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FRACTIONS-CONTINUES PÉRIODIQUES.

ANALISE INDÉTERMINÉE.

Recherches sur les fractions-continues périodiques ;

Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des sciences
de l’académie de Strasbourg.

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1. Désignons par les lettres $a,b,c,d,\dots ,$ qui sont supposées se succéder dans l’ordre alphabétique, soit directe soit rétrograde, et sans omission d’aucun intermédiaire, une série de nombres entièrement pris à volonté, et n’étant liés entre eux par aucune loi quelconque. Ces nombres étant donnés, formons la série qui suit :

$1=1,\mathrm {P} =a,\mathrm {Q} =b\mathrm {P} +1,\mathrm {R} =c\mathrm {Q+P,S} =d\mathrm {R+Q,T} =e\mathrm {S+R} ,\ \dots$

D’après la marche de cette série, l’on voit que l’unité, quand même elle ne serait pas formellement exprimée, est cependant considérée comme en faisant partie et comme précédant tous ses autres termes. Cela étant, nous donnerons le nom de médiateurs aux fonctions littérales désignées par les lettres $\mathrm {P,Q,R,S,T,\ldots ,}$ et nous nommerons bases des médiateurs, les nombres même que nous avons représentés par les lettres $a,b,c,d,e,\dots .$ Nous aurons ainsi :

Le premier médiateur $\mathrm {P} =a,$

Le second médiateur $\mathrm {Q} =ab+1,$

Le troisième … $\qquad \ \mathrm {R} =abc+a+c,$

Le quatrième …$\qquad \ \mathrm {S} =abcd+ab+ad+cd+1,$

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$