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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.
opposés, et alors les équations (
) seront des équations de relation entre les uns et les autres.
25. Mais il ne faut pas perdre de vue, art. 22, que tout cela est subordonné à la condition.
![{\displaystyle 1-a^{2}-b^{2}-c^{2}-2abc=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc3d3ac5da64faff7976e806b2efc19a6fa8038)
;
laquelle devient, dans le cas actuel,
![{\displaystyle \mathrm {1-\operatorname {Cos} .^{2}A-\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Cos} .^{2}C-2\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .B\;\operatorname {Cos} .C=0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5264abdbdc4ff771b02b789424d619ed8fced9)
;
il importe donc de s’assurer que cette condition se vérifie pour le triangle rectiligne ; et il faut bien qu’elle se vérifie en effet, puisqu’autrement les équations
donneraient uniquement
; ce qui reviendrait à dire que, dans tout triangle, les trois côtés sont nécessairement nuls.
Or, cette condition peut être mise successivement sous les diverses formes que voici ;
Cette dernière équation ne peut être prise avec le signe supérieur ; car, en supposant
elle deviendrait
; d’où l’on tire en général
,
étant un nombre impair positif quelconque ; mais on a
, on devrait donc avoir
, tandis qu’il n’y a point de nombre impair positif plus petit que'l’unité ; on doit donc avoir simplement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c2101147cd493c0f8a6df40b048d7a51151da6)
.
De cette dernière équation on tire, en général,
![{\displaystyle \mathrm {C} =(2k+1)180^{\circ }-\mathrm {(A+B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610037aeaf957fc41c0b7a987afef3a6c0095c4f)
,
ou
![{\displaystyle \mathrm {A+B+C} =(2k+1)180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc273628f70e43bbe1f0251a042c8393b7258ec7)
;