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RÉSOLUES.
Solution du problème de la page 160 de ce volume.
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé. Déterminer ce qu’il faut substituer à la place des cinq coefficiens différentiels partiels
![{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\quad {\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=r,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=s,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ecef306793e11b61134a587c33d08a7dab7c10)
dans une fonction ou une équation qui les renferme, lorsqu’on passe de l’hypothèse où
est fonction de
et
à celle où
sont toutes trois fonctions de deux nouvelles variables indépendantes
et
?
Solution. Les formules demandées sont plus compliquées que difficiles à construire, et c’est sans doute pour cette raison qu’aucun géomètre ne s’est occupé de leur recherche. Néanmoins, comme ces formules peuvent être utiles dans plusieurs rencontres, je vais suppléer, à leur égard, à l’espèce d’omission que présentent les traités de calcul différentiel.
Par l’intermédiaire de
et
la variable subordonnée
pouvant tout aussi bien être considérée comme fonction de
et
que comme fonction de
et
on doit avoir à la fois
![{\displaystyle \operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,\quad \operatorname {d} z={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf7bafe8957b999292cec4f1585c82c5a6d137c)
;
et par conséquent,
![{\displaystyle p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb1cacacb5eb9561a049afc48a921e0e60245d8)
;