que les arêtes de chacun sont le tiers de leurs homologues dans celui qui le précède immédiatement ; si l’on prend pour unité la surface du plus grand, la somme des surfaces des autres sera

${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9^{2}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+{\frac {1}{9^{4}}}+\ldots ={\frac {1}{8}}.$

Et, si l’on prend pour unité le volume du plus grand, la somme des volumes des autres sera

${\frac {1}{27}}+{\frac {1}{27^{2}}}+{\frac {1}{27^{3}}}+{\frac {1}{27^{4}}}+\ldots ={\frac {1}{26}}.$

§. 5.

1. L’un quelconque des côtés d’un triangle est égal à la somme des produits des deux autres par les cosinus de leurs inclinaisons sur celui-là.

2. L’une quelconque des faces d’un tétraèdre est égale à la somme des produits des trois autres par les cosinus de leurs inclinaisons sur celle-là.