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QUESTIONS.
côtés ; voici, à peu près de quelle manière il y parvient.
Soient
(fig. 1) le triangle donné, et
le point cherché ; soit circonscrit un cercle au triangle et soient prolongés
, jusqu’à ce qu’elles rencontrent de nouveau la circonférence en
; soit enfin formé le triangle
.
L’angle
ayant pour mesure la moitié de l’arc
et l’angle
ayant pour mesure la moitié de l’arc
, il s’ensuit que la somme des angles
, a pour mesure la demi-somme des arcs
,
laquelle est aussi la mesure de l’angle
ou
; et, comme il en irait de même pour les angles
comparés aux angles
, on doit avoir
d’où
La similitude des triangles
,
, d’une part, et celle des triangles
,
de l’autre, donnent les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {AP\times BB''=B''P\times AA'',\qquad A'P\times B'B''=B''P\times A'A''\ ;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68a09a3535312a537db801e07e5ca1b83010a87)
d’où on déduit, en divisant et réduisant,
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {AP}{A'P}}\times {\frac {BB''}{B'B''}}={\frac {AA''}{A'A''}}\quad } {\text{ou}}\quad \mathrm {{\frac {AP}{A'P}}={\frac {AA''}{A'A''}}\times {\frac {\operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -A)}{\operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -A')}}} \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2f866da1a6f73a2c0900a5aec79582b77dd6ba)
c’est-à-dire,
enfin le triangle
donne, à cause de
,
![{\displaystyle \mathrm {AP^{2}+AP\times A'P+A'P^{2}=AA'^{2}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97b4f8e1103a8273ef5f39810a397d111024429)
La combinaison de ces deux équations fera donc connaître
et
; et on déterminera ensuite chacun des deux angles
et
par les divers procédés connus de la trigonométrie.
Après cette digression, M. Lhuilier, revenant à la question principale, annonce que le point du plan d’un quadrilatère dont la somme des distances à ses sommets est la plus petite, est le point d’intersection des deux diagonales de ce quadrilatère. Il ne démontre pas