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PROPRIÉTÉS

relation connue et dont la combinaison avec les théorèmes énoncés (8) et (9) fournit la solution de tous les problèmes relatifs au rapport de grandeur et de situation des diamètres conjugués et des axes,

14. Par le petit axe de l’ellipse soit conduit un plan faisant avec le sien un angle dont le cosinus soit ${\frac {b}{a}}$, et soit projetée l’ellipse orthogonalement sur ce plan ; soient $x,y$ les coordonnées d’un point quelconque de l’ellipse, et $x',y'$ celles du point correspondant de sa projection, on aura

$x={\frac {a}{b}}x',\quad y=y'\,;$

mais, on a d’ailleurs

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,;$

substituant donc, il viendra, en divisant par $a^{2}$

$x'^{2}+y'^{2}=b^{2}\,;$

ainsi la projection de l’ellipse est un cercle dont le rayon est $b.$

15. Par les deux extrémités du grand axe de l’ellipse et par l’une des extrémités du petit, soit fait passer un arc da cercle ; ces trois points seront les seuls points communs aux deux courbes, puisqu’elles ne peuvent se couper en plus de quatre points, et que, si elles avaient quatre points communs, à cause de la symétrie de la figure, elles en auraient au moins cinq. Il est en entre aisé de voir que le centre du cercle étant sur le petit axe de l’ellipse au-delà du centre de cette courbe, les tangentes menées à ce cercle par les extrémités du grand axe couperont l’ellipse, puisqu’elles formeront des angles aigus avec ce grand axe.

Ainsi, L’axe de cercle, qui passe par les deux extrémités du grand axe et par l’une des extrémités du petit est intérieur à l’ellipse.

On démontrera, par de semblables considérations, que L’arc de cercle qui passe par les deux extrémités du petit axe et par l’une des extrémités du grand est extérieur à l’ellipse.