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DE LA CHAÎNETTE.
![{\displaystyle \mathrm {d} s=\mathrm {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} x\left\{e^{-(b-ax)}+e^{(b-ax)}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4fc8bd98266b882edcfd1e7010ed401970f931)
en intégrant entre
,
devra se changer en
, et il viendra :
![{\displaystyle \mathrm {(I)} \qquad \qquad \qquad 2ak=e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)-e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c1757964b0111c3c4730fd4b2b024ad3c68f31)
de plus, les coordonnées des deux extrémités de la courbe devant satisfaire à son équation, on aura :
![{\displaystyle \mathrm {(II)} \qquad c=e^{b}+e^{-b}\qquad \qquad \mathrm {(III)} \quad 2ay'+c=e^{(b-ax')}+e^{-(ba-x')}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36520b2f4976613d4451096b1dbfb9412b4cb15)
Telles sont les équations qui serviront à déterminer les trois constantes
.
En prenant la différence entre les deux dernières, il vient :
![{\displaystyle \mathrm {(IV)} \qquad \qquad \qquad 2ay'=e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)-e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f208f14398c4dd72cf92d9a7f0cd8725723468)
prenant alors la demi-somme et la demi-différence des équations
et
, il viendra :
![{\displaystyle \mathrm {(V)} \qquad e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)=a(y'+k)\qquad \mathrm {(VI)} \quad e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)=a(y'-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0895bb9ddfe569ed2bedeed95b7a684df34ffe42)
multipliant enfin ces deux dernières équations membre à membre, on aura :
![{\displaystyle e^{ax'}+e^{-ax'}=2-a^{2}(y'^{2}-k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a9d935a1d7d14407d2856b41a56d933f8727c1)
Or on a, comme l’on sait[1] ;
![{\displaystyle e^{ax'}=1+{\frac {ax'}{1}}+{\frac {a^{2}x'^{2}}{1.2}}+\ldots \quad e^{-ax'}=1-{\frac {ax'}{1}}+{\frac {a^{2}x'^{2}}{1.2}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf2e4ed6d4db958020c95dd40dbb3df1f24a91a)
- ↑ Voyez le Complément d’Algèbre de M. Lacroix.