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RÉSOLUES.

gramme ; alors la droite qui joint les milieux de deux côtés apposés devient égale à chacun des deux autres côtés ; le théorème devient donc alors la propriété du parallélogramme sur laquelle se sont appuyés MM. Encontre, Ferriot, Legrand et Pouzin.

Dans la formule

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=2\left\{{\overline {M_{ac}M_{bd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right\},}$

on peut permuter à volonté les lettres entre elles ; on peut donc écrira

$\mathrm {{\overline {BC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}=2\left\{{\overline {M_{ab}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{ac}M_{bd}}}^{2}\right\},}$

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2\left\{{\overline {M_{ab}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right\},}$

Si, laissant la dernière de ces trois équations, on ajoute seulement entre elles les deux premières, il viendra

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}=2\left\{{\overline {M_{ab}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right\}+4{\overline {M_{ac}M_{bd}}}^{2}\,;}$

ce qui est un théorème de M. Penjon ; mais, en vertu de la propriété du parallélogramme qui vient d’être démontré, on a

${\begin{aligned}\mathrm {2\left({\overline {M_{ab}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right)} &=\mathrm {2\left({\overline {M_{ab}M_{ad}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{cd}M_{bc}}}^{2}+{\overline {M_{bc}M_{ab}}}^{2}\right)} \\&=\mathrm {4{\overline {M_{ab}M_{ad}}}^{2}+4{\overline {M_{ad}M_{cd}}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}} \,;\\\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+4{\overline {M_{bd}M_{ac}}}^{2}\,;}$

ce qui est le théorème d’Euler sur lequel s’est appuyé M. Lehault.

En prenant la somme des trois équations on obtient

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=4\left\{{\overline {M_{ab}M_{cd}}}^{2}+{\overline {M_{ac}M_{bd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right\}\,;}$

propriété du tétraèdre démontré par M, Legrand.

Si, dans cette dernière formule, on suppose que le point $D$ se confond avec le point $\mathrm {C,}$ on aura

$\mathrm {AD=AC,\ BD=BC,\ CD=0,\ M_{cd}=C,\ M_{bd}=M_{bc},\ M_{ad}=M_{ac}\,;}$

elle deviendra donc