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ANALISE INDÉTERMINÉE.

Si $n$ est pair, on ne pourra prendre pour $x_{n}$ qu’un nombre positif, et ce nombre ne devra pas être moindre que la plus grande des deux quantités ${\frac {\alpha b}{a}},{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}}$.

§. 3.

Solution de l’équation $ax_{1}-a_{1}x=b.$

En mettant cette équation sous la forme $a_{1}x-ax_{1}=-b,$ on voit qu’elle ne diffère de celle qui vient d’être discutée que par le signe de $b$ ; il suffira donc, pour la résoudre, de changer le signe de $b$, dans toutes les formules du §. 2. : on aura donc

$\left.{\begin{aligned}x_{1}&=\mp \alpha _{1}b+a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha +ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E'')}$

Il faudra donc appliquer à $n$ pair ce qui a été dit de $n$ impair, et vice versâ.

Applications.

1.^o Soit l’équation $13x+19x_{1}=1000,$ qui se rapporte au §. 1. On a d’abord ${\frac {b}{aa_{1}}}={\frac {1000}{13\cdot 19}}>4\,;$ il y aura donc quatre solutions au moins et cinq au plus.

${\begin{array}{lr}{\text{Suite des diviseurs }}a,a_{1},a_{2},a_{3}\ldots &19\\{\text{Suite des quotiens }}q_{1},q_{2},q_{3}\ldots &\\\end{array}}{\begin{array}{|r|r|r}13&6&1\\\hline 1&2&6\\\end{array}}$

${\text{Suite des quantités }}\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \qquad 3,\ \ \ 2,\ \ \ 1$

Puisque $n=3$ est un nombre impair, on aura, en remplaçant $x_{n}$ par $e$.

${\begin{aligned}x_{1}&=-2\cdot 1000+13e,\\x&=+3\cdot 1000s-19e\,;\\\end{aligned}}$

d’où on conclura

$e\left\{{\begin{aligned}>&{\frac {2000}{13}}=153+{\frac {11}{13}},\\<&{\frac {3000}{19}}=157+{\frac {17}{19}}\,;\\\end{aligned}}\right.$