distances à deux points donnés, d’un même côté de cette droite, est la plus petite, est celui duquel menant des droites aux deux points donnés, ces droites font, de différens côtés, des angles égaux avec la droite donnée.
Démonstration. Soient (fig. 9) la droite et les deux points donnés ; soit le point de dont la somme des distances aux deux points donnés soit la plus petite. Soit abaissée sur , de l’un quelconque, des points donnés, une perpendiculaire ; soit prolongée cette perpendiculaire au-de là de d’une quantité .
Comme, par la construction, , il s’ensuit que ; la première de ces deux sommes ne peut donc être un minimum, comme on le suppose, sans que la dernière le soit aussi ; ce qui exige que le point soit en ligne droite avec les points et ; or de là résulte l’égalité des angles et , et par suite celle des angles et .
2. Remarque. Il est aisé de voir que, quelle que soit la situation des points , d’un même côté de la droite indéfinie, , il y aura toujours, sur cette droite, un point qui jouira de la propriété qui vient d’être exposée.
3. LEMME II. Si, sur une circonférence donnée, il y a un point duquel menant des droites à deux points donnés hors de cette circonférence, ces droites, sans couper le cercle, fassent des angles égaux avec le rayon mené au même point ; ce point sera celui de la circonférence dont la somme des distances aux deux points donnés sera la plus petite.
Démonstration. Soient (fig. 10) la circonférence donnée, et , les deux points donnés ; soit le point de cette circonférence par lequel menant , et la tangente , on ait . Soit joint un autre point de la circonférence aux points , par les droites ; soit le point où l’une quelconque de ces droites est coupée par la tangente ; et soit menée . Comme, par l’hypothèse et la construction, les angles et
