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DU SECOND ORDRE.

ment égaux, à cause des signes contraires de ces deux nombres, cette valeur deviendrait,

$\operatorname {Tang} .\mathrm {M} ={\frac {2aA^{2}}{A^{2}-B^{2}}},$

ou, à cause de $a={\frac {B}{A}},$

$\operatorname {Tang} .\mathrm {M} ={\frac {2AB}{A^{2}-B^{2}}}\;;\qquad \mathrm {(P')}$

quantité plus petite que la valeur $\mathrm {(P),}$ tant que $a$ et $a'$ ne seront pas égaux.^[1]

Ainsi, dans l’ellipse, le maximum de l'angle formé par les diamètres conjugués est l’angle formé par les diamètres conjugués égaux.

Si l’on avait $B>A,$ la valeur $\mathrm {(P')}$ ne ferait simplement que changer de signe ; ainsi l’angle formé par les cordes supplémentaires établies aux extrémités du petit axe de l’ellipse est supplément de l’angle des cordes supplémentaires établies aux extrémités de son grand axe.

Soient menées les ordonnées $\mathrm {GP,HQ}$ des points $\mathrm {G,H.}$ Faisons d’abord

$\mathrm {OP} =x,\qquad \mathrm {GP} =y\;;$

l’équation du diamètre $\mathrm {OG}$ sera

$y=a'x,\qquad$d’où$\qquad y^{2}=a'^{2}x^{2}.$

Mettant cette valeur dans l’équation $\mathrm {(E),}$ il viendra

$x^{2}={\frac {aA^{2}}{a-a'}},\qquad$d’où$\qquad y^{2}={\frac {a'^{3}aA^{2}}{a-a'}},$

1. Car, en général, de $pq=m^{2},$ résulte nécessairement $2m<p+q.$ On a, en en effet, $0<(p-q)^{2},$ ou $4pq<(p-q)^{2}+4pq,$ ou $4pq<(p+q)^{2},$ ou $4m^{2}<(p+q)^{2},$ ce qui donne $2m<p+q.$

   Si l’on égale à zéro la différentielle de l’expression $\mathrm {(P)}$ il viendra $\mathrm {d} a'=\mathrm {d} a$ ; mais, d’un autre côté, à cause de $aa'$ constant, on a $a\mathrm {d} a'+a'\mathrm {d} a=0$ ; ce qui donne, en ayant égard à la différence des signes de $a$ et $a',\ a'=a$ comme ci-dessus.