Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/251

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Solution du deuxième problème de la page 159 de
ce volume ;
Par un Abonné. Gergonne
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Énoncé. Soient divisés les côtés d’un polygone rectiligne quelconque, chacun en m parties égales, étant  ; soient prises, sur les deux côtés de l’un des angles du polygone, à partir du sommet de cet angle, des divisions de ces côtés, étant  ; soient joints les deux points déterminés de cette manière par une droite, et soit fait la même opération sur tous les angles de ce polygone. Les droites déterminées de cette manière formeront, avec les portions de côtés du polygone primitif qu’elles intercepteront, un polygone d’un nombre de côtés double inscrit au premier.

Soit opéré sur ce nouveau polygone comme sur le polygone primitif, et demeurant toujours les mêmes ; on obtiendra ainsi un troisième polygone qui sera, à l’égard du second, ce que celui-ci est à l’égard du premier, et sur lequel on pourra encore opérer de la même manière ; de sorte qu’en poursuivant sans cesse le même procédé, on engendrera une suite de polygones, faisant tous partie les uns des autres et du polygone proposé, si celui-ci est convexe, et tels que le nombre des côtés de chacun sera double du nombre de ceux du précédent.

Tous les polygones ainsi formés seront évidemment circonscrits à une même courbe fermée, laquelle sera leur limite commune.

En supposant donc que le polygone primitif est donné, ainsi que les nombres et , on propose de déterminer la nature de cette courbe ?

Solution. Il n’est pas difficile d’apercevoir qu’en général la courbe