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QUESTIONS

il viendra

$4abcd=\left\{{\begin{aligned}&4\mathrm {ABCD+AB^{2}} .\operatorname {Cot} .a+\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cot} .b+\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cot} .c+\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cot} .d\\-&\mathrm {AB^{2}} .\operatorname {Cosec} .a.\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}a+x\right)\\-&\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cosec} .b.\operatorname {Cos} .2\left(a+{\tfrac {1}{2}}b-\mathrm {B} +x\right)\\-&\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cosec} .c.\operatorname {Cos} .2\left(a+b+{\tfrac {1}{2}}c-\mathrm {B-C} +x\right)\\-&\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cosec} .d.\operatorname {Cos} .2\left(a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d-\mathrm {B-C-D} +x\right)\\\end{aligned}}\right.$

De là découle la construction suivante, fondée aussi sur les propriétés du centre des moyennes distances.

Sur une droite $\mathrm {SE}$ (fig.20}, et en un de ses points $\mathrm {S,}$ soient faits les angles $\mathrm {ESA,ES} b,\mathrm {ES} c,\mathrm {ES} d,$ respectivement égaux aux angles $2{\tfrac {1}{2}}a,\;2\left(a+{\tfrac {1}{2}}b\right),$$\;2\left(a+b+{\tfrac {1}{2}}c\right),\;2\left(a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d\right),$ en tournant toujours dans le même sens.

Sur les droites $\mathrm {S} b,\mathrm {S} c,\mathrm {S} d,$ soient faits les angles $b\mathrm {SB} ,c\mathrm {SC} ,d\mathrm {SD}$, respectivement égaux aux angles $\mathrm {2B,2(B+C),2(B+C+D),}$ en tournant toujours dans un même sens, contraire au premier.

Du quadruple de l’excès de la surface du polygone cherché sur celle du polygone donné soit retranchée la somme $\mathrm {AB^{2}} .\operatorname {Cot} .a+\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cot} .b+$$\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cot} .c+\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cot} .d,$ et soit le reste égal au rectangle de deux droites $l$ et $m.$

Que les carrés des côtés donnés $\mathrm {AB,BC,CD,DA,}$ soient convertis en rectangles ayant, pour un de leurs côtés, une des deux droites, telle que $m.$ Que les autres côtés de ces rectangles soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ respectivement.

Sur les droites $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ soient portées, depuis le point $S,$ des longueurs respectivement égales à $\alpha \operatorname {Cosec} .a,\;\beta \operatorname {Cosec} .b,\;\gamma \operatorname {Cosec} .c,$$\delta \operatorname {Cosec} .d,$ que ces longueurs soient $\mathrm {SA,SB,SC,SD.}$

Soit cherché le centre $\mathrm {Z}$ des moyennes distances des points $\mathrm {A,B,C,D}$ ; et du point $\mathrm {Z}$ comme centre, avec un rayon égal à ${\tfrac {1}{4}}l$ soit décrite une circonférence de cercle.

Du point $\mathrm {S}$ soit menée, (s’il y a lieu) une tangente à cette circonférence ; et du même point $\mathrm {S}$ soit menée à cette tangente une per-