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INCOMMENSURABILITÉ.

ANALISE.

Démonstration du théorème général de
l’incommensurabilité ;

Par M. de Maizières, professeur de mathématiques spéciales
au lycée de Versailles.

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Toutes les questions où se présente le cas de l’incommensurabilité, c’est-à-dire, les questions où il s’agit de démontrer l’égalité de deux rapports dont l’un est incommensurable, ont les caractères communs que voici : 1.^o elles supposent deux séries de quantités soumises, dans chaque série, à la loi de continuité^[1] ; 2.^o elles supposent de plus que les termes des deux séries sont liés les uns aux autres par une dépendance réciproque, en sorte que les deux séries se correspondent terme à terme^[2]; 3.^o elles supposent enfin que, lorsque deux termes de l’une des séries sont commensurables, leurs correspondans dans l’autre série leur sont proportionnels^[3]. La difficulté de ces sortes de questions consiste alors à démontrer que la même proportionnalité a encore lieu pour des termes incommensurables, et voici comment on peut y parvenir.

1. C’est-à-dire que, dans chaque série, on peut concevoir deux termes aussi peu différens qu’on voudra.
2. La loi de correspondance entre les deux séries peut d’ailleurs être quelconque ; elle peut même être inconnue, pourvu qu’on soit certain de son existence.
3. L’ordre des rapports pouvant être indifféremment direct ou inverse, pourvu qu’il soit constant dans toute l’étendue des deux séries.