Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/164

154

QUESTIONS

mais on a, dans le premier cas, $x=y+t'$ et dans le second $x=y-t'~;$ il viendra donc

${\begin{aligned}x&=+t'+t''-t'''~;\\x&=+t'-t''+t'''~;\\x&=-t'+t''+t'''~;\\x&=-t'-t''-t'''.\\\end{aligned}}$

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes proposés à
la page 64 de ce volume ;

Par M. Rochat, professeur de mathématiques et de
navigation à St-Brieux.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Problème. Trois figures planes étant données de grandeur seulement, sur trois plans, non parallèles deux à deux, donnés de position ; déterminer un quatrième plan sur lequel ces figures étant projetées orthogonalement, les aires de leurs projections soient proportionnelles à des nombres donnés ?

Solution. Représentons par $A,B,C,$ les aires des trois figures données ; par $a,b,c,$ les nombres proportionnels aux projections orthogonales de ces figures ; par $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ les angles dièdres que forment, deux à deux, les plans de ces figures ; enfin par $x,y,z,$ les angles que forment ces plans avec le plan cherché.

Les plans des trois figures données et le plan cherché forment une pyramide triangulaire dont les angles dièdres sont $\alpha ,\beta ,\gamma ,x,y,z~;$ or, d’après un théorème connu, on a

${\begin{aligned}0=1&-(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +\operatorname {Cos} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}y+\operatorname {Cos} .^{2}z)\\&+(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}y+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}z)\\&-2(\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .x\cdot \operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .y\cdot \operatorname {Cos} .z+\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .z\cdot \operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma )\\&-2(\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .x\cdot \operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .y\cdot \operatorname {Cos} .z+\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .z\cdot \operatorname {Cos} .x)\\\end{aligned}}$