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DU TRIANGLE SPHÉRIQUE.
donc aussi, ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '-\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{2\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39193300d421af99bbb1403066a345b7f6abfba7)
ou![{\displaystyle \qquad \operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '-\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc517251f5c14afd6656a7c98d6ce429f22cdc6)
donc enfin
![{\displaystyle 1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9081368d54fbc83e6f3cce1d555c2140e014168c)
§. 6.
Le moment du triangle sphérique
, exprimé d’une manière symétrique dans les côtés
et rapporté au plan tangent en
, est donc
![{\displaystyle 2r^{3}.\operatorname {Arc} \left\{\operatorname {Tang} .={\tfrac {\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}\right\}-{\tfrac {1}{2}}r^{2}.\mathrm {BB} '.\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0202b8eb32fce176cc3194fb1401231018226b)
Que le produit continuel des sinus de la demi-somme des trois côtés du triangle sphérique et des sinus des excès de cette demi-somme sur chacun d’eux, soit désigné par
; on aura
que de plus l’arc
soit exprimé dans le rayon pris pour unité ; le moment du triangle
, relativement au plan tangent en \mathrm{A}, sera
![{\displaystyle 2r^{3}.\operatorname {Arc} \left\{\operatorname {Tang} .={\tfrac {2{\sqrt {\mathrm {P} }}}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}\right\}-r^{3}.{\sqrt {\mathrm {P} }}.{\tfrac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04713851ff902d790b15898b07b7ebdad8c0f0e5)
Soit
la surface du triangle sphérique, rapportée à l’octant pris pour unité de surface ; et partant, soit
droits ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} ={\tfrac {2{\sqrt {\mathrm {P} }}}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c99dc70658b90d96d26653df6ebf39b2840c55e)
(Voyez la Géométrie de Legendre.)
Donc le moment du triangle, relativement au plan tangent en
, sera