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QUESTIONS RÉSOLUES.
si, au contraire, dans la même équation
on considère
comme fonctions de deux nouvelles variables
et
ses deux dérivées du premier ordre seront
![{\displaystyle (\mathrm {A'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12eaf800cd9208bc87b57164ae197f4af01fbe7c)
![{\displaystyle (\mathrm {B'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c291e583d9ac16e48f1f85e74377bdc9d0837e13)
si maintenant, entre les quatre équations
, on élimine deux quelconques des trois fonctions
la troisième disparaîtra d’elle-même ; on obtiendra donc ainsi deux équations ne renfermant plus que
combinés avec
et
, et qui donneront, pour ces deux coefficiens différentiels, les valeurs que nous leur avons déjà assignées.
Soit maintenant formé les équations du second ordre, sous l’un et sous l’autre point de vue. En considérant d’abord
comme fonction de
et
, les équations
et
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {(C)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}r+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}p^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x^{2}}}=0,\\\mathrm {(D)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}s+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}pq+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}=0,\\\mathrm {(E)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}t+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}q^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} y^{2}}}=0~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afabf7c2208ece8ba2fbdc55a5547fba45a4844d)
considérant ensuite
comme fonctions de
et
on déduira des équations
et ![{\displaystyle \mathrm {(B')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03ae06b85226db581ab9b385121053fd856a771)