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D’ÉQUILIBRE.

$\mathrm {NBQ} ,$ et soit appliqué au point $\mathrm {B}$ , suivant $\mathrm {BQ'}$ , une force $\mathrm {Q'=Q}$ ; les deux puissances $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$ étant dans une situation absolument semblable, par rapport à $\mathrm {P}$ , si $\mathrm {Q}$ pouvait faire équilibre à $\mathrm {P}$ , il en devrait être de même de $\mathrm {Q'}$ qui, par conséquent, serait équivalente à $\mathrm {Q}$ ; donc la puissance $\mathrm {Q''}$ égale et directement opposée à $\mathrm {Q'}$ , et lui faisant conséquemment équilibre, devrait aussi faire équilibre à $\mathrm {Q}$ ; donc enfin deux puissances $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'',}$ concourant en un même point $\mathrm {B}$ , se feraient équilibre, ce qui est absurde (II). Ainsi, le cas où deux puissances sont égales et directement opposées est l’unique où elles se fassent équilibre^[1].

Problème.

Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre entre les puissances d’un système de forme invariable, absolument libre dans l’espace ?

Solution. Il vient d’être prouvé (Lemme I.) que tout système peut toujours, quelle qu’en soit la nature, être réduit à deux puissances effectives ; et (Lemme II.) que, pour qu’il y ait équilibre entre deux

↑ Voici comment cette importante proposition peut être démontrée, indépendamment de la considération des couples.
Il est d’abord évident que, si des puissances se font équilibre, leur équilibre ne pourra être troublé par l’introduction dans leur système, d’un axe fixe, autour duquel ce système ne puisse prendre qu’un mouvement de rotation ; d’où il résulte que, si des puissances ne se font pas équilibre autour d’un tel axe, l’équilibre n’aura pas plus lieu entre elles, si cet axe cesse d’exister.

Or, excepté le cas particulier où deux puissances agissent suivant la même droite, et pour lequel la proposition à établir est évidente d’elle-même, il n’est pas difficile de se convaincre qu’il est toujours possible d’introduire dans leur système un axe fixe tellement situé que ces puissances tendent toutes deux à produire, dans le même sens, un mouvement de rotation autour de cet axe, et tendent conséquemment à produire un mouvement effectif. Si donc elles ne sont pas même en équilibre autour d’un axe fixe, elles ne le seront pas, à plus forte raison, lorsqu’elles auront toute liberté d’agir.

[1] Voici comment cette importante proposition peut être démontrée, indépendamment de la considération des couples.
Il est d’abord évident que, si des puissances se font équilibre, leur équilibre ne pourra être troublé par l’introduction dans leur système, d’un axe fixe, autour duquel ce système ne puisse prendre qu’un mouvement de rotation ; d’où il résulte que, si des puissances ne se font pas équilibre autour d’un tel axe, l’équilibre n’aura pas plus lieu entre elles, si cet axe cesse d’exister.

Or, excepté le cas particulier où deux puissances agissent suivant la même droite, et pour lequel la proposition à établir est évidente d’elle-même, il n’est pas difficile de se convaincre qu’il est toujours possible d’introduire dans leur système un axe fixe tellement situé que ces puissances tendent toutes deux à produire, dans le même sens, un mouvement de rotation autour de cet axe, et tendent conséquemment à produire un mouvement effectif. Si donc elles ne sont pas même en équilibre autour d’un axe fixe, elles ne le seront pas, à plus forte raison, lorsqu’elles auront toute liberté d’agir.

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