Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/206

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5.o L’hypothénuse, les côtés et la hauteur forment une proportion géométrique.

Je vais développer, sur les triangles sphériques des théorèmes correspondans à ceux que je viens d’énoncer sur les triangles rectilignes.

THÉORÈME I. Dans tout triangle sphérique rectangle, le quarré du sinus de la demi-hypothènuse est égal à la somme des produits des quarrés des sinus de chaque demi-côté par le quarré du cosinus de la moitié de l’autre.

Soient les côtés d’un triangle sphérique rectangle, dont A est l’hypothénuse,

J’affirme que .

Démonstration.

donc

mais

 ;

donc, enfin,

.

Corollaire I. L’application aux triangles rectilignes a lieu en substituant aux sinus des demi-côtés ces demi-côtés eux-mêmes, et en substituant l’unité à leurs cosinus.

Corollaire II. Soit désigné par x l’angle formé par les chordes des jambes de l’angle droit d’un triangle sphérique rectangle. Les chordes des trois côtés étant les doubles des sinus des moitiés de ces côtés, on aura, par la trigonométrie rectiligne, l’équation suivante :