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DE FACTEURS.


celles de la hauteur ; et, comme on peut prendre indifféremment pour hauteur chacun des côtés divisés, il en résulte que le nombre de ces rectangles pourra être exprimé par deux produits des mêmes facteurs, et que conséquemment deux semblables produits sont égaux.

Soit, en second lieu, un parallélipipède rectangle dont on ait divisé les trois arêtes d’un même angle en plusieurs parties ; que l’on conçoive, par les points de division de chacune, des plans parallèles à la face qui contient les deux autres, ces plans diviseront le parallélipipède total en parallélipipèdes partiels dont le nombre sera le produit du nombre de ceux qui reposeront sur la base ou, ce qui revient au même, du nombre des rectangles compris dans cette base, par le nombre des divisions de la hauteur ; mais, cette hauteur peut être indifféremment chacune des arêtes divisées, et, dans chaque cas, le nombre des rectangles compris dans la base peut, d’après ce qui précède, être évalué de deux manières différentes ; d’où l’on voit que le nombre des parallélipipèdes partiels, compris dans le parallélipipède total, pourra être exprimé par six produits des trois mêmes facteurs, et que conséquemment six semblables produits sont égaux.

Ayant ainsi prouvé que les produits de deux et de trois facteurs sont toujours égaux, de quelque manière qu’on procède à leur formation, je vais démontrer maintenant que, si l’on était assuré qu’il en fût ainsi pour les produits de n-2 et pour ceux de n-1 facteurs, on serait en droit d’en conclure que la proposition est vraie aussi pour les divers produits que l’on peut former avec n facteurs donnés.

Soient en effet comparés entre eux deux quelconques de ces produits ; ou ils auront le même dernier facteur, ou bien le dernier facteur sera différent dans chacun. Dans le premier cas, l’avant-dernier produit sera le même de part et d’autre, puisqu’il proviendra de la multiplication des n-1 mêmes facteurs ; on aura donc, de part et d’autre, à la dernière multiplication, même multiplicande et même multiplicateur, et conséquemment même résultat.

Si, au contraire, le dernier facteur n’est pas le même dans les