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ET TÉTRAÈDRE.

Soient $c,c',c'',$ les trois côtés d’un triangle ; le côté $c'',$ par exemple, n’est autre chose que la somme des projections des côtés $c,c',$ sur sa direction (le mot somme étant pris ici comme en algèbre) ; ainsi on doit avoir

$c''=c\operatorname {Cos} .(cc'')+c'\operatorname {Cos} .(c'c'').$

Soient $t,t',t'',t''',$ les quatre faces d’un tétraèdre ; la face $t''',$ par exemple, n’est autre chose que la somme des projections des faces $t,t',t'',$ sur son plan (le mot somme étant toujours pris dans le même sens) ; ainsi on doit avoir

$t'''=t\operatorname {Cos} .(tt''')+t'\operatorname {Cos} .(t't''')+t''\operatorname {Cos} .(t''t''').$

§. 6.

1. Le quarré de l’un des côtés d’un triangle égale la somme des quarrés des deux autres moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de leur inclinaison l’un à l’autre.

2. Le quarré de l’aire de l’une des faces d’un tétraèdre égale la somme des quarrés des trois autres moins les doubles des produits de ces mêmes faces multipliées deux à deux et par les cosinus de leurs inclinaisons les unes aux autres.

En effet 1.^o on a, par ce qui précède,

${\begin{alignedat}{1}c\ \ =&c'\,\operatorname {Cos} .(c\ \ c')+c''\operatorname {Cos} .(cc''),\\c'\,=&c''\operatorname {Cos} .(c'c'')+c\ \ \operatorname {Cos} .(cc'),\\c''=&c\ \ \operatorname {Cos} .(c\ c'')+c'\,\operatorname {Cos} .(c'c'')\,;\end{alignedat}}$

multipliant respectivement ces équations par leur premier membre, et retranchant ensuite la dernière de la somme des deux premières, il viendra, en réduisant et transposant,

$c''^{2}=c^{2}+c'^{2}-2cc'\operatorname {Cos} .(cc').$

2.^o On a aussi, par ce qui précède,

${\begin{alignedat}{1}t\ =&t'\,\operatorname {Cos} .(t\ \,t'\,)+t''\,\operatorname {Cos} .(t\ t''\ )+t'''\operatorname {Cos} .(tt'''),\\t'=&t''\operatorname {Cos} .(t't'')+t'''\operatorname {Cos} .(t't''')+t\ \ \ \operatorname {Cos} .(tt'),\end{alignedat}}$