Soit un triangle dont est la base, et dont est la hauteur (fig. 12). J’affirme que .
Démonstration.
COROLLAIRE. Dans tout triangle, un des côtés est au rayon du cercle inscrit, comme le produit du sinus total par le cosinus de la moitié de l’angle opposé à ce côté est au produit des sinus des demi-angles qui lui sont adjacens.
En effet, le triangle qui, ayant son sommet au centre du cercle inscrit, a pour base le côté dont il s’agit, a sa hauteur égale au rayon de ce cercle ; de plus, ses angles, à la base ; sont moitié des angles correspondans du premier triangle ; enfin, son angle, au sommet, est le supplément du complément de la moitié de l’angle au sommet du même triangle.
LEMME CONNU. Dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit est à l’un des côtés, comme le sinus total est au double du sinus de l’angle opposé à ce côté.
LEMME. Dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit est au rayon du cercle inscrit, comme le cube du sinus total est à quatre fois le produit continuel des sinus des demi-angles du triangle.
Soit un triangle ; que les rayons des cercles, dont l’un lui est circonscrit et dont l’autre lui est inscrit, soient désignés par