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DU SECOND DEGRÉ.

second axe de la courbe ; si l’on fait ( fig. 13 ) $\mathrm {IX} =x,\mathrm {OI} =a,\mathrm {IB} =b,$ l’expression analitique du volume engendré par le segment hyperbolique $\mathrm {ICX}$, sera :

${\frac {\varpi b^{2}x^{3}+3\varpi ab^{2}x^{2}}{3a^{2}}}$^[1] ;

quantité qui peut s’écrire ainsi :

${\frac {1}{3}}x{\dot {\frac {\varpi b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}+a{\dot {\frac {\varpi b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}$ (A);

Or, si l’on mène $\mathrm {IE}$ parallèle à l’asymptote $\mathrm {OD}$, les triangles semblables $\mathrm {OBI}$ et $\mathrm {IEX}$ donnent :

$EX={\frac {bx}{a}}$ ;

et ainsi ${\frac {\varpi b^{2}x^{2}}{a^{2}}}$ exprime l’aire du cercle décrit par $\mathrm {XE}$ ; d’où il suit que l’expression $\mathrm {(A)}$ représente un cône ayant pour base le cercle décrit par XE, et pour hauteur l’abscisse $\mathrm {IX}$, plus un cylindre de même base que ce cône et d’une hauteur $\mathrm {XG=OI} =a.$

Par conséquent, le volume de l’hyperboloïde engendré par le segment $\mathrm {ICX}$ sera équivalent au volume engendré par la révolution du trapèze $\mathrm {IEFG}$ autour de $\mathrm {IG}$.

Cet énoncé me paraît utile, dans les élémens, comme réunissant, à la fois, la commodité pour la mémoire, la simplicité de l’expression et la facilité du calcul.

J’ai l’honneur d’être, etc.

G. M. RAYMOND.

1. Ce que l’on vérifie aisément, au surplus, en substituant, dans la formule $xy^{2}\mathrm {d} x$, la valeur de $y^{2}$ tirée de l’équation de la courbe, intégrant et constante pour le sommet $\mathrm {I}$ de l’hyperboloïde.